Tương tác của bức xạ

LỜI NĨI ĐẦU
Nghiên cứu q trình tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử là một
trong những bài toán quan trọng nhất của vật lý hiện đại. Vật chất theo quan
điểm hiện đại bao gồm các hạt cơ bản, các nguyên tử, phân tử... và cả các
trường. Người ta thường quan tâm tới tương tác của bức xạ với hệ ngun tử,
bởi vì nó rất phổ biến trong tự nhiên và các hiện tượng xảy ra trong quá trình
tương tác ấy có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc nghiên cứu đã được tiến hành
rất nhiều trong vật lý cổ điển, tuy nhiên mãi tới thế kỷ XX với sự xuất hiện
của lý thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử, chúng ta mới có được cái nhìn
sâu hơn về sự tương tác giữa các trường. Nhờ có lý thuyết hiện đại này mà bài
toán tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử đã được giải quyết một cách trọn
vẹn. Tất cả các hiện tượng quan sát được cho tới nay đều phù hợp rất tốt với
kết quả tính toán được trên cơ sở lý thuyết. Hơn thế, lý thuyết cịn tiên đốn
được các hiện tượng mới. Nhờ cơ học lượng tử, các lĩnh vực mới trong vật lý
đã xuất hiện: Điện tử học lượng tử, quang học lượng tử, vật lý Laser, quang
học phi tuyến..., đem lại những ứng dụng thực tiễn vô cùng phong phú như
ngày nay.
Nhằm mục đích tìm hiểu, giải thích một số hiện tượng cơ bản của qúa
trình tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử, theo phương pháp không quá
phức tạp nhưng vẫn đảm bảo chính xác, chúng tơi đã trình bày trong bản luận
văn này các nội dung sau đây:
Ngoài lời nói đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm 2 chương.
Chƣơng I: Trình bày các cơ sở lý thuyết về tương tác của bức xạ với
hệ nguyên tử.
Chƣơng II: Là nội dung chính của luận văn, phần này giải thích và
tính tốn chi tiết các hiện tượng cơ bản nhất: các chuyển dời tự phát và cưỡng
-1-


bức, ảnh hưởng của trường lên tốc độ chuyển dời cưỡng bức và sự mở rộng

vạch phổ.
Giải thích các hiện tượng quan sát thấy bằng lý thuyết lượng tử sẽ giúp
ta hiểu vấn đề sâu sắc và nắm được bản chất của hiện tượng, vì lý thuyết
lượng tử là lý thuyết sâu sắc và đẹp đẽ nhất về thế giới vi mô. Hiểu được bản
chất của hiện tượng sẽ giúp ta nắm vững hơn cơ học lượng tử, thấy được vai
trị to lớn của nó trong vật lý học hiện đại và rất có lợi cho việc học tập các
chuyên đề sau của chun ngành, vì thế tơi rất muốn tìm hiểu sâu, có hệ thống
vấn đề đặt ra. Tuy nhiên, thời gian thực hiện đề tài và khuôn khổ luận văn có
hạn nên tơi chỉ mới xét được những hiện tượng cơ bản nhất. Còn nhiều hiện
tượng quan trọng khác, cũng rất cơ bản, chưa được xét đến, hệ vi mô cũng
như vĩ mô thực tế phức tạp hơn nhiều, với các tương tác cũng tinh tế hơn, lúc
này địi hỏi tính tốn chính xác của Điện động lực học lượng tử mới giải
quyết được. Hy vọng sẽ có dịp tiếp tục được nghiên cứu một khía cạnh nhỏ
nào đó trong những vấn đề ấy.
Trong q trình thực hiện đề tài này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn
nhiệt tình của các thầy cơ giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là thầy giáo: TS.
Đinh Xuân Khoa và thầy Nguyễn Huy Bằng đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi
rất nhiều trong q trình tìm kiếm tài liệu, tìm hiểu vấn đề, nghiên cứu và
hồn thành đề tài.
Tơi xin chân thành cảm ơn hai thầy và các thầy cô giáo trong khoa đã
giúp tơi hồn thành luận văn này.
Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2004
Sinh viên: Phan Thị

-2-

Hạnh


Chƣơng 1

TƢƠNG TÁC CỦA BỨC XẠ VỚI HỆ NGUYÊN TỬ
1.1. MỞ ĐẦU
Tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử là một trong những bài toán
quan trọng của vật lý hiện đại.Vật chất theo quan điểm hiện đại bao gồm các
hạt cơ bản, các nguyên tử, phân tử… và cả các trường . Ở chương này chúng
ta quan tâm đến tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử. Việc nghiên cứu đã
được tiến hành rất nhiều trong vật lý cổ điển, tuy nhiên mãi tới thế kỷ XX với
sự xuất hiện của lý thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử, chúng ta mới có
được cái nhìn sâu hơn về sự tương tác giữa các trường. Nhờ có lý thuyết hiện
đại này mà bài toán tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử đã được giải quyết
một cách trọn vẹn. Tất cả các hiện tượng quan sát được cho tới nay đều phù
hợp rất tốt với kết quả tính tốn được trên cơ sở lý thuyết. Hơn thế, lý thuyết
cịn tiên đốn được các hiện tượng mới. Nhằm mục đích tìm hiểu, giải thích
một số hiện tượng cơ bản của quá trình tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử
theo phương pháp không quá phức tạp nhưng vẫn đảm bảo chính xác . Ở
chương này chúng ta sẽ đề cập đến một số chủ đề chính là: ma trận mật độ ,
phương trình Liuvinlle và vai trị năng lượng , phương trình Bloch mơ tả
tương tác của bức xạ với hệ nguyên tử.
Chúng ta sẽ xem xét một cách tổng quát, không chỉ giới hạn vào một
hệ nguyên tử cụ thể nào, vì vậy các kết quả có thể được ứng dụng một cách
rộng rãi.

