Tài liệu Mật mã cổ điển- Chương 7 ppt

ch ng 7ươ
các h m hashà
7.1 các ch kí v h m hash.ũ à à
B n c có th th y r ng các s d ch kí trong ch ng 6 ch cho ạ đọ ể ấ ằ ơ ồ ữ ươ ỉ
phép kí các b c i n nh .Ví d , khi dùng DSS, b c i n 160 bit s c ứ đ ệ ỏ ụ ứ đ ệ ẽ đượ
kí b ng ch kí d i 320 bít. Trên th c t ta c n các b c i n d i h n nhi u.ằ ữ à ự ế ầ ứ đ ệ à ơ ề
Ch ng h n, m t t i li u v pháp lu t có th d i nhi u Megabyte.ẳ ạ ộ à ệ ề ậ ể à ề
M t cách n gi n g i b i toán n y l ch t các b c i n d i ộ đơ ả để ả à à à ặ ứ đ ệ à
th nh nhi u o n 160 bit, sau ó kí lên các o n ó c l p nhau. i u à ề đ ạ đ đ ạ đ độ ậ Đ ề
n y c ng t ng t nh mã m t chuô d i b n rõ b ng cách mã c a m i kí à ũ ươ ự ư ộ ĩ à ả ằ ủ ỗ
t b n rõ c l p nhau b ng cùng m t b n khoá. (Ví d : ch ECB ự ả độ ậ ằ ộ ả ụ ế độ
trong DES).
Bi n pháp n y có m t s v trong vi c t o ra các ch kí s . ệ à ộ ố ấ đề ệ ạ ữ ố
Tr c h t, v i m t b c i n d i, ta k t thúc b ng m t ch kí r t l n ( d i ướ ế ớ ộ ứ đ ệ à ế ằ ộ ữ ấ ớ à
g p ôi b c i n g c trong tr ng h p DSS). Nh c i m khác l các s ấ đ ứ đ ệ ố ườ ợ ượ đ ể à ơ
ch kí “an to n” l i ch m vì chúng dùng các pháp s h c ph c t p nhđồ ữ à ạ ậ ố ọ ứ ạ ư
s m modulo. Tuy nhiên, v n nghiêm tr ng h n v i phép toán n y l ố ũ ấ đề ọ ơ ớ à à
búc i n ã kí có th b s p x p l i các o n khác nhau,ho c m t s o nđ ệ đ ể ị ắ ế ạ đ ạ ặ ộ ố đ ạ
trong chúng có th b lo i b v b c i n nh n c v n ph i xác minh ể ị ạ ỏ à ứ đ ệ ậ đượ ẫ ả
c. Ta c n b o v s nguyên v n c a to n b b c i n v i u n y đượ ầ ả ệ ự ẹ ủ à ộ ứ đ ệ à đ ề à
không th th c hi n c b ng cách kí c l p t ng m u nh c a chúng. ể ự ệ đượ ằ độ ậ ừ ẩ ỏ ủ
Gi i pháp cho t t c các v n n y l dùng h m Hash mã khoá công ả ấ ả ấ đề à à à
khai nhanh. H m n y l y m t b c i n có d i tu ý v t o ra m t b n à à ấ ộ ứ đ ệ độ à ỳ à ạ ộ ả
tóm l c thông báo có kích th c qui nh (160 bit n u dùng DSS).ượ ướ đị ế
Sau ó b n tóm l c thông báo s c kí. V i DSS, vi c dùng h m đ ả ượ ẽ đượ ơ ệ à
Hash c bi u di n trê hình 7.1.đượ ể ễ
Khi Bob mu n kí b c i n x, tr c tiên anh ta xây d ng m t bnr tóm ố ứ đ ệ ướ ự ộ
l c thông báo z = h(x) v sau ó tính y = sigượ à đ
K
(z ). Bob truy n c p ( x, y) ề ặ
trên kênh. Xét th y có th th c hi n xác minh (b i ai ó ) b ng cách tr c ấ ể ự ệ ở đ ằ ướ

h t khôi ph c b n tóm l c thông báo z =h (x) b ng h m h công khai v ế ụ ả ượ ằ à à
sau ó ki m tra xem verđ ể
k
(x,y) có = true, hay không.
Hình 7.1.Kí m t b n tóm l c thông báo ộ ả ượ
B c i n :x d i tu ýứ đ ệ độ à ỳ
↓
b n tóm l c thông báo:z = h (x) 160 bitả ượ
↓
Ch kí y = sig ữ
K
(z) 320 bit
7.2. h m hash không va ch m à ạ

