Nửa vành eculid và nửa vành chính quy cộng tính luận văn thạc sĩ toán học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN THỊ THÚY LIỄU

NỬA VÀNH EUCLID
VÀ NỬA VÀNH CHÍNH QUY CỘNG TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH – 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN THỊ THÚY LIỄU

NỬA VÀNH EUCLID
VÀ NỬA VÀNH CHÍNH QUY CỘNG TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. LÊ QUỐC HÁN

VINH – 2012


3

Mục lục
Trang
Mục lục.........................................................................................................1
Lời nói đầu...................................................................................................2
Chương 1. Nửa vành thương và cấu xạ nửa vành
1.1. Nửa vành thương....................................................................................4
1.2. Cấu xạ nửa vành.....................................................................................9
1.3. Hạt nhân của cấu xạ nửa vành..............................................................14
Chương 2. Nửa vành các thương. Nửa vành Euclid. Nửa vành chính quy
cộng tính
2.1. Nửa vành các thương............................................................................21
2.2. Nửa vành Euclid...................................................................................26
2.3. Nửa vành chính quy cộng tính..............................................................37
Kết luận......................................................................................................42
Tài liệu tham khảo.....................................................................................43


4

LỜI NĨI ĐẦU
Vành Euclid và vành chính quy là các lớp vành có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết vành nói riêng và Tốn học hiện đại nói chung. Do đó, với sự
xuất hiện lý thuyết nửa vành vào giữa thế kỷ hai mươi, các lớp nửa vành
Euclid và nửa vành chính quy đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.

Tuy nhiên, vì trong một nửa vành, nhiều phần tử khác khơng nói chung khơng
có phần tử khả nghịch cộng tính, nên việc chuyển các kết quả đã biết về vành
Euclid và vành chính quy sang các lớp nửa vành tương ứng gặp nhiều khó
khăn cả về ý tưởng lẫn kỹ thuật. Nhưng chính việc vượt qua những khó khăn
này đã tạo ra những ý tưởng mới và những kết quả mới khác biệt về chất đã
làm phong phú cho lý thuyết nửa vành.
Luận văn của chúng tôi dựa trên cuốn sách The Theory of semirings
with applications in mathematics and theoretical computer science của J.S.
Golan (1992) để tìm hiểu các lớp nửa vành Euclid và nửa vành chính quy
cộng tính cùng với những vấn đề liên quan như nửa vành thương, cấu xạ nửa
vành và nửa vành các thương.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Nửa vành thương và cấu xạ nửa vành.
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất
của nửa vành thương, cấu xạ nửa vành và hạt nhân của cấu xạ nửa vành.
Chương 2. Nửa vành các thương. Nửa vành Euclid. Nửa vành chính
quy cộng tính.
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và tính chất
của nửa vành các thương, nửa vành Euclid và nửa vành chính quy cộng tính.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc
Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng


5

dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong suốt quá trình
nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cơ
trong Khoa Tốn học và chun ngành Đại số và Lý thuyết số đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và hồn thành luận văn này.

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp.
Mặc dù rất cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót,
chúng tơi rất mong nhận được sự đóng góp q báu từ các thầy, cơ giáo và
các bạn học viên.
Vinh, ngày 9 tháng 9 năm 2012
Tác giả
Trần Thị Thúy Liễu

Chương 1. NỬA VÀNH THƯƠNG VÀ CẤU XẠ NỬA VÀNH


6

1.1. Nửa vành thương
1.1.1. Định nghĩa. Một nửa vành là một tập hợp khác rỗng R mà trên nó đã
xác định hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây được thỏa
mãn:
(i) ( R, ) là một vị nhóm giao hốn với đơn vị là 0.
(ii) ( R,.) là một nửa nhóm.
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, nghĩa là a(b+c)=ab+ac
và (a+b)c=ac+bc với mọi a,b,c R.
(iv) 0r=0=r0 với mọi r  R.
Nếu ( R,.) là một vị nhóm với đơn vị là 1 thì R được gọi là nửa vành với
đơn vị.
Để nửa vành R  0 , ta quy ước 1 0 .
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử R là một nửa vành. Khi đó quan hệ tương đương 
trên R được gọi là một tương đẳng trên R nếu thỏa mãn điều kiện: từ (r,r’)  
và (s,s’)   suy ra (r+s,r’+s’)   và (rs,r’s’)   .
Với mỗi nửa vành R bao giờ cũng xác định được hai tương đẳng: tương
đẳng đồng nhất idR cho bởi (a,b)  idR khi và chỉ khi a=b; tương đẳng phổ

dụng cho bởi (a,b)   với mọi a,b R. Các tương đẳng khác trên R được gọi
là tương đẳng thực sự.
1.1.3. Ví dụ. 1. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó quan hệ Bourne
 I cho bởi (r,r’)   I nếu và chỉ nếu tồn tại a,a’  R sao cho a+r = a’+r’ là

một tương đẳng trên R.
2. Giả sử R là một nửa vành đơn với đơn vị là 1 (nghĩa là r+1=1 với mọi r 
R). Với mỗi a  R, kí hiệu: S(a)=  0   r  R | r  a 1 . Thế thì quan hệ  trên
R cho bởi (a,b)   nếu và chỉ nếu S(a)=S(b) là một tương đẳng trên R. Thật
vậy, giả sử a,b,c,d R và (a,c)   , (b,d)   . Nếu r  R, r 0 thì r  S(a+b) 
r+a+b=1  r+a  S(b)  r+a  S(d) (vì(b,d)   )  r+a+d=1  r+d  S(a) 
r+d  S(c) (vì (a,c)   )  r+c+d=1  r  S(c+d) và do đó S(a+b)=S(c+d).


