Một số tính chất của các tập lồi trong không gian véc tơ

-1-

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-----------------------

ĐƯỜNG HẢI HÙNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC TẬP LỒI
TRONG KHƠNG GIAN VÉC TƠ

Chun ngành: Hình học - Tơpơ
Mã số:

60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM NGỌC BỘI


-2-

LỜI NĨI ĐẦU
1.Tập lồi là khái niệm tốn học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải
tích và nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã được
các nhà toán học như Frederick A.Valentine, L.Klee, C.Caratheodory,
H.Minkowski trình bày. Các cấu trúc trên các tập lồi, các quan hệ giữa chúng,
giao của các tập lồi, các điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và tính hội
tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến. Chúng

tơi sẽ tiếp tục trình bày các vấn đề đó một cách chi tiết và các ứng dụng của
chúng.
2. Luận văn sẽ hệ thống và phát triển các tính chất của tập lồi và các ứng
dụng của nó. Nội dung chính luận văn sẽ trình bày các tính chất về lân cận ở
gốc của không gian vectơ tôpô, các quan hệ giữa các tập lin, core, lõi, phần
trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép tốn bảo tồn
tập lồi, vị trí tương đối của tập lồi với siêu phẳng, tính hội tụ của dãy tập lồi,
từ đó đưa ra một số điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và các ứng
dụng của định lí Hêli, định lí Caratheodory. Kết quả của luận văn là đã hệ
thống các tính chất cơ bản của các lân cận ở gốc không gian vectơ tôpô,
chứng minh chi tiết các tính chất về bao hàm của các tập lin, core, lõi, phần
trong, bao đóng của một tập hợp, giao của các tập lồi, các phép toán bảo tồn
tập lồi, vị trí tương đối của tập lồi với siêu phẳng, dãy tập lồi hội tụ và các
ứng dụng của định lí Hêli về giao khác rỗng của các tập lồi, các đường tròn,
các đoạn thẳng như các ví dụ trong mục 1.1.3.2 và ứng dụng định lí
Caratheodory về bao lồi của hệ n+1 điểm độc lập để mơ tả bao lồi của các tập
lồi, như định lí 2.1.3.2 và xét vị trí tương đối của một điểm và bao lồi của một
tập hợp.
3. Nội dung luận văn được trình bày theo hai chương.


-3Chương 1.Trình bày các khái niệm cơ bản về khơng gian vectơ tôpô,
không gian Minkowski và tập lồi nhằm sử dụng vào chương 2. Nội dung
chính của chương 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niệm và một số tính
chất cơ bản của tập lồi. Phần thứ hai, trình bày các khái niệm hàm khoảng
cách, không gian Minkowski và quan hệ giữa tập lồi và tính cộng tính dưới
của hàm khoảng cách Minkowski. Phần thứ ba,trình bày các khái niệm cần
thiết trong khơng gian tơpơ, các tính chất của lân cận ở gốc của không gian
vectơ tô pô
và các tính chất của ánh xạ liên tục.

Chương 2. Phần thứ nhất, trình bày các tính chất tơpơ của bao lồi, mô
tả bao lồi của một tập hợp, biểu thị đơn hình dưới dạng tổ hợp lồi các đỉnh
của nó và trình bày các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của
một tập hợp. Phần thứ hai, trình bày tính chất lồi của hạch, lin, bao đóng,
phần trong, phần lõi của một tập hợp, các quan hệ bao hàm giữa chúng và một
số tính chất về mặt nón. Phần thứ ba, trình bày vị trí tương đối của tập lồi và
siêu phẳng.Từ các tính chất giao của các tập lồi, tính chất tách tựa các tập lồi
của siêu phẳng, nhằm tìm các điều kiện cần và đủ để một tập hợp trở thành
tập lồi, quan hệ giữa tính lồi của các tập với siêu phẳng và ứng dụng của định
lí Caratheodory vào xét tính chất điểm và bao lồi. Phần thứ tư, trình bày tính
lồi của hàm khoảng cách, tập song song và mêtric trên các tập lồi, nhằm sử
dụng vào việc xét tính hội tụ của dãy tập lồi trong khơng gian Minkowski.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
TS. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hồn thành luận văn, chúng tơi xin gửi lời cảm
ơn chân thành nhất tới các thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang,
PGS.TS. Nguyễn Huỳnh Phán, TS. Nguyễn Duy Bình,TS. Nguyễn Việt Hải,
TS. Phan Thành An và các thầy cơ giáo trong khoa tốn Đại học Vinh đã tận
tình giúp đỡ chúng tơi trong q trình học tập.


-4-

MỤC LỤC
Trang

Lời nói đầu……………………..………………………..…………1
CHƯƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN…………………………………..3
1.1. Tập lồi trong không gian vectơ……………….……………...3
1.1.1. Các khái niệm tập lồi, bao lồi ………………….….……3
1.1.2. Các phép tốn bảo tồn tập lồi………………………..…4

1.1.3. Giao của các tập lồi trong không gian Euclide….………6
1.2. Không gian tôpô….…………………. … ………………….10
1.2.1. Các khái niệm ….……………………………….……..10
1.2.2. Các tính chất của ánh xạ liên tục…………….….……..11
1.2.3. Các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ
tô pô………….………………………………………………12
1.3. Không gian Minkowski………………………………….…14
1.3.1. Hàm khoảng cách Minkowski……………………….…14
1.3.2. Định nghĩa không gian Minkowski……………….…...15
CHƯƠNG 2. TÍNH CHẤT CỦA CÁC TẬP LỒI TRONG KHÔNG
GIAN VECTƠ TÔPÔ ..………………………………….…………….17

2.1. Bao lồi của một tập hợp………………………….…………17
2.1.1. Vài tính chất tơpơ của baolồi...…………….…………..17
2.1.2. Các định lí mơ tả bao lồi của một tập hợp…...…..…….18
2.1.3. Các định lí về bao lồi của hợp các tập lồi………….…..19
2.1.4. Các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc
bao lồi của một tập hợp …………………………..…..21
2.2. Hạch, lin, baođóng, phần trong, lõi của tập hợp và các tính
chất của chúng…………………………………………..………..23
2.2.1. Hạch của tập hợp……………………….……………..23


