Nhóm luỹ linh địa phương tôpô

Mục lục
Trang

Mở đầu

2

Ch-ơng 1. Tổng quan về một số lớp nhóm cơ bản
1.1. Nhóm đầy đủ và đầy đủ yếu

4

1.2. Nhóm trừu t-ợng lũy linh và nhóm trừu t-ợng lũy linh địa ph-ơng

6

1.3. Nhóm tôpô

11

1.4. Nhóm con , ứơc chuẩn, nhóm th-ơng của nhóm tôpô

13

1.5. Đồng cấu, đẳng cấu

16

1.6. Nhóm compact và compact địa ph-ơng

19

1.7. Nhóm liên thông và hoàn toàn không liên thông

22

Ch-ơng 2. Nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô
2.1. Tính compact của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô

24

2.2. Các phần tử compact của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô

32

2.3. Tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm lũy

35

linh địa ph-ơng tôpô
Kết luận
Tài liệu tham khảo

38
39

1


Mở đầu
Trong lí thuyết nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n,C), trong số những

ng-ời quan tâm nghiên cứu các tính chất của tập hợp các phần tử cấp hữu
hạn phải kể đến Suprunenko [10]. Trong đó tác giả đà chứng minh đ-ợc
trong nhóm tuyến tính đủ đủ GL(n,C) các nhóm con xoắn cực đại chia ra
một số hữu hạn lớp liên hợp.
Trong nhóm tôpô vấn đề t-ơng tự nh- tập hợp các phần tử có cấp hữu
hạn trong nhóm trừu t-ợng, đó là tập các phần tử compact trong nhóm tôpô.
Kết quả nghiên cứu về tính chất của tập hợp các phần tử compact của nhóm
tôpô phải kể đến kết quả của V-P.Platonov [5], Nguyễn Quốc Thi [9], [11]
và Lê Quốc Hán [7], [8], trên một số nhóm tôpô cụ thể .
Nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô đó là nhóm tôpô mà bao đóng của
nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ của nó là một nhóm luỹ linh, đóng một vai
trò hết sức quan trọng. Việc nghiên cứu lớp nhóm này không những bổ ích
cho việc nghiên cứu lý thuyết nhóm tôpô mà cho cả lý thuyết nhóm trừu
t-ợng . Thông qua nghiên cứu nó, ta thấy mối quan hệ giữa nhóm luỹ linh
địa ph-ơng tôpô với các lớp nhóm khác : Nhóm sinh ra bởi tập compact,
nhóm tôpô đầy đủ, nhóm tôpô liên thông, nhóm tôpô hoàn toàn không liên
thông,
Nội dung của luận văn bao gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng 1. Tổng quan về một số lớp nhóm cơ bản.
Trong ch-ơng này chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của
nhóm đầy đủ, nhóm trừu t-ợng lũy linh và nhóm trừu t-ợng lũy linh địa
ph-ơng, nhóm tôpô, nhóm con, -ớc chuẩn, nhóm th-ơng của nhóm tôpô,
nhóm compact và compact địa ph-ơng, nhóm liên thông và nhóm hoàn toàn
không liên thông.
Ch-ơng 2. Nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô.
Đây là nội dung chính của luận văn, trong ch-ơng này sau khi định
nghĩa nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô và một số khái niệm liên quan đến
vấn đề trọng tâm của ch-ơng, chúng tôi đi vào nghiên cứu: Khi nào một
nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô là nhóm compact, các tính chất của nhóm
2

lũy linh địa ph-ơng tôpô, các phần tử compact của nhóm lũy linh địa
ph-ơng tôpô, tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm lũy linh địa
ph-ơng tôpô.
Luận văn đ-ợc hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng
dẫn của GS.TS Nguyễn Quốc Thi. Nhân dịp này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới thầy, thầy đà dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy
lòng nhân ái . Xin chân thành cảm ơn tới các thầy : PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng,
TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Nguyễn Quí Di, PGS.TS Lê Quốc Hán
và các thầy cô trong tổ Đại số đà đọc và góp ý kiến cho luận văn, với
những gì các thầy đà chỉ bảo cho tôi, tôi không thể nào quên, để rút ra bài
học bổ ích trên con đ-ờng nghiên cứu khoa học của mình.
Trong thời gian làm luận văn, tôi đà cố gắng hết sức, song vì khả
năng có hạn nên trong luận văn chắc chắn còn có nhiều thiếu sót, kính
mong sự góp ý của các thầy, cô và các bạn, xin chân thành biết ơn.
Tác giả.

3


Ch-¬ng 1. Tỉng quan vỊ mét sè líp nhãm c¬ bản
1.1. Nhóm đầy đủ và đầy đủ yếu
1.1.1. Định nghĩa.
Một nhóm G đ-ợc gọi là nhóm đầy đủ (hoặc là chia đ-ợc) nếu với
gG, nN*, ph-ơng trình xn = g có nghiệm trong G.
Nhóm G đ-ợc gọi là đầy đủ yếu nếu với gG, nN*, tồn tại các
phần tử g1; g2; …; gk G sao cho g = g1n. g2n … gkn. Nãi c¸ch kh¸c, nhãm
G sinh ra bëi lũy thừa bậc n của các phần tử của G.
Nhận xét : Nếu nhóm G đầy đủ thì đầy đủ yếu, ng-ợc lại chỉ đúng khi G

