Đường tròn lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

Nguyễn Thị Tiến Hưng

ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

THÁI NGUYÊN 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

Nguyễn Thị Tiến Hưng

ĐƯỜNG TRÒN LUCAS CỦA TAM GIÁC
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN 2020

i

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng
viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người
đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp
những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chun ngành bổ ích
cho cơng tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cơ giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học
Tốn K12A7; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán
– Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo
dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp
tơi có thể hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12A7
đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong q trình học tập và
làm luận văn.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả

Nguyễn Thị Tiến Hưng


ii

Danh mục các hình

1.1 Hình vng nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ba tam giác Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas . . . .
1.4 Khoảng cách giữa hai tâm Lucas . . . . . . . . . . . .
1.5 Đường tròn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC) . . .
1.6 Đường tròn Lucas và đường tròn Apollonius . . . . .
1.7 O1 là tâm đường tròn A−Apollonius . . . . . . . . .
1.8
ABC và A B C trực giao với nhau . . . . . . . .
1.9
OA OB OC vị tự với ABC , trực giao với TA TB TC
1.10 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 0 . . . . . .
1.11 Các đường tròn tiếp xúc trong . . . . . . . . . . . . .
1.12 Hình vng nội tiếp với hai đỉnh trên BC . . . . . . .
1.13 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. .4
. .5
. .6
. .9
. 10
.
. 11
.
. 12
.
. 14
.
. 15
.
. 17

.
. 18
.
. 19
.
. 20
.

2.1 Ba điểm X , Y , Z thẳng hàng . . . . . . . . . . .
2.2 Tâm vị tự của hai đường tròn . . . . . . . . . . .
2.3 Trục vị tự của ba đường tròn . . . . . . . . . . .
2.4 Cặp điểm liên hợp đẳng cự . . . . . . . . . . . . .
2.5 Cặp điểm liên hợp đẳng cự: Ge và N . . . . . . .
2.6 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . .
2.7 Cặp điểm liên hợp đẳng giác: L và G . . . . . . .
2.8 Tam giác Kiepert và tâm phối cảnh Kiepert theo θ
2.9 Đường tròn trực giao với các đường tròn bàng tiếp
2.10 Hai đường tròn vị tự từ hai hình vng vị tự . . .
2.11 Tam giác Ta Tb Tc vị tự với tam giác ABC . . . . .
2.12 Đường tròn đẳng phương của ba đường tròn Lucas

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. 25
.
. 26
.
. 27
.
. 29
.
. 30
.
. 33
.
. 34
.
. 36
.
. 40

.
. 42
.
. 43
.
. 45
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

3.1 Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại . . . . . . . 51
.


iii

.
3.2 Các đường tròn C1a , C1b , C1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
a
b
c
3.3 Đường tròn đẳng phương của C1 , C1 , C1 . . . . . . . . . . . . . 54
.
3.4 Các đường cơ níc sinh từ các hình vng nội tiếp . . . . . . . . 60
.


iv

Mục lục
Chương 1. Đường tròn Lucas của tam giác
4
1.1. Đường trịn Lucas và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2. Đường trịn Lucas và cơng thức Descartes . . . . . . . . . . . . 16
.
Chương 2. Đường tròn Lucas trong tọa độ barycentric

2.1. Tọa độ barycentric thuần nhất . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Các định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Công thức Conway và tâm phối cảnh Kiepert . .
2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác . . . . . . . . .
2.2.1. Đường tròn đẳng phương Lucas . . . . . . . . . .
2.2.2. Họ đường tròn đồng trục Schoute . . . . . . . . .
Chương 3. Một số vấn đề liên quan
3.1. Đường tròn Lucas và đường tròn Soddy . . . . . . . . .
3.1.1. Đường tròn Soddy nội và đường tròn Soddy ngoại
3.1.2. Điều kiện tồn tại các đường tròn Soddy . . . . .
3.2. Ba họ vơ hạn các đường trịn . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Các tâm vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Hai đường cơ níc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

22
. 22
.
. 22
.
. 34
.
. 41
.
. 44

.
. 47
.