Chúng ta c n chú ý r ng,vi c dùng h m hash h không l m gi m s an ầ ằ ệ à à ả ự
to n c a s ch kí vì nó l b n tóm l c thông báo c ch kí à ủ ơ đồ ữ à ả ượ đượ ữ
không ph i l b c i n. i u c n thi t i v i h l c n tho mãn m t s ả à ứ đ ệ Đ ề ầ ế đố ớ à ầ ả ộ ố
tinhs ch t n o ó tranh s gi m o. ấ à đ để ự ả ạ
Ki u t n công thông th ng nh t l Oscar b t u b ng m t b c di n ể ấ ườ ấ à ắ đầ ằ ộ ứ ệ
c kí h p l (x, y), y =sigđượ ợ ệ
K
(h (x)),(C p (x, y) l b c i n b t kì c ặ à ứ đ ệ ấ đượ
Bob kí tr c ó). Sau ó anh ta tính z = h(x) v th tìm x ướ đ đ à ử ≠ x
’
sao cho h(x
’
)
= h(x). N u Oscar l m c nh v y, (xế à đượ ư ậ
’
, y) s l b c i n kí h p l , t c ẽ à ứ đ ệ ợ ệ ứ

m t b c i n gi m o. tránh ki u t n công n y, h c n tho mãn tính ộ ứ đ ệ ả ạ Để ể ấ à ầ ả
không va ch m nh sau:ạ ư
nh ngh a 7.1Đị ĩ
H m hash h l h m không va ch m y u n u khi cho tr c m t b c à à à ạ ế ế ướ ộ ứ
i n x, không th ti n h nh v m t tính toán tìm m t b c i n x đ ệ ể ế à ề ặ để ộ ứ đ ệ ≠ x
’

sao cho
h (x
’
) = h(x).
M t t n công ki u khác nh sau: Tr c h t Oscar tìm hai b c i n x ộ ấ ể ư ướ ế ứ đ ệ ≠
x
’
sao cho h(x) =h(x
’
). Sau ó Oscar a x cho Bob v thy t ph c Bob kí b nđ đư à ế ụ ả
tóm l c thông báo h(x) nh n c y. Khi (xượ để ậ đượ đố
’
,y) l thông báo (b c à ứ
i n ) gi m o h p l .đ ệ ả ạ ợ ệ
ây l lí do a ra m t tính ch t không va ch m khác.Đ à đư ộ ấ ạ
nh ngh a 7.2.Đị ĩ
H m Hash h l không va ch m m nh n u không có kh n ng tính toánà à ạ ạ ế ả ă
tìm ra b c iênk x v xđể ứ đ à
’
sao cho x ≠ x
’
v h(x) = h(xà
’