aben.
1.1.2.Định lí.
Giả sử G là nhóm hữu hạn . Khi đó G không phải là nhóm đầy đủ
yếu, do đó cũng không đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử G là nhóm hữu hạn có k phần tử (k >1). Nếu G đầy đủ yếu thì
nó sẽ đ-ợc sinh ra bởi các lũy thừa bậc k của các phần tử trong G:
G = g1k. g2k gkk  = e  Ord(G) = 1 tr¸i víi giả thiết k >1.
Vậy G không đầy đủ yếu và do đó G không đầy đủ.
1.1.3.Mệnh đề.
Nhóm th-ơng của một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) là một nhóm đầy
đủ (đầy đủ yếu).
ảnh đồng cấu của một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) là một nhóm đầy
đủ (đầy đủ yếu).
Chứng minh.
Giả sử G là một nhóm đầy đủ . Thế thì với gG và nN*, ph-ơng
trình xn = g có nghiệm trong G. Giả sử nghiệm đó là x0.Ta có x0n = g. Xét
một nhóm th-ơng G H nào đó cđa G theo -íc chn H th×: x0n .H = g.H
(x0.H)n = g.H, đẳng thức này chứng tỏ x0.H là nghiệm của ph-ơng trình

4


(x.H)n = g.H; với g.H là phần tử bất kì trong G H và n N*, nghĩa là nhóm
G

H đầy đủ.

Giả sử G đầy đủ yếu. Thế thì mỗi phần tử trong G đều biểu thị đ-ợc
qua lũy thừa bậc nN* bất kì của các phần tử trong G. Giả sö :

g = g1n .g2n…gkn

; gi  G, i = 1, k ; Ta cã g.H = (g1n .g2n…gkn).H =

g1n .g2ngkn.H = (g1n .H).(g2n.H)(gkn.H) = (g1 .H)n.(g2.H)n(gk.H)n . Đẳng
thức này chứng tỏ G H đầy đủ yếu.
Bây giờ ta giả sử rằng f:GG là một đồng cấu nhóm từ một nhóm
G đầy đủ đến một nhóm G. Ta sẽ chứng minh f(G) là một nhóm đầy đủ.
Thật vậy, theo kết quả của lí thuyết nhóm trừu t-ợng thì f(G) là nhóm , vậy
ta chỉ cần chứng minh f(G) đầy đủ.
Giả sử g G và nN* . Ta xét phương trình trong G’: yn = g’ (1).
Gi¶ sư x = f-1(y) và g = f-1(g). Do G đầy đủ nên phương trình xn = g (2),
luôn có nghiệm trong G.Do f đồng cấu nên xn=[f-1(y)]n=f-1(y)f-1(y)=f-1(yn)
và ph-ơng trình (2) đ-ợc viết là : f-1(yn) = f-1(g)

(3)

Ph-ơng trình (3) luôn có nghiệm vì ph-ơng trình (2) luôn có nghiệm
trong G. Gọi nghiệm của (3) lµ y0.Ta cã f-1(y0n) = f-1(g’) hay y0n = g (4).
Đẳng thức (4) chứng tỏ y0 là nghiệm của ph-ơng trình(1), nghĩa là f(G) đầy
đủ.
Bây giờ ta chứng minh khẳng định cuối của mệnh đề, tức là nếu G
đầy đủ yếu thì f(G) cũng đầy đủ yếu. Giả sử g f(G) , vậy thì tồn tại gG
sao cho f(g) = g. Do G đầy đủ yếu nên g có thÓ viÕt g = g 1n .g2n…gkn ;
giG, i = 1, k.
f(g)= fn(g1) .f n(g2)f n(gk). Đặt f(gi) = gi ; i = 1, k .
g’ = (g1’) n .(g2’) n(gk) n f(G) đầy đủ yếu.

5

1.2. Nhóm trừu t-ợng lũy linh và nhóm trừu t-ợng lũy linh địa ph-ơng.
1.2.1. DÃy bất biến(chuẩn tắc), dÃy á chuẩn.
Giả sử G là nhóm.
DÃy E = G0 G1  …  Gn = G , trong ®ã Gi là nhóm con của
Gi+1 (i = 0,1,,n-1) (1), đ-ợc gọi là dÃy bất biến (chuẩn tắc) nếu Gi là -ớc
chuẩn cđa G ( i = 1,2,…,n).
D·y (1) gäi lµ d·y ¸ chn nÕu Gi–1 lµ -íc chn cđa Gi (i =
1,2,…,n).
D·y G = G0  G1  …  Gn = E , trong đó Gi+1 là nhóm con của Gi
( i = 0,1,,n-1), đ-ợc gọi là dÃy tâm d-ới cđa nhãm G, nÕu G1=G’=[G,G];
G2=[G1,G];….;Gi+1=[Gi,G], víi i = 0,1,…,n-1.
D·y E = Z0  Z1  …  Zr+1 = G, trong đó Zi là -ớc chuẩn của
Zi+1 (i= 0,1,,r), được gọi là dÃy tâm trên của nhóm G, nếu :

Zi

Z i - 1 là

tâm của G Z ; với i = 1,,r+1.
i -1
1.2.2. Mệnh đề.
Giả sử G là một nhóm với dÃy bất biến (á chuẩn) (1) thế thì ta cã :
i) NÕu H lµ nhãm con cđa G , th× E = H0  H1  ...  Hn = H,
trong ®ã Hi = Gi  H;(i = 0,1,…,n) là một dÃy bất biến (á chuẩn) của H,
hơn nữa nhóm th-ơng

Hi 1

H i là nhóm con của

Gi 1

G i ; (i=0,1,…,n-1).

ii) NÕu H lµ -íc chn cđa G thì khi lấy ảnh của các thành phần của
G

dÃy (1) qua đồng cấu tự nhiên p:G

H , chúng ta nhận đ-ợc dÃy

bất biến (á chuẩn) trong G H : E = G0  G1  …  Gn = G H , trong đó
Gi =

Gi

th-ơng

Gi 1

G i 1 là ảnh của nhóm
H , hơn nữa nhóm th-ơng
Gi

G i ; ( i = 0,1,…, n-1).

