Phân dạng và bài tập Hình học lớp 11 học kỳ I (Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11)

MỤC LỤC
CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHÉP BIẾN HÌNH

Trang 1

§2. PHÉP TỊNH TIẾN

Trang 1

§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Trang 5

§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Trang 10

§5. PHÉP QUAY

Trang 13

§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

Trang 18

§7. PHÉP VỊ TỰ

Trang 20

§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG

Trang 25

ÔN TẬP CHƯƠNG I

Trang 29

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I

Trang 33

ĐÁP ÁN

Trang 39

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Trang 40

§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Trang 50
§3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Trang 57

§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Trang 64

§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHƠNG GIAN
Trang 70
ƠN TẬP CHƯƠNG II

Trang 73

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II

Trang 83

ĐÁP ÁN

Trang 91


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
---o0o---

§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH
KIỀN THỨC CẦN NẮM
-

-

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt

phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh
của điểm M qua phép biến hình F.
Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M),
với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép
biến hình F.
Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý M ∈ H ⇔ M ' = F ( M ') ∈ H '
Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép
biến hình đó gọi là phép đồng nhất.

§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NẰM
I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến
- Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .
- Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là Tv . Như vậy Tv ( M ) = M ' ⇔ MM ' = v
- Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M ( x; y ); v = (a; b) . Gọi M ' = Tv ( M ) = ( x '; y ') .
-

x ' = x + a
Khi đó 
gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ v .
y ' = y + b

- Vận dụng: M '( x '; y ') = M ( x; y ) + v(a; b)

3. Các tính chất của phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng dã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Biến góc thành góc bằng góc đã cho.
II. Phép dời hình
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là một phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình.

Hình học 11

1

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

2. Tính chất
Phép dời hình
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;

- Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho;
- Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp
thành của phép F và G, kí hiệu F G
B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Cho hai đường thẳng song song a và a ' . Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a ' .
HD Giải
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a ' , phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến a thành a ' . Đó là tất
cả những phép tịnh tiến cần tìm.
Bài 2.2. Cho hai phép tịnh tiến Tu và Tv . Với điểm M bất kì, Tu biến điểm M thành M’, Tv biến điểm
M’ thành M”. Chứng tỏ rằng phép biến hình biến điểm M thành M” là một phép tịnh tiến.
HD Giải
Ta có MM " = MM ' + M ' M '' = u + v nên phép biến điểm M thành M” là phép tịnh tiến theo vectơ u + v
Bài 2.3. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường trịn (O). Tìm quỹ tích
điểm M’ sao cho MB = MA + MM ' .
HD Giải
Ta gọi O và R là tâm và bán kính của đường trịn (O), Ta có
M'
O'
MM ' = MB − MA = AB nên phép tịnh tiến theo vectơ AB biến
điểm M thành M’. Điểm M chạy trên đường trịn (O) thì quỹ tích
B
của điểm M’ là đường trịn (O’) có tâm O’ và bán kính R là ảnh
M
O
của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ AB .
A

Bài 2.4. Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O).
Chứng minh rằng khi A di động trên đường trịn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một
đường tròn.
HD Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC.
A
Tia OB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì
BCD = 90 0 nên DC // AH, tương tự ta có AD // CH
Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành . Từ đó suy ra

D

AH = DC = 2OM . Ta thấy rằng OM không đổi, nên H là ảnh

của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2 OM .
Do vậy khi điểm A di động trên đường trịn (O) thì H di động
trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ
2 OM .

O
H
B

M

C

Bài 2.5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho v(−2;3) và đường thẳng d có phương trình 3 x − 5y + 3 = 0 .
Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
Hình học 11

2

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp
HD Giải

Cách 1.

 x ' = x − 2  x = x '+ 2
Gọi M ( x; y ) ∈ d , M ' = Tv ( M ) = ( x '; y ') . Khi đó 
⇒
 y ' = y + 3  y = y '− 3
Ta có M ∈ d ⇔ 3( x '+ 2) − 5( y '− 3) + 3 = 0 ⇔ 3 x '− 5y '+ 24 = 0 ⇔ M ' ∈ d '
Vậy d ' : 3 x − 5y + 24 = 0
Cách 2.
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M(-1; 0). Khi đó M ' = Tv ( M ) = (−3;3) thuộc d’.
Vì d’ song song hoặc trung với d nên d’: 3x – 5y + c = 0.
Do M ' ∈ d ' nên 3(-3) – 5.3 + c = 0 suy ra c = 24. Vậy d ' : 3 x − 5y + 24 = 0
Cách 3.
Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua
Tv . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’
Bài 2.6.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 . Tìm ảnh của (C)
qua phép tịnh tiến theo vectơ v(−2;3) .
HD Giải
Cách 1.

Phương trình đường trịn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3. Gọi I ' = Tv (I ) = (−1;1) và (C’) là ảnh của
(C) qua Tv thì (C’) là đường trịn tâm I’, bàn kính R = 3. Do đó (C’): ( x + 1)2 + ( y − 1)2 = 9
Cách 2.
Gọi I(x; y) là tâm của đường tròn (C) và I ' = Tv (I ) = ( x '; y ') . Khi đó biểu thức toạ độ của Tv là

 x ' = x − 2  x = x '+ 2
thay vào (C), ta được
⇒

 y ' = y + 3  y = y '− 3
( x '+ 2)2 + ( y '− 3)2 − 2( x '+ 2) + 4( y '− 3) − 4 = 0 ⇔ ( x + 1)2 + ( y − 1)2 = 9
Vậy (C’): ( x + 1)2 + ( y − 1)2 = 9
Bài 2.7.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3;3), B(1;3) và đường trịn (C) có tâm I(3;1), bán kính R = 1.
Đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Tìm trên d một điểm M và trên (C) điểm M’ sao cho MM ' = AB .
HD Giải
Ta có AB = (4; 0) , TAB : M ( x , y ) → M '( x ', y ') , nên ta có biểu thức toạ độ theo TAB :

x ' = x + 4
 x = x '− 4
⇔
. TAB : d → d ' , phương trình đường thẳng d’: x + y – 5 = 0.

y ' = y
y = y '
Ta có M ∈ d ⇒ M ' ∈ d ' và M ' ∈ (C ) , nên toạ độ của điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình :
 x = 3, y = 2
 x + y − 5 = 0
⇔



2
2
( x − 3) + ( y − 1) = 1  x = 4, y = 1
Vậy M1’(3, 2) thì M1(-1,2) và M2’(4,1) thì M2(0,1).

