PHÂN DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ đề ôn TUYỂN SINH vào lớp 10 môn TOÁN có lời GIẢI năm học 2020 2021

PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC ..................................................................................................5
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: ......................................................................................................5
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC .............................................7
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH .......................................................................................8
DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ............................................................................14
DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU ....................................................17
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC...........................20
DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN ..............................................................28
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P = m CĨ NGHIỆM .............................................32
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ..........................................................................34
CHỦ ĐỀ 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ...................................................................................................37
I. HỆ KHƠNG CHỨA THAM SỐ .......................................................................................................37
DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y ................................................................37
DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC ..................................................................................................37
DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN .................................................................................................................40
DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI.................................................................................42
II. HỆ CHỨA THAM SỐ .......................................................................................................................44
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ......................................................................47
I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ .....................................................................................................47
II. HỆ CHỨA THAM SỐ....................................................................................................................47
CHỦ ĐỀ 3 – GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 49
I. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ..................................................................49
DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ...................................................................................................49
DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT .........................................................................................................51
DẠNG 3: TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC .................................................................................52
DẠNG 4. TỐN VỀ CẤU TẠO SỐ ..................................................................................................55
DẠNG 5. TOÁN PHẦN TRĂM .........................................................................................................56
DẠNG 6: TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC .................................................................................57
II. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .....................................................59

DẠNG 1: TỐN CHUYỂN ĐỘNG ...................................................................................................59
DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT .........................................................................................................63
DẠNG 3: TOÁN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC .................................................................................66
DẠNG 4: TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC .................................................................................67
I. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ...............................................................68
II. GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ..................................................69
CHỦ ĐỀ 4 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VI-ET ...................................................72
Trang 1


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
I. ĐỊNH LÍ VIÉT ....................................................................................................................................72
DẠNG 1 CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG.........................................72
DẠNG 2: KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM ......................................................74
DẠNG 3: GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO ∆, ∆ ' LÀ BÌNH PHƯƠNG ........................................76
DẠNG 4: TÍNH x12 THEO x1 VÀ x22 THEO x2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax 2 + bx + c .......78
II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT ........................................................................................................80
DẠNG 1: DẠNG TỐN CĨ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ....................................................................80
DẠNG 2. SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 VÀ SỐ ߙ .........................................................................83
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ ....................................................................................................................84
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL.........................................................85
DẠNG 1: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP
ĐIỂM ...................................................................................................................................................85
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT
A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI x A VÀ xB .....................................87
DẠNG 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT
A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI XA VÀ XB ........................90
DẠNG 4: TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A,
B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B. ..................................................................................................94
DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH .....................................................96

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ........................................................................100
I. ĐỊNH LÍ VIÉT ...............................................................................................................................100
II. HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET ....................................................................................................100
III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL ...................................................101
CHỦ ĐỀ 5 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .....................................103
I. PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ ..............................................................................103
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM ........................................103
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG............................................................................103
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG................................................................................................104
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax 4 + bx3 + cx 2 ± bx + a = 0 ...................................................104
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ................................105
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ...........................................................................105
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ............................................................................................106
DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - α )( ax2 + bx + c) = 0 .106
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:...........................................................................107
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ........................................................................109
I. PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ ...........................................................................109
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ .........................................................................................109
Trang 2


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
DẠNG 1: KẾT NỐI CÁC GĨC BẰNG NHAU THƠNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP ...................110
DẠNG 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ...................................................................118
DẠNG 3: TIẾP TUYẾN .................................................................................................................120
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRỊN, CHỨNG MINH ĐƯỜNG KÍNH....123
DẠNG 5: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TA- LÉT VÀ ĐỊNH LÝ TA- LÉT ĐẢO .........................................127
DẠNG 6: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC ...............................................................................132
DẠNG 7: DẠNG TÍNH TOÁN ............................................................................................................137
Hệ thống bài tập trong chủ đề ...............................................................................................................141

CHỦ ĐỀ 7 – BẤT ĐẲNG THỨC ......................................................................................................144
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI.................................................................................................................144
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH ............................................................................................145
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. .....................................145
DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .................147
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐƠI ...............................................................................................................148
DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP ...............................................................149
DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐỐN KÊT QUẢ .......................................................151
DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN ..........................................................................................154
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ......................................................................................................156
III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ...........................................................................159
DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG ..............................................................................................159
DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT ..........................................161
DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca ...........................................................................................................162
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH
KHƠNG ÂM .....................................................................................................................................163
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 .................................165
DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU .........................................................................167
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ........................................................................169
I.
II.

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .........................................................................................................169
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ...............................................................................................171

III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG........................................................................171
CHỦ ĐỀ 8 – PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ ...........................................................................................173
I.

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ..........................................................................173

DẠNG 1: GHÉP THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH ...............................................................................173
DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP ĐƯA VỀ TÍCH .................................................................................174
DẠNG 3: DỰ ĐỐN NGHIỆM ĐỂ TỪ ĐĨ TÁCH THÍCH HỢP ĐƯA VỀ TÍCH ......................177

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .....................................................................................................182
DẠNG 1 : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ........................................182
Trang 3


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
DẠNG 2. BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH ..........184
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH ....................................186
DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY ≥ MỘT SỐ, VẾ KIA ≤ SỐ ĐÓ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA ..188
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ........................................................................191
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ..........................................................................191
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. ................................................................................................192
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ....................................................................................................192

Trang 4


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức:

x ≥ 0
x ≥ 0
⇔

(a > 0) : Điều kiện xác định là 
2
x −a
x ≠ a
 x ≠ a
1

•

1

•
•

x +a

(a > 0) : Điều kiện là x ≥ 0

Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta
thường làm bước đặt điều kiện sau.

Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung.
Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận.
x
2 x
3x + 9
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A =
+
−
x +3

x −3 x −9
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 9
Có A =

=

x
2 x
3x + 9
+
−
x +3
x − 3 ( x − 3)( x + 3)

x( x − 3)

+

2 x( x + 3)

3x + 9

−

( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)

x − 3 x + 2x + 6 x − 3x − 9
3( x − 3)
3

=
=
( x − 3)( x + 3)
( x − 3)( x + 3)
x +3
3
Vậy A =
với điều kiện x ≥ 0,x ≠ 9
x +3
=

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A =

x +1
x −2

+

2

−

9 x −3

x +3 x + x −6

Lời giải
Có x + x − 6 = x + 3 x − 2 x − 6 = x( x + 3) − 2( x + 3) = ( x − 2)( x + 3)
Điều kiện: x ≥ 0,x ≠ 4
Có A =

=
=
=

x +1
2
9 x −3
+
−
x −2
x + 3 ( x − 2)( x + 3)

( x + 1)( x + 3)
2( x − 2)
9 x −3
+
−
( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3)
x + 4 x +3+ 2 x − 4 −9 x +3
( x − 2)( x + 3)

=

x −3 x + 2
( x − 2)( x + 3)

( x − 1)( x − 2)
x −1
=

( x − 2)( x + 3)
x +3

Vậy: A =

x −1
x +3

với điều kiện x ≥ 0,x ≠ 4
Trang 5


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
 x+2
x +1
1 
+
−
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức P = 1: 

x − 1 
 x x −1 x + x + 1
Lời giải

x+2
x +1
1 
+
−
Có P = 1: 


x − 1 
 ( x − 1)(x + x + 1) x + x + 1


x+2
( x − 1)( x + 1)
x + x +1
= 1: 
+
−
 ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) 


x + 2 + x −1− x − x −1
x− x
= 1:
= 1:
( x − 1)(x + x + 1)
( x − 1)(x + x + 1)

= 1⋅

( x − 1)(x + x + 1) x + x + 1
=
. Điều kiện x > 0,x ≠ 1 .
x( x − 1)
x

Vậy P =

x + x +1

với điều kiện x > 0,x ≠ 1 .
x
Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm x ở mẫu, do đó ta làm bước
đặt điều kiện sau.
 a+3 a +2
a+ a  1
1 
−
+
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P = 
 :

a −1 
 ( a + 2)( a − 1) a − 1   a + 1
Lời giải

 ( a + 1)( a + 2)
 

a+ a
a −1
a +1
−
+
Có P = 

 : 

 ( a + 2)( a − 1) ( a − 1)( a + 1)   ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1) 
 a +1

a+ a
a −1 + a + 1
=
−
:
 a − 1 ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1)
 ( a + 1)2

a+ a
2 a
=
−
:
 ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1)
a + 2 a + 1 − a − a ( a − 1)( a + 1)
a +1
⋅
=
( a − 1)( a + 1)
2 a
2 a
Điều kiện a > 0,a ≠ 1
=

Vậy P =

a +1

2 a

với điều kiện a > 0,a ≠ 1 .

Trang 6


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện.
Bước 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn.
Bước 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận.
x +1

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P =

khi:
x −2
b) x = 6 − 2 5
2− 3
d) x =
2

a) x = 36
c) x =
e) x =

2
2+ 3
6

3− 7
3

g) x =

−2 7 −

28 − 21

f) x =

2− 3

4
3+2

−

4
3 −2

3

27 + −1
18

h) x − 7 x + 10 = 0
Lời giải

Điều kiện x ≥ 0,x ≠ 4

a)Có x = 36 thoả mãn điều kiện.
Khi đó

x = 6 thay vào P ta được P =

6 +1 7
= .
6−2 4

7
khi x = 36 .
4
b)Có x = 6 − 2 5 = ( 5 − 1)2 thoả mãn điều kiện

Vậy P =

Khi đó

x=

5 − 1 = 5 − 1(do 5 > 1)

Thay vào P ta được P =

5 −1+1
5 −1− 2

=

5

5 −3

=−

5+ 3 5
4

5+3 5
khi x = 6 − 2 5 .
4
2
2(2 − 3)
4−2 3
=
=
= ( 3 − 1)2 thoả mãn điều kiện.
c)Có x =
4−3
2 + 3 (2 + 3)(2 − 3)

Vậy P = −

Khi đó

x=

3 − 1 = 3 − 1(do 3 > 1) .

Thay vào P ta được P =
Vậy P = −

3 −1+1
3 −1 − 2

=

3
3 −3

=−

1+ 3
2

1+ 3
2
khi x =
2
2+ 3
2

2 − 3 4 − 2 3  3 −1 
d)Có x =
=
=
thoả mãn điều kiện
 2 
2
4




Khi đó

x=

3 −1
3 −1
=
(do 3 > 1)
2
2

Trang 7


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

3 −1
+1
3 +1
4+3 3
2
Thay vào P , ta được P =
=
=−
11
3 −1
3 −5
−2

2
4+3 3
2− 3
Vậy P = −
khi x =
.
11
2
e) Có x =

(

(

)

7 4− 3
6 3+ 7
6
28 − 21
−2 7 −
=
−2 7 −
3− 7
2− 3
2− 3
3− 7 3+ 7

(

)(

)

)

18 + 6 7
− 3 7 = 9 ( Thỏa mãn điều kiện)  x = 3.
9−7
3 +1
Thay vào P , ta được: P =
= 4.
3−2
6
28 − 21
−2 7 −
Vậy P = 4 khi x =
.
3− 7
2− 3
=

f) Có x =

Khi đó

4
4
4
−

=
3+2
3−2

(

) ( 3 + 2 ) = −16 = 16 thỏa mãn điều kiện.
( 3 + 2)( 3 − 2 ) 3 − 4
3−2 −4

x = 4 thay vào P , ta được P =

4 +1 5
= .
4−2 2

5
4
4
khi x =
−
.
2
3+2
3−2
3
27 + 3 −1 3 − 1 2 1
g) Có x =
=
= = thỏa mãn điều kiện.

18
18 18 9
1
+1
4
1
Khi đó x = , thay vào P , ta được P = 3
=− .
1
5
3
−2
3
3
3
4
27 + −1
Vậy P = − khi x =
.
5
18
Vậy P =

h) Có x − 7 x + 10 = 0 ⇔ x − 2 x − 5 x + 10 = 0 ⇔

⇔ x = 2, x = 5 ⇔ x = 4 (loại), x = 25 (thỏa mãn).
5 +1 6
Khi đó x = 5 , thay vào P ta được P =
= = 2.
5−2 3

Vậy P = 2 khi x thỏa mãn x − 7 x + 10 = 0.
DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung
Trang 8

(

x −2

)(

)

x −5 =0


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Cho biểu thức P =

x + x +1
x

. Tìm x để P =

13
.
3

Lời giải

Điều kiện: x > 0 .

