Tải bản đầy đủ (.doc) (18 trang)

chuyên đề tam giác Toán 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 18 trang )

Chuyên đề: TAM GIÁC
I - Một số phương pháp chứng minh hình học
1. Tam giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác.

1.1. Tam giác
Hệ thức

Hình vẽ

* Tổng ba góc của tam giác:
� C
�  1800
 ABC có �A  B

* Góc ngồi tam giác là góc kề với một góc của tam
giác: �
ACx là góc ngồi tam giác, ta có:

� A

ACx  B

* Tam giác vng:
- Tam giác vng là tam giác có một góc vng.
 ABC vng tại A ( �A  900 ); AB, AC là hai cạnh

góc vng, BC là cạnh huyền
- B�  C�  900

1.2. Các dạng tam giác.
Tam giác cân



* Định nghĩa: ABC cân tại A � AB = AC
* Tính chất:
� C

- ABC cân tại A � B

- Tam giác cân có: Đường cao vừa là đường phân giác
vừa là đường trung trực vừa là đường trung tuyến.
* Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

Hình vẽ


+ Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân.
+ Tam giác hai góc bằng nhau là tam giác cân.
+ Tam giác có một đường thẳng là một trong hai
đường nêu trên là tam giác cân
* Tam giác vng cân là tam giác vng có hai cạnh
góc vng bằng nhau.
* Tam giác vuông cân là tam giác vuông có một góc
bằng 450
Tam giác đầu

Hình vẽ

* Định nghĩa: ABC đều � AB = AC = CB
* Tính chất: Tam giác đều có các góc bằng nhau và
cùng bằng 600
* Dấu hiệu nhận biết tam giác đều

+ Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều
+ Tam giác có hai góc bằng 600 là tam giác đều
+ Tam giác có ba đường cao bằng nhau, hoặc ba
đường phân giác bằng nhau, hoặc ba đường trung
tuyến bằng nhau, hoặc ba đường trung trực bằng nhau
thì tam giác đó là tam giác đều.
1.3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Các
trường
hợp bằng
nhau của
tam giác

Hệ thức

 ABC =  A’B’C’
Định
nghĩa


�AB  A ' B ', BC  B ' C ', CA  C ' A '
��
�B
�'; C
�C
�';
A '; B
��A  �

 ABC và  A’B’C’ có:

C.C.C

AB  A ' B '
BC  B ' C ' �  ABC =  A’B’C’ (c.c.c)
CA  C ' A '

Hình vẽ


 ABC và  A’B’C’ có:

C.G.C

AB  A ' B '
�B
�'
B
�  ABC =  A’B’C’ (c.g.c)
BC  B ' C '

 ABC và  A’B’C’ có:

G.C.G

�B
�'
B
BC  B ' C ' �  ABC =  A’B’C’ (c.g.c)
�C
�'

C

Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

 ABC và  DEF có:
Hai cạnh
góc
vng

�A  D
�  900
AB  DE �  ABC=  DEF (c.g.c)
AC  DF

 ABC và  DEF có:
Cạnh
huyềngóc nhọn

�A  D
�  900
BC  EF �  ABC=  DEF (ch.gn)
�E

B

 ABC và  DEF có:
Cạnh
huyềncạnh góc
vng


�A  D
�  900
BC  EF �  ABC=  DEF (ch.gn)
AB  DE


2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
3. Chứng minh hai góc bằng nhau:
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân, đều
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong, đồng vị
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác
- Chứng minh góc có cùng số đo
4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
- Dựa vào số đo của góc bẹt (Hai tia đối nhau hay tổng các góc cộng tuyến bằng 180 0 thì
ba điểm đó thẳng hàng)
- Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
5. Chứng minh hai đường thẳng song song
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
+ Hai góc so le trong bằng nhau.
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.
- Hai đường thẳng cùng vng góc với một đường thẳng.
- Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng.

