Tải bản đầy đủ (.pdf) (39 trang)

Về tính chất cofinite và tính chất không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (429.99 KB, 39 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THÁI SƠN

VỀ TÍNH CHẤT COFINITE
VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU
CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THÁI SƠN

VỀ TÍNH CHẤT COFINITE
VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU
CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2020



Thái Nguyên, năm 2018


Lời cảm ơn
Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân,
tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình. Nhân
đây tơi xin được gửi lời cảm ơn. Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn q Thầy
Cơ trong khoa tốn trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên và
quý Thầy Cô của viện toán học Việt Nam đã truyền thụ và giảng dạy những
kiến thức bổ ích, làm nền tảng cho tơi trong q trình nghiên cứu luận văn
này. Và hơn hết, tơi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn
Văn Hồng, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên
cứu khoa học và tạo mọi điều kiện để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng
chấm luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận
xét q báu để luận văn của tơi được hồn thiện. Bên cạnh sự chỉ dạy của
thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình và bạn bè. Xin chân
thành cảm ơn mọi người.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực
và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.


ii


Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Tập Ass, Supp của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Độ sâu, chiều và hệ tham số của môđun . . . . . . . . . . .

6


1.4

Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Môđun I -cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Về tính chất cofinite và tính chất khơng triệt tiêu của mơđun
đối đồng điều địa phương
14
2.1

Môđun đối đồng điều địa phương trên vành đầy đủ . . . . .

14

2.2


Môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương Noether. 18

2.3

Môđun đối đồng điều địa phương của iđêan sinh bởi một phần
hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

32

iii


MỞ ĐẦU
Như giả thiết, vành R là vành giao hoán Noether có phần tử đơn vị
khác với phần tử khơng. Với mỗi iđêan I của R và mỗi R-môđun M , khái
niệm môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với giá I được định
nghĩa bởi công thức
i
n
HIi (M ) = lim
Ext
(R/I

, M ).
R
−→
n

Những kiến thức chi tiết hơn về lớp môđun đối đồng điều địa phương được
trình bày trong các tài liệu [5], [7].
Trong bài báo [9], C. Huneke đã nêu câu hỏi sơ khai như sau:
Cho W = {depth(Mp ) + ht(I + p)/p : I
p ∈ Supp M }. Khi đó phát
biểu sau đây liệu có đúng hay khơng: 0 ≤ n ∈
/ W nếu và chỉ nếu HIn (M ) là
R-môđun hữu hạn sinh?
Liên quan đến câu hỏi sơ khai này, ta có thể xem thêm trong bài báo
[12]. Năm 2014, Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami [3] chứng minh được
một kết quả tương tự cho câu hỏi đã nêu trên trong trường hợp R là một
vành địa phương đầy đủ và I là iđêan cực đại của R.
Năm 1969, Grothendieck đã nêu giả thuyết rằng, nếu I là một iđêan
của R và M là R-mơđun hữu hạn sinh, thì R-mơđun HomR (R/I, HIi (M ))
là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. R. Hartshorne đã xây dựng một phản ví
dụ cho giả thuyết này [8]; đồng thời, ông cũng định nghĩa một môđun T là
I -cofinite nếu Supp T ⊆ Var(I) và ExtiR (R/I, T ) là hữu hạn sinh với mọi
i ≥ 0, và ông cũng hỏi câu hỏi sau đây.
Với những vành R và iđêan I nào thì các mơđun HIi (M ) là I -cofinite với
mọi i và mọi môđun hữu hạn sinh M ?
Hartshorne đã chứng minh rằng, nếu I là một iđêan của vành địa
phương chính quy đầy đủ R và M là R-môđun hữu hạn sinh, thì HIi (M ) là
I -cofinite trong hai trường hợp sau đây:

• (i) I là iđêan chính (xem [8, Hệ quả 6.3]),

• (ii) I là iđêan nguyên tố với dim R/I = 1 (xem [8, Hệ quả 7.7]).
Chủ đề này được tiếp tục nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác sau đó (xem
1


[1], [4], [6], [10], [14], [20]).
Trong bài báo [3], Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami đã chứng minh
được một số kết quả mới liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương
cofinite và tính triệt tiêu của một số mơđun đối đồng điều địa phương.
Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại những kết quả
được trình bày trong bài báo [3], một số kiến thức bổ trợ ở Chương 1 được
tham khảo ở các cuốn sách [5] và [15], ngoài ra một số kiến thức bổ sung
cần thiết khác được dùng trong Chương 2 được tham khảo trong các tài
liệu còn lại.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở nền tảng để người
đọc dễ theo dõi các kiến thức được trình bày ở Chương 2. Chương này trình
bày vắn tắt về tập Ass, Supp, môđun Ext, độ sâu, chiều, hệ tham số, môđun
đối đồng điều địa phương, vành và môđun Cohen - Macaulay. Ta giả thiết
chung ở đây rằng R là vành giao hoán Noether có đơn vị khác phần tử khơng.
Những kiến thức ở chương này chủ yếu được tham khảo từ các cuốn sách:
“Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications”
của M. P. Brodmann - R. Y. Sharp (1998) (xem [5]) và “Commutative ring
theory” của H. Matsumura (1986) (xem [15]), ngoài ra mục cuối của chương

này nhắc lại một số kiến thức về tính chất cofinite của mơđun (trích trong
một số bài báo [18], [2], [8]).