Chøng minh. Xem 1
6

1.2.3. Định nghĩa.
Giả sử trong nhóm G có một dÃy bất biến (1) , dÃy (1) gọi là dÃy tâm
nếu víi i = 0,1,…,n-1 nhãm th-¬ng

Gi  1

G i thc vào tâm của nhóm

th-ơng G G , nói cách khác : [Gi+1,G] Gi .
i
Nhãm cã mét d·y t©m nh- vËy đ-ợc gọi là nhóm lũy linh.
Nhận xét: Một nhóm aben thì lũy linh, mọi nhóm lũy linh đều là nhóm
giải đ-ợc.
1.2.4. Mệnh đề.
p nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh. Nhóm G hữu hạn là nhóm lũy
linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp các nhóm con Sylow.
Chứng minh.
Theo định lý về sự tồn tại tâm khác đơn vị của p-nhóm hữu hạn. Với
dÃy tâm trên của p chun ®Õn nhãm p tøc p lịy linh, do đó suy ra tích trực
tiếp các p nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh . Giả sử G là nhóm lũy linh
hữu hạn, p là p- nhóm con Sylow cđa G, khi ®ã chn tËp N(p) trïng víi
chn tËp cđa nã, NG(p) = G tøc lµ p lµ -íc chuẩn của G. Bởi vì các nhóm
con Sylow đều là -ớc chuẩn nên suy ra G là tích trực tiếp các nhóm con
Sylow.
1.2.5. Mệnh đề.
Nhóm hữu hạn lũy linh khi và chỉ khi tất cả nhóm con tối đại bất
biến.
Chứng minh.
Ta có nhóm con tối đại của nhóm lũy linh là nhóm con bất biến. Mặt

khác chuẩn tập NG(p) của nhãm con Sylow p kh«ng thĨ chøa trong nhãm
con bÊt biến thực sự của G. Vậy nên các nhóm con tối đại bất biến thì p là
-ớc chuẩn của G và G là tích trực tiếp các nhóm con Sylow.
1.2.6.Mệnh đề.
Nhóm con và nhóm th-ơng của nhóm lũy linh là lòy linh.
Chøng minh.
7


Giả sử H là nhóm con của nhóm G, do G là nhóm lũy linh nên ta có
dÃy tâm E = G0  G1  …  Gn = G . Ta chøng minh H lòy linh hay H
cã d·y tâm.
Đặt Bi = Gi H, i = 0,1,,n. Do Gi là dÃy tâm nên ta có [Gi+1,G]Gi
suy ra [Bi+1,H]  [Gi+1,G] H Gi  H = Bi, vËy ta cã d·y:
E =B0  B1  …  Bn = H, víi [Bi+1,H]  Bi , suy ra H cã d·y t©m.
Chøng minh G H lịy linh. Ta cã mét nhóm th-ơng bất kì của nhóm
G bao giờ cũng đẳng cấu với G , là ảnh của G qua , trong đó là tích của
đồng cấu tự nhiên từ G lên nhóm th-ơng với đẳng cấu này. Kí hiệu ¶nh cđa
Gi lµ G i (i = 0,1,…,n), gi¶ sư gi+1

G i1 và G

và g là các phần tử t-ơng ứng thuộc

(i= 0,1,,n-1) còn gi + 1 và g là các tạo ảnh nào đó của chúng

trong Gi+1 và G ®èi víi ®ång cÊu  tøc lµ : (gi+1) = gi+1 , (g) = g

vì

[Gi+1, G] Gi nên [gi+1,g]Gi và [gi+1, g] = ([gi+1,g]) Gi , các nhóm con
Gi (i=0,1,...,n) lập thành một dÃy tâm của G nên suy ra G lũy linh.
1.2.7. Mệnh đề.
Cho dÃy tâm d-ới: G = G0  G1  …  Gn = E. Thế thì ta có, nhóm
th-ơng

Gk

G k 1 thuộc vào tâm

G

Gk 1 .

Chứng minh.
Giả sử gkGk+1

Gk

G
G k  1 vµ gGk+1  G k  1 xÐt hoán tử

gGk+1.gkGk+1g-1Gk+1.g-1kGk+1 = g.gk .g-1.g-1k Gk+1 = Gk+1 vì Gk+1 lµ -íc
chn cđa G suy ra g.gk .g-1.g-1k Gk+1 hay

Gk

G
G k  1  C( G k  1 ).

1.2.8. Hệ tâm.
Tổng quát hóa khái niệm dÃy tâm là khái niệm hệ tâm: Đó là một hệ
bất biến U = [G] của nhóm G sao cho mỗi b-ớc G , G+1 cđa hƯ nµy ta

8


®Ịu cã bao hµm thøc [G+1,G]  G , hay nói cách khác nhóm th-ơng
G 1

G thuộc vào tâm của nhóm

G

G .

