Không gian tôpô bất khả quy

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ MAI HƯƠNG

LÊ THỊ MAI HƯƠNG

KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY

KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY
ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PƠ
MÃ SỐ: 60.46.01.05
Học viên: Lê Thị Mai Hương
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Hữu Quang

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2019


BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
BỘ GIÁOĐẠI
DỤC
ĐÀO
TẠO
TRƯỜNG
HỌC
VINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ MAI HƯƠNG
LÊ THỊ MAI HƯƠNG

KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY
KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PƠ
CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC VÀ TƠ PÔ
MÃ SỐ: 8.46.01.05
MÃ SỐ: 60.46.01.05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TIẾN SỸ. NGUYỄN HỮU QUANG
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
NGHỆ AN - 2019
PGS.TS. NGUYỄN HỮU QUANG
NGHỆ AN - 2019


LỜI CẢM ƠN

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc của mình tới PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang, người đã đặt ra bài tốn và
hướng dẫn tơi thực hiện việc nghiên cứu đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ mơn Đại số Hình Học,
Ngành Tốn của Trường Đại học Vinh đã giúp tơi hồn thành tất cả các học
phần của khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các
phương pháp học tập hữu ích; giúp tơi hồn thành các học trình, đặc biệt là

luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo
tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường THPT Quỳnh Lưu 2, cùng tồn thể q
đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp.
Chân thành cảm ơn!
Nghệ An, tháng 8 năm 2019
Tác giả

Lê Thị Mai Hương


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Đối tượng phạm vi nghiên cứu...................................................................... 1
3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
5. Dự kiến đóng góp .......................................................................................... 2
6. Kết cấu luận văn ............................................................................................ 2
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................... 3
1.1 Iđêan nguyên tố của A ................................................................................ 3
1.2 Iđêan căn của A .......................................................................................... 8
1.3. Tập đại số trong

n

.................................................................................. 12

1.4 Iđêan của tập đại số ................................................................................... 16
CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN TÔ PÔ BẤT KHẢ QUY............................ 19
2.1 Không gian tôpô Zariski trên

n

.

.............................................................. 19

2.2 Tập đại số bất khả quy .............................................................................. 23
2.3 Không gian tôpô bất khả quy. ................................................................... 26
KẾT LUẬN .................................................................................................... 32
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 33


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học đại số là lĩnh vực tốn học dùng các cơng cụ đại số để nghiên cứu
hình học afin và hình học xạ ảnh. Phần lớn các hình trong khơng gian đều biểu
diễn bởi tập nghiệm của hệ phương trình các đa thức. Vì vậy, để nghiên cứu các
tính chất hình học ta quy về nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình các
đa thức. Hiện nay, hình học đại số đã phát triển thành một ngành của toán học
hiện đại. Do đó, có rất nhiều nhà khoa học trong nước cũng như ngồi nước
nghiên cứu.
Trên

n

bên cạnh tơpơ thơng thường cịn có nhiều tơpơ khác như tơpơ rời

rạc, tơpơ Zariski. Tơpơ Zariski là tôpô mà các tập mở là phần bù của một tập
nghiệm hệ phương trình các đa thức. Rất nhiều hình trong hình học phổ thơng là
tập đại số Zariski như đường thẳng, mặt phẳng, đường trịn, hypebol, parabol,
elip…Tơpơ Zariski cho phép nghiên cứu các tính chất hình học thơng qua các
cơng cụ của đại số như nhóm, vành, iđêan.
Tập bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy là những khái niệm cơ bản
trong hình học đại số. Do đó, trong luận văn này chúng tơi tìm hiểu một số tính
chất, ứng dụng của tập bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy cùng với sự
hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Luận văn được mang tên: “ Không
gian tôpô bất khả quy”
2. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: tôpô Zariski và các tập bất khả quy trên

n

.

- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu tập bất khả quy và không gian bất
khả quy trên

n

.

3. Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tính chất cơ bản của tập bất khả quy và không gian bất
khả quy đối với tôpô Zariski.

1


- Nghiên cứu một số ứng dụng của tập bất khả quy và không gian bất khả
quy đối với tôpô Zariski.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Công cụ của đại số như nhóm, vành, iđêan.
- Cơng cụ tơpơ.
5. Dự kiến đóng góp
- Trình bày hệ thống các vấn đề nói trên chú trọng đến các tính chất, ví dụ
bài tốn trên khơng gian tơpơ bất khả quy.
- Tìm cách mở rộng, khái quát một số kết quả, tính chất mới trên không
gian tôpô Zariski, tập đại số bất khả quy và không gian tôpô bất khả quy.
6. Kết cấu luận văn
Tên đề tài: “ Không gian tôpô bất khả quy”
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chương này trình bày hệ thống định nghĩa, tính chất, ví dụ về
iđêan nguyên tố, iđêan căn, tập đại số và iđêan của tập đại số.
Chương 2: Không gian tơpơ bất khả quy
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong đó, trình bày định
nghĩa, khái niệm và một số tính chất của khơng gian tơpơ Zariski, tập đại số bất
khả quy và không gian tôpô bất khả quy.

