Luật số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một

Lời nói đầu
Luật số lớn đóng một vai rất quan trọng trong lý thuyết xác suất.
Luật số lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713. Về sau, kết
quả này đợc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng. Luật
số lớn còn gắn với tên tuổi của nhiều nhà toán học nỉi tiÕng kh¸c nh−
Cantelli, Kolmogorov, Marcinkiewicz, Kai Lai Chung,... Khi nghiên cứu
luật số lớn, các đối tợng không ngừng đợc mở rộng và các nhà nghiên
cứu luôn cố gắng làm yếu đi các giả thiết. Một trong những kết quả đầu
tiên về luật mạnh số lớn là định lý của Cantelli phát biểu rằng nếu dÃy
các biến ngẫu nhiên {X n ,n 1} độc lập và E |X n E X n |4 C thì xảy
ra luật m¹nh sè lín
Sn − E Sn h.c.c
−→ 0 khi n .
n
Bằng các phơng pháp giải tích sâu sắc, có thể làm yếu đi các giả thiết đÃ
nêu trong định lý Cantelli để có luật số lớn. Năm 1933, A. N. Kolmogorov
đà mở rộng kết quả của Cantelli bằng cách thay điều kiện tồn tại moment
DXn
bậc 4 bởi điều kiƯn ∞n= 1 2 < ∞ . §ång thêi A. N. Kolmogorov đÃ
n
chỉ ra rằng. Khi dÃy các biến ngẫu nhiên {X n ,n 1} độc lập và cùng
phân phối, để có luật số lớn thì điều kiện cần và đủ là tồn tại moment
tuyệt đối bậc 1. Kết quả này sau đó đà đợc Marcinkiewicz và Zygmund
mở rộng.
Trong các kết quả đà nêu, luôn có giả thiết là dÃy các biến ngẫu nhiên
{X n ,n 1} phải độc lập. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu các
điều kiện để một dÃy (một chỉ số và hai chỉ số) các biến ngẫu nhiên độc
lập đôi một và cùng phân phối (hoặc bị chặn đuôi theo phân phối bởi
một biến ngẫu nhiên) tuân theo luật mạnh số lớn. Chúng tôi cũng thiết
lập luật yếu số lớn Markov và lt u sè lín Hall-Heyde ®èi víi d·y
hai chØ sè các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.

Luận văn đợc chia làm 2 chơng.
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chơng 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất để làm công cụ
nghiên cứu chơng sau. Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu đợc trích
dẫn từ [1] và [2]. Ch−¬ng 1 gåm 3 tiÕt. Trong tiÕt 1.1, chóng tôi trình
bày các khái niệm nh không gian xác suất, biến ngẫu nhiên và tính độc
3


lập,... Tiết 1.2 trình bày một số bất đẳng thức cơ bản để làm công cụ
nghiên cứu các tiết sau. Đó là các bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng
thức Minkowski, bất đẳng thức Doob,... Luật số lớn đợc trình bày trong
tiÕt 1.3. Sau khi giíi thiƯu kh¸i niƯm lt sè lớn, chúng tôi trình bày
các luật số lớn nổi tiếng nh− lt u sè lín Markov, lt m¹nh sè lín
Kolmogorov, lt sè lín Marcinkiewicz - Zygmund.
Ch−¬ng 2: Lt sè lín đối với dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập
đôi một.
Chơng 2 là nội dung chính của luận văn, bao gồm 3 tiết. Trong tiết
2.1, chúng tôi trình bày luật số lớn đối với dÃy các biến ngẫu nhiên độc
lập đôi một và cùng phân phối. Tiết 2.2 trình bày Luật mạnh số lớn
Marcinkiewic-Zygmund đối với dÃy hai chỉ số các biến ngẫu nhiên độc
lập đôi một và bị chặn đuôi theo phân phối bởi biến ngẫu nhiên X . Cuối
cùng, trong tiÕt 2.3, chóng t«i thiÕt lËp lt u sè lớn Markov và luật
yếu số lớn Hall-Heyde đối với dÃy hai chỉ số các biến ngẫu nhiên độc
lập đôi một. Định lí 2.3.1 đà mở rộng luật yếu số lớn Markov và Định
lí 2.3.2 đà chứng minh luật yếu số lớn Hall-Heyde dới giả thiết dÃy các
biến ngẫu nhiên độc lập đôi một. Đây là những đóng góp chính của luận
văn.
Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn
trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin bày tỏ lời biết

ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hớng dẫn đà dành cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo PGS. TS Phan Đức Thành,
TS. Nguyên Trung Hòa, TS. Trần Xuân Sinh, cùng các thầy cô giáo ở bộ
môn XSTK và toán ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Sau đại học - Trờng
Đại học Vinh, Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An, Trờng THPT Đông
Hiếu, gia đình và bạn bè đà thờng xuyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu của một
học viên cao học.
Vinh, tháng 12 năm 2005
Tác giả

4


Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. Cho là một tập khác rỗng. Một họ F những tập
con của đợc gọi là một
đại số nếu thoả mÃn ba điều kiện sau đây
i) F

.

ii) Nếu A ∈ F

th× Ω \A ∈ F

.
∞

iii) NÕu A n ∈ F , n ≥ 1 th× ∪

n= 1A n

∈F .

1.1.2. Định nghĩa. Cho là một tập khác rỗng và F là một

đại số
các tập con của . Hàm tập P xác định trên F đợc gọi là một độ đo
xác suất nếu thoả mÃn ba điều kiện sau đây
i) P (A ) 0 với mọi A ∈ F .
ii) P (Ω)= 1 .
iii) NÕu {A n , n 1} là dÃy các tập con đôi mét rêi nhau thuéc F th×
∞

P(

∞

A n )=

n= 1

P (A n ).
n= 1

1.1.3. Định nghĩa. Cho là một tập khác rỗng, F là một

đại số
các tập con của và P là một độ đo xác suất xác định trên F . Khi đó
bộ ba (,F ,P ) đợc gọi là không gian xác suất tổng quát.
Nếu với A ∈ F cã P (A ) = 0 mµ ta cã B ∈ F víi mäi B ⊂ A thì
F đợc gọi là

đại số đầy đủ và P đợc gọi là độ đo xác suất đầy
đủ. Khi đó, không gian (,F ,P ) đợc gọi là không gian xác suất đầy đủ.
1.1.4. Định nghĩa. Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R ) là

đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a;b), (a,b R ). Khi đó
B(R ) đợc gọi là
đại số Borel trong R . Mỗi phần tử của B(R ) đợc
gọi là một tập Borel.

5


1.1.5. Định nghĩa. Hàm thực X : R
hoặc biến ngẫu nhiên nếu
:X () B

đợc gọi là hàm F -đo đợc

= X 1(B ) F ,B B(R ).

1.1.6. Định nghĩa. Hàm số FX (x) = P {ω ∈ Ω :X (ω) < x},x ∈ R
đợc gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
1.1.7. Định nghĩa. Cho dÃy các biến ngẫu nhiên X 1,X 2,....,X n có các
hàm phân phối tơng ứng lµ F X 1 ,F X 2 ,...,FX n . Các biến ngẫu nhiên trên

đợc gọi là cùng phân phối nÕu
FX 1 (x)= FX 2 (x)= ···= F X n (x), với mọi x R .
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử (,F ,P ) là không gian xác suất.
i) Họ hữu hạn {F i,i I} các -đại số con của F đợc gọi là độc lập
nếu
P ( iI A i)= Π i∈I P (A i)
víi mäi A i ∈ F i,i I .
ii) Họ vô hạn {F i,i I} các -đại số con của F đợc gọi là độc lập
nếu mỗi họ con hữu hạn của nó độc lập.
iii) Họ các biến ngẫu nhiên {X i,i I} đợc gọi là độc lập nếu họ các
-đại số sinh bởi chúng độc lập.
iv) Họ các biến cố {A i,i I} F
đợc gọi là độc lập nếu họ các biến
ngẫu nhiên {IA i,i I} độc lập.
1.1.9. Định nghĩa. Giả sử (,F ,P ) là không gian xác suất.
i) DÃy các biến ngẫu nhiên {X n ,n 1} đợc gọi là độc lập đôi một
nếu X i và X j là độc lập với i= j. với mọi A i ∈ F i,i∈ I .
ii) D·y hai chØ sè các biến ngẫu nhiên {X m n ,m 1,n 1} đợc gọi
là độc lập đôi một nếu X ij và X kl là độc lập với (i,j)= (k,l).
1.1.10. Định nghĩa. Giả sử (,F ,P ) là không gian xác suất. Họ
các biến ngẫu nhiên {X i,i I} đợc gọi là trực giao nếu với mọi
i,j I, i = j th× E (X iX j)= 0.
6


1.2. Một số bất đẳng thức
1.2.1. Bất đẳng thức Kolmogorov. Giả sử {X i,1 i n} là các biến
ngẫu nhiên độc lập, E X i = 0,D X i < , 1 i n. Đặt
k