- Tiên đề Ơclit “Qua một điểm ở một ngoài đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng
song với đường thẳng song song với đường thẳng đó”
- Tính chất của tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vng góc
- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
6. Chứng minh hai đường thẳng vng góc
- Góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 900
- Tính chất của tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vng góc
- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
7. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy (đi qua một điểm):
Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác gồm:
- Giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác


+ Đi qua trung điểm của canh đối diện
+ Khoảng cách đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 độ dài trung tuyến.
- Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác
+ Vng góc với cạnh đối diện tại trung điểm
+ Cách đều hai đầu mút.
+ Giao điểm ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác.
- Giao điểm của ba đường phân giác.
+ Giao điểm của ba đường phân giác.
+ Giao điểm của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác.
- Giao điểm của ba đường cao của tam giác (ba đường vng góc)
8. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc:
- Gắn hai đoạn thẳng, hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và
góc đối diện trong một tam giác, BĐT tam giác
- Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vng góc.
II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngồi
tam giác đó hai đoạn thẳng AD vng góc và bằng AB;
AE vng góc và bằng AC.
Chứng minh:
a) DC = BE
b) DC  BE
Hướng dẫn phân tích tìm hướng giải

* Để chứng minh DC = BE cần chứng minh ∆ABE = ∆ ADC (c.g.c)
�  BAE
� . Có: BAE
�  900  BAC
�  DAC

Có: AB = AD, AC = AE (gt) � Chứng minh DAC

* Gọi I là giao điểm của AB và CD
�  900
Để chứng minh DC  BE cần chứng minh I�2  B
1
�  900
Có I�1  I�2 (Hai góc đối đỉnh) và I�1  D
1
�D
� (vì ∆ABE = ∆ ADC)
� Cần chứng minh B
1
1

Lời giải

�  900  BAC
�  DAC

�  BAE
� , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt)
� DAC
a) Ta có BAE
� ∆ABE = ∆ ADC (c.g.c) � DC = BE

b) Gọi I là giao điểm của AB và CD, ta có I�1  I�2 (Hai góc đối đỉnh)
�  900 (∆ ADI vuông tại A) và B
�D
� (vì ∆ABE = ∆ ADC)
Và I�1  D
1
1
1
�  900 � DC  BC
� I�2  B
1

* Khai thác bài 1:


Từ bài 1 ta thấy: DC = BE và DC  BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có
∆ABD và ∆ ACE vng cân, Từ B kẻ BK  CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng
Ta có bài tốn 1.2
Bài 1.1: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vng góc và bằng AB; AE vng góc và bằng AC. Từ B kẻ BK  CD tại K
Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

Hướng dẫn: Từ bài 1 chứng minh được DC  BE mà BK  CD tại K suy ra ba điểm E, K,
B thẳng hàng
*Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA  BC từ
đó ta có bài tốn 1.2
Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vng góc và bằng AB; AE vng góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia MA. .
Trên tia đối AM, lấy điểm N. Chứng minh rằng:
a) BE = CD
b) AE//DN
c) MA  BC
Phân tích tìm hướng giải
Gọi H là giao điểm của tia MA và BC
Để chứng minh MA  BC
� ∆AHC vuông tại H
� ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác vuông bằng

∆AHC
Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN. Kẻ DQ  AM
tại Q
� ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)

� �
� �
ACB , BAC
ND = AC, N
ADN
1


∆ABC = ∆DNA (c.g.c)



Có AD = AB (gt)
� �
ND = AE (= AC) và BAC
ADN


∆MDN = ∆MEA (c.g.c)

�  ADN

BAC


�  BAC
�  1800
EAD  �
ADN  1800 vì EAD


Chứng minh AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
Lời giải: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC, trên tia AM lấy điểm N sao cho AM =
MN, kẻ DQ  AM tại Q
Ta có ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) vì:
�  DMN
� (hai góc đối đỉnh)
AM = MN; MD = ME (gt) và EMA
�  MAE


� DN = AE (= AC) và AE // DN vì N
(cặp góc so le trong)
1
� �
�  BAC
�  1800
� EAD
ADN  1800 (cặp góc trong cùng phía) mà EAD


�  ADN

� BAC

�  ADN

Xét ∆ABC và ∆DNA có: AB = AD (gt), AC = DN và BAC
(chứng minh trên)


� ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) � N1  ACB
� �
� �
ACB
Xét ∆AHC và ∆DQN có: AC = DN, BAC
ADN và N
1
� ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
� ∆AHC vuông tại H hay MA  BC


* Khai thác bài toán 1.3: Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  BC,
ngược lại nếu AH  BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE, ta có bài tốn 1.4
Bài 1.3: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vng góc và bằng AB; AE vng góc và bằng AC. Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A đến
BC. Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

Hướng dẫn:
Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau:
Kẻ DQ  AM tại Q, ER  AM tại R.
�  HBH

� )
Ta có: + DAQ
(Cùng phụ BAH
AD = AB (gt)
� ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn)
� DQ = AH (1)
� (cùng phụ CAH
� ); AC = AE (gt)
+�
ACH  EAR
� ∆AHB = ∆DQA (Cạnh huyền – góc nhọn)
� ER = AH (1). Từ (1) và (2)
� ER = DQ
� M
� (hai góc đối đỉnh)
Lại có M
1
2
� ∆QDM = ∆REM (g.c.g)

