Nghiên cứu mô hình xếp hàng m g 1 và ứng dụng vào một cửa diện tử ơ thanh vĩnh long

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
PHAN QUỐC TUẤN

LUẬN VĂN THẠC SỸ
ĐỀ TÀI

NGHIÊN CỨU MƠ HÌNH XẾP HÀNG M/G/1
VÀ ỨNG DỤNG VÀO “MỘT CỬA ĐIỆN TỬ”
Ở THÀNH PHỐ VĨNH LONG
Chuyên ngành: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Mã ngành:60480201

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN TRUNG HÒA

Vinh, tháng 9/2017


NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Kết luận: đồng ý cho bảo vệ Đề cương CHTS đợt tháng 3/2018
............................................................................................................................................
Vinh, ngày 22 tháng 9 năm 2017
Giáo viên hướng dẫn
(Ký và ghi rõ họ và tên)


NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Kết luận: đồng ý cho tiếp tục triển khai đề tài CHTS để bảo vệ đợt tháng 3/2018 ...........
............................................................................................................................................
Vinh, ngày 22 tháng 9 năm 2017
Thư ký
Hội đồng xét duyệt


MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ QUÁ TRÌNH SINH-CHẾT .................................. 5
1.1.
BIẾN NGẪU NHIÊN ......................................................................................... 8
1.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên .................................................................. 8
1.1.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên ..................................................... 9
1.1.3. Phân phối mũ........................................................................................... 10
1.1.4. Phân phối Poisson ................................................................................... 10
1.2.
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN............................................................................. 11
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................... 11
1.2.2. Định nghĩa q trình Poisson ................................................................. 12
1.3.
XÍCH MARKOV............................................................................................. 12

1.3.1. Định nghĩa xích Markov với thời gian rời rạc ....................................... 12
1.3.2. Phân loại các trạng thái của xích Markov ............................................. 14
1.3.3. Xích với thời gian liên tục ....................................................................... 17
1.4.
Q TRÌNH SINH-CHẾT ............................................................................... 18
1.4.1. Khái niệm về quá trình sinh-chết ........................................................... 18
1.4.2. Phân phối của các trạng thái ổn định .................................................... 20
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT XẾP HÀNG VÀ HỆ THỐNG XẾP HÀNG M/G/1 . 22
2.1.
CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG ............................................................ 22
2.1.1. Khái niệm về hàng đợi ............................................................................. 22
2.1.2. Phương thức xử lý của hệ thống hàng đợi ............................................ 23
2.1.3. Quá trình sinh-chết như một hàng đợi................................................... 27
2.2.
HỆ THỐNG XẾP HÀNG M/G/1 ..................................................................... 27
2.2.1. Quy tắc Little’s ......................................................................................... 27
2.2.2. Quá trình sinh-chết như một xích Markov ............................................ 29
2.2.3. Các giá trị trung bình .............................................................................. 31
2.2.4. Thời gian phục vụ cịn lại ....................................................................... 33
2.2.5. Các công thức Pollaczek-Khintchine and Takács ................................. 36
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ĐỀ XUẤT ÁP DỤNG TRONG MƠ HÌNH MỘT CỬA
ĐIỆN TỬ Ở TP VĨNH LONG ................................................................................... 39
3.1 MÔ HÌNH MỘT CỬA ĐIỆN TỬ Ở TP VĨNH LONG .......................................... 39
3.1.1. Mô tả hoạt động của bộ phận 1 cửa điện tử ở TP Vĩnh Long .............. 39
3.1.2. Thống kê thời gian thể hiện quá trình “sinh-chết” ở bộ phận 1 cửa ... 43
3.2 CÁC THAM SỐ TƯƠNG ỨNG TRONG MƠ HÌNH MỘT CỬA ĐIỆN TỬ ............. 45
3.3 NHẬN ĐỊNH VÀ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP CẢI TIẾN TRÊN CƠ SỞ CÁC SỐ LIỆU
TÍNH ĐƯỢC. .............................................................................................................. 49

MỞ ĐẦU
1. Sự cần thiết của vấn đề nghiên cứu
Lý thuyết xếp hàng đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trên thế giới trong
nhiều lĩnh vực nghành nghề khác nhau như bưu chính viễn thơng, hàng khơng, đường
sắt, kiểm sốt lưu lượng giao thơng, đánh giá hiệu năng hệ thống máy tính, y tế và
chăm sóc sức khỏe, không lưu, bán vé…
Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng (costumer) phải dùng chung tài
nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị từ chối phục vụ. Lý thuyết quá trình
xếp hàng (queueing process) xác định và tìm các phương án tối ưu để hệ thống phục
vụ tốt nhất.
Bên cạnh đó, góp phần nâng cao chất lượng phục vụ nhân dân trong giải quyết
thủ tục hành chính và nâng cao năng lực cạnh tranh góp phần xây dựng chính quyền
điện tử của Thành phố Vĩnh Long. Chỉ có ứng dụng của cơng nghệ thống tin là một
giải pháp hiệu quả, văn minh góp phần giảm thời gian chờ đợi của nhân dân, tạo sự
thuận lợi cho việc giao dịch thuận lợi, nhanh chóng, trật tự cơng bắng và chính xác, tạo
sự thoải mái, an tâm cho nhân dân.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết xếp hàng; Liên hệ Lý thuyết xếp hàng với Dịch vụ một
cửa điện tử; Đề xuất các giải pháp nâng cao chất lượng phục vụ ở Bộ phận một cửa
(điện tử) tại UBND Thành phố Vĩnh Long.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
• Q trình ngẫu nhiên; Các hàng đợi (queueu)
• Q trình phục vụ cơng cộng

3.2 Phạm vi nghiên cứu
Các tham số của mơ hình hàng đợi M/M/1 và M/G/1
Hệ thống dịch vụ một cửa điện tử

4. Nội dung nghiên cứu
Các tham số của hệ thống hàng đợi M/G/1 ứng dụng vào bài toán xử lý dịch vụ
“một cửa điện tử” ở thành phố Vĩnh Long.

5. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm 3
chương
Chương 1. Tổng quan về quá trình sinh-chết
Chương này trình bày khái niệm về biến ngẫu nhiên; Các số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên; một số phân phối quen thuộc tham gia vào q trình hàng đợi và xích
Markov; Khái niệm về q trình ngẫu nhiên; q trình Poisson; Xích Markov; Quá
trình sinh-chết.
Chương 2. Lý thuyết xếp hàng và hệ thống xếp hàng M/G/1
Chương này trình bày cơ bản về lý thuyết xếp hàng bao gồm Khái niệm về hàng
đợi, Phương thức xử lý của hệ thống hàng đợi, Quá trình sinh-chết như một hàng đợi;
Hệ thống xếp hàng M/G/1 và các khái niệm, kết quả liên quan
Chương 3. Một số đề xuất áp dụng trong mơ hình một cửa điện tử ở TP Vĩnh
Long
Chương này tìm hiểu và cung cấp một số thơng tin về mơ hình một cửa điện tử
ở TP Vĩnh Long, Mô tả hoạt động của bộ phận một cửa điện tử ở TP Vĩnh Long;
Thống kê thời gian thể hiện quá trình “sinh-chết” ở bộ phận 1 cửa thông qua số liệu xử
lý hồ sơ đăng ký kinh doanh của các hộ kinh doanh; Tính tốn các tham số tương ứng
trong mơ hình thơng qua số liệu thu được và qua đó nhận định, đề xuất kiến nghị.
Luận văn này được hoàn thành trong quá trình học Cao học Cơng nghệ Thơng
tin tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trung Hịa. Tác giả
đã nhận được nhiều góp ý của các Thầy, Cơ và bạn bè trong q trình làm đề cương
luận văn và thực hiện tìm hiểu, nghiên cứu và viết luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm
ơn sự góp ý, giúp đỡ của các Thầy, Cơ và bè bạn. Đặc biệt xin chân thành cám ơn

Thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Trung Hịa đã tận tính giúp đỡ đề tác giả hoàn thành
được luận văn này.
Trong q trình viết luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả xin
được góp ý và lượng thứ. Xin trân trọng cảm ơn.


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ QUÁ TRÌNH SINH-CHẾT
1.1. Biến ngẫu nhiên
1.1.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1. Giả sử (Ω; ℱ; 𝑃) là một không gian xác suất nào đó. Một biến ngẫu
nhiên giá trị thực là một ánh xạ 𝑋: Ω → ℝ đặt tương ứng mỗi 𝜔 ∈ Ω với một số thực
𝑋(𝜔) ∈ ℝ sao cho với mỗi tập Borel 𝐵 ∈ ℝ thì 𝑋 −1 (𝐵) ∈ ℱ.
Hiểu một cách đơn giản hơn, biến ngẫu nhiên giá trị thực (random variables) là
biến nhận giá trị ngẫu nhiên đại diện cho kết quả của phép thử. Mỗi giá trị nhận
được 𝑥 của biến ngẫu nhiên 𝑋 được gọi là một thể hiện của 𝑋, cũng có thể hiểu là kết quả
của phép thử.
Ta gọi là một biến tuy nhiên biến ngẫu nhiên thực chất là một ánh xạ từ không
gian mẫu tới tập số thực: 𝑋: Ω ↦ ℝ.
Biến ngẫu nhiên có 2 dạng:
Rời rạc (discrete): tập giá trị nó là rời rạc, tức là đếm được. Ví dụ như số chấm
nhận được khi gieo một con xúc xắc.
Liên tục (continous): tập giá trị là liên tục tức là lấp đầy một khoảng của trục số.
Ví dụ như giá thuê nhà ở Vĩnh Long.
Một biến ngẫu nhiên 𝑋 hoàn toàn được xác định bởi hàm phân phối xác suất
𝐹𝑋 (𝑥) của nó, được định nghĩa bởi 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥).
Nếu 𝑋 là biến ngẫu nhiên rời rạc thì nó cịn được xác định bởi bảng phân phối,
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑝𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼.
Nếu 𝑋 là biến ngẫu nhiên liên tục thì nó cịn được xác định bởi hàm mật độ xác

𝑥

suất 𝑓𝑋 (𝑥), là hàm thỏa mãn ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑡 )𝑑𝑡 = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), (= 𝐹𝑋 (𝑥)).
Tuy nhiên việc nhận biết được phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên là rất
khó. Nên nhiều khi phải sử dụng các phương pháp thống kê để nhận biết được các số đặc
trưng của nó, là các số thể hiện các thông tin cơ bản về biến ngẫu nhiên ấy.


1.1.2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1. Giả sử 𝑋 là một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 , … với các xác suất tương ứng 𝑝1 , 𝑝2 , . . . , 𝑝𝑛 , …. Kì vọng của biến ngẫu
nhiên 𝑋, kí hiệu là E(𝑋) là số xác định bởi:
E(𝑋 ) = 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 +. . . +𝑥𝑛 𝑝𝑛 + ⋯
Khi tiến hành 𝑛 phép thử. Giả sử 𝑋 là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 với số lần nhận 𝑛1 , 𝑛2 , . . . , 𝑛𝑘 . Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên 𝑋
trong 𝑛 phép thử là
𝑥̅ =
với 𝑓𝑖 =

𝑛𝑖
𝑛

1
(𝑛 𝑥 + 𝑛2 𝑥2 +. . . +𝑛𝑘 𝑥𝑘 ) = 𝑓1 𝑥1 + 𝑓2 𝑥2 +. . . +𝑓𝑘 𝑥𝑘
𝑛 1 1

là tần suất để 𝑋 nhận giá trị 𝑥𝑖 .

Từ định nghĩa xác suất theo thống kê ta có lim 𝑓𝑖 = 𝑝𝑖 . Vì vậy với 𝑛 đủ lớn ta có: 𝑥̅
𝑛→∞

xấp xỉ tổng 𝑥1 𝑝1 + 𝑥2 𝑝2 +. . . +𝑥𝑛 𝑝𝑛 + ⋯ = E(𝑋 ) nên kì vọng của biến ngẫu nhiên xấp
xỉ với trung bình số học các giá trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên.
Do đó, có thể nói rằng kì vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình của biến
ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác xuất. Đó chính là ý nghĩa
của kì vọng.
Định nghĩa 2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 𝑋 là kỳ vọng của bình phương độ lệch
giữa biến ngẫu nhiên 𝑋 với kỳ vọng của nó, được định nghĩa bằng công thức:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = E{(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 }
Phương sai cịn gọi là độ lệch bình phương trung bình, nó phản ánh mức độ
phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. Đó chính là ý
nghĩa của phương sai.
Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên.
Khi cần đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị của nó, người ta
dùng một đặc trưng mới đó là độ lệch chuẩn. Nó bằng căn bậc 2 của phương sai.
Định nghĩa 3. Moment bậc 𝑘 đối với biến ngẫu nhiên 𝑋 là số xác định bởi biểu thức
𝑚𝑘 = 𝐸[(𝑋 − 𝑎)𝑘 ]
Nhận xét:


- Moment (mơ-men) là khái niệm tổng qt của kì vọng và phương sai. Kỳ
vọng là moment bậc 1 với a= 0, phương sai là moment bậc 2 với 𝑎 = 𝐸[𝑋]
- Khi 𝑎 = 𝐸[𝑋] người ta thường gọi là moment quy tâm, còn 𝑎 = 0 gọi là
moment gốc. Vậy nên ta có thể gọi kỳ vọng là moment gốc bậc 1 và phương sai là
moment quy tâm bậc 2.

1.1.3. Phân phối mũ
Định nghĩa 4. Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑋 được gọi là có phân phối mũ với tham
số (𝜆 > 0) nếu hàm mật độ của 𝑋 có dạng:
𝑓 (𝑥) = { 𝜆𝑒

−𝜆𝑥

0

𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0
𝑛ế𝑢 𝑥 < 0.