-5-

2.2.2. Các tập có quan hệ sao đối với một điểm…….……….24
2.2.3. Quan hệ giữa lin, bao đóng, phần trong và phần lõi của
một tập hợp…………………………..……………………....25
2.2.4. Tính lồi của phần trong, bao đóng, lin, lõi của một tập
hợp…………………………………………….………….….26

2.2.5. Tính chất của thể lồi…………………………………..27
2.2.6. Bao đóng của hình nón lồi…….……………………....28
2.2.7. Phần bù của một tập hợp khơng có đoạn cắt…….…....28
2.3. Vị trí tương đối của tập lồi và siêu phẳng………..………..29
2.3.1. Siêu phẳng và một số tính chất của
nó………..……….29
2.3.2. Tính chất của hai tập lồi bù nhau………..…………….30
2.3.3. Các định lí tách các tập
lồi………..…………………...32
2.3.4. Các định lí về siêu phẳng tựa thể
lồi…..………………33
2.3.5. Định lí về mặt phẳng tựa mặt nón trong khơng gian
vectơ tơpơ lồi địa
phương………………………….……………….35
2.4. Tập lồi trong khơng gian Minkowski…..………………….35
2.4.1. Tính lồi của hàm khoảng cách Minkowski…..………..35
2.4.2. Tính lồi của tập song song………..…………………...36
2.4.3. Mêtric trên các tập lồi……..…………………………..37
2.4.4. Dãy tập lồi hội tụ trong không gian Minkowski….…...37
Kết luận…….……………………………………………………..40
Tài liệu tham khảo…………………….…………………………41


-6CHƯƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày ba nội dung chính, nội dung
thứ nhất, nêu khái niệm tập lồi, bao lồi, tổ hợp lồi và chứng minh các định lí
về các phép tốn bảo tồn tập lồi, ứng dụng của định lí Hêli để giải bài toán
về giao khác rỗng của các tập lồi trong không gian Euclide. Nội dung thứ hai,
nêu các khái niệm cần thiết trong khơng gian tơpơ, các tính chất của lân cận ở
gốc và các tính chất của ánh xạ liên tục của không gian vectơ tôpô. Nội dung

thứ ba, nêu các định nghĩa hàm khoảng cách và khơng gian Minkowski, nêu
và chứng minh định lí về quan hệ giữa tập lồi và tính chất cộng tính dưới của
hàm khoảng cách Minkowski.
1.1. TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ
1.1.1. Các khái niệm tập lồi, bao lồi
1.1.1.1. Định nghĩa. Kí hiệu L là không gian vectơ trên R.
 Nếu x L, y L thì đoạn thẳng xy nối x và y là tập tất cả các điểm
có dạng x  y,     1,   0,   0 .
 Tập S  L gọi là tập lồi, nếu mỗi cặp điểm x  S, y  S thì xy  S .
Một tập S được gọi là sao đối với điểm xL, nếu với mỗi yS thì
xyS.





 Các tập linS = y \ x  S, x  y, xy  S , linS =S
0

 linaS .

 Điểm x  S là điểm lõi của S nếu mỗi điểm y  L, y  x, tồn tại một
điểm z(xy)0 sao cho xz  S. Tập tất cả các điểm lõi của S kí hiệu là coreS.
 Trong không gian vectơ L, bao lồi của tập S là giao của tất cả các tập
lồi chứa S và được kí hiệu là coS.
Bao lồi  của tập xác định n +1 điểm x 1 , x 2 , ...., x n 1 trong không gian vectơ
L được gọi là một đơn hình n- chiều, nếu phẳng có chiều nhỏ nhất là n chứa
 , các điểm xi, i =1, n  1 được gọi là các đỉnh của đơn hình  .

Vectơ xL được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1, x2, …, xn L, nếu  i 0

(i= 1,2,…,n),

n


i 1

i

 1 sao cho x =

n

 x
i 1

i

i

.


-71.1.1.2. Hệ quả. coS là tập lồi nhỏ nhất chứa S và S là tập lồi khi và chỉ
khi coS = S.
Chứng minh. S là lồi, thì coS  S và theo định nghĩa bao lồi thì S 
coS, vậy coS =S. Ngược lại coS = S, thì hiển nhiên S là tập lồi.
1.1.1.3. Định lí. Cho tập lồi A trong không gian vectơ L, lấy
x1, x2, …, xm  A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1,x2,…,xm.
Chứng minh. Xét m = 2, với mọi 1, 2 > 0, 1 + 2 =1, x1, x2  A, do

A là tập lồi nên 1x1+ 2x2  A. Giả sử định lí đúng với m  k. Ta sẽ chứng
minh với mọi x1, x2, …, xk+1 A, mọi i  0 (i = 1, 2, …, k + 1),

k 1


i 1

i

1

thì x = 1x1 + 2x2 + … + kxk + k+1xk+1  A. Có thể xem k+1<1, vì nếu
k+1=1, thì 1 =2 = … = k = 0 và ta có ngay x  A.
Khi đó, 1 - k+1 = 1 + 2 + … + k > 0,
k

Vì



i

i 1 1  

i
 0 (i =1, …, k).
1   k 1

=1, nên theo giả thiết qui nạp ta có:

k 1

y=

1
k
x1  ... 
xk A .
1   k 1
1   k 1

Với các điểm yA và xk+1 A, ta có:
1 - k+1 > 0, (1 - k+1) + k+1=1, do đó x = (1 - k+1)y + k+1xk+1  A.
Nghĩa là, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, x2, …, xm.
1.1.1.4. Định lí. coA trùng với tất cả các tổ hợp lồi của A.
Chứng minh. Từ hệ quả 1.1.1.2, ta có coA lồi. Vì A  coA, nên coA
chứa tất cả các tổ hợp lồi của A. Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của A là
tập lồi chứa A, do đó nó chứa coA.
1.1.2. Các phép tốn bảo toàn tập lồi
Trong phần này, ta chỉ nêu ra phép giao, phép tịnh tiến, phép nhân vô
hướng, tổ hợp hữu hạn các tập lồi, tích Đề các của các tập lồi, ảnh và nghịch
ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là các phép tốn bảo tồn tập lồi.