1.2.9. Định nghĩa.
Nhóm có một hệ tâm đ-ợc gọi là nhóm lũy linh tổng quát.
1.2.10. Định nghĩa.
Nhóm G đ-ợc gọi là nhóm lũy linh địa ph-ơng nếu mọi nhóm con
hữu hạn sinh của nó là nhóm lũy linh.
1.2.11. Mệnh đề.
Nhóm lũy linh tổng quát là nhóm lũy linh địa ph-ơng.
Chứng minh.
Giả sử đà cho một nhóm G lũy linh tổng quát với dÃy tâm tăng:
E=Z0 Z1 Z=G(3), khi đó dÃy tâm có độ dài , ta qui n¹p theo  .
Víi  = 1, khi đó G aben, định lí hiển nhiên đúng.
Giả sử định lí đúng với những nhóm có độ dài nhỏ hơn . Lấy trong
G một hệ hữu hạn các phần tư : a1, a2,…,an

(4) . NÕu  lµ sè lín nhất thì

các phần tử của (4) sẽ thuộc vào một nhóm con Z nào đó, < và bởi vì
nhóm con này có độ dài của dÃy tâm tăng mà < nên theo giả thiết qui
nạp a1, a2,,an lũy linh.
Bây giờ ta giả sử không phải là số lớn nhất. Khi đó tồn tại một số
lớn nhất và một số tự nhiên k sao cho  =  + k. LÊy tÊt c¶ các hoán tử
liên tiếp dạng [[[a,a],a],,a] với sự chọn k+1 phần tử khác nhau trong hệ
(4). Số các hoán tử nh- vậy là hữu hạn và tất cả các hoán tử đó đều thuộc Z
bởi vì lại là số lớn nhất trong một nhóm con Z nào đó , < giả sử
H=Z, a1,a2,,an , ta có thể xây dựng dÃy tâm trên trong H bằng cách
sau:
Bắt đầu dÃy này là đoạn từ E đến Z của dÃy (3) , tiếp theo là Z+1
t-ơng ứng với tâm của nhóm th-ơng G/Z+1 , sau đó đến Z+2 t-ơng ứng với
tâm của nhóm th-ơng G/Z+2 và cứ tiếp tục như thế , bëi v× nhãm con Z’+1
9


chứa tất cả các hoán tử liên tiếp của k phần tử của hệ (4) nên nhóm con
Z+2 chứa tất cả các hoán tử liên tiếp của k 1 phần tử của hệ (4) và tiếp
tục nh- thế . Bằng cách nh- vậy, dÃy tâm tăng đi đến H không quá k b-ớc
mà độ dài không v-ợt quá + k . Bởi vì là số lớn nhất, còn < , nên +k
thực sự nhỏ hơn và hơn nữa còn nhỏ hơn . Từ đó theo giả thiết qui nạp
suy ra tính lũy linh của nhãm con  a1, a2,…,an (®pcm).

10


1.3.Nhóm tôpô
1.3.1. Định nghĩa.

Nhóm tôpô là một tập hợp G trên đó đà đ-ợc trang bị một cấu trúc
nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mÃn hai điều kiện sau:
1) ánh xạ: (x,y) xy từ GxG đến G liên tục.
2) ánh xạ:

x x-1 từ G đến G liên tục.

+ Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm và cấu trúc tôpô là t-ơng
thích với nhau.
+ Hai điều kiện trên t-ơng đ-ơng với điều kiện:
ánh xạ (x,y) xy-1 từ GxG đến G liên tục.
1.3.2. Định lí.
Giả sử G là một nhóm tôpô và aG, khi đó các ánh x¹:
fa : G  G

ga : G  G

,

x  ax

x  xa

vµ  : G  G
x  x-1

lµ các ánh xạ đồng phôi của không gian tôpô G.
Chứng minh.
Ta chứng minh fa đồng phôi.
- Dễ thấy fa là song ánh.

- Chứng minh fa liên tục. Giả sử y = ax và W là lân cận của y,
do G là nhóm tôpô nên phép nhân liên tục, vậy tồn tại U,V lần l-ợt là các
lân cận của a và x sao cho UV W, do aU suy ra aV  W mµ fa(V) = aV,
vËy fa(V) W  fa liên tục. Các ánh xạ khác chứng minh t-ơng tự.
1.3.3. Hệ quả.
Giả sử F là tập đóng, U là tập mở, P là tập bất kì và a là phần tử tùy ý
của nhóm tôpô G. Khi đó ta có Fa, aF, F-1 là các tập đóng và các tập UP,
PU, U-1 là các tập mở.
Chứng minh.
Do fa, ga , là các ánh xạ đồng phôi nên ta suy ra ảnh của các tập
đóng qua các ánh xạ trên là tập đóng, ảnh của các tập mở là tập më.

11


+Ta cã ga(F) = Fa; fa(F) = aF; (F) = F-1 vì F đóng nên Fa, aF, F-1
đóng.
+Ta có fa(U) = aU, ga(U) = Ua, (U) = U-1 v× U mở nên aU, Ua, U-1
mở, ta lại có UP =

Ua

aP

;

P U=

aU

aP

; Do G là nhóm tôpô nên hợp

của các tập tập mở là tập mở, suy ra UP, PU mở .
1.3.4. Hệ quả.
Không gian tôpô G là không gian thuần nhất.
Chứng minh.
Không gian tôpô G gọi là thuần nhất nghĩa là với hai phần tử bất kì p
và q của nhóm G bao giờ cũng tìm đ-ợc một phép đồng phôi của G biến p
thành q. Thật vậy ta có ánh xạ ga: x xa là phép đồng phôi của G (với a
bất kì của G), chọn a = p-1q khi ®ã ga(p) = p(p-1q) = (pp-1)q = q.
1.3.5. Định lí.
Nếu P và Q là các tập compact của nhóm tôpô G thì PQ là tập
compact.
Chứng minh.
Xét ¸nh x¹ : f : P x Q  PQ, ta chứng minh f liên tục.
(x,y) xy
Giả sử aP, bQ và W là lân cận của ab, do tính chất liên tục của
phép nhân của nhóm tôpô G nên tồn tại các lân cận U của a trong P, V cña
b trong Q sao cho UV W. ta cã f((U,V)) = UV W, do (U,V) là lân cận
của (a,b) trong PxQ nên f liên tục và do P, Q compact nên ảnh của PxQ là
compact.