� MD = ME hay M là trung điểm của DE
Từ bài 1.3, ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA  DE , ngược lại nếu H là trung
điểm của BC thì tia KA sẽ vng góc với DE, ta có bài tốn 1.4
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vng góc và bằng AB; AE vng góc và bằng AC. Gọi H trung điểm của BC. Chứng minh rằng
tia HA vng góc với DE.
Hướng dẫn: Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4
Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’
Dễ chứng minh được ∆AHC = ∆A’HB (g.c.g)
�  HA
� 'B
� A’B = AC (= AE) và HAC
� AC // A’B
� �
� BAC
ABA '  1800 (cặp góc trong cùng phía)
�  BAC
�  1800 � DAE
� �
Mà DAE
ABA '
Xét ∆DAE và ∆ABA’ có: AE = A’B, AD = AB (gt)
� �
DAE
ABA ' � ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)
�AA '
��
ADE  B
�AA '  900 � �
�  900

Mà �
ADE  B
ADE  MAD
Suy ra HA vng góc với DE
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC
lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.


c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên
cạnh BC
* Phân tích tìm lời giải
a) DM = EN


∆BDM = ∆CEN (g.c.g)



BD = CE (gt), D  E  900 (MD, NE  BC)
�  CBA
� (∆ABC cân tại A)
BCA

b) Để chứng minh đường thẳng BC cắt MN tại
trung điểm I của MN
IM = IN



∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
c) Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống
BC, O là giao điểm của AH với đường thẳng vng
góc với MN kẻ từ I � Cần chứng minh O là điểm
cố định
O là điểm cố định


OC  AC



OAC  OCN  900

�  OCA

�  OCM

và OBM
OBA


∆OBM = ∆OCN (c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
* Khai thác bài 2: Từ bài 2 ta thấy BM = CN, vậy ta có thể phát biểu lại bài tốn như sau:
Bài 2.1. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy
điểm N sao cho BM = CN. Đường thẳng BC cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của MN
b) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln đi qua một điểm cố định khi D thay đổi
Lời giải: Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MD  BC (D �BC) NE  BC (E �BC)

Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A,
K là trung điểm của cạnh BC. Qua K kẻ
đường thẳng
vng góc với AK, đường thẳng này cắt các
đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E
Gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng: AI  BC
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được khơng?
vì sao
*Phân tích tìm lời giải
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI
AI  BC


A1  �
ACK  900


�  900
Có �
AEK  EAK



� �
A1  �
AEK và �
ACK  CAK



∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
b) Để so sánh DE với BC � cần so sánh IE với CK (vì 2.IE = DE, 2CK = BC)


So sánh AI với AK (vì AI = IE, AK = CK) Có AI �AK
Lời giải :
a) Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K

�  900
� cần chứng minh �
A1  �
AEK và �
mà �
ACK  CAK
AEK  EAK
��
A1  �
ACK  900 � AI  BC
b) ta có BC = 2 CK = 2AK (CK = AK), DE = 2IE = 2.AI (AI = IE)
Mà AI �AK  DE BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vng cân tại A
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung
điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vng góc
với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC
lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a)

EF 2
 AH 2  AE 2
4



�.
b) 2BME
�
ACB  B
c) BE = CF
Lời giải
a) Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vng AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2
Mà  AHE =  AHF (g-c-g) nên HF =

1
EF 2
 AH 2  AE 2
EF; AF = AE. Suy ra:
2
4

�F

b) Từ AEH  AFH Suy ra E
1
� �

Xét CMF có �
ACB là góc ngồi suy ra CMF
ACB  F
� là góc ngồi suy ra BME
� E
�B


BME có E
1
1
�  BME
�  (�
�)  ( E
� B
�)
ACB  F
Vậy CMF
1

� �
� ().
hay 2BME
ACB  B

�F

c) Từ AHE  AHF Suy ra AE = AF và E
1
Từ C vẽ CD // AB (D � EF)
=> BME  CMD( g  c  g ) � BE  CD (1)
�  CDF

� F
� � CDF cân
Lại có: E
(cặp góc đồng vị) Do đó CDF
1

� CF = CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF


Bài 5: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn
.Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a) Chứng minh rằng: BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng
minh M, A, N thẳng hàng.
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt
là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Chứng minh BH + CK �
BC
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

*Phân tích tìm lời giải
a) Để chứng minh BE = CD


Cần chứng minh  ABE =  ADC (c.g.c)
b) Để chứng minh M, A, N thẳng hàng.