).
Nh n xét r ng: không va ch m m nh bao h m va ch m y u. ậ ằ ạ ạ à ạ ế
Còn ây l ki u t n công th 3: Nh ã nói ph n 6.2 vi c gi m o đ à ể ấ ứ ư đ ở ầ ệ ả ạ
các ch kí trên b n tóm l c thông báo z ng u nhiên th ng x y ra v i s ữ ả ượ ẫ ườ ả ớ ơ
ch kí. Gi s Oscar tính ch kí trên b n tóm l c thông báo z ng u đồ ữ ả ử ữ ả ượ ẫ
nhiên nh v y. Sau ó anh ta tìm x sao cho z= h(x). N u l m c nh v y ư ậ đ ế à đượ ư ậ
thì (x,y) l b c i n gi m o h p l . tránh c t n công n y, h c n à ứ đ ệ ả ạ ợ ệ Để đượ ấ à ầ
tho mãn tính ch t m t chi u (nh trong h mã khoá công khai v s ả ấ ộ ề ư ệ à ơ đồ
Lamport).
nh ngh a 7.3.Đị ĩ
H m Hash h l m t chi u n u khi cho tr c m t b n tóm l c thông báoà à ộ ề ế ướ ộ ả ượ
z, không th th c hi n v m t tính toán tìm b c i n x sao cho h(x) = z.ể ự ệ ề ặ để ứ đ ệ
Bây gi ta s ch ng minh r ng, tính ch t không va ch m m nh bao h m ờ ẽ ứ ằ ấ ạ ạ à
tính m t chi u b ng ph n ch ng. c bi t ta s ch ng minh r ng, có th ộ ề ằ ả ứ Đặ ệ ẽ ứ ằ ể
dùng thu t toán o v i h m Hash nh m t ch ng trình con (gi nh ) ậ đả ớ à ư ộ ươ ả đị
trong thu t toán xác su t Las Vegas tìm các va ch m.ậ ấ để ạ
S rút g n n y có th th c hi n v i m t gi thi t y u v kích th c ự ọ à ể ự ệ ớ ộ ả ế ế ề ướ
t ng i c a vùng v mi n (domain and range) c a h m Hash. Ta c ng s ươ đố ủ à ề ủ à ũ ẽ
gi thi t ti p l h m Hash h: Xả ế ế à à →Z, X,Z l các t p h u h n v à ậ ữ ạ à X ≥
2Z. ây l gi thi t h p lí :N u xem m t ph n t c a X c mã nh Đ à ả ế ợ ế ộ ầ ử ủ đượ ư
m t xâu bít có d i logộ độ à
2
X v ph n t c a Z c mã hoá nh m t à ầ ử ủ đượ ư ộ
xâu bít có d i logđộ à
2
X thì b n tóm l c thông báo z = h(x) ít nh t c ngả ượ ấ ũ
ng n h n b c i n x m t bít (ta s quan tâm n tình hu ng vùng X l vô ắ ơ ứ đ ệ ộ ẽ đế ố à
h n vì khi ó có th xem xét các b c i n d i tu ý. L p lu n ó c a ta ạ đ ể ứ đ ệ à ỳ ậ ậ đ ủ
c ng áp d ng cho tình hu ng n y).ũ ụ ố à
Ti p t c gi thi t l ta có m t thu t toán o i v i h, ngh a l có ế ụ ả ế à ộ ậ đả đố ớ ĩ à

m t thu t toán A ch p nh n nh u v o b n tóm l c thông báo zộ ậ ấ ậ ư đầ à ả ượ ∈Z v à
tìm m t ph n t A(z) ộ ầ ử ∈ X sao cho h(A(z)) = z.
Ta s ch ng minh ng lí d i ây:ẽ ứ đị ướ đ
nh lí 7.1:Đị
Gi s h: Xả ử →Z l h m Hash, trong ó à à đ XvàZ h u h n v ữ ạ à X≥
2Z. Cho A l thu t toán o i v i h. Khi ó t n t i m t thu t toán Las à ậ đả đố ớ đ ồ ạ ộ ậ
Vagas xác su t tìm c m t va ch m i v i h v i xác su t ít nh t l 1/2.ấ đượ ộ ạ đố ớ ớ ấ ấ à
Ch ng minh :ứ
Xét thu t toán B a ra trong hình 7.2. Rõ r ng B l m t thu t toán ậ đư à à ộ ậ
xác su t ki u Las Vegas vì nó ho c tìm th y m t va ch m, ho c cho câu trấ ể ạ ấ ộ ạ ặ ả
l i không. V n còn l i l ta ph i t nh xac su t th nh công, V i x b t k ờ ấ đề ạ à ả ị ấ à ớ ấ ỳ
thu c X, nh ngh a x ộ đị ĩ ∼ x
1
n u h(x) = h(xế
1
). D th y r ng, ễ ấ ằ ∼ l quan h à ệ
t ng ng. Ta nh ngh a:ươ đươ đị ĩ
[x] = {x
1
∈X: x ∼x
1
}
M i l p t ng ng [x] ch a nh o c a m t ph n t thu c Z nên s ỗ ớ ươ đươ ứ ả đả ủ ộ ầ ử ộ ố
các l p t ng ng nhi u nh t l ớ ươ đươ ề ấ à Z. Kí hi u t p các l p t ng ệ ậ ớ ươ
ng l C. đươ à
Bây gi gi s , x l ph n t ờ ả ử à ầ ử ∈X c ch n trong b c 1. V i giá tr đượ ọ ướ ớ ị
x n y, s cóà ẽ [x]giá tr xị
1
có th cho phép tr l i b c 3. ể ở ạ ướ [x]-1 các giá
tr xị