Hình học 11

3

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.8.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(-3, 3) và B(-1, 6).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của M(4, -5) qua phép tịnh tiến TAB ;

 x = 4 + 2t
b) Xác định phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: 
qua phép tịnh
 y = −7 + 3t
tiến TAB ;
c) Xác định phương trình đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 qua
phép tịnh tiến TAB .
Bài 2.9. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ u(−1;2) , hai điểm A(3;5), B(-1;1) và đường thẳng d có phương
trình x – 2y + 3 = 0.
a) Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ u ;

b) Tìm toạ độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ u ;
c) Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u .
Bài 2.10. Cho đoạn thẳng AB và đường trịn (C) tâm O, bán kính R nằm về một phía đối với đường thằng
AB. Lấy điểm M trên (C), rối dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên
(C)
Bài 2.11. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD .
Bài 2.12. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo
vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.

Hình học 11

4

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M
qua d.
- Kí hiệu: Đd (Đường thẳng d gọi là trục đối xứng)
- Nếu M ∈ d thì Đd(M) = M ' ≡ M
Nếu M ' ∉ d thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đd(M) ⇔ M 0 M ' = − M 0 M ,
với M0 là hình chiếu của M trên d
- M’ = Đd(M) ⇔ M = Đd(M’)
2. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đd biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vng góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’)
x ' = x
• Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là ĐOx (M) = M’ khi đó ta có: 
y ' = −y
-

x ' = −x
Nếu chọn d là trục Oy nghĩa ĐOy (M) = M’ khi đó ta có: 
y ' = y
• Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với A 2 + B 2 ≠ 0 .

2 A( Ax + By + C )
 x ' = x −
A2 + B 2
Đd(M) = M’, khi đó ta có 
 y ' = y − 2B( Ax + By + C )

A2 + B 2
4. Tính chất
Phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
- Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
•

B. BÀI TẬP
Bài 3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua
phép đối xứng trục Ox.
HD Giải
x ' = x
Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox, ta có biểu thức toạ độ 
y ' = −y
Do đó ĐOx (A) = A’(1;2), ĐOx (B) = B’(3;-1) và ĐOx (AB) = A’B’: 3x + 2y – 7 = 0.
Bài 3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của
đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.
HD Giải
x ' = −x x = −x '
Cách 1. Lấy điểm bất kì M ( x; y )∈ d . Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’). Khi đó 
⇒
y ' = y
y = y '
Hình học 11

5

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

Ta có M ∈ d ⇔ −3 x '− y '+ 2 = 0 ⇔ M’ thuộc đường thẳng d’ có phương trình 3x’ + y’ – 2 = 0.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0.
Cách 2.

Lấy hai điểm A(0;2) và B(-1;-1) thuộc d. Gọi A’ = Đd(A) = (0;2) và B’ = Đd(B) = (1;-1)
Khi đó d’ = ĐOy(d) thì d’ qua hai điểm A’ và B’.
Vậy d’: 3x + y – 2 = 0.
Bài 3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;5), đường thẳng d có phương trình x – 2y + 4 = 0 và đường
tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
a) Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
HD Giải
a) Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.
Khi đó M’(1;-5). d’: x + 2y + 4 = 0
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3. Gọi I’ = ĐOx(I) = (1;2). Do đó (C’) là đường trịn có
tâm I’ và bán kính bằng 3. Vậy (C’): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 9
b) Cách 1. Ta có M ∉ d . Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’)

2 A( Ax + By + C )  x ' = 1 − 2.1(1 − 2.5 + 4) = 3

 x ' = x −
2
2
12 + (−2)2

A
+
B
Biểu thức toạ độ đối xứng qua trục d: 
⇒
.
 y ' = y − 2B( Ax + By + C )
 y ' = 5 − 2.(−2)(1 − 2.5 + 4) = 1



12 + (−2)2
A2 + B 2
Vậy M’’(3;1)
Cách 2. (Vận dụng ND ĐN)
Ta có M ∉ d . Gọi d1 là đường thẳng qua M và vng góc với d. Vậy d1: 2x + y – 7 = 0
 x − 2y + 4 = 0
x = 2
Gọi giao điểm của d và d1 là M0 có toạ độ thoả mãn hệ phương trình 
⇔
2 x + y − 7 = 0
y = 3
Vậy M0(2;3). Gọi M” = Đd(M) = (x’; y’) ⇔ M 0 M '' = − M 0 M . Từ đó suy ra M”(3; 1)
Bài 3.4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy cho đường thẳng d: 2x – y – 3 = 0.
a) Tìm ảnh điểm M’ của điểm M(4; -1) qua phép đối xứng trục Đd.
b) Viếi phương trình đường thẳng d1’ là ảnh của d1: x – 3y + 11 = 0 qua phép Đd.
c) Viết phương trình (C’) là ảnh của đường trịn (C): x2 + y2 – 10x – 4y + 27 = 0 qua phép Đd.
HD Giải
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục Đd:


4(2 x − y − 3)
3
4
12
x' = − x + y+
 x ' = x −


5

5
5
5
⇔

 y ' = y + 2(2 x − y − 3)
y ' = 4 x + 3 y − 6

5
5
5
5

 4 7
a) Đd:M(4; -1) → M’(x’; y’). Suy ra M '  − ; 
 5 5
b) Lấy điểm tuỳ ý M ( x; y ) ∈ d1 . Đd: M ( x; y ) ∈ d1 → M '( x '; y ') ∈ d1' và ngược, nên ta có

3
4
12 
3
4
12
 x ' = − 5 x + 5 y + 5
 x = − 5 x '+ 5 y '+ 5
⇒

4
3

6
y ' = x + y −
 y = 4 x '+ 3 y '− 6
5
5
5
5
5
5


Thay vào d1 ta có được phương trình đường d1’: 3x + y – 17 = 0.
c) Phương trình đường trịn (C) có tâm I(5; 2) và bán kính R = 2 . Do đó Đd: I(5; 2) → I’(1; 4)
Khi đó Đd: (C) → (C’) có tâm I’ và bán kính R = 2
Vậy (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 2
Hình học 11

