Khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng phương pháp thứ nhất của liapunov

1

MỤC LỤC
Mở đầu .................................................................................................................................... 2
Chương 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định
1.1. Các định nghĩa. ................................................................................................................ 4
1.2. Các định lý về ổn định của hệ vi phân tuyến tính ............................................................ 7
1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất ........................................................... 9
1.4. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng số ........................................... 11
Chương 2. Số mũ đặc trưng
2.1. Số mũ đặc trưng của hàm số ........................................................................................... 13
2.2. Số mũ đặc trưng của ma trận hàm .................................................................................. 19
2.3. Phổ của hệ tuyến tính thuần nhất ..................................................................................... 21
2.4. Hệ cơ bản chuẩn.............................................................................................................. 24
Chương 3. Khảo sát tính ổn định của hệ phương trình vi phân bằng phương pháp thứ
nhất của Liapunov
3.1. Định lý điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính ..................... 32
3.2. Các hệ dẫn xuất - Định lý Erughin ................................................................................. 33
3.3. Định lý Floke .................................................................................................................. 36
3.4. Hệ vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số tuần hoàn ......................................................... 41
Kết luận ................................................................................................................................. 51
Tài liệu tham khảo ............................................................................................................... 52


2

MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính
phương trỡnh vi phõn. Lý thuyết ổn định được ứng dụng ngày càng nhiều ở các
lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thái
học và môi trường học. Với lý do trờn, lý thuyết ổn định đang được nhiều nhà

toán học quan tâm nghiên cứu và phát triển ở cả hai hướng ứng dụng và lý
thuyết. Trong [5], Äồỡốọợõốữ Á.ẽ đó trỡnh bày hai phương phỏp cơ bản để
nghiờn cứu tớnh ổn định của hệ phương trỡnh vi phõn. Đõy là những kết quả
kinh điển nhất của lý thuyết này.
Một trong hai phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định của hệ
phương trỡnh vi phõn là phương pháp số mũ đặc trưng của Liapunov (hay cũn
gọi là phương pháp thứ nhất của Liapunov). Đây là phương pháp hiện đang
được nghiên cứu mạnh mẽ và có nhiều kết quả đáng kể, đặc biệt là trong lý
thuyết phương trỡnh vi phõn trong khụng gian Banach. Cơ sở của phương
pháp này là khái niệm về số mũ đặc trưng Liapunov. Khái niệm này có thể mở
rộng được cho cỏc hàm trong nhiều loại khụng gian như khụng gian Banach...
Phương phỏp thứ hai của Liapunov cũng được ỏp dụng nhiều trong việc
nghiờn cứu định tớnh cỏc hệ phương trỡnh vi phõn, nhất là cỏc hệ phi tuyến
mà ở đú khú cú thể ỏp dụng được phương phỏp thứ nhất. Cơ sở của phương
phỏp này là tỡm cỏc hàm v(t , X ) thoả món cỏc điều kiện nhất định và gọi đú là
cỏc hàm Liapunov. Tuy nhiờn khụng cú một phương phỏp chung nào để xõy
dựng cỏc hàm Liapunov khi chưa biết nghiệm của hệ phương trỡnh vi phõn.
Vỡ vậy phương phỏp thứ nhất đó thể hiện được tớnh ưu việt trong việc nghiờn
cứu tớnh ổn định của cỏc hệ vi phõn thụng qua cỏc dạng của vế phải mà khụng
phải giải cụ thể cỏc hệ này.


3
Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về phương trỡnh vi phõn và lý thuyết
ổn định của các tác giả Hoàng Hữu Đường [1], Nguyễn Thế Hoàn [2], [3], Trần
Văn Nhung [3], Äồỡốọợõốữ Á.ẽ [5]..., dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ
Quang Hải đề tài nghiờn cứu về " Khảo sỏt tớnh ổn định của hệ vi phõn tuyến
tớnh bằng phương pháp thứ nhất của Liapunov ". Nội dung của đề tài được thể
hiện trong Luận văn qua ba chương như sau:
Chương 1 đưa ra cỏc khỏi niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và cỏc định