1
n y khác v i x v nh v y b c 4 th nh công. (Chú ý r ng thu t à ớ à ư ậ ướ à ằ ậ
thoán A không bi t bi u di n các l p t ng ng [x] ã chon trong b c ế ể ễ ớ ươ đươ đ ướ
1). Nh v y, khi cho tr c l a ch n c th xư ậ ướ ự ọ ụ ể ∈X, xác su t th nh công l ấ à à
([x)-1/[x].
Hình.7.2 Dùng thu t toán o A tìm các va ch m cho h m Hashậ đả để ạ à
1.ch n m t ssó ng u nhiên x ọ ộ ẫ ∈X
2.Tính z=h(x)
3.Tinh x
1
= A(Z)
4. if x
1
≠ x then
x v xà
1
va ch m d i h (th nh công)ạ ướ à
else
Quit (sai)
Xác su t th nh công c a thu t toán B b ng trung bình c ng t t c các ấ à ủ ậ ằ ộ ấ ả
l a chon x có th :ự ể

P(th nh công) = (1/à X)∑
x
∈
X
([x]-1)/[x]
= (1/X) ∑
c
∈

C
∑
x
∈
C
(c-1)/c
= 1/X∑
c
∈
C
(c-1) = (1/X) ∑
c
∈
C
c - ∑
c
∈
C
1
>= (X -Z) / X
>= ((X -Z)/2) /X = ẵ
Nh v y, ta ã xây d ng thu t toán Las Vegas có xác su t th nh công ít ư ậ đ ự ậ ấ à
nh t b ng 1/2.ấ ằ
Vì th , ó l i u ki n h m Hash tho mãn tính ch t không ế đ à đ ề ệ đủ để à ả ấ
va ch m m nh vì nó bao h m hai tính ch t khác.Ph n còn l i c a ch ng ạ ạ à ấ ầ ạ ủ ươ
n y ta ch quan tâm n các h m Hash không va ch m m nh. à ỉ đế à ạ ạ
7.3 t n công ng y sinh nh t(birthday)ấ à ậ
Trong ph n n y, ta s xác nh i u ki n an to n c n thít ch h m ầ à ẽ đị đ ề ệ à ầ à
Hash v i u ki n n y ch ph thu c v o l c l ng c a t p Z (t ng à đ ề ệ à ỉ ụ ộ à ự ượ ủ ậ ươ
ng v kích th c c a b ng thông báo ). i u ki n c n thi t n rút ra tđươ ề ướ ủ ả Đ ề ệ ầ ế à ư

ph ng pháp tìm ki m n gi n ác va ch m m ng i ta ã bi t n ươ ế đơ ả ạ à ườ đ ế đế
d i cái tên t n công ng y sinh nh t (birthday ph ng pháparradox), trong ướ ấ à ậ ươ
b i toán:m t nhóm 23 ng i ng u nhiên, có ít nh t 2 ng i có ng y sinh à ộ ườ ẫ ấ ườ à
trùng nhau v i xác su t ít nh t l 1/2.(D nhiên, ây ch a ph i l ngh ch ớ ấ ấ à ĩ đ ư ả à ị
lí,song ó l tr c giác i l p có th x y ra). Còn lí do c a thu t ng “t nđ à ự đố ậ ể ả ủ ậ ữ ấ
công ng y sinh nh t ” s rõ r ng khi ta ti p tuch trình b y. à ậ ẽ à ế à
Nh tr c ây, ta hãy gi s r ng :h:Xư ướ đ ả ử ằ →Z l h m Hash, X,Z h u à à ữ
h n v ạ à X >=2Z. ng ngh a Đị ĩ X = m vàZ = n.Không khó kh n nh nă ậ
th y r ng, có ít nh t n va ch m v v n t ra l cách tìm chúng. Bi n ấ ằ ấ ạ à ấ đề đằ à ệ
pháp n s nh t l ch n k ph n t ng u nhiên phân bi t xđơ ơ ấ à ọ ầ ử ẫ ệ
1
,x
2
…..x
k
∈X,
tính z
1
= h(x
1
),1<= i <= k v sau ó xác nh xem li u có x y ra va ch m à đ đị ệ ả ạ
n o không (b ng cách, ch ng h n nh sáp x p l i các zà ằ ẳ ạ ư ế ạ
i
).
Quá trình n y t ng t v i vi c ném k qu bóng v o thùng v sau óà ươ ự ớ ệ ả à à đ
ki m tra xem li u có thùng n o ch a ít nh t hai qu hay không (k q a bóng ể ệ à ứ ấ ả ủ
t ng ng v i k giá tr xươ đươ ớ ị
i
ng u nhiên v n thùng t ng ng v i n ph n ẫ à ươ ứ ớ ầ
t có th trong Z).ử ể