Sk =

X i, 1 ≤ k ≤ n.
i= 1

Khi ®ã
a) Víi > 0 tuú ý, ta cã
P m ax |Sk|≥

≤

k≤ n

D (Sn )
.
2

b) Nếu tồn tại C > 0 thoả mÃn
P m ax |Sk|≤ C

= 1, k = 1,...,n,

P m ax |Sk|≥

(C + ) 2
.
1
D (Sn )

k n

thì
k n

1.2.2. Bất đẳng thức Holder. Gi¶ sư p,q > 1 sao cho
sư X ∈ L

p

,Y L

1 1
+ = 1 và giả
p q

q

. Khi đó
E |X Y | X

pY

q.

1.2.3. Bất đẳng thức Minkowski. Giả sử các biến ngẫu nhiên
{X i,1 i n} có E |X i|p < ∞ , (1 ≤ i≤ n, p ≥ 1). Khi ®ã
E |X 1 + X 2 + ···+ X n |p < ∞ ,
vµ

n

n

Xj

p

≤

j= 1

X
j= 1

7

j p.


1.2.4. Bất đẳng thức Schwartz. Giả sử x1,x2,...,xn R . Khi đó
n

n

xj

2

xj2 .

n

j= 1

j= 1

1.2.5. Bất đẳng thức Markov. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó,
với mäi > 0 vµ p > 0, ta cã
1

P (|X |> )

p

E |X |p.

Bất đẳng thức Markov với p = 2 suy ra Bất đẳng thức Chebyshev sau
đây.
1.2.6. Bất đẳng thức Chebyshev. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, X ∈ L
Khi ®ã, víi mäi > 0 , ta cã
P (|X E X |> )

1
2

2

.

DX.

Sau đây ta trình bày 2 mệnh đề giới hạn đối với dÃy số. Hai mệnh đề
này đợc sử dụng khi chứng minh các định lý vỊ lt sè lín.
1.2.7. MƯnh ®Ị. NÕu {xn ,n 0} là dÃy các số thực sao cho lim xn = 0,
n→ ∞
th×
n
2k+ 1xk = 0.

lim 2− n
n→ ∞
k= 0

Chøng minh. Víi > 0 bÊt kú, tån t¹i k0 sao cho |xn | <
n > k0. Mặt khác, lim 2 n
n

8
= 0, do đó, tồn tại n0 > k0 sao cho

k0

2k+ 1xk <

−n

2

2

k= 0

8

víi mäi n ≥ n0.

víi mäi


Tõ ®ã
k0

n
k+ 1

−n

2

2

n
k+ 1

−n

xk ≤ 2

k= 0

2

2k+ 1xk

−n

xk + 2

k= 0

k= k0+ 1

1
(2 + 1 + + ···)
2 8
2
= + = với mọi n n0.
2 2

<

+

Mệnh đề đợc chứng minh.
Bổ đề sau đây là một kết quả nổi tiếng của giải tích, có tên là Bổ đề
Kronecker, đợc sử dụng rất nhiều khi chứng minh các định lý dạng luật
mạnh số lớn.
1.2.8. Bổ đề Kronecker. Giả sử {bn ,n 1} là dÃy số thoả mÃn
và chuỗi số n= 1 xn héi tơ. Khi ®ã
0 < bn ↑ ∞

1
lim
n→ ∞
bn

n

bkxk = 0.
k= 1

9


1.3. Một số kết quả về luật số lớn
1.3.1. Định nghĩa.
i) Cho dÃy các biến ngẫu nhiên {X n ,n ≥ 1}. Ta nãi d·y {X n ,n ≥ 1}
héi tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X nếu víi mäi > 0 bÊt
kú, ta cã
lim P {|X n − X |> } = 0.
n→ ∞

P

Khi ®ã ta ký hiÖu X n → 0 khi n → ∞

.

ii) Cho dÃy các biến ngẫu nhiên {X n ,n 1}. Ta nãi d·y {X n ,n ≥ 1}
héi tơ hÇu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu
P { lim X n = X } = 1.

n→ ∞

h.c.c

Khi ®ã ta kÝ hiÖu X n → 0 khi n → ∞ .
Về sự hội tụ hầu chắc chắn, trong quá trình chứng minh các định lý giới
hạn, ngời ta thờng dùng tiêu chuẩn sau đây.
1.3.2. Định lý. DÃy {X n ,n 1} hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu
nhiên X nÕu vµ chØ nÕu víi mäi > 0 , ta cã
lim P {sup |X m − X |> } = 0.