1.1

Tập Ass, Supp của môđun

Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của R được
gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao
cho annR (x) = p (để ý rằng, vì p = R nên x = 0). Tập tất cả các iđêan
nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssR (M ) (hoặc Ass M ) và gọi là tập
iđêan nguyên tố liên kết của M .
Định nghĩa 1.1.2. Cho M là R-mơđun. Tập giá của mơđun M kí hiệu là
Supp(M ), được xác định bởi công thức

Supp M = {p ∈ Spec(R) : Mp = 0}.

3


Nhận xét 1.1.3. Cho I là iđêan của R. Ta đặt

Var(I) = {p ∈ Spec(R) : p ⊇ I}.
Nếu M là R−mơđun hữu hạn sinh thì

Supp M = Var(ann(M )),
trong đó ann(M ) = (0 :R M ). Rõ ràng ta có

Supp(R/I) = Var(I).
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối đại trong

tập các iđêan linh hóa tử của các phần tử 0 = x ∈ M. Khi đó p là một iđêan
nguyên tố. Do đó p ∈ Ass M .
Hệ quả 1.1.5. Nếu R là một vành Noether và M là một R-mơđun khác 0,
thì tồn tại một iđêan ngun tố liên kết của M . Do đó trong trường hợp này
Ass M = ∅ khi và chỉ khi M = 0.
Hệ quả 1.1.6. Nếu R là một vành Noether và M là một R-mơđun Noether
khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con

0 = Mr ⊆ Mr−1 ⊆ . . . ⊆ M2 ⊆ M1 = M
sao cho mỗi mơđun thương Mi /Mi+1 đẳng cấu với R/pi trong đó pi là một
iđêan nguyên tố nào đó của R.
Định nghĩa 1.1.7. Cho M là R-môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là ước
của không của M nếu tồn tại 0 = m ∈ M sao cho xm = 0. Tập tất cả các
ước của khơng của M được kí hiệu là ZdvR (M ).
Mệnh đề 1.1.8. Cho R là vành Noether, M là một R-mơđun khác 0. Khi
đó tập các ước không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết
của M . Nói cách khác, ta có

ZdvR (M ) =

p.
p∈Ass M

Mệnh đề 1.1.9. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh,
N là một R-mơđun bất kì. Khi đó

AssR (HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M ).

4



1.2

Môđun Ext

Định nghĩa 1.2.1 (Môđun mở rộng). Cho n là số tự nhiên và M, N là các
R-môđun. Hàm dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −)
được gọi là hàm tử mở rộng thứ n, kí hiệu ExtnR (M, −). Khi đó ExtnR (M, N )
được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N . Cụ thể hơn, môđun mở rộng
ExtnR (M, N ) được xác định bằng cách như sau: Lấy
α

u

u

u

0 → N → E0 →0 E1 →1 E2 →2 . . .
là một giải nội xạ của R-môđun N . Tác động hàm tử HomR (M, −) vào dãy
khớp trên ta được đối phức
u∗0

u∗1

u∗2

0 → HomR (M, E0 ) → HomR (M, E1 ) → HomR (M, E2 ) → ...
Khi đó, với n ≥ 1, ta đặt


ExtnR (M, N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 .
Đặc biệt, do HomR (M, −) là hàm tử khớp trái, nên ta có

Ext0R (M, N ) = Ker u∗0 /0 ∼
= HomR (M, N ).
Nhận xét 1.2.2. (i) Việc xây dựng môđun Ext không phụ thuộc vào việc
chọn giải nội xạ của N .
(ii) Mơđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo hai cách: nó vừa là
mơđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) ứng với
môđun N , vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử phản biến
HomR (−, N ) ứng với môđun M .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của mơđun Ext.
Hệ quả 1.2.3. Cho P là R-môđun xạ ảnh và E là R-môđun nội xạ. Khi
đó ExtnR (M, E) = 0 và ExtnR (P, M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi số tự
nhiên n ≥ 1.
Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu M và N là các R-mơđun hữu hạn sinh thì
ExtnR (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
(ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0,
tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (M, N ) → Extn+1
R (M, N ) sao cho ta có dãy
khớp dài cảm sinh:

0 → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N )
5


→ Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → ...
(iii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N → N → N → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0,
tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (N , M ) → Extn+1
R (N , M ) sao cho ta có dãy

khớp dài cảm sinh

0 → Hom(N , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1R (N , M )
→ Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N , M ) → ...
1.3

Độ sâu, chiều và hệ tham số của môđun

Định nghĩa 1.3.1. Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất
cả độ dài của các xích của các iđêan nguyên tố trong R, chiều Krull của R
được kí hiệu là dim R.
Định nghĩa 1.3.2. Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó dim Rp
được gọi là độ cao của p, kí hiệu bởi ht(p). Số dim(R/p) được gọi đối độ cao
của p, kí hiệu là Coht(p). Với iđêan I của R thì độ cao của I được xác định
bởi ht(I) = inf {ht(p)}, còn đối độ cao của I là Coht(I) = sup{Coht(p)}.
p⊇I

p⊇I

Định nghĩa 1.3.3. Cho M là một R-mơđun. Khi đó chiều Krull của M
được kí hiệu là dim M , được xác định bởi dim M = dim(R/ ann M ) nếu
M = 0, và nếu M = 0 thì ta quy ước dim M = −1.
Định lý 1.3.4. Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là một vành
Noether có chiều Krull dim R = 0.
Định lý 1.3.5. Cho M là một R-môđun khác không và hữu hạn sinh trên
vành Noether R. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi chiều Krull
dim(R/ ann M ) = 0.
Định nghĩa 1.3.6. Cho (R,m) là một vành địa phương Noether với
iđêan cực đại m, và M là một R-môđun hữu hạn sinh và khác khơng.
Chiều Chevalley, kí hiệu s(M ) của M , là số nhỏ nhất r sao cho tồn tại

a1 , a2 , . . . , ar ∈ m để R (M/(a1 , a2 , . . . , ar )M ) < ∞. Nếu M là mơđun
khơng, thì người ta quy ước s(M ) = −1.
Định lý 1.3.7. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành địa
phương Noether R. Khi đó, ta có dim M = s(M ).
6