6

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 3.5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng ∆ : 3x – 2y – 6 =
0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của M, đường thẳng ∆ và đường tròn (C) qua
phép đối xứng trục d:
a) d là trục hoành
b) d là trục tung

c) d là đường thẳng x – y + 1 = 0.
HD Giải
x ' = x
a) Khi d là trục hoành, nên biểu thức toạ độ của Đd: 
y ' = −y
Đd :M → M’ nên M’(3; 5)
Đd: ∆ → ∆ ' nên có phương trình: 3x + 2y – 6 = 0
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0.
x ' = −x
b) Khi d là trục tung, nên biểu thức toạ độ của Đd: 
y ' = y
Đd :M → M’ nên M’(-3; -5)
Đd: ∆ → ∆ ' nên có phương trình: 3x + 2y + 6 = 0
Đd: (C) → (C’) nên có phương trình: x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0.
x ' = y −1
c) Khi d là đường thẳng x – y + 1 = 0 nên có biểu thức toạ độ của Đd: 
y ' = x + 1
Đd :M → M’ nên M’(-6; 4)
Đd: ∆ → ∆ ' nên có phương trình: 2x – 3y + 11 = 0
Đường trịn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 3. Do đó Đd :I → I’ nên I’(-3; 2)
Đd: (C) → (C’) có tậm I’ và bán kính bằng 3.Vậy (C’): x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0.
Bài 3.6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x – 5y + 7 = 0 và d2: 5x –
y – 13 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2.
HD Giải
Phương trình đường thẳng d1: x – 5 y + 7 = 0 và d2: 5x – y – 13 = 0. Suy ra d1 và d2 cắt nhau nên phép đối
xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 có trục là đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2.
Phưong trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là:
x − 5y + 7 5x − y − 13
x + y − 5 = 0
x − 5y + 7

5 x − y − 13
=
⇔
=±
⇔
1 + 25
25 + 1
26
26
x − y −1 = 0

x ' = −y + 5
Khi d có phương trình x + y – 5 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd: 
y ' = − x + 5
x ' = y +1
Khi d có phương trình x – y – 1 = 0 ta có biểu thức toạ độ Đd: 
y ' = x −1
Bài 3.8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy cho hai đường thẳng d1: x + 3y – 6 = 0 và d2: 3x +
y + 2 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2.
HD Giải
Trục đối xứng biến đường thẳng d1 thành đường thẳng d2 là trục d: Đường phân giác của góc tạo bởi d1 và
x + 3y − 6 3 x + y + 2
x − y + 4 = 0
x + 3y − 6
3x + y + 2
d2 :
=
⇔
=±
⇔

1+ 9
9 +1
10
10
x + y −1 = 0
Bài 3.9. Cho đường thẳng a và hai điểm A, B. Hãy tìm điểm M ∈ a sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất khi A và B nằm cùng một phía đối với a.
HD Giải

Hình học 11

7

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Đa. M là điểm bất kì
thuộc a ta có:
MA ' = MA ⇒ MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B Do đó MA + MB đạt
giá trị nhỏ nhất khi bằng A’B
Điều này xảy ra ki và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng nghĩa là M là
giao điểm của A’B với a.
Vậy: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với M’ là giao
điểm của A’B và đường thẳng a.

A
B

I

a

M

M'

A'

Bài 3.10. Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4), Tìm điểm M trên trục
hồnh sao cho MA + MB bé nhất.
HD Giải
Ta có yA.yB > 0 nên A, B nằm cùng phía đối với Ox.
Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox và M(x; 0). Suy ra A’(1; -2)
Ta có MA + MB = MA’ + MB ≥ A ' B
Vậy (MA + MB) nhỏ nhất ⇔ (MA’ + MB) nhỏ nhất ⇔ MA '+ MB = A ' B
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng. (1)
Ta lại có: A ' B = (2;6), A ' M = ( x − 1;2)
5 
5
. Vậy M  ; 0 
3
3 
Bài 3.11. Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox và điểm C
trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
HD Giải
Xét tam giác bất kì ABC có B và C lần lượt nằm
O

trên hai tia Ox và Oy. Gọi A’ và A’’là các điểm đối
xứng của A qua các đường thẳng Ox, Oy. Gọi 2p
A''
là chu vi của tam giác ABC
B
Ta có
C
A'
2 p = AB + BC + CA = A ' B + BC + CA " ≥ A ' A " .
Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm A’, B, C, A” thẳng
hàng.
A
Suy ra chu vi của tam giác ABC bé nhất phải lấy B
và C lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng A’A”
với hai tia Ox, Oy.(các giao điểm này tồn được vì
góc xOy nhọn)
Bài 3.12.
Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng
minh rằng khi A di động trên đường trịn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
HD Giải
Gọi I, H’ theo thứ tự là giao của tia AH với BC và đường trịn
A
(O). Ta có

Do (1) ⇔ A ' B cùng phương A ' M ⇔ 2.2 − 6( x − 1) = 0 ⇔ x =

BAH = HCB (góc có cạnh tương ứng vng góc)
BAH = BCH ' (cùng chắn một cung)
Vậy tam giác CHH’ cân tại C, suy ra H đối xứng với H’ qua
đường thẳng BC.

Khi A chạy trên đường trịn (O) thì H’ cũng chạy trên đường
trịn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O)
qua phép đối xứng qua đường thẳng BC.

Hình học 11

8

O
H
B

C
H'
O'

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 3.13.
Cho đường thẳng d qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d. Hãy xác định
trên d hai điểm M và N sao cho MN = PQ và AM + BN bé nhất.
HD Giải
Giả sử hai điểm M và N nằm trên d sao cho MN = PQ . Lấy điểm A’ sao cho AA ' = PQ thì A’ hồn tồn
xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Vậy AM + BN = A’N + AN, như thế bài toán trở về bài 3.9.
Khi điểm N xác định được thì điểm M cũng xác định được với điều kiện MN = PQ

B
A

P

A'

Q

d

M

N

Bài 3.14. Cho tam giác ABC. Gọi d là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC và M là một
điểm bất kì thuộc d. Chứng minh rằng tam giác MBC có chu vi khơng nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.
HD Giải
Gọi C’ là ảnh của C đối xứng qua trục d. Khi đó
C'
hiển nhiên A nắm giữa B và C’.
Với mọi M ∈ d , ta có MC = MC’ và
MB + MC = MB + MC ' ≥ BC '
d
M
Mà BC ' = AB + AC ' = AB + AC
A
Vậy MB + MC + BC ≥ AB + AC + BC . Điều này
chứng tỏ rằng, tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.