12


1.4.Nhóm con, -ớc chuẩn, nhóm th-ơng của nhóm tôpô
1.4.1. Nhóm con, -ớc chuẩn.
Giả sử G là nhóm tôpô. Tập con H của G đ-ợc gọi là nhóm con tôpô

của nhóm tôpô G nếu hai điều kiện sau thỏa mÃn:
i) H là nhóm con của nhóm trừu t-ợng G.
ii)H là tập con đóng của không gian tôpô G.
Nhóm con tôpô N của nhóm tôpô G đ-ợc gọi là -ớc chuẩn của nhóm
tôpô G nếu N là -ớc chuẩn của nhóm trừu t-ợng G.
1.4.2. Mệnh đề.
Giả sử G là nhóm tôpô, H là -ớc chuẩn của nhóm trừu t-ợng G. Khi
đó H là -ớc chuẩn của nhóm tôpô G. Nếu H là tËp më trong G th× H = H .
Chøng minh.
Do H đóng trong không gian tôpô G nên để chứng minh H là -ớc
chuẩn của nhóm tôpô G ta chỉ việc chứng minh H là -ớc chuẩn của nhóm
trừu t-ợng G, điều đó t-ơng đ-ơng với việc chứng minh H lµ nhãm con cđa
G vµ mäi h H , mäi gG thì g-1hg H .
a,b H khi đó ab-1 H . Thật vậy, giả sử W là lân cận tùy ý của
ab-1. Do G là nhóm tôpô nên phép nhân trong G liên tục, tức là tồn tại các
lân cận U của a và V của b sao cho UV-1 W ,vì a H và b H nên tồn
tại các phần tử x H , y H sao cho x U, y V. Do H lµ nhóm con trừu
t-ợng của G nên xy-1 H, mặt khác xy-1 UV-1  W , do ®ã xy-1WH.Tõ
®ã suy ra ab-1 H .
h H , gG ta cã g-1hg H . Thậy vậy do phép nhân trong G liên
tục nên ta có, nếu V là lân cận của g-1hg thì tồn tại lân cận U của h để
g-1Ug V , vì h H nên tồn tại xH sao cho xU thế thì g-1xgH vì H là
-ớc chuẩn của nhóm trừu t-ợng G. Mặt khác ta có: g-1xg g-1Ug V nên
g-1xgHV suy ra g-1hg H .
1.4.3. Mệnh đề.

13


Giả sử C(G) = gG/ xg=gx, xG , khi đó C(G) là -ớc chuẩn của

nhóm tôpô G và đ-ợc gọi là tâm của G.
Chứng minh.
Hiển nhiên C(G) là -ớc chuẩn của nhóm trừu t-ợng G, nên ta chỉ cần
chứng minh C(G) đóng trong G, tức là chứng minh C(G) = C(G).
Hiển nhiên C(G) C(G) .
Giả sử a C(G) và tån t¹i xG sao cho a’ = x-1ax  a. Khi đó vì G là
T2 không gian nên tồn tại các lân cận U của a, U của a thỏa mÃn :
UU=. Đặt V=C(G)U, thế thì a V , mâu thuÉn U’ V =, bëi vËy:
x-1ax=a víi xG hay ax=xa tức là aC(G) C(G) = C(G) (đpcm)
1.4.4. Mệnh đề.
Thành phần liên thông của đơn vị G0 của nhóm tôpô G là -ớc chuẩn
tôpô của G.
Chứng minh.
Giả sử a,b G0,vì G0 liên thông nên aG0-1 cũng liên thông và eaG0-1.
Bởi vậy aG0-1 G0 và do đó ab-1 aG0-1 G0 nên G0 là nhóm con trừu
t-ợng của G.
Giả sử aG0 và xG khi đó x-1G0x liên thông và chứa e nên
x-1G0xG0, do đó x-1ax x-1G0x G0 , nên G0 là -ớc chuẩn trừu t-ợng của
G. Do thành phần liên thông của không gian tôpô luôn đóng nên G 0 đóng
vậy G0 là -ớc chuẩn của G.
1.4.5. Nhóm th-ơng.
Giả sử N là -ớc chuẩn của nhóm tôpô G, ta đ-a vào nhóm th-ơng
G

N của nhóm trừu t-ợng G một tôpô xác định nh- sau: Giả sử ò là một cơ

sở của G với mỗi U ò, xét tập con U* = Ng/g U cđa G N , khi ®ã :

14

ò* = U*/ U ò} là cơ sở của không gian G N và G N với
tôpô xác định nh- trên gọi là nhóm th-ơng tôpô của nhóm tôpô G theo -ớc
chuẩn N và đ-ợc kí hiệu là G*.
1.4.6. Tính chất của không gian th-ơng.
1.4.6.1. Không gian G* là không gian thuần nhất.
1.4.6.2. Không gian G* là không gian chính qui.
1.4.6.3. Nếu G là không gian compact(compact địa ph-ơng) thì N và
G* cũng là không gian compact(compact địa ph-ơng) .
Chứng minh. Xem 2.