Định nghĩa 1.3.8. Cho (R, m) là một vành giao hoán, địa phương, Noether
với iđêan cực đại duy nhất m, M là một R-mơđun hữu hạn sinh có chiều
Krull dim M = d > 0.
(i) Một hệ gồm d phần tử x = (x1 , . . . , xd ) của m được gọi là hệ tham số
của M nếu (M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞.
(ii) Iđêan sinh bởi một hệ tham số gọi là iđêan tham số.
(iii) Nếu x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của mơđun M thì hệ các phần
tử x1 , . . . , xi được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1, . . . , d − 1.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số dùng trong luận
văn.
Mệnh đề 1.3.9. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của một môđun M
cũng là một hệ tham số của M .
(ii) Nếu x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của một mơđun M thì
dim M/(x1 , . . . , xi )M = d − i,với mọi i = 1, . . . , d.
(iii) x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của một môđun M khi và chỉ khi
xi ∈
/ p với mọi p ∈ Ass(M/(xi , . . . , xi−1 )M ) mà dim R/p = d − i + 1 với
mọi i = 1, . . . , d.

1.4

Môđun đối đồng điều địa phương
Với mỗi môđun con N của R-môđun M , ta đặt


(N :M I) = {m ∈ M | Im ⊆ N }.
Dễ thấy, (N :M I) là một môđun con của M và N ⊆ (N :M I).
Mệnh đề 1.4.1. Cho I, J là các iđêan của R thỏa mãn I ⊆ J . Khi đó

(N :M J) ⊆ (N :M I).
Chứng minh. Lấy m ∈ (N :M J) bất kì. Khi đó, Jm ⊆ N , suy ra Im ⊆ N ,
hay m ∈ (N :M I).
Trường hợp đặc biệt khi N là môđun khơng. Từ mệnh đề trên ta có
Định nghĩa 1.4.2. Cho M là R-mơđun, I là iđêan của R. Khi đó

ΓI (M ) = ∪n∈N (0 :M I n ) = {m ∈ M | ∃n ∈ N để I n m = 0}
7


là một môđun con của M và được gọi là mơđun con I -xoắn của M .
Trong phần cịn lại của mục này ta luôn giả thiết I là iđêan của vành
giao hoán Noether R.
Định nghĩa 1.4.3. Cho M là một R-môđun và
d0

η

d2

d2

C : 0 → M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . .
là một dải nội xạ của M . Khi đó ta phức
ΓI (d0 )


ΓI (d1 )

ΓI (d2 )

ΓI (C) : 0 → ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ . . .
Đặt

HIn (M ) = H n (ΓI (C)) = Ker ΓI (dn )/ Im ΓI (dn−1 ).
Lúc này ta gọi HIn (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của M
ứng với I .
Tiếp theo, ta sẽ đưa ra điều kiện để nhận biết khi nào môđun đối
đồng điều địa phương bị triệt tiêu. Trước hết ta cần một số khái niệm sau.
Định nghĩa 1.4.4. Cho M là R-môđun và I là iđêan của R. Khi đó, ta
nói M là mơđun I -xoắn nếu M = ΓI (M ).
Mệnh đề 1.4.5. Các mệnh đề sau là đúng.
(i) Nếu M là R-mơđun thì ΓI (M ) là môđun I -xoắn.
(ii) Môđun con và ảnh đồng cấu của môđun I -xoắn cũng là môđun I -xoắn.
(iii) Nếu M là R-mơđun hữu hạn sinh thì M là I -xoắn khi và chỉ khi tồn
tại n ∈ N sao cho I n M = 0.
Chứng minh. (i) Lấy m ∈ ΓI (M ). Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0.
Suy ra m ∈ (0 :ΓI (M ) I n ). Do đó m ∈ ΓI (ΓI (M )). Do đó ΓI (M ) ⊆
ΓI (ΓI (M )).
(ii) Với mọi môđun con N của M ta có ΓI (N ) = N ∩ ΓI (M ). Vì M là I xoắn nên N là I -xoắn. Giả sử f : M −→ N là đồng cấu của các R-mơđun,
khơng mất tính tổng qt, ta giả sử f là tồn cấu. Ta có với mọi y ∈ N
tồn tại m ∈ M sao cho y = f (m), vì M là I -xoắn nên tồn tại n ∈ N để
I n m = 0, suy ra I n y = I n f (m) = f (I n m) = f (0) = 0. Suy ra y ∈ ΓI (N ).