B

C

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình:
(C1): x2 + y2 – 4x + 5y + 1 = 0; (C2): x2 + y2 + 10y – 5 = 0. Viết phươg trình ảnh của mỗi đường tròn trên
qua phép đối xứng trục Oy.
Bài 2.16. Cho hai đường thẳng c, d và hai điểm A, B khơng thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C
trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (khơng cần biện
luận)

Hình học 11

9

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
- Kí hiệu : ĐI
- Từ định nghĩa suy ra: ĐI(M) = M’ ⇔ IM ' = − IM
- Từ đó suy ra:

Nếu M ≡ I thì M ' ≡ I
Nếu M khơng trùng với I thì ĐI(M) = M’ ⇔ I là trung điểm của MM’
ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= ĐI(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0)
x ' = −x
ĐO : M ( x , y ) → M '( x ', y ') khi đó : 
y ' = −y

Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng I ( a, b )

 x ' = 2a − x
ĐI : M ( x , y ) → M '( x ', y ') khi đó : 
 y ' = 2b − y
4. Các tính chất
Phép đối xứng tâm
- Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài 4.1.Giả sử phép đối xứng tâm ĐO biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Chứng minh
a) Nếu d khơng đi qua tâm đối xứng O thì d’ song song với d, O cách đều d và d’
b) Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O.
HD Giải

a) Kẻ OH ⊥ d (H ∈ d ) thì vì d khơng đi qua
d
d'
O nên H không trùng với O. Phép ĐO(H) =
H’ thì O là trung điểm của HH’ và biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’
O
H
H'
vng góc với OH’ tại H’. Suy ra d và d’
song song, cách đều điểm O.

b) Nếu d khơng qua O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng d. Nếu d đi qua O thì mọi điểm
M ∈ d biến thành M '∈ d . Vậy d’ trùng với d.
Bài 4.2. Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau dây:
a) Hình gốm hai đường thẳng cắt nhau

Hình học 11

10

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

b) Hình gồm hai đường thẳng song song
c) Hình gồm hai đường trịn bằng nhau
d) Đường elip

e) Đường hypebol
HD Giải
a) Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng.
b) Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng
c) Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn
d) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của elip.
e) Tâm đối xứng là trung điểm nối hai tiêu điểm của hypebol.
Bài 4.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 =0 . Tìm
ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
HD Giải
x ' = −x
Gọi A’ = ĐO(A) = (x’; y’). Theo biểu thức toạ độ, ta có 
. Vậy A’(1; -3)
y ' = −y
Gọi d’ = ĐO(d)
Cách 1. Lấy một điểm tuỳ ý M ( x; y )∈ d . Khi đó ta có M’ = ĐO(M) = (x’; y’), nên thay x = - x’, y = - y’
vào phương trình của d. Ta có ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 2. Lấy điểm B(−3; 0) ∈ d . Khi đó B’ = ĐO(B) = (3;0) thuộc d’
d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O nên d’ song song hoặc trùng với d. Do đó d’: x – 2y + c = 0
B ' ∈ d ' suy ra c = - 3. Vậy d’: x – 2y – 3 = 0.
Cách 3. Lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d và xác định ảnh của nó qua phép đối xứng tâm O, khi đó
đường thẳng d’ qua hai điểm M’ và N’.
Bài 4.4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vng góc Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d
có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Hãy xác định toạ độ điểm M’,
phương trình đường thẳng d’ và đường trịn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d, (C) qua:
a) Phép đối xứng qua gốc toạ độ
b) Phép đối xứng qua tâm I
HD Giải
a) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua gốc toạ độ O ta có:

M’(2; -3), phương trình của d’: 3x – y – 9 = 0, phương trình đường trịn (C’): x2 + y2 - 2x + 6y + 6 = 0
b) Gọi M’, d’, (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng tâm I. Dùng biểu thức toạ độ
của phép đối xứng qua tâm I ta có: M’(4; 1)
Vì d’ song song với d nên d’: 3x – y + c = 0, lấy điểm N(0; 9) thuộc d. Khi đó ảnh của N qua phép đối
xứng tâm I là N’(2; -5) thuộc d’. Từ đó suy ra c = -11
Vậy d’: 3x – y – 11 = 0.
Đường trịn (C) có tâm J(-1; 3) và bán kính R = 2. Ảnh J qua phép đối xứng tâm I là J’(3; 1). Vậy
phương trình (C’): (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4
Bài 4.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – 2y + 2 = 0 và d’ có phương trình x
– 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ và biến trục Ox thành chính nó.
HD Giải
Giao điểm của d và d’ với Ox là A(-2; 0) và A’(8; 0). Gọi I(a; b) là tâm của phép đối xứng
 x ' = 2a − x
8 = 2a + 2 a = 3
Ta có ĐI : A( x , y ) → A '( x ', y ') khi đó : 
⇔
⇒
 y ' = 2b − y
 0 = 2b + 0  b = 0
Vậy phép đối xứng qua tâm I(3; 0) là phép cần tìm.
Bài 4.6. Cho đường trịn (O,R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ sao cho
MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên (O,R).
HD Giải
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và MA + MB = 2 MI .