-8Những phép tốn bảo tồn tập lồi khác, sẽ được trình bày ở các phần tiếp
theo.
1.1.2.1. Định lí. Trong khơng gian vectơ L, giao của các tập lồi là tập
lồi.
Chứng minh. Gọi Si là các tập lồi có giao khác rỗng, i = 1, 2, 3, ...
Lấy x  Si , y   Si , thì x  Si, y Si, i = 1, 2,... nên xy  Si, i =1, 2...

i

i

Vậy xy   Si và
i

S

i

là tập lồi.

i

1.1.2.2. Hệ quả. Trong không gian vectơ L, tập S là lồi khi và chỉ khi S

 V lồi với mọi không gian con thực sự V của L và S  V  .
Chứng minh. Vì S  V  , nên mọi x  S  V, y S  V thì x  S,
y  S suy ra xy  S (Do S lồi) và với x V, y  V , ta cũng có xy  V , vì V là

khơng gian con của L. Vậy S  V  xy và S  V là tập lồi.
Ngược lại S  V là tập lồi, với mọi không gian con thực sự V của L.
Xét x  y ,    =1,   0,   0 víi mäi x  S, y  S suy ra x  V, y  V. Vì
S  V là lồi, nên x  y  S vµ S lµ tËp låi.
1.1.2.3. Định lý. Trong khơng gian vectơ L, phép tịnh tiến và phép
nhân vectơ với một lượng vô hướng biến tập lồi thành tập lồi.
Chứng minh. Gọi S là tập lồi, giả sử phép tịnh tiến biến tập S thành
tập a +S, aL, phép nhân vectơ với lượng vô hướng biến S thành S,   R.
Lấy x  a  S, y  a  S . Xét x  y ,    =1,   0,   0 với mọi x  a  S,

y a  S . Ta có x = a + x1, y = a + y1 với x1  S, y1  S và
x  y  a  x1   a  y1     a  x1  y1   a+ x1  y1  a+S, do S

lồi nên x1  y1  S víi     1,   0,   0. Vậy tập a + S lồi.
Tương tự, ta cũng chứng minh được tập S (  R) là lồi nếu S lồi.
1.1.2.4. Định lí. Trong không gian vectơ L , cho các tập lồi Ai, i  R
(i=1, …, m). Khi đó, tập A = 1A1 + 2A2 + … + mAm là lồi.


-9Chứng minh. Lấy bất kì x, y  A. Khi đó, x = 1a1 + … + mam và
y=1b1+…+mbm, với ai, biAi, iR (i = 1, …, m).
Ta có x + y = (1a1+…+mam) + (1b1+…+mbm)
= 1(a1+ b1) + …+ m(am+ bm) A, do Ai là các tập lồi.
Vậy A là tập lồi.
1.1.2.5. Định lí. Giả sử Li là các không gian vectơ, cho các tập Ai là các
tập lồi (i=1,2, …, m). Khi đó tích đề các A1  A 2  ... A m là tập lồi trong L1

 L2  …  Lm.
Chứng minh. Gọi A= A1  A 2  ... A m , lấy bất kì x,y  A,   0,
  0,  +  =1 và xét x + y = (a1 + b1, a2 + b2,…, am + bm)  A, vì
Ai (i=1,2,…, m) là các tập lồi và x = (a1,a2,…,am), y = (b1,b2,…,bm)A. Vậy A
là tập lồi.
1.1.2.6. Định lí. Giả sử L1, L2 là các không gian vectơ, ánh xạ
T: L1  L2 là tuyến tính. Khi đó:
a. A  L1 lồi, thì T(A) lồi.
b. B  L2 lồi, thì nghịch ảnh T-1(B) của B là tập lồi.
Chứng minh. Lấy bất kì x,yT(A). Khi đó tồn tại n, mA sao cho
x=T(n), y = T(m) và x + y = T(n) + T(m) = T(n + m)  T(A), vì
n+mA do A là tập lồi (,   0,  +  = 1). Vậy T(A) là tập lồi.
Tương tự, ta có T-1(B) là tập lồi khi B là tập lồi trong L2 .

1.1.3. Giao của các tập lồi trong khơng gian Euclide
Ngồi giao của các tập lồi là một tập lồi, ta tiếp tục xét một tính chất
giao khác rỗng của các tập lồi, với một điều kiện cho trước trong khơng gian
E
Định lí 1.1.3.1. a.(Hêli) Trong khơng gian Euclide n- chiều En, cho các
tập lồi Ci, i =1,…, m, (m  n+1). Biết rằng n +1 tập Ci đều có giao khác rỗng.
Khi đó ta có:

m

C
i 1

i

.


- 10 b. Trong En cho Ci, iI là một họ tuỳ ý các tập compact lồi. Giả sử với mỗi
n+1 tập Ci đều có giao khác rỗng. Khi đó

 Ci  .
iI

Chứng minh. a.Ta chứng minh bằng qui nạp theo n.
1. Nếu m = n+1 thì theo giả thiết định lí đúng.
2. Giả sử định lí đúng đến m = k (k > n+1).Ta đi chứng minh định lí đúng khi
m = k +1. Giả sử, với mọi n+1 tập lồi có giao khác rỗng, ta cần chứng minh
k 1

k 1

C i  .
 Ci  .Theo giả thiết qui nạp, thì mọi j = 1, 2, …, k, k+1 ta có 
i 1
i 1

i j

Điều đó có nghĩa là tồn tại các vectơ x1, x2, …, xk+1En, sao cho:
k 1

xj 

Ci

i 1

(j = 1,2,...,k+1)

i j

Xét hệ n+1 phương trình tuyến tính k+1 ẩn sau đây:
k 1

 x





i 1
k 1

i


i 1

i

i

0

0

Hệ này chắc chắn có nghiệm khơng tầm thường(-1,-2,…,-k+1)  0.
Khơng mất tính tổng qt có thể cho là -1  0, …, -r  0; -r+1 0, …,
 k+1 0. Khi đó do ( 1,…, k+1)  0, cho nên
-

-

-

r

k 1

 i     j >0.

i 1
j r 1


k 1

xj   C j (j = 1, 2, …, r).

