Phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số banach không giao hoán

MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
Chương 1 - CÁC VÍ DỤ VỀ ĐẠI SỐ BANACH KHƠNG GIAO HỐN CĨ
CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC.
1.1. Một số khái niệm cơ bản...........................................................................4
1.2. Đồng cấu phức trên đại số con của các đại số các toán
tử........................10
Chương II - PHỔ NỐI TRÁI , PHỔ NỐI PHẢI, PHỔ NỐI VÀ CÁC ĐỒNG
CẤU PHỨC.
2.1. Các định nghĩa và tính chất cơ
bản...........................................................18
2.2. Định lý ánh xạ phổ...................................................................................23
KẾT LUẬN....................................................................................................33
TÀI LIỆU THAM THẢO.............................................................................34

1


MỞ ĐẦU

Lý thuyết phổ của các tốn tử tuyến tính liên tục hay tổng quát hơn
phổ của các phần tử trong một đại số Banach có nhiều ứng dụng trong giải
tích phức và giải tích hàm. Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn cấu trúc của chính đại
số đó và mô tả tường minh hơn cấu trúc của không gian các ideal cực đại
cũng như sự tồn tại hay không các đồng cấu phức trên đại số Banach.
Trong [2] , A.Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nối
phải, phổ nối của hữu hạn các phần tử trong đại số Banach. Một vấn đề được
đặt ra một cách tự nhiên là, có thể mở rộng các khái niệm, các kết quả ở trên
cho một họ tuỳ ý các phần tử hay không. Chúng tôi đã định nghĩa phổ nối trái,

phổ nối phải và phổ nối cho một họ tuỳ ý các phần tử và chứng minh các kết
quả trong [2] vẫn còn đúng trong trường hợp này.Với mục đích trên luận văn
được viết thành 2 chương.
Chương 1, giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn,
sau đó đưa ra một số ví dụ về đại số Banach khơng giao hốn có các đồng cấu
phức.Từ đó đưa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại
số con của đại số các tốn tử tuyến tính liên tục trên khơng gian Hilbert hữu
hạn chiều.
Chương 2, trình bày khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của
một họ tuỳ ý các phần tử trong đại số Banach và chứng minh một số kết quả
tương tự như trong [2]. Kết quả chính của chương là chứng minh một số tính
chất cơ bản của phổ nối và mối quan hệ giữa phổ nối và đồng cấu phức, đặc

2


biệt là điều kiện cần và đủ để một đại số Banach khơng giao hốn có đồng cấu
phức.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường đại học Vinh dưới
sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hồng. Tác giả xin
được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy giáo hướng dẫn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành cuả mình tới tất cả
các thầy giáo, cơ giáo trong Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học – Trường
đại học Vinh và các bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Vinh, tháng 12 năm 2005
Tác giả

3

Chương I

CÁC VÍ DỤ VỀ ĐẠI SỐ BANACH KHƠNG GIAO HỐN
CĨ CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC
Trong chương này, chúng tơi sẽ đưa ra những khái niệm và kết quả cơ
bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, các ví dụ và các ký hiệu chúng tôi
chủ yếu dựa theo A.Soltysiak [2].
Các đại số Banach luôn được giả thiết là đại số Banach trên trường số
phức C . Phần tử đơn vị của đại số Banach A được ký hiệu là 1 A hoặc là 1 .
Chuẩn của A được ký hiệu bởi . ( nếu khơng nói gì thêm ).

1.1. Một số khái niệm cơ bản

1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một không gian véctơ trên trường số
phức C , được trang bị một phép nhân trong AxA  A thoả mãn các điều kiện

 f , g 

fg

1) f gh   fg h ,
2) f g  h  fg  fh ; g  h f  gf  hf ,
3) f g  f g     fg  ,
với mọi f , g , h  A và mọi   C . Ta gọi A là một đại số phức ( hay đại
số).
Một đại số phức A nếu thoả mãn thêm các điều kiện
4) A là một không gian Banach với chuẩn . ,
5) f .g  f . g với mọi f , g  A

4


thì A được gọi là đại số Banach.
Đại số Banach A được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán
tức là
fg  gf với mọi f , g  A .