7

Mặt khác, S(ab)=S(a)  S(b)=S(c)  S(d)=S(cd) nên (ab,cd)   . Dễ thấy  là
một quan hệ tương đương trên R nên  là một tương đẳng trên R.
1.1.4. Chú ý. Giả sử  là một tương đẳng trên nửa vành R. Với mỗi r  R, kí
hiệu r   r '  R | (r ', r )    và R   r  | r  R . Nếu  là một tương đẳng thực
sự thì ta có thể xây dựng được nửa vành thương R  bằng cách đặt
r   r '  (r  r ')  và ( r  )(r '  ) (rr ')  .

Trong Ví dụ 1.1.3 (1), ta thấy rằng một iđêan I trên nửa vành R xác
định một tương đẳng Bourne  I . Khi đó nửa vành thương R 1 được kí hiệu
bởi R I và 1 -lớp chứa r được kí hiệu bởi r I . Nửa vành R I được gọi là nửa
vành thương Bourne của R bởi I.
1.1.5. Ví dụ. 1. Giả sử R là một nửa vành giao hoán và P là một họ khác rỗng
các iđêan nguyên tố mạnh của R. Trên R xác định quan hệ  cho bởi (a,b)  
nếu và chỉ nếu đối với mỗi P  P , hoặc a,b P hoặc a,b  P. Thế thì  là một

tương đẳng trên R. Thật vậy, theo định nghĩa,  là một quan hệ tương đẳng
trên R. Nếu (a,a’)   và (b,b’)   thì đối với mỗi P  P , có a+b  P  a,b  P
 a’,b’  P  a’+b’  P và tương tự ab  P  a  P hoặc b  P  a’  P hoặc b’ 

P  a’b’  P và do đó (a+b,a’+b’)   , (ab,a’b’)   nên  là một tương
đẳng trên R.
2. Giả sử 1(i) Nếu i < n và j   thì (i, j)   nếu và chỉ nếu i = j.
(ii) Nếu i n và j   thì (i, j)   nếu và chỉ nếu i j (mod m – n + 1).
Thế thì  là một tương đẳng trên  và nửa vành thương   không
giản ước được.


8

1.1.6. Chú ý. Vành Bun B là vành có hai phần tử B  0,1 với các phép cộng
và nhân cho bởi 0+0=0, 0+1=1+0=1, 1+1=1, 0.0=0.1=1.0=0, 1.1=1. Vành
Bun B khác vành 2  0, 1 vì 1  1 0 .
1.1.7. Định lý. Giả sử R là một nửa vành giao hốn khơng có quan hệ tương
đẳng thật sự khơng tầm thường. Thế thì hoặc R là vành Bun B hoặc là một
trường.
Chứng minh. Nếu R chỉ có hai phần tử thì R hoặc là nửa vành Bun B hoặc là
trường 2 . Như vậy chúng ta có thể giả thiết rằng R có nhiều hơn hai phần tử.
Trước hết ta chú ý rằng R giản ước được đối với phép nhân. Thật vậy, với mỗi
phần tử a R xác định một quan hệ  a cho bởi (r,r’)   a nếu và chỉ nếu
ra=r’a. Thế thì  a là một tương đẳng trên R. Như vậy,  a là tương đẳng tầm
thường (đồng nhất) khi a là giản ước được đối với phép nhân và là tương
đẳng thật sự nếu a 0. Vì R khơng có tương đẳng thật sự không tầm thường,
nên R phải là nửa vành giản ước được đối với phép nhân. Điều này kéo theo
R \  0 là một vị nhóm con của ( R,.) .

Bây giờ giả thiết rằng R là nửa vành bất khả đối (nghĩa là r+r’=0 nếu
và chỉ nếu r=r’=0). Thế thì R \  0 khép kín đối với phép cộng và phép nhân
và do đó chúng ta có một quan hệ tương đẳng  thực sự khơng tầm thường
trên R được định nghĩa bởi (a,b)   nếu và chỉ nếu a=b hoặc cả hai a và b
khác khơng. Thế thì tập hợp V(R) tất cả các phần tử khả nghịch cộng tính của
vành R chứa 0 và ít nhất một phần tử khác khơng. Hơn nữa, V(R) là một iđêan
của R. Đặt I=V( R) thì  I xác định trên R không tầm thường và từ đó theo giả
thiết nó khơng thực sự. Nói riêng, (1, 0)   I và do đó tồn tại b  I=V(R) sao cho
1+b=0. Đối với r  R tùy ý, điều đó nghĩa là r+br=(1+b)r=0 và do đó mỗi
phần tử thuộc R có nghịch đảo cộng tính, do đó R là một vành.