�  BAM
�  1800
Cần chứng minh BAN

�  NAD
�  1800 � Cần chứng minh MAB
�  NAD


Có BAN
�  NAD

Để chứng minh MAB


Cần chứng minh  ABM =  ADN (c.g.c)
c) Gọi là giao điểm của BC và Ax
� Để chứng minh BH + CK �BC


Cần chứng minh BH �BI ; CK �CI Vì BI + IC = BC
d) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I, do đó Ax vng góc với BC
Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường
cao AH. ở miền ngồi của tam giác ABC ta vẽ các tam
giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc
vng. Kẻ EM, FN cùng vng góc với AH (M, N
thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.

*Phân tích tìm lời giải
a) Để chứng minh EM + HC = NH


Cần chứng minh EM = AH và HC = AN
+ Để chứng minh EM = AH
� cần chứng minh ∆AEM =∆BAH (cạnh huyền – góc nhon)



+ Để chứng minh HC = AN
� cần chứng minh ∆AFN =∆CAH (cạnh huyền – góc nhon)
b) Để chứng minh EN // FM


� N (cặp góc so le trong)
AEF  EF

Gọi I là giao điểm của AN và EF
�N
� để chứng minh �
AEF  EF


Cần chứng minh ∆MEI = ∆NFI (g.c.g)
Bài 7: Cho tam ABC vuông tại A, đường cao
AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D
sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao
cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với
AC cắt đường thẳng AH tại E.
Chứng minh: a) ∆AFI = ∆ ACI

b) AE = BC

* Phân tích tìm lời giải : Gọi F là giao điểm của BA và IE
� để Chứng minh AE = BC cần chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB

Để chứng minh: ∆AFE = ∆ CAB



� C  BAC
�  900 (1); EAF
� �
Cần chứng minh AF = AC (2); AF
ACB (3)
� C  BAC
�  900
+ Để chứng minh (1): AF


�  900
Chứng minh CI // AE vì có FI // AC và BAC
� Để chứng minh CI // AE



Chứng minh ∆AMB = ∆ DMC (c.g.c)
+ Để chứng minh (2): AF = AC


C/m ∆AFI = ∆ ACI (Cạnh huyền – góc nhọn)
� �
� )
+ Chứng minh (3): EAF
ACB (vì cùng phụ HAC

*Khai thác bài toán:



Từ bài 7 ta thấy AH �AM � HE �AM + BC = 3AM (vì AM = MB = MC)
Vậy HE lớn nhất = 3AM =

3
BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vng cân
2

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng
vng góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F.
Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) BE = CF
c) AE 

AB  AC
2

* Phân tích tìm lời giải
a) Để chứng minh AE = AF


∆ANE = ∆ ANF (c. g. c)
Hoặc ∆AEF cân tại A
(Có AH vừa là tia phân giác, vừa là đương cao)
b) Để chứng minh BE = CF
� cần tạo tam giác chứa BE(hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF

+ Kẻ BI // AC � ∆MBI = ∆MCF (c. g. c)
�  BEI


� �
� Để chứng minh BE = CF � ∆ BEI cân tại B � E
� Có BIE
ABF (cặp góc
�  AF
� E vì ∆AEF cân tại A
đồng vị) mà E

c) AB + AC = AB + AF + CF =(AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF
� 2AE = AB + AC hay AE 

AB  AC
2

Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các
điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao
điểm của DE với AB và AC.
a) Chứng minh: Tam giác ADE cân tại A
b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?
*Phân tich tìm hướng giải
- Xét TH góc A < 900
a) Để chứng minh ∆ ADE cân tại A
� cần chứng minh: AD = AH = AE

(Áp dụng tính chất đường trung trực)
b) Dự đoán CI  IB, BK  KC
Do IB, KC tia phân giác góc ngồi của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do

AHC  900 nên HClà tia phân giác ngoài đỉnh H. Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H và K của ∆



HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK, do đó IB  IC, Chứng minh tượng tự
Zta có BK  KC
- Xét TH góc A > 900
* Khai thác bài toán:
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của
D’M, AC là trung trực của ME’. Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có. Từ đó ta có bài
tốn sau:
Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E
trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ
nhất.
HD. Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được
vị trí điểm M trên cạnh BC.