n

m n

Khi chứng minh các định lý giới hạn nói chung và luật mạnh số lớn
nói riêng, ngời ta th−êng sư dơng bỉ ®Ị sau.
1.3.3. Bỉ ®Ị Borel-Cantelli. Giả sử {A n ,n 1} là dÃy các biÕn cè bÊt
kú. Khi ®ã
∞

a) NÕu

P (A n )< ∞ , th× P (lim sup A n )= 0.
n

n= 1
∞

b) Nếu

P (A n )=

và các biến cố A n ®éc lËp, th×

n= 1

P (lim sup A n )= 1,
n

10


với lim sup A n =
n




m =1

n= m

A n.

1.3.4. Định lý Kolmogorov-Khinchin. Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các
biến ngẫu nhiên độc lập thoả mÃn


E X n2 < .

E X n = 0,
n= 1


Khi đó chuỗi

X n hội tụ h.c.c.
n= 1

Định lý sau đây đợc phát hiện bởi Khinchin.
1.3.5. Định lý Khinchin [1]. Giả sử {X n ,n ≥ 1} vµ {Yn ,n ≥ 1} lµ hai
dÃy các biến ngẫu nhiên thoả mÃn


P [X n = Yn ]< ∞ .
n= 1

Khi ®ã X n → X

h.c.c. khi vµ chØ khi Yn → X

h.c.c.

TiÕp theo ta sÏ trình bày một số định lý dạng luật số lớn. Định lý dới
đây là luật yếu số lớn Markov.
1.3.6. Luật yÕu sè lín Markov. NÕu {X n ,n ≥ 1} là dÃy các biến ngẫu
1
nhiên độc lập , E X i = 0, lim 2 ni= 1 E X i2 = 0 th×
n→ ∞

n
n
i= 1 X i P

n

khi n → .

0

Luật yếu số lớn sau đây là một kết quả rất nổi tiếng của Hall-Heyde
phát biểu cho martingale. Chú ý rằng, định lý này dĩ nhiên đúng cho
trờng hợp dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập, kỳ vọng 0. Trong chơng
sau, chúng tôi sẽ thiết lập luật yếu số lớn của Hall-Heyde cho dÃy các
biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.

11


n

1.3.7. Lt u sè lín Hall-Heyde [6]. Gi¶ sư (Sn =

X i,F n ) lµ
i= 1

martingale, (bn ) lµ d·y số dơng, bn

khi n

. Đặt

X ni = X iI(|X i|≤ bn ),1 ≤ i≤ n.
Khi ®ã
P

b−n 1Sn −→ 0

khi n −→ ∞ ,

nÕu
n

P (|X i|> bn )−→ 0 khi n −→ ∞

i)

,

i= 1
n

ii)

b−n 1

P

E (X ni/F i− 1) −→ 0 khi n −→ ∞

,

i= 1
n

iii)

b−n 2

{E |X ni|2 − [E (X ni/F i− 1)]2} −→ 0 khi n

.

i= 1

Định lý Cantelli dới đây là một trong những kết quả đầu tiên về luật
mạnh số lớn.
1.3.8. Định lý Cantelli. Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các biến ngẫu nhiên
độc lập, tồn tại E X n 4 < ∞ vµ E |X n − E X n |4 ≤ C , th×
Sn − E Sn
→ 0 h.c.c khi n → ∞ .
n
§iỊu kiƯn để giả thiết của Định lý Cantelli thoả mÃn là rất mạnh. Để
làm nhẹ giả thiết đó, ta trình bày một kết quả của Kolmogorov sau đây.
1.3.9. Định lý Kolmogorov. Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các biến ngẫu
nhiên độc lập, với E X n2 < vµ {bn ,n ≥ 1} lµ d·y h»ng sè sao cho
. Khi đó, nếu
0 < bn

DXn
< ,
2
b
n
n= 1
thì
12


Sn − E Sn h.c.c
→ 0
bn

khi n → ∞ .

Tõ Định lý 1.3.9, ta suy ra hệ quả quan trọng sau đây.
1.3.10. Hệ quả.

Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các biến ngẫu nhiên độc
Sn E Sn
lập. Khi ®ã, nÕu sup D X n < ∞ , th×
→ 0 h.c.c khi n → ∞
.
n
n
TiÕp theo ta tr×nh bày một kết quả nổi tiếng của Kolmogorov về luật
mạnh số lớn cho dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
1.3.11. Định lý Kolmogorov. Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các biến ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối. Khi đó

Sn
a (h.c.c), a R
n
khi vµ chØ khi
E |X 1|< ∞

vµ a = E X 1.