𝜆 được hiểu là số trung bình các biến cố xảy ra trong một đơn vị thời gian.
Hàm phân phối của nó là:
𝐹 (𝑥 ) = { 1 − 𝑒
0
Kỳ vọng: 𝐸 (𝑋 ) =

−𝜆𝑥

𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0
𝑛ế𝑢 𝑥 < 0.

1
𝜆

Phương sai: 𝑉𝑎𝑟(𝑋 ) = 𝐸 (𝑋 2 ) − 𝐸(𝑋)2 =

1
λ2

.

Phân phối mũ thường xuất hiện trong các bài tốn về thời gian sống của một

lồi sinh vật, tuổi thọ của thiết bị hoặc khoảng thời gian giữa hai lần xuất hiện của một
biến cố nào đó mà số lần xuất hiện của nó tuân theo luật phân phối Poisson.

1.1.4. Phân phối Poisson
Định nghĩa 5. Người ta nói rằng biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 có phân phối Poisson với
tham số 𝜆 (𝜆 > 0) nếu Im(𝑋) = ℕ, và
λ𝑘 −𝜆
𝑃(𝑋 = 𝑘 ) = 𝑒 với mọi 𝑘 ∈ ℕ
𝑘!
Ký hiệu biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson: 𝑋 ~ Poisson(𝜆)
Kỳ vọng:


∞

+∞

+∞

𝑘=0

k=1

k=1

λ𝑘 e−λ
λ𝑘 e−λ
λ𝑘−1 −λ
E (𝑥 ) = ∑ 𝑘
=∑

= λ∑
e =𝜆
k!
(k − 1)!
(k − 1)!
Phương sai : 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆.
Định lý Poisson. Giả sử trong một dãy 𝑛 phép thử độc lập, một biến cố 𝐴 xuất hiện
với xác suất 𝑝 trong mỗi phép thử. Nếu khi 𝑛 → ∞ mà pn → 0 sao cho 𝑛. 𝑝 = 𝜆 (𝜆 là
một hằng số dương) thì với mọi 𝑘 ∈ {0,1,2, … , 𝑛}, ta có:
𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝐶𝑛𝑘

𝑝𝑛𝑘 (1

− 𝑝𝑛 )

𝑛−𝑘

𝜆𝑘 −𝜆
=
𝑒
𝑘!

Chứng minh.
C𝑘𝑛

𝑝𝑛𝑘 (1

− 𝑝𝑛 )

𝑛−𝑘

𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑘 + 1) λ 𝑘
λ 𝑛−𝑘
( ) (1 − )
=
𝑘!
𝑛
𝑛

λ𝑘
1
2
k−1
λ 𝑛−𝑘
) (1 − )
= (1 − ) (1 − ) … (1 −
𝑘!
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Do đó,
𝑙𝑖𝑚 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛𝑘 (1 − 𝑝𝑛 )𝑛−𝑘 =

𝑛→∞

𝜆𝑘 −𝜆
𝑒
𝑘!

Hệ quả. Nếu 𝑋~B(𝑛, 𝑝), với 𝑛 > 30 và (𝑛𝑝 < 5 hay 𝑛(1 − 𝑝) < 5), thì chúng ta có
thể xem như 𝑋 ~ Poisson(𝑛𝑝).

1.2. Q trình ngẫu nhiên
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 4. Cho một không gian xác suất (𝛺, 𝐹, 𝑃), một quá trình ngẫu nhiên là
một tập hợp các biến ngẫu nhiên giá trị thực, phụ thuộc tham số 𝑡 ∈ 𝑇, ký hiệu là:
{𝑋(𝑡): 𝑡 ∈ 𝑇 ⊆ ℝ}.
Thông thường T được hiểu như là thời gian và đó là lý do gọi là q trình. Thực
ra 𝑋(𝑡) chính là 𝑋(. , 𝑡), nghĩa là với mỗi 𝑡 ∈ 𝑇 thì 𝑋(𝑡) là một biến ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên trong thực tế là các hàm của thời gian, chẳng hạn các hàm
biểu thị
-

Nhiệt độ, áp suất, các tham số khí tượng.


-

Sự thay đổi của một điện trở theo nhiệt độ.
Tín hiệu đầu ra của nguồn tin, tín hiệu audio truyền trên kênh thoại.

Trong truyền tin số, khái niệm quá trình ngẫu nhiên sử dụng để:
-

Mơ hình hóa các tín hiệu, thơng tin ngẫu nhiên.

Mơ hình hóa tín hiệu sinh ra bởi nguồn tin.
Mơ hình hóa kênh tin.

-

Mơ hình hóa các nguồn nhiễu.

-

Thiếu kế các bộ thu tối ưu xử lý các tín hiệu nhận được.

Luận văn này đề quan tâm đến các quá trình xử lý hồ sơ ở bộ phận 1 cửa nên
cần các kiến thức liên quan đến q trình Poisson, nhằm mục đích đếm số lần xảy ra
một sự kiện trong một khảng thời gian nào đó.

1.2.2. Định nghĩa q trình Poisson
Định nghĩa 5. Ta nói rằng quá trình {𝑋(𝑡); 𝑡 ≥ 0} là quá trình Poisson với cường độ
𝜆 (hoặc tham số ) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. 𝑋(0) = 0.
2. 𝑋(𝑡) chỉ nhận giá trị là các số tự nhiên.
3. {𝑋(𝑡); 𝑡 ≥ 0} là q trình có gia số độc lập, tức là 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ <
𝑡𝑛 các gia số 𝑋(𝑡1 ) − 𝑋(𝑡0 ), 𝑋(𝑡2 ) − 𝑋(𝑡1 ), … , 𝑋(𝑡𝑛 ) − 𝑋(𝑡𝑛−1 ) là các biến ngẫu
nhiên độc lập.
4. Mỗi gia số 𝑋(𝑠 + 𝑡) − 𝑋(𝑠) có phân phối Poissoon với tham số 𝜆𝑡 với mọi
𝑠 ≥ 0, 𝑡 > 0.