lý về sự ổn định của cỏc hệ vi phõn tuyến tớnh.
Chương 2 trỡnh bày cỏc khỏi niệm số mũ đặc trưng của hàm số, số mũ
đặc trưng của ma trận hàm, phổ của hệ vi phõn tuyến tớnh, hệ cơ bản chuẩn và
cỏc tớnh chất cơ bản của chỳng.
Chương 3 là nội dung trọng tõm của Luận văn. Trong chương này chỳng
tụi trỡnh bày và chứng minh chi tiết cỏc kết quả cơ bản của phương phỏp thứ
nhất của Liapunov và vận dụng phương pháp này khảo sát tính ổn định của hệ
vi phõn tuyến tớnh với hệ số tuần hoàn.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Tạ Quang Hải. Qua đõy tỏc giả xin tỏ lũng biết ơn sõu sắc tới
cỏc Thầy giỏo trong Khoa Toỏn - Trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS. TS.
Tạ Quang Hải, TS. Phan Lờ Na, PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, PGS. TS. Trần
Văn Ân, TS. Tạ Khắc Cư, PGS. TS. Nguyễn Nhụy cựng cỏc Thầy cụ trong
Khoa Đào tạo Sau Đại học và cỏc bạn học viờn lớp Cao học XI – Toỏn đó
quan tõm và tạo điều kiện thuận lợi trong quỏ trỡnh học tập và thực hiện Luận
văn.
Vinh, thỏng 12 năm 2005
Nguyễn Thị Võn


4

Chương 1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
Xét hệ phương trỡnh vi phõn chuẩn
dy j
dt

= fj(t, y1,y2,...,yn), j = 1, n ,

(1.1.1)

với t là biến độc lập, y1 , y 2 ,, y n là cỏc hàm cần tỡm; f j là các hàm xác định
trong bán trụ: T = It+  Dy, It+ = t 0  t   và Dy là một miền mở thuộc Rn ,
ở đây t 0 là một số hoặc ký hiệu   .
Đưa vào các ma trận
 y1 
y 
2
Y =   = colon  y1 , y 2 ,, y n  ,
 
 
 yn 

F (t , Y ) = colon  f1 (t , Y ),, f n (t , Y ) .

Khi đó (1.1.1) có thể viết lại dưới dạng phương trỡnh vộctơ ma trận
dY
= F (t , Y ) .
dt

(1.1.2)

Hàm véctơ Y = Y (t )  C1 xác định trong a, b   It+ thỏa món phương trỡnh
(1.1.2) được gọi là nghiệm.


5

Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm  =  (t ) a  t   của hệ (1.1.2) được gọi là ổn
định theo Liapunov khi t   nếu với mọi   0 và t 0  a, tồn tại  =
 ( , t 0 )  0 sao cho

i) Tất cả cỏc nghiệm Y = Y (t ) của hệ (1.1.2) ( bao gồm cả nghiệm  =  (t ) )
thỏa

món

điều

Y (t 0 )   (t 0 )

kiện

 ,

(1.1.3)
xác định trong khoảng t 0 , .
ii) Đối với các nghiệm đó ta có
Y (t )   (t )

  khi t 0  t   .

(1.1.4)

Nhận xột 1.1.1. Nghiệm tầm thường  (t )  0 a  t   ổn định nếu với mọi
  0 và t 0  a, tồn tại  =  ( , t 0 )  0 sao cho từ bất đẳng thức Y (t 0 )  

suy ra: Y (t )   với mọi nghiệm Y (t ) của hệ (1.1.2), t 0  t   .

Định nghĩa 1.1.2. Nếu số  có thể chọn khơng phụ thuộc vào thời điểm đầu t 0 ,
tức là  =  ( ) thỡ ổn định được gọi là ổn định đều.
Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm  =  (t ) a  t   được gọi là không ổn định
theo Liapunov nếu với   0 nào đó, t 0  a, và   0 tồn tại nghiệm Y (t ) và
thời điểm t1 = t1 ( )  t 0 sao cho
Y (t 0 )   (t 0 )   và

Y (t1 )   (t1 )

 .

Nghiệm tầm thường  (t )  0 không ổn định nếu với   0 , t 0  a, và   0
tồn tại nghiệm Y (t ) và thời điểm t1  t 0 sao cho
Y (t 0 )

  , Y (t1 )

 .


6

Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm  =  (t ) được gọi là ổn định tiệm cận khi t  
nếu
i) Nghiệm này ổn định theo Liapunov.
ii) Với t 0  a, tồn tại  = (t 0 )  0 sao cho tất cả cỏc nghiệm Y = Y (t ) ,

t 0  t   thỏa món điều kiện

Y (t 0 )   (t 0 )   cú tớnh chất

lim Y (t )   (t )
t 

=

0.

(1.1.5)
Nghiệm tầm thường  (t )  0 ổn định tiệm cận nếu nó ổn định theo Liapunov và
lim Y (t ) = 0 khi Y (t 0 )   với mọi nghiệm Y (t ) . Hỡnh cầu Y
t 

 (t 0 ) với t 0

cố định được gọi là miền hấp dẫn của vị trớ cõn bằng 0 .
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử hệ (1.1.2) xỏc định trong không gian
 =    t     Y  . .

Nếu nghiệm  =  (t ) a  t   ổn định tiệm cận khi t   và tất cả cỏc
nghiệm Y = Y (t ) , t 0  t  , t 0  a  cú tớnh chất (1.1.5), tức là  =  thỡ
nghiệm  =  (t ) được gọi là ổn định tiệm cận hoàn tồn.
Nói cách khác, trong trường hợp ổn định tiệm cận hoàn toàn của nghiệm  (t )
toàn bộ khụng gian Kn là miền hấp dẫn của nú.