1.2. MA TRẬN MẬT ĐỘ
-3-


1.2.1. Ma trận mật độ
Như ta đã biết để xác định hàm sóng mơ tả một trạng thái đã cho thì
cần phải sử dụng các phép đo để có đủ các biến động lực. Hàm sóng của một

trạng thái đang xét là hàm riêng của các toán tử biểu diễn đầy đủ các đại
lượng vật lý. Với điều kiện đó thì hàm sóng được xác định hồn tồn và mơ tả
một cách đầy đủ nhất ở mức độ cho phép trong cơ học lượng tử. Tuy nhiên
trong cơ học lượng tử cũng có thể có những trạng thái khơng tương ứng với
một hàm sóng nào. Khả năng này có thể diễn ra khi chúng ta không thể xác
định được trạng thái dựa vào một bộ đủ các đại lượng vật lý mà buộc phải
thoả mãn với một sự mô tả không đầy đủ. Trong trường hợp này, nhờ kết quả
của những phép đo các đại lượng vật lý của hệ đang xét mà ta có thể thiết lập
(1)
( 2)
được các trạng thái thuần khiết  ,  ,... nào có mặt trong trạng thái

nghiên cứu, và các xác suất p 1 , p2 của các trạng thái thuần khiết  (1) ,  ( 2) ,...
tham gia vào trong trạng thái đang xét, vì xác suất có thể được tính theo tần số
xuất hiện tỷ đối của các kết quả đo.
Nhưng chỉ dựa trên những dự kiện đó thì chúng ta vẫn khơng thể xây
dựng được hàm sóng của trạng thái đang xét, vì trên cơ sở của nguyên lý
chồng chất của các trạng thái
   cn  ( n )

(1.2 - 1)

n

ta mới biết được các bình phương môđun của các hệ số

nhưng chúng ta

không biết được một cách chính xác các hệ số. Các hệ số c n chỉ được biết
chính xác đến các thừa số pha exp(i n ) . Như thế hàm sóng trong trường hợp

này vẫn còn bất định. Các trạng thái mà ta khơng đối ứng được một hàm sóng
nào, được gọi là trạng thái hỗn hợp, nghĩa là trong trạng thái không mơ tả
được bằng hàm sóng, thì điều đó có nghĩa là chúng ta “chuẩn bị” trạng thái
-4-


nhưng đã không xác định được số khả dĩ cực đại các đại lượng vật lý độc lập,
mà việc biết các đại lượng này cần thiết cho việc mô tả đầy đủ dựa vào hàm
sóng. Trạng thái hỗn hợp có thể được coi như hỗn hợp không kết hợp của các
(1)
( 2)
trạng thái thuần khiết  ,  ,... với xác suất (hay trọng số thống kê) P i .

Ở đây P i là những số dương thoả mãn hệ thức  Pi  1 . Các danh từ “hỗn hợp
khơng kết hợp” khi đó biểu diễn một sự kiện là, khi tính giá trị trung bình < F
> của một đại lượng F nào đó trong hệ hỗn hợp, cần phải xác định các xác
suất của các giá trị của đại lượng đó trong các trạng thái thuần khiết  (i ) ,
nghĩa là tính
F

(i )

^

  *(i ) F  (i ) dx

(1.2 - 2)

và lấy trung bình các đại lượng thu được bằng cách dùng trọng số thống kê Pi
khi đó:

 F   Pi F

(i )

(1.2 - 3)

i

ở trên ta thực hiện hai phép lâý trung bình.
(1.2 - 2): xác định phép lấy trung bình cơ học lượng tử trong trạng thái  (i ) ;
(1.2 - 3): xác định phép lấy trung bình theo tập hợp thống kê các hàm  (i ) .
Gọi 1 ,  2 ,...,  n là hệ hàm riêng trực chuẩn của các toán tử Fˆ biểu diễn
đại lượng vật lý F, đặc trưng cho tập hợp đang xét. Khai triển một trạng thái
(i )
thuần khiết  theo hệ các hàm riêng trực chuẩn 1 ( x),  2 ( x),...,  n ( x) ,ta có:

 (i )   a n(i ) n ;

 an*(i ) an(i )  1

n

(1.2 - 4)

n

thay (1.2 – 4) vào (1.2 - 2) chúng ta sẽ có được giá trị trung bình của đại
^

lượng F tương ứng với tốn tử F trong trạng thái  (i ) này sẽ tìm được theo

quy tắc.
F

(i )

  Fnn' an*(i ) an(i' )

(1.2 - 5)

nn'

-5-


^

Trong đó Fnn   n* Fn dx
'

(1.2 - 6)

'

^

là các phân tử ma trận được xác định bởi các hàm riêng  n và tốn tử F
nhưng khơng phụ thuộc vào trạng thái  (i )
Bây giờ ta thay (1.2-5) vào (1.2 –3) chúng ta tìm được
 F   Pi  Fnn ' an*(i ) an(i' )
i

  nn ' Fnn '

nn '

(1.2 - 7)

nn '

Trong đó nn   Pi an*(i ) an(i )
'

(1.2 - 8)

'

i
^

^

toán tử  với các yếu tố ma trận  nn được xác định theo (1.2 - 8) gọi là toán
'

tử thống kê hay là toán tử ma trận mật độ. Hệ thức (1.2 - 7) có thể viết lại ở
dạng khác như sau:
^ ^

F  nn ' Fnn '  sp[ F ]