9

Nếu 0 a  R và I  a là iđêan chính của R sinh bởi a thế thì quan hệ
tương đẳng  I khơng tầm thường do đó khơng thực sự. Nói riêng, (1, 0)   I và
do đó 1 I, chứng tỏ rằng a là ước của đơn vị. Từ đó R là một trường. €
1.1.8. Chú ý. 1. Một nửa vành giao hoán R được gọi là nửa trường nếu R
chứa đơn vị và mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch đối với phép
nhân. Từ Mệnh đề 1.1.6 thấy rằng một nửa vành chia được, thậm chí một nửa
trường có thể có các tương đẳng không tầm thường thực sự. Nếu  là một
tương đẳng thực sự trên nửa vành chia được R thì R  cũng là một nửa vành
chia được (chú ý rằng nửa vành R được gọi là chia được nếu R chứa đơn vị và
mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch nhân tính).
2. Một tập con A khác rỗng của nửa vành R được gọi là trừ được nếu a  A và
a+b  A kéo theo b  A.
Iđêan I của nửa vành R được gọi là iđêan tối đại nếu I  R và R là iđêan
duy nhất của R chứa I.
1.1.9. Mệnh đề. Nếu I là một iđêan tối đại trừ được của nửa vành với đơn vị

R thì vành thương Bourne R I là một nửa trường.
Chứng minh. Giả thiết rằng 0 I a I  R I . Nếu a 2  I thì do tính chất giao
2
2
hốn, a  I và do đó a I, mâu thuẫn với cách chọn a. Vì a  a nên

I  I  a và do đó, bởi tính tối đại của I, ta có R I  a . Từ đó tồn tại b  I

sao cho 1=b+ra và do đó 1 I ra I ( r I )(a I ) . Như vậy a I khả nghịch trong
R

R
I nên I là một nửa trường. €

1.1.10. Định nghĩa và ký hiệu. Giả sử R là một nửa vành và S=R R. Xác
định các phép toán cộng và nhân trên S bởi (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)
(c,d)=(ac+bd,ad+bc). Khi đó S là một nửa vành với đơn vị của phép cộng là
(0, 0) và đơn vị của phép nhân là (1, 0) . Nếu R là nửa vành thì S cũng nửa


10

vành. Kí hiệu Z ( R)  r  R | a  R : r  a a . Thế thì R được gọi là zeroic nếu
Z(R)=R. Trong trường hợp ngược lại ta nói rằng R khơng zeroic. Đặt
D  (a, a) | a  R . Thế thì D là một iđêan của R. Ta khẳng định rằng 0 S
D

nếu và chỉ nếu R không zeroic. Thật vậy, nếu R zeroic thế thì tồn tại r  R sao
cho 1+r=r và do đó (1, 0) +(r,r)  D. Từ đó (1, 0)  0 D . Vì (1, 0) là đơn vị nhân
tính của S, nên điều đó kéo theo S= 0 D . Đảo lại, giả thiết rằng S= 0 D . Thế

thì tồn tại phần tử r  R sao cho (1,0) +(r,r)=(r,r) và như vậy 1+r=r, kéo theo
1 Z(R) và từ đó Z(R)=R. Chúng ta cũng chú ý rằng D là iđêan trừ được của S
nếu và chỉ nếu nửa vành R giản ước được và (a, b) D (c, d ) D nếu và chỉ nếu
tồn tại các phần tử r  R, r’  R sao cho (a,b)+(r,r)=(c,d)+(r’,r’). Điều đó nói
lên rằng (a, b) D (c, d ) D nếu và chỉ nếu tồn tại các phần tử r,r’  R sao cho
a+r=c+r’ và b+r = d+r’. Nói riêng, (0, 0) D  (a, b) | r  R : a  r b  r .
Nếu R Z ( R) thì S R là một nửa vành. Chúng ta khẳng định rằng trong
trường hợp này S D thực chất là một vành. Thật vậy, nếu (a,b)  S thì
( a, b)

D

 (b, a )

D

(a  b, a  b)

D

(0, 0)

S
V ( S ) S
D
D và từ đó D là một
D nên

vành, mà chúng ta sẽ gọi là vành các sai phân của nửa vành R và được kí hiệu
bởi R  .

( a , b ) | a, b  H

Nếu H là một iđêan (trái, phải) của R thì H 
là iđêan
D





(trái, phải) của R  . Đảo lại, nếu I là một iđêan (trái, phải) của R  thế thì

 a  R | (a, 0) D  I

là một iđêan (trái, phải) của R.

1.1.11. Ví dụ. Giả sử S là vành tất cả các hàm từ  vào  với các phép toán
cộng và nhân theo từng phần tử, và R là nửa vành của S chứa hàm zero và tất


11

cả các hàm f thỏa mãn điều kiện f(i) > 0 với mọi i   . Thế thì S R  (H. E.
Stone, 1972).