7

1.2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH
Xét hệ phương trỡnh vi phõn tuyến tớnh

dY
= A(t ).Y  f (t ) ,
dt

(1.2.1)

với A(t ), f (t )  C I t .
Giả sử

dX
= A(t ).X ,
dt

(1.2.2)

là hệ thuần nhất tương ứng.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định (hoặc khơng ổn
định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y (t ) của nó ổn định (hoặc khơng ổn định) theo
Liapunov khi t   .
Định lý 1.2.1.([2], [5]) Điều kiện cần và đủ để hệ (1.2.1) ổn định với số hạng
tự do tựy ý f (t ) là nghiệm tầm thường X 0 (t )  0 t 0  t   của hệ thuần nhất
tương ứng ổn định.
Hệ quả 1.2.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó
của hệ ổn định và hồn tồn khơng ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ
khơng ổn định.
Hệ quả 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và
chỉ khi hệ thuần nhất tương ứng ổn định.


8

Định nghĩa 1.2.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định đều nếu tất
cả cỏc nghiệm Y (t ) của hệ này ổn định đều khi t   đối với thời điểm đầu t 0 .
Định lý 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định đều khi và chỉ khi
nghiệm tầm thường X 0 (t )  0 của hệ (1.2.2) ổn định đều khi t   .
Định nghĩa 1.2.3. Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận
nếu tất cả cỏc nghiệm Y (t ) của hệ này ổn định tiệm cận khi t   .
Định lý 1.2.3.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận khi và
chỉ khi nghiệm tầm thường X 0 (t )  0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.2.2) ổn
định tiệm cận khi t   .
Hệ quả 1.2.3.([2], [5]) Để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận với số hạng tự do tựy ý
f (t ) cần và đủ là hệ thuần nhất tương ứng ổn định tiệm cận.


9

1.3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
Xột hệ thuần nhất
dX
dt

= A(t ).X

(1.3.1)

với A(t )  C I t .
Định lý sau chứng tỏ rằng tính ổn định của hệ (1.3.1) tương đương với
tính giới nội của nú.
Định lý 1.3.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định theo
Liapunov khi t   khi và chỉ khi mỗi một nghiệm X = X (t ) , t 0  t   của
hệ này giới nội trờn bỏn trục t 0  t   .

Định lý 1.3.2.([2], [5]) Hệ tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định tiệm cận khi
t   khi và chỉ khi mọi nghiệm X  X (t ) của nú dần về 0 khi t   , tức là
lim X (t )  0 .

(1.3.2)

t 

Hệ quả 1.3.1.([5]) Hệ tuyến tính ổn định tiệm cận là ổn định tiệm cận hoàn toàn.
Chỳ ý 1.3.1. Đối với hệ vi phân khơng tuyến tính sự dần về khơng của tất cả các
nghiệm nói chung khơng suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường
của nú.
Vớ dụ 1.3.1.

Xột hệ
 dx x 2 2
 dt  t  t xy

 dy   y
 dt
t

t  1.


10
Hệ đó cho cú nghiệm tầm thường 0,0 .
Tớch phõn hệ trờn ta cú
 x  C1 .t.e C2 t



C2
y 
t

2

Đặt t 0  1 , ta cú
 x(t )  x(t 0 ).t.e  y


y (t 0 )
 y (t ) 
t


2

( t 0 )( t 1)

Rừ ràng lim x(t )  lim y(t )  0 .
t 
t 
Tuy vậy, với   0 bất kỳ, khi x(t 0 )   2 , y(t 0 )   ta cú:
x(1 

1



2

)   .(1 
2

1



2

 2 .

).e

1

2

 (1   2 ).e 1  e 1 .

Do đó nghiệm (0,0) khơng ổn định và hơn nữa khơng ổn định tiệm cận khi
t 


11

1.4.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN
HẰNG SỐ
Xét hệ phương trỡnh vi phõn

dX
 A. X .
dt

(1.4.1)

với A  [a jk ] là ma trận hằng số n  n .
Đặt X  e At .u , ta cú
dX
du
 e A.t .  A.e At .u  A.e A.t .u .
dt
dt

Từ đó suy ra

e A.t

du
 0.
dt

(1.4.2)

Vỡ det e A.t  e t .spA  0 nờn ma trận e A.t khơng suy biến. Do đó từ (1.4.2) ta có
du
 0 , nghĩa là u  C , với C là ma trận hằng số n  1 .
dt

Như vậy, nghiệm tổng quát của (1.4.1) với ma trận hằng số A sẽ là:

X  e A.t .C .