(1.2 - 9)

nn '

phép tính này được gọi là phép lấy vết của ma trận và ta ký hiệu ngắn gọn là
“sp” (spur) công thức (1.2 -9) cho ta thấy giá trị tìm được khơng phụ thuộc
vào việc chọn các hàm cơ sở  (i ) và để tính giá trị trung bình thống kê của
bất kỳ đại lượng F nào thì ta cần phải biết ma trận mật độ. Như vậy ma trận
mật độ đóng vai trị giống như hàm phân bố  (p,q) trong trường hợp thống kê
cổ điển.
Ma trận mật độ xác định trạng thái hỗn hợp đã cho. Ma trận mật độ lần
đầu tiên được đưa vào các cơng trình của Lanđau và Neumann.
Như thế khi biết được ma trận mật độ  ta có thể tính được giá trị
trung bình của một đại lượng vật lý bất kỳ F đặc trưng cho hệ (chẳng hạn
trạng thái phân cực) từ công thức (1.2 - 7) bằng cách đo một số giá trị trung
bình của một số đại lượng trong trạng thái hỗn hợp, ta có thể tìm được ma
trận mật độ của trạng thái đang xét, nghĩa là xác định được tất cả các phần tử
-6-


(nói chung là phức) của ma trận này. Các hệ thức loại (1.2 - 7) thực chất là
các phương trình đại số tuyến tính với các ẩn là các phần tử ma trận  nn' . Vì
đại lượng  F  là thực nên ma trận mật độ là cemitic, tức là ta có:
 nn' =  *n'n

(1.2 - 10)

số hàng và số cột trong ma trận mật độ tương ứng với các trạng thái độc lập
dùng để đặc trưng cho các trạng thái thuần khiết trong (1.2 - 4). Tuỳ vào từng
trường hợp mà con số này là hữu hạn hay vô cùng (vô hạn), từ (1.2 - 7) và

(1.2 - 8) nếu ta đặt F = 1 thì các phần tử Fnn   nn ; ta sẽ thấy ma trận mật độ
'

'

 tuân theo điều kiện :
sp  = 1

(1.2 - 11)

Đó là điều kiện chuẩn hố của ma trận mật độ.
Ma trận vuông phức với N hàng sẽ có N2 phần tử phức. Điều kiện(1.2 - 10)
đưa N2 phần tử phức về N2 tham số phức độc lập. Điều kiện chuẩn (1.2 - 11)
giảm số các thông số thực độc lập xuống N2 –1.
Như vậy, nếu trong hệ lượng tử có thể có N trạng thái thuần khiết độc
lập thì việc xác định trạng thái hỗn hợp tuỳ ý của nó rút về việc đo N2 – 1 đại
lượng độc lập, các đại lượng này hoàn tồn xác định ma trận mật độ của trạng
thái đó. Chẳng hạn, trạng thái phân cực của các nơtrôn (N = 2) hoàn toàn
được xác định bởi vectơ phân cực P (ba thông số độc lập). Đối với trạng thái
thuần khiết, trong tổng (1.2 - 7) chỉ còn một số hạng (thứ i chẳng hạn)
Khi đó
 F  F

(i )

  Fnn ' an*(i ) an(i' )
nn '

Như vậy ma trận mật độ của các trạng thái thuần khiết là:
nn  an*(i ) an(i )

'

(1.2 - 12)

'

Nếu ta để ý đến điều kiện chuẩn hố

 an*(i)an(i)  1 thì ta sẽ có:
'

n

-7-


( 2 )mn  mn

Hay dưới dạng ma trận  2 = 

(1.2 - 13)

tức là đối với trạng thái thuần khiết, bình phương của ma trận mật độ bằng
chính nó (1.2 – 13) là điều kiện cần và đủ để các trạng thái là thuần khiết, khi
đó hệ được mơ tả bằng một hàm sóng xác định.
Thật vậy, khi  được đưa về dạng chéo điều kiện (1.2 - 13) có nghĩa là
chỉ có 1 trong các phần tử nn bằng đơn vị, còn các phần tử khác còn lại là
bằng không.
^

Đối với một đại lượng vật lý F biểu diễn bằng tốn tử F , ta có khi đó
F  Fnn nó tương đương với sự có mặt của một hàm sóng xác định. Lúc này

(1.2-13) tương ứng với  (  - 1) = 0

(1- 2 - 13)’.

Như thế tốn tử thoả mãn một phương trình đại số và các trị riêng của
nó sẽ bằng 1 và 0.
Hàm riêng (hay vectơ trạng thái) tướng ứng với trị riêng 1 sẽ trực giao
với hàm riêng tương ứng với trị riêng bằng 0.
Riêng đối với trạng thái thuần khiết ta có:
sp(  2) = 1

(1.2 - 14)

từ (1-2-11) và (1.2 - 14) sau khi đã chéo hoá, ma trận mật độ cho trạng
thái thuần khiết có dạng:
0

0
  0

.
0


. . . 0

. . . 0

. 1 . 0

. . . .
. . . 0 

Bây giờ ta trở lại tìm sp của bình phương ma trận mật độ  xét cho
trạng thái pha trộn (hỗn hợp). Dễ dàng tìm được
-8-


sp 2   Pn2

(1.2 - 15)

n

sp  1   Pn2

nhưng

(1.2 - 16)

n

Xác suất của một ma trận biến cố nào đó khơng thể lớn hơn xác suất
của một biến cố chắc chắn Pn < 1. Do đó bình phương của xác suất nhỏ hơn
chính xác suất Pn2  Pn
So sánh hệ thức (1.2 - 15) và (1.2 - 16) ta thấy:
sp 2  sp

Dấu “=” chỉ xẩy khi trạng thái là thuần khiết, khi đó một trong các xác
suất Pn chẳng hạn, bằng đơn vị còn tất cả các Pn  n = 0 khi đó:
'

sp  2 = sp  = 1

(1.2 - 17)