�  200 , vẽ tam giác
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có A
đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc
ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

Hướng dẫn:
a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)
�  DAC
� Do đó DAB
�  200 : 2  100
suy ra DAB
b)  ABC cân tại A, mà �
ABC  (1800  200 ) : 2  800
A  200 (gt) nên �

�  600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
 ABC đều nên DBC
suy ra �
ABD  800  600  200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên �
ABM  100
� �
�  100
Xét tam giác ABM và BAD có:AB cạnh chung ; BAM
ABD  200 ; �
ABM  DAB
Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác
góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vng góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E
sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở
K. Chứng minh rằng :
a) BA = BH
�  450
b) DBK
c) Cho AB = 4 chứng minh, tính chu vi tam giác DEK
Hướng dẫn: a) Chứng minh ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền – góc nhọn)


b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK, cắt EK tại I
Ta có: �
ABI  900 , chứng minh ∆HBK = ∆IBK (cạnh huyền – cạnh góc vng)
�B
� mà B
�B
� � DBK
�  450

� B
3
4
1
2

c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = ….. = 2.4 = 8 chứng minh
�  450 thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì
* Từ bài ta thấy khi DBK
�  450 . Ta có bài tốn sau:
ta cũng chứng minh được DBK

Bài 12.1. Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm
P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.
Hướng dẫn
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A, BH vng góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M
bất kì (khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vng góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB.
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.

c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh
BC đi qua trung điểm của DK.

Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1)
+) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH
BH không đổi  MD + ME không đổi (đpchứng minh)
Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh: BD = FM = EH = CK

+) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ(cạnh tương ứng)
�  IKQ
� ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(điều phải chứng minh)
+) Chứng minh: IDP
�  750 , �
� cắt cạnh
Bài 14: Cho tam giác ABC có BAC
ABC  350 . Phân giác của góc BAC
BC tại D. Đường thẳng qua A và vng góc với AD cắt tia BC tại E. Gọi M là trung điểm của
DE. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ACM là tam giác cân
b) AB 

AD  AE
2

c) Chu vi tam giác ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE .


Lời giải:
0

�  CAD
�  75  37030' � �
�  72030'
Ta có: BAD
ADM  �
ABD  BAD
2

(Góc ngồi của tam giác ABD );
Tam giác DAE vng có AM là trung tuyến nên MAD cân tại M , do đó

AMD  1800  2.�
ADM  1800  1450  350 (1)
Trong tam giác ABC , ta lại có

�  750 , �
� �
BAC
ABC  350 � �
ACB  700 � CAM
ACB  �
AMC  350 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ACM cân
b) Theo ý a, ta có: �
ABM  �
AMB  350 � AB  AM (3)
Mặt khác: AM 

1
DE (Trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông) Mà
2

AD  AE (4)
2
AD  AE
Từ (3) và (4) � AB 
(đpchứng minh)
2

c) Ta có: AC  CM ( ACM cân), MA  ME (AME cân)
Và AM  AB (ABM cân): BE  BC  CA  AB

DE  AD  AE � AM 

Bài 15. Do đó Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt
phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD
vng góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ
AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vng góc
với AC và AE = AC.
1) Chứng minh rằng BE = CD .
2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại
H. Chứng minh MA  BC
3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài
đoạn thẳng HC theo a, b, c ?

1) (1,5 điểm). Chứng minh : BE = CD


�  DAB
�  BAC

+ Ta có DAC
(Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC)
�  900
Mà BAD
(Vì AB  AD tại A)
�  900  BAC

Nên DAC

(1)
�  CAE
�  BAC

+ Ta có BAE
(Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE)
0

Mà CAE  90
(Vì AE  AC tại A)
�  900  BAC

Nên BAE
(2)


Từ (1) và (2) suy ra BAE  DAC
Xét ∆ ABE và ∆ ADC có :
�  DAC

AB = AD (GT); BAE
(chứng minh trên) AE = AC (GT)
Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c)
� BE = CD (vì là hai cạnh tương ứng)
2) Chứng minh: MA  BC
+Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN
Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F
Xét ∆ MAE và ∆ MDN có :
�  DMN


MN = MA (Vì M là trung điểm của AN); AME
(chứng minh trên)
ME = MD (Vì M là trung điểm của DE)
Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c)
Suy ra AE = DN (vì là hai cạnh tương ứng)


và NDM
(vì là hai góc tương ứng)
 MEA

� ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN
Mà NDM
và MEA
Nên AE // DN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
�  DAE
�  1800 (Vì là hai góc trong cùng phía) (3)
Suy ra ADN
� +DAB
� +�
� = 3600
+ Ta lại có : DAE
BAC + EAC
� + BAC
� = 1800 (Vì DAB
�  EAC
�  900 ) (4)
Hay DAE