8



(iii) Vì R là vành Noether mà M là hữu hạn sinh trên R, nên M là mơđun
Noether. Do đó dãy tăng (0 :M I) ⊆ (0 : M I 2 ) ⊆ . . . phải dừng, tức là tồn
tại n để (0 :M I n ) = (0 :M I n+i ) với mọi i ≥ 1. Khi đó M = (0 :M I n ), tức
là I n M = 0.
Mệnh đề 1.4.6. Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-mơđun.
Khi đó HIn (M ) là I -xoắn với mọi n ∈ N.
Chứng minh. Từ định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương. Ta có:

HIn (M ) = Ker dn / Im(ΓI (dn−1 )) ⊆ ΓI (E n )/ Im(ΓI (dn−1 )).
Áp dụng mệnh đề (1.4.5) ta được điều phải chứng minh.
Định lý 1.4.7. I là iđêan của vành Noether R và M là R-mơđun I -xoắn.
Khi đó HIn (M ) = 0 với mọi n ≥ 1.
Chứng minh. Vì M có lời giải nội xạ gồm các môđun I -xoắn. Áp dụng Mệnh
đề (1.4.6), với n > 0 ta có

HIn (M ) = Ker(ΓI (dn ))/ΓI (Im(dn−1 )) = Ker dn / Im dn−1 = 0.

Hệ quả 1.4.8. Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun và
N ⊆ M là môđun con I -xoắn. Đặt p : M −→ M/N là phép chiếu chính
tắc. Khi đó
(i) HI0 (p) : HI0 (M ) −→ HI0 (M/N ) là toàn cấu.
(ii) HIn (p) : HIn (M ) −→ HIn (M/N ) là đẳng cấu với mọi n ≥ 1.
p

Chứng minh. Xét dãy khớp 0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0. Ta có dãy
khớp dài các mơđun đối đồng điều địa phương
H 0 (p)

I

0 → HI0 (N ) −→ HI0 (M ) −→
HI0 (M/N )

H 1 (p)

δ

I
→ HI1 (N ) −→ HI1 (M ) −→
HI1 (M/N ) → . . . HIn−1 (M/N )

δ



HIn (N )

−→

HIn (p)
n
HI (M ) −→

HIn (M/N ) −→

Áp dụng Định lí 1.4.7 ta có HIn (N ) = 0 với mọi n > 0. Từ đó ta có điều
phải chứng minh.
Hệ quả 1.4.9. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun. Đặt M =
M/ΓI (M ). Khi đó HI0 (M ) = 0 và HIn (M ) ∼
= HIn (M ) với mọi n ≥ 1.

9


Chứng minh. Vì ΓI (M ) là I -xoắn nên HIn (ΓI (M )) = 0 với mọi n ≥ 1. Lập
luận tương tự Hệ quả 1.4.8 ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.4.10. ΓI (M ) = 0 khi và chỉ khi AssR (M ) ∩ Var(I) = ∅.
Chứng minh. Xét p ∈ AssR (M ) bất kì, khi đó tồn tại 0 = m ∈ M sao cho
p = ann(m). Mặt khác, vì ΓI (M ) = 0 nên I n m = 0 với mọi n ∈ N. Suy ra
I p hay p ∈
/ Var(I). Do đó AssR M ∩ Var(I) = ∅.
Ngược lại, giả sử tồn tại 0 = m ∈ ΓI (M ). Suy ra I ⊆ annR (m),
nên tồn tại p ∈ AssR (Rm) sao cho I ⊆ p. Vậy ta có p ∈ AssR (M ) ∩ Var(I)
và do đó AssR (M ) ∩ Var(I) = ∅.
Mệnh đề 1.4.11. Cho M là R−mơđun hữu hạn sinh. Khi đó
i) AssR (ΓI (M )) = AssR (M ) ∩ Var(I)
ii) AssR (M/ΓI (M )) = AssR (M ) \ Var(I).
Chứng minh. (i) Lấy p ∈ AssR (ΓI (M )). Vì ΓI (M ) là mơđun con của M nên
p ∈ AssR (M ). Vì M là Noether nên tồn tại n ∈ N sao cho I n ΓI (M ) = 0.
Suy ra I n ⊆ annR (ΓI (M )) ⊆ p. Do đó I ⊆ p, vì thế p ∈ Var(I).
Ngược lại, lấy p ∈ AssR (M ) ∩ Var(I). Khi đó có 0 = m ∈ M
để p = annR (m). Vì p ⊇ I , nên Im = 0. Do đó m ∈ ΓI (M ). Vì thế
p ∈ AssR (ΓI (M )).
(ii) Lấy p ∈ AssR (M ). Ta có p ∈ Ass(ΓI (M )) ∪ Ass(M/ΓI (M )). Nếu
p∈
/ Var(I), thì p ∈
/ Ass(ΓI (M )). Do đó p ∈ AssR (M/ΓI (M )).
Ngược lại, lấy p ∈ AssR (M/ΓI (M )). Vì ΓI (M/ΓI (M )) = 0 nên
Ass(M/ΓI (M )) ∩ Var(I) = ∅. Suy ra I
q với mọi q ∈ Ass(M/ΓI (M )).
Đặc biệt, ta cũng suy ra I

p. Do đó I
∪q∈AssR (M/ΓI (M )) q, nên tồn tại
x ∈ I mà x không là ước của không của M/ΓI (M ). Lấy m ∈ M sao cho
p = annR (m + ΓI (M )). Suy ra pm ⊆ ΓI (M ). Vì M là Noether, nên tồn tại
n ∈ N để I n ΓI (M ) = 0. Suy ra rằng p(Rxn m) = xn pm ⊆ I n ΓI (M ) = 0,
vì vậy p ⊆ (0 :R R(xn m)). Ngược lại, lấy a ∈ (0 :R R(xn m). Suy
ra aR(xn m) = a(xn m) = 0 ∈ ΓI (M ), vì vậy axn (m + ΓI (M )) = 0.
Do đó axn ∈ annR (m + ΓI (M )) = p. Vì x ∈
/ p, nên a ∈ p. Do vậy
n
(0 :R R(x m) = p, vì thế p ∈ AssR (M ). Ta thấy p ∈
/ Var(I). Vậy
p ∈ AssR (M ) \ Var(I).
Định nghĩa 1.4.12. Cho M là R-môđun. Một phần tử x ∈ R được gọi
là M -chính quy nếu xm = 0 với mọi 0 = m ∈ M . Một dãy các phần tử
10