Mức độ gần của sp  2 so với sp  có thể được coi như số đo độ thuần
khiết của trạng thái.
Như vây, ma trận mật độ cho ta lượng thông tin cực đại khả dĩ về hệ
hỗn hợp.
1.2.2. Phƣơng trình chuyển động của ma trận mật độ.
Ta có ma trận mật độ là ma trận có các yếu tố xác định theo công thức:
 nn   Pi an*(i ) an(i )
'

'

i

thực hiện phép lấy đạo hàm theo thời gian ta có:
nn'
t

  Pi [an(i )
i

an*(i )
a (i )

 an*(' i ) n
t
t

]

(1-2-18)

(i )
vì an(i ) , a n(i ) là các hệ số khai triển của các vectơ trạng thái  nên để tính
'

đạo hàm chúng ta xuất phát từ phương trình SChrodinger: i
trong đó

 (i )   aki k .
k

-9-

^
 (i )
 H  (i ) ,
t


i 

Ta có

a ki
t

^

k   aki H k

k

Nhân cả 2 vế với  n* rồi lấy tích phân ta được
i

a ni
  a ki H nk
t
k

(1.2 - 19)

^

*
trong đó H nk    H k dx và H nk
 H nk (ma trận Hecmit)

*
n

Thay (1.2 – 18) vào (1-2-19) ta được:
i

 nn'
t

  Pi [  a k(i )* an(i ) H kn  ak(i ) an(i' )* H kn' ]   ( kn' H nk   nk H kn' )
k

k

Mặt khác theo quy tắc nhân ma trận ta có:

 H nkkn

^ ^

'

^

^

 ( H  )nn ' hay nk H kn'  ( , H )nn '

k

k

Từ đó ta có thể viết lại biểu thức đạo hàm của  nn như sau:
'

ih

nn '
t

^ ^

^ ^

^

^

 ( H    H )nn '  [ H ,  ]nn '
^

Như vậy toán tử  thoả mãn phương trình:
^

 i ^ ^
 [ , H ]
t

^

^

(1.2 - 20)
^

^

ở đây [ , H ] là hệ thức giao hốn của  và H . Phương trình (1.2 - 20) chính
^

là phương trình chuyển động của tốn tử thống kê hay ma trận mật độ  .
Phương trình (1.2 - 20) cho phép ta xác định được ma trận mật độ tại
một thời điểm bất kỳ, nếu biết được ma trận mật độ tại một thời điểm ban đầu
nào đó.
Theo định nghĩa, giá trị thống kê trong trường hợp lượng tử được xác
định bởi công thức (1.2 - 8). Trong trạng thái cân bằng nhiệt động F không

- 10 -


^

phụ thuộc thời gian. Điều này chỉ được thoả mãn khi  không phụ thuộc
tường minh vào thời gian.
^


Như vậy, đối với trạng thái cân bằng nhiệt động ta có
0.
t

Điều này có nghĩa là đối với trạng thái cân bằng nhiệt động thì ma trận
mật độ giao hốn với H
^

^

[ , H ]  0

(1.2 - 21)

^

Như thế  là một tích phân chuyển động.
Trong cơ học lượng tử ta biết rằng nếu 2 tốn tử giao hốn thì ta có thể
cùng có dạng chéo.
^

Trong phép biểu diễn năng lượng tốn tử H có dạng chéo:

H nn  En nn
'

'

Từ đó cho ta thấy được rằng phép biểu diễn năng lượng ma trân mật độ
cũng có dạng chéo:

 nn   n nn
'

(1.2 - 22)

'

ở đây ta ký hiệu  n là yếu tố chéo của ma trận  nn tức là  n =  nn.
'

^

^

Vì  n giao hốn với H nên  n chỉ có thể là hàm của năng lượng
 n =  n(En) thay (1.2 - 22) vào (1.2 - 9) ta thu được công thức tính trung

bình thống kê của đại lượng vật lý F trong trạng thái cân bằng nhiệt động:
F  sp[ˆ , Fˆ ]  nn ' Fnn '  n nn ' Fnn '
n, n '

n, n '

Đưa vào ký hiệu Fn  Fnn   EnE* FˆE dq để chỉ các yếu tố chéo của ma
n

n

trận Fnn trong biểu thức năng lượng ta có:
'

F  sp[ˆ , Fˆ ]   Fnn
n

- 11 -

(1.2 - 23)

Bây giờ, ta chuyển sang xét diều kiện chuẩn hoá của  n theo định
nghĩa của ma trận mật độ ta có:
 nn   Pi a n(i )

2

'

i

từ đó ra có:  nn   Pi a n(i )

2

i

Lấy vết của ma trận này ra được:
sp[ˆ ]  nn n   Pi an(i )
n

n

n

2

suy ra spˆ   Pi an(i )

i

n

2

i

Vì an là hệ số khai triển của hàm sóng  (i ) theo hệ hàm trực chuẩn  n
nên ta có:

 a n(i)

2

 1.

Từ đó ta có:
spˆ    Pi  1 hay

 i

i

1

(1.2-24)

i

Kết quả này là phù hợp bởi vì  n chính là xác suất để đại lượng F có
giá trị Fn trong trạng thái năng lượng En.
Như thế  n phải phụ thuộc năng lượng dưới dạng  n  Fe E , trong
n

đó F và  khơng phụ thuộc En hệ số F là hệ số chuẩn hoá, tức là hệ số đảm
bảo cho  n thoả mãn điều kiện:

n  F  eE
n

n

 1 suy ra F 1   e En

n

n

1.3. PHƢƠNG TRÌNH LIOUVILLE VÀ VAI TRÕ CỦA NĂNG LƢỢNG
1.3.1. Phƣơng trình liouville
Ta sẽ chứng minh đối với trạng thái cân bằng nhiệt động thì hàm phân
bố xác suất  (p,q) chỉ phụ thuộc vào năng lượng của hệ.