Đại số Banach A được gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử, ta
kí hiệu là 1 sao cho
1 f  f 1  f với mọi f  A .

Giả sử A có đơn vị và f  A . Khi đó f được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại g  A sao cho fg  gf  1 .
Các đại số Banach ta xét sau này ln giả thiết là có đơn vị.
1.1.2. Định lí. Giả sử A là đại số Banach. x  A với x  1. Khi đó
1) Phần tử 1  x khả nghịch
2) Tập tất cả các phần tử khả nghịch của đại số A , ký hiệu A -1 là một tập
mở.
Chứng minh. 1). Giả sử x  A , x  1 . Ta xét chuỗi trong A :
1  x  x 2  ...  x n  ... .

Vì
xn  x

nên chuỗi

n

và x  1

1  x  x 2  ...  x n  ... hội tụ tuyệt đối. Mặt khác A là không gian

Banach nên chuỗi
1  x  x 2  ...  x n  ...

hội tụ trong A .
Giả sử



x
n 0

n

 s  A . Với mỗi n  1 ta đặt sn  1  x  x 2  ...  x n .

s n . Vì 1  x n1  1  x sn  sn 1  x  ; s  lim s n và lim x n1  0
Khi đó s  lim
n 
n 
n 

5


nên từ tính liên tục của phép nhân ta có s1  x  1  xs  1.
Vì vậy tồn tại nghịch đảo của 1  x  và 1  x 1  s .
2). Giả sử x là phần tử bất kì thuộc A -1. Khi đó tồn tại x 1  A sao cho

xx 1  x 1 x  1 .

Rõ ràng x 1  0 . Ta chứng minh hình cầu mở
B x, x 1


Thật vậy, với y  B x, x 1


1

1

 ta có




  y  A : x  y  x 1

x  y  x 1

1

1

 A

1

.

.

Do đó
1  x 1 y  x 1 x  y   x 1 . x 1

1

 1.

Theo 1) ta có 1  1  x 1 y  A1 hay x 1 y  A1 . Vì x  A1 mà A 1 là nhóm
nên









y  xx 1 y  x x 1 y  A1 .

Vậy A 1 là tập mở.
1.1.3.Định nghĩa. Một hàm tuyến tính
 : AC

được gọi là đồng cấu phức nếu
 ab   a . b , với mọi a, b  A

và
 1  1 , với 1 là phần tử đơn vị của A .

1.1.4. Định nghĩa. Giả sử A là đại số Banach giao hoán. Tập con J
của A được gọi là ideal nếu thoả mãn các điều kiện
1) J là một không gian vectơ con của A ,
2) x. y  J , với mọi x  A , với mọi y  J .

6


Nếu J  A, J  0 thì J được gọi là ideal thực sự của A .
Một ideal thực sự mà không bị chứa trong một ideal thực sự nào của A
được gọi là ideal cực đại.
1.1.5. Mệnh đề. Giả sử A là đại số Banach. Khi đó
1) Nếu J là ideal của đại số A thì J cũng là ideal của đại số A .
2) Nếu J là ideal thực sự thì J cũng là ideal thực sự của đại số Banach A
.
3) Nếu  : A  C là đồng cấu phức thì Ker là ideal cực đại của đại số
Banach A .
Chứng minh. 1). Rõ ràng J là một không gian véctơ con của A .
Với mọi x  A, y  J ta cần chứng minh xy  J .Thật vậy, vì y  J nên
y n .Do y n   J , J là ideal nên xy n   J .Vì
tồn tại y n   J sao cho y  lim
n 
xy n .Từ đó suy ra xy  J .
phép nhân trái liên tục nên ta có xy  lim
n 

Vậy J là ideal của đại số Banach A .
2) Giả sử J là ideal thực sự của đại số Banach A . Ta chứng minh J cũng
là ideal thực sự của A .
Giả sử ngược lại, J không là ideal thực sự của A . Khi đó tồn tại
x  J  A1 với A 1 là tập các phần tử khả nghịch trong A . Do A 1 là tập mở

nên tồn tại lân cận U của x sao cho U  A1 .
Mặt khác do x  J nên U  J   . Giả sử

y  U  J . Vì

y  U nên

y  A 1 .Từ đó ta có e  y 1 , y  J . Vậy J  A . Điều này mâu thuẫn với J là

ideal thực sự.
3) Giả sử  : A  C là đồng cấu phức. Khi đó  1 0 là ideal trong A .Vì
 là phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 nên  1 0 là siêu phẳng trong A .