(

)

3 x + x + 1 13 x
13
x + x + 1 13
⇔
=
⇔
=
3
3
x
3 x
3 x
⇔ 3x + 3 x + 3 = 13 x ⇔ 3 x − 10 x + 3 = 0 ⇔ 3 x − 9 x − x + 3 = 0

Có P =

⇔3 x

(

) (

x −3 −

)

x −3 = 0⇔

(

)(

)

x − 3 3 x −1 = 0

 x =3
x =9

⇔
⇔
1 (thỏa mãn điều kiện).
 x=1
x =

9

3
1
13
Vậy x = 9, x = thì P =

.
9
3
Ví dụ 2. Cho biểu thức M =

x
3
. Tìm x để M =
.
8
x −2
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 4 .

x
Có M =
⇔
8

3

x
=
⇔
8
x −2
8

x

24

(

x −2

)

=

⇔ 24 = x − 2 x ⇔ x − 2 x + 1 = 25 ⇔

⇔ x − 1 = ±5 ⇔ x = −4 (loại),
x
Vậy x = 36 thì M =
.
8

8

(

(

(

x −2
x −2

)

)

)

2

x − 1 = 25

x = 6 ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều kiện).

Phương trình có chứa trị tuyệt đối
f ( x ) = a (với a > 0 và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f ( x ) = ± a.
•
•

f ( x ) = g ( x ) (với g ( x) là một biểu thức chứa x ):

Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Xét f ( x) ≥ 0 thì f ( x) = f ( x ) nên ta được f ( x) = g ( x ).
Giải và đối chiếu điều kiện f ( x) ≥ 0 .
Trường hợp 2: Xét f ( x) < 0 thì f ( x ) = − f ( x) nên ta được − f ( x) = g ( x ).

Giải và đối chiếu điều kiện f ( x) < 0 .
Trang 9


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
Cách 2: Đặt điều kiện g ( x ) ≥ 0 và giải hai trường hợp f ( x ) = ± g ( x) .

x +2

Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A =

x −5

và B =

x +2
x −5

x −5

. Tìm x để A = B. x − 4 .

Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 25.
Có A = B. x − 4 ⇔

1

x−4

=

x −5

⇔ x − 4 = x + 2.

Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 thì x − 4 = x − 4 nên ta được:

(

x−4= x +2⇔ x− x −6=0⇔

x −3

)(

)

x + 2 = 0 ⇔ x = 9 (thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét x − 4 < 0 ⇔ x < 4 thì x − 4 = − x + 4 nên ta được:

−x + 4 = x + 2 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔

(

)(

)

x −1

x + 2 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).

x + 2 > 0 với mọi x ≥ 0, x ≠ 25 nên x − 4 = x + 2 .

Cách 2: Vì


 x−4= x +2
x − x − 6 = 0
⇔
⇔
⇔

 x − 4 = − x − 2
 x + x − 2 = 0


(
(

)(
x − 1)(

) ⇔  x = 9 (thỏa

x =1
x + 2) = 0

x −3

x +2 =0

mãn).
Cách 3: Nhận xét x − 4 =

(

nên x − 4 =

x −2

x+2⇔

x −2

)(

(

)

x +2 =

x −2

(

)

x +2 = x+2⇔

x +2

)

x − 2 =1

 x = 3 x = 9
⇔ x − 2 = ±1 ⇔ 
⇔
(thỏa mãn).
x
=
1

 x = 1
Vậy x = 9, x = 1 thì A = B. x − 4 .
Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức A =

x−3
và B =
x −1

1
. Tìm x để A = B. x − 3
x −1
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1 .
Có A = B.

x −3 ⇔

x −3
=
x −1

x −3
x −1

⇔ x−3=

Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 ⇔ x ≥ 9 thì
x −3 = x −3 ⇔ x − x = 0 ⇔ x
Trường hợp 2: Xét

nên ta được

(

x −3.
x − 3 = x − 3 nên ta được

)

x − 1 = 0 ⇔ x = 0, x = 1 (loại).

x − 3 < 0 ⇔ x < 3 ⇔ x < 9 thì

x − 3 = −x + 3 ⇔ x + x − 6 = 0 ⇔

(

x −3 = − x +3

x −2

⇔ x = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn).

Trang 10

)(

)

x +3 = 0


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
Vậy x = 4 thì A = B.

x −3 .

Cách 2: Điều kiện: x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Khi đó

x −3 = x−3


x x −1 = 0
 x −3 = x −3
 x− x =0

 x = 0, x = 1
⇔
⇔
⇔
⇔

 x=4
x −2
x +3 = 0
 x − 3 = − x + 3
 x + x − 6 = 0

Kết hợp các điều kiện được x = 4.
Đưa về bình phương dạng m 2 + n 2 = 0 (hoặc m 2 + n = 0 )
Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng
m 2 + n 2 = 0 (hoặc m 2 + n = 0 )

(

(

Bước 2: Lập luận m 2 ≥ 0, n 2 ≥ 0 (hoặc

)

)(

)

n ≥ 0 ) nên

m 2 + n 2 ≥ 0 (hoặc m 2 + n ≥ 0 ).

Bước 3: Khẳng định m 2 + n 2 = 0 (hoặc m 2 + n = 0 ) chỉ xảy ra khi đồng thời
m = 0

n = 0
Bước 4: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận.

(
Ví dụ 1. Cho biểu thức P =

)

x +1

2

. Tìm x để P. x = 6 x − 3 − x − 4 .

x

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 4.
Có P. x = 6 x − 3 −

(
x−4 ⇔

)

x +1

2

. x = 6 x −3− x − 4

x

⇔ x + 2 x +1 = 6 x − 3 − x − 4 ⇔ x − 4 x + 4 + x − 4 = 0

(
Vì ( x − 2 )

)

Do đó

(

2

x − 2 + x − 4 = 0.

⇔

2

≥ 0, x − 4 ≥ 0 nên

(

)

2

x − 2 + x − 4 ≥ 0.

 x − 2 = 0
2
x − 2 + x − 4 = 0 chỉ xảy ra khi 
⇔ x = 4 (thỏa mãn).
 x − 4 = 0

)

Vậy x = 4 thì P. x = 6 x − 3 − x − 4.