.
.
.
.
.
.

50
. 50
.
. 50
.
. 51
.
. 52
.
. 57
.
. 58
.
64


1

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Stt
Ký hiệu
1
A−Lucas, Ca
2
B−Lucas, Cb
3
C−Lucas, Cc
4
(OA , RA )
5 A−Apollonius
6
Ta Tb Tc
7
CA (RA )
8
Ge
9
N
10 L, LA , LB , LC
11
σ
12
σθ
13

K(θ)

14
15

16
17

X(...)
OL
Ca , Cb , Cc
Cna , Cnb , Cnc

Nội dung ký hiệu
Đường tròn Lucas đi qua A
Đường tròn Lucas đi qua B
Đường tròn Lucas đi qua C
Đường trịn Lucas tâm OA , bán kính RA
Đường trịn Apollonius ứng với đỉnh A
Tam giác tiếp xúc
A
Đường tròn tâm R−R
R .A. bán kính RA
Điểm Gergonne
Điểm Nagel
Điểm đối trung và điểm đối trung mở rộng
Ký hiệu Conway, σ = 2SABC
Ký hiệu Conway, σθ = σ. cot θ
1
1
1
Tâm Kiepert
:
:
σA + σθ σB + σθ σC + σθ

Tâm tam giác, [4]
Trục Brocard
Các đường tròn Lucas
Ba họ đường tròn tiếp xúc

Trang
6
6
6
6
11
13
16
29
29
32
33
33
35
35
40
40
53


2

Mở đầu
1. Mục đích của đề tài luận văn
Đề tài “Đường tròn Lucas của tam giác và một số vấn đề liên quan” bao

gồm cách xác định ba đường tròn Lucas, tâm Lucas, phương trình Lucas,
đường trịn đẳng phương Lucas và mối liên hệ giữa đường tròn Lucas và
các tâm tam giác. Các khái niệm này gắn liền với tên tuổi của Edouard
Lucas (1842-1891), nhà toán học người Pháp, người phát hiện ra những
tính chất thú vị của dãy số Lucas, một dãy sinh đơi với dãy số Fibonacci.
Mục đích của đề tài là:
- Nghiên cứu các tính chất của đường trịn Lucas bằng phương pháp
hình học truyền thống và bằng phương pháp tọa độ (barycentric), tìm mối
liên quan giữa đường tròn Lucas với các tâm tam giác được xác định trong
danh sách của C. Kimberling, [4].
- Trình bày các tính chất liên quan giữa đường trịn Lucas và đường
trịn Apollonius, đường trịn Soddy.
- Dùng phương pháp tọa độ tìm ra các cặp tam giác phối cảnh, tam
giác vị tự. Các tâm phối cảnh, tâm vị tự tìm được chính là các tâm tam
giác có trong [4] và những điểm chưa có trong danh sách này.

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Dựa vào các tài liệu chính [1], [2] và [3] luận văn trình bày các tính
chất của đường trịn Lucas trong tam giác và mối quan hệ với các đường
tròn khác, các điểm đặc biệt khác trong tam giác; một số ứng dụng quan


3

trọng của các kết quả tìm được như đường trịn đẳng phương Lucas, cơng
thức Descartes, họ đường trịn đồng trục Schoute,... Nội dung luận văn
được chia làm 3 chương.
Chương 1. Đường trịn Lucas của tam giác
Xuất phát từ ba hình vng nội tiếp tam giác xây dựng ba đường
trịn Lucas của tam giác. Bằng phương pháp hình học truyền thống giới