Do đó  1 0 là ideal cực đại của A .

7


1.1.6. Đại số thương. Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị và J là
một ideal đóng, thực sự của A . Khi đó
A  a  J : a  A
J

là một khơng gian tuyến tính với các phép toán được xác định bởi

a  J   b  J   a  b  J
 a  J   a  J với mọi a, b  A , với mọi   C .

Mặt khác, vì A là khơng gian Banach và J đóng nên A J là khơng gian
Banach với chuẩn
a  J  inf  a  x : x  J  với mọi a  J .

Ta gọi A J là không gian thương của A theo J .
Ta định nghĩa thêm phép nhân trong trên A bởi

a  J b  J   ab  J với mọi

a, b  A .

Với phép nhân này và với chuẩn đã xác định ở trên

A

J

trở thành đại số

Banach có đơn vị là 1A  J . Ta gọi A J là đại số thương của A theo ideal
đóng J .

Phép chiếu chính tắc
 : A  AJ
x xJ

là một đồng cấu.
Ta gọi  là đồng cấu chính tắc hay ánh xạ thương.

8


1.1.7. Định nghĩa. Giả sử A là không gian Banach. Kí hiệu L  A là
khơng gian Banach các tốn tử liên tục trong A . L  A không chỉ là khơng
gian Banach mà cịn là đại số với phép nhân là phép hợp thành thoả mãn
g. f  g . f

với mọi g , f  L  A .

Đại số như vậy gọi là đại số Banach các tốn tử.
Đại số này có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất 1 A .
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian Banach, L  X  là
khơng gian các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X và M là không gian con
đóng của X . M được gọi là khơng gian con bất biến đối với toán tử T  L  X 
nếu M  0, M  X và T M   M .
1.1.9. Định nghĩa. Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu hạn
chiều. Giả sử A là đại số con có đơn vị của L H  . Một không gian con N
của H được gọi là nửa bất biến đối với A nếu có các khơng gian con N 1 và
N 2 , cả hai bất biến đối với tất cả các toán tử trên A sao cho N1  N 2 và
N 2  N  N1 .

1.2. Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử

Nếu A là đại số Banach giao hốn thì tồn tại ít nhất một đồng cấu phức
trên nó. Nhưng trong đại số Banach khơng giao hốn thì điều này khơng cịn
đúng nữa.

9


Đại số các tốn tử là khơng giao hốn, do đó có thể khơng có đồng cấu
phức trên nó.
1.2.1. Ví dụ. Lấy A  M 2 , đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức
cấp 2. Ta đã biết A đẳng cấu với L C 2  - đại số Banach các tốn tử tuyến
tính liên tục từ A vào A . Đặt
0 1 
a1  

0 0 

;

0 0 
a2  
.
1 0

Ta có
0 1 0 1
a12  a1.a1  
 .

0 0 0 0
0 0 

  0,

0 0 
0 0 0 0
a 22  a 2 .a 2  
.

1 0 1 0
0 0 

0
0 0 

và
0 1 0 0 0 0 0 1
a1a 2  a 2 a1  
.

.

0 0 1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0



  1.
0 0  0 1  0 1 

Khi đó A khơng thể có một đồng cấu phức. Thật vậy, nếu A có một đồng cấu
phức  : A  C , thì  phải thoả mãn hai điều kiện
i)

 ab   a . b với mọi a, b  A .

ii)

 1  1 .

Từ đó ta có
 a12    a1a1    a1 . a1  ,

10


hay
0   0   a1  a1  .

Do đó
 a1   0 .

Tương tự
 a2   0 .

Vì vậy
1   1   a1a2  a2 a1    a1a2    a2 a1 
  a1 . a2    a2 . a1 
1 0.

Đây là điều mâu thuẫn.
Như vậy, khơng thể có một đồng cấu phức trên A .
1.2.2. Chú ý. Ví dụ 1.2.1 có thể tổng qt cho đại số M n gồm tất cả
các ma trận vuông phức cấp n (n>1).

