KHAI THAC MOT BAI TOAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NguyÔn v¨n tuyªn : quÕ vâ – b¾c ninh. Khai th¸c vµ ph¸t triÓn một số bài toán THCS về bất đẳng thức I ./. C¬ së lÝ thuyÕt : B§T c«si ( and ) Bunhiacopsky , cô thÓ B§T đơn giản sau : “ ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4, ∀ a , b> 0 , dấu = xảy ra khi a = b “ II./. khai thác và phát triển bất đẳng thức : 1./. chøng minh :. “ ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4, ∀ a , b> 0 , dÊu = x¶y ra khi a = b “ Chó ý: + Các cách giải dới đây đều thoả mãn dấu “ = “ x¶y ra khi a = b C¸ch 01 : kü thuËt nh©n B§T c«si ===== Ta cã : a+b ≥ 2 √ ab (1) vµ 1a + 1b ≥2 1a . b1 (2). √. Lấy (1) X (2) ta đợc ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4, ∀ a , b> 0 (ĐPCM) Bình luận : Lời giải quá đơn giản phải không bạn ? C¸ch 02 : kü thuËt Bunhiac«psky ===== Ta cã ( a+b ) ( 1a + b1 )=¿ [ ( √ a ) + ( √b ) ] ( 1a ) + ( 1b ) ≥ (√ a . 1a + √ b . 1b ) =4 2. 2. [√. 2. 2. √. 2. ]. √. √. B×nh luËn : sao l¹i ph¶i t¹o b×nh ph¬ng thÕ nhØ ? Cách 03 : kỹ thuật 01 tạo bình phơng đúng b) 4 ab ≥ ====== Ta cã (a - b)2 0 ⇔ ( a+ b ) ≥ 4 ab ⇔ ((a+ a+b ) ( a+b ) 2. ( v× a, b > 0 ). ⇔ ( a+b ) ≥. 2. 4 4 1 1 ⇔ ( a+b ) ≥ ⇔ ( a+b ) + ≥ 4 1 1 a b ( a+b ) + a b ab. ( ). (§PCM) B×nh luËn :+ T¹i sao l¹i chia hai vÕ cho ( a + b )> 0?.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> + Nhân cả tử và mẫu cho tích ab để làm g× ? Cách 04 : kỹ thuật 02 tạo bình phơng đúng ====== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö a ≥ b ⇔ a − b ≥0 ⇔ ( a −b )2 ≥ 0 ⇔a 2+ b2 − 2 ab≥ 0 ⇔. ( a2 +b2 ). ( a 2+b 2 ) ≥ 2 ab. a b a b a b ≥2 ⇔ + ≥ 2 ⇔ 2+ + ≥ 2+ 2⇔ 1+ + 1+ ≥ 4 ab b a b a b a a a b b 1 1 1 1 1 1 + + + ≥ 4 ⇔a + + b + ≥ 4 ⇔ ( a+b ) + ≥ 4 a b b a a b a b a b. ( )(. ). ( )( ) ) ( ) ( ). (. (§PCM). B×nh luËn : + T¹i sao l¹i céng hai vÕ víi 2 nhØ ? + Tách 2 = 1 + 1 để làm gì ? Cách 05 : kỹ thuật 03 tạo bình phơng đúng ====== Ta cã ( a – b )2 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab 2. 2. a b a b a b + ≥2 ⇔ + +2≥ 2+2 ⇔ + +2 ≥ 4 b a b a b a 2 2 a b a b a b ⇔ + +2 ≥ 4 2 ⇔ + + 4 + + 4 ≥ 16 b a b a b a 2 2 a b 4 a 4b ⇔ 2 + 2+ + +6 ≥16 b a b a 2 2 a b 2a 2a 2b 2b ⇔ 2 + 2 + + + + + 4+2 ≥ 16 b b a a b a. (. ⇔. (. ⇔. (. ). 2. ( ) (. ). ). 