Hình học 11

11

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng

Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

Bởi vậy, MM ' = MA + MB ⇔ MM ' = 2 MI nghĩa là I là trung điểm của MM’ hay ĐI(M) = M’
Vậy khi M chạy trên đường trịn (O,R) thì quỹ tích M’ là ảnh của đường trịn đó qua ĐI
Nếu ta gọi O’ điểm đối cứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M’ là đường trịn (O’,R).
M

O
I

A

B

O'

M'

Bài 4.7. Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường trịn đó.
Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường trịn
cố định.
HD Giải
Ta vẽ đường kính AM của đường trịn. Khi đó
A
BH // MC ( vì cùng vng góc với AC), và CH
// BM (vì cùng vng góc với AB) hay BHCM
là hình bình hành

Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cũng là
H
trung điểm của MH.
O
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H
Khi A chạy trên (O, R) thì M chạy trên đường
I
trịn (O; R). Do đó, H nằm trên đường tròn là
C
B
ảnh của đường tròn (O, R) qua phép đối xứng
tâm I.
M

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 4.8. Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục gíc đều, hình nào có tâm đối
xứng ?
Bài 4.9. Tìm một hình có vơ số tâm đối xứng
Bài 4.10. Cho tứ giác ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm D.
Bài 4.11. Chứng minh rằng trong phép đối xứng tâm I nếu điểm M biến thành chính nó thì M phải trùng
với I.
Bài 4.12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm I(2; -3) và đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 1 =
0. Tìm toạ độ điểm I’ và phương trình của đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua
phép đối xứng tâm O.
Bài 4.13. Cho đường tròn (O;R), đường thẳng ∆ và điểm I. Tìm điểm A trên (O;R) và điểm B trên ∆ sao
cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Hình học 11

12

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

§5. PHÉP QUAY
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ khơng đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng
(OM , OM ') = ϕ được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ .
- Điểm O gọi là tâm quay, ϕ gọi là góc quay.

Q(O ,ϕ ) hoặc Q0ϕ

-

Kí hiệu:

-

Chiều dương của phép quay Q(O ,ϕ ) theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là
chiều âm và cịn kí hiệu Q(O ,−ϕ )

Nhận xét:
Phép quay tâm O, góc quay ϕ = π + k 2π , k ∈ ℤ chính là phép đối xứng tâm O
Phép quay tâm O, góc quay ϕ = k 2π , k ∈ ℤ , chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất

Phép quay
- Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính;
Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay ϕ biến đường thẳng d thành d’. Khi đó:
Nếu 0 < ϕ ≤

π
2

thì góc giữa d và d’ bằng ϕ

π

< ϕ < π thì góc giữa d và d’ bằng π − ϕ
2
3. Biểu thức toạ độ của phép quay.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vng góc Oxy, xét phép quay Q( I ,ϕ )

Nếu

Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc toạ độ O:
 x ' = x cos ϕ − y sin ϕ
Q(O ,ϕ ) : M ( x , y ) → M '( x ', y ') khi đó : 
 y ' = x sin ϕ + y cos ϕ

Trường hợp 2: Khi tâm quay I ( x0 , y0 )

 x '− x0 = ( x − x0 ) cos ϕ − ( y − y0 )sin ϕ
Q( I ,ϕ ) : M ( x , y ) → M '( x ', y ') khi đó : 
 y '− y0 = ( x − x 0 )sin ϕ + ( y − y0 ) cos ϕ

B. BÀI TẬP
Bài 5.1. Cho hình vng ABCD tâm O.
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900.
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900.
HD Giải
a) Gọi E là điểm đối xứng với C qua tâm D.
Khi đó Q A ,900 (C ) = E

(

góc 900 là đường thẳng CD.

)

b) Q O ,900 ( B) = C , Q O ,900 (C ) = D . Vậy ảnh

(

)

(

)

của đường thẳng BC qua phép quay tâm O
Hình học 11

13

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp
D

E

C

O

A

B

Bài 5.2. Cho phép quay Q tâm O với góc quay ϕ và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d’ của d
qua phép quay Q .
HD Giải
Ảnh của đường thẳng d qua phép quay Q(O ,ϕ ) có thể dựng như sau:
Cách 1. Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d, rối dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường
thẳng đi qua A’ và B’.
Cách 2. Trong trường hợp d không đi qua O. gọi H là hình chiếu vng góc của O trên d, dựng H’ là ảnh
của H. Đường thẳng vng góc với OH’ tại H’ chính là ảnh d’ của d.
Từ cách dựng trên, ta suy ra: Phép quay với góc quay ±

π
2

biến đường thẳng d thành đường thẳng d’

vng góc với d.
Bài 5.3. Cho hình vng ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, OA. Tìm ảnh của tam
giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900.
HD Giải
Xét phép quay
M
A
B
Q(O ,900 ) : A → D, M → M ' ⇒ Q(O ,900 ) : N → N ' . N
là trung điểm của OA thì N’ là trung điểm của
OD. Suy ra: Q(O ,900 ) : ∆AMN → ∆DM ' N ' và

N
M'

∆AMN = ∆DM ' N '

O
N'

C

D

Bài 5.4. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng

AB’ và nằm ngoài đường thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác OAA’ và OBB’.
Chứng minh GOG’ là tâm giác vuông cân.
HD Giải
Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay

π

B

( bằng

2
góc lượng giác (OA,OB)).
Khi đó Q π  ( A) = B, Q π  ( A ') = B ' . Do đó
 O, 
 2

Q

π
O, 
 2

A'

O, 
 2

(OAA ') = OBB ' .
G'

Bởi vậy, Q

π
O, 
 2

GOG ' =

G

(G ) = G ' . Suy ra OG = OG’ và
B'

π

O

A

2
Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O.
Bài 5.5. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều.
HD Giải

Hình học 11

14

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

a) Xét phép quay Q( B ,600 ) , khi đó :

F

Q( B ,600 ) : E → A, C → F
E

⇒ Q(O ,600 ) : EC → AF . Suy ra EC = AF và

M

0

(EC,AF) = 60 .
b) Ta có Q( B ,600 ) : N → M , N là trung điểm

N

của EC và M là trung điểm của AF.

C

B
A
Nên BN = BM và NBM = 60 0 . Do đó BMN là
tam giác đều.
Bài 5.6. Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600
HD Giải
a)
A
F
Q O ,1200 : F → B, A → C , B → D ⇒ Q O ,1200 : I → J

(

)

(

)

với J là trung điểm của CD.
Vậy Q O ,1200 : ∆AIF → ∆CJB

(

I

)

b) Phép quay tâm E góc 60 biến A, O, F lần lượt
thành C, D, O. Vậy Q E ,600 : ∆AOF → ∆CDO

(

O

B

0

E

)

C

J

D

Bài 5.7. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vng cân đỉnh D
b) Chứng minh AO vng góc với PQ và AO = PQ.
HD Giải
a) Xét phép quay Q C ,900 : M → A, B → I . Do đó MB bằng và vng góc với AI

(

)

Trong tam giác ABM, có DP song song và bằng nửa BM và trong tam giác BAI có DO song song và
bằng nửa AI. Từ đó suy ra DP bằng và vng góc với DO. Hay tam giác DOP vng cân tại D.
b) Xét phép quay Q D ,900 : O → P, A → Q . Do đó OA bằng và vng góc với PQ.