(1.4.3)

Giả sử X (t 0 )  X 0 , từ (1.4.3) ta cú: X 0  e A.t .C , tức là C  e  A.t . X 0
0

Do đó

0

X  e A.(t t0 ) . X 0 .

Gọi 1 , 2 ,, m ,

(1.4.4)

m  n là cỏc giỏ trị riờng của

A tương ứng với các ô

Joocdan khỏc nhau với e1 , e2 ,, em là bậc của các ơ đó. Gọi S là ma trận khơng
suy biến, đưa A về dạng Joocdan ta cú
A  S 1 .diag J 1 (1 ),, J m (m ).S ,

với J p ( p ) , p  1, m là các ô Joocdan tương ứng.
Từ (1.4.4) ta cú





X (t )  S 1 .diag e t t0 .J 1 (1 ),, e t t0 .J m (m ) .S ,

(1.4.5)


12


với e t t .J p ( p )  e  .(t t ) . Ee 
p

0

0



trong đó I (j p ) ,

 j  1, e

p

p

t  t 0 e p 1 ( p )  ,
(t  t 0 ) ( p ) (t  t 0 ) 2 ( p )
.I 1 

.I 2   
.I e 1 
1!
2!
(e p  1)! p 



 1 là cỏc dóy lịch đơn vị tương ứng. ([5])

Định lý 1.4.1.([2], [5]) Hệ tuyến tớnh thuần nhất (1.4.1) với ma trận hằng số A
ổn định khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng  j   j (A) của ma trận A có phần
thực khơng dương, tức là Re  j ( A)  0 , j  1, n . Thêm vào đó, các nghiệm đặc
trưng có phần thực bằng khơng cho ta chỉ có các ước sơ cấp đơn giản
( tức là các ô Joocdan tương ứng đưa về một phần tử ).
Chỳ ý 1.4.1. Hệ tuyến tớnh thuần nhất với ma trận hằng số ổn định sẽ là ổn
định đều với thời điểm đầu t 0  (,) .
Thật vậy, vỡ cỏc nghiệm của hệ tuyến tớnh ổn định là giới nội nên
e A.t  c , với t  0 .

Giả sử X (t ) là nghiệm tựy ý của hệ. Khi đó X (t )  e (tt ). A . X 0 (t ) .
0

Do đó với t  t 0 ta cú
X (t )  e (t t0 ). A . X 0 (t )  c. X 0 (t )   nếu

X 0 (t ) 


c

 .

Số  khụng phụ thuộc vào t 0 . Như vậy, nghiệm tầm thường X  0 ổn định
đều khi t   .
Định lý 1.4.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4.1) với ma trận
hằng số ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng của ma trận A
cú phần thực õm, tức là Re  j ( A)  0 , j  1, n .


13
Chương 2.

SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG
2.1. SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.1.1. Số ( hoặc  ; ) xác định bởi
1
t  t

[ f (t )]  lim ln f (t ) ,

(2.1.1)

được gọi là số mũ đặc trưng Liapunov của hàm f (t ) .
Vớ dụ 2.2.1
1
t

ln e .t  lim   .
i) Hàm f (t )  e .t  [ f (t )]  lim

t 
t 
1
t

ln t m  lim
ii) Hàm f (t )  t m  [ f (t )]  lim
t 
t 

m
ln t  0 , m là hằng số.
t

Cỏc tớnh chất đơn giản:
i) [ f (t )]  [ f (t ) ] .
ii) [c. f (t )]  [ f (t )] , (c  0) .
iii) Nếu f (t )  F (t )

thỡ

[ f (t )]  [ F (t )] .

(2.1.2)

iv) Với dóy t k   khi t   ta cú
lim

k 

1
. ln f (t k )   [ f (t )] .
tk

Bổ đề 2.1.1. Nếu [ f (t )]   ,   

(2.1.3)

thỡ
i) Với   0 ta cú: f (t )  o[e (  ). ] , nghĩa là lim
t 

f (t )
e

(  ). t

 0.

(2.1.4)


14

ii) lim
t 

f (t )
e

(  ). t k

  , tức là tồn tại dóy t k   sao cho

lim

k 

f (t )

e

k
(  ).t k

  .

(2.1.5)

Ngược lại, nếu với   0 cú (2.1.4) thỡ [ f (t )]   và nếu cú (2.1.5) thỡ
[ f (t )]   .

Nếu có đồng thời (2.1.4) và (2.1.5) thỡ [ f (t )]   .
1
t

ln f (t )   . Khi đú   0 ta cú
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử [ f (t )]  lim
t 
1


. ln f (t )    ,
t
2

và tồn tại dóy t k   sao cho
lim

k 

1
. ln f (t k )   .
tk

Như vậy ta có


f (t )  e

(  ).t
2



; f (t k )  e

(  ). t k
2

, t  T ( ) , k  N .