thiệu các tính chất của các đường trịn Lucas thơng qua các hệ thức hình
học. Chương này bao gồm (nội dung tham khảo trong [2], [5]):
1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất.
1.2. Đường trịn Lucas và cơng thức Descartes.
Chương 2. Đường trịn Lucas trong tọa độ barycentric
Các tính tốn ở đây chủ yếu sử dụng các kết quả của tọa độ barycentric. Từ phương trình các đường trịn tìm được các cặp tam giác phối cảnh
và tam giác vị tự, từ đó có mối liên hệ giữa đường trịn Lucas và các tâm
tam giác (tổng hợp các mệnh đề trong [3]). Chương này bao gồm các mục:
2.1. Tọa độ barycentric thuần nhất.
2.2. Đường tròn Lucas với các tâm tam giác.
Chương 3. Một số vấn đề liên quan
Bằng cách tính tương tự có thể rút ra điều kiện tồn tại đường tròn
Soddy của tam giác. Giới thiệu ba họ đường tròn như là một ứng dụng
của kết quả vào việc xây dựng chuỗi các đường trịn, từ đó thu được một
loạt các cặp tam giác phối cảnh và vị tự. Nội dung của chương bao gồm:
3.1. Đường tròn Lucas và đường trịn Soddy.
3.2. Ba họ vơ hạn các đường trịn.


4

Chương 1
Đường tròn Lucas của tam giác
1.1. Đường tròn Lucas và các tính chất
Ta bắt đầu bằng khái niệm quen thuộc: hình vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp
∆ABC . Vì hình vng có 4 đỉnh cịn tam giác chỉ có 3 cạnh nên một cạnh nào

đó của tam giác phải chứa 2 đỉnh hình vng. Dựng hình vng nội tiếp tam
giác như thế nào là bài toán đã biết ở phổ thơng (Hình 1.1). Dựng hình vng

Hình 1.1: Hình vuông nội tiếp tam giác

bất kỳ DEF G như trên Hình 1.1a. Nếu đường thẳng LM qua G, song song với
AC thì ∆LBM với hình vng DEF G nội tiếp trong nó hồn tồn thỏa mãn

điều kiện đặt ra nhưng kích thước nhỏ hơn. Nhắc lại rằng các góc tương ứng
của hai hình đồng dạng thì bằng nhau, kéo theo BG chia góc B thành 2 phần
x, y như BS chia góc ABC . Kéo dài BG gặp AC ở X3 , sau đó ta dựng được hình


5

vng X1 X2 X3 X4 nội tiếp tam giác, có 2 đỉnh trên BC , Hình 1.1b. Tương tự sẽ
có hình vng nội tiếp Y1 Y2 Y3 Y4 , Z1 Z2 Z3 Z4 , hai đỉnh lần lượt trên CA và AB .
Có thể dựng các hình vng nội tiếp đơn giản hơn bằng cách dựng 3 hình
vng cạnh tam giác, ra phía ngồi tam giác, Hình 1.2. Ta biết rằng mỗi hình

Hình 1.2: Ba tam giác Lucas

vng trong 3 hình vng trên phải có một cạnh nằm trên cạnh (hoặc phần kéo
dài) của tam giác.
Định nghĩa 1.1. Cho ∆ABC , ta gọi tam giác có một đỉnh là đỉnh tam giác
ABC , hai đỉnh kia là hai đỉnh hình vuông nội tiếp thuộc 2 cạnh bên, là tam giác

Lucas. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Lucas được gọi là đường tròn Lucas.


6

Mỗi tam giác ABC cho trước có 3 tam giác Lucas và tương ứng có ba đường

trịn Lucas. Đường trịn Lucas đi qua A ký hiệu là (OA , RA ), còn gọi là đường
tròn A−Lucas. Tương tự như vậy với ký hiệu (OB , RB ), (OC , RC ) và cách gọi các
đường tròn B−Lucas và C−Lucas. Các điểm OA , OB , OC gọi là các tâm Lucas,
RA , RB , RC được gọi là các bán kính Lucas. Tam giác OA OB OC được gọi là tam

giác tâm Lucas. Ta có các hệ thức liên quan đến các bán kính đường trịn Lucas.