- 12 -


Như ta đã biết khi hệ biến đổi theo thời gian thì các điểm biểu diễn pha
của chúng dịch chuyển trong khơng gian pha, chuyển từ thể tích ngun tố
này sang thể tích nguyên tố khác.

Xét dn điểm pha tại thời điểm t1 chiếm thể tích pha dx1 từ đó ta suy ra:
dn =

 1 dx1

trong đó  1 là mật độ tại thời điểm t1 sang thời điểm t2 thì dn điểm pha chiếm
thể tích pha dx2. Khi đó ta có:
dn =

 2 dx2

z

trong đó  2 là mật độ pha tại thời điểm t2

(1)

Khi đó  1dx1 =  2 dx2 .

(1.3 - 1)dz
(2)

Từ đó cho ta thấy được rằng hệ thức

y

(1.3 - 1) hoàn toàn tương tự như chuyển
động của chất lỏng trong khơng gian thơng
thường. Vì vậy để xét chuyển động của

dx
x

dy
Hình 1.

các điểm pha chúng ta xét chuyển động của chất lỏng trong không gian thơng
thường
Lấy thể tích ngun tố dxdydz trong một chất lỏng chuyển động.trước
hết ta tìm khối lượng chất lỏng chảy vào mặt (1)theo trục oy trong không gian
dt với vận tốc

 y dtdxdz

(1.3 - 2)

trong đó  là khối lượng riêng của chất lỏng.cũng trong khoảng thời
gian dt này khối lượngđi qua mặt (2) là:


 (  y ) 


dy  dtdydz
 y

y



(1.3 - 3)

ở đây ta đã coi rằng các giá trị  và  y đều thay đôỉ trên đoạn dy kết
quả là còn dư một lượng chất lỏng bằng hiệu 2 khối lượng nói trên.
- 13 -


Lấy (1.3 - 2) trừ (1.3 – 3) ta được:


(  y )
y

(1.3 - 4)

dtdxdydz

Lượng chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt là:

dtdxdydz
y

(1.3 - 5)

Vì chất lỏng có thể chuyển động theo 3 phương khác nhau nên nếu xét
cả 3 phương ta có:

 ( x ) ( v y ) ( z ) 





dtdxdydz





x
y
z



(1.3 - 4)’

so sánh (1.3 - 4)’ và (1.3 - 5) ta rút ra phương trình liên tục đối với chất
lỏng.
 
 ( x ) (  y ) ( z ) 




0
t 
y
z 
 x


.

.

(1.3 - 6)

.

trong đó  x  x, y  y, z  z là vận tốc chuyển động của chất lỏng trong
không gian thông thường.
Xét chuyển động của các điểm pha trong không gian pha 2fN chiều:
qk , p k (k  1... fN ) là các vận tốc pha trong không gian pha.

Khi này (1.3 – 6) có dạng:
 fN  ( q k ) ( p k ) 
 

0
t k 1  q k
p k 

(1.3 - 7)

trong đó  là mật độ phân bố của các điểm biểu diễn pha.
Thực hiện phép tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được:



q
p

  (qk
 p k
)  ( k  k )  0
t
qk
pk
pk
k
k qk

tổng của hai số hạng đạo hàm đầu và đạo hàm toàn phần của hàm  theo thời
gian (coi  như là hàm của qk, pk, t), nghĩa là:
- 14 -


d 



  (qk
 p k
)
dt
t
qk
pk
k

Chia 2 vế của phương trình (1.3 – 8) cho n và thay

(1.3 - 8)

n

  ta có:

d 



  (qk
 p k
)
dt
t
qk
Pk
k

(1.3 - 9)

Đối với hệ bảo tồn tn theo phương trình chính tắc Hamintơn.
p k  

H
H
; qk 
qk
Pk

(1.3 - 10)

trong đó H là Hamintơn của hệ, thay (1.3 - 10) vào (1.3 - 9) ta được:
d 
H  H 

 (

)0
dt
t
qk pk
k pk qk

Đưa vào ký hiệu móc poisson, ta có thể viết:
d 

  , H 
dt
t

trong đó , H    (
k

(1.3 - 11)

H  H 

)
pk qk qk pk

Phương trình (1.3 -11) diễn tả sự biến thiên của hàm  , dọc theo quỹ
đạo pha, khi các toạ độ và xung lượng biến đổi theo các quy luật của cơ học
cổ điển.
Bây giờ ta đi chứng minh nếu số hạt của hệ là bảo tồn thì

d
 0.
dt

Giả sử rằng tổng số hạt của hệ là N, số hạt nằm trong thể tích
pha v nào đó là Nv, ta ln ln có :
Nv = N   ( p, q, t )dpdq

(1.3 - 12)

V

Ở đây ta xét tích phân trong vùng v của không gian pha.
Từ (2.3 - 12) ta suy ra:
dN v

= N  dpdq
dt
t
V

(1.3 - 13)

- 15 -

Biểu thức (1.3 - 13) miêu tả sự biến thiên số hạt của vùng v trong một
đơn vị thời gian.Lượng biến thiên này phải đúng bằng số hạt vượt qua biên
của vùng v trong một đơn vị thời gian .Kí hiệu mặt biên là s ta có
dN V
= - N  ( v ) n d 
dt
s

(1.3 - 14)

trong đó d  là yếu tố diện tích của mặt biên trong không gian 2f chiều .
v là véc tơ vận tốc trong khơng gian đó và
v ={

dq
dp
dq1 dq 2
dp
,
,..... f , 1 ,... f }
dt dt
dt
dt
dt

Chỉ số n biểu diễn hình chiếu trên phương pháp tuyến .
Áp dụng định lí Ostrogradski – Gauss ta được :