Do đó ta có (2.1.4) và (2.1.5).
Điều kiện đủ. Nếu có (2.1.4) thỡ rừ ràng [ f (t )]  [e (  ).t ]     .
Do   0 bộ tựy ý nờn ta cú: [ f (t )]   .
1
tk

. ln f (t )      [ f (t )]   .
Nếu cú (2.1.5) thỡ [ f (t )]  lim
k 

Rừ ràng nếu cú đồng thời (2.1.4) và (2.1.5) thỡ [ f (t )]   .

Định lý 2.1.1.([5]) Số mũ đặc trưng của tổng hữu hạn các hàm f k (t ) , k  1, m
không vượt quá số mũ đặc trưng lớn nhất của các hàm này (trong trường hợp
hữu hạn ) và trùng với nó trong trường hợp số mũ đặc trưng lớn nhất chỉ có ở
một số hạng. Nghĩa là


15

m

 [ f k (t )]  max [ f k (t )] .

(2.1.6)

k

k 1

Chứng minh. Giả sử max [ f k (t )]   . Ta cú thể giả thiết    .
k

Theo Bổ đề [2.2.1], với   0 ta cú
m

lim
t 

f k (t )
e

 0,

(  ). t

f



k  1, m

(t )

k
k 1
(  ). t



e

m

f k (t )

e  
k 1

(  ). t

 o(1) .

Do đó theo phần ii) của Bổ đề [2.2.1] ta có
m

 [ f k (t )]   .

(2.1.7)

k 1

Giả sử max [ f k (t )]  [ f p (t )]   và [ f k (t )]   , k  p .
k

Theo Bổ đề, tồn tại dóy t q   khi q   sao cho lim
q 

f (t q )

e

(  ). t q

  .

m

Với  k   , ta cú:

f

(t )

k q
k 1
(  ). t q

e



f p (t q )
e

(  ). t q

f k (t q )

m


k 1

e

( k   ). t q

1

.
e

(  k  2 ). t q

.

m

Với 0    min
k p

 k
2

f

(t )

k q

k 1
(  ). t q
q 

ta cú: lim

e

  .

m

m

k 1

k 1

Do đó  [ f k (t )]   . Kết hợp với (2.1.7) ta cú:  [ f k (t )]   .

Chỳ ý 2.1.1. Bất đẳng thức (2.1.6) vẫn đúng nếu tất cả hoặc một số các  k nào
đó bằng   .
Định lý 2.1.2.([5]) Cho cỏc hàm f k (t ) , k  1, m . Khi đó
m

m

k 1

k 1

 [ f k (t ]    [ f k (t )] .

Chứng minh. Ta cú

(2.1.8)


16

m

1
t  t

m

1 m
ln f k (t )

t  t
k 1

 [ f k (t )]  lim ln  f k (t )  lim
k 1

m

ln f k (t )

k 1

t

 lim 
t 

k 1

m

  lim
k 1

ln f k (t )

t 

t

m

    f k (t )
k 1

m

Hệ quả 2.1.1. [ ck (t ). f k (t )]  max [ f k (t )] , với ck (t )  M k , k  1, m .
k

k 1

Chứng minh. Suy từ Định lý (2.1.1) và (2.1.2).
Chỳ ý 2.1.2. Nếu tổ hợp tuyến tớnh cỏc hàm

m

c . f
k 1

k

k

(t ) với ck  const ,
m

ck  0 chỉ chứa một số hạng đặc trưng lớn nhất thỡ  [ ck (t ). f k (t )]  max  [ f k (t )]
k 1

k

.
Định nghĩa 2.1.3. Số mũ đặc trưng của hàm f (t ) , t  t 0 được gọi là ngặt nếu
tồn tại giới hạn hữu hạn
1
t  t

[ f (t )]  lim ln f (t ) .

(2.1.9)

Nhận xột 2.1.1. Nếu hàm f (t ) có số mũ đặc trưng ngặt thỡ f (t )  0 , t  T và
1
1
1
1
1
]  lim ln
 lim . ln f (t )    [ f (t )]
t


t


f (t )
t f (t )
t
1
] 0.
 [ f (t )]  [
f (t )
1
ln f (t ) và
Ngược lại, nếu có (2.1.10) thỡ [ f (t )]  lim
t  t
1
1
1

[
]  lim ln f (t )
t


f (t )
t
1
1
1
]  lim ln f (t )   lim ln f (t )   [ f (t )] .
 [
t


t  t
f (t )
t
1
1
ln f (t )  lim ln f (t ) .
Do đó, lim
t  t
t  t

từ (2.1.9) ta cú [

 Tồn tại giới hạn (2.1.9).

Định lý 2.1.3.([5])Nếu hàm f (t ) có số mũ đặc trưng ngặt thỡ

(2.1.10)


17
[ f (t ).g (t )]  [ f (t )]  [ g (t )] .