Hình 1.3: Các đường tròn A−Lucas, B−Lucas, C−Lucas

Mệnh đề 1.1. Khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến tâm Lucas
OOA = R − RA ;

OOB = R − RB ;

OOC = R − RC .

Chứng minh. Xét đường trịn Lucas đi qua A (Hình 1.1b). Vì X4 X3
AX4 X3

(1.1)
BC nên

ABC và do đó bán kính OA của đường trịn (ABC) chia góc BAC


7

thành hai phần u, v hoàn toàn giống như bán kính OA A chia góc X4 AX3 = BAC .
Điều đó kéo theo A, OA , O thẳng hàng và từ đó OOA = R − RA . Tương tự ta có
hai đẳng thức cịn lại.

Mệnh đề 1.2. Bán kính các đường tròn Lucas
RA =

bcR
;
bc + 2aR

RB =

acR
;
ac + 2bR

RC =

abR
.
ab + 2cR

(1.2)

Chứng minh. Xét đường tròn Lucas đi qua A. Giả sử hình vng nội tiếp
X1 X2 X3 X4 có cạnh là x, Hình 1.5. Từ các tam giác ABC và AX4 X3 ta có
a
x
R=
và RA =
. Gọi AY , AZ là các đường cao hạ từ A của AX4 X3
2 sin A
2 sin A

và ABC . Khi đó Y Z = x và AZ = b sin C (do AZC vuông tại Z ). Tỉ số hai

đường cao bằng
AZ − x
x
AY
=
=1−
.
AZ
AZ
b sin C
AY
X4 X3
x
Vì AY Z và AZC đồng dạng nên
=
= (do AX4 X3
AZ
X4 C
a
x
x
và thay x bởi 2RA sin A ta thu được
Từ đó, = 1 −
a
b sin C
2RA sin A
2RA sin A
=1−

.
a
b sin C
a
sin A
= , đẳng thức trên tương đương với
Theo Định lý sin :
sin C
c
2RA sin A 2RA a
+
= 1.
a
bc

Nhân cả hai vế với abc, rút gọn thì được:
RA =

Bây giờ từ R =

abc
.
2bc sin A + 2a2

a
ta có:
2 sin A
R=

abc

2bc sin A

và 2bc sin A =

abc
.
R

Do đó,
RA =

abc
abc
bcR
=
.
=
2
abc
2bc sin A + 2a
bc + 2aR
2
+ 2a
R

ABC ).


8

Tương tự,
acR
;
ac + 2bR

RB =

RC =

abR
.
ab + 2cR

Hệ thức (1.2) và các hệ thức tương tự đã được chứng minh bởi Eduard Lucas
(1842 − 1891) vào năm 1879 và chúng tiếp tục là “giấy khai sinh” của các đường
tròn Lucas.
Hệ quả 1.1. Ta có đồng nhất thức
2 a2 + b 2 + c 2
1
1
1
3
+
+
= +
.
RA RB RC
R
abc

Chứng minh. Từ (1.2) ta suy ra
1
1
1
+
+
RA RB RC

bc + 2aR ac + 2bR ab + 2cR
+
+
bcR
acR
abR
3
2a 2b 2c
=
+
+
+
R bc ca ab
2a2 2b2 2c2
3
+
+
+
=
R bca cab abc
2 a2 + b 2 + c 2
3

=
+
.
R
abc
=

Đồng nhất thức được chứng minh.
Mệnh đề 1.3. Biểu diễn khác của các công thức (1.1)
OOA =

2aRRA
;
bc

OOB =

2bRRB
;
ac

OOC =

2cRRC
.
ab

Chứng minh. Từ hai tính chất trên ta có
OOA = R −

Từ (1.2), RA =

bcR
bc
=R 1−
bc + 2aR
bc + 2aR

=

2aR2
.
bc + 2aR

bcR
bcR
kéo theo bc + 2aR =
, và vì vậy:
bc + 2aR
RA
OOA = R − RA =

Tương tự, OOB =

2bRRB
;
ac

2aR2
2aRRA

2aR2
=
=
.
bcR
bc + 2aR
bc
RA

OOC =

2cRRC
.
ab

(1.3)


9

Hình 1.4: Khoảng cách giữa hai tâm Lucas

Mệnh đề 1.4. Khoảng cách giữa hai tâm Lucas
OA OB = RA + RB ;

OB OC = RB + RC ;

OC OA = RC + RA .