Ta s gi i h n d i c a xác su t tìm th y m t va ch m theo ph ng ẽ ớ ạ ướ ủ ấ ấ ộ ạ ươ
pháp n y.Do ch quan tâm n gi i h n d i v xác su t va ch m nên ta sà ỉ đế ớ ạ ướ ề ấ ạ ẽ
gi s r ng ả ử ằ h
-1
(z)≈ m/n v i m i z ớ ọ ∈Z. ( ây l gi thi t h p lí :N u các đ à ả ế ợ ế
nh o không x p x b ng nhau thì xác su t tìm th y m t va ch m s ả đả ấ ỉ ằ ấ ấ ộ ạ ẽ
t ng lên ). ă
Vì các nh o u có kích th c b ng nhau v các xả đả đề ướ ằ à
i c đượ
ch n m t ọ ộ
cách ng u nhiên nên các z ẫ
i
nh n c có th xem nh các ph n t ng u ậ đượ ể ư ầ ử ẫ
nhiên c a Z. Song vi c tính toán xác su t các ph n t ng u nhiên zủ ệ ấ để ầ ử ẫ
1
,
z
2,....
z
k
∈Z l riêng bi t khá n gi n.Xét các zà ệ đơ ả
i
theo th t zứ ự
1
, …,z
k
. Phép
ch n zọ
1
u tiên l tu ý. Xác su t zđầ à ỳ ấ để

2
≠z
1
l 1-1/n; xác su t zà ấ để
3
≠ z
1
v à
z
2
l 1- 2/n. vvà …
Vì th ta c l ng xác su t không có va ch m n o l :ế ướ ượ ấ để ạ à à
(1-1/n)(1-2/n)… (1-(k-1/n)) = (1-1/n)
N u x l s th c nh thì 1- x ế à ố ự ỏ ≈ e
-x
. c l ng n y nh n d c t hai Ướ ượ à ậ ượ ừ
s h ng u tiên c a cá chu i khai tri n.ố ạ đầ ủ ỗ ể
e
-x
= 1 - x + x
2
/2! - x
3
/3! ...
Khi ó xác su t không có va ch m n o l :đ ấ ạ à à
∏ ∏
−
=
−
=

≈−
1k
1i
1k
1i
)
n
i
1(
e
-1/n
= e
-k(k-1)/n
Vì th ta c l ng xác su t có ít nh t m t va ch m lế ướ ượ ấ để ấ ộ ạ à
1-e
-k(k-1)/n
N u kí hi u xác su t n y l ế ệ ấ à à ε thì có th gi i ph ng trình i v i k (nh ể ả ươ đố ớ ư
m t h m c a n v ộ à ủ à ε)
1-e
-k(k-1)/n
≈ 1 -ε
-k(k-1)/n ≈ ln(1-ε)
k
2
- k ≈ nln 1/(1-ε)
N u b qua s h ng k thì :ế ỏ ố ạ
k=
ε1
−
1