 ( v )

n

 div ( v ) dpdq

d =

s

(V )

Như thế phương trình (1.3 - 14) có thể được viết lại dưới dạng :
dN v
=-N
dt

 div ( v ) dpdq

(1.3 - 15)

(V )

Trong đó div(  v ) trong khơng gin 2f chiều có dạng :
div(  v ) =

dq

 [ q (  dt
f

k

k 1

k

)+


(
p k



dp k
)]
dt

Theo chương trình chuyển động Hamintơn ta có:
div(  v ) =

f



[ q

k 1

f

=

 dH

 [ q

k 1

k

dp k

-

(
k

dH
dH

)(
)] =
p k
dp k
dq k

 dH
] = [  ,H]

p k dq k

(1.3 - 16)

Thay (1.3 - 16) vào (1.3 - 5) ta được :
dN V
= - N  [, H ]dpdq
dt
(V )

- 16 -

(1.3 – 17 )


So sánh phương trình (1.3 –17 ) với (1.3 - 15) ta thấy :

= - [  ,H]
t

(1.3 - 18)

Thay (1.3 - 18) vào phương trình (1.3 -11) ta được :


=
+ [  ,H] = 0
t
t

(1.3 – 19)

Qua đó ta thấy hàm phân bố xác suất không thay đổi dọc theo quỹ đạo
pha . Đó là nội dung định lý Liouville .
Phương trình (1.3 - 19) là phương trình Liouville.
1.3.2. Vai trò của năng lƣợng
Xuất phát từ định lý Liouville ta thấy trong trạng thái cân bằng nhiệt
động giá trị trung bình của mọi đại lượng động lực học khơng phụ thuộc thời
gian . Điều này đòi hỏi hàm phân bố thống kê  cần phải không phụ thuộc rõ
vào thời gian. Nghĩa là

 ( x, t )
=0
t

( 1.3 - 20)

Phương trình (1.3 - 20) được gọi là điều kiện cân bằng thống kê. Từ hệ
thức(1.3 - 19) ta suy ra :
[  ,H] = 0

(1.3 - 21)

Theo cơ học lí thuyết mọi đại lượng thoả mãn phương trình (1.3 - 21)
phải là các tích phân chuyển động .Như thế trong trạng thái cân bằng nhiệt
động hàm phân bố xác suất  là tích phân chuyển động. Mà mọi hệ cơ học
chỉ có tối đa là 7 tích phân chuyển động đó là năng lượng , ba thành phần của
xung lượng và ba thành phần của mô men xung lượng. nếu chỉ xét trường hợp
tâm quán tính đứng yên và hệ khơng tham gia chuyển động quay thì khi đó
chỉ cịn một tích phân chuyển động đó là năng lượng.

Mặt khác, từ hệ thức (1.3-21) cũng thừa nhận rằng hàm phân bố xác
suất  là tích phân chuyển động. như thế, bắt buộc  phải là hàm của năng
lượng, tức là hàm của Hamiltonian.
- 17 -


 (p,q) =  (H(p,q))

(1.3-22)

Hệ thức này cho phép ta đoán nhận được dạng phụ thuộc năng lượng
của hàm phân bố  .
Quả thật,ta giả sử có một hệ vĩ mơ nào đó bao gồm nhiều phần hợp lại
mà mỗi phần cũng là hệ vĩ mô. Nếu năng lượng tương tác giữa các phần này
nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của mỗi phần thì năng lượng của cả hệ
bằng tổng năng lượng của các phần tạo thành hệ :
H = H 1 + H2 + ... =

H

k

k

 (H) =  (  H k )

(1.3 - 23)

vì tương tác giữa các phần là rất bé nên ta có thể xem các thành phần
này là độc lập thống kê với nhau. Điều đó có nghĩa là xác suất trạng thái vi

mơ của cả hệ bằng tích xác suất các trạng thái vi mô tương ứng của các thành
phần tạo thành :
 (H) =  (H 1 ).  (H 2 ) ...

Từ đó ta suy ra :
Ln  (H) = Ln  (H 1 ) + Ln  (H 2 ) + ... =

 Ln (H k )
k

Nghĩa là lôga hàm phân bố là một đại lượng có tính cộng được . Do đó
,ta đi đến một kết luận rằng lôga của hàm phân bố không phải chỉ đơn thuần
là tích phân chuyển động có tính cộng được.Mặt khác từ hệ thức (1.3 - 23) ta
có:
ln  (  H k ) =
k

 ln  ( H k )

(1.3 - 24)

k

Biểu thức (1.3 - 24) thoả mãn khi  phụ thuộc vào H dưới dạng hàm
mũ . Tức là ta có :
(p,q) = Ae  H ( p, q )

(1.3 - 25)

Trong đó A và  là các đại lượng không phụ thuộc p và q.

- 18 -


A là hệ số chuẩn hoá tức là   ( p, q)dpdq = 1

(1.3 - 26)

Thay (1.3 - 26) vào (1.3 - 25) ta được :
A  e  H ( p,q ) dpdq = 1
1
A

Hay

=  e  H ( p,q ) dpdq

A 1 =

Hay

e

 H ( p , q )

dpdq .

