Tài liệu Tóm tắt toán B2 - chương 3 pdf

TÓM TẮT TOÁN B2

Chương 3
LÝ THUYẾT CHUỖI
1. Khái niệm về chuỗi
Tổng riêng phần thứ n
n
n
k1
S
=
=
k
a
∑

Bản chất chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑
n
n
lim S s
→+∞
=∈\

Hội tụ và có tổng s
n

n
lim S
→+∞
=∞

Phân kỳ
n
n
lim S
→+∞
không có Phân kỳ

2. Chuỗi hình học
n1
n1
aq
+∞
−
=
∑

Chuỗi hình học
n1
n1
aq (a, q : Const, a 0)
+∞
−
=
≠
∑

Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n1
n1
aq
+∞
−
=
∑

|q| < 1
Hội tụ và có tổng
a
s =
1q
−

|q|≥ 1 Phân kỳ


1
3. Chuỗi
n1
1
n
+∞
α
=
∑

và
n
n1
(1)
n
+∞
α
=
−
∑

Chuỗi Dấu hiệu Bản chất
α > 1 Hội tụ
n1
1
n
+∞
α
=
∑

α ≤ 1 Phân kỳ
α > 0 Hội tụ
n
n1
(1)
n
+∞
α
=

−
∑

α ≤ 0 Phân kỳ

4. Chuỗi
n
n1
a
+∞
=
α
∑
Chuỗi
n
n1
a
+∞
=
α
∑

Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n1
a
+∞
=
α

∑

α = 0 Hội tụ và có tổng s = 0
α ≠ 0
Cùng bản chất với
n
n1
a
+∞
=
∑








2
5. Chuỗi
nn
n1
(a b )
+∞
=
+
∑
Chuỗi
nn

n1
(a b )
+∞
=
+
∑

n
n1
a
+∞
=
∑

n
n1
b
+∞
=
∑

nn
n1
(a b )
+∞
=
+
∑

Hội tụ Hội tụ Hội tụ

Hội tụ Phân kỳ Phân kỳ
Phân kỳ Hội tụ Phân kỳ
Phân kỳ Phân kỳ Chưa biết
(nhưng chắc chắn
phân kỳ nếu các
chuỗi đều dương)

6. Điều kiện cần để chuỗi hội tụ
Chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑

Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑
n
n
lim a 0
→+∞
≠
hay

n
n
lim a 0
→+∞
≠
Phân kỳ
n
n
lim a 0
→+∞
=

Chưa biết




3
7. Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi dương
Chuỗi dương
n
n1
a(1)
+∞
=
∑
và
n
n1
b(2)

+∞
=
∑
Dấu hiệu Bản chất
a
n
∼ b
n
(1) và (2) có cùng bản chất
a
n
≤ b
n
(2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ
(1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ
n
n
n
a
lim 0
b
→+∞
=

(2) hội tụ ⇒ (1) hội tụ
(1) phân kỳ ⇒ (2) phân kỳ
n
n
n
a

lim
b
→+∞
=+∞

(1) hội tụ ⇒ (2) hội tụ
(2) phân kỳ ⇒ (1) phân kỳ
8. Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy
Tiêu chuẩn Căn thức Cauchy cho chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑
Tính
n
n
n
lim |a |
→+∞
=λ

Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n1
a
+∞
=

∑

λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối)
λ > 1 Phân kỳ
λ = 1 Chưa biết
Chú ý:
k
n
k10k
n
lim |a n ... a n a | 1 (a 0)
→+∞
++ + = ≠



4
9. Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert
Tiêu chuẩn Tỉ số D’Alembert cho chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑
Tính
n1
n
n
a

lim
a
+
→+∞
=λ

Dấu hiệu
Bản chất chuỗi
n
n1
a
+∞
=
∑

λ < 1 Hội tụ (tuyệt đối)
λ > 1 Phân kỳ
λ = 1 Chưa biết
Chú ý: Ta thường sử dụng tiêu chuẩn này khi trong a
n
có
chứa giai thừa

10. Tiêu chuẩn Tích phân Cauchy
Chuỗi dương
n
n1 n1
af(n)
+∞+∞
==

=
∑∑

f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+∞)
1
f(x)dx
+∞
∫

n
n1
a
+∞
=
∑

Hội tụ Hội tụ
Phân kỳ Phân kỳ




5