Theo trên ta có

j1
j i

Vì thế nói riêng ta có xi

k 1

C

j r 1

Xét điểm

x*=

1
r





x1  ... 
i

i 1

Vì x1,…, xr 

C

j r 1

k 1

j

mà

r



 Cj

j r 1

, (i =1, 2, …, r).

 r
i 1

k 1

j



(1)

xr

i

là tập lồi, nên từ (1) suy ra x*

k 1

C

j r 1

j

(2)


- 11   r 1

Bây giờ xét điểm x * * 





k 1

 i



x r 1  ... 

j r 1

  k 1
k 1

 i


(3)

x k 1

j r 1
r

Tương tự như trên, ta có x**  C j

(4)

j1

Mặt khác, ta có

k 1

  i x i  0 và


i 1

r



k 1

    i , cho nên:


i

i 1



i  r 1

1 x1 +…+ r- xr = --r+1xr+1 -…- -k+1xk+1 suy ra x*=x**.
x *

Đặt x* là giá trị chung của x* và x**. Khi đó, từ (2), (4) suy ra
k 1

 C j và ta có

j r 1

k 1

 C j  .
j1

Vậy theo nguyên lí qui nạp suy ra

m

 C j  và ta có điều cần chứng minh.
j1

b. Giả thiết phản chứng

 Ci =. Khi đó đặt Ci* = En\ Ci (Ci* là phần bù
iI

của Ci). Theo luật De Morgan, ta có

 Ci

*

= En. Vì

iI

 C*i  E n , nên với tập
iI

 C*i  Ci*

compact bất kì Ci*, i*I, ta có

(5)

iI

Vì khơng gian hữu hạn chiều và do Ci compact, nói riêng Ci đóng, suy
ra Ci là mở. Từ (1), suy ra có một phủ hữu hạn phủ Ci* (do Ci* compact), tức
*

là

tồn

tại

j

=

1,…,

r

sao

r

C

cho

*

j1

ij

 C i*

(6)
Theo luật De Morgan ta có
 r

  C i j  C i**  = , tức là
 j1



 C*i j  C*i* suy ra

 r

  C i j  C i* = .
 j1 

r

C
j1

*

 Ci* và
*

ij

(7)

Theo phần a của định lí, thì mọi giao hữu hạn của họ (Ci)iI đều khác
rỗng. Vậy từ (7) suy ra điều vơ lí và

C
iI

i

 .


- 12 1.1.3.2. Một số ví dụ áp dụng của định lí Hêli
1.1.3.2.1. Ví dụ. Trong khơng gian Euclide 2- chiều E2, giả sử có bốn nửa
mặt phẳng lấp đầy E2. Khi đó, tồn tại ba trong bốn nửa mặt phẳng đó cũng lấp
đầy khơng gian.
Chứng minh. Giả sử P1, P2, P3, P4 là các nửa mặt phẳng lấp đầy E2,
P1P2P3P4=

tứclà

E2.

(1)
Giả thiết phản chứng mọi bộ ba Pi, Pj, Pk đều không lấp đầy E2, tức là:
PiPjPk E2 suy ra E2\ (PiPjPk)   và (E2\ Pi)(E2\ Pj)(E2\ Pk)  ,
với mọi i, j , k.Từ định lí 1.1.3.1, suy ra:
(E2\ P1)  (E2\ P2)  (E2\ P3)  (E2\P4)   hay E2\ (P1P2P3P4)  
và P1P2P3P4 E 2
(2).
Từ (1), (2) suy ra điều vơ lí. Vậy ta có điều cần chứng minh.
1.1.3.2.2. Ví dụ. Trên mặt phẳng E2 cho n hình trịn (n3). Giả sử cứ
mỗi ba hình trịn, đều có một hình trịn bán kính r cắt cả ba hình trịn ấy. Khi
đó, tồn tại một hình trịn bán kính r cắt cả n hình trịn trên.
Chứngminh. Gọi Si là các hình trịn tâm Ai, bán kính ri , i = 1, …, n. Đó
là n hình tròn đã cho. Gọi Hi là các đường tròn tâm Ai, bán kính ri + r. Như
vậy, tất cả tâm đường trịn có bán kính r mà cắt hình trịn Si đều nằm trong Hi
.

Theo giả thiết với mọi bộ ba i, j, k thì Hi  Hj  Hk   .
Từ định lí 1.1.3.1 suy ra H1  H2 … Hn  .
n

Giả sử A*  H i , thì hình trịn tâm A*, bán kính r cắt cả n hình trịn S i đã
i 1

cho. Vậy ta có điều cần chứng minh.
1.1.3.2.3.Ví dụ. Cho n đoạn thẳng song song trên mặt phẳng E2(n  3).
Biết rằng cứ bất kì ba đoạn thẳng nào, cũng có một đường thẳng cắt cả ba
đoạn thẳng ấy. Khi đó tồn tại một đường thẳng cắt cả n đường thẳng đã cho.


- 13 Chứng minh. Vẽ hệ trục toạ độ Oxy, sao cho trục tung song song với l i
(li là các đoạn thẳng song song). Khơng mất tính tổng qt, có thể giả thiết
các li nằm trên các đường thẳng song song khác nhau. Với mỗi l i xét tất cả các
đường thẳng cắt li. Các đường thẳng đó có dạng y = ix+i. Mỗi đường thẳng
như vậy được đặc trưng bởi hai số (i , i). Chú ý rằng nếu gọi Ai(xi,yi1) ,
Bi(xi,yi2) thì ứng mỗi giá trị bất kì  các đường thẳng song song y = x + 
với
[yi1- xi, yi2- xi] sẽ cắt li .
Biểu diễn số (i, i) trên một hệ trục toạ độ khác. Theo nhận xét trên
ứng với mỗi giá trị  , thì ta có một tập hợp giá trị của  và độ dài của tập này
là y i2  y1i . Cho  thay đổi từ  , thì ta được một dải song song vô hạn
(chiều ngang của dải là yi2-yi1). Gọi dải này là Hi và ta thấy ngay Hi là hình
lồi.
Như vậy cứ ứng với mỗi đoạn thẳng li, trong mặt phẳng Ouv ta có một
hình lồi Hi (i = 1, 2, …, n). Mỗi điểm (i , i)  Hi đại diện cho đường
thẳng
y = ix + i cắt đoạn li .