(2.1.11)

Chứng minh. Theo Định lý (2.1.2) ta có
[ f (t ).g (t )]  [ f (t )]  [ g (t )] .

(2.1.12)

Mặt khỏc, theo (2.1.10) ta cú:
[ g (t )]  [ f (t ).g (t ).

1
1
]  [ f (t ).g (t )]  [
]  [ f (t ).g (t )]  [ f (t )]
f (t )
f (t )

 [ f (t ).g (t )]  [ f (t )]  [ g (t )] .

(2.1.13)

Từ (2.1.12) và (2.1.13) ta cú (2.1.11).
Hệ quả 2.1.2. [e .t . y]    [ y] .

Định nghĩa 2.1.4. Cỏc tớch phõn
t
 f (t1 )dt1
t
F (t )   0


 f (t1 )dt1
t

nÕu  [ f (t )]  0

(2.1.14)

nÕu  [ f (t )]  0

(2.1.15)

được gọi là tớch phõn Liapunov của hàm f (t ) , (t  t 0 ) .
Định lý 2.1.4. Số mũ đặc trưng của tích phân không vượt quá số mũ đặc trưng
của hàm dưới dấu tích phân.
Chứng minh. Giả sử [ f (t )]   . Ta cú thể giả thiết    . Khi đó với   0
ta cú f (t ) .e (  ).t  0 khi t   .
Từ đó suy ra f (t )  M .e (  ).t , với M  0 .
Nếu   0 , từ (2.1.14) ta cú
t

t

t0

t0

F (t )   f (t1 ) dt1   M .e (  ).t1 .dt1 





M
M
e (  ).t  e (  ).t0 
.e (  ).t ,
 
 

t  t0

.


18
Do đó [ F (t )]  [ F(t) ]     . Do   0 bộ tựy ý nờn [ F (t )]   .
Nếu   0 , từ (2.1.15) ta cú:  0     thỡ




t

t

F (t )   f (t1 ) dt1  M . e (  ).t1 dt1  M .

e (  ).t
.
 

Tương tự như trên ta cũng cú: [ F (t )]   .
Vậy [ F (t )]  [ f (t )] .
Hệ quả 2.1.3. Nếu [ (t )]  0 ; [ (t )]  0 thỡ
t

 [   (t1 ). (t1 ).dt1 ]   [ (t )]   [ (t )] .
t0
t

Chứng minh. Ta cú [   (t1 ). (t1 ).dt1 ]   [ (t ). (t )]   [ (t )]   [ (t )] .
t0


19

2.2. SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN HÀM
Định nghĩa 2.2.1. Cho ma trận F (t )   f jk (t ) xác định trên [t 0 ,) . Ta gọi
[ F (t )]  max [ f jk (t )] .

(2.2.1)

j ,k

là số mũ đặc trưng của ma trận F (t ) .
Chỳ ý 2.2.1. Nếu F T (t )   f kj (t ) thỡ [ F (t )]  [ F T (t )]
Bổ đề 2.2.1. Số mũ đặc trưng của ma trận hữu hạn F (t ) trùng với số mũ đặc
trưng của chuẩn của nó.
Chứng minh. Vỡ f jk (t )  F (t ) nờn [ f jk (t ) ]   [ F (t ) ] . Từ đó ta có
[ F (t )]  [ F (t ) ] .

Mặt khỏc, F (t )   f jk (t ) nờn
j ,k

[ F (t ) ]  [ f jk (t ) ]  max [ f jk (t )]  [ F (t )] .
j ,k

j ,k

Vậy [ F (t )]  [ F (t ) ] .
Định lý 2.2.1.([5]) Số mũ đặc trưng của tổng hữu hạn các ma trận không vượt
quá số mũ đặc trưng lớn nhất trong các số mũ đặc trưng của các ma trận này.
Chứng minh. Giả sử Fs (t ) , s  1, N là cỏc ma trận cựng loại m n và
N

F (t )   Fs (t ) .
s 1

N

Từ đó ta có F (t )   Fs (t )
s 1


(2.2.2)

[ F (t )]  [ F (t ) ]  max [ Fs (t ) ]  max [ Fs (t )] .
s

s


20

Chỳ ý 2.2.2. Nếu trong số cỏc ma trận Fs (t ) , s  1, N chỉ có một số mũ đặc
trưng lớn nhất thỡ số mũ đặc trưng của tổng các ma trận này bằng số mũ đặc
trưng đó.
Thật vậy, giả sử [ F1 (t )]  [ Fs (t )] , s  1 và Fs (t )  [ f jk( s] (t )] , s  1, N .
Ta cú F (t )   Fs (t )   f jk (t ) .
N

s 1

Giả sử [ F1 (t )]  max [ f jk(1) (t )]  [ f pq(1) (t )] .
j ,k

Theo Định lý (2.1.1) ta có   f pq( s ) (t )    Fs (t )    f pq(1) (t ) .
Với s  1 ta cú   f pq (t )   f pq(1) (t )   F1 (t )    F (t )    F1 (t )  max   Fs (t ) .
s

Vậy   F (t )  max   Fs (t ) .
s

Định lý 2.2.2.([5]) Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn ma trận hàm Fs (t ) ,
s  1, N không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của cỏc ma trận hàm này
N

N

s 1

s 1

  Fs (t )    Fs (t ) .