2. a 2a 2b 2a b 2b +1+ + + + 4 + 2 +1+ ≥16 2 b a b a b a. )(. )(. ) )(. a2 a 2 2 a2 2 ab 2 ab 4 ab . b2 b 2 2 b2 + + + + + + + + ≥16 b2 a 2 ab a2 b 2 ab a2 b 2 ab 1 1 2 1 1 2. 1 1 2 ⇔ a2 2 + 2 + +2 ab 2 + 2 + + b2 2 + 2 + ≥ 16 b a ab a b ab a b ab 1 2 1 2 1 1 2 2 ( 1 1 ⇔ ( a2+ 2 ab+b2 ) 2 + + 2 ≥ 16 ⇔ ( a+b ) + ≥ 4 ⇔ a+b ) + ≥ 4 ab a b a b a b. (. ⇔. )(. (. ) (. (. ) (. ). ). ). ( ). (. ). ( §PCM) B×nh luËn : Lêi gi¶i thËt phøc t¹p , t¹i sao l¹i biÕn đổi đợc nh vậy nhỉ ? Cách 06 : kỹ thuật 04 tạo lập phơng đúng . ====== Theo Ta cã ( a – b )2 0 ⇔a + b ≥ 2 ab 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a b a b a b + ≥2 ⇔ + +2≥ 2+2 ⇔ + +2 ≥ 4 b a b a b a 3 3 a b a b a b 2 a b 3 ⇔ + +2 =4 ⇔ + + 6 + +12 + +8 ≥ 64 b a b a b a b a 3 2 2 a b a b a b ⇔ + +6 2 + 2 +12 + +20 ≥ 64 b a b a b a. (. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b ⇔ ( + ) − 3 ( + )+6 ( + ) +9 ( + )+ 6 ( + )+20 ≥64 b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b ⇔ ( + ) − 3 ( . + . )+ 6 ( + )+9 ( + )+6 ( + )+20 ≥ 64 b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b ⇔ + +6 ( + )+9 ( + )+ 6 ( + )+20 ≥ 64 b a b a b a b a ⇔. 3. 3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 2. 2. 3. 3. 2. 2. a3 b3 3 a 3 a 3 b 3 b 9 a 9 b 3 a 2 3 a2 3 b2 3 b 2 + + + + + + + + 2 + 2 + 2 + 2 +20 ≥ 64 b a a b a b3 a3 b b b a a 3 2 2 2 3 2 a 3a 3 a 3b 3a 9a 3b 3a 9b b 3b 3b ⇔ 1+ 3 + + 2 + + 2 + 9+ + 2 + + +9 + 3 +1+ 2 + b a b b a a b b b a a a ⇔. (. )(. 64 ⇔. (. 3. 3. )(. 3. 3. 2. 2. 2. 2. )( ). ). a a 3a 3a 3a b 3a b 3 a b.3 3a b.3 + 3+ 2 + + + 3 + 2 + 2 +¿ 3 2 3 a b a .b a.b a b a b ab. )(. 3 ab2 3 ab2 3 ab 2 . 3 3 a2 b .3 b3 b3 3 b 3 3 b3 + + + + + + + ≥ 64 a3 b3 a2 b a2 b a 3 b3 a 2 b ab 2 1 3 3 1 1 3 3 1 3 3 3 1 2 2 1 a 3 + 3 + 2 + 2 +3 a b 3 + 3 + 2 + 2 +3 ab 3 + 3 + 2 + 2 +¿ a b a b ab a b a b ab a b a b ab 1 1 3 3 1 3 3 1 + b3 a 3 + b3 + a 2 b +ab 2 ≥ 64 ⇔ ( a3 +3 a2 b+3 ab2 +b 3 ) a3 + a 2 b +ab 2 + b 3 ≥ 43 3 ( §PCM) ( a+b )3 1 + 1 ≥ 43 ⇔ ( a+ b ) 1 + 1 ≥ 4 a b a b. +. (. )(. (. ). (. (. ). ( ). ). ). (. (. ). ). ( ). B×nh luËn : + Quá trình biến đổi chứng minh trên thật không b×nh thêng chót nµo ph¶i kh«ng c¸c b¹n . + Liệu có cách tạo đợc 4 ; 5 ; 6 ; … ; n tơng tự nh trên1 không ? Xin dành cho bạn đọc . C¸ch 07 : Kü thuËt g¾n h×nh häc. ===== XÐt tø gi¸c ABCD cã AB = 2 √ab ( ®v® d) ; CD = √2ab (®v® d) . Mét ®iÓm M thuéc miÒn trong tø gi¸c sao cho MA = a ( ®v® d) ; MB = b (®v ® d) ;.