Ví dụ 2. Cho biểu thức P =

x+3
. Tìm x để P. x + x − 1 = 2 3x + 2 x − 2 .
x
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 2.
Có P. x + x − 1 = 2 3x + 2 x − 2 ⇔

x+3
. x + x − 1 = 2 3x + 2 x − 2

x

(

) (

)

⇔ x + 3 + x − 1 = 2 3x + 2 x − 2 ⇔ x + 3 − 2 3x + x − 1 − 2 x − 2 = 0

(
⇔(

) (
3 ) + ( x − 2 − 1)

)

⇔ x − 2 3x + 3 + x − 2 − 2 x − 2 + 1 = 0
x−

2

2

= 0.
Trang 11


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

Vì

(

Do đó

x− 3

(

)

2

≥ 0,

x− 3

(

)

2

x − 2 − 1 ≥ 0 nên

2

) +(

)

(

x− 3

2

) +(

)

2

x − 2 − 1 ≥ 0.

2

x − 2 − 1 = 0 chỉ xảy ra khi
 x = 3
⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện).

 x − 2 = 1

Vậy x = 3 thì P. x + x − 1 = 2 3x + 2 x − 2.

x −1
. Tìm x để 81x 2 − 18 x = A − 9 x + 4.
x

Ví dụ 3. Cho biểu thức A =

Lời giải
Điều kiện: x > 0.
Có 81x 2 − 18 x = A − 9 x + 4 ⇔ 81x 2 − 18 x =

x −1
−9 x +5
x

⇔ 81x 2 − 18 x + 1 =

x −1 9x 5 x
−
+
x
x
x

2

⇔ ( 9 x − 1) =
2

⇔ ( 9 x − 1) +
⇔ ( 9 x − 1)

Vì ( 9 x − 1)

2

2

Do đó ( 9 x − 1)

2

9x − 6 x +1
=0
x

(3
+

(3
≥ 0,

(3
+

x −1
−9 x + 4
x

)

x −1
x

)

x −1

= 0.

2

≥ 0 nên ( 9 x − 1)

x

)

x −1
x

2

2

2

(3
+

)

x −1
x

2

≥ 0.

 9 x − 1 = 0
1
= 0 chỉ xảy ra khi 
⇔ x = (thỏa mãn điều kiện).
9
3 x − 1 = 0

1
thì 81x 2 − 18 x = A − 9 x + 4.
9
Đánh giá vế này ≥ một số, vế kia ≤ số đó
Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng
A2 ± m ≥ 0; − A2 ± m ≤ 0 ± m.
Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:
a+b
• Bất đẳng thức Cosi: a + b ≥ 2 ab hay ab ≤
∀ a ≥ 0, b ≥ 0.
2
Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Vậy x =

•

2

(

Bất đẳng thức Bunhia: ( a.x + b. y ) ≤ a 2 + b 2

)( x

2

+ y 2 ) ∀ a, b, x, y.

x y
= .
a b
•
a + b ≥ a + b ∀ a ≥ 0, b ≥ 0.
Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0 .
Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra.
Dấu “=” xảy ra khi

Trang 12


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

4
và B = x x − x . Tìm x để x 2 + 6 = A.B + x − 1 + 3 − x .
x −1

Ví dụ 1. Cho biểu thức A =

Lời giải
Điều kiện: 1 < x ≤ 3.
Có x 2 + 6 = A.B + x − 1 + 3 − x
4
⇔ x2 + 6 =
.x x − 1 + x − 1 + 3 − x
x −1

(

)

⇔ x2 − 4 x + 6 = x −1 + 3 − x

(*)
2

2

* Có VT (*) = x − 4 x + 4 + 2 = ( x − 2 ) + 2 ≥ 2.
* Chứng minh VP(*) ≤ 2 :
Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi)
2

Xét  VP (*)  = x − 1 + 2 ( x − 1)( 3 − x ) + 3 − x = 2 + 2 ( x − 1)( 3 − x )
( x − 1) + ( 3 − x ) = 4  VP * ≤ 2.
≤ 2 + 2.
( )
2
Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki)

2

(

Xét  VP (*)  = 1. x − 1 + 1. 3 − x

2

) ≤ (1 + 1 ) ( x − 1 + 3 − x ) = 4  VP (*) ≤ 2.
2

2

Như vậy VT(*) ≥ 2, VP (*) ≤ 2 nên (*) chỉ xảy ra khi

 x − 2 = 0
⇔ x = 2 (thỏa mãn).

 x − 1 = 3 − x
Vậy x = 2 thì x 2 + 6 = A.B +

Ví dụ 2. Cho biểu thức A =

x −1 + 3 − x .

x
. Tìm x để A.( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x .
x −2
Lời giải

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9, x ≠ 4.
Có A.( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x

x
.( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x
x −2

⇔

⇔ − x + 6 x − 4 = x + 16 + 9 − x
Có VT(*) = − x + 6 x − 9 + 5 = −

(

)

(*)

2

x − 3 + 5 ≤ 5.

Ta sẽ chứng minh VP (*) ≥ 5
2

Cách 1: (Chỉ ra [ VP(*) ] ≥ 25 )
2

Xét [ VP(*)] = x + 16 + 2

= 25 + 2
Cách 2: (Sử dụng

( x + 16 )( 9 − x ) + 9 − x
( x + 16 )( 9 − x ) ≥ 25  VP(*) ≥ 5.

a + b ≥ a + b ∀ a ≥ 0, b ≥ 0 )

Có VP(*) = x + 16 + 9 − x ≥ x + 16 + 9 − x = 25 = 5  VP(*) ≥ 5.
Như vậy VT(*) ≤ 5, VP(*) ≥ 5 nên (*) chỉ xảy ra khi

Trang 13


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

Do đó (*) chỉ xảy ra khi 


x −3 = 0

( x + 16 )( 9 − x ) = 0

⇔ x = 9 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x = 9 thì A.( x − 2) + 5 x = x + 4 + x + 16 + 9 − x .

DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đưa về bất phương trình dạng

f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
> 0;
≥ 0;
< 0;
≤0
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)

Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định.
Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng

f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
> 0;
≥ 0;
< 0;
≤0
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
Bước 3: Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận.
Một số tình huống thường gặp

−3
+)
> 0 ⇔ −3 và x − 2 cùng dấu.
x −2
Vì −3 < 0 nên ta được x − 2 < 0 và giải ra 0 ≤ x < 4 .
+)
Vì
+)

+)

x −3
≤0
x +2
x + 2 > 0 nên ta được

x − 3 ≤ 0 và giải ra 0 ≤ x ≤ 9 .

x
< 0 ⇔ x và x − 4 trái dấu, rồi giải hai trường hợp:
x −4
 x < 0
trường hợp này vô nghiệm.

 x − 4 > 0
 x > 0
trường hợp này giải được 0 < x < 16 .

 x − 4 < 0
x −1

≥ 0 giải hai trường hợp:
x −5
 x − 1 ≥ 0
trường hợp này giải được x > 25 .

 x − 5 > 0
 x − 1 ≤ 0
trường hợp này giải được 0 ≤ x ≤ 1 .

x
−
5
<
0


Ví dụ 1. Cho biểu thức A =

x +1
. Tìm x ∈ ℤ để A < 1.
x −2
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 4.
Có A < 1 ⇔

x +1
−1 < 0 ⇔
x −2

x +1
x −2
−
<0⇔
x −2
x −2

Trang 14

3
<0
x −2


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

⇔ 3 và x − 2 trái dấu, mà 3 > 0 nên ta được
x − 2 < 0 ⇔ x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 4.
Do x ∈ ℤ  x ∈ {0; 1; 2; 3} (thỏa mãn điều kiện).
Vậy x ∈ {0; 1; 2; 3} là các giá trị cần tìm.

x −1
2
. Tìm x để M ≥ .
3
x +2

Ví dụ 2. Cho biểu thức M =

Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0.
Có M ≥

(
(

3
x −1 2
− ≥0⇔
x +2 3
3

2
⇔
3

⇔ x − 7 ≥ 0 (do
Vậy x ≥ 49 thì M ≥

) − 2(
x + 2) 3(

)≥0⇔
x + 2)
3(

x −1

x +2

x −7
x +2

x + 2 > 0 ) ⇔ x ≥ 7 ⇔ x ≥ 49 (thỏa mãn điều kiện).

2
3

Ví dụ 3. Cho biểu thức P =

x −2
. Tìm x để
x +1

1
.
2

P<

P < m ( m > 0 ) , trước hết ta cần giải điều kiện phụ P ≥ 0 để

Chú ý: Dạng

)

≥0

P xác định, sau đó mới

2

giải P < m .

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0.
* Để

x −2
≥0
x +1
x + 1 > 0 ) ⇔ x ≥ 2 ⇔ x ≥ 4 (thỏa mãn điều kiện).

P xác định ta cần có P ≥ 0 ⇔
⇔ x − 2 ≥ 0 (do

* Khi đó

⇔

P<

1
1
⇔P< ⇔
2
4

3 x −9
4

(

)

x +1

(
(

4
x −2 1
− <0⇔
x +1 4
4

< 0 ⇔ 3 x − 9 < 0 (do

) − 1(
x + 1) 4 (

x −2

x +1 > 0 ) ⇔

) <0
x + 1)

x +1

x < 3 ⇔ 0 ≤ x < 9.

Kết hợp điều kiện x ≥ 4 , ta được 4 ≤ x < 9 .
2

2

2

2

2

Đưa về bình phương dạng m ≤ 0; −m ≥ 0; m +n ≤ 0; m + n ≤ 0 .
Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa bất phương trình về dạng

m2 ≤ 0; −m2 ≥ 0; m2 +n2 ≤ 0; m2 + n ≤ 0
Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra:
• Dạng m 2 ≤ 0 :
Lập luận: Vì m 2 ≥ 0 nên khẳng định m 2 ≤ 0 chỉ xảy ra khi m 2 = 0 .
• Dạng − m 2 ≥ 0 :
Lập luận − m 2 ≤ 0 nên khẳng định − m 2 ≥ 0 chỉ xảy ra khi m = 0 .
• Dạng m 2 + n 2 ≤ 0 (hoặc m 2 + n ≤ 0 ):

Trang 15


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
n ≥ 0 ) nên m 2 + n 2 ≥ 0 (hoặc m 2 + n ≥ 0 )

Lập luận m 2 ≥ 0, n 2 ≥ 0 (hoặc

nên khẳng định m 2 + n 2 ≤ 0 (hoặc m 2 + n ≤ 0 ) chỉ xảy ra khi đồng thời
m = 0

n = 0
Bước 3: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận.

x +4
và B =
x −1

Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A =

1
x
A
. Tìm x để + 5 ≤ .
4
B
x −1
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1.
Có

1
x +4
x
:

⇔ +5≤ x +4
4
x −1
x −1

x
A
x
+5≤ ⇔ +5≤
4
B
4

x−4 x +4
≤0⇔
4

(
Mà ( x − 2 ) ≥ 0 nên ( x − 2 )
⇔

2

x −2
2

)

2

≤ 0,

≤ 0 chỉ xảy ra khi

x −2=0

⇔ x = 2 ⇔ x = 4 (thỏa mãn).
Vậy x = 4 thì

x
A
+5≤ .
4
B

Ví dụ 2. Cho biểu thức P =

a +1
1
a +1
. Tìm a để −
≥ 1.
P
8
2 a

Lời giải
Điều kiện: a > 0 .
1
a +1

2 a
a +1
16 a
( a + 1)2 8( a + 1)
Có −
≥1⇔
−
−1 ≥ 0 ⇔
−
−
≥0
P
8
8
8( a + 1) 8( a + 1) 8( a + 1)
a +1
⇔

Vì

−a + 6 a − 9
8( a + 1)
−( a − 3)2

≥0⇔

−( a − 3)2
8( a + 1)

≥0

≤ 0 với mọi a > 0 nên

−( a − 3)2

8( a + 1)
8( a + 1)
(thoả mãn điều kiện)
1
a +1
≥1
Vậy a = 9 thì −
P
8
4.3 Tìm x để A = A, A = −A, A > A, A > −A

Ghi nhớ:
• A =A⇔A≥0
•

A = −A ⇔ A ≤ 0

Ví dụ 1: Cho biểu thức P =

x
x −2

≥ 0 chỉ xảy ra khi

•

A >A⇔A<0

•

A > −A ⇔ A > 0

. Tìm x để P > P

Điều kiện: x ≥ 0,x ≠ 4 .
Có P > P khi P < 0 ⇔

x
x −2

a −3= 0 ⇔ a = 3⇔ a = 9

< 0 ⇔ x, x − 2 trái dấu.