Từ (3) và (4) � ADN

= �
BAC
+ Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT)
Nên AC = DN

Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT); ADN
= �
BAC (chứng minh trên)
AC = DN (chứng minh trên)
Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c)
� = ACB

� = ACB

Suy ra DNA
(vì là hai góc tương ứng) hay DNF
� + BAD
� +�
Ta có DAF
BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)
� +�
�  900 )
Hay DAF
(5)
BAH = 900 (Vì BAD
Trong ∆ ADF vng tại F có :
� +�
(6)
FDA
DAF = 900 (Vì là hai góc phụ nhau)


Từ (5) và (6) � FDA
=�
BAH



+ Ta có ADN = NDF + FDA (Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN)
� = HAC
� + BAH

(Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC)
BAC



Mà ADN = BAC và FDA
=�
BAH (chứng minh trên)
� = HAC

Nên NDF
� = HAC

Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : NDF
(chứng minh trên)
� = ACB

AC = DN (chứng minh trên) và DNF
(chứng minh trên)

Do đó∆ AHC =∆ DFN (g - c - g)
� = AHC

Suy ra DFN
(vì là hai góc tương ứng)
0
� = 90 (Vì DE  MA tại F) nên AHC
�  900
Mà DFN


Suy ra MA  BC tại H (đpcm)
3). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c
+ MA  BC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H; ∆ AHC vuông tại H
Đặt HC = x � HB = a - x (Vì H nằm giữa B và C)
+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vng AHB và AHC ta có:
AH2 = AB2 - BH2 và AH2 = AC2 - CH2
� AB2 - BH2 = AC2 - CH2
� c2 - (a - x)2 = b2 - x2
Từ đó tìm được HC = x =

a2  b2  c2
2a

III. Bài tập tự giải
Bài 1. Cho  ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, lấy điểm I năm giữa M và
C. Kẻ BE và CH cùng vng góc với đường thẳng AI (H, E  AI). Chứng minh rằng.
a) BE = AH
b) ΔMAE = ΔMCH
c) ΔMEH vuông cân

Bài 2. Cho M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC của tam giác ABC. Các
đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN lần lượt tại
D và E các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh:
a) BD  AP; BE  AQ;
b) B là trung điểm của PQ
c) AB = DE
Bài 3. Trong giờ hình học, bạn Qua ra đề tốn như sau: Cho hai cạnh góc vng của tam
giác vuông tỉ lệ với 3 và 4, cạnh huyền có độ dài là 20 chứng minh
Em hãy cùng các bạn tính hai cạnh góc vng của tam giác ?
Bài 4. Cho ABC có Aˆ > 900. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia IB lấy
điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
a) Chứng minh AIB CID
b) Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là trung điểm
của MN

c) Chứng minh: �
AIB  BIC
d) Tìm điều kiện của ABC để AC  CD
Bài 5. Cho tam giác cân AB tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên Tia của tia BC lấy điểm
E sao cho BD = BE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M
và N. Chứng minh:
a) DM = ED
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm cố định khi D thay đổi
trên BC.
�=C
� = 500 . Gọi K là điểm trong tam giác sao cho
Bài 6: Cho tam giác ABC có B

� = 100

KBC

� = 30 0
KCB

a) Chứng minh BA = BK.


b) Tính số đo góc BAK.
Bài 7. Cho  ABC có các góc nhỏ hơn 120 0. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác
đều ABD, ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng:
�  1200
a) BMC
�  1200
b) AMB
Bài 8: Cho tam giác ABC vng tại A. Vẽ về phía ngồi tam giác ABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:

a) BE = CD
b) V BDE là tam giác cân
�  600 và IA là tia phân giác của DIE

c) EIC

Bài 9: Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù).
Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối
của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
Câu 1: Chứng minh:
a) ABD  ICE
b) AB + AC < AD + AE

Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vng góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại
M; N. Chứng minh BM = CN.
Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 10 (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vng góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa
điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC.
a) Chứng minh: BD = CE
b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: ADE = CAN.

AD 2  IE 2
c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh:
1
DI 2  AE 2
Bài 11: Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M
và vng góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng

�.
minh: a) EH = HF.
b) 2BME
�
ACB  B
c)

EF 2
 AH 2  AE 2
4

EIC 60và IA là tia phân giác củ

d) BE = CF




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×