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> MC = 1b (®v ® d) ; MD = 1a (®v® d) ( a ; b > 0 ) XÐt tam gi¸c MAB cã : MA+MA ≥ AB ⇔ a+b ≥ 2 √ ab (*) XÐt tam gi¸c MCD cã : MC+MD ≥ CD ⇔ 1a + 1b ≥ √2ab (**). LÊy (*) X (**) ta cã : ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 (§PCM ); dÊu “ = “ khi a = b hay MA = MB vµ MC = MD (tam gi¸c MAB c©n t¹i M vµ tam gi¸c MCD c©n t¹i M) B×nh luËn : + khá táo bạo , ngợc dòng nớc chuyển từ đại số sang h×nh häc. Cách 08 : Kỹ thuật biến đổi tơng đơng . ====== Ta cã : ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇔2+ ab + ba − 4 ≥ 0 ⇔ ab −2 √ ab . √ ba + ba ≥ 0 ⇔ ( √ a − √b ) ≥ 0 √ √ (luôn đúng ) ( ĐPCM) Bình luận : LG thật giản đơn phải không bạn . 2. C¸ch 09 : Kü thuËt lîng gi¸c ====== §Æt a = Sin2x > 0 ; b = Cos2x > 0 nªn a + b = 1 Mµ ( a+b ). ( a+ b )2 1 1 + ≥4⇔ ≥ 4 ⇔ 4 ab ≤ 1 ⇔4 cos2 x . sin2 x ≤1 ⇔ ( sin 2 x )2 ≤ 1 a b ab. ( ). (luôn đúng) vì a + b =1 (ĐPCM) B×nh luËn : C¸c b¹n thÊy sao ? Cách 10 : Kỹ thuật đổi biến . ===== §Æt a = xy >0 ; b = yx >0 ⇒ a. b=1 Ta cã : (§PCM). ( a+b ). ( a+ b )2 1 1 x y 2 x y 2 + ≥4⇔ ≥4⇔ + ≥4⇔ − ≥0 a b ab y x y x. ( ). (. ). (. ). (đúng).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bình luận : cũng có thể đặt a =. x y. n. (). ;b=. y n ; n∈ N ❑ x. (). C¸ch 11 : === Kỹ thuật chuẩn hoá(biểu thức đối xứng đồng bËc ) Kh«ng mÊt tæng qu¸t ta gi¶ sö a + b = k > 0 ( a+ b ) ≥ 4 ⇒ k ≥ 4 a(k − a) ⇔ ( k −2 a ) ≥ 0 (đúng) Ta cã ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇔ ab B×nh luËn : C¸ch 12 : Kü thuËt 01 thªm biÕn . ====== Kh«ng mÊt tÝnh tæng ta gi¶ sö 0 a ≤ b ⇒ tån t¹i sè K 0 sao cho a + K = b 2. ( a+b ). 2. 2. 2 a+ K ≥ 4 ⇔ ( 2 a+ K ) ≥ 4 a( a+ K )⇔ K ≥ 0 ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇒ ( 2 a+ K )( a(a+ K )) 2. 2. (đúng) C¸ch 13 : Kü thuËt 02 thªm biÕn. ====== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 0<a≤ b ⇒ tån t¹i K 0 sao cho b = K.a ( a+b ). ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇒ ( a+ Ka ) ( 1a +Ka1 ) ≥ 4 ⇔ ( a+ Ka ) ≥ 4 ka ⇔ ( K − 1) ≥ 0 2. 2. 2. (§óng) C¸ch 14 : Kü thuËt 03 thªm biÕn. ====== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö ab = K>0 ( a+b ). ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇒ (a+ Ka )(. K a K 2 K 2 ≥ 4 ⇔ a+ ≥4 K ⇔ a− ≥0 K a a. a+. ). (. ). (. ). (§óng) Cách 15 : Kỹ thuật đánh giá. ===== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a ≥ b>0 ⇒ a+b ≥ 2 b>0 ab ≥ b2 >0 ⇔ 2 ¿ ( a+b ) ≥ 4 b2 >0 2 ab ≥ b >0 (∗) ¿{. MÆt kh¸c : 2. ( a+ b ) 1 1 4 b2 + ≥4⇔ ≥4⇒ 2 ≥4⇒4≥ 4 a b ab b. (luôn đúng) C¸ch 16 : Kü thuËt Bunhia ngîc dÊu. ) 1 1 ⇔ ( a+ b ) ( + ) ≥ 4 (v× a+b > 0) ===== Ta cã : ( 1a + b1 ) ≥ ( 1+1 a+b a b B×nh luËn : §¬n gi¶n qu¸ ph¶i kh«ng b¹n? ( a+b ). ( ). 2. Cách 17 : Kỹ thuật 01 đổi biến . ===== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö a + b = K vµ tån t¹i t > 0 sao cho : a = t.x >0 vµ b = t.y > 0 suy ra a+ b = t.x + t.y suy ra x+ y = Kt 2. 2. 2. ( a+ b ) t (x+ y) 1 1 ( a+b ) + ≥ 4 ⇔ ≥4⇒ 2 ≥ 4 ⇔ ( x − y )2 ≥ 0 a b ab t .x . y. Mµ (đúng) ( ) Bình luận : Thật không đơn giản chút nào. Cách 18 : Kỹ thuật 02 đổi biến §Æt a = t.x > 0 vµ b = K.y > 0 ( k ; t ; x ;y > 0 ) ( a+ b ) ( t . x+ Ky ) ≥4⇒ ≥ 4 ⇔ ( tx − Ky ) ≥0 Do đó từ ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇔ ab t .K . x. y (đúng) C¸ch 19: Kü thuËt chuÈn ho¸ 02 ===== Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö a + b =2 ( a+ b ) ≥ 4 ⇔ ab ≤1 luôn đúng Do đó ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇔ ab 2. 2. 2. 2. 2. ) V× ab ( a+b ; a + b =2 =1 4 B×nh luËn : T¹i sao l¹i chuÈn ho¸ a + b = 2 ë ®©y ?. C¸ch 20 : Kü thuËt thªm biÕn ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ====== §Æt. ¿ x a= >0 z y b= >0 z ¿{ ¿. ;. kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö. a ≥ b>0 ⇔ x ≥ y ≥ 1. Do đó ( a+b ) ( 1a + b1 ) ≥ 4 ⇔ ( xz + zy )( xz + zy )≥ 4 ⇔ ( x + y ) ≥ 4 xy ⇔ ( x − y ) ≥ 0 (luôn đúng) 2. 2. C¸ch 21 : Kü thuËt ph¬ng tr×nh bËc hai . ======. §Æt. ¿ s=a+b>0 p=ab> 0 ¿{ ¿. ; thÕ th× a vµ b lµ nghiÖm. cña ph¬ng tr×nh bËc hai sau : X2 – sX + p = 0 Hay X2 – ( a+b )X + ab = 0 (*) , râ rµng tho¶ m·n ®Çu bµi th× ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm ( a+ b )2 4 ab ≥ ( a+b ) ( a+b ) 4 4 1 1 ⇔ ( a+b ) ≥ ⇔ ( a+b ) ≥ ⇔ ( a+b ) + ≥ 4 1 1 a b ( a+b ) + a b ab. ⇔ Δ ≥0 ⇔ ( a+b )2 − 4 ab ≥ 0. (v× a,b > 0 ). ⇔ ( a+b )2 ≥ 4 ab ⇔. ( ). (§PCM) Trªn ®©y lµ mét sè c¸ch tham kh¶o , ngoµi ra cßn rÊt nhiÒu c¸ch kh¸c ( ph¬ng ph¸p chÆn , ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai , ph¬ng ph¸p vÐc t¬ , ph¬ng ph¸p hµm håi ,ph¬ng ph¸p hµm sè ,…., !.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>