Chứng minh. Giả sử

Fs (t ) , s  1, N là các ma trận có thể nhân được và

N

N

s 1

s 1

F (t )   Fs (t ) . Từ đó ta có: F (t )   Fs (t ) .
N

N

N

s 1

s 1

s 1

Do đó,   F (t )    Fs (t )      Fs (t )      Fs (t ) .
Từ Định lý (2.2.1) và (2.2.2) suy ra
Hệ quả 2.2.1. Số mũ đặc trưng của tổ hợp tuyến tính các ma trận khơng vượt
q số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các ma trận này và trùng với
nó khi và chỉ khi số mũ đặc trưng lớn nhất chỉ có ở một ma trận.
Chứng minh. Suy từ Định lý [2.2.2].


21

2.3. PHỔ CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
dX
 A(t ). X ,
dt

Giả sử

(2.3.1)

là hệ vi phõn tuyến tớnh với A(t )  C( a, ) .

Định lý 2.3.1 (Định lý Liapunov về số mũ đặc trưng của cỏc nghiệm của hệ
tuyến tớnh).([5]) Nếu ma trận của hệ (2.3.1) giới nội A(t )  c   thỡ với

mỗi nghiệm thực hoặc phức khụng tầm thường X  X (t ), (a  t 0  t  ) cú số
mũ đặc trưng hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử X  colon X 1 , X 2 ,, X n    , t , t 0  (a,) . Từ (2.3.1) ta cú
t

X (t )  X (t 0 )   A(t1 ). X (t1 ).dt1
t0
t

 X (t )  X (t 0 )   A(t1 ) . X (t1 ) dt1 .
t0

Áp dụng Bổ đề Gronwall - Benman ta cú
t



X (t 0 ) .e


t0

t

A( t1 ) dt1

 X (t )  X (t 0 ) .e



A( t1 ) .dt1

t0

 X (t ) 

Mặt khỏc,  
   X (t ) nờn ta cú:
 X (t 0 ) 
 
 e t0

t



    X (t )    e t0




t

A( t1 ) dt1

A( t1 ) dt1


.




  lim . A(t1 ) dt1    X (t )   lim . A(t1 ) dt1 .
t 
t

1
t  t
t0

t

1
t t0

.


22

Từ đó ta có:  c   lim . A(t1 ) dt1    X (t )   lim . A(t1 ) dt1  c .
t 
t

t

1
t  t
t0

1
t t0

Chỳ ý 2.3.1. Nếu ma trận A(t ) của hệ tuyến tớnh (2.3.1) thực và hệ (2.3.1)cú
nghiệm phức Z (t )  1 (t )  i 2 (t ) ( 1 (t ),  2 (t ) thực) và  Z (t )   thỡ tồn tại
nghiệm thực X (t ) của hệ này sao cho  X (t )   . Thật vậy, ta cú
d k (t )
d 1 (t )  i 2 (t )
 A(t ).1 (t )  i. 2 (t ) 
 A(t ). k (t ) , k  1,2 .
dt
dt

  k (t ), k  1,2 cũng là cỏc nghiệm của hệ (2.3.1).
Đặt X (t )   s (t ) với   s (t )  max   k (t ).
k
Vỡ   k (t )   Z (t )  max   k (t ), k  1,2 nờn ta cú   k (t )   Z (t )   .
k
Bổ đề 2.3.1. Các hàm véc tơ X ( k ) (t ), k  1, m xác định trên (t 0 .  ) có các số
mũ đặc trưng khác nhau là độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử  X ( k ) (t )   k , k  1, m . Khụng mất tớnh tổng quỏt ta cú thể
giả thiết

1   2     m .

(2.3.4)

Giả sử hệ X ( k ) (t )k 1 khơng độc lập tuyến tính. Khi đó tồn tại các hằng số c k
m

sao cho
m

 c .X
k 1

(k )

k

(t )  0 , t 0  t   ,

trong đó c p  0, cq  0, p  q  m .
Từ (2.3.5) ta cú
p 1 

c
X ( p ) (t )     k . X ( k ) (t )  .
 c

k 1 
p


Theo hệ quả (2.1.2) ta cú
 p   X ( p ) (t )  max  X ( k ) (t )   p 1 .
k 1, p 1

(2.3.5)