(

)

N

F
A

M

P

Q
D

E

C

B

O
I

J

Bài 5.8. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi tam của tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông
cân tại A. Gọi I, M và J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng tam giác IJM là
tam giác vng cân.
HD Giải
0
Xét phép quay tam A góc quay 90 .
Hình học 11

15

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />Q A ,900 : E → B, C → F .Từ đó suy EC = BF và

(

GV. Lư Sĩ Pháp

)

F

E
EC ⊥ BF
Vì IM là trung bình của tam giác BEC nên IM //
1

EC và IM = EC
J
2
I
A
1
Tương tự, ta có MJ // BF và MJ = BF . Từ đó
2
suy ra IM = MJ và IM ⊥ MJ
C
M
B
Vậy tam giác IMJ là tam giác vuông cân tại M.
Bài 5.9. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường trịn đó. Dựng về phía
ngồi của tam giác ABC hình vng ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
HD Giải
Xét phép quay tâm B góc quay 900. Khi đó
F
Q B ,900 ( A) = E . Khi A chạy trên nửa đường tròn

(

)

O'

(O), E chạy trên nửa đường tròn (O’) là ảnh của
nửa đường tròn (O) qua phép quay tâm B, góc
quay 900.

A

E
O

B

C

Bài 5.10. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngồi của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi
1
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vng góc với FK và AM = FK .
2
HD Giải
Gọi D là ảnh của B qua phép đối xứng tâm A. Khi
D
K
đó AD = AB = AF và AD ⊥ AF
Xét Q A ,900 : D → F , C → K . Do đó DC = FK và

(

)

F

DC ⊥ FK
Vì AM là đường trung bình của tam giác BCD nên
1
AM // CD và AM = CD

2
1
Vậy AM vng góc với FK và AM = FK
2
Bài 5.11.

A

I

E
B

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vng góc Oxy, cho phép quay tâm O góc quay
Tìm ảnh qua phép quay Q

π
O, 
 4

C

M

π
4

.

của:

b) Đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 4
HD Giải
Biểu thức toạ độ của phép quay Q π  : M ( x , y ) → M '( x ', y ') là:
a) Điểm A(2, 2)

O, 
 4



π
π
x ' = x cos − y sin
x ' =

 x ' = x cos ϕ − y sin ϕ


4
4
⇔
⇔

 y ' = x sin ϕ + y cos ϕ
 y ' = x sin π + y cos π


 y ' =
4

4

Hình học 11

16

2
( x − y)
2
2
( x + y)
2

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp


2
x ' =
( 2 − 2 )  x ' = 0

2
a) Q π  : A(2,2) → A '( x ', y ') thì 
⇔
. Vậy A 0,2 2
O, 
=

y
'
2
2

2


 4
 y ' = 2 ( 2 + 2 )
b) Đường tròn (C) có tâm I(1, 0) và bán kính R = 2.

(

Q

π
O, 
 4

: I (1, 0) → I '( x ', y '); Q

π
O, 
 4

)

: (C ) → (C ')
2

2


 2 2
2 
2
với (C’) là đường tròn tâm I ' 
,
 +y −
 =4
 và có bàn kính R’ = 2. Vậy (C’):  x −

 

 2 2 
2
2

 



Bài 5.12.
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho phép quay Q π  .
O, 
 4

a) Viết biểu thức toạ độ của phép quay đó.
b) Viết phương trình của đường trịn (C’) là ảnh của đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 6y + 14 = 0 qua phép

quay Q π  .
O, 
 4

c) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d: x + y – 2 = 0 qua phép quay Q

π
O, 
 4

HD Giải
a) Biểu thức toạ độ của phép quay Q π  : M ( x , y ) → M '( x ', y ') là:
O, 
 4



π
π
x ' = x cos − y sin
x ' =

 x ' = x cos ϕ − y sin ϕ


4
4
⇔
⇔


 y ' = x sin ϕ + y cos ϕ
 y ' = x sin π + y cos π


 y ' =
4
4
b) đường trịn (C) có tâm I(3, -3) và bán kính R = 2, nên Q

(

O, 
 4

)

Do đó I ' 3 2, 0 . Vậy: Q

(

Vậy (C’): x − 3 2

2
( x − y)
2
2
( x + y)
2
: I (3, −3) → I '( x ', y ')
π

π
 O, 
 4

) +y
2

2

: (C ) → (C ') , với (C’) có tâm I’ và bán kính R’ = 2 là:

=4

c) Lấy điểm M (1;1)∈ d và OM ⊥ d . Gọi M’ là ảnh của M quay phép quay Q

π
O, 
 4

(

thì M ' 0; 2

)

Từ đó suy ra d’ phải qua M’ và vng góc với OM’.
Vậy phương trình của d’: y = 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 5.13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0.

Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900.
Bài 5.14. Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ có chung đỉnh O. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.
Bài 5.15. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.
Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vng cân tại A.