1.2. Cấu xạ nửa vành
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử R và S là các nửa vành. Khi đó ánh xạ  : R  S
được gọi là cấu xạ nửa vành nếu (r  r ') (r )  (r '), (rr ') (r )(r '), r , r '  R
và (0 R ) 0 S .
Nếu R, S là các nửa vành với đơn vị thì cần có thêm điều kiện (1R ) 1S .

1.2.2. Chú ý. 1. Giả sử  : R  S

là cấu xạ nửa vành. Khi đó

im()  ( r ) | r  R là nửa vành con của S.

2. Giả sử R là một nửa vành với đơn vị là End0 ( R) là tập hợp tất cả các tự
đồng cấu  của vị nhóm giao hốn (R,+) thỏa mãn  (0) 0 là một nửa vành
với đơn vị. Đối với mỗi r  R, giả sử  r : R  R là ánh xạ xác định bởi
 r (r ') rr ' . Thế thì  r  End 0 ( R ) đối với mỗi r  R và ánh xạ r   r là một cấu

xạ nửa vành với đơn vị. Thực tế, cấu xạ này là đơn ánh vì  r 0 kéo theo r=
 r (1) = 0.

Nếu R là một nửa vành con của nửa vành với đơn vị S thì chúng ta có
một cấu xạ nửa vành với đơn vị  từ mở rộng Dorroh R  đến S được xác
định bởi (r , n) =r+n.1S (Phép toán trên R  cho bởi (r,n)+(r’,n’)=
(r+r’,n+n’) và (r,n)(r’,n’) = (nr’+n’r + rr’,nn’)).
3. Giả sử R là một nửa vành với đơn vị và M là một vị nhóm với đơn vị là  .
Thế thì có một cấu xạ tồn ánh các nửa vành với đơn vị  : R  R  M  được
cho bởi (r )(m) r nếu m=e và (r )(m) 0 R nếu m e , trong đó R(M) là tập
hợp các ánh xạ từ M vào R với giá hữu hạn và các phép cộng và phép nhân
cho bởi:
(f + g)(m) = f(m) + g(m), m  M
(f.g)(m) =

  f (m ') g (m '') | (m ', m '')  sup p( f ) sup p( g ), m '.m '' m .


12

4. Giả sử A và B là các tập hợp khác rỗng và  : A  B là một ánh xạ cho
trước. Thế thì một cấu xạ tùy ý của các nửa vành với đơn vị  : R  S xác định
một cấu xạ của các nửa vành với đơn vị  : R B  S A được cho bởi ( f )(a) 
( f ( ( a))) . Nói riêng, nếu A  B là các tập hợp khác rỗng và R là một nửa

vành với đơn vị thì ta có một cấu xạ chính tắc của các nửa vành với đơn vị
R B  R A được cho bởi cái thu hẹp của các ánh xạ.

5. Giả sử R là một nửa vành con của một nửa vành chứa đơn vị S và I là một
iđêan của R, và giả sử H là một iđêan của S thỏa mãn I  R  H . Thế thì ta có
cấu xạ chính tắc  : R I  S H xác định bởi ( r I )  r H . Ánh xạ này hoàn toàn
xác định vì nếu (r , r ')   I trong R thì (r , r ')   H trong S. Như một hệ quả của
nhận xét này, thấy rằng nếu H là iđêan của nửa vành với đơn vị R thì có một
cấu xạ tồn ánh nửa vành từ R lên R H được cho bởi r  r H .
1.2.3. Định nghĩa và kí hiệu. Giả sử  Ri | i   là một họ các nửa vành với
Ri là tích trực tiếp của chúng. Thế thì có một tồn cấu xạ
đơn vị và R 
i

 h : R  Rh gán mỗi phần tử của R với thành phần thứ h của nó, và có một đơn

cấu xạ (phép nhúng) jh : Rn  R bằng cách gán mỗi phần tử a thuộc R n với
phần tử thuộc R có thành phần thứ h bằng a còn tất cả các thành phần còn lại
đều bằng 0.
X
2
Kí hiệu C ( R)  r  R | rr ' r ' r , r '  R là tâm và I ( R)  r  R | r r là

tập hợp các lũy đẳng nhân tính của nửa vành R. Khi đó ảnh của đơn vị của Rn

không phải là 1R nhưng thuộc C ( R)  I X ( R) . Một nửa vành của R là một tích
trực tiếp con của R nếu và chỉ nếu cái thu hep jh xuống S đối với mỗi h  
vẫn cịn là tồn ánh.
Một tập hợp  e1 , e2 ,..., en  các phần tử khác không của C ( R)  I X ( R) được
gọi là tập hợp các lũy đẳng trung tâm trực giao đầy đủ của R nếu và chỉ nếu
e1  e2  ...  en 1 và ei e j 0 đối với mọi i  j . Khi đó eU   ei | i  U  và fU =


13

  e | i U 
i

đối với tập con thực sự khác rỗng U tùy ý của  1, 2,..., n thỏa mãn

eU  fU 1 và e U fU  fU eU 0 . Như vậy đối với mỗi U , eU  comp ( R ) với
comp( R )  a  R | c  R : ac ca 0; a  c 1 . Nói riêng, ei  comp ( R ) đối với mỗi
i   1, 2,..., n .