x1 , . . . , xr ∈ R được gọi là một M -dãy chính quy (hay M -dãy) nếu hai điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 M )-chính quy, với mọi i = 1, . . . , r, và
(ii) M/(x1 , . . . , xn )M = 0.
Chú ý 1.4.13. x1 , . . . , xr ∈ R là M -dãy chính quy nếu và chỉ nếu
M/(x1 , . . . , xr )M = 0 và xi ∈
/ p với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , . . . , xi−1 )M ).
Định lý 1.4.14. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, r ∈ N. Khi đó các
điều kiện sau tương đương:
(i) Tồn tại M -dãy x1 , . . . , xr ∈ I .
(ii) HIi (M ) = 0 với mọi i < r.
Chứng minh. (i) => (ii) Ta chứng minh quy nạp theo r. Vì x1 khơng là

ước của khơng của M , nên ta suy ra Γ(x1 ) (M ) = ∪n∈N (0 : (x1 )n ) = 0. Mặt
M

khác HI0 (M ) = ΓI (M ) ⊆ Γ(x1 ) (M ). Suy ra HI0 (M ) = 0. Vậy khẳng định
đúng với r = 1.
Xét r > 1, khi đó vì x1 , . . . , xr−1 ∈ I là một M -dãy. Nên theo giả
thiết quy nạp HIi (M ) = 0 với mọi i < r − 1. Ta chỉ cần chứng minh
HIr−1 (M ) = 0. Vì vậy, từ dãy khớp
x

0 → M →1 M → M/x1 M → 0
ta có dãy khớp
x

HIr−2 (M/x1 M ) → HIr−1 (M ) → HIr−1 (M ).
Vì x2 , . . . , xr là M/x1 M -dãy chính quy. Áp dụng quy nạp ta được
x1
→ HIr−1 (M )
HIi (M/x1 M ) = 0 với mọi i < r − 1. Suy ra ánh xạ HIr−1 (M ) −
là đơn cấu. Do đó x khơng là ước của không của HIr−1 (M )); điều này cũng
đúng cho xn với mọi n ∈ N. Từ đó vì HIr−1 (M ) là I -xoắn và x ∈ I nên
HIr−1 (M ) = 0.

ii) => i). Điều kiện đủ: Giả sử HIi (M ) = 0 với mọi i ∈ {0, 1, . . . , r − 1}.
Ta phải tìm một M -dãy x1 , . . . , xr ∈ I . Ta có ΓI (M ) = HI0 (M ) = 0. Do
đó, AssR (M ) ∩ Var(I) = AssR (ΓI (M )) = AssR (0) = ∅, suy ra I
p với
mỗi p ∈ AssR (M ). Vì AssR (M ) là hữu hạn nên theo Định lý tránh nguyên
tố ta có I ∪p∈AssR (M ) p. Suy ra tồn tại x1 không là ước của không của M ,
tức là x1 là M -chính quy. Vậy trường hợp r = 1 được chứng minh.

11


Xét r > 1, ta có dãy khớp

HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/x1 M ) → HIi (M )
với mọi i ∈ N. Do đó HIj (M/x1 M ) = 0 với mọi j < r−1. Bằng quy nạp, tồn
tại M/x1 M -dãy x2 , . . . , xr trong I . Từ đó suy ra x1 , . . . , xr là M -dãy.
Chú ý 1.4.15. (i) Nếu IM = M và x1 , . . . , xr là M -dãy chính quy trong I .
Ta nói rằng x1 , . . . , xr là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại xn+1 ∈ I
sao cho x1 , . . . , xr , xr+1 là M -dãy có độ dài r + 1.
(ii) Nếu IM = M thì mọi dãy chính quy của M trong I đều mở rộng được
thành dãy chính quy cực đại của M trong I . Hơn nữa từ Định lý 1.4.14, ta
thấy mọi dãy chính quy cực đại của M trong I đều có cùng độ dài, độ dài
chung này gọi là độ sâu của M trong I , kí hiệu là depth(I, M ). Khi (R, m)
là vành địa phương Noether, và M là R-môđun, ta kí hiệu depth(m, M ) bởi
depth M .

1.5

Vành và môđun Cohen-Macaulay

Định nghĩa 1.5.1. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là Rmơđun. Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depth M =
dim M (khi M = 0). Khi vành (R, m) là R-mơđun Cohen-Macaulay thì ta
nói R là vành Cohen-Macaulay.
Sau đây là một số tính chất của mơđun Cohen-Macaulay.
Mệnh đề 1.5.2. Một R-môđun M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ
khi mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy của M .
Mệnh đề 1.5.3. Cho M là một R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó ta có
(i) dim R/p = d, với mọi p ∈ AssR M ;

(ii) Nếu (x1 , . . . , xi ) là dãy chính quy của M thì M/(x1 , . . . , xi )M cũng là
môđun Cohen-Macaulay;
(iii) Mp là môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ Supp M .
Mệnh đề 1.5.4. R-môđun M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi
HIi (M ) = 0 với mọi i = d.