lnn
N u l y ế ấ ε = 0.5 thì
k
n17.1
≈
i u n y nói lên r ng, vi c ch t (b m) trên Đ ề à ằ ệ ặ ă
n
ph n t ng u nhiên c a X ầ ử ẫ ủ
s t o ra m t va ch m v i xác su tt 50%. Chú ý r ng, cách ch n ẽ ạ ộ ạ ớ ấ ằ ọ ε khác s ẽ
d n n h s h ng s khác song k v n t lên v i ẫ đế ệ ố ằ ố ẫ ỷ ớ
n
.
N u X l t p ng i,Y l t p g m 365 ng trong n m (không nhu n ế à ậ ườ à ậ ồ ỳ ă ậ
t c tháng 2 có 29 ng y) còn h(x) l ng y sinh nh t c a x, khi ó ta s gi ứ à à à ậ ủ đ ẽ ả
guy t b ng nhg ch lý ng y sinh nh t. L y n = 365, ta nh n c k ế ằ ị à ậ ấ ậ đượ ≈ 22,3.
Vì v y, nh ã nêu trên, s có ít nh t 2 ng i có ng y sinh nh t trùng ậ ư đ ở ẽ ấ ườ à ậ
nhau trong 23 ng i ng u nhiên v i xác su t ít nh t b ng 1/2. ườ ẫ ớ ấ ấ ằ
T n công ng y sonh nh t t gi i h n cho các kích th c các b n ấ à ậ đặ ớ ạ ướ ả
tóm l c thông báo. b n tóm l c thông báo 40 bit s không an to n vì có ượ ả ượ ẽ à
th tìm th y m t va ch m v i xác su t 1/2 trên 2ể ấ ộ ạ ớ ấ
20
(kho ng1.000.000) o n ả đ ạ
ch t ng u nhiên. T ây cho th y r ng, kích th c t i thi u ch p nh n ặ ẫ ừ đ ấ ằ ướ ố ể ấ ậ
c c a b n tóm l c thông báo l 128 bit (t n công ng y sinh nh t c n đượ ủ ả ượ à ấ à ậ ầ
trên 2
64
o n ch t trong tr ng h p n y). ó chính l lý do ch n b n tóm đ ạ ặ ườ ợ à Đ à ọ ả
l c thông báo d i 160 bit trong s DSS.ượ à ơ đồ
Hình7.3. H m hash chaum-Van heyst-Plitzmann.à

7.3. h m hash logarithm r i r cà ờ ạ
Trong ph…n n y ta s… mô t… m…t h m Hash do Chaum-Van Heyst v à à à
Pf tmann a ra. H m n y an to n do không th tính c logarithm r i ĩ đư à à à ể đượ ờ
r c. H m Hast n y không nhanh dùng trong th c t song nó n gi nạ à à đủ để ự ế đơ ả
v cho m t ví d t t v m t h m Hash có th an to n d i gi thuy t tính à à àộ ụ ố ề ộ ể ướ ả ế
toán h p lý n o s . H m Hash Caum-Van Heyst- Pf tmann c nêt trong ợ à ố à ĩ đượ
hình 7.3. Sau ây s ch ng minh m t nh lý liên quan n s an to n c a đ ẽ ứ ộ đị đế ự à ủ
h m Hast n y.à à
nh lý 7.2.Đị
N u cho tr c m t va ch m v i h m Hash Chaum-Van Heyst-ế ướ ộ ạ ớ à
Pf tmann h có th tính c logarithm r i r c logĩ ể đượ ờ ạ
α
β
m t cách có hi u qu .ộ ệ ả
Ch ng minhứ
Gi s cho tr c va ch m ả ử ướ ạ
Giả sử p l sà ố nguyên tố lớn v q =(p-1)/2 cà ũng l sà ố
nguyên tố. Cho α v à β l hai phà ần tử nguyên thuỷ của Zp.
Giá trị log
α
β không công khai v già ả sử rằng không có khả
năng tính toán được giá trị của nó.
H m Hash:à
h: {0,...,q-1}×{0,...,q-1} → Zp\ {0}
được định nghĩa như sau:
h(x1,x2) =α
x
1
β
x

2
mod p
h(x
1
,x
2
) = h(x
3
,x
4
)
trong ó (xđ
1
,x
2
) ≠ (x
3
,x
4
). Nh v y ta có ng d th c sau:ư ậ đồ ư ứ
α
x
1
β
x
2
= α
x
3
β

x
4

hay
α
x
1
β
x
2
≡ α
x
3
β
x
4
(mod p)
Ta kí hi u ệ
D = UCLN (x
4
-x
2
,p-1)
Vì p-1 =2q ,q l s nguyên t nên d à ố ố ∈ {1, 2, q, p-1}. Vì th , ta có 4 xác su t ế ấ
v i d s xem xét l n l t dwois ây.ớ ẽ ầ ượ đ
Tr c h t ,gi s d =1 ,khi ó choướ ế ả ử đ
y= (x
4
-x
2