(1.4)

Chứng minh. Khoảng cách này được tính dựa vào Định lý sin và lưu ý rằng
OA OOB = 2C . Ta có
|OA OB |2 = (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) cos 2C
= (R − RA )2 + (R − RB )2 − 2(R − RA )(R − RB ) 1 − 2 sin2 C
= (RA − RB )2 + 4(R − RA )(R − RB ) sin2 C
= (RA − RB )2 + 4RA RB ·

4R2 sin2 C
c2

= (RA − RB )2 + 4RA RB

(vì R =

c
)
sin C

= (RA + RB )2 .

Kéo theo OA OB = RA + RB . Tương tự với hai đẳng thức cịn lại.
Ta suy ra các tính chất:


10

Tính chất 1.1. Ba đường trịn Lucas tiếp xúc với đường tròn (ABC) tại các
đỉnh A, B , C và đơi một tiếp xúc ngồi nhau.

Hình 1.5: Đường trịn Lucas (OA , RA ) tiếp xúc với (ABC)

Chứng minh. Theo chứng minh Mệnh đề 1.1, ba điểm A, O, OA thẳng hàng nên
(OA , RA ) tiếp xúc trong với (O, R) tại A.

Ba đường trịn Lucas đơi một tiếp xúc ngồi nhau do (1.4).
Từ đó ta thu được kết quả sau: Ba đường tròn Lucas của tam giác và đường
tròn ngoại tiếp tam giác tạo thành bộ 4 đường tròn mà mỗi đường tròn tiếp xúc
với cả ba đường trịn kia.
Định nghĩa 1.2. Đường trịn quỹ tích những điểm mà tỷ số các khoảng cách từ
đó đến hai điểm cố định là một hằng số k được gọi là đường trịn Apollonius của
đoạn thẳng đó ứng với tỷ số k , người ta còn gọi đây là đường tròn Apollonius
kiểu 1 của đoạn thẳng.
Chú ý rằng khi k = 1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung
trực của đoạn thẳng.


11

Hình 1.6: Đường trịn Lucas và đường trịn Apollonius

Từ định nghĩa và tính chất đường trịn Apollonius của đoạn thẳng chúng ta
có thể xác định ba đường trịn Apollonius của một tam giác:
Đường tròn Apollonius của

ABC ứng với đỉnh A là đường tròn đi qua A và

hai chân đường phân giác trong và ngoài của A.
Như vậy trong một tam giác, có ba đường trịn Apollonius kiểu 1 ứng với ba
đỉnh của tam giác. Ta gọi các đường tròn này là A−Apollonius, B−Apollonius

và C−Apollonius, tương ứng. Sau đây là một số tính chất liên quan giữa đường
trịn Lucas và đường trịn Apollonius của tam giác tùy ý cho trước.
Tính chất 1.2. Giả sử (OA , RA ), (OB , RB ), (OC , RC ) là ba đường tròn Lucas
của

ABC . Khi đó O1 = OB OC ∩ BC , O2 = OC OA ∩ CA, O3 = OA OB ∩ AB lần

lượt là tâm đường tròn A, B , C−Apollonius của

ABC .