1.3. Xích Markov
1.3.1. Định nghĩa xích Markov với thời gian rời rạc
Xét một hệ nào đó được quan sát tại các thời điểm rời rạc 0,1,2,... Giả sử các
quan sát đó là 𝑋0 , 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑛 , ... Khi đó ta có một dãy các đại lượng ngẫu nhiên

(ĐLNN) (𝑋𝑛 ) trong đó 𝑋𝑛 là trạng thái của hệ tại thời điểm 𝑛. Giả thiết rằng mỗi 𝑋𝑛 ,


𝑛 = 0,1, … là một ĐLNN rời rạc. Ký hiệu E là tập giá trị của các (𝑋𝑛 ). Khi đó E là một
tập hữu hạn hay đếm được, các phần tử của nó được ký hiệu là 𝑖, 𝑗, 𝑘... Ta gọi E là
không gian trạng thái của dãy.
Định nghĩa 6. Ta nói rằng dãy các biến ngẫu nhiên (𝑋𝑛 ) là một xích Markov nếu với
mọi 𝑛1 <. . . < 𝑛𝑘 < 𝑛𝑘+1 và với mọi 𝑖1 , 𝑖2 , . . . , 𝑖𝑘+1 ∈ 𝐄, ta có:
𝑃{𝑋𝑛𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 |𝑋𝑛1 = 𝑖1 , 𝑋𝑛2 = 𝑖2 , . . . , 𝑋𝑛𝑘 = 𝑖𝑘 }
= 𝑃{𝑋𝑛𝑘+1 = 𝑖𝑘+1 |𝑋𝑛𝑘 = 𝑖𝑘 }.
Nếu ta coi thời điểm 𝑛𝑘+1 là tương lai, 𝑛𝑘 là hiện tại cịn 𝑛1 , ..., 𝑛𝑘−1 là q khứ
thì xác suất có điều kiện của một sự kiện 𝐵 nào đó trong tương lai nếu biết hiện tại và
quá khứ của hệ cũng giống như xác suất có điều kiện của 𝐵 nếu chỉ biết trạng thái hiện
tại của hệ. Đó chính là tính Markov của hệ. Đơi khi tính Markov của hệ còn phát biểu
dưới dạng: Nếu biết trạng thái hiện tại của hệ thì quá khứ và tương lai độc lập với
nhau.
Giả sử 𝑃{𝑋𝑚+𝑛 = 𝑗|𝑋𝑚 = 𝑖} là xác suất để xích tại thời điểm 𝑚 ở trạng thái 𝑖
sau 𝑛 bước, tại thời điểm 𝑚 + 𝑛 chuyển sang trạng thái 𝑗. Đây là một số nói chung phụ
thuộc vào 𝑖, 𝑗, 𝑚, 𝑛. Nếu đại lượng này khơng phụ thuộc 𝑚 ta nói xích là thuần nhất.
Ký hiệu:
𝑝𝑖𝑗 = 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑖} ,
(𝑛)

𝑝𝑖𝑗

= 𝑃{𝑋𝑛+𝑚 = 𝑗|𝑋𝑚 = 𝑖}.

Ta gọi (𝑝𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐄) là xác suất chuyển sau một bước hay xác suất chuyển còn
(𝑛)

(𝑝𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐄) là xác suất chuyển sau 𝑛 bước. Chú ý rằng:
∑ 𝑝𝑖𝑗 = 1,
𝑗∈𝑒
(𝑛)

∑ 𝑝𝑖𝑗 = 1.
𝑗∈𝑒


Phân phối của 𝑋0 được gọi là phân phối ban đầu. Ta ký hiệu 𝑢𝑖 = 𝑃(𝑋0 = 𝑖).
Định lý. Phân phối đồng thời của (𝑋0 , 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑛 ) được hoàn toàn xác định từ phân
phối ban đầu và xác suất chuyển. Cụ thể ta có:
𝑃(𝑋0 = 𝑖0 , , 𝑋1 = 𝑖1 , . . . , 𝑋𝑛 = 𝑖𝑛 ) = 𝑢𝑖0 𝑝𝑖0𝑖1 . 𝑝𝑖1 𝑖2 … 𝑝𝑖𝑛−1𝑖𝑛
Như vậy phân phối đồng thời của 𝑋0 , 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑛 được xác định bởi phân phối
ban đầu và xác suất chuyển.

1.3.2. Phân loại các trạng thái của xích Markov
Khi cho một xích Markov được xác định bởi ma trận chuyển trạng thái
P, ta thường có thể biểu diễn nó bởi một đồ thị như sau:
• Các đỉnh là 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑁,
• Mỗi cạnh (𝑖, 𝑗) từ đỉnh 𝑖 đến đỉnh 𝑗 tương ứng với mỗi cặp trạng thái sao
cho 𝑝𝑖𝑗 > 0.
Với hai trạng thái 𝑖, 𝑗, ta nói rằng có một đường đi từ 𝑖 đến 𝑗 và viết 𝑖 → 𝑗 nếu
có một xác suất dương để chuyển từ trạng thái 𝑖 đến trạng thái 𝑗 sau một số bước nào
(𝑛)

đó, nghĩa là 𝑖 đi đến được 𝑗. Một cách hình thức ∑∞
𝑛=1 𝑝𝑖,𝑗 > 0.
Hai trạng thái 𝑖 và 𝑗 được gọi là liên thông (liên lạc được) nếu 𝑖 → 𝑗 và 𝑗 → 𝑖 và
sẽ viết 𝑖 ↔ 𝑗. Để ý rằng quan hệ liên thông là quan hệ tương đương và ta có thể phân

chia tập các trạng thái của xích Markov thành các lớp tương
đương.
Định nghĩa . Xích Markov được gọi là tối giản nếu hai trạng thái bất kỳ là liên lạc
được. Có nghĩa là theo cách phân lớp trên thì 𝐄 khơng thể phân hoạch thành các lớp
con nhỏ hơn.
Giả sử, có một đường đi từ 𝑖 đến 𝑗, nhưng khơng có đường đi từ 𝑗 đến 𝑖. Điều
này có nghĩa là nếu xích bắt đầu từ 𝑖, đã đến 𝑗, thì nó sẽ khơng bao giờ trở lại 𝑖 nữa.
Giả sử (𝑋𝑛 ) là một xích Markov. Xét một trạng thái cố định 𝑖 ∈ 𝐄. Với mỗi 𝑗 ∈ 𝐄, ta
(𝑛)

đặt 𝑓𝑖𝑗

(𝑛)

= 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑗, 𝑋𝑛−1 ≠ 𝑗, . . . , 𝑋𝑛−1 ≠ 𝑗|𝑋0 = 𝑖), thì 𝑓𝑖𝑗

là xác suất để hệ xuất


(𝑛)

phát từ 𝑖 và đến 𝑗 lần đầu tiên sau 𝑛 bước và 𝑓𝑖𝑖

là xác suất để hệ xuất phát từ 𝑖 trở lại

(1)

𝑖 lần đầu tiên sau 𝑛 bước. Ta thấy ngay 𝑓𝑖𝑗 = 𝑝𝑖𝑗 . Từ tính chất Markov và cơng thức
xác suất đầy đủ ta có
𝑛

(𝑛)
𝑝𝑖𝑗

(𝑘) (𝑛−𝑘)

= ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑝𝑗𝑗

,𝑛 ≥ 1

𝑘=0
(0)

với quy ước 𝑓𝑖𝑗

= 0 với mọi 𝑖, 𝑗. Đặt
∞

𝑓𝑖𝑗 =

∞

(𝑛)
∑ 𝑓𝑖𝑗
𝑛=0

(𝑛)

và 𝑓𝑖𝑖 = ∑ 𝑓𝑖𝑖
𝑛=0

thì 𝑓𝑖𝑖 là xác suất để hệ xuất phát từ 𝑖, quay trở lại 𝑖 ở một thời điểm hữu hạn nào đó.
Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Một trạng thái 𝑖 được gọi là trạng thái hồi quy (recurent) nếu 𝑓𝑖𝑖 = 1.
Trạng thái 𝑖 được gọi là trạng thái di chuyển (không hồi quy - transient) nếu 𝑓𝑖𝑖 < 1.
Định lý: Nếu 𝑖 ↔ 𝑗 và 𝑗 hồi quy thì 𝑖 hồi quy.
Định lý: Ký hiệu 𝑄𝑖𝑖 là xác suất để hệ xuất phát từ 𝑖 quay lại i vô số lần, 𝑄𝑖𝑗 là xác
suất để hệ xuất phát từ 𝑖 đi qua 𝑗 vô số lần. Khi đó:
(i) Nếu 𝑖 hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 1 nếu 𝑖 khơng hồi quy thì 𝑄𝑖𝑖 = 0.
(ii) Nếu 𝑖 hồi quy i ↔ j thì 𝑄𝑖𝑗 = 1. Nói riêng, với xác suất 1 một hệ xuất phát
từ 𝑖 sau một số hữu hạn bước sẽ đi qua 𝑗.
Định lý: Cho (𝑋𝑛 ) là xích tối giản khơng hồi quy. Khi đó với mọi 𝑖, 𝑗:
∞
(𝑛)

∑ 𝑝𝑖𝑗 < ∞
𝑛=1

Nói riêng
(𝑛)

𝑙𝑖𝑚 𝑝𝑖𝑗 = 0

𝑛→∞

và xích khơng tồn tại phân phối dừng.
Định lý: Cho (𝑋𝑛 ) là xích tối giản hồi quy khơng có chu kỳ. Khi đó với mọi 𝑖, 𝑗 ta có:


(𝑛)

𝑙𝑖𝑚 𝑝𝑖𝑗 =

𝑛→∞

1
𝜇𝑗

trong đó 𝜇𝑗 là trung bình số lần quay lại 𝑗 khi xuất phát từ 𝑖:
∞
(𝑘)

𝜇𝑗 = ∑ 𝑘𝑓𝑗𝑗
𝑘=1

Định nghĩa. Trạng thái hồi quy 𝑖 được gọi là trạng thái hồi quy dương nếu 𝜇𝑖 < ∞ và
được gọi là trạng thái hồi quy không nếu 𝜇𝑖 = ∞.
Định lý. Giả sử 𝑖 → 𝑗. Nếu i hồi quy dương thì j hồi quy dương. Nếu i hồi quy khơng
thì j hồi quy khơng.
Định lý. Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích tối giản khơng có chu kỳ với khơng gian trạng thái đếm
được E. Khi đó sẽ xảy ra một trong ba khả năng sau đây:
1) Mọi trạng thái là khơng hồi quy. Khi đó với mọi 𝑖, 𝑗 ta có:
(𝑛)

lim 𝑝𝑖𝑗 = 0.

𝑛→∞

Xích khơng có phân phối dừng.
2) Mọi trạng thái là hồi quy khơng. Khi đó với mọi 𝑖, 𝑗 ta có:
(𝑛)

lim 𝑝
𝑛→∞ 𝑖𝑗

= 0.

Xích khơng có phân phối dừng.
3) Mọi trạng thái là hồi quy dương. Khi đó với mọi 𝑖, 𝑗, ta có:
(𝑛)

lim 𝑝𝑖𝑗 = 𝜋𝑗 > 0

𝑛→∞

và 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , . . . ) là phân bố giới hạn (và cũng là phân bố dừng) của xích.
Định lý. Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích tối giản khơng có chu kỳ với không gian trạng thái hữu
hạn 𝐄 = {1, 2, . . . , 𝑑}. Khi đó mọi trạng thái đều hồi quy dương và xích có phân bố giới
hạn 𝜋 = (𝜋1 , 𝜋2 , . . . , 𝜋𝑑 ). Phân bố này cũng là phân bố dừng duy nhất của xích.

Định lý. Giả sử (𝑋𝑛 ) là xích tối giản với khơng gian trạng thái 𝐄 đếm được. Khi đó:
1. Với mỗi 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐄:


lim

𝑛→∞

limn→ ∞ n-1 ∑nk=1 Pij (k) =

1
μj

Nói cách khác dãy Pij(n) hội tụ theo trung bình Cesaro tới πj = 1/μi không phụ
thuộc i.
2. Dãy 𝜋 = (𝜋𝑗 ) thoả mãn:
a. ∑∞
𝑗=1 𝜋𝑗 ≤ 1,
b. 𝜋𝑗 = ∑∞
𝑖=1 𝜋𝑖 𝑝𝑖𝑗 .
Định lý. Cho (𝑋𝑛 ) là xích Markov tối giản. Khi đó:
1. Nếu 𝐄 hữu hạn có 𝑑 phần tử thì 𝜋 = (𝜋1 , . . . , 𝜋𝑑 ) là phân bố dừng duy nhất.
2. Chỉ có các khả năng sau:
a. Mọi trạng thái của E là không hồi quy
b. Mọi trạng thái của E là hồi quy không
c. Mọi trạng thái của E là hồi quy dương.
3. Nếu 𝐄 là vơ hạn đếm được thì xích có phân bố dừng khi và chỉ khi mọi trạng
thát của 𝐄 là hồi quy dương. Trong trường hợp này phân bố dừng là duy nhất.

1.3.3. Xích với thời gian liên tục
Chúng ta xem xét một quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡) là một hàm của một đối số
thực 𝑡 thay cho các số nguyên 𝑛. Giả sử 𝐄 là không gian trạng thái của q trình này,
là hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được.
Định nghĩa 1.2.3. 𝑋(𝑡) được gọi là một xích Markov với thời gian liên tục nếu với
mọi 𝑗, 𝑖1 , . . . , 𝑖𝑛−1 ∈ 𝐄 và mọi dãy thời điểm 𝑡1 < 𝑡2 <. . . < 𝑡𝑛 ,
𝑃(𝑋(𝑡𝑛 ) = 𝑗|𝑋(𝑡𝑛−1 = 𝑖𝑛−1 , . . . , 𝑋(𝑡1 ) = 𝑖1 ) = 𝑃(𝑋(𝑡𝑛 ) = 𝑗|𝑋(𝑡𝑛−1 = 𝑖𝑛−1 ).

Quá

trình được gọi là thuần nhất nếu
𝑃(𝑋(𝑡 ) = 𝑗|𝑋(𝑠) = 𝑖) = 𝑃(𝑋 (𝑡 − 𝑠) = 𝑗|𝑋 (0) = 𝑖 ) với mọi 𝑖, 𝑗 𝑣à 𝑠 < 𝑡.
Ta cũng quy ước rằng chỉ quan tâm đến các xích Markov với thời gian liên tục

và thuần nhất và ký hiệu ma trận chuyển trạng thái 𝑃(𝑡) = [𝑝𝑖𝑗 (𝑡)] trong đó 𝑝𝑖𝑗 (𝑡) =
𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑗|𝑋(0) = 𝑖).