15


1.5. Đồng cấu, đẳng cấu
1.5.1. Định nghĩa.
ánh xạ từ nhóm tôpô G đến nhóm tôpô G gọi là đồng cấu nếu
thỏa mÃn hai điều kiện sau:
i) là đồng cấu từ nhóm trừu tượng G đến nhóm trừư tượng G
ii) là ánh xạ liên tục.
( là đẳng cấu nếu là đẳng cấu từ nhóm trừu t-ợng G đến nhóm trừu
tượng G. là ánh xạ mở nếu mở từ không gian tôpô G đến không gian
tôpô G).
1.5.2. Mệnh đề.
Giả sử G và G là hai nhóm tôpô, g là đồng cấu từ nhóm trừu tượng G
đến nhóm trừu tượng G . Để g liên tục hay mở chỉ cần g liên tục hay mở tại
đơn vị e của G.
Chứng minh.
Ta cần chứng minh aG, g liên tục tại a. Giả sử a=g(a) và U là
lân cận mở của a , khi đó U(a)-1 là lân cận mở của e đơn vị của G . Vì g

liên tục tại e nên tồn tại V lân cận mở cđa e ®Ĩ cho g(V) U’(a’)-1 , ta cã
tËp U=Va là lân cận mở chứa a. Ta có:G(U) = g(Va) = g(V).g(a) U(a)-1,
chứng tỏ g liên tục tại a . Mặt khác giả sử aG và U là lân cËn më cđa a,
khi ®ã ta cã g(U)=g(Ue)=g(U).e’, do g mở tại e nên g(U).e là tập mở hiển
nhiên nó là lân cận của g(a), vậy g mở tại a (đpcm).
1.5.3. Mệnh đề.
Giả sử G là nhóm tôpô và N là -ớc chuẩn của G. Khi đó ánh xạ
p: G G N là ánh xạ liên tục, mở và đ-ợc gọi là ánh xạ tự nhiên từ
x Nx
nhóm G lên nhóm th-ơng của nó.
Chứng minh.
aG và a = p(a) =Na, giả sử U là một lân cận nào đó của a và U
là lân cận nào đó của a, khi đó tập NU là một tập mở trong G và chứa a nên
16


tồn tại lân cận mở V chứa a mà V NU. Ta cã p(V)  U’ suy ra p liªn tục .
Mặt khác nếu aG và A = Na = p(a). U là một lân cận tùy ý của a, khi đó
U=Nx/xU là lân cận của A trong G N thỏa mÃn điều kiện P(V) = U
nên p mở.
1.5.4. Định lí.
Giả sử g:G G là toàn cấu mở từ nhóm tôpô G đến nhóm tôpô G ,
khi đó :
i) N = Ker(g) là -ớc chuẩn tôpô của nhóm tô pô G.
ii) Nhóm th-ơng G N đẳng cấu với G.
Chứng minh.
+Vì g:GG là liên tục và mở và e là tập đóng của G nên N-tạo
ảnh toàn phần của e là tập đóng trong G. Mặt khác N là ước chuẩn của
nhóm trừu t-ợng G, do đó N là -ớc chuẩn của nhóm tôpô G.
+ Giả sử x G thế thì g-1(x) = X là một lớp ghép của G theo N.

Đặt f(x) = X, khi đó f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu
t-ợng G N . Ta chứng minh f là đồng phôi từ không gian tôpô G lên không
gian tôpô G N . Mn vËy ta chøng minh f liªn tơc hai chiỊu .
Giả sử aG và f(a)=A, kí hiệu U là một lân cận nào đó của phần
tử A trong không gian G N suy ra U=Nx/xU với U là lân cận xác
định nào đó trong không gian G. Giả sử aU, A=Na, vì g mở, nên tồn tại
lân cận V chứa a’ sao cho g(U)V’, do g(a)=a’ , tõ ®ã suy ra f(V)U và
do đó f liên tục. Giả sử A=Na G N và f-1(A)=a,hơn nữa giả sử U là một
lân cËnVcña a sao cho g(V)U’, do g(a) = a’. KÝ hiệu V = Nx/xV, khi
đó V là lân cận của A trong G N vµ f-1(V’)  U’ , do ®ã f-1 liªn tơc. Suy ra

17


f là đẳng cấu đại số liên tục hai chiều , nên f là đẳng cấu từ nhóm tôpô G
lên nhóm tôpô G N (đpcm) .
1.5.5. Định lí.
Giả sử G lµ nhãm compact, H vµ N lµ nhãm con, -íc chuẩn của G
sao cho HN là đóng trong không gian G. Khi đó HN là nhóm con của G và
HN là -ớc chuẩn của H. Hơn nữa HN N H H N .
Chứng minh.
Vì N, H là nhóm con cđa G nªn ta cã:
(HN)(HN)-1=HN.N-1H-1 HN ( do NN-1  N , vµ N lµ -íc chn cđa
G) suy ra HN là nhóm con của G mặt khác HN đóng(gt) nên HN là nhóm
con của nhóm tôpô G .Kí hiệu p:HN HN N là đồng cấu tự nhiên . Vì
N=ker(p) nên p(HN)=p(H), giả sử p* là thu hẹp của p trên H thì
ker(p*)=HN. Vì G compact
nên HN N compact suy ra p* : H HN N lµ më vµ do ®ã ta cã
H


ker(p )

HN

H
HN
N hay H  N 
N .

18


1.6. Nhóm compact và compact địa ph-ơng
1.6.1. Định nghĩa.
Nhóm tôpô G đ-ợc gọi là nhóm compact (compact địa ph-ơng), nếu
không gian G là không gian compact(compact địa ph-ơng).
Nhóm tôpô G đ-ợc gọi là compact sinh ra nếu tồn tại một tập con M
compact của G để G là bao đóng của nhóm con sinh ra bởi M.
1.6.2. Định lí.
Giả sử G là một nhóm tôpô. H là -ớc chuẩn của nó, nếu :
i) G là nhóm compact thì H và G H là nhóm compact.
ii) G là nhóm compact địa ph-ơng thì G H là nhóm compact địa
ph-ơng.
Chứng minh.
i) Giả sử U là phủ mở bất kì của G, do G compact nên tồn tại phủ con
hữu hạn U0 phủ G. Do H là nhóm con của G nên U0 cũng là phủ mở hữu
hạn phủ H, vậy suy ra H compact. B©y giê ta chøng minh G H compact .
LÊy phđ më bÊt k× U cđa G H ta xét đồng cấu tự nhiên :G G H , ta có
-1(u)/uU phủ mở của G vì G compact nên trích đ-ợc phủ con hữu hạn