Lấy A  M n , đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức cấp n (n>1)
và
0 0 ... 0 1
0 0 ... 0 0

a1  




0 0 ... 0 0

a n-1

0 0 ... 0 0





0 1 ... 0 0


0 0 ... 0 0

;

0 0 ... 0 0
0 0 ... 1 0


a2  




0 0 ... 0 0

;

0 0 ... 0 0



.
an 
0 0 ... 0 0


1 0 ... 0 0

Ta có
a12  a22  ...  an2  0 ,

11


và
a1 .an  an .a1  a2 .an1  an1 .a2  ...  1.

Từ đó, bằng lý luận tương tự như trong ví dụ 1.2.1, ta chứng minh được

A khơng thể có một đồng cấu phức.

Tuy nhiên đại số con của đại số Banach khơng giao hốn có thể có
đồng cấu phức.
1.2.3. Ví dụ. Giả sử A là đại số các ma trận vuông phức tam giác trên
cấp n, các ma trận dạng
a11 a12
0 a
22
a
 

0
0

a1n 
a 2 n 
.


....0 a nn 
...
...

Khi đó A có đồng cấu phức
 j a   a jj , với j  1,2,...., n .

Thật vậy, với mọi a, b  A thì
a11 a12
0 a

22
a
 

0
0

a1n 
a 2 n 


...0 a nn 
...
...

b11 b12
0 b
22
b


0
0

;

b1n 
b2 n 
.



...0 bnn 
...
...

Khi đó
a11 a12
0 a
22
ab  
 

0
0

a1n  b11 b12
a 2 n   0 b22
.
 
 
...0 a nn   0
0
...
...

*
a11b11
 0
a 22b22


 

0...
 0

...
...
0

Do đó

12



.


a nnbnn 
*
*

b1n 
... b2 n 


...0 bnn 
...

 ab  a jj b jj ,
 j a   a jj ;  j b   b jj .

Như vậy
 j ab   j a . j b ,

với j  1,2,...., n .
Mặt khác
1 0 ... 0 0
0 1 ... 0 0

1 




0 0 ... 0 1

nên

 j 1  1 với j  1,2,...., n .

Rõ ràng  j là ánh xạ tuyến tính. Vì vậy,  j là các đồng cấu phức trên A với
j  1,2,...., n .

Tương tự, đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức tam giác dưới cấp
n có các đồng cấu phức ở dạng trên.
Sau đây là điều kiện đủ để một đại số Banach khơng giao hốn có một
đồng cấu phức.
1.2.4. Định lý. Giả sử H là một không gian Hilbert phức hữu hạn

chiều và A là một đại số con chứa đơn vị của L H  . Nếu A có một khơng
gian con nửa bất biến một chiều thì A có một đồng cấu phức.
Chứng minh. Giả sử H là không gian Hilbert phức n – chiều và
   1 ,  2 ,...,  n ,

là cơ sở của H . Khi đó có thể xem H như C n .

13


Giả sử A có một khơng gian con nửa bất biến một chiều N . Khi đó tồn
tại các khơng gian con N 1 và N 2 , cả hai bất biến đối với tất cả các toán tử
trong A sao cho
N1  N 2 và N 2  N  N1 .

Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử
N   k 1 ; N1   1 ,  2 ,...,  k , N 2   1 ,  2 ,...,  k 1 .

Với mọi T  A , với
 a11 a12
a
a 22
T   21
 

a n1 a n 2

... a1n 
... a 2 n 
.