1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau đây đối với một nửa vành R là tương
đương:
(i) Tồn tại các nửa vành R1 , R2 ,..., Rn và một đẳng cấu  : R 

R ;
i

(ii) Tồn tại một tập hợp các lũy đẳng trung tâm trực giao đầy đủ của R.
Chứng minh. (i)  (ii). Giả sử S  Ri . Đối với mỗi i   1, 2,..., n , giả sử 1i là
đơn vị nhân tính của Ri , và ji : Ri  S là phép nhúng chính tắc nói trên. Chú ý
rằng vì  là một đẳng cấu nên đối với mỗi phần tử s  S tồn tại duy nhất phần

tử r   1 ( s ) thỏa mãn (r ) s .
Đối với mỗi i   1, 2,..., n , giả sử ei   1 ( ji (1i )) thế thì (e1  e2  ...  en ) 
j1 (11 )  j2 (12 )  ...  jn (1n ) 1S (1R ) nên e1  e2  ...  en 1R . Nếu i  j thì (ei e j ) 
( ji (1i ))( j j (1 j )) 0 S (0 R ) nên ei e j 0 R . Ta lại có (ei2 ) (ei )(ei ) = ji (1i ) ji (1i )
i (1i ) (ei ) nên ei2 ei , như vậy ei  I ( R ) . Cuối cùng, nếu r  R thế thì

(rei ) (r ) ji (1i )  ji (1i )(r ) (ei r ) nên rei ei r , từ đó r  C ( R) .

(ii)  (i). Nếu r  R thế thì r r1R r (e1  e2  ...  en ) re1  re2  ...  ren ,
trong đó rei  Rei đối với tất cả i. Như vậy, mỗi phần tử thuộc R có thể được
viết dưới dạng tổng của các phần tử của Rei . Tổng này là duy nhất theo nghĩa
nếu r r1e1  r2e2  ...  rn en thế thì rei (ri ei )ei ri ei đối với mỗi i   1, 2,..., n .Như
vậy chúng ta có một song ánh  : R 

R

i

được cho bởi (r )(i) rei . Và mỗi

Rei là một nửa vành nên trực tiếp chứng minh được  là một đồng cấu nửa

vành.€


14

1.2.5. Chú ý. Giả sử R là một nửa vành với đơn vị, R Z ( R) và R S D là

vành các sai phân của nó (xem Mệnh đề 1.1.9). Thế thì ta có một cấu xạ chính

tắc  : R  R  cho bởi (r ) (r , 0) D . Cấu xạ chính tắc này khơng nhất thiết là
đơn ánh. Thật vậy, nếu (r ) (r ') thì (r , 0) D (r ', 0) D nên tồn tại a  R sao
cho (r+a,a) = (r’+a,a) và từ đó r+a = r’+a. Như vậy chúng ta thấy rằng một
điều kiện cần và đủ để  đơn ánh là R giản ước được. Hơn nữa, chú ý rằng
phần tử tùy ý (a, b) D của R  là (a)  (b) và do đó mỗi phần tử của R  là
hiệu giữa hai phần tử thuộc im() . Nói riêng, chúng ta kết luận rằng nếu R là
một nửa vành giản ước được thì R đẳng cấu với một nửa vành con của vành
R  sao cho mỗi phần tử của R  là hiệu giữa hai phần tử trong ảnh của R.

Chú ý rằng nếu R là một nửa vành thì tập hợp tất cả các iđêan của R
được kí hiệu bởi ideal(R). Theo Dedekind, ideal(R) cùng với phép cộng và
nhân các iđêan thông thường là một nửa vành.
1.2.6. Mệnh đề. Giả sử R là một nửa vành với đơn vị không zeroic và I là một

iđêan của R. Thế thì I  (a)  (b) | a, b  I  là một iđêan của R  , trong đó

 : R  R  là đồng cấu chính tắc.

Chứng

minh.

Nếu

a,a’,b,b’  I

thì

 (a)  (b)   (a ')  (b ')

 (a  a ')   (b  b ')  I  . Hơn nữa, nếu r , r '  R thì

 (r )  (r ')  (a)  (b)

 (r ) (a )  (r )(b)  (r ')(a ) (r ')(b)  (ra  r ' b)  (rb  r ' a)  I  . Như vậy
I  là một iđêan của R  . €

1.2.7. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành với đơn vị khơng zeroic thì ánh xạ
 : ideal ( R )  ideal ( R  ) xác định bởi I  I  là một cấu xạ nửa vành.

Chứng minh. Rõ ràng ( 0 )  0 và ( R) R  . Nếu I và H là các iđêan của R
thì ( I  H ) là iđêan bé nhất của R  chứa I+H và do đó ( I  H )  I   H  . Đảo
lại, giả sử s  (a)  (a ')   (b)  (b ') thuộc I   H  , trong đó a, a '  I và


15

b, b '  H . Thế thì s= (a  b)  ( a ' b ')  ( I  H )  . Do đó ( I  H )  I   H  .