Trang 16


•

•

PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
 x > 0
x
>

0
x > 0

⇔
⇔
⇔ 0 < x < 4 (thoả mãn điều kiện)

x < 4
 x < 2
 x − 2 < 0
 x < 0
(loại).

 x − 2 > 0

Vậy 0 < x < 4 thì P > P

Ví dụ 2. Cho biểu thức A =

x−6 x +9
. Tìm x ∈ ℤ và x lớn nhất để A = − A
x−9
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 9
Có A =

x−6 x +9
=
x −9

(
(

x −3

x −3

)(

)

2

x +3

)

=

x −3
x +3

Cách 1 (sử dụng A = − A ⇔ A ≤ 0

x −3
≤0
x +3
Mà x + 3 > 0 nên ta được x − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x ≤ 9
Kết hợp với điều kện, ta được 0 ≤ x < 9 . Do x ∈ ℤ và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.

Có A = − A ⇔ A ≤ 0 ⇔

Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối)

x −3
x −3
=−
⇔
x +3
x +3

Có A = − A ⇔

x −3≥ 0 ⇔

Trường hợp 1: Xét

x −3 = − x +3

x ≥ 3 ⇔ x > 9 (do x ≠ 9 ) thì

x − 3 = − x + 3 ⇔ x − 3 = − x + 3 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9 (loại)
x −3< 0 ⇔

Trường hợp 2: Xét

x < 3 ⇔ 0 ≤ x < 9 (do x ≠ 9 ) thì

x − 3 = − x + 3 ⇔ − x + 3 = − x + 3 ⇔ 0 = 0 (ln đúng)

Do đó ta được 0 ≤ x < 9 . Do x ∈ ℤ và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8.
Vậy x = 8 là giá trị cần tìm

DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU
Để chứng minh X > Y ( X ≥ Y ) ta chứng minh hiệu X − Y > 0 ( X − Y ≥ 0 )
Để chứng minh X < Y ( X ≤ Y ) ta chứng minh hiệu X − Y < 0 ( X − Y ≤ 0 )
Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu X − Y
Để so sánh P với P 2 ta xét hiệu P − P 2 = P (1 − P ) rồi thay x vào và xét dấu
• Để so sánh P và

P− P = P

(

Sau đó nhận xét

P (khi

)

P −1 = P.

P ≥ 0,

P có nghĩa) ta biến đổi hiệu
P −1

P +1

P + 1 ≥ 0 nên ta cần xét dấu của P − 1.

Trang 17


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

a+3

Ví dụ 1. Cho biểu thức A =

2

(

)

a +1

. Chứng minh A ≥ 1.

Lời giải

Điều kiện: a ≥ 0.

( a + 1)
2 ( a + 1)
2 ( a + 1) 2 ( a + 1)
a − 2 a + 1 ( a − 1)
=
=

≥ 0 ∀a ≥ 0  A ≥ 1 dpcm.
2 ( a + 1) 2 ( a + 1)
a+3

Xét hiệu A − 1 =

2

a+3

−1 =

−

2

x −1

Ví dụ 2. Cho biểu thức A =

x +3

và B =

Mà

x −1
x +3

x − x +1

x −1
=

x − 1 và

>0 ⇔

x + 3 > 0 nên ta được

Xét hiệu B − 3 =

. Khi A > 0, hãy so sánh B với 3.

x + 3 cùng dấu.

x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇔ x > 1 (thoả mãn).
−3 =

x−4 x +4

x −1
Vậy khi A > 0 thì B ≥ 3.

Ví dụ 3. Cho biểu thức A =

x −1

Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 1.

Khi A > 0 ⇔

x − x +1

=

(

)

x − x + 1 3. x − 1
−
x −1
x −1

(

x −1
x −5

x −2

)

2

x −1

và B =

≥ 0∀x > 1 nên B ≥ 3.

x +6


x −5  x −5
. Chứng minh  A.B +
> 2.
.
x −1
x −5
x

Lời giải

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1, x ≠ 25 .

 x −1 x + 6 x − 5  x − 5
x −5  x −5

− 2 = 
⋅
+
−2
Xét hiệu  A.B +
⋅
⋅
x −5
x
x − 5 

x

 x − 5 x −1
 x +6
x −5  x −5
x + x +1 x − 5
x + x +1
= 
⋅+
−2 =
⋅
−2=
−2
 ⋅
x −5
x
x −5
x
x
 x −5
2

1 3

x−  +

x − x +1 
2 4
=
=

> 0 , với mọi x > 0, x ≠ 1, x ≠ 25
x
x
Trang 18


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
x −5  x −5

Vậy  A.B +
> 2.
⋅
x −5
x


Ví dụ 4. Cho hai biểu thức A =

2 x +1
2 x +1
và B =
.
3 x +1
x +1

B
và 3 .
A

So sánh giá trị của biểu thức

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0 .
B
2 x +1 2 x +1
2 x +1 3 x +1
Xét hiệu − 3 =
:
−3 =
⋅
−3
A
x +1 3 x +1
x +1 2 x +1
=

Vậy

(

)

3 x +1 3 x +1
−
=
x +1
x +1

−2
< 0 v ớ i m ọi x ≥ 0 .

x +1

B
< 3.
A
x +1
. So sánh P và P 2 .
x −2
Lời giải

Ví dụ 5. Cho biểu thức P =
Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 4 .

x +1 
x +1 
1 −
=
x −2
x − 2 

Xét hiệu P − P 2 = P(1 − P) =

=

−3

(

(

x + 1 −3
⋅
x −2 x −2

) < 0 ∀ x ≥ 0, x ≠ 4 nên P < P

x +1

x −2

)

2

2

.

Vậy P < P 2 .
Ví dụ 6. Cho biểu thức P =

x −2
. Khi
x

P xác định, hãy so sánh

P và P .