Theo giả thiết bất kì ba đoạn li , lj , lk nào cũng có một đường thẳng cắt
cả ba đoạn ấy, suy ra các hình Hi, Hj, Hk có điểm chung với mỗi bộ ba i, j, k.
Theo định lí 1.1.3.1, thì cả n hình H1 , H2 , …, Hn có điểm chung (*, *).
Đường thẳng y = *x + * là đường thẳng cắt cả n đoạn l1, l2,…, ln. Vậy ta có
điều cần chứng minh.
1.2. KHƠNG GIAN TƠPƠ
1.2.1. Các khái niệm
1.2.1.1. Định nghĩa. Tập con U của không gian Tôpô X được gọi là
lân cận của điểm x  X khi và chỉ khi tồn tại một tập mở V, sao cho x  V 
U.
 Điểm x được gọi là điểm trong của tập A  X, nếu tồn tại một lân cận
U của x sao cho U  A. Tập hợp gồm tất cả các điểm trong của A là tập mở
được chứa trong A và gọi là phần trong của A, kí hiệu là A0.


- 14  Tập con B của X gọi là đóng nếu X\ B là mở.
 Điểm x được gọi là điểm dính của tập A, nếu mọi lân cận U của x thì
:
U  A  . Tập hợp tất cả các điểm dính của A là một tập đóng chứa A và
được gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A .
 Điểm x được gọi là điểm biên của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận U
của x thì U  A   và U  X\ A  .
Rõ ràng biên của tập A và tập X\ A là trùng nhau và kí hiệu là A . Một
tập là đóng khi và chỉ khi biên của nó thuộc nó, một tập là mở khi và chỉ khi
nó khơng có điểm chung với biên.
 Không gian Tôpô X được gọi là Hausdorff nếu mỗi x  X, y  X, x  y, thì
tồn tại các lân cận U của x và V của y, sao cho UV=.
1.2.1.2. Định nghĩa. Nếu X là không gian vectơ trên trường K và một
tôpô  trên X.  được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X trên các
phép toán đại số trong X, nếu phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một

lượng vô hướng là liên tục. Một không gian vectơ trên K cùng với một tơpơ
tương thích được gọi là một không gian vectơ tôpô.
 Một không gian vectơ tôpô L được gọi là lồi địa phương, nếu mỗi lân
cận U ở gốc  của khơng gian, thì tồn tại một lân cận lồi V của  sao cho
VU.
Quá trình tiếp theo, luận văn ta sẽ sử dụng không gian vectơ L trên
trường số thực và không gian vectơ tôpô L là Hausdorff.
1.2.2. Các tính chất của ánh xạ liên tục
1.2.2.1.Định nghĩa. Cho các không gian Tôpô X và Y, ánh xạ f: X 
Y được gọi là liên tục nếu mọi tập mở U  Y, ta có f-1(U) là tập mở trong X.
Từ định nghĩa này, ta có kết quả 3 mệnh đề tương đương sau:
(i) f là ánh xạ liên tục.
(ii) Mọi x  X và mọi lân cận U của f(x) thì f-1(U) là lân cận của x.


- 15 (iii) Mọi x  X và mọi lân cận U của f(x), thì tồn tại lân cận V của x
sao cho f(V)  U.
 Ánh xạ f: X  Y từ không gian tôpô X lên không gian Tôpô Y được gọi là
phép đồng phôi, nếu f là song ánh và f , f-1 là các ánh xạ liên tục.
1.2.2.2. Định lý. Trong gian vectơ tơpơ L, thì phép tịnh tiến f(x) = x + a
(a L) và phép nhân vô hướng f(x) = x  0 là các phép đồng phơi của L
lên chính nó.
Chứng minh. Đặt y = f(x) = x + a thì f-1(y) = x = y - a nên f là song
ánh và f, f-1 là liên tục. Tương tự với y = f(x) = x  0 thì f-1(y) = 1 y và f
là phép đồng phôi.
1.2.2.3. Hệ quả. Nếu ,  không đồng thời bằng không và U1, U2 là
các lân cận của gốc  thì U1  U 2 lµ mét lân cận của  .
Chứng minh.Ta có f(x) = x  0 là phép đồng phôi của L lên chính
nó , nên U là lân cận của  , thì U là lân cận của  . Xét U1  U 2   0
ta có U1 vµ U 2 là lân cận của  , nên tồn tại các tập mở V1, V2 chứa  sao

cho: V1  U1 , V2  U 2 , tập   V = V1  V2 mở và V  U1 + U 2 . Vậy
U1 + U 2 là lân cận của  .

1.2.2.4. Định lý. Nếu Ln là không gian vectơ tơpơ n- chiều thì Ln đẳng
cấu tuyến tính với không gian Euclide n- chiều En.
Chứng minh. Gọi (u1, u2, ..., un) là một cơ sở của Ln và (e1, e2, ..., en) là
một cơ sở của En. Xác định hàm F sao cho:
n

n

i 1

i 1

Fx    c i u i với x  En, x   c i e i , ci  R, i  1, n .

 F là song ánh vì Fx    c i u i   d i u i  Fy  . Khi đó, do u i i1 lµ
n

n

i 1

i 1

cơ sở của Ln, nên ci = di. Vậy x = y.

n

- 16 -

 F là tuyến tính vì

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ci  d i u i   ci u i   d i u i . Tương tự, ta

-1

cũng có F tuyến tính.
 F là liên tục, vì nó bằng tổng của các hàm liên tục.
 Ta sẽ chứng minh F-1 là liên tục tại gốc   En. Với
  0 tuú ý, gäi E lµ hình cầu mở trong En, có tâm  = (0, 0, ..., 0), bán kính 

. Gọi B  E , vì B là compact đối với En, nên F(B) là compact. Vì   F(B),
nên tồn tại lân cận U của  sao cho U  F(B) = . Khi đó, ta có một lân cận
V của  là sao đối với  , sao cho V  U. Ta sẽ đi chứng minh V  F(E). Giả
sử ngược lại, V khơng là tập con của F(E), khi đó lấy:

v1  V \ FE   x  F -1 v1  E .