... a nn 

Với mọi x  H , xét các phép chiếu
1 : H  N1

x1 ,..., xk , xk 1 ,..., xn   x  x1  x1 ,..., xk ,0,...,0 ,
2 : H  N2

x1 ,..., xk 1 , xk 2 ,..., xn   x  x 2  x1 ,..., xk 1 ,0,...,0 .
Do N 1 , N 2 là các không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử trong A
nên T N1   N1 và T N 2   N 2 . Với mọi x  x1 ,..., xn   H , ta có
 a11
 

a
T x1    k1
a k 1,1
 

 a n1

...

a1k

... a kk
... a k 1,k
...

a1n   x1 
  
 
... a kn   x k 
 . 
... a k 1,n   0 
  
 
... a nn   0 
...

a nk

14


 a11 x1
 

 a x
  k1 1
a k 1,1.x1
 

 a n1 x1

 ... 

a1k x k 



 ...  a kk x k 
.
 ...  a k 1,k x k 


 ...  a nk x k 

Vì T x1  N1 nên
a k 1,1 x1

 
a x
 n1 1

 ...  a k 1,k x k  0
 ... 

a nk x k  0.

Do các x1 ,..., xk là các số phức tuỳ ý nên các đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ
khi
a k 1,1  0, ..., a k 1,k  0



 a  0, ..., a  0.
nk
 n1

Ta cũng có
 a11
 

 a k 1,1
T x 2   
a k  2 ,1
 

 a n1 x1
 a11 x1
 

 a k 1,1 x1

a k  2 ,1 x1
 

 a n1 x1

...

a1,k 1

... a k 1,k 1
... a k  2 ,k 1
...

a n,k1

 ... 

a1n   x1 


  
... a k 1,n   x k 1 
 .

... a k  2 ,n   0 
  


... a nn   0 
...

a1,k 1 x k 1 


 ...  a k 1,k 1 x k 1 
.
 ...  a k  2 ,k 1 x k 1 


 ...  a n,k1 x k 1 

Vì T x 2  N 2 nên

15

 ...  a k  2 ,k 1 x k 1  0

a k  2 ,1 x1

 
 a x
 n1 1

 ... 

a n,k1 x k 1  0

với mọi x1 ,..., xk 1  C . Do đó
a k  2 ,1  0, ..., a k  2 ,k 1  0



 a  0, ..., a
n,k1  0.
 n1

Vậy T có dạng
 a11
 

a k1

T  0
0


 
0


... a1k

a1,k 1

a1,k  2

...

... a kk

a k,k 1

a k,k  2

...

...

0

a k 1,k 1

a k 1,k  2

...

...

0

0

a k  2 ,k  2

...

...

0

0

a n,k 2

...

a1n 


a kn 

a k 1,n  .
a k  2 ,n 



a nn 

(1)

Ta xác định hàm  trên A như sau
 : AC

 T  : ak 1,k 1 .

Rõ ràng  là ánh xạ tuyến tính và  1  1 . Giả sử S  A . Khi đó S là ma
trận có dạng (1), trong đó các aij được thay thế bằng bij . Vì thế ta có
 TS   ak 1,k 1bk 1,k 1   T  S  .

Như vậy,  là một đồng cấu phức trên A .

16


Chương II
PHỔ NỐI TRÁI, PHỔ NỐI PHẢI, PHỔ NỐI VÀ CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC

Trong chương 1, ta đã thấy rằng nếu A là một đại số Banach khơng
giao hốn thì có thể khơng tồn tại đồng cấu phức trên A. Định lý 1.2.4 chương
1 đã đưa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại đồng cấu phức trên một đại số con
của đại số các tốn tử tuyến tính liên tục trong khơng gian Hilbert hữu hạn
chiều. Do đó, một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là, tìm điều kiện cần
và đủ để cho một đại số Banach khơng giao hốn có một đồng cấu phức xác
định trên nó. Trong [2], A.Soltysiak đã giới thiệu các khái niệm phổ nối trái,
phổ nối phải, phổ nối của một số hữu hạn các phần tử trong một đại số
Banach và nghiên cứu các tính chất của chúng. Từ đó, A.Soltysiak đã đưa ra

điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach khơng giao hốn có đồng cấu
phức.
Trong chương này, dựa vào [2] chúng tôi định nghĩa phổ nối trái, phổ
nối phải, phổ nối của một họ tuỳ ý các phần tử trong một đại số Banach và
chứng minh một số kết quả tương tự như trong [2] vẫn còn đúng trong trường
hợp này.
2.1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản
Trong chương này nếu khơng giải thích gì thêm thì ln hiểu A là đại
số Banach khơng giao hốn, có đơn vị.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử A là một đại số Banach,  là tập chỉ số bất kì
và E  ai , i    A . Họ i : i    C  được gọi là thuộc phổ trái của E nếu
với mọi J H  đều có