23
Trỏi với giả thiết (2.3.4).
Vậy hệ X ( k ) (t )k 1 độc lập tuyến tính.
m

Định nghĩa 2.3.1. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng khác   của các nghiệm
của hệ vi phân tuyến tính được gọi là phổ của hệ vi phân tuyến tính đó.
Định lý 2.3.2.([5]) Phổ của hệ tuyến tớnh thuần nhất với ma trận liờn tục giới
nội chứa một số hữu hạn cỏc phần tử 1   2     m , (m  n) .
Chứng minh. Do hệ tuyến tớnh thuần nhất bậc n cú khụng quỏ n nghiệm độc
lập tuyến tính nên từ Bổ đề (2.3.1) ta suy ra phổ của hệ tuyến tính thuần nhất
có khơng quá n phần tử.
Chỳ ý 2.3.2. Hệ phương trỡnh phi tuyến cú phổ tựy ý, chẳng hạn chứa vụ hạn
cỏc phần tử.

Vớ dụ 2.3.1. Phương trỡnh:

dx x
 . ln x ,
dt t

x  e c.t Phương trỡnh này cú phổ là  , .

t  0, x  0 cú nghiệm tổng quỏt:


24

2.4. HỆ CƠ BẢN CHUẨN

Giả sử trong khụng gian n chiều r n cho hệ tuyến tớnh thuần nhất:
dX
 A(t ). X ,
dt

(2.4.1)

với A(t )  C[t 0 ,) , sup A(t )   và    1   2     m   , (m  n) là phổ
của hệ (2.4.1) sắp xếp theo thứ tự tăng.
Tập tất cả cỏc nghiệm X  X (t ), (t 0  t  ) của hệ (2.4.1) là khụng gian tuyến
^

tớnh R n ( không gian nghiệm) mà các điểm của nó là các nghiệm riêng biệt, hệ
cơ bản X (t )  X (1) (t ), X ( 2) (t ),, X ( n) (t ). lập nên từ một số cực đại các nghiệm
^

độc lập tuyến tính là cơ sở.
^

Giả sử hệ cơ bản X (t ) chứa n s nghiệm có số mũ đặc trưng  s , s  1, m trong đó
có thể có một số bằng 0 .
m

Số    ns . s , với
^

X

s 1

m

n
s 1

s

được gọi là tổng các số mũ đặc trưng của hệ

^

X (t ) .

Vỡ số cỏc số mũ đặc trưng của hệ tuyến tính là hữu hạn, nên tồn tại hệ cơ bản
^

X (t ) với tổng các số mũ đặc trưng nhỏ nhất:  X  min
^.
^
X

X

Định nghĩa 2.4.1. Hệ cơ bản được gọi là cơ bản chuẩn nếu tổng các số mũ đặc
trưng của nó là nhỏ nhất so với các hệ cơ bản khác.
Nếu ma trận A(t ) thực thỡ đối với mỗi số mũ đặc trưng  s tồn tại các nghiệm
thực với số mũ đặc trưng đó. Vỡ vậy, ta cú thể giả thiết hệ cơ bản chuẩn là hệ
thực.

25

Gọi N s , (s  1, m) là số lớn nhất các nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (2.4.1) có
số mũ đặc trưng  s . Xột tập  s tất cả cỏc nghiệm X (t ) (kể cả nghiệm tầm
thường) có số mũ đặc trưng khơng vượt quá  s
M s  X (t ) :  X (t )   s 
^

Dễ thấy M n  R n . Từ các Định lý về số mũ đặc trưng suy ra rằng nếu
X (t )   s , Y (t )   s thỡ c. X (t )   s , X (t )  Y (t )   s . Do đó  s là một khụng gian
^

con tuyến tớnh của khụng gian nghiệm R n .
Bổ đề 2.4.1. Số N s trựng với số chiều của khụng gian con tuyến tớnh  s ,
nghĩa là:

N s  dim  s , (s  1, m)

(2.4.4)
Chứng minh. Theo Định nghĩa mỗi một nghiệm với số mũ đặc trưng  s nằm
trong  s , suy ra dim M s  N s

(2.4.5)

Mặt khỏc, giả sử X ( p ) (t ), Y ( q ) (t ) là một cơ sở của khơng gian  s , trong đó
 X ( p ) (t )   s ,  Y ( q ) (t )   s .( Cơ sở này nhất thiết phải chứa nghiệm Y q (t ) có số

mũ đặc trưng  s vỡ nếu khụng sẽ tồn tại cỏc nghiệm khụng biểu diễn được
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các nghiệm cơ sở).
Giả sử, Y r (t ) là một nghiệm của hệ (2.4.1) sao cho  Y ( r ) (t )   s . Khi đó hệ các

nghiệm X ( p ) (t )  Y ( r ) (t ), Y ( q ) (t ). lập nên cơ sở mới của không gian con  s . Thật
vậy, ta cú

 a .X
p

p

( p)



(t )  Y ( r ) (t )   bq .Y ( q ) (t )  0
q