Xích Markov với thời gian liên tục là trường hợp đặc biệt của q trình Markov.
Nói một cách đơn giản, một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình Markov nếu quỹ đạo
tương lai của nó được xác định hồn tồn bởi trạng thái hiện tại của nó, độc lập với
quá khứ.
Với một trạng thái i tại một thời điểm 𝑡0 cho trước, gọi 𝑆𝑖 là thời gian lưu lại
trạng thái 𝑖 cho đến khi xích chuyển sang trạng thái mới. Thế thì 𝑆𝑖 = 𝑖𝑛𝑓{𝑠 >
0: 𝑋(𝑡0 + 𝑠) ≠ 𝑖}. Khi đó 𝑆𝑖 là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối mũ 𝐸(𝜆𝑖 ) với
tham số 𝜆𝑖 nào đó chỉ phụ thuộc vào trạng thái 𝑖. Vì theo kết luận ở trên, phân phối của
thời gian lưu lại ở một trạng thái là phân phối mũ, và do đó khơng nhớ, chúng ta thấy
rằng thời gian cho đến khi quá trình chuyển tiếp xảy ra là độc lập với lịch sử của chuỗi
và chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại 𝑖. Tham số 𝜆𝑖 thường được gọi là tốc độ
chuyển ra khỏi trạng thái 𝑖. Đây là một tính chất rất cơ bản (và hữu ích) của xích
Markov với thời gian liên tục.

1.4. Q trình sinh-chết
1.4.1. Khái niệm về quá trình sinh-chết
Giả sử {𝑋 (𝑡)}𝑡≥0 là một xích Markov và ℎ là một khoảng thời gian rất ngắn ℎ ↘ 0,
trong đó có tồn tại những thay đổi quan sát được trong một chuỗi. Chúng ta muốn tính
tốn một khả năng nhìn thấy một số thay đổi đặc biệt xảy ra tại thời điểm 𝑡 + ℎ, bắt
đầu tại thời điểm 𝑡 đã cho. Trong một khoảng ngắn ℎ ↘ 0, nó gần như khơng thể có
nhiều hơn một sự kiện, nghĩa là xác suất để xuất hiện nhiều hơn một sự kiện là 𝑜(ℎ).
Nếu chúng ta muốn mơ tả một q trình sinh thuần túy với tỷ lệ sinh 𝜆𝑖 , chúng
ta gọi nó là một quá trình Poisson với tham số 𝜆𝑖 ℎ sao cho 𝜆𝑖 là số lượng dự kiến của
các lần sinh xảy ra trên mỗi đơn vị thời gian. Trong trường hợp này, xác suất của một
lần sinh trong khoảng thời gian ngắn ℎ là 𝜆𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ).
Tương tự như vậy, nếu ở trạng thái 𝑋(𝑡) = 𝑖 tỷ lệ chết là 𝜇𝑖 , thì xác suất mà

một cá nhân chết trong một khoảng thời gian ℎ rất nhỏ là 𝜇𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ).


Trong trường hợp của q trình có cả sinh và chết, chúng ta gọi là quá trình
sinh-chết, với tỉ lệ 𝜆𝑖 và 𝜇𝑖 tương ứng. Vì các quá trình sinh và chết này là độc lập và
có phân phối Poisson với tham số 𝜆𝑖 ℎ và 𝜇𝑖 ℎ, tổng của chúng có một phân phối
Poisson với tham số (𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 )ℎ.
Chúng ta hãy phân tích những thay đổi có thể xảy ra trong quá trình sinh-chết
trong khoảng thời gian ℎ. Cho rằng hiện đang có 𝑖 cá thể trong tổng thể, khi h↘0, xác
suất để xuất hiện thêm 1 cá thể được xác định bởi xác suất của việc sinh thêm 1 và
khơng chết (đó là một thành phần chính) hoặc của các tình huống kết hợp khác (2 sinh
và 1 chết, 3 sinh và 2 chết, vv) nhưng đều là rất nhỏ, 𝑜(ℎ):
𝑃𝑖,𝑖+1 (ℎ) = 𝑃(𝑋 (𝑡 + ℎ) − 𝑋 (𝑡 ) = 1| 𝑋 (𝑡 ) = 𝑖 )
=

(𝜆𝑖 ℎ)1 𝑒 −𝜆𝑖 ℎ (𝜇𝑖 ℎ)0 𝑒 −𝜇𝑖 ℎ
+ 𝑜 (ℎ )
1!
0!

= (𝜆𝑖 ℎ)𝑒 −𝜆𝑖 ℎ 𝑒 −𝜇𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ)
∞

= (𝜆𝑖 ℎ)𝑒 −ℎ(𝜆𝑖 +𝜇𝑖 ) + 𝑜(ℎ)

𝑛

(−ℎ(𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 ))
= ( 𝜆𝑖 ℎ ) ∑
+ 𝑜 (ℎ )

𝑛!
𝑛−0

1
= (𝜆𝑖 ℎ) (1 + ℎ(𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 ) + ℎ2 (𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 )2 + ⋯ ) + 𝑜(ℎ) = 𝜆𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ)
2
Trong trường hợp này, 𝑜(ℎ) biểu thị một thực tế rằng có hai sinh và một cái
chết, 3 sinh và 2 cái chết, vv. Khi ℎ ↘ 0, xác suất 𝑜(ℎ) có khả năng triệt tiêu.
Tương tự như vậy, xác suất để giảm 1 cá thể là:
𝑃𝑖,𝑖−1 (ℎ) = 𝑃(𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝑋(𝑡 ) = −1| 𝑋(𝑡 ) = 𝑖) = 𝜇𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ)
Về cơ bản, những giả thiết trên nói rằng xác suất của việc tăng hoặc giảm các cá
thể 1 đơn vị là tỷ lệ thuận với chiều dài của khoảng thời gian. Nói chung, q trình
𝑋 (𝑡 ) được gọi là quá trình sinh-chết nếu:
(1)

𝑃 (𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝑋 (𝑡 ) = 1| 𝑋(𝑡) = 𝑖) = 𝜆𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ)

(2)

𝑃 (𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝑋 (𝑡 ) = −1| 𝑋(𝑡) = 𝑖) = 𝜇𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ)

(3)

𝑃 (|𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝑋(𝑡 )| > 1| 𝑋(𝑡) = 𝑖) = 𝑜(ℎ)

(4)

𝜇0 = 0, 𝜆0 > 0; 𝜇𝑖 , 𝜆𝑖 > 0, 𝑖 = 1,2,3, …

Những giả thiêt trên dựa trên quan điểm rằng các biến cố hiếm và hầu như loại

trừ khả năng xảy ra đồng thời hai hoặc nhiều biến cố. Về cơ bản, chỉ có một sự kiện có


thể xảy ra trong một khoảng thời gian rất nhỏ của thời gian h. Và mặc dù xác suất cho
nhiều hơn một sự kiện khơng phải là zero, nó là khơng đáng kể.
Điều đó nghĩa là
(5)

𝑃 (𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝑋 (𝑡 ) = 0| 𝑋(𝑡) = 𝑖) = 1 − (𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 )ℎ + 𝑜(ℎ)

Từ đó đi đến định nghĩa sau
Định nghĩa . Quá trình sinh-chết là một q trình Markov với thời gian liên tục có
khơng gian trạng thái đếm được 𝐄 = {0,1, … , 𝑛, … } và ma trận chuyển trạng thái
𝑃(ℎ) = [𝑝𝑖𝑗 (ℎ)] thỏa mãn :
𝜆𝑖 ℎ + 𝑜 ( ℎ ) ,
𝜇𝑖 ℎ + 𝑜(ℎ),
𝑝𝑖𝑗 (ℎ) =
1 − (𝜆𝑖 + 𝜇𝑖 )ℎ + 𝑜(ℎ),
{𝑜 ( ℎ )

nếu 𝑗 = 𝑖 + 1
nếu 𝑗 = 𝑖 − 1
nếu 𝑗 = 𝑖
nếu khác.