 Aa
iJ

i

 i   A ,

17


trong đó H   là họ tất cả các tập con hữu hạn của  .
Ký hiệu phổ nối trái của E là  l E  .
Phổ nối phải  r E  được định nghĩa một cách tương tự.
Ta gọi phổ nối của E là tập  H E    l E    r E  .
Nhận xét. Nếu A là đại số Banach giao hốn thì  l E    r E    H E  .
2.1.2 Mệnh đề.
1) Nếu a  A thì  H a    a  , trong đó

 a      C : a   không khả nghịch}

(phổ của a ).

2) Nếu F  ai : i  1  , E  ai : i     A, 1   thì p H E    H F  ,
trong đó p là phép chiếu từ C   C 

1

 H ai  với E  ai : i    A . ( Đối với  l và  r ta cũng
3)  H E   i


có
kết quả tương tự).
Chứng minh.
1) Giả sử    a  . Khi đó, tồn tại x  A sao cho
xa     a   x  1 .

Với mọi y  A ta có
y  y.1  yxa     Aa    .

Do đó
A  Aa     A

hay A  Aa    . Vì thế    l a  . Tương tự, ta cũng có    r a  và do đó
   H a  . Từ đó suy ra  H a    a  .

Ngược lại, giả sử    a  . Ta chứng minh    H a  . Giả sử    H a  .
Khi đó ắt tồn tại x, y  A sao cho

18


xa     1  a   y .

Từ đó ta có

a   . x  y   0 .
Do đó x  y , nghĩa là a    – khả nghịch. Điều này mâu thuẫn với    a  .
Vì thế    H a  và do đó  a    H a  .
Vậy

 H a    a  .

2) Giả sử F  ai : i  1  , E  ai : i     A, 1   và i i   H F  .
1

Khi đó, tồn tại J H 1  sao cho

 Aa
iJ

i

 i   A .

Vì J H  nên p 1 i i   H E  .
1

Vậy p H E    H F  .
3) Ta viết i  thay cho i : i  . Giả sử i    H E  . Khi đó, với
mọi J H  , ta có

 Aa
iJ

i

 i   A . Do đó

Aai  i   A với mọi i  J .Từ

 H ai  .
đó suy ra i   H ai  với mọi i  J và i   i
J

2.1.3.Mệnh đề. Giả sử ai : i    A và i : i    C . Khi đó

i : i    l ai : i  
nếu và chỉ nếu Oi : i    l ai  i : i   .
Chứng minh. Ta có i : i    l ai : i   nếu và chỉ nếu với mọi
J  H 1  đều có

 Aa

i

 i   A

 Aa

i

 i  0  A .

iJ

hay
iJ

19


Hệ thức cuối cùng xảy ra nếu và chỉ nếu

Oi : i    l ai  i : i   .
Chú ý. Kết quả của mệnh đề 2.1.3 cũng đúng cho các phổ nối phải, phổ
nối.
Ta đã biết rằng phổ  a  của phần tử a trong đại số Banach A là một
tập compact. Vấn đề được đặt ra là kết quả tương tự còn đúng cho phổ nối của
một họ tuỳ ý các phần tử trong A hay không. Định lý sau đây giải quyết vấn
đề này.
2.1.4. Định lý. Phổ nối, phổ nối trái, phổ nối phải của họ tuỳ ý các
phần tử ai : i    A là tập compact.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh
 H ai : i      H ai  .
i

 H ai 

Thật vậy, với mọi i : i   i


tồn tại  j  i : i  ,  j   H a j  ,
do đó tồn tại b j , c j  A sao cho
b j a j   j   a j   j c j  1 .

Từ đó suy ra
Aa j   j   A .

Vì thế i : i    H ai : i   .
 H ai  là tập compact. Để
Vì phổ của một phần tử là tập compact nên i


chứng minh  H ai : i   compact, từ bao hàm thức trên ta chỉ cần chứng
minh  H ai : i   đóng.
Giả sử i : i    H ai : i   .