Tiếp theo, ta trình bày một sự mở rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov
trong trờng hợp cùng phân phối (đợc phát hiện bởi Marcinkiewicz và
Zygmund).
1.3.12. Định lý Marcinkiewicz- Zygmund [1]. Giả sử {X n ,n 1} là
dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2. Khi đó
Sn nc
0 (h.c.c)
n1/p
khi và chØ khi
E |X 1|p < ∞ ,
trong ®ã c= E X 1 nÕu 1 ≤ p < 2 vµ c lµ h»ng sè tuú ý nÕu 0 < p < 1.

13


Chơng 2. Luật số lớn đối với dÃy các biến
ngẫu nhiên độc lập đôi một
Trong chơng này, C là hằng số dơng và cho phép đợc thay đổi ở
những dòng nó xuất hiện. Với k là số nguyên dơng, ta ký hiệu dk là số
các ớc số của k. Với a,b R , m in{a,b} và m ax{a,b} đợc ký hiệu
tơng ứng là a b và a b . Hàm log(.) đợc hiểu là có cơ số 2.
2.1. Luật số lớn đối với dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một

cùng phân phối
Trong quá trình chứng minh ta cần đến các bộ đề sau đây.
2.1.1. Bổ ®Ò (xem [3], trang 87). NÕu am n ≥ 0 víi mäi m ,n ∈ N
t−¬ng øng k −→ (m (k),n(k)) là song ánh từ N N ì N , thì







am n =
m = 0 n= 0

và

am n
n= 0 m = 0
∞

=

am (k),n(k).
k= 0

2.1.2. Bỉ ®Ị (xem [3], trang 263). Giả sử Y là biến ngẫu nhiên không
âm. Khi ®ã
∞
EY ≤

P {Y > n} ≤ E Y + 1,
n= 0

và từ đó ta có


EY <

P {Y > n} < .

n= 0

Chứng minh. Đặt
A k = {k < Y ≤ k + 1},k ≥ 1.

14


Khi ®ã
∞

∞
∞

P {Y > n} =

P (A k)

n= 0

n= 0 k n


=

(k + 1)P (A k).
k= 0

Đặt


U =

nIA (n).
n= 1

Khi ®ã U ≤ Y ≤ U + 1 vµ do ®ã
E U ≤ E Y ≤ E U + 1 ≤ E Y + 1.

2.1.3. Bỉ ®Ị (xem [3], trang 253). Nếu các biến ngẫu nhiên
k
{X i,1 i n} có phơng sai hữu hạn và Sk =
i= 1 X i, 1 ≤ k ≤ n,
th×
n
D Sn =

D X i+ 2
i= 1

C ov(X i,X j).
1≤ i< j≤ n

NÕu C ov(X i,X j)= 0, i= j, th×
n

D Sn =

D X i.
i= 1

Bây giờ ta sẽ trình bày kết quả chính của tiết này. Định lý sau đây
thiết lập luật mạnh số lớn đối với dÃy một chỉ số các biến ngẫu nhiên
độc lập đôi một cùng phân phối.
2.1.4. Định lý. Giả sử {X n ,n 1} là dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập
đôi một cùng phân phối. Nếu E |X 1|< ∞ , th×
n
j= 1 X j

n

→ EX

1

h.c.c khi n → ∞ .

15

(2.1)

Chứng minh. Vì {X n+ ,n 1} và {X n ,n 1} thoả mÃn các giả thiết
của định lý, X j = X j+ − X j− , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử rằng X j 0. Đặt
Yj = X jI(X j ≤ j), j ≥ 1,
n

Sn∗

=

Yj, n ≥ 1.
j= 1

Gi¶ sư F là hàm phân phối của X 1. Khi đó


1
E Yn2 =
2
n
n= 1

∞

n

1
n2

n= 1

x2dF (x)
0
n

∞

1
=
n2
n= 1
∞

j

x2dF (x)
j− 1

j= 1
∞

j

1
n2
n= j

=
j= 1

∞

j− 1

j

1
≤ C
j
j= 1
∞

x2dF (x)
x2dF (x)

j− 1
j

= C

xdF (x)
j− 1

j= 1

(2.2)

= CEX1 < ∞ .
Víi α > 1 , ta ®Ỉt
kn = [α n ].