Vì B   x là một điểm của En, điểm đó là y  B  x. Vì F là tuyến tính và V
là sao được, nên F(y)  V và F(y)  F(B), suy ra V  F(B)  . Điều này
mâu thuẫn với U  F(B) = . Do đó V  F(E) và F-1(V)  E, do vậy F-1 là
liên tục tại  và F-1liên tục trên En, từ đó Ln là đẳng cấu tuyến tính với En.
v1

x
y


En

V


B

F(B)

Ln

1.2.3. Các tính chất của lân cận ở gốc của không gian vectơ tôpô
Do ánh xạ f(x) = x + a (a  L) là một phép đồng phơi, nên tồn bộ cấu
trúc tơpơ của không gian vectơ tôpô đều tồn tại trên một cơ sở lân cận của
điểm gốc  . Vì lý do này, nên ta chỉ cần làm việc với lân cận ở gốc của
không gian là đủ.
1.2.3.1.Định nghĩa. Một không gian vectơ tôpô L là sao địa
phương,

- 17 nếu mỗi lân cận U của gốc  của nó, tồn tại một lân cận V của  sao cho
VU và V là sao đối với  .
Trong phát biểu trên nếu V là đối xứng tâm  x  V  x  V  , thì L
được gọi là đối xứng địa phương.
1.2.3.2.Định lý. Không gian vectơ tôpô L là sao địa phương và đối
xứng địa phương.
Chứng minh. Cho U là một lân cận của gốc  . Từ tính liên tục của

f x   x t¹i ,  , suy ra tồn tại một lân cận U0 của  và số   0 sao

cho nÕu    vµ nÕu x  U 0 , thì x  U  U 0  U nÕu   . Do hợp của

các lân cận của  là một lân cận của  , nên tập V 

 U

 

0

 U là một lân

cận của  và V là sao và đối xứng đối với . Vậy không gian vectơ tôpô là
sao địa phương và đối xứng địa phương.
1.2.3.3. Hệ quả. Nếu U là một lân cận của  trong khơng gian vectơ
tơpơ L,thì tồn tại lân cận V của  là sao và đối xứng đối với  , sao cho xV,
yV thì xy  U.
Chứng minh. Từ tính liên tục của hàm f(x) = x + y tại (  ,  ), suy ra

tồn tại lân cận U1 của  sao cho U1 + U1  U. Theo định lý 1.2.3.2, tồn tại lân
cận V sao và đối xứng đối với  để, V  U1  V  U1 0    1

vµ V  1   V  U1  U1  U, 0    1 tức là xy  U với xV, y  V.

1.2.3.4. Định lý. Nếu U là lân cận của . Cho trước x0 L, thì tồn tại y0
U và R sao cho y0 = x0.
Chứng minh. Từ tính liên tục của hàm f(x) = x tại (0, x0), suy ra mỗi
lân cận V của x0 thì tồn tại số thực  sao cho UV hay tồn tại y0 U để
y0 =x0.
1.2.3.5. Hệ quả. Trong không gian vectơ tôpô L, giao của các tất cả các
lân cận của  là . Hơn nữa, nếu N() là một lân cận của  và nếu xy (x  , y


- 18  ) là đoạn thẳng chứa , thì xy  N() là một đoạn thẳng khơng suy biến,
có  như là điểm giữa của nó.
Chứng minh. Gọi Ni(), i =1, 2, ... là các lân cận của , giả sử tồn tại x 


và x   N i  . Khi đó, từ điều kiện Hausdorff của L, sẽ tồn tại các lân cận U
i 1

của x và lân cận N i  của  sao cho U  N i   . Điều này mâu thuẫn
0



với x   N i  . Vậy
i 1

0



 N   .
i 1

i

Mặt khác từ định lý 1.2.3.4, ta có y0 = x0  U với   ,  lµ mét sè dương
đủ nhỏ và y0  U. Do đó, đoạn thẳng xy (x  , y  ) chứa , thì xyN() là
một đoạn thẳng chứa  như là điểm giữa của nó.
1.3. KHƠNG GIAN MINKOWSKI
1.3.1. Hàm khoảng cách Minkowski
1.3.1.1. Định nghĩa. Tập S  L là sao đối với , hàm khoảng cách
Minkowski tổng quát p là một hàm có giá trị thực (theo nghĩa đã mở rộng tới
x


 ), được xác định trên L như sau: px   inf r : r  0,  S .
r



Nếu   coreS, thì p(x) <  .
1.3.1.2. Định lý. Giả sử tập S  L là sao đối với  và mỗi đường thẳng
qua  cắt S trong một tập đóng tương đối. Thì S là lồi khi và chỉ khi hàm
khoảng cách Minkowski tổng quát p tương ứng với S, là cộng tính dưới và
thuần nhất dương, nghĩa là:
(i) px  y   px   py  víi mäi x L, y  L

(ii) px   px  víi mäi   0, x L
Chứng minh. (ii) là đúng, do định nghĩa hàm khoảng cách Minkowski
tổng quát.


- 19 -

x
x




Ta có px   inf r : r  0,  S   inf r : r  0,  S  px ,   0
r
r




Giả sử S là tập lồi và lấy x L, y  L.
 Nếu px    hc py    , thì (i) đúng.
 px    hc py    thì tồn tại các số  > 0,  > 0 sao cho p(x)<,
p(y) < .
x
x
y
x
Từ tính thuần nhất của p, suy ra p   1 vµ p   1, vËy  S vµ  S .






Vì S là tập lồi, nên ta có:
 x y 
x y

x

y
  1

. 
.  S  p
       
   

và p(x+y) ≤  +  ≤ p(x)+p(y)

Vậy px  y   px   py  .
Ngược lại, giả sử hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p thoả mãn
(i) và (ii). Cho R là một tia, có  như là điểm cuối. Vì giả thiết R  S là đóng
và pz   1 nếu zRS. Do đó S = {x L : p(x) ≤1}.
Cho x  S, y  S, xÐt x  y,     1,   0,  0 .
Lúc đó, vì px   1, py   1 nª n px  y   px   py       1.
Vậy x + y  S và S là tập lồi.
1.3.2. Định nghĩa không gian Minkowski
1.3.2.1.Định nghĩa. Tập S trong không gian vectơ tôpô L là bị chặn,
nếu với mỗi lân cận N của , tồn tại một bội số vô hướng dương của N là N,

sao cho S  N.
 Không gian vectơ tơpơ L được gọi là định chuẩn, nếu nó lồi địa
phương và chứa một tập mở bị chặn khác rỗng.
Trong không gian định chuẩn L, cho N là một lân cận lồi mở bị chặn
của  và đối xứng tâm . Cho x  px  với p là hàm khoảng cách
Minkowski được xác định bởi N, thì hàm chuẩn , được gọi là chuẩn của L.