Lời giải

Điều kiện: x > 0 .

x −2
≥ 0 , mà x > 0 nên x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 .
x
1− P
Xét hiệu P − P = P (1 − P ) = P .
.
1+ P
Do P ≥ 0 , 1 + P > 0
2
1 7

x
−
 +
x − 2 x − x + 2 
2 4
và 1 − P = 1 −
=
=
> 0, ∀x ≥ 4.
x
x
x
suy ra P − P ≥ 0 nên P ≥ P .
Vậy P ≥ P .
P xác định khi P ≥ 0 ⇔

Trang 19

PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
b
6.1 Dựa vào x ≥ 0 để Tìm giá trị lớn nhất của P = a +
(b > 0, c > 0)
x +c
b
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = a −
(b > 0, c > 0)
x +c
Bước 1. Đặt điều kiện x ≥ 0 và khử x ở tử để đưa P , Q về dạng trên.
b
b
Bước 2. Chuyển từng bước từ x ≥ 0 sang P ≤ a + ; Q ≥ a − như sau:
c
c
Max P
Min Q
Có

x ≥ 0 ∀x ≥ 0

Có

 x + c ≥ c ∀x ≥ 0


 x + c ≥ c ∀x ≥ 0

b
b
≤ ∀x ≥ 0
x +c c

a+

x ≥ 0 ∀x ≥ 0



b
b
≤ a + ∀x ≥ 0
c
x +c

b
b
≤ ∀x ≥ 0
x +c c

−

b
 P ≤ a + ∀x ≥ 0 .
c

a−

b
b
≥ − ∀x ≥ 0
c
x +c
b
b
≥ a − ∀x ≥ 0
c
x +c

b
 Q ≥ a − ∀x ≥ 0.
c

Bước 3: Kết luận MaxP = a +

b
b
, MinQ = a −
khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
c
c

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Q=

x −2

. Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x +1

2
+ 3P
P+3
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0
* Tìm MinP:
x +1− 3
Có P =
=
x +1

x +1
3
3
−
= 1−
x +1
x +1
x +1

x ≥ 0 ∀ x ≥ 0  x +1 ≥ 1 ∀ x ≥ 0
3
3
3

≤ ∀x ≥ 0  −

≥ −3 ∀x ≥ 0
x +1 1
x +1
3
 1−
≥ 1 − 3 ∀x ≥ 0  P ≥ −2 ∀x ≥ 0
x +1
Vậy Min P = −2 khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
* Tìm MinQ:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cơ Si)
Do

Trang 20


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

2
 1

+ 3P = 2 
+ ( P + 3)  + P − 6
Có Q =
P+3
P+3

1
1
+ ( P + 3) ≥ 2
⋅ ( P + 3) = 2

P+3
P+3
Vì P ≥ −2  P − 6 ≥ −2 − 6 = −8  Q ≥ 4 − 8 = −4
Vậy MinQ = −4 khi P = −2 hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay P = −2 được Q = −4 nên ta dự đoán MinQ = −4 )
( 3P + 4 )( P + 3) = 3P 2 + 13P + 14
2
2
Xét hiệu Q − ( −4 ) =
+ 3P + 4 =
+
P+3
P+3
P+3
P+3
2
3P + 6 P + 7 P + 14 3P ( P + 2 ) + 7 ( P + 2 ) ( P + 2 )( 3P + 7 )
=
=
=
P+3
P+3
P+3
Do P ≥ −2  P + 2 ≥ 0, P + 3 > 0, 3P + 7 > 0  Q − ( −4 ) ≥ 0  Q ≥ −4
Do P ≥ −2  P + 3 > 0 

Vậy MinQ = −4 khi P = −2 hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =

N =M+

2 x +6
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x +2

12
.
M
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0.
* Tìm Max M:

(

)

2 x +4+2 2 x +2
=
+
x +2
x +2

2
2
= 2+
.
x +2
x +2

2
2
Do x ≥ 0 ∀x ≥ 0  x + 2 ≥ 2 ∀x ≥ 0 
≤ ∀x ≥ 0
x +2 2
2
 2+
≤ 2 + 1 ∀x ≥ 0  M ≤ 3 ∀x ≥ 0.
x +2
Vậy MaxM=3 khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
* Tìm MinN:
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi)
12  4M 12  M
=
+ − ⋅
Có N = M +
M  3
M 3
2 x +6
4 M 12
4 M 12
Do 2 x + 6 > 0, x + 2 > 0  M =
>0
+
≥2
⋅
= 8⋅
3
M
3 M

x +2
M
≥ −1  N ≥ 8 − 1 = 7 ⋅
Vì M ≤ 3  −
3
Vậy MinN = 7 khi M = 3 hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
Cách 2 (Thay M = 3 được N = 7 nên ta dự đoán MinN = 7 )
12
M 2 − 7 M + 12 M 2 − 3M − 4M + 12
Xét hiệu N − 7 = M +
−7 =
=
M
M
M
M ( M − 3) − 4( M − 3) ( M − 3)( M − 4)
=
=
⋅
M
M
Do 0 < M ≤ 3  M − 3 ≤ 0, M − 4 < 0, M > 0  N − 7 ≥ 0  N ≥ 7 ⋅
Vậy MinN = 7 khi M = 3 hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Có M =

Trang 21


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN

5
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x +3

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

B = 3A +

10
.
A
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0 .
*) Tìm MaxA:
Có x ≥ 0∀x ≥ 0

 x + 3 ≥ 3∀x ≥ 0 

5
5
≤ ∀x ≥ 0
x +3 3

5
 A ≤ ∀x ≥ 0
3
5
Vậy MaxA = khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
3

+) Tìm MinB:
Cách 1. (Dùng bất đẳng thức Cô si)
10  18 A 10  3 A
Có B = 3 A + = 
+ −
A  5
A 5
Do 5 > 0, x + 3 > 0  A =

5
18 A 10
18 A 10
>0
+ ≥2
. = 12
5
A
5 A
x +3

5
3A
−
≥ −1  B ≥ 12 − 1 = 11 .
3
5
5
Vậy Min B = 11 khi A = hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
3
5

Cách 2. (Thay A = được B = 11 nên ta dự đoán MinB = 11)
3
10
3 A2 − 11 A + 10 3 A2 − 5 A − 6 A + 10
Xét hiệu B − 11 = 3 A + − 11 =
=
A
A
A
A ( 3 A − 5 ) − 2 ( 3 A − 5 ) ( 3 A − 5 )( A − 2 )
=
=
A
A
5
Do 0 ≤ A ≤  3 A − 5 ≤, A − 2 < 0, A > 0  B − 11 ≥ 0  B ≥ 11 .
3
5
Vậy Min B = 11 khi A = hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
3
Vì A ≤

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = −
T = 14 S +

2
. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x +4

3

.
S +1

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0
* Tìm MinS:
Có
−

x ≥ 0 ∀x

 x +4

2
1
≥ − ∀x ≥ 0
2
x +4

∀x ≥ 0 
S≥−

2
2
≤ ∀x ≥ 0
x +4 4

1
∀x ≥ 0
2

Trang 22


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
1
Vậy MinS = − khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
2
* Tìm MinT:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cơsi)
3 