12


1.6

Môđun I-cofinite

Phần này ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan về mơđun
I -cofinite, chúng được trình bày trong một số bài báo về tính chất cofinite.
Định nghĩa 1.6.1 (R. Hartshorne [8]). Cho R là vành, I là iđêan của
R và M là R-môđun. M được gọi là I -cofinite nếu Supp(M ) ⊆ V (I) và
ExtiR (R/I, M ) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.6.2. ([18, Hệ quả 3.4]) Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và
Supp(M ) ⊆ V (I). Khi đó, nếu (0 :M x) và M/xM là I -cofinite thì M là
I -cofinite.
Bổ đề 1.6.3. ([2, Bổ đề 2.1]) Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M
là R-môđun hữu hạn sinh, p là iđêan nguyên tố của R sao cho dim R/p = 1
và số nguyên t sao cho t ≥ 1. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmt (M ) là p-cofinite;
(ii) Hmt−1 (M ) là Artin;
(iii) (Hpt−1 (M ))p = 0.

13



Chương 2

Về tính chất cofinite và tính chất
khơng triệt tiêu của mơđun đối
đồng điều địa phương
Chương này sẽ trình bày về tính chất cofinite của mơđun đối đồng
điều địa phương và tính chất khơng triệt tiêu của mơđun đối đồng điều địa
phương trong một số trường hợp đặc biệt. Kiến thức của chương này được
tham khảo chính từ bài báo số [3]. Ngoài ra một số kiến thức bổ trợ để giải
thích cho các lập luận được trích dẫn từ một số bài báo còn lại ở mục tài
liệu tham khảo.

2.1

Môđun đối đồng điều địa phương trên vành đầy đủ

Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu tính chất hữu hạn của môđun đối
đồng điều địa phương trên vành địa phương Noether đầy đủ. Trước tiên ta
nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đầy đủ m-adic, tập iđêan nguyên tố gắn
kết (tham khảo từ các sách [5] và [15]).
Chú ý 2.1.1. (i) Cho (R, m) là một vành địa phương. Ta xét R như một
vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt với t = 0, 1, 2, . . ..
Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép
r + mt với t = 0, 1, 2, . . ..
ˆ được định
Khi đó vành đầy đủ theo tơpơ m-adic của R kí hiệu bởi R
nghĩa theo cách thơng thường bằng ngơn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy
14



Cauchy trong R là một dãy (rn ) các phần tử của R sao cho với mọi n, tồn
tại số tự nhiên n0 để rn − rm ∈ mt với mọi n, m > n0 .
Dãy (rn ) được gọi là hội tụ về không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự
nhiên n0 để rn ∈ mt với mọi n > n0 .
Hai dãy Cauchy (rn ) và (sn ) trong R được gọi là hai dãy tương đương,
kí hiệu là (rn ) ∼ (sn ) nếu (rn − sn ) là dãy hội tụ về không. Khi đó quan hệ
∼ trên tập các dãy Cauchy của R là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu
ˆ là tập các lớp tương đương của dãy Cauchy.
R
Chú ý rằng nếu (rn ) và (sn ) là các dãy Cauchy thì dãy (rn +sn ), (rn sn )
cũng là dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (rn + sn ), (rn sn ) không
phụ thuộc vào việc chọn đại diện của các lớp tương đương của các dãy (rn )
và (sn ), tức là nếu (rn ) ∼ (rn ) và (sn ) ∼ (sn ) thì (rn + sn ) ∼ (rn + sn ) và
ˆ được trang bị hai phép tốn hai ngơi là “+” và
(rn sn ) ∼ (rn sn ). Vì thế R
ˆ lập thành một vành giao hoán.
“.” đồng thời cùng với hai phép toán này R
Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy
Cauchy trong R mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một
ˆ r → (r), trong đó (r) là dãy mà
đơn cấu tự nhiên giữa các vành R → R,
tất cả các phần tử của nó đều là r, và (r) là lớp tương đương của dãy (r)
đối với quan hệ ∼.
Một vành địa phương (R, m) gọi là vành đầy đủ đối với tôpô m-adic
ˆ.
nếu R = R
(ii) Một R-môđun M được gọi là môđun thứ cấp nếu M = 0 và với mọi
x ∈ R ta có phép nhân bởi x trên M là tồn cấu hoặc lũy linh. Lúc đó, tập
{x ∈ R : xn M = 0, với n ∈ N} = p ∈ Spec R, và ta gọi M là p-thứ cấp.

Một biểu diễn thứ cấp của R-môđun N là biểu diễn dạng N =
N1 + N2 + . . . + Nt trong đó Ni là mơđun con pi -thứ cấp của N . Nếu N = 0
hoặc N có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói N biểu diễn được. Nếu các pi
đôi một khác nhau và khơng có Ni nào thừa thì biểu diễn N = N1 + . . . + Nt
như trên được gọi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của N .
Mọi biểu diễn thứ cấp của N đều có thể đưa về dạng tối tiểu. Khi đó
tập {p1 , . . . , pt } độc lập với biểu diễn thứ cấp tối tiểu của N , ta gọi là tập
iđêan nguyên tố gắn kết của N , kí hiệu là AttR N .
Lưu ý rằng mọi R-môđun Artin A đều biểu diễn được, và ln có
AttR A là tập hữu hạn.