-1(u1);-1(u2);; -1(un) , do liên tục , khi đó u1;u2;un tập hữu hạn
phủ G H suy ra G H là nhóm compact.
ii) Giả sử G là nhóm compact địa ph-ơng ta chứng minh H là nhóm
compact địa ph-ơng . Do G là nhóm compact địa ph-ơng nên tại mỗi điểm
thuộc G đều tồn tại lân cËn compact mµ H lµ nhãm con cđa G suy ra mọi
phần tử của H đều tồn tại lân cận compact, do đó H là compact địa ph-ơng.
Chứng minh G H là nhóm compact địa ph-ơng . Giả sử gH G H ,
Xét đồng cấu tự nhiên :G G H ,khi đó -1(gH) G. Do G là compact

19


địa ph-ơng nên tồn tại lân cận compact V của -1(gH), do liên tục nên
(V) là lân cận compact của gH suy ra G H compact địa ph-ơng.
1.6.3.Định lí.
Giả sử G là nhóm compact địa ph-ơng và compact sinh ra. Khi đó
trong G tồn tại lân cận đối xứng compact của đơn vị sinh ra toàn bộ nhóm
G.
Chứng minh.
Vì G là compact sinh ra nên tồn tại tập con compact H sao cho
G=H. Khi đó tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e của G. Đặt
D=HVV. Khi đó D và D-1 compact nên K=D D-1 là tập compact đối
xứng và chứa e. Thế thì <K>=G.
1.6.4.Định lí.
Cho G là một nhóm tôpô, H là -ớc chuẩn compact của G sao cho
G

H là compact. Khi đó G là nhóm compact.

Chứng minh.

Để chứng minh G là compact ta chøng minh trong G cã hä c¸c tËp
con cã tÝnh giao hữu hạn thì giao khác rỗng. Xét hệ tâm có tính giao hữu
n

hạn của nhóm G : E i   ; ta chøng minh :  E   .KÝ hiÖu * =
i1
E
 f(E)/ E: f:G G H (f là đồng cấu tự nhiên) thế thì * là hệ trung tâm,
do G H là compact nên tồn tại AE ,E: f(E) tức là U e G thì
<AU>f(E) (vì AU là lân cận của A) suy ra tập AU các phần tử của G
có giao với các tập của khác rỗng tức là AUE suy ra EU-1A ,
lÊy ’= EU-1A/ E, A lµ một lớp ghép nên A đồng phôi với H, H
compact suy ra A compact, vậy hệ có điểm chung là a EU-1A, E
suy ra mỗi lân cận V của e trong G th× EU -1aV (v× aV chøa a) suy ra

20


EaVU,E . Lấy W chứa e, do phép nhân liên tục nên tồn tại u, v
sao cho uvW suy ra auvaW vËy aWE , E  G compact.
1.6.5. HƯ qu¶.
Gi¶ sử G là một nhóm tôpô, H là -ớc chuẩn compact, f là đồng cấu tự
nhiên từ G vào G H . Khi đó nếu Q là tập compact trong G H thì f-1(Q)
cũng là tập compact trong G.
Chứng minh.Xem 2.

21


1.7. Nhóm liên thông và hoàn toàn không liên thông

1.7.1. Định nghĩa.
Nhóm tôpô G đ-ợc gọi là liên thông(hoàn toàn không liên thông) nếu
nh- không gian tôpô G có các tính chất t-ơng ứng.
Chú ý:
+ Thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G th-ờng đ-ợc kí hiệu
là G0.
+ Nếu nhóm tôpô G liên thông, nghĩa là không gian của nó liên
thông tức là G0= G.
+ Nếu G0= e thì G gọi là nhóm hoàn toàn không liên thông.
1.7.2. Định lí.
Giả sử G là một nhóm tôpô, G0 là thành phần liên thông của đơn vị
trong không gian G. Khi đó G0 là -ớc chuẩn của G .
Chứng minh.
Giả sử a,bG0 , vì G0 liên thông nên aG0-1 cũng liên thông,vì aG0
nên aa-1aG0-1, suy ra eaG0-1. Vì G0là thành phần liên thông của e nên
aG0-1G0 , vì bG0 nên ab-1aG0-1 G0 suy ra ab-1G0. Do đó G0 là nhóm
con trừu t-ợng. Mặt khác G0 là tập đóng nên G0 là nhóm con của nhóm tôpô
G. Với mọi xG,ta có tập x-1Gx là tập liên thông chứa đơn vị nên x-1GxG0
Vậy G0 là -ớc chuẩn của nhóm trừu t-ợng G.
1.7.3. Định lí.
Nhóm liên thông G sinh bởi lân cận bất kì của đơn vị.
Chứng minh.
Giả sử V là lân cận bất kì của eG và giả sử G V, kí hiệu:

H=V= V i Khi đó H là nhãm con më cđa G suy ra H ®ãng,
i1
vËy H vừa mở vừa đóng trong G vì G V nên G H . Vậy G là tổng
của hai tập hợp vừa mở vừa đóng khác rỗng, tức G = H G H , điều này
22

mâu thuẫn với tính liên thông của G , chứng tá G  V lµ sai. VËy:

G =


V =  V i .
i1

1.7.4. Định lí.
Giả sử G là nhóm tôpô, G0 là thành phần liên thông của đơn vị trong
G. Khi đó G G là nhóm hoàn toàn không liên thông.
0
Chứng minh.
Giả sử : G G G là đồng cÊu tù nhiªn, kÝ hiƯu G* = G G . Khi
0
0
đó là đồng cấu mở từ G đến G*. Gọi P* là thành phần liên thông của đơn
vị trong G*, khi đó : P P* là ánh xạ mở . Thật vậy. Giả sử U là lân cận
nào đó của không gian P, khi đó tồn tại lân cËn V cđa kh«ng gian G sao cho
U=PV, ta cã (U) = P*  (V) , nh-ng  : G G* mở nên (V) mở
trong G* , do đó (U) mở trong P* .
Giả thiết rằng P* còn chứa phần tử khác đơn vị, khi đó G0 là một phần
trọn vẹn của P nên P không liên thông. Do ®ã P = A  B, AB=, A, B
më trong P. NÕu aA th× G0a A. NÕu G0a B  thì G0a phân tích đ-ợc
thành tổng hai tập hợp đóng không giao nhau nên (A) và (B) không giao
nhau. Các tập này mở trong P*,nh- vậy P*phân tích đ-ợc thành hai tập mở
trong P* , mâu thuẫn với P* liên thông suy ra G G hoàn toàn không liên
0
thông.

23


Ch-ơng 2.Nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô
Nhóm tôpô G gọi là nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô nếu bao đóng
của nhóm con hữu hạn sinh bất kì của nó là một nhóm lũy linh. Nhóm lũy
linh địa ph-ơng đ-ợc xếp vào một trong những lớp nhóm cơ bản của lí
thuyết nhóm trừu t-ợng cũng nh- lí thuyết nhóm tôpô. Việc nghiên cứu lớp
nhóm lũy linh đà đ-ợc nhiều nhà toán học dày công nghiên cứu và kết quả
thu đ-ợc cũng rÊt phong phó nh-ng néi dung cđa nã kh¸ réng nên còn
nhiều vấn đề ch-a đ-ợc nghiên cứu hoặc mới đ-ợc nghiên cứu nh-ng còn
rất ít.
Trong phần này của luận văn , chúng tôi nghiên cứu một số tính chất
của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô nh-:
1/Tính chất compact của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô
2/Tập hợp các phần tử compact của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô.
3/Tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm lũy linh địa ph-ơng
tôpô.
Trong toàn bộ ch-ơng này của luận văn, nhóm tôpô đ-ợc nghiên cứu
đều là nhóm compact địa ph-ơng(nếu không nói gì thêm ta hiểu đó là nhóm
compact địa ph-ơng).
2.1.Tính chất compact của nhóm lũy linh địa ph-ơng tôpô
Trong phần này ta xét với điều kiện nào thì nhóm compact địa
ph-ơng, lũy linh địa ph-ơng tôpô là nhóm compact.
2.1.1. Định nghĩa.
Cho nhóm tôpô G, phần tử gG đ-ợc gọi là phần tử compact nếu nh-

g là nhóm compact.
2.1.2. Định nghĩa.

Nhóm tôpô G mà mọi phần tử của nó đều là phần tử compact thì
đ-ợc gọi là nhóm xoắn tôpô. Nhóm tôpô G không có phần tử compact
không tầm th-ờng thì đ-ợc gọi là nhóm phi xoắn tôpô.
2.1.3. Định nghĩa.

24


Nhóm tôpô G đ-ợc gọi là nhóm hữu hạn địa ph-ơng tôpô nếu nhbao đóng của nhóm con hữu hạn sinh là nhóm compact.
2.1.4. Bổ đề.
Cho G là nhóm compact địa ph-ơng, H là nhóm con hữu hạn địa
ph-ơng tôpô của G. Khi đó H cũng là nhóm hữu hạn địa ph-ơng tôpô.
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát ta giả sử H= G , ta chứng minh G là
nhóm hữu hạn địa ph-ơng tôpô .
Thật vậy vì G là nhóm compact địa ph-ơng nên G G là nhóm
0
compact địa ph-ơng hoàn toàn không liên thông . Khi đó với lân cận U*e* ,
đơn vị của G G thì tồn tại nhãm con compact më K G U*. K lµ nhãm
0
0
con mở trong G nên tồn tại một lân cận U compact của đơn vị e thuộc K sao
cho U K . Ta kÝ hiƯu Q lµ nhãm con sinh ra bởi U (Q=U) thế thì Q là
nhóm con mở của G sinh ra bëi tËp compact U vµ Q G là nhóm compact,
0
vì Q G K G . Giả sư g1, g2,…,gk  G, ta kÝ hiƯu : T = g1 ; g 2 ;...;g k ; Q
0
0
lµ mét nhãm con më sinh ra bëi tËp compact, v× H = G cho nên T H
là một tập trù mËt cđa T cã nghÜa lµ T  H = T , ta đặt L = T H là

nhóm con hữu hạn địa ph-ơng tôpô trù mật trong T nên theo định lí 1.6.3 ta
có nhóm T=V , trong đó V là một lân cận compact đối xứng của đơn vị
eT. Bây giờ ta chứng minh T=LV. Thật vậy, với t T ta có tV là lân cận
của T nên tV L (vì L trù mật trong T), có nghĩa là tồn tại một phần tử
vV và l L ®Ĩ sao cho tv = l hay t = lv-1 LV. Vì V là tập compact nên
theo định lí 1.3.5 ta cã V2 cịng lµ tËp compact vËy V2 có một phủ mở hữu
hạn d1v ; d2v ; ; dlv ,vì L là trù mật trong T nên có thĨ lÊy :d1; d2; …; dl 
L. Ta kÝ hiƯu A = d1 ; d 2 ;...;d l  lµ một tập compact , vì L là nhóm hữu hạn
25