Chứng minh. Áp dụng Định lý Menelaus vào tam giác OBC :
O1 B OC C OB O
·
·
= 1.
O1 C OC O OB B

Do đó

O1 B
RC
R − RB
·
·
= 1.
O1 C R − RC
RB

12

Hình 1.7: O1 là tâm đường trịn A−Apollonius

Theo hệ thức (1.2), RB =

abR
acR
; RC =
ta có
ac + 2bR
ab + 2cR

O1 B
RB (R − RC )
2ac2 R3
c2
=
=
= 2.
O1 C
RC (R − RB )
2ab2 R3
b

Đẳng thức này chứng tỏ O1 là chân của đường đối trung ngoài đi qua A của
ABC , nghĩa là O1 là tâm của đường tròn A−Apollonius. Tương tự như vậy

cho các điểm O2 , O3 .
Tính chất 1.3. Ký hiệu N1 là tiếp điểm của B−Lucas và C−Lucas. Khi đó, N1

thuộc đường trịn A−Apollonius. Tương tự đối với N2 , N3 .
Chứng minh. Tâm đẳng phương của ba đường tròn B−Lucas, C−Lucas và (ABC)
là điểm TA giao của hai tiếp tuyến tại B , C của (ABC), Hình 1.7. Ta suy ra
BTA = CTA = N1 TA nên N1 thuộc đường trịn CA có tâm là TA , trực giao với
(ABC) tại B và C . Mặt khác trục đẳng phương của hai đường tròn B−Lucas và
C−Lucas là đường thẳng TA N1 và OA N1 tiếp xúc với CA tại N1 . Xét phương tích

của OA đối với CA , ta có
OA N12 = OA B · OA C.


13

Cũng như vậy, OA A2 = OA B · OA C . Ta suy ra OA A = OA N1 , nghĩa là N1 thuộc
đường trịn A−Apollonius.
Chú ý. Ta có ngay kết quả: N1 là tâm đẳng phương của ba đường tròn A−Apollonius,
B−Lucas, C−Lucas. Tương tự cho N2 , N3 .

Tính chất 1.4. Hai đường trịn A−Lucas và A−Apollonius trực giao.
Chứng minh. Thật vậy, bán kính của đường trịn A−Apollonius ln vng góc
với bán kính đường trịn ngoại tiếp (ABC) là OA nên bán kính A−Apollonius ln
vng góc với bán kính đường trịn A−Lucas. Do đó, hai đường trịn A−Lucas
và A−Apollonius trực giao. Tương tự ta có đường trịn B−Lucas trực giao với
đường tròn B−Apollonius và đường tròn C−Lucas trực giao với đường tròn
C−Apollonius.

Nhắc lại rằng tam giác TA TB TC xác định bởi các tiếp tuyến tại A, B , C của
đường tròn (ABC) là tam giác tiếp xúc của

ABC . Ta có khái niệm hai tam

giác trực giao như sau:
Định nghĩa 1.3. Ta gọi

ABC và

A B C là hai tam giác trực giao với nhau

nếu các đường thẳng vng góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B C , C A , A B
đồng quy tại một điểm.
Mệnh đề 1.5. Cho hai tam giác

ABC và

A B C . Khi đó các đường thẳng

vng góc kẻ từ A, B , C tương ứng tới B C , C A , A B đồng quy khi và chỉ khi
các đường thẳng vng góc kẻ từ A , B , C tương ứng tới BC , CA, AB đồng
quy.
Chứng minh. Gọi AA1 ⊥ B C , BB1 ⊥ C A , CC1 ⊥ A B , A A1 ⊥ BC , B B1 ⊥ CA,
C C1 ⊥ AB . Theo Định lý Carnot (phát biểu trong [2]), các đường AA1 , BB1 ,


14

Hình 1.8:

ABC và

A B C trực giao với nhau

CC1 đồng quy tại P khi và chỉ khi
(AB 2 − AC 2 ) + (BC 2 − BA 2 ) + (C B 2 − CB 2 ) = 0
⇔ (B A2 − B C 2 ) + (A C 2 − A B 2 ) + (C B 2 − C A2 ) = 0,

khi và chỉ khi các đường thẳng A A1 , B B1 , C C1 đồng quy, Hình 1.8
Ta gọi P là tâm trực giao của
trực giao của

A B C ứng với bộ ba điểm A, B , C ; Q là tâm

ABC ứng với bộ ba điểm A , B , C .