Khi ®ã, ®èi víi mäi > 0 , ta cã
∞

P
n= 1

Sk∗n − E Sk∗n
>
kn

∞

D Sk∗n
≤ C
kn2
n= 1
∞

1
= C
k2
n= 1 n
∞

≤ C
i= 1

16

kn

D Yi
i= 1

1
E Yi2 < ∞
2
i

(theo (2.2)).

(2.3)


Điều này kéo theo
Skn E Skn
= 0 h.c.c
lim
n
kn

(2.4)

Mặt kh¸c
n

E X 1 = lim

xdF (x)

n→ ∞

0

= lim E Yn
n→

E Skn
= lim
.
n
kn
Điều này cùng với (2.4) dẫn đến
Skn
lim
= E X 1 h.c.c
n
kn

(2.5)

Bên cạnh đó, ta cũng có




P (X n = Yn )=
n= 1

P (|X n |> n)

n= 1
∞

=

P (|X 1|> n)
n= 1

≤ C E |X 1|(theo Bæ đề 2.1.2)
< .

(2.6)

Kết hợp (2.5) và (2.6) ta suy ra
Skn
= E X 1 h.c.c.
lim
n→ ∞
kn

17

(2.7)


Gi¶ sư km ≤ n ≤ km + 1, tõ tính đơn điệu tăng của tổng

n
j= 1 X j,

ta có

Skm
Skm
(vì αk m ≥ km + 1)
≤
αk m
km + 1
Sn
(v× Skm ≤ Sn vµ km + 1 ≥ n)
≤
n
Sk
≤ m + 1 (vì Sn Skm + 1 và n km )
km
Skm + 1
≤ α
.(v× αk m ≥ km + 1.)
km + 1
Điều này cùng với (2.7) cho ta
1


n
j= 1 X j

E X 1 ≤ lim

n→ ∞

n

n
j= 1 X j

≤ lim

n

n
E X 1 h.c.c.
Vì (2.8) đúng với mọi α > 1 nªn cho α ↓ 1
n
j= 1 X j

n

EX

1

(2.8)

ta có

h.c.c khi n .

Định lý hoàn toàn đợc chứng minh.
Định lý tiếp theo cung cấp một ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ mét d·y biÕn ngÉu
nhiªn hai chØ số tuân theo luật mạnh số lớn.

2.1.5. Định lý. Giả sư {X m n ,m ≥ 1,n ≥ 1} lµ dÃy hai chỉ số các biến
ngẫu nhiên độc lập đôi mét cïng ph©n phèi. NÕu
E (|X 11|log+ |X 11|)< ∞ ,
th×
m
i= 1

n
j= 1 X ij

mn

→ EX

11

18

h.c.c khi m ∧ n → ∞ .

(2.9)


Chứng minh. Tơng tự Định lý 2.1.4, không mất tính tổng quát ta có thể
giả sử rằng X ij 0, i 1,j 1. Đặt
Yij = X ijI(X ij ≤ ij), i≥ 1, j ≥ 1,
m

Sm∗ n

n

=

Yij, n ≥ 1.
i= 1 j= 1

Giả sử F là hàm phân phối cđa X 11. Khi ®ã
∞

∞

1
E Ym2n =
2
(m n)
m = 1 n= 1

∞

∞

mn

1
(m n)2
m = 1 n= 1
∞

≤ C

k= 1
∞

= C

k= 1
∞
∞

x2dF (x)
0
k

i= 1

i− 1

dk
k2

i

i= 1 k= i
∞

i= 1
∞

i

x2dF (x)

= C
≤ C

0

k

dk
k2
dk
k2

x2dF (x)

logi
i+ 1

x2dF (x)
i− 1
i

x2dF (x)
i− 1

j

x logxdF (x)

≤ C
j= 1

j− 1

= C E (|X 11|log+ |X 11|)
< ∞.
Víi α > 1 , ta đặt
km = [ m ], ln = [α n ].

19

(2.10)


Khi ®ã, ®èi víi mäi > 0 , ta cã
∞
∞

P
m = 1 n= 1

Sk∗m ln − E Sk∗m ln
>
km ln

∞

∞

D Sk∗m ln
≤
(km ln )2
m = 1 n= 1
∞

∞

1
≤ C
(km ln )2
m = 1 n= 1
∞

ln

D Yij
i= 1 j= 1

∞

≤ C
i= 1

1
E Yi2j
2
(ij)
j= 1

(theo (2.10)).