1.4. PHƢƠNG TRÌNH BLOCH MƠ TẢ TƢƠNG TÁC CỦA

BỨC XẠ VỚI HỆ NGUYÊN TỬ

Lý thuyết cổ điển về tương tác đối với môi trường vật chất được trình
bày theo quan điểm động lực học lượng tử . Trong quang học lượng tử cộng
hưởng ta sử dụng lý thuyết bán cổ điển . Ở đây chúng ta tìm hiểu lý thuyết
bán cổ điển sử dụng cho tương tác bức xạ với nguyên tử hai mức như sau:
1.4.1. Độ cảm nguyên tử
Ta giả sử rằng chỉ có hai mức với năng lượng tương ứng là E1 và E2 là
liên quan tới tương tác, như được minh hoạ trên hình vẽ. Giả thiết này là hợp
lý khi tần số góc  của trường tới thoả mãn hệ thức   (E2 – E1)/  . Khi đó
ma trận mật độ 

nn'

= an' * an , rút gọn thành một ma trận 2 X 2 với các phần

tử   12,  21,  chúng ta giả thiết rằng Hamiltonian tương tác H’(t) là thuộc
11,

22

loại lưỡng cực và có thể viết như sau :
H’ = E (t )

Hình 2

(1.4 -1)

- 19 -


Trong đó  là thành phần của tốn tử lưỡng cực dọc theo hướng của

trường E(t).
Trước hết ta xem trường E(t) là một biến cổ điển .Các phần tử ma trận
chéo của H’(t) được lấy bằng không .


11

= 

22

=0

(1.4 - 2)

Điều này là hoàn toàn phù hợp đối với các chuyển dời giữa các chuyển
dời có tính chất chẵn lẻ xác định. Khơng hề mất tính tổng qt ,ta có thể lấy
pha của các hàm riêng /2> và /1> sao cho  11 = 

22

 

(1.4 - 3)

Ở hình 2 hệ nguyên tử hai mức tương tác với trường bức xạ với tần số
đúng bằng (E2 – E1)/  . Các mức không cộng hưởng khác ( các mức không
cộng hưởng khác được vẽ bằng các đường nét đứt ) được giả sử là khơng
đóng vai trị gì trong tương tác, ngọai trừ trong việc xác định các độ cư trú cân
bằng N20 và N10.

Hamiltonian toàn phần của hệ hai mức là:
H = H0 + H’

(1.4 - 4)

Trong đó H0 là Hamiltonian của hệ khi khơng có trường.
Nhiệm vụ của chúng ta là giải để tìm giá trị trung bình theo tập hợp < 
> của mô men lưỡng cực nguyên tử được cảm ứng bởi trường E(t).
^

F = sp[  F ] thì giá trị của <  > được cho

Theo công thức (1.2 - 9)
bởi

<  > = sp(   ) =  12 

^

21

+

21

μ12 + 

11

μ11 +



22

μ 22

Dùng (1.4 - 2) và (1.4 - 3) ta được :
<  > =  (  12 +  21 )

(1.4 - 5)

Bây giờ chúng ta biểu diễn toán tử ma trận mật độ qua các hàm riêng

n của Hamiltonian không nhiễu loạn H0 sao cho H0n=Enn.
- 20 -


Dùng cơng thức (1.2.19) ta có:
d 21 i
i
 ( H 0  H ),  21  ( H 21' 11  E 2 11  E1 21   22 H 21' 
dt


i
 H 21' (11   22 )  ( E 2  E1 ) 21 .






Sau khi dùng (1.4.1) và định nghĩa tần số cộng hưởng
0  ( E2  E1 ) /  , ta được
d 21

 i0 21  i E (t )(11   22 )
dt


(1.4- 6)

Theo cách tính tương tự ta có được:
d 22

*
 i E (t )( 21   21
)
dt


và điều kiện chuẩn hoá 11   22  1 suy ra:
d

*
(11   22 )  2i E (t )( 21   21
)
dt


(1.4 - 7)

Nếu tính đến số hạng va chạm thì ta hãy tạm dừng để theo dõi các bước
đã dẫn tới các phương trình (1.4-5), (1.4-6) và (1.4-7) thì ta sẽ thấy rằng
phương pháp ma trận mật độ để tính <  > về mặt hình thức tương đương với
quy trình thơng thường theo đó <  (t )    * dV . Thực ra, thì cũng khơng
đáng dùng ma trận mật độ, nếu khơng có điều thuận lợi là, theo (1.2-11) nó
được định nghĩa như giá trị trung bình lấy theo tập hợn.
Trước tiên ta xét phương trình (1.4-6) khi trường nhiễu loạn E(t) bị
ngắt từ (1.2-11) ta dự đoán rằng 21 sẽ giảm và cuối cùng sẽ dẫn đến không
khi sự kết hợp pha tương đối giữa các hàm lượng riêng trong tâph hợp bị mất
do “va chạm”. Những va chạm này được đặc trưng bởi tính chất là, chúng bảo
tồn năng lượng (hay độ cư trú mức) trung bình, nhưng lại gây ra sự mất
thông tin ( về tập hợp) liên quan n trong hàm sóng.

- 21 -


 n (r, t )  U n (r ) exp  i( E n t /    n 

Những va chạm như thế lần đầu tiên được xem xét cộng hưởng từ và
được tham chiếu tới như là thời gian hồi phục “Spin-Spin”.
Chúng ta sẽ gộp sự mất mát kết hợp pha vào hình thức luận ma trận
mật độ bằng cách sửa lại (1.4-6) thành
d 21


 i 0 21  i (11   22 ) E (t )  21
dt


T2

(1.4 - 8)

Nếu ta dùng (1.2.12) thì sẽ suy ra rằng ii chính là xác suất tìm một
nguyên tử ở trạng thái thứ i.
Nếu N là mật độ nguyên tử thì N (11   22 )  N

trở thành mật độ

(trung bình) của hiện độ cư trú giữa 2 mức.
Ký hiệu giá trị cân bằng [E(t) = 0] của 11-22 là (11-22)0 và ta giả sử
rằng khi E(t) tắt, hiệu độ cư trú N hồi phục về giá trị cân bằng N(11-22)0
của nó với hằng số thời gian là T2. Do đó ta có thể viết lại phương trình
(1.4.7) như sau:
(   22 )  (11   22 ) 0
2iE (t )
d
*
(11   22 ) 
( 21   21
)  11
dt