Ta sẽ mặc nhận 𝑃𝑖𝑗 (ℎ) đối với ℎ nhỏ và sau đó có được một hệ phương trình vi
phân bởi 𝑃𝑖𝑗 (𝑡) đối với mọi 𝑡 > 0.

1.4.2. Phân phối của các trạng thái ổn định
Như chúng ta đã thấy phân phối trạng thái ổn định đối với quá trình sinh-chết

có thể thu được dưới dạng rất đẹp, đó là
𝑃𝑖 =

𝜆0 … 𝜆𝑖−1
𝑃,
𝜇1 … 𝜇𝑖 0

𝑖 = 1,2, … ,

𝑃0−1 = 1 + ∑

∞

𝜆0 … 𝜆𝑖−1
.
𝑖=1 𝜇1 … 𝜇𝑖

Trước hết, ta hãy xét các phân phối tại những thời điểm khách đến vì ta sẽ sử
dụng chúng sau này.
Giả sử 𝑁𝑎 , 𝑁𝑑 là các trạng thái của quá trình ngay tại thời điểm của việc sinh,
chết tương ứng và giả sử Π𝑘 = 𝑃(𝑁𝑘 = 𝑎), 𝐷𝑘 = 𝑃(𝑁𝑑 = 𝑘 ), 𝑘 = 0,1,2, … là các
phân phối của chúng.
Từ công thức Bayes dễ thấy rằng
Π𝑘 = lim

(𝜆𝑘 ℎ + 𝑜(ℎ))𝑃𝑘

ℎ→0 ∑∞
𝑗=0 (𝜆𝑗 ℎ

Tương tự

+ 𝑜(ℎ)) 𝑃𝑗

=

𝜆𝑘 𝑃𝑘
.
∑∞
𝑗=0 𝜆𝑗 𝑃𝑗


𝐷𝑘 = lim
ℎ0

Vì

𝑃𝑘+1 =

(𝜇𝑘+1 ℎ + 𝑜(ℎ))𝑃𝑘+1
∑∞
𝑗=1 (𝜇𝑗 ℎ + 𝑜 (ℎ)) 𝑃𝑗

𝜆𝑘
𝜇𝑘+1

=

𝜇𝑘+1 𝑃𝑘+1
.

∑∞
𝑗=1 𝜇𝑗 𝑃𝑗

𝑃𝑘 , 𝑘 = 0,1, …, nên
𝜆 𝑃𝑘

𝐷𝑘 = ∑∞𝑘

𝑖=0 𝜆𝑖 𝑃𝑖

= Π𝑘 , k = 0,1, …

Như vậy quan hệ ở trên nói rằng các phân phối ổn định ở những thời điểm sinhchết là như nhau. Cần nhấn mạnh rằng, điều đó khơng có nghĩa là nó bằng phân phối
của trạng thái ổn định tại một điểm ngẫu nhiên như chúng ta sẽ thấy sau này.
Hơn nữa ghi nhận quan trọng là ở trạng thái ổn định tỷ lệ sinh trung bình bằng
với tỷ lệ tử vong trung bình. Điều này có thể được nhìn thấy như sau
∞

∞

∞

𝜆̅ = ∑ 𝜆𝑖 𝑃𝑖 = ∑ 𝜇𝑖+1 𝑃𝑖+1 = ∑ 𝜇𝑘 𝑃𝑘 = 𝜇̅ .
𝑖=0

𝑖=0

𝑘=1

Chương 2:
LÝ THUYẾT XẾP HÀNG VÀ HỆ THỐNG XẾP HÀNG M/G/1

2.1. Cơ bản về lý thuyết xếp hàng
2.1.1. Khái niệm về hàng đợi
Hệ thống hàng đợi được xây dựng nhằm phục vụ các nhu cầu phát sinh từ một
quần thể nhất định. Chẳng hạn: quầy bán hàng, dịch vụ du lịch, ngân hàng, việc đăng
ký học tập của sinh viên ở phòng đào tạo, … Như vậy hệ thống hàng đợi bao gồm bộ
phận tiếp nhận khách hàng, các trạm phục vụ khách hàng và bộ phận phát sinh từ
ngoài vào là lượng khách hàng đến hệ thống. Hai bộ phận này kết hợp với nhau tạo ra
hoạt động của hệ thống hàng đợi: thời gian phục vụ khách hàng, số khách hàng chờ
được phục vụ tạo thành hàng đợi, quy tắc phục vụ khách hàng như thế nào là hợp lý,
…
Hàng đợi là hệ thống bao gồm các thành phần : khách hàng vào/ ra hệ thống
(Input/Output), hệ thống phục vụ (Server), hàng đợi(Queue).

Input

Queue

Server

Output

Mơ hình hàng đợi
Khách hàng vào hệ thống được đưa vào hàng đợi, đến lượt thì được phục vụ ở
server, sau khi được phục vụ xong thì ra khỏi hệ thống. Khi dùng hàng đợi ta hiểu là
toàn bộ hệ thống xếp hàng bao gồm các yêu cầu đợi phục vụ và các yêu cầu đang đợi
phục vụ và các yêu cầu đang được phục vụ .
Hệ thống được mơ hình hố dưới dạng hàng đợi như sau:

• Mỗi tài nguyên của hệ thống tương ứng với một trung tâm/máy dịch vụ (server
center).
• Mỗi giao dịch yêu cầu tài nguyên thứ 𝑖 sẽ là một phục vụ khách hàng trong
hàng đợi 𝑄𝑖 tương ứng với loại tài nguyên đó.