Tương tự, ( IH )   I  H  . Đảo lại, nếu s   (a)  (a ')  (b)  (b ') thuộc I  H 
thì s (ab  a ' b ')  (ab ' a ' b)  ( IH ) , nên ( IH )  I  H  .€

1.2.8. Nhận xét. Giả sử R là một nửa vành không zeroic và R S D là vành

các sai phân của nó với cấu xạ chính tắc  : R  R  . Nếu  : R  R ' là một cấu
xạ vành thì  xác định một cấu xạ nửa vành  ' : S  R ' được cho bởi
 '((a, b)) (a)  (b) . Hơn nữa,  '(a, a ) 0 với mọi a  R và do đó  ' cảm sinh

một đồng cấu vành  '' : R   R ' . Nếu a  R thì  '' (a)  "((a, 0) D)  '(a, 0) =
 (a ) và do đó   ''  . Ánh xạ  " là duy nhất với tính chất này. Thật vậy, nếu

 : R   R ' là một đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện   thì đối với mỗi

phần tử (a, b) D  R  ta có  ((a, b) D) =  ((a, 0) D)   ((b, 0) D) = (a)  (b) =
 (a )   (b) =  "((a, b) ) và do đó   '' .
D

Nói riêng, nếu R1 và R2 là các nửa vành giản ước được tương ứng được


chứa trong vành các sai phân R1 và R2 của chúng thì mỗi đồng cấu nửa vành

 : R1  R2 có thể mở rộng được thành đồng cấu vành duy nhất   từ R1 vào

R2 . Hơn nữa,   đơn ánh nếu và chỉ nếu  đơn ánh và   toàn ánh nếu và chỉ
nếu  toàn ánh.
Kết quả sau đây đã được chứng minh trong  4 , trang 100-101.
1.2.9. Mệnh đề. 1. Giả sử R là nửa vành giản ước được. Khi đó tồn tại một
đồng cấu đơn ánh của các nửa vành  : R  S từ R vào vành nguyên nếu và
chỉ nếu R thỏa mãn điều kiện: Nếu a,a’,b,b’  R thỏa mãn ab  a ' b ' ab ' a ' b
thì a a ' hoặc b b ' .
2. Giả sử R là nửa vành giản ước được với vành sai phân R  . Khi đó một tập
con thực sự I của R là iđêan trái trừ được nếu và chỉ nếu R  H đối với iđêan
trái H nào đó của R  .


16

3. Nếu R là một nửa vành thì tồn tại một nửa vành giản ước được S và một
toàn cấu từ S vào R.
1.2.10. Mệnh đề. Một nửa vành bất khả đối R hoặc là lũy đẳng cộng tính

hoặc chứa một nửa vành con đẳng cấu với   .
1
Chứng minh. Giả sử  :    R xác định bởi (m n ) (m1R )( n1R ) . Thế thì theo

[4, Mệnh đề 3.41],  là một cấu xạ nửa vành. Hơn nữa, nếu ( h k ) ( m n ) thì
h1R (k1R )  1 m1 R (n1R )  1 và do đó hn1R mk1 R . Nếu R không phải là nửa vành lũy

đẳng cộng tính thì theo [4, Mệnh đề 3.40] suy ra được hn mk và như vậy
h m . Do đó  là một đẳng cấu từ   vào một nửa vành con của R. €
k
n

1.3. Hạt nhân của cấu xạ nửa vành
Trước hết ta chứng minh kết quả sau.
1.3.1. Mệnh đề. Giả sử

:R  S

là một cấu xạ nửa vành.

(i) Nếu H là một iđêan trái của S thì   1 ( H ) là một iđêan trái của R.
Hơn nữa, nếu H trừ được thì   1 ( H ) trừ được.
(ii) Nếu  là toàn ánh và I là một iđêan trái của R thì (I ) là iđêan
trái của S.
Chứng minh. (i) Giả thiết rằng H là iđêan trái của S. Nếu a,b    1 ( H ) thì
(a  b)  (a)   (b)  H

 (ra )  (r ) (a)  H

và do đó

và do đó

a  b    1 (H ) .

ra    1 ( H ) .

Nếu r  R và

a    1 (H )

thì

Cuối cùng, nếu 1R    1 ( H ) thì 1S 

(1R )  H mà điều này không thể xảy ra. Như vậy 1R    1 ( H ) và   1 ( H ) là

một iđêan trái của R. Bây giờ giả thiết rằng H trừ được, nếu a,a+b    1 ( H )
thế thì (a ) và (a)   (b) = (a  b)  H và do đó (b)  H . Từ đó

b    1 (H )

nên   1 ( H ) trừ được.
(ii) Giả thiết rằng I là iđêan trái của R. Nếu a,b  I thì (a)   (b) =
 ( a  b)   (I ) .