<

km

(2.11)

Điều này kéo theo
lim
m n

Skm ln E Skm ln
= 0 h.c.c
km ln

(2.12)

Mặt khác
mn

E X 11 =

lim

xdF (x)

m ∧ n→ ∞

0

= lim E Ym n
n

=

E Skm ln
.
km ln

lim
m n

Điều này cùng víi (2.12) dÉn ®Õn
lim
m ∧ n→ ∞

Sk∗m ln
= E X 11 h.c.c.
km ln

20

(2.13)


Ta còng cã
∞

∞

∞

∞

P (X m n = Ym n )=
m = 1 n= 1

P (|X m n |> m n)
m = 1 n= 1
∞

=

dkP (|X 11|> k)
k= 1
∞
∞

dk

=

dF (x)
k

k= 1
∞

=

∞

i+ 1

dk
k= 1
∞

dF (x)
i= k

i

k

i+ 1

=

dk

dF (x)
i

i= 1 i= 1
∞

i+ 1

ilogi

≤ C

dF (x)
i

i= 1
∞

i+ 1

≤ C

x logxdF (x)
i= 1

i

≤ C E (|X 11|log+ |X 11|)
< .

(2.14)

Kết hợp (2.13) và (2.14) ta suy ra
lim
n→ ∞

Skm ln
= E X 11 h.c.c.
km kn

(2.15)

Gi¶ sư ki ≤ m ≤ ki+ 1, lj ≤ n ≤ lj+ 1, từ tính đơn điệu tăng của tổng
m
n
i= 1
j= 1 X ij, ta cã
Skilj
Skilj
Sm n
≤
≤
α 2kilj ki+ 1lj+ 1
mn
Sk l
Sk l
≤ i+ 1 j+ 1 ≤ α 2 i+ 1 j+ 1 .
kilj
ki+ 1lj+ 1

21


§iỊu nµy cïng víi (2.15) cho ta
1
α

2

E X 11 ≤ lim
≤ lim
≤ α

m
i= 1
m ∧ n→ ∞
m
i= 1
m ∧ n→ ∞

n
j= 1 X ij

mn

mn

n
j= 1 X ij

mn

2

E X 11 h.c.c.

V× (2.16) đúng với mọi > 1 nên cho 1
m
i= 1

n
j= 1 X ij

EX

11

Định lý hoàn toàn ®−ỵc chøng minh.

22

(2.16)
ta cã

h.c.c khi m ∧ n → ∞ .


2.2. Luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund đối với dÃy hai chỉ
số các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một
Trong tiết này chúng ta trình bày luật số lớn dạng MarcinkiewiczZygmund đối với dÃy hai chỉ số các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một.
Để đi đến kết quả chính, chúng ta cần một số định nghĩa và bổ đề sau đây.
2.2.1. Định nghĩa. Các biến ngẫu nhiên {X m n ,m 1,n 1} đợc gọi
là bị chặn đuôi theo phân phối bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn t¹i h»ng
sè C sao cho
P {|X m n |> t} ≤ C P {|X |> t},t≥ 0,m ≥ 1,n ≥ 1.
2.2.2. Bổ đề. Giả sử {X m n ,m 1,n 1} là dÃy hai chỉ số các biến
ngẫu nhiªn. NÕu
∞
∞

E |X m n |p < ∞

víi p > 0,

(2.17)

m = 1 n= 1

th×
X m n → 0 h.c.c. vµ trong L p khi m ∨ n → ∞ .

Chøng minh. Sù héi tô trong L p suy trùc tiÕp tõ (2.17). Víi > 0 t ý
vµ k ≥ 1,
P {|X m n |> }

P { sup |X m n |> } ≤
m ∨ n≥ k

m ∨ n≥ k

≤

1

E |X m n |p (Theo bất đẳng thức Markov)

p
m n k

0 khi k

(theo (2.17))

và do đó chứng minh sự hội tụ h.c.c.
2.2.3. Bổ đề. Giả sử {X m n ,m ≥ 1,n ≥ 1} lµ d·y hai chỉ số các biến
ngẫu nhiên. Giả sử rằng {X m n ,m 1,n 1} bị chặn đuôi theo phân
phối bởi biến ngẫu nhiên X .
23


NÕu
E |X |p log+ |X | < ∞

víi 1 < p < 2,

th×
∞
m =1

n= 1

∞

∞
m =1

n= 1

a)

b)

E |X m n |2

∞

2
p

< ∞ ,

(m n)

E |X m n |
1

< ∞ ,

(m n)p

trong ®ã,
1

X m n = X m n I(|X m n |≤ (m n)p ), m ≥ 1,n ≥ 1,
1

X m n = X m n I(|X m n |> (m n)p ), m ≥ 1,n ≥ 1.