)
-1
mod (p-1)
ta có
β ≡ β
(x
4
-x
2
)y
(mod p)
≡ α
(x
1
-x
2
)y
(mod p)
Vì th , có th tính loarithm r i r c logế ể ờ ạ
α
β nh sau:ư
log
α
β = (x
1
-x
3
) (x
4
-x

2
)
-1
mod (p-1)
Ti p theo, gi s d=2. Vì p-1 =2q, l nên UCLN(xế ả ử ẻ
4
-x
2
,q) =1. Gi s :ả ử
y=(x
4
-x
2
)
-1
mod q
xét th y ấ (x
4
-x
2
)y = kq+1
v i s nguyên k n o ó. Vì th ta có:ớ ố à đ ế
β
(x
4
-x
2
)y
≡ β
kq+1

(mod p)
≡ (-1)
k
β (mod p)
≡ ± β (mod p)
Vì β
q
≡-1(mod p)
Nên
α
(x4-x2)y
≡ β
(x1-x3)
(mod p)
≡ ± β (mod p)
T ó suy ra r ng:ừ đ ằ
log
α
β = (x
1
-x
3
)y mod (p-1)
log
α
β = (x
1
-x
3
)y mod (p-1)

Ta có th d d ng ki m tra th y m t trong hai xác su t trên l úng. Vì thể ễ à ể ấ ộ ấ à đ ế
nh trong tr ng h p d =1, ta tính c logư ườ ợ đượ
α
β.
Xác su t ti p theo l d = q. Tuy nhiên ấ ế à
q-1≥ x
1
≥ 0
và q-1≥ x
3
≥ 0
nên
(q-1) ≥ x
4
-x
2
≥ -(q-1)
do v y UCLN(xậ
4
-x
2
,p-1) không th b ng q, nói cách khác tr ng h p n y ể ằ ườ ợ à
không x y ra.ả
Xác su t cu i cùng l d = p-1. i u n ych x y ra khi x2 =x4. Song ấ ố à Đ ề à ỉ ả
khi ó ta có đ
α
x
1
β
x

2
≡ α
x
3
β
x
4
(mod p)
nên α
x
1
≡ α
x
3
(mod p)
v xà
1
=x
2
. Nh v y (xư ậ
1
,x
2
) = (x
3
,x
4
) ⇒ mâu thu n. Nh v y tr ng h p n y ẫ ư ậ ườ ợ à
c ng không th có.ũ ể
Vì ta ã xem xét t t c các giá tr có th i v i d nên có th k t đ ấ ả ị ể đố ớ ể ế

lu n r ng ,h m Hash h l không va ch m m nh mi n l không th tính ậ ằ à à ạ ạ ễ à ể
c logarithm r i r c logđượ ờ ạ
α
β trong Z
p
.
Ta s minh ho lý thuy t nêu trên b ng m t ví d .ẽ ạ ế ằ ộ ụ
Ví d 7.1ụ
Gi s p =12347 (vì th q = 6173), ả ử ế α = 2, β = 8461. Gi s ta c ả ử đượ
a tr c m t va ch m đư ướ ộ ạ
α
5692
β
144
≡ α
212
β
4214
(mod 12347)
Nh v y xư ậ
1
= 5692, x
2
= 144, x
3
= 212, x
4
= 4214. Xét th y UCLN (xấ
4
-x

2
,p-1)
=2 nên ta b t u b ng vi c tính ắ đầ ằ ệ
y = (x
4
- x
2
)
-1
mod q
= (4214 - 144)
-1
mod 6173 = 4312
Ti p theo tính ế
y = (x
1
- x
3
) mod (p-1)
= (5692 - 212) 4312 mod 12346
= 11862
Xét th y ó l tr ng h p m logấ đ à ườ ợ à
α
β ∈ {y’,y’+q mod (p-1)}. Vì
α
y
mod p =2
12346
= 9998
nên ta k t lu n r ng:ế ậ ằ

log
α
β = y’ + q mod (p-1)
= 11862 + 6173 mod 12346
= 5689
nh phép ki m tra, ta có th xác minh th y r ng ư ể ể ấ ằ
2
5689
= 8461 (mod 12347)
Vì th , ta các nh c logế đị đượ
α
β.
7.5.các h m hash m r ngà ở ộ