20


Khi đó, ắt tồn tại i : i  J  sao cho

 Aa
iJ

i

 i   A .

trong đó J là tập con hữu hạn của I . Do đó, tồn tại bi  A, i  J sao cho

 b a
iJ

i

i

 i   1 .

Vì tập A 1 gồm các phần tử khả nghịch trong A là tập mở và 1 là phần tử khả
nghịch nên tồn tại   0 sao cho hình cầu mở B1,    A1 . Lấy  


nM

, trong

đó n là số phần tử của tập J và M  max bi : i  J .
Với i : i  J   C, i  i   , i  J , ta có
1   bi ai   i  
iJ



 b 
i

iJ

i

 b a
iJ

i

i

 i   bi ai   i 
iJ

 i    bi  i  i  nM   .
iJ

Do đó c   bi ai   i   B1,    A1 .
iJ

Khi đó, ta có

 c b a
1

i

iJ

i

 i   1.

Vì thế

 Aa
iJ

i

 i   A .

Từ đó suy ra, với các  i bất kì trong C , với mọi i   \ J ta có

i : i    H ai : i   .
Như vậy tập





U   i   C  :  j   j   , j  1, n  C  \  H ai : i   .

Mặt khác, vì U là lân cận của    j  trong C  nên C  \  H ai : i   là
tập mở và do đó  H ai : i   là tập đóng.

21


Đối với phổ nối phải, phổ nối cũng được chứng minh tương tự.

2.2. Định lý ánh xạ phổ
2.2.1. Đa thức. Giả sử pz1 ,..., z n  là một đa thức n biến phức z1 ,..., z n
với các hệ số lấy trong C . Trong đa thức pz1 ,..., z n  thay z1 ,..., z n bởi a1 ,..., an
thuộc đại số Banach A tương ứng ta được pa1 ,..., an   A . Ta gọi pa1 ,..., an  là
một đa thức của các biến a1 ,..., an  A với các hệ số phức. Sau này, nếu khơng
sợ hiểu lầm thì ta nói gọn pa1 ,..., an  là một đa thức n biến hay gọn hơn nữa là
một đa thức.
Giả sử E  A . Ta ký hiệu Pn E  là tập tất cả các đa thức n biến a1 ,..., an
thuộc E . Mỗi phần tử p  Pn E  được viết một cách duy nhất dưới dạng



i1 ...in

.a1i1 ...anin ,

trong đó tổng lấy theo các bộ i1 ,..., in   N n . Các hệ số  i ...i  C và chúng bằng
1

n

0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn; a1 ,..., an  E n .
Ta qui ước

a 0  1, a  A .

Giả sử A là một đại số Banach. Một tập con S của A được gọi là một
hệ các phần tử sinh của A nếu đại số con đóng nhỏ nhất của A chứa tập S và
đơn vị 1 A trùng với A , ký hiệu S   A . Khi đó ta có A  P , trong đó


P   Pn S  .
n 1

Nếu S  ai : i  J  thì ta viết A  ai : i  J  . Ta ký hiệu I l là ideal trái
sinh bởi tập con ai : i   của A gồm tất cả các phần tử có thể viết được
dưới dạng

x a
iJ

i

i·

, trong đó xi  A và J H  .

Ideal phải I r được định nghĩa một cách tương tự.

22


I là ideal hai phía sinh bởi các hốn tử a j ak  ak a j với j, k   sẽ có

dạng
 (  Aa j a k  a k a j A) .

J H   

i , jJ

E  A và q  q1 ,..., qm   Pn E  .

Giả sử

m

Ta xác định ánh xạ
q : En  Em

bởi
qa1 ,..., an   q1 a1 ,..., an ,..., qm a1 ,..., an , a1 ,..., an   E n .

Tổng quát hơn, giả sử  là tập chỉ số bất kì và q  qi i , ta xác định ánh xạ
q : En  E

bởi
qa1 ,..., an   q1 a1 ,..., an i , với mọi a1 ,..., an   E n .