15


Định lý sau đây là kết quả chính thứ nhất của Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami trong bài [3].
Định lý 2.1.2. Cho (R, m) là vành Noether địa phương đầy đủ và I
là iđêan của R. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác không sao cho
dim M/IM > 0. Khi đó

inf{i ∈ N : Hmi (M ) khơng là I -cofinite}
= inf{1 + depth(Mp ) : p ∈ Supp M/IM và dim R/p} < ∞.
Chứng minh. Đặt

n = inf{i ∈ N0 : Hmi (M ) không là I -cofinite},


t = inf{1 + depth(Mp ) : p ∈ Supp M/IM và dim R/p = 1}.
Trước hết ta chỉ ra rằng n < ∞. Để làm điều này, ta giả sử điều ngược lại
là đúng, tức là n = ∞, và ta phải tìm ra điều mâu thuẫn.
Vì n = ∞, nên R-môđun Hmi (M ) là I -cofinite với mọi i ≥ 0. Suy

ra ExtjR (R/I, Hmi (M )) là hữu hạn sinh với mọi j và mọi i. Do giả thiết có
dim M/IM > 0, nên suy ra tồn tại p ∈ Supp(M/IM ) = Var(I + ann M )
để dim R/p = 1. Vì vậy, áp dụng [6, Hệ quả 1] hoặc [18, Hệ quả 2.5], ta suy
ra ExtjR (R/p, Hmi (M )) là hữu hạn sinh với mọi i và mọi j . Do đó R-mơđun
Hmi (M ) là p-cofinite với mọi i ≥ 0.
Nhưng vì p ∈ Supp(M/IM ) ⊆ Supp(M ), nên ta suy ra Mp = 0. Do
đó, theo [5, Định lý 7.3.2] ta có
dimRp (Mp )

Hp

dimR (M )
(M )p ∼
= HpRp p p (Mp ) = 0.
1+dimR

(M )

p
p
Do đó, theo Bổ đề 1.6.3, ta thấy R-môđun Hm
(M ) không là pcofinite (điều này mâu thuẫn giả thiết). Do đó ta có n < ∞.

Bây giờ từ giả thiết ta suy ra được Hmn (M ) khơng là I -cofinite. Từ đó,
theo Định lý của Melkerson [17, Định lý 1.6], tồn tại p1 ∈ Att Hmn (M ) sao cho
dim R/(p1 + I) ≥ 1, vì vậy lấy phần tử p ∈ V (p1 + I) sao cho dim R/p = 1.
Vì annR (M ) ⊆ annR (Hmn (M )) ⊆ p1 ⊆ p, nên ta có dim M/pM = 1. Vì
thế. theo [17, Định lý 1.6] và giải thiết dim R/p = 1, ta suy ra rằng Hmn (M )
không là p-cofinite. Do đó, theo Bổ đề 1.6.3, ta có p ∈ Supp Hpn−1 (M ), và do
đó depth(Mp ) ≤ n − 1, kéo theo t ≤ n. Mặt khác, với mỗi p ∈ Supp M/IM

16


thỏa mãn dim p = 1, từ định nghĩa của n và [18, Hệ quả 2.5] ta suy ra rằng
R-môđun Hmi (M ) là p-cofinite với mọi i = 0, . . . , n − 1. Do đó, áp dụng Bổ
đề 1.6.3 và [5, Định lý 6.2.7], ta suy ra được depth(Mp ) ≥ n − 1. Suy ra
t ≥ n. Từ đó kết hợp với kết quả t ≤ n, ta suy ra n = t, điều phải chứng
minh.
Định lý 2.1.3. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether đầy đủ và M
là một R-môđun hữu hạn sinh khác không. Đặt

W = {i + 1 : p ∈ Supp Hpi (M ) và dim R/p = 1}
và cho n là một số ngun khơng âm. Khi đó Hmn (M ) là môđun hữu hạn
sinh khi và chỉ khi n ∈
/ W.
Chứng minh. Giả sử Hpn (M ) khơng là mơđun hữu hạn sinh. Khi đó, từ
[5, Hệ quả 7.2.12], ta có Att Hmn (M )
{m}. Như vậy, tồn tại một phần
tử p1 ∈ Att Hmn (M ) sao cho dim R/p1 ≥ 1, và vì vậy có một phần tử
p ∈ Var(p1 ) sao cho dim R/p = 1. Vì annR (M ) ⊆ annR (Hmn (M )) ⊆ p1 ⊆ p,
nên ta suy ra rằng dim M/pM = 1. Bây giờ, theo [17, Định lý 1.6] và theo
giả thiết dim R/p = 1, ta kết luận rằng Hmn (M ) khơng là p-cofinite. Do đó
theo Bổ đề 1.6.3, ta có p ∈ Supp Hpn−1 (M ), và vì vậy, theo định nghĩa thì
n ∈ W.
Bây giờ, cho n ∈ W , khi đó theo định nghĩa ta thấy tồn tại
p ∈ Spec(R) sao cho dim R/p = 1 và p ∈ Supp Hpn−1 (M ). Do đó, theo
Bổ đề 1.6.3, ta thấy R-mơđun Hmn (M ) khơng là p-cofinite và do đó nó
khơng là hữu hạn sinh, ta có điều phải chứng minh.
Kết quả sau đây là một sự tổng quát hóa của Bổ đề 1.6.3.
Mệnh đề 2.1.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương đầy đủ, I là iđêan

của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh sao cho dim M/IM > 0. Khi
đó, với mỗi số n ≥ 0, các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hmn (M ) là I-cofinite.
(ii) Với mỗi p ∈ Supp M/IM với R/p = 1, ta có Hpn−1
Rp (M ) = 0.
(iii) Với mỗi p ∈ Supp M/IM với R/p = 1, ta có Hpn−1 (M ) là môđun
Artin.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho p ∈ Supp M/IM và dim R/p = 1. Khi đó vì
Hmn (M ) là I -cofinite và áp dụng [18, Hệ quả 2.5], ta suy ra rằng R-môđun
17