- 20 1.3.2.2. Định lý. Một không gian vectơ tôpô Ln chiều xác định là định
chuẩn.
Chứng minh. Ta có Ln đẳng cấu tuyến tính với khơng gian Euclide En
là định chuẩn, nên Ln lồi địa phương và cũng chứa các tập lồi mở bị chặn.
Vậy Ln là định chuẩn.
Mêtric của khơng gian định chuẩn L là hàm , có giá trị thực từ L  L
tới R, được xác định bởi x, y = x  y =p x  y .
Với p là hàm khoảng cách Minkowski và ta có:

i 

iii 

x, x =0

x, y = y, x

ii  x, y > 0, nếu x  y
iv  x, z

 x, y + y, z

1.3.2.3.Định nghĩa. Một không gian vectơ tôpô định chuẩn với chuẩn
x =p(x), được gọi là khơng gian tuyến tính định chuẩn. Khơng gian tuyến

tính định chuẩn hữu hạn chiều gọi là không gian Minkowski.


- 21 CHƯƠNG 2.
TÍNH CHẤT CỦA CÁC TẬP LỒI
TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ TƠPƠ
Trong chương này chúng tơi trình bày bốn phần , phần thứ nhất trình
bày các tính chất của bao lồi của một tập hợp, nêu và chứng minh các tính
chất đóng, mở của bao lồi, mơ tả bao lồi của một tập hợp, của đơn hình của
một hệ điểm độc lập và các điều kiện để một điểm thuộc bao lồi.Phần thứ hai,
trình bày các tính chất của hạch, lin, bao đóng, phần trong, lõi của một tập
hợp, nêu và chứng minh tính chất lồi và quan hệ giữa các tập đó. Phần thứ ba,
trình bày các tính chất của siêu phẳng liên quan với các tập lồi. Nêu và chứng
minh tính chất tách, tựa các tập lồi của siêu phẳng và một điều cần và đủ để
một tập hợp là thể lồi. Phần thứ tư, trình bày tính chất hội tụ của dãy tập lồi
trong khơng gian Minkowski.
2.1. BAO LỒI CỦA MỘT TẬP HỢP
Trong phần này ta sẽ xét một số tính chất tơpơ của bao lồi và nghiên
cứu cấu trúc của bao lồi thông qua các điểm thuộc nó.
2.1.1 Vài tính chất tơpơ của bao lồi
2.1.1.1. Định lí. Trong khơng gian vectơ tơpơ L, nếu tập S  L là tập
mở, thì coS là tập mở.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh (coS) 0 là tập lồi. Lấy bất kỳ
x(coS)0, y  (coS) 0 và không mất tính tổng quát, giả sử y = , ta xét  x = z,
0    1. vì x (coS) 0 nên tồn tại lân cận U của x sao cho U  (coS) 0 suy ra
U(coS) 0 với 0  1. Vậy x  U  (coS)0 và (coS)0 là tập lồi.
Mặt khác, vì S  coS và S  (coS) =  suy ra S  (coS) 0 nên coS  (coS) 0

(do (coS) 0 là tập lồi) từ đó coS = (coS) 0 và coS là tập mở.
2.1.1.2. Nhận xét. Qua định lý 2.1.1.1, ta có bao lồi của một tập hợp mở
là một tập mở, tuy nhiên bao lồi của một tập đóng thì khơng nhất thiết là tập





đóng. Chẳng hạn tập đóng S  x1 , x 2  : x1 x 2  1,0  x 2   trong không
2

2


- 22 gian Euclide 2- chiều E 2

với hệ toạ độ (x 1 , x2) và ta có:

coS  x1 , x 2  : x 2  0 là tập mở.

2.1.1.3.Định nghĩa. Trong không gian vectơ tôpô L, bao lồi đóng của tập
S là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa S.
2.1.1.4.Định lí . Trong khơng gian vectơ tơpơ L, thì bao lồi đóng của một
tập S là bao đóng của bao lồi của S .
Chứng minh. Kí hiệu bao lồi đóng của tập S là ccoS, ta có ccoS là tập
lồi đóng chứa S, nên coS ccoS. . Bây giờ, ta sẽ chứng minh coS là tập lồi là
đủ.
Lấy x0, y0  coS . Xét  x0+  y0 với  +  =1,   0,   0.
Từ tính liên tục của hàm f(x,y)=  x+  y tại (xo,y0), nên mỗi lân cận U của 
x0+  y0 trong L, thì tồn tại một lân cận V của x0 sao cho nếu xV, thì  x+ 

y0U. Vì x0 coS , nên chọn xV  coS thì x+  y0V  coS. Suy ra  x0+

 y0 coS và coS là tập lồi,vậy coS =ccoS.
2.1.2. Các định lí mơ tả bao lồi của một tập hợp
2.1.2.1.Định lý. (Caratheodory) Nếu  là một đơn hình n-chiều trong
khơng gian vectơ L với các đỉnh xi (i=1,…,n+1), thì  gồm tất cả các điểm x
trong L, thỏa mãn:
n 1

x =   ix i,
i 1

n 1

  i =1,  i  0, i=1, …, n+1.
i 1

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp.
 n = 0: Đơn hình là một điểm x= x1
 n =1: Đơn hình có hai đỉnh x1,x2 và x=  1x1+  2x2 với  1+  2=1 và  1  0 ,

 2  0, đơn hình là tập hợp tất cả các điểm trên đoạn thẳng xy.
 Giả sử định lí đúng với n-1.
n 1

Ta kí hiệu L(  )={xL: x=   ixi ,
i 1

n 1

  i=1,  i  0,i=1,…, n+1}
i 1

n 1

n 1

i 1

i 1

Lấy bất kỳ x,yL(  ) thì x=   ixi và y=   ixi với

n 1

n 1

i 1

i 1

  i =1,   i =1,


- 23 -

 i  0,  i  0 i=1,…, n+1.
n 1

Ta có:  x+(1-  )y =  [   i +(1-  )  i]xi (0    1)

i 1

do

n 1

n 1

n 1

i 1

i 1

i 1

 [   i +(1-  )  i] =    i+(1-  )   i =  +(1-  ) =1.Suy ra  x+(1-

 )yL(  ).Từ đó L(  ) là tập lồi.
Mặt khác, L(  )  xi (i=1,…, n+1)  L(  )   . Tiếp tục ta sẽ chứng minh
n 1

quy nạp cho L(  )   . Cho z  L(  ), thì z=   ixi ,
i 1

n 1

i

=1,  i  0.