24

Chứng minh. Ký hiệu F là hàm phân phối của X , ta cã
∞
∞

E (|X m n |2)
2

m = 1 n= 1

∞

1

∞

≤

(m n)p

(m n)p

1

2xP {|X m n |> x}dx

2
p
m = 1 n= 1 (m n)

0

1

∞

kp

dk

≤C

xP {|X |> x}dx

2
p
k= 1 k

∞

0

=C

1

k

dk

jp

2
p
k= 1 k

1

j= 1

1

∞
∞

jp

dk

=C

2

1

p
k= j k

j= 1

xP {|X |> x}dx

(j− 1)p

xP {|X |> x}dx

(j− 1)p
1

∞

jp

logj

≤C

q

jp − 1

j= 1

1

xP {|X |> x}dx

(j− 1)p

logj
=
O
(
))
2
k= j
k
jp − 1
dk

∞

(v×

2
p

∞

logjP {|X |p > j}

≤C
j= 2

≤ C E |X |p log+ |X | ,
điều này chứng minh a). Bằng cách sử dụng công thức
n

k= 1

dk
k

1
p

= O

logn
n

1
p 1

,

ta nhận đợc b) một cách tơng tự.
Bổ đề sau đây là Bất đẳng thức Rademacher-Mensov hai chỉ số (xem
Moricz [9, Hệ quả 2]).
2.2.4. Bổ đề. Nếu {X kl;k m ,l n} là họ các biến ngẫu nhiên trực
giao, E |X kl|2 = c2kl, th×
E

m ax
1≤ k≤ m ,1≤ l≤ n

2

|Skl| ≤ (log2m )2(log2n)2E |Sm n |2,

25


trong ®ã Sm n = mk= 1 nl= 1 X kl.
2.2.5. Định lý. Giả sử {X m n ,m 1,n 1} là dÃy hai chỉ số các biến
ngẫu nhiên độc lập đôi một và bị chặn đuôi theo phân phối bởi biến ngẫu
nhiên X . Nếu
E |X |p(log+ |X |)3 < ∞ (1 < p < 2),

(2.18)

th×
m
i= 1

n
j= 1(X ij −

E X ij)

1

→ 0 h.c.c. khi m ∨ n .

(m n)p
Chứng minh. Đặt
1

X m n = X m n I(|X m n |≤ (m n)p ), m ≥ 1,n ≥ 1,
1

X m n = X m n I(|X m n |> (m n)p ), m ≥ 1,n ≥ 1,
m

n

Sm n =

X ij, m ≥ 1, n ≥ 1,
i= 1 j= 1

vµ

m

n

Sm n =

X ij, m ≥ 1, n ≥ 1.
i= 1 j= 1

26

(2.19)


Ta cã
∞

∞

∞
∞

1

P (X ij = Yij)=
i= 1 j= 1

P (|X ij|> (ij)p )
i= 1 j= 1
∞
1

dkP (|X |> kp )

≤ C
k= 1
∞

∞

≤ C

dk

dF (x)

1

kp

k= 1
∞

1

∞

(i+ 1)p

dk

≤ C
k= 1

i= k

1

i
∞

(

≤ C

dF (x)

1

ip

(i+ 1)p

dk)

dF (x)

1

ip

i= 1 k= 1

1

∞

(i+ 1)p

ilogi

≤ C

dF (x)

1

ip

i= 1

1

∞

(i+ 1)p

≤ C

ip logidF (x)

1
ip

i= 1

≤ C (E |X |p log+ |X |)< ∞

(theo (2.18)). (2.20)

Tõ
∞
∞

E

2k

i= 1

2l
j= 1(X ij −

E X ij) 2

1

(2k2l)p

k= 1 l= 1
∞
∞

2k
i= 1

=

2l
j= 1 E (X ij −

E X ij)2

2

k= 1 l= 1
∞
∞

≤ C

(2k2l)p
E (X ij)2
2

i= 1 j= 1

< ∞

(theo Bỉ ®Ị 2.2.3)),

(2.21)

(ij)p

Bỉ ®Ị 2.2.2 kÐo theo
2k
i= 1

2l
j= 1(X ij −
1

(2k2l)p

E X ij)

→ 0 h.c.c. khi k ∨ l→ ∞ .

27

(2.22)