Có T = 12 ( S + 1) +
+ 2 S − 12
S + 1 

1
1
3
3
Do S ≥ −  S + 1 ≥ > 0  12 ( S + 1) +
≥ 2 12 ( S + 1) .
= 12
2
2
S +1
S +1
1
Vì S ≥ −  2 S ≥ −1
 T ≥ 12 − 1 − 12 = −1

2
1
Vậy MinT = −1 khi S = − hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
2
1
Cách 2: (Thay S = − được T = −1 nên ta dự đoán MinT = −1 )
2
3
14S 2 + 15S + 4 14S 2 + 7 S + 8S + 4
Xét hiệu T − ( −1) = 14S +
+1 =
=
S +1
S +1
S +1
7 S ( 2 S + 1) + 4 ( 2 S + 1) ( 2 S + 1)( 7 S + 4 )
=
=
S +1
S +1
1
Do S ≥ −  2 S + 1 ≥ 0, 7 S + 4 > 0, S + 1 > 0
 T − ( −1) ≥ 0  T ≥ −1
2
1
Vậy MinT = −1 khi S = − hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
2
6.2. Dùng bất đẳng thức Côsi
Bước 1: Khử x ở trên tử.
Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp.

Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi a + b ≥ 2 ab ∀a,b ≥ 0 . Dấu " = " xảy ra khi a = b .
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

x − x + 10
x +2
Lời giải

Điều kiện: x ≥ 0 .

(

)(

)

x −2
x +2
x − 4 − x − 2 + 16
x +2
16
=
−
+
x +2
x +2
x +2
x +2
16
= x −3+
(Mẫu là x + 2 nên x − 3 cần cộng thêm 5 )

x +2
16
Xét A + 5 = x + 2 +
.
x +2
16
Vì x + 2 > 0,
> 0 ∀x ≥ 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
x +2

Có A =

(

)

16
16
≥2
x +2 .
= 2 16 = 8.
x +2
x +2
Suy ra A + 5 ≥ 8  A ≥ 3 .
2
16
Vậy MinA = 3 khi
x +2 =
⇔ x + 2 = 16 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)
x +2

(

)

(

x +2 +

(

)

)

(

)

Trang 23


PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
x
Ví dụ 2. Cho x > 25 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
x −5
Lời giải
Với x > 25 thì M ln xác định.
x
x − 25 + 25 x − 25

25
25
Có M =
.
=
=
+
= x +5+
x −5
x −5
x −5
x −5
x −5
25
Xét M − 10 = x + 5 +
.
x −5

(

)

x − 5 > 0,

Với x > 25 thì

x −5+

25

(

≥2

25
x −5

)

x −5 .

x −5
Suy ra M – 10 ≥ 10 => M ≥ 20.

x −5=

Vậy MinM = 20 khi

> 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
25

x −5

25
x −5

= 2 25 = 10

⇔

(

2

)

x −5

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

= 25 ⇔ x = 100 ( thỏa mãn điều kiện).

x+3
x

Lời giải
Điều kiện: x > 0.
x+3
3
Ta có P =
= x+
x
x
3
Vì x > 0,
> 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có
x

x+

3
x

≥2

x.

3
x

= 2 3 => P ≥ 2 3
x=

Vậy MinP = 2 3 khi

3
x

⇔ x = 3 ( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

x −1
x

−9 x

Lời giải
Điều kiện: x > 0.

x −1

Có A = A =
Vì 9 x > 0,

9 x+

1

x
1
x

−9 x =

x
x

−

1

 1

− 9 x = 1 −  +9 x  .

 x
x

> 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có


1 
= 2.3 = 6 ⇒ −9 x +  ≤ −6

x
x
x 

1 
⇒ 1 − 9 x +  ≤ 1 − 6 = −5 ⇒ P ≤ −5.

x 
≥ 2 9 x.

1

Trang 24


Vậy MaxA = – 5 khi 9 x =

PHÂN DẠNG BT ƠN TUYỂN SINH 10 TỐN
1
⇔ 9x = 1 ⇔ x = ( thỏa mãn điều kiện).
9
x

1

6.3. Đưa về bình phương
 A2 ± m ≥ 0 ± m; A2 + B 2 ± m ≥ 0 + 0 ± m.
 − A2 ± m ≤ 0 ± m; − A2 − B 2 ± m ≤ 0 + 0 ± m.
Ví dụ 1. Cho biểu thức P =

x+2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = P. x + x − 2 2 x − 2 x − 1.
x

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1.
x+2
. x + x − 2 2x − 2 x −1
x

Có T = P. x + x − 2 2 x − 2 x − 1 =

(

) (

) (

= x + 2 − 2 2x + x −1− 2 x −1 +1 =

x− 2

2

) +(

)

2

x − 1 − 1 ≥ 0.

 x = 2
Vậy MinT = 0 khi 
⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện).
 x − 1 = 1

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B − A với A =

x3 − x + 2 x − 2
, x ≥ 0, x ≠ 4.
x +2

B=

A=

2x − 3 x − 2
x −2

=

2x − 4 x + x − 2
x −2

=

Lời giải
2 x x −2 + x −2

(

(

)

x + 2 ( x − 1)
x +2

)

x −2

x3 − x + 2 x − 2 x x − x + 2 x − 2
=
=
x +2
x +2

B=
=

2x − 3 x − 2
và
x −2

= 2 x + 1.

x ( x − 1) + 2 ( x − 1)
x +2

= x − 1.

Suy ra C = B − A = x − 2 x − 2 =

(

)

2

x − 1 − 3 ≥ −3.

Vậy MinC = −3 khi x = 1 (thỏa mãn).

6.4. Tìm x ∈ N để biểu thức A =
Chú ý: Tính chất a ≥ b 

1
(m ∈ N * ) lớn nhất, nhỏ nhất
x −m

1 1
≤ chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm.
a b

Ví dụ:
+)
+)

1
1
≤ ∀x ≥ 0 đúng vì x + 3 và 3 cùng dương.
x +3 3
1
1
x − 2 ≥ −2∀x ≥ 0 
≤
∀x ≥ 0 sai vì ta chưa biết x − 2 và -2 có cùng âm hay khơng.
x − 2 −2

x + 3 ≥ 3∀x ≥

Trang 25