Trong Hình học, một hệ thống trực giao là một tập hợp bốn điểm trong mặt
phẳng mà mỗi điểm trong chúng là trực tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn
lại. Nếu bốn điểm A, B , C , D lập thành một hệ thống trực giao thì bốn tam giác
ABC , BCD, CDA, DAB có cùng đường trịn chín điểm (đường trịn này cũng

được coi là đường trịn chín điểm của hệ thống trực giao). Hệ quả là các đường


15

trịn ngoại tiếp các tam giác này có bán kính bằng nhau.
Tính chất 1.5. Tam giác tâm Lucas OA OB OC vị tự với tam giác ABC và trực
giao với tam giác tiếp xúc TA TB TC .

Hình 1.9:

OA OB OC vị tự với

ABC, trực giao với

TA TB TC

Chứng minh. Hiển nhiên AOA , BOB , COC đồng quy tại tâm ngoại tiếp O. Tỉ số
vị tự của hai đường trịn là k =

OOA
RA
=
.
OA
R

Ta lại có O1 = OB OC ∩ BC và O1 là tâm của đường tròn A−Apollonius nên trục
vị tự là đường thẳng (O1 O2 O3 ) (đường thẳng xác định bởi các tâm của ba đường
tròn Apollonius).
Đường thẳng TA N1 là trục đẳng phương của hai đường trịn B−Lucas và
C−Lucas, do đó TA N1 ⊥ OB OC . Tương tự, TB N2 ⊥ OC OA , TC N3 ⊥ OA OB . Vì

trục đẳng phương của các đường tròn Lucas đồng quy tại N , là tâm đẳng phương


16

của các đường trịn Lucas. Do đó, theo định nghĩa, hai tam giác OA OB OC và
TA TB TC trực giao, tâm trực giao là N . Ta cũng dễ thấy tâm trực giao còn lại là

điểm O.

1.2. Đường tròn Lucas và cơng thức Descartes
R − RA
· A,
R
bán kính RA . Đây là đường tròn tiếp xúc trong với (O, R) tại điểm A và là ảnh
R
của (O, R) qua phép vị tự h A, A , Hình 1.2. Với các số thực RB , RC thỏa
R
0 ≤ RB < R, 0 ≤ RC < R, ta xét các đường tròn CB (RB ), CC (RC ) xác định tương

Giả sử 0 ≤ RA < R và xét đường tròn CA (RA ) có tâm là điểm

tự.
Các đường trịn CB (RB ), CA (RA ) tiếp xúc ngoài nhau khi và chỉ khi
c2 =

4RA AB
.
(R − RA )(R − RB )

Do đó, CA (RA ), CB (RB ), CC (RC ) tiếp xúc ngoài nhau khi và chỉ khi
4R2 RB RC
,
(R − RB )(R − RC )
4R2 RC RA
b2 =
,
(R − RC )(R − RA )
4R2 RA RB

2
c =
.
(R − RA )(R − RB )
a2 =

(1.5)

Ta có thể giải các phương trình này biểu diễn ẩn RA , RB , RC theo a, b, c, R.
Thật vậy, nhân vế với vế của (1.5) ta được
abc =

8R3 RA RB RC
.
(R − RA )(R − RB )(R − RC )

Kết hợp với từng phương trình trong (1.5), ta rút ra
RA
bc
RB
ca
RC
ab
=
;
=
;
=
.
R − RA

2Ra R − RB
2Rb R − RC
2Rc

Từ đó ta thu được (thực ra đã có trong Mệnh đề 1.2):
RA =

bc
ca
ab
· R; RB =
· R; RC =
· R.
2Ra + bc
2Rb + ca
2Rc + ab

(1.6)