Hình học 11

17

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Nhận xét:
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép
dời hình
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời
hình.
2. Tính chất Phép dời hình:
- Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;

- Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. BÀI TẬP
Bài 6.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3).
a) Chứng minh rằng các điểm A’(2;3), B’(5;4) và C’(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay
tâm O góc -900.
b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác A1B1C1.
HD Giải
a) Ta có OA = (−3;2), OA ' = (2;3) và OA.OA ' = 0 . Từ đó suy ra góc lượng giác (OA; OA’) = - 900 .
Mặt khác ta có OA = OA ' = 13 . Do đó phép quay tâm O góc 900 biến A thành A’. Các trường
hợp khác tương tự.
b) Gọi A1B1C1 là ảnh của tam giác A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox. Khi đó A1(2; -3), B1(5; -4),
C1(3; -1).
Bài 6.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DA, KF, HC, KO. Chứng minh rằng hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
HD Giải
Gọi G là trung điểm OF. Phép đối xứng qua
AEJK và FOIC bằng nhau.
đường thẳng EH biến hình thang AEJK thành hình
E
B
A
thang BEGF.
Phép tịnh tiến theo vectơ EO biến hình thang
F
K
FOIC thành hình thang FOIC. Nên hai hình thang
O

G
J
D

H

I

C

Bài 6.3. Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng
biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.
HD Giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC và G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
ABC và A’B’C’.
Gọi phép dời hình đó là F. Ta có F(AB) = A’B’, F(BC) = B’C’. Khi đó F ( M ) = M ' ∈ A ' B ', F ( N ) ∈ B ' C '
Vậy F biến trung tuyến AM, CN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến A’M’, C’N’ của tam
Hình học 11

18

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

giác A’B’C’.
Từ đó suy ra F biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ là giao điểm
của A’M’ và C’N’.

Bài 6.4. Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước ( cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.
HD Giải
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có AB = CD = A’B’ = C’D’, AD = BC = A’D’ = B’C’.
Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau, do đó có phép dời hình F : ∆ABC → ∆A ' B ' C '
và F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’. Nhưng vì O và O’ lần lượt là trung điểm
của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’.
Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau.
Bài 6.5. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình
bằng nhau.
HD Giải
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành
Suy ra: Đường thẳng OO’ chia mỗi hình bình
thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng
hành ABCD và A’B’C’D’ thành hai hình bằng
nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần
nhau.
này thành phần kia.
C
A
Ta xét hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ lần
D'
O
A'
lượt có tâm O, O’.
O'
Ta có O, O’ lần lượt là tâm đối xứng của hình
B
D
bình hành ABCD và A’B’C’D’ nên đường thẳng
bất kì qua tâm thì chia hình bình hành đó thành hai

B'
C'
hình bằng nhau.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 6.6. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho v(2; 0) và điểm M (1; 1).
a) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép đối xứng trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v .
b) Tìm toạ độ điểm M’’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp
phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng trục Oy.
Bài 6.7. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v(3;1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y = 0. Tìm ảnh
của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến
theo vectơ v .

Hình học 11

19

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

§7. PHÉP VỊ TỰ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, k ≠ 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho OM ' = kOM đựơc gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V(O ,k ) . Như vậy V(O ,k ) : M → M ' ⇔ OM ' = kOM
Nhận xét

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi k > 0, M và M’ nằm cùng phìa đối với O.
- Khi k < 0, M và M’ nằm khác phía đối với O.
- Khi k = - 1, M và M’ đối xứng với nhau qua tâm O nên V(O ,−1) = ĐO
-

Khi k = 1, thì M ≡ M ' nên phép vị tự là phép đồng nhất
V(O ,k ) ( M ) = M ' ⇔ V 1 ( M ') = M
(O , )
k

2. Các tính chất của phép vị tự
a. Định lí 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì:
M ' N ' = k MN và MN = k MN
-

b. Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k ;
-

Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và tỉ số đồng dạng là k , biến góc

-

thành góc bằng nó;
Biến một đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k .R.

3. Biểu thức toạ độ.

Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho phép vị tự V( I ,k ) với I ( x0 , y0 )
 x ' = kx + (1 − k ) x0
Ta có: V( I ,k ) : M ( x , y ) → M '( x ', y ') ⇔ IM ' = kIM ⇔ 
 y ' = ky + (1 − k ) y0
 x ' = kx
Khi I ≡ O thì 
 y ' = ky
B. BÀI TẬP
Bài 7.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 4 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3.
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k = −2
HD Giải
a) Lấy hai điểm A(0; 4) và B(2; 0) thuộc d. Gọi A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3. Khi đó A’(0; 12) và B’(6; 0). d1 chính là đường thẳng qua hai điểm A’ và B’
nên có phương trình 2x + y – 12 = 0.
b) Vì d2 // d: 2x + y – 4 = 0 nên d2: 2x + y + c = 0. Lấy điểm A(4; 0) thuộc d và gọi A ' = V( I ,−2) ( A) .

Khi đó ta có A '(−3; −2) ∈ d2 nên suy ra c = 8. Vậy d2: 2x + y + 8 = 0.
Bài 7.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho phép vị tự tâm I(1; 3), tỉ số k = −2 . Tìm ảnh của các đường sau qua
phép vị tự V( I ,k )
a) Đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0
b) Đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 1)2 = 3
Hình học 11

20

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />

GV. Lư Sĩ Pháp

c) Parabol (P): y = x2 – 3x + 2
HD Giải

− x '+ 3
x=
 x ' = −2 x + 3 
2 (*)
⇒
V( I ,k ) : M ( x , y ) → M '( x ', y ') có biểu thức toạ độ: 
 y ' = −2 y + 9  y = − y ' + 9

2
a) V( I ,k ) : M ( x , y ) ∈ d → M '( x ', y ') ∈ d ' . Thay (*) vào phương trình của d, ta có:2x’ + y’ – 13 = 0
Vậy phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua V( I ,k ) là: 2x + y – 13 = 0.
Cách khác: Lấy điểm M (0,1)∈ d , V( I ,k ) : M (0,1) ∈ d → M '(3, 7) ∈ d '
Vì phép vị tự biến đường thẳng d thành d’ song song hoặc trùng với d nên d’: 2x + y + c = 0 và M '∈ d
nên ta có c – 13. Vậy d’: 2x + y – 13 = 0.
b) V( I ,k ) : M ( x , y ) ∈ (C ) → M '( x ', y ') ∈ (C ') .
Thay (*) vào phương trình đường trịn (C) ta có: (x’ + 1)2 + (y’ – 11)2 = 12
Vậy phương trình đường tròn (C’): (x + 1)2 + (y – 11)2 = 12
Cách khác: Tâm và bán kính của (C): J(2, - 1), R = 3
V( I ,k ) : J ( x , y ) ∈ (C ) → J '( x ', y ') ∈ (C ') ⇒ J '(−1,11), R ' = 2 3