Nếu a  I và s  S thì

s  (r )

với r  R nào đó và như vậy

s(a ) =  ( r ) ( a ) =  (ra )   ( I ) . Do đó  (I ) là iđêan trái của S. €


17

1.3.2. Định nghĩa. Giả sử

:R  S

1
là một cấu xạ nửa vành. Khi đó    0 

được gọi là hạt nhân của  và được kí hiệu bởi ker(  ).
Theo Mệnh đề 1.3.1, ker(  ) là một iđêan của R. Như đã biết, nếu R là
một vành thì iđêan tùy ý của R có thể là hạt nhân của một đồng cấu từ R vào
một vành S nào đó, nhưng điều này nói chung khơng đúng với các nửa vành
tùy ý. Hơn nữa, nếu

:R  S

là một cấu xạ nửa vành sao cho

ker( )  0

thì

 có thể khơng phải là một đơn ánh. Chẳng hạn, nếu R  0, a,1 là một tập

sắp thứ tự toàn phần với phép cộng x+y= max x, y và x.y= min x, y . Thế thì
R là một nửa vành. Giả sử B là nửa vành Bun và

:R  B

là ánh xạ xác định

bởi (a) (1) 1 và  (0) 0 . Khi đó  là đồng cấu nửa vành và

ker( )  0

,

nhưng  không phải là đơn ánh.
1.3.3. Chú ý. 1. Nếu I là một iđêan của nửa vành R và  : R  R I là toàn cấu
xạ xác định bởi (r )  r I thì ker()  r  R | r  a  I , a  I  0 I .
2. Giả sử R là một nửa vành và  S j | j   là một họ các nửa vành. Đối với
mỗi
vành

j  ,

giả sử

:R 

ker(

:R  Sj

là cấu xạ nửa vành. Khi đó ta có một cấu xạ nửa

 S được cho bởi
j

j

j

)

j

(r )   j (r )

. Hạt nhân của cấu xạ này là

.

3. Một cấu xạ từ nửa vành R đến nửa vành Bun B được gọi là một đặc trưng
của R. Tập hợp tất cả các đặc trưng của R được kí hiệu bởi Char( R).
1.3.4. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành và   char (R) thì

ker( )

là một

iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử a,b  R sao cho
ab  ker( ) .

Nếu

a  ker( )

vậy, theo [4, Mệnh đề 6. 3],
1.3.5. Mệnh đề. Nếu
Ker(  )=0 thì

arb  ker( )

với mọi r  R . Thế thì

thì 0 (ab) (a)(b) (b) nên
ker( )

:R  S

b  ker( ) .

Như

là iđêan nguyên tố. €

là một cấu xạ toàn ánh của nửa vành sao cho


18

(i) R là nửa vành nguyên nếu và chỉ nếu S là nửa vành nguyên ;

(ii) R là một vành nếu và chỉ nếu S là một vành.
Chứng minh. (i) Trước hết ta nhắc lại rằng một nửa vành được gọi là nửa
vành ngun nếu nó khơng có ước của không. Giả sử R là nửa vành nguyên
và s,s’  S thỏa mãn ss’=0. Thế thì tồn tại r,r’  R sao cho (r ) s, (r ' ) s ' .
Khi đó (r ) (r ' ) (rr ' ) ss ' 0 nên rr’  ker(  ) =  0 . Từ đó r=0 hoặc r’=0
vì R là nửa vành nguyên. Khi đó s= (r ) (0) 0 hoặc s’= (r ' ) (0) 0 .
Vậy S là nửa vành nguyên. Đảo lại, giả thiết rằng S là nửa vành nguyên và
r,r’  R sao cho rr’=0. Khi đó (r )(r ' ) (rr ' ) (0) 0 nên (r ) 0 hoặc
 ( r ' ) 0

vì S là nửa vành ngun. Từ đó r=0 hoặc r’=0 vì ker( )  0 . Vậy R

là nửa vành nguyên.
(ii) Giả thiết rằng R là một vành. Nếu s  S và r  R sao cho  (r)=s thì 0=
(0) ( r  r ) (  r )  (r ) (  r )  s nên s  V(S), trong đó V(S) là tập hợp tất

cả các phần tử khả nghịch cộng tính của S. Do đó S=V(S) và S là một vành.
Đảo lại, giả thiết rằng S là một vành và r  R. Khi đó  (r )  S và - (r )  S.
Vì  là tồn ánh nên tồn tại r’  R sao cho (r ')  (r ) . Nhưng khi đó
(r  r ') (r )  (r ')  (r )  ( (r )) 0 nên r+r’  Ker( )  0 . Do đó r+r’=0

nên r  V(R) và do đó R=V(R). Vậy R là một vành. €
1.3.6 Mệnh đề. Một iđêan I của nửa vành R là hạt nhân của một cấu xạ nửa
vành nếu và chỉ nếu I trừ được.
Chứng minh. Giả thiết rằng I là hạt nhân của đồng cấu nửa vành