17

Ký hiệu S là diện tích tam giác ABC , ha , hb , hc là ba đường cao.
Ta có 2S = aha = bhb = chc . Vì abc = 4RS nên từ (1.5) ta có:
RA
abc
4RS
2S
aha
ha

=
=
= 2
= 2
=
.
2
2
R
2Ra + abc
2Ra + 4RS
a + 2S
a + aha
a + ha

Do đó phép vị tự h A,

RA
R

sẽ biến hình vng cạnh BC (dựng ra ngồi tam

giác) thành hình vng nội tiếp có hai đỉnh trên cạnh này. Do đó ba đường trịn
CA (RA ), CB (RB ), CC (RC ) là các đường trịn Lucas đã xét trong mục 1 (xem Hình

1.3). Thay đổi đơi chút các tính tốn ở trên: thay RA , RB , RC bởi các số dương

Hình 1.10: 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0, 2Rc − ab > 0
α, β , γ , ba đường tròn ảnh của đường tròn ngoại tiếp (O, R) qua các phép vị tự
h A, −

α
β
, h B, −
R
R

, h C, −

γ
R

(mỗi đường tròn tiếp xúc với (O, R) ở đỉnh A, B , C ) sẽ tiếp xúc nhau nếu và chỉ
nếu
α=

bc
ca
ab
· R; β =
· R; γ =
· R.
2Ra − bc
2Rb − ca
2Rc − ab

(1.7)


18

Các đường trịn này đều tiếp xúc ngồi nhau miễn là 2Ra − bc > 0, 2Rb − ca > 0,
2Rc − ab > 0, Hình 1.10. Các đại lượng đó thỏa mãn:
2Ra − bc =

bc
ca
ab
(a − ha ), 2Rb − ca = (b − hb ), 2Rc − ab = (c − hc ).
a
b
c

Hình 1.11: Các đường trịn tiếp xúc trong

Có thể xảy ra trường hợp một trong các số 2Ra − bc, 2Rb − ca, 2Rc − ab là số
âm. Khi đó sự tiếp xúc của các đường trịn tất cả đều là tiếp xúc trong, Hình
1.11.
Xét bộ ba đường trịn bán kính α, β , γ . Phép vị tự h A, −

α
R

biến hình

vng dựng trên cạnh BC cùng phía với điểm A thành hình vng nội tiếp
α
−ha
=
, hình 1.12. Ký hiệu a1 , a2 là độ dài cạnh hai hình vng nội

R
a − ha
R
tiếp, ảnh của hình vng cạnh BC tương ứng qua phép vị tự h A, A và
R

vì −


19

Hình 1.12: Hình vng nội tiếp với hai đỉnh trên BC
h A, −

α
R
α
. Nghĩa là ta có a1 = A · a; a2 = · a. Sử dụng (1.6), (1.7) ta có
R
R
R
1
1
+
=
a1 a2

1
1
+

RA α

R
4a R
a
2
=
· = = .
a
bc a
S
ha

Điều đó nghĩa là đường cao ha bằng trung bình điều hịa hai cạnh hai hình vng
nội tiếp (có hai đỉnh trên BC ).
Bây giờ cho ba đường trịn bán kính RA , RB , RC đơi một tiếp xúc ngồi nhau,
ta xác định bán kính của hai đường trịn Soddy tiếp xúc trong và ngồi với ba
đường trịn đó. Trước hết ta tìm bán kính R của đường trịn Soddy ngoại (tiếp
xúc trong với ba đường tròn). Nhớ rằng trong phương trình (1.6), R, a, b, c là
ẩn, ta ký hiệu S là diện tích của tam giác ABC chưa biết mà các đỉnh là các
tiếp điểm, Hình 1.13. Như vậy theo công thức Heron:
16S 2 = 2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 b2 − a4 − b4 − c4 .

(1.8)