2.1.2. Phương thức xử lý của hệ thống hàng đợi
Để mô tả một hệ thống xếp hàng (hàng đợi), chúng ta phải xác định các thuộc
tính xác suất của một dòng các yêu cầu, thời gian phục vụ và các ngành dịch vụ. Q
trình đến có thể được đặc trưng bởi phân phối 𝐴(𝑡 ) của thời kỳ đến kế tiếp 𝑋 (khoảng
đến kế tiếp-interarrival times) của khách hàng, đó là:
𝐴 (𝑡 ) = 𝑃 (𝑋 < 𝑡 )
Trong lý thuyết xếp hàng những thời kỳ đến liên tiếp thường được giả thiết là các
biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối. Một biến ngẫu nhiên khác là thời gian
phục vụ 𝑌, đơi khi nó được gọi là yêu cầu dịch vụ, làm việc. Hàm phân phối của 𝑌
được ký hiệu là 𝐵(𝑥), đó là:
𝐵 (𝑥 ) = 𝑃 (𝑌 < 𝑥 )
Thời gian phục vụ 𝑌 và thời kỳ đến liên tiếp 𝑋 thường được coi là các biến ngẫu
nhiên độc lập.
Cấu trúc của dịch vụ và quy ước dịch vụ cho chúng ta biết số lượng máy chủ;
năng lực của hệ thống, đó là số lượng tối đa khách hàng ở trong hệ thống kể cả những
khách hàng đang được phục vụ.
Các quy ước dịch vụ xác định theo quy tắc khách hàng lần lượt được chọn. Các
quy luật thường được sử dụng nhất là:
FIFO - First In First Out: Người đến trước sẽ được đi trước.
LIFO - Last Come First Out: Người đến sau sẽ được đi trước.
RS - Random Service: Khách hàng được lựa chọn ngẫu nhiên.

Priority: Phục vụ có ưu tiên.
Mục đích của các nghiên cứu trong lý thuyết xếp hàng là để có được đánh giá về
những hoạt động chính của hệ thống, đó là các tính chất xác suất (hàm phân phối (của
dịng vào, dịng ra), hàm mật độ, trung bình, phương sai) của các biến ngẫu nhiên sau:
số lượng khách hàng trong hệ thống, số khách hàng chờ đợi, thời gian sử dụng (các)
máy chủ, thời gian đáp ứng của khách hàng, thời gian chờ đợi của một khách hàng,
thời gian nhàn rỗi, thời gian bận của máy chủ. Tất nhiên, câu trả lời phụ thuộc nhiều
vào các giả thiết liên quan đến phân bố của các thời kỳ đến kế tiếp, phân phối của thời
gian phục vụ, số lượng máy chủ, năng lực và kỷ luật dịch vụ. Ít khi các phân phối có
thể được tính tốn ngoại trừ các hệ thống sơ cấp hay có tính Markov. Thơng thường
trung bình hoặc các biến đổi (hàm sinh) của chúng có thể được tính đến.
Đầu tiên, để đơn giản ta xét một hệ thống một (máy chủ) phục vụ. Giả sử 𝜌, được
gọi là suất lưu thông (mật độ lưu thông-traffic intensity), được định nghĩa là
𝜌=

𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑝ℎụ𝑐 𝑣ụ
𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎờ𝑖 𝑘ỳ đế𝑛 𝑘ế 𝑡𝑖ế𝑝

=

𝑌̅
𝑋̅

Giả sử một hệ thống vô số cá thể với tốc độ đến là 𝜆, nó là nghịch đảo của trung
bình thời kỳ đến kế tiếp, và giả thiết trung bình thời gian phục vụ được biểu thị bởi
1/𝜇. Thế thì, ta có
1
𝜇 𝜆
𝜌 = 𝑚ậ𝑡 độ đế𝑛 ∗ 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑝ℎụ𝑐 𝑣ụ = =
1 𝜇

𝜆
Nếu 𝜌 > 1 thì hệ thống bị quá tải vì tốc độ đến nhanh hơn tốc độ phục vụ. Nó
chỉ ra rằng việc tăng cường năng lực phục vụ hay số máy chủ nhiều hơn là cần thiết.
Giả sử 𝜒(𝐴) là hàm đặc trưng (chỉ tiêu) của biến cố 𝐴. Tức là
𝜒 (𝐴 ) = {

1 𝑛ế𝑢 𝐴 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛
0 𝑛ế𝑢 𝐴 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑥𝑢ấ𝑡 ℎ𝑖ệ𝑛

(1.1)


Hơn nữa giả sử 𝑁(𝑡 ) = 0 là biến cố máy chủ rỗi tại thời điểm 𝑇, tức là khơng có
khách hàng trong hệ thống. Thế thì việc sử dụng máy chủ trong suốt thời gian T được
xác định bởi
1

𝑇

∫ 𝜒(𝑁(𝑡 ) ≠ 0)𝑑𝑡
𝑇 0

(1.2)

trong đó T là một khoảng dài thời gian. Khi 𝑇 → ∞, ta nhận được suất sử dụng máy
chủ hay là suất phục vụ, được ký hiệu bởi 𝑈𝑠 và hệ thức sau đúng với xác suất 1:
𝑇

1

𝐸𝛿

𝑈𝑠 = lim ∫0 𝜒(𝑁(𝑡 ) ≠ 0)𝑑𝑡 = 1 − 𝑃0 =
𝑇
𝐸𝛿+𝐸𝑖
𝑇→∞

(1.3)

trong đó 𝑃0 là xác suất trạng thái ổn định của máy chủ rỗi, 𝐸𝛿, 𝐸𝑖 ký hiệu là trung bình
chu kỳ bận, trung bình chu kỳ rỗi của máy chủ tương ứng.
Công thức này là một trường hợp đặc biệt của hệ thức đúng đối với xích Markov
với thời gian liên tục và được chứng minh trong Tomko.
Định lý 1: Giả sử 𝑋 (𝑡 ) là một xích Markov ergodic, và 𝐴 là một tập con của
khơng gian trạng thái của nó. Khi đó với xác suất 1:
1

𝑇

𝑙𝑖𝑚 (∫0 𝜒(𝑋(𝑡 ) ∈ 𝐴)𝑑𝑡 ) = ∑𝑖∈𝐴 𝑃𝑖 =

𝑡→∞ 𝑇

𝑚(𝐴)
𝑚(𝐴)+𝑚(𝐴̅)

(1.4)

trong đó 𝑚(𝐴) và 𝑚(𝐴̅) là trung bình thời gian lưu lại của xích trong 𝐴 và 𝐴̅
trong suốt một chu trình tương ứng. Phân phối ergodic (dừng, trạng thái dừng) của

𝑋 (𝑡 ) được ký hiệu là 𝑃𝑖 .
Trong một hệ thống 𝑚-server số lượng trung bình các khách đến một máy chủ
nhất định trong suốt thời gian 𝑇 là 𝜆𝑇/𝑚, cho rằng khách được phân bố đều trên các
máy chủ. Vì vậy suất sử dụng một máy chủ nhất định là
𝑈𝑠 =

𝜆
𝑚𝜇

(1.5)

Chỉ số quan trọng khác của hệ thống là thông lượng của hệ thống, được xác định
là số trung bình của các yêu cầu phục vụ được trong một đơn vị thời gian. Trong một
hệ thống 𝑚-server, trung bình của các dịch vụ hồn thành là 𝑚𝜌𝜇 và do đó
𝑇ℎơ𝑛𝑔 𝑙ượ𝑛𝑔 = 𝑚𝑈𝑠 𝜇

(1.6)