Vậy phương trình đường trịn (C’): (x + 1)2 + (y – 11)2 = 12
1
19
c) V( I ,k ) : M ( x , y ) ∈ ( P ) → M '( x ', y ') ∈ (P ') . Thay (*) vào phương trình (P), ta có : y ' = − ( x ')2 +
2

2
1
19
Vậy phương trình (P’): y = − x 2 +
2
2

Bài 7.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình ( x − 3 ) + ( y + 1) = 9 . Hãy viết
2

2

phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2.
HD Giải
Đường trịn (C) có tâm J(3; -1) và bán kính R = 3. Gọi J ' = V( I ,−2) ( J ) nên J’(-3; 8).
Do vậy đường tròn (C’) có tâm là J’ và bán kính R ' = −2 .3 = 6 .
Vậy (C’): ( x + 3) + ( y − 8) = 36
2

2

Bài 7.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C): x2 + y2 – 10x – 8y + 14 = 0 và (C’): x2 + y2 + 2y
– 11 = 0. Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).
HD Giải
Phương trình đường trịn (C) có tâm và bán kính: I1(5, 4), R1 = 3 3 và đường trịn (C’): I2(0, - 1),
R2 = 2 3 .

 x ' = kx + (1 − k ) x0
Xét V( I ,k ) : M ( x , y ) ∈ (C ) → M '( x ', y ') ∈ (C ') có biểu thức toạ độ là 
 y ' = ky + (1 − k ) y0

2
Trong đó I(x0, y0) là tâm vị tự. Ta có R2 = k R1 ⇒ k = ±
3

2
1
x ' = x + x0

2

3
3 và V : I (5; 4) ∈ (C ) → I (0,1) ∈ (C ')
• Khi k = thì ta có: 
( I ,k )
1
2
3
y ' = 2 y + 1 y

3
3 0
2
Nên ta có: x0 = −10, y0 = −11 . Vậy phép vị tự có I(-10, -11) và k = biến (C) thành (C’).
3

Hình học 11

21

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng

Toán 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp


2
5
x ' = − x + x0

2

3
3
và V( I ,k ) V( I ,k ) : I1 (5; 4) ∈ (C ) → I 2 (0,1) ∈ (C ')
• Khi k = − thì ta có: 
3
y ' = 2 y + 5 y

−3
3 0
2
Nên ta có: x0 = 2, y0 = 1 . Vậy phép vị tự V( I ,k ) có I(2, 1) và k = − biến (C) thành (C’).
3
Bài 7.5. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = 1 và
(C’): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4.
Xác định phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).
HD Giải
Phép vị tự biến đường tròn (C) thành đường trịn (C’) là:
• Tâm vị tự I(-2, 3) và tỉ số vị tự k = 2

• Tâm vị tự I(2, 3) và tỉ số vị tự k = - 2
Bài 7.6.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB. Chứng minh rằng có
một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
HD Giải
1
1
1
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó: GM = − GA, GN = − GB, GP = − GC . Suy ra, phép vị tự
2
2
2
1
tâm G, tỉ số k = − biến tam giác ABC thành tam giác MNP.
2
A

N

P

G
B

M

C

Bài 7.7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự
1

tâm H, tỉ số k = .
2
HD Giải
A
Ảnh của tam giác A, B, C qua phép vị tự V 1  là
H, 
 2

A'

A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm các cạnh HA,
HB, HC. Vậy V 1  : ( ∆ABC ) → ∆A ' B ' C '

H

H, 
 2

B

B'

C'
C

Bài 7.8. Tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định cịn A chạy trên đường trịn (O,R) cố định khơng có điểm
chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
HD Giải
1
Gọi I là trung điểm BC thì I cố định. Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi IG = IA .

3
1
Như vậy, phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm A thành điểm G
3
Từ đó, suy ra khi A chạy trên đường trịn (O,R) thì quỹ tích G là ảnh của đường

Hình học 11

22

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Tốn 11 - />
GV. Lư Sĩ Pháp

1
1
trịn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’,R’) mà IO ' = IO và R ' = R
3
3
A

B

G

O

O'

I
C

Bài 7.9. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh
rằng GH = −2GO ( như vậy khi ba điểm G, H, O khơng trùng nhau thì chúng cùng nằm trên một đường
thằng, được gọi là đường thẳng Ơ-le).
HD Giải
Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm của các
A
cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Ta có OA ' ⊥ BC mà BC // B’C’ nên OA ' ⊥ B ' C ' .
Tương tự, ta cũng có OB ' ⊥ A ' C ' . Vậy O là trực
tâm của tam giác A’B’C’.
B'
C'
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
O
H G
GA = −2GA ', GB = −2GB ' và GC = −2GC ' . Bởi
vậy phép vị tự V(G ,−2) : ∆A ' B ' C ' → ∆ABC
C
B
A'

Điểm O là trực tâm của tam giác A’B’C’ nên
V(G ,−2) : O → H ⇒ GH = −2GO . Điểu này chứng
tỏ ba điểm G, H, O thẳng hàng.
Bài 7. 10.
Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh AB. Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung tuyến
AA1 và BB1 cắt BC, CA tại P và Q. Tìm quỹ tích các điểm S sao cho tứ giác MPSQ là hình bình hành.

HD Giải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với
Khi M thuộc cạnh AB thì S thc đoạn A1B1 là
AA1 và BB1, G là trọng tâm tam giác ABC. Khi
nảh của AB qua V 1 
 G ,− 
đó:
2


ME
BG

=

MQ

⇒

BB1

ME
MQ

Tương tự: MF =

=

BG
BB1

=

2
2
⇒ ME = MQ
3
3

Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1.
A

2
MP
3

M

2
2
2
Ta có : MG = ME + EG = MQ + MP = MS .
3
3
3
1
Suy ra: GS = − GM
2
Do đó: S là ảnh của M qua phép vị tự tâm G, tỉ số
1

k=−
2

Hình học 11

Q

E

B1

G
F

S
B

23

P

A1

C

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng


Toán 11 - />C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 7.11.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0.
a) Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 3
b) Hãy viết phương trình đường thẳng d2 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k = −

1
2

Bài 7.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình ( x − 2 ) + ( y + 3 ) = 16 . Hãy viết
2

2

phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = - 2.

Hình học 11

24

Chương I. PDH & PĐD trong mặt phẳng