Hmn (M ) là p-cofinite. Vì vậy, từ Bổ đề 1.6.3, ta suy ra kết quả cần chứng
minh.
(ii) ⇒ (i). Để chứng minh phép kéo theo này, ta giả sử rằng điều ngược lại
là đúng. Khi đó Hmn (M ) khơng là I -cofinite và do đó theo [17, Định lý 1.6],
suy ra tồn tại p1 ∈ Att Hmn (M ) sao cho dim R/(p1 + I) ≥ 1, và do đó tồn
tại p ∈ Var(p1 + I) sao cho dim R/p = 1. Vì annR (M ) ⊆ annR (Hmn (M )) ⊆
p1 ⊆ p, nên ta suy ra được dim M/pM = 1 và p ∈ Supp M/IM . Bây giờ,
theo [17, Định lý 1.6] và theo giả thiết dim R/p = 1, ta kết luận Hmn (M )
khơng là p-cofinite. Do đó, theo Bổ đề 1.6.3, ta được p ∈ Supp Hpn−1 (M ),
(đây là điều mâu thuẫn).
(ii) ⇔ (iii) Việc chứng minh ii) ⇔ iii) được suy ra từ Bổ đề 1.6.3.

2.2

Môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương
Noether.

Mục này dành để trình bày chi tiết lại một số kết quả về: đẳng cấu,

tập Ass, tập Supp của một số môđun đối đồng điều địa phương trên vành
địa phương Noether.
Định lý 2.2.1. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun. Giả sử
I ⊆ J là các iđêan thực sự của R, và cho t là số ngun khơng âm. Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Với mọi i ≤ t, ta có HIi (M ) ∼
= HJi (M ).
(ii) Với mọi i ≤ t, ta có AssR HIi (M ) = AssR HJi (M ).
(iii) Với mọi i ≤ t, ta có Supp HIi (M ) = Supp HJi (M ).
(iv) Với mọi i ≤ t, ta có Supp HIi (M ) ⊆ V (J).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Điều này là hiển nhiên.

(ii) ⇒ (iii) Điều khẳng định được suy ra từ thực tế rằng với mọi R-môđun
T , ta ln có
Supp T =
Var(p).
p∈AssR T

(iii) ⇒ (iv). Kết luận này là rõ ràng.

18


(iv) ⇒ (i) Vì R là Noether và I ⊆ J , nên tồn tại các phần tử x1 , . . . , xn ∈ R
sao cho J = I + Rx1 + . . . + Rxn với n ≥ 0.
Ta sử dụng phép quy nạp theo n để chứng minh. Khi n = 0, ta có
I = J và ta khơng cần chứng minh gì cả. Bây giờ, giả sử ta quy nạp rằng
n ≥ 1 và kết quả đã được chứng minh cho n − 1. Tức là, nếu có giả thiết
Supp HIi (M ) ⊆ Var(J) với mọi i ≤ t, trong đó J = I + Rx1 + . . . + Rxn−1 ,
thì HIi (M ) ∼

= HJi (M ) với mọi i ≤ t.
Bây giờ ta xét giả thiết của (iv) là Supp HIi (M ) ⊆ V (J) với mọi
i ≤ t, trong đó J = I + Rx1 + . . . + Rxn−1 + Rxn . Vì, với mọi i ≤ t, ta
có Supp HIi (M ) ⊆ V (J) ⊆ V (Rxn ), nên HIi (M ) là Rxn -xoắn (thật vậy,
lấy tùy ý ω ∈ HIi (M ) thì Rω là mơđun con hữu hạn sinh của HIi (M ).
Do đó Var(0 : Rω) = Supp(Rω) ⊆ Supp(HIi (M )) ⊆ Var(Rxn ). Vì thế

ann(Rω) ⊇ Rxn ⊇ Rxn . Do vậy tồn tại k > 0 để (Rxn )k ⊆ ann(Rω),
i
tức là (Rxn )k ω = 0). Mặt khác ta có HIi (M ) ∼
(M ), nên
= HI+Rx
1 +...+Rxn−1
i
suy ra HI+Rx
(M ) là Rxn -xoắn với mọi i ≤ t. Do đó
1 +...+Rxn−1
1
i−1
HRx
(HI+Rx
(M )) = 0 với mọi i − 1 ≤ t
n
1 +...+Rxn−1


0
i
i
HRx

(HI+Rx
(M )) ∼
(M )
= HI+Rx
n
1 +...+Rxn−1
1 +...+Rxn−1


= HIi (M ) với mọi ≤ t.
Từ đó bằng cách xét dãy khớp
1
i−1
0 → HRx
(HI+Rx
(M ))
n
1 +...+Rxn−1
i
→ HI+Rx
(M )
1 +...+Rxn
0
i
→ HRx
(HI+Rx
(M )) → 0
n
1 +...+Rxn−1


(theo [19, Hệ quả 3.5]), ta suy ra được rằng, với mọi i ≤ t,
i
HJi (M ) = HI+Rx
(M )
1 +...+Rxn
0
i

(HI+Rx
(M ))
= HRx
n
1 +...+Rxn−1


= HIi (M ),
điều này đã kết thúc chứng minh mệnh đề của ta.
19


×