Để chứng minh Định lý ánh xạ phổ ta cần Định lý sau đây, mà nó đã được
chứng minh trong [4].
2.2.2. Định lý (về số dư) [4] . Giả sử p  pz1 ,..., z n  là 1 đa thức n –
biến phức. Khi đó với

a1 ,..., an   An , 1 ,..., n   C n ta có

pa1 ,..., a n   p1 ,..., n    Aa j   j    a j   j A .
n

n

j 1

j 1

2.2.3. Định lý ( ánh xạ phổ). Giả sử q  qi   Pn  A . Khi đó với bất kì

a1 ,..., an   An ta có
q l a1 ,..., an    l qa1 ,..., an  ,
q r a1 ,..., an    r qa1 ,..., an  ,

và do đó

23


q a1 ,..., an    qa1 ,..., an  .

Chứng minh. Giả sử 1 ,..., n   C n sao cho q1 ,..., n    l qa1 ,..., an  .
Khi đó, theo định nghĩa của phổ nối trái ắt tồn tại J  H  và bi  A, i  J
sao cho
1   qa1 ,..., an   q1 ,..., n  .
iJ

Theo Định lý về số dư, với mỗi i  J tồn tại cki  A, k  1,2,..., n sao cho
n

qa1 ,..., a n   q1 ,..., n    cki a k  k  .
k 1

Do đó, ta có
n
 n 

1   bi  cki a k  k     bi cki a k  k  .
iJ
 k 1
 k 1  iJ


Từ đó suy ra

1 ,..., n    l a1 ,..., an  ;
và do đó
q1 ,..., n   q l a1 ,..., an  .

Vậy
q l a1 ,..., an    l qa1 ,..., an  .

Bao hàm thức thứ 2 của định lý cũng được chứng minh tương tự.
2.2.4. Mệnh đề. Giả sử S  ai : i   là họ các phần tử sinh của đại số
Banach A . Kí hiệu I l , I r lần lượt là các ideal trái, phải đóng sinh bởi S và I
là ideal hai phía đóng sinh bởi các hốn tử a j ak  ak a j với j, k   . Khi đó
1) I l  I r . Đặc biệt oi   l S  nếu và chỉ nếu oi   r S 
2) I  I l
3) Nếu I l  A thì tồn tại   M  A ( M  A là không gian các đồng cấu

24

S  Ker  .

phức trên đại số Banach A ) sao cho  ai   0 với i  
Chứng minh. 1) Kí hiệu
P 0 (s)  p  P (s) : p khơng chứa hạng tử hằng

.

Vì A sinh bởi S nên A  clP (S ). Do đó, từ định nghĩa của I l và I r suy ra

I l  cl  pi ai : pi  P 0 ( s ), J  H ( A) 
 iJ

 cl  a j q j : q j  P 0 ( S ), J  H ( A)   I r .
 jJ

Vì bao đóng của một ideal là một ideal thực sự nên (0) i   l (S ) nếu và chỉ
nếu với mọi J H () đều có

 Aa   A(a
iJ

i

iJ

i

 0)  A  I l  A  I r  A   ai Ai  A 
iJ

(0) i   r ( S )

2) Rõ ràng a j ak  ak a j  I l với mọi j, k  . Do đó I  I l . Giả sử
I l  A. . Khi đó 1  a  1 a  I l , bởi vì nếu tồn tại a  I l mà 1  a  1 thì theo

Định lí 1.1.2 a là phần tử khả nghịch. Do đó 1  I l và ta có I l  A.
Giả sử p  Pn (S ). Nếu đặt q(a1 ,..., an )  p(0,...,0)  p(a1 ,..., an) thì q  P 0 (S ).
Khi đó nếu   p(0,...,0)  0, thì từ

1



q(a1 ,..., a n )  I l ,ta có

p(a1 ,...an )  p(0,...,0)  q(a1 ,..., a n )   1 

1



q(a1 ,..., a n )    p(0,...,0) . (1)

Hiển nhiên bất đẳng thức (1) cũng đúng khi p0,...,0)  0 .
Ta xác định hàm  : P S   C với p(a1 ,..., an )  Pn (S ) , đặt
 ( p(a1 ,..., an ))  p(0,...,0) .

Ta dễ dàng kiểm tra được  là tuyến tính, bảo tồn phép nhân trên đại số con
P (S ) của A . Từ (1) suy ra  liên tục. Mặt khác,  (1)  1 . Do đó,  là một

25