i 1

Khơng mất tính tổng quát, giả sử 0<  1<1 thì:
n 1



n 1

z=  1x1+   ixi =  1x1+(1-  1)u, với u= 

n 1

i

i 2 1   1

i2

n 1

n 1

i2

i 1

xi và



1
i 2

i

=1
1

Theo giả thiết quy nạp ta có uco(  x i)  co(  x i) =  .
Do  là tập lồi nên z =  1x1+(1-  1)u  . Vậy L(  )   và L(  )=  .
2.1.2.2. Định lí. Trong không gian vectơ Ln , cho tập S và các tập Si
được định nghĩa như sau:
S1=  xy , Si =
xS
yS

 xy

xSi 1
ySi 1

Thì S i = coS , nếu in thỏa mãn bất đẳng thức: 2i

n 1

n

 n  1  2i .

n

Chứng minh. Chọn điểm bất kỳ x  coS. Theo định lí 2.1.2.1, thì tồn
r

tại các điểm x1, x2, …, xr (r  n+1) sao cho x  co x i  , víi  là đơn hình r
i 1

- 1 chiều có các đỉnh x i  S, i  1, r. TËp S1 gồm tất cả các cạnh của ; Tập S2
gồm tất cả các đơn hình 3- chiều của  ; Tập S4 gồm tất cả các đơn hình 15chiều của  ,... Bằng suy luận và với cách cho như trên, nếu ta nối hai đơn
hình 2n-1-1 chiều ta được một đơn hình có chiều là 2(2i-1-1)+1=2i-1. Do vậy,
bằng quy nạp nếu 2i

n 1

 1  n  2i  1 thì:
n

  Si cho nª n nÕu 2i 1  n  1  2i thì ta có Si  coS.
n

n

n

2.1.3. Các định lí về bao lồi của hợp các tập lồi

n

- 24 2.1.3.1.Định lí. Trong khơng gian vectơ L cho hai tập lồi A và B, thì
co   

 A  1   B  C .

01

Chứng minh. Nếu a  A và b  B thì:
a  1   b  coA  B víi 0    1.

Từ đó tập C  coA  B. Mặt khác, nếu x  C, y  C thì tồn tại các điểm a1,
a2  A và b1, b2  B sao cho x a1a2 và y  b1b2, Vì A, B là các tập lồi, nên
a1a2A, b1b2B  co(a1a2b1b2)  C  xy  C và C là tập lồi. Rõ ràng
C(AB) và C lồi nên Cco(AB).
Vì vậy, ta có co   

 A  1   B

0 1

2.1.3.2.Định lí. Cho Ci (i =1, 2, …, n) là các tập lồi trong không gian
n

vectơ L, thì co C i là hợp của tất cả các đơn hình có nhiều nhất một đỉnh
i 1

thuộc mỗi Ci. Nghĩa là:
n



n

n



i 1



i 1

i 1



co  C i =  x : x   i xi , xi  Ci ,  i  1,  i  0, i  1,2,..., n .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lí bằng phương pháp quy nạp.
Ta có n = 1 thì coC1= C1, do C1 là tập lồi, mỗi đơn hình là một điểm của C1.
Với n=2 thì co(C1C2) =

C1  (1  )C2  đã được chứng minh trong

01

định lí 2.1.3.1, vậy định lí đúng với n =1, n = 2. Giả sử định lí đúng với
n
n


x

L
:
x


x
,
x

C
,
n – 1 (n  3). Đặt N  


i i
i
i  i 1, i  0, i  1,...,n  .

i 1
i 1


Ta đi chứng minh N là tập lồi.Thật vậy, lấy bất kỳ x  N, y  N, xy thì:
n

x=   i x i , y=
i 1

n

 i x i , xi  Ci ,
i 1

n

n

i 1

i 1

  i  1,  i  1, i  0, i  0, i=1,…, n.


- 25 -

Rõ

x

ràng

n

+

(1-)y

 [ 

=

i 1

n

[
i 1

i

 (1  )i )]x i 

N,

vì

n

i

 (1  )i ]    i  (1  ) i    (1  )  1 , với 01. Vậy
i 1

N là tập lồi. Ta cũng có Ci  N, i = 1, …, n, do đó co 

n

 Ci   N. Tiếp tục
i 1

ta sẽ chứng minh N co  C i  . Lấy bất kì zN, ta có z=   i x i ,
 i 1 
i 1
n

n

n


i 1

i

 1,  i  0, x i  Ci , i  1,...,n. Khơng mất tính tổng qt giả sử 0<1<1,
n

n

khi đó z=1x1+   i x i = 1x1+(1-)u, với u= 
i 2

i2

i
1  1

n

xi ,



i

i2 1  

 1. Theo
1

n




giả thiết nạp ta có uco   Ci   co  Ci  . Vậy z=1x1+(1-1)uco(  C i )
i 1
 i2 
 i1 
n

n

n

hay N  co(  C i ). Do vậy ta có:
i 1

n

co

C

i

 x L : x=

i 1

n

n

  x , 
i 1

i i

i 1

i

 1, i  0 , xiCi, i=1,2,…,n và định lí

được chứng minh.
2.1.4. Các điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc bao lồi của tập hợp

2.1.4.1.Định lí. Cho S là một tập trong khơng gian vectơ L thì x coS
khi và chỉ khi x được chứa trong một đơn hình  hữu hạn chiều có tồn bộ
các đỉnh thuộc S.
Chứng minh. Ta kí hiệu, các đơn hình n- chiều có tồn bộ các đỉnh
thuộc S là An và hợp của tất cả các đơn hình này là K(S) =

 A n .Trước hết ta
n

chứng minh K(S) là tập lồi. Thật vậy lấy bất kỳ x  K(S), y K(S) xét z = x
 r 1 
 t 1 


+(1-)y, 0 1, vì tồn tại các đơn hình 1  co  x i ,  2  co  x j  sao
 i1 
 jr  2 



cho x1, y2, xi  S (i = 1, ... , t +1, t  n) nên ta có thể chứng minh bằng