(1.4 - 9)

tiếp đến ta xét trường hợp đặc biệt khi trường nhiễu loạn địa phương

E(t) là biến thiên điều hoà theo thời gian tức là:
E (t )  E 0 cos t 

E 0 it
(e   it )
2

(1.4-10)

Ngoài ra từ (1.4-8) ta thấy rằng dáng điệu của 21 khi không có


trường [tức là E(t) = 0] là  21   21 (0) exp  i 0  (


1 
)t sao cho đối với   0
T2 

sẽ là thuận tiện nếu ta định nghiã các biến biến thiên “chậm” mới 21 và 12
thông qua các hệ thức
 21 (t )   21 (t ) exp(it )

(1.4-11)

- 22 -


*
12 (t )   12 (t ) exp(it )   21

Suy ra  12   21*
Dùng (1.4-10) và (1.4-11) ta viết lại các phương trình (1.4-8) và (1.4-9)
như sau:
iE 0
d 21

 i(   0 ) 21 
(11   22 )  21
dt
2
T2

iE 0
(   22 )  (11   22 ) 0
d
*
(11   22 ) 
( 21   21
)  11
dt



(1.4- 12)
(1.4- 13)

Khi suy ra công thức (1.4.12) chúng ta đã chỉ giữ lại các số hạng có
phần phụ thuộc thời gian exp(-it) trong lúc đó đối với phương trình (1.4.13)
thì ta chỉ giữ lại những số hạng khơng có sự phụ thuộc thời gian theo hàm mũ

và exp(-2it). Sự bỏ qua các số hạng không đồng bộ này là hợp lý về mặt vật
lý vì đống góp của chúng lấy trung bình sẽ bằng khơng trong những khoảng
thời gian ngắn so với những khoảng thời gian mà ta quan tâm ( nhưng là dài
so với

2



).

Nếu ta dùng (1.4.11) và (1.4.5) ta nhận được :
*
suy ra:
    ( 21e it   21e it ) và vì  21   12



  (t )  2 Re  21(t ) cos t  Im  21 (t ) sin t



(1.4 - 14)

1.4.2. Các nghiệm trạng thái dừng
Để nhận được các nghiệm trạng thái dừng của một ma trận mật độ ta
cho vế trái của các phương trình (1.4- 12) và (1.4-13) bằng không. Bằng
những biến đổi đơn giản liên quan tới việc cộng và trừ (1.4-12) với các
phương trình liên hợp phức của nó và sau đó dùng (1.4.-3) ta được:
Im 21 

Re  21 

(T2 (11   22 ) 0
1  (   0 ) 2 T22  4 2T2

( 0   )T22 (11   22 ) 0
1  (   0 ) 2 T22  4 2T2
- 23 -

(1.4-15)


1  (   0 ) 2 T22
(11   22 )  (11   22 ) 0
1  (   0 ) 2 T22  4 2T2

Trong đó tần số “ tiến động” (tuế sai)  

E0
2

Độ phân cực vĩ mô ( dao động) là p  N    sao cho, theo (1.4-14)
p

 2 N 0T2


 sin t  ( 0   )T2 cos t 
E0 


2 2
2
1  (   0 ) T2  4 T2 

(1.2 - 16)

Trong đó hiệu độ cư trú ( trong 1 đơn vị thể tích) là:
1  (   0 ) 2 T22
N  N 0
1  (   0 ) 2 T22  4 2T2

(1.4-17)

Trong đó: N 0  N (11   22) ) là hiệu độ cư trú khi không có trường
Nếu ta định nghĩa độ cảm nguyên tử    '  i " thì
P(t )  Re( 0 E0 e it )  E0 ( 0  ' cos t   0  " sin t )

(1.4.18)

và từ (1.4-16) ta có:
 " ( ) 

 2T2 N 0
1
2
.

Ng ( ) (1.4-19)
 0
1  (  0 )T22  4 2T2 2 0 

 2T2  0
(0   )T2
 2 (0   )T2
 ( ) 
.

Ng ( )
 0  1  (  0 ) 2 T22  4 2T2
2 0 
'

trong đó hàm dạng vạch chuẩn hoá g( ) là:
g ( ) 

2T2
1  4 (  0 )
2

2

T22



( / 2 )

(  0 ) 2  ( ) 2
2

Với độ rộng toàn phần tại một nửa cực đại  
từ (1.4.19) ta thấy  ” và  ’ có dạng:
 " ( )  Ng ( )
 ' ( )  N ( 0   ) g ( )

- 24 -

1
T2

(1.4-20)


Trong đó N là độ cư trú đảo khi đó có mặt trường quang học và được
cho bởi (1.4.17). Gọi hàm g( ) được cho bởi (1.4.20) là hàm dạng vạch
Lorentz chuẩn hoá. Hằng số chuẩn hoá được chọn sao cho.



 g ( )d  1



Q trình tính tốn dẫn tới phương trình (1.4.19) chứng tỏ rằng dạng
vạch lorentz là một đặc trưng của những chuyển dời chủ yếu do va chạm
(  ,T2). Đồ thị của hệ số hấp thụ (”) và tán sắc (’) trong giới hạn 4 2T2  1
được cho trên hình sau:

Từ (1.4-17) và (1.4-19) ta thấy hiệu độ cư trú N cũng như (  ’) và ( 
”

) đều giảm khi tăng cường độ của trường. Hiện tượng này được gọi là sự bão

hồ và nó trở nên đáng kể khi 4 2T2  1  (   0 ) 2 T22
Hay
trong đó

 2 E02T2




2

 1  (   0 ) 2 T22

E0
2

- 25 -

(1.4-23)