:R  S

. Nếu

a,b  R thỏa mãn a,a+b  I thì 0= (a  b) (a )  (b) (b) , vì (a ) 0 . Do đó
 (b) 0

nên b  I. Vậy I trừ được. Đảo lại, giả thiết rằng I trừ được và

 : R  R I là tồn cầu chính tắc cho bởi (r )  r I . Thế thì I  Ker () . Mặt

khác, nếu r  Ker () thì tồn tại a,a’  I sao cho r+a=0+a’  I . Vì I trừ được
nên r  I và do đó I=Ker(  ). €
1.3.7 Mệnh đề. Nếu S là một nửa vành con của một nửa vành R và I là một
iđêan của R thì


19

(i) S+I là một nửa vành con của R;
(ii) S  I là một iđêan của S;
(ii)

Tồn

tại

một

cấu

xạ

toàn

ánh

của

các

nửa

vành

tương

ứng

 : S ( S  I )  ( S  I ) I và nếu I trừ được thì Ker( )  0 .

Chứng

minh.

(i)

và

(ii)

là

rõ

ràng.

Định

nghĩa

 : S ( S  I )  ( S  I ) I bởi ( s ( S  I ))  s I . Thế thì  là một cấu xạ toàn ánh

của các nửa vành. Nếu I trừ được và s ( s  I )  Ker () thì tồn tại các phần tử
a,a’  I sao cho s+a=0+a’, từ đó s  I vì I trừ được. Điều này kéo theo
s

(S  I )

0

( S  I ) hay Ker(  )  0 . €

1.3.8. Mệnh đề. Nếu I  H là một iđêan của nửa vành R và H’= 0 H thì R H

(R )
đẳng cấu với I ( H ' .
)
I
Chứng minh. Định nghĩa tương ứng  : R I  R H bởi ( r I )  r H . Khi đó  là
một ánh xạ vì I  H , hơn nữa  là một cấu xạ tồn ánh của các nửa vành có
Ker( )  r I  R I | r H 0 H =  r I  R I | r  H ' = H ' I . Theo [4, Mệnh đề 9.15]





,  cảm sinh một đồng cấu  ’:

Nếu

(r )
( I

(H ' )
I

(r ' )
)  '( I

(R )
I

R
 '  0
( H ' ) lên
H sao cho Ker ( )= .
I

r
r'
)
( H ' ) thì H  H nên
I

. Do đó  là đơn cấu và từ đó  là một đẳng cấu. €

(r )
I

(H ' )
I

(r ' )
 I

(H )
I


20

Chú ý rằng nếu  : R  S là một cấu xạ nửa vành thì   1 (1S ) 

 r  R | (r ) 1S  nói chung khơng khép kín dưới phép lấy tổng do đó khơng
phải là iđêan của R. Nếu r,r’    1 (1S ) thì (rr ') (r )(r ') 1S.1S 1S nên rr’
   1 (1S ) ,

do đó   1 (1S ) đóng dưới phép nhân, hơn nữa 1 R    1 (1 S ) nên

  1 (1S ) là vị nhóm con của (R,.). Kết quả sau đây chứng tỏ rằng đôi khi
  1 (1S ) có thể là một iđêan của R.

1.3.9. Mệnh đề. Giả sử  là một cấu xạ nửa vành và s là phần tử vô hạn

mạnh của S thì   1 ( s ) là một iđêan của R.
Chứng minh. Trước hết ta nhắc lại rằng phần tử s  S được gọi là phần tử vô
hạn mạnh nếu s  x s , x  S và xs s sx, 0  x  S .
Chú ý rằng

  1 (s) R

vì 0 R

   1 ( s) .

Mặc khác, nếu a,b    1 ( s ) và nếu

r  R thì (a  b) (a)  (b) s  s s trong khi đó (ra) (r )(a) ( r ) s s 
s(r )  (a)(r ) (ar ) . Vậy a+b, ra,ar    1 ( s ) nên   1 ( s ) là iđêan của S. €

1.3.10. Định nghĩa. Nếu

:R  S

là một cấu xạ của các nửa vành và U ( R) =

 r  R | r '  R : rr ' r ' r 1R  là tập hợp tất cả các ước đơn vị của R thì tập con
  1 (1S )  U ( R)  a  U ( R) | ( a) 1S  được gọi là hạt nhân nhân tính của  và

được ký hiệu bởi mker( ) .
Vì 1

R

 mker(  )

1.3.11. Mệnh đề. Nếu

và 0  m ker() nên mker(  ) là tập con thực sự của R.

:R  S

là một cấu xạ của các nửa vành thì mker(  )

là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( U ( R) ,.)
Chứng minh. Nếu a,b  m ker() thì (ab) (a)(b) 1S .1S

1S

do đó ab 

m ker() . Nếu a  m ker() thì 1 S (1R ) (aa  1 ) ( a)(a  1 ) (a  1 ) nên a
 m ker() . Như vậy m ker() là nhóm con của ( U ( R) , .). Cuối cùng, nếu r

 1

 U ( R) và a  m ker() thì (rar  1 ) ( r )( a)( r  1 ) (r )( r  1 ) ( rr  1 ) (1R ) 1S

nên rar  1 m ker() . Từ đó m ker() là chuẩn tắc trong ( U ( R) ,.). €