2


CHƯƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm và một số tính chất

cơ bản về iđêan nguyên tố, iđêan căn, tập đại số và iđêan của tập đại số.
Giả sử, A =
trường số thực

[x1, x2,…., xn ] là vành các đa thức n biến x1, x2,…., xn trên

với các phép toán cộng, nhân các đa thức thông thường.

Mỗi f  A , f =



r r ....r  d
1

2

r
r r
ar , r ,...., r x1 1 x2 2 ....xn n , ri  , ( tập hợp số
1

n

2

n

tự nhiên)
Như ta đã biết, vành A giao hốn có đơn vị f  1 . Một iđêan I  A , đó là

tập hợp I  A và; f  g  I ; f , g  I ; f .g  I , f  I , h  A .
1.1 Iđêan nguyên tố của A
1.1.1. Định nghĩa
Iđêan I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu fg  I thì hoặc f  I hoặc
gI .

1.1.2 Ví dụ
1/ Iđêan 0 của vành đa thức

 X  trên trường

là iđêan nguyên tố;

2/ I  x  A   x là một iđêan nguyên tố của A ; ( I  x là iđêan sinh bởi x).
Thật vậy: f .g  I với f , g   x  . Khi đó, f hoặc g chia hết cho x nên f  I
hoặc g  I .
1.1.3. Mệnh đề [2]
i/ f  A, f bất khả quy. Khi đó I  f , I là iđêan nguyên tố;
ii/ I là iđêan nguyên tố trong A   X  . Khi đó, I là iđêan cực đại.
(iđêan I được gọi là cực đại nếu I không bị chứa trong một iđêan thực nào
khác)

3


Chứng minh
i/ Giả sử g , h  A và g.h  I . Ta có g.h chia hết cho f .
Do f bất khả quy nên g chia hết cho f hoặc h chia hết cho f . Vậy g  I
hoặc h  I .
ii/ Để chứng minh (ii) ta cần sử dụng bổ đề sau:

 x . Khi đó I 

Bổ đề: Giả sử I là iđêan trong A 
Thật vậy: Ta xét

f

là đa thức bậc bé nhất trong I

Khi đó: g  I  g  f .h  r ,

 r  g  fh  I và
Do

f

f , f A

deg r  deg f

deg r  deg f

bậc bé nhất nên r  0 . Do đó g  f .h .

Vậy I  f .
Bây giờ: Ta sử dụng bổ đề trên để chứng minh (ii)
Giả sử có iđêan J trong A với J  I , I  J
Khi đó J  g và I  f  f  J

f g
 gI
 I  J (mâu thuẫn với I  J )

Vậy I là iđêan cực đại.
Giả sử I là iđêan trong A 

 x1,..., x n  .

Ta kí hiệu V  I   P | P iđêan thực sự nguyên tố chứa I  ;

S P  A  V  I  | I iđêan trong A .
1.1.4 Mệnh đề
i/  V  I1   V  I2    S P  A ;


ii/   V  I j    S P  A  , j là tập chỉ số bất kì.
 iJ


4


Chứng minh:
i/  V  I1   V  I2    V  I1.I2  .Thật vậy:
 I  I1. I2 là iđêan trong A

P   V  I1   V  I2  

 P  V  I1  hoặc P  V  I2 

 P chứa I1 .I2
 P  V  I1  I2 
 P   V  I1.I2    P   I1.I2 
Giả sử I1  P và I2  P . Khi đó f  I1 ; f  P và g  I2 , g  P .
Nhưng f .g  I1.I2

 f .g  P
 f  P hoặc g  P (Do P nguyên tố), (Điều này mâu thuẫn).
Vậy P chứa I1 hoặc I2 . Do đó P   V  I1   V  I2   .
ii/ Ta đặt    I j . Khi đó  là iđêan trong A .
j



Ta chứng minh   V  I j    V  
 iJ


Thật vậy:



P    V  I j    P  V  I j  ; j  J  P  I j ; j  J
 iJ

 P   Ij
jJ

Ngược lại:

5




P  V     P  V    P      I j 
jJ


 P  I j ; j  J


 P    V  I j  .
 iJ

1.1.5. Mệnh đề [4]
Giả sử I là iđêan cực đại của A . Khi đó I là iđêan nguyên tố.
Chứng minh:
Ta lấy f , g  A và f .g  I .
Giả sử f , g  I . Ta xét iđêan J  I , f
Khi đó J  I, I  J
Do I cực đại, nên J  A

 1 J
 1    f .h;  I , h  A
 g   .g  f .g.h
 gI
(Mâu thuẫn với g  I )
Vậy f  I hoặc g  I nên là I iđêan nguyên tố.

1.1.6. Nhận xét
i/ Nếu I   0  thì V  I   S P  A  , (vì mọi iđêan nguyên tố đều chứa 0);
ii/ Nếu I là iđêan cực đại trong A thì V  I   I .
(vì iđêan cực đại là iđêan nguyên tố);
iii/ Nếu I  A thì V  I    (vì khơng có iđêan thực sự nào chứa A ; mặt
khác khơng có iđêan ngun tố nào lớn hơn chứa nó vì I  J );
iv/ Giả sử I1, I2 là 2 iđêan trong A và I1  I2 ,
khi đó: V  I1   V  I2  .

6


Thật vậy: I1  I2

P  I2  P  I1

Ta có:

 P  V  I2 
 P  V  I1 

 V  I1   V  I2 
1.1.7 Ví dụ
4
Giả sử I  x  1 

 x . Khi đó, nếu

P V  I  thì P  g ,



chia hết cho g . Do đó: V  I   P1  x 2  1 ; P2  x  1 ; P3  x  1

x4  1



1.1.8. Mệnh đề [3]
Giả sử iđêan I  f ; f  A .
Khi đó I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi f bất khả quy.
Chứng minh:
 Điều kiện cần: Giả thiết I  f là một iđêan nguyên tố và giả sử f khơng
bất khả quy thì f  f1. f2 ; f1, f2  A và deg f1 < deg f2
Do f nguyên tố  f1  I hoặc f2  I
Chẳng hạn
f1  I  f1  g.h; h  A
 f1 f

 deg f1   deg f (mâu thuẫn)
 Điều kiện đủ: Giả thiết f bất khả quy và I  f .
Ta xét: g1.g2  I ; g1, g2  A
Khi đó: g1.g2  f .h  g1.g2 chia hết cho f . Do f bất khả quy nên g1 chia
hết cho f hoặc g 2 chia hết cho f .Vậy I là iđêan nguyên tố.

7


1.2 Iđêan căn của A
1.2.1 Định nghĩa

i. Giả sử I là iđêan của A . Tập hợp

I   f  A | m, f m  I  được gọi là

iđêan căn của I ;
ii. Nếu I  I thì I được gọi là iđêan căn.
1.2.2 Ví dụ

I  x2 

 x  . Khi đó

I  x . Thật vậy:

 f  x  f  x.h ; h  R  x 

 f 2  x2 .h2  I
 f  I , (với m=2)
m
2
 f  I  m; f  I  x

 f m  x 2 .g ; g  R  x 
 f m  x. x.g  x

Vậy

I x .

1.2.3 Nhận xét [2]

i/ I  I
ii/ I1  I 2 thì
iii/

I1  I 2

I  I

Chứng minh
i/ f  I  f 1  f  I  f  I
ii/ f  I1  m, f m  I1

 m, f m  I 2 ; (vì I1  I 2 )

 f  I2

8


iii/ f 

I  m, f m  I
 k ,  f m   I
k

 m.k , f mk  I
 f I



I  I

Từ nhận xét (i) ta có

I  I

1.2.4 Mệnh đề [6]
Giả sử I là iđêan của A . Khi đó:
i/ I là iđêan của A .
ii/ Nếu I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan căn.
Chứng minh
i/ f  I và g  I  m, k , f m  I và g k  I
  f  g

m k

I

  f  g  I

 f .h 
Vậy

m

 f m .hm  I ; h  A  f .h  I

I là iđêan của A .

ii/ Giả sử I là iđêan nguyên tố. Ta chứng minh

I I

Thật vậy: Với x  I mà x  I

 m  N * sao cho xm  I
 xm1.x  I mà x  I
 xm1  I
Tiếp tục như vậy m-1 lần ta được x  I (mâu thuẫn)
Do đó x  I thì x  I .

9


 I I.
Vậy I là iđêan nguyên tố thì I là iđêan căn.
1.2.5 Mệnh đề [2]
Giả sử I , J là các iđêan trong A . Khi đó:
i/

IJ  I  J ;

ii/

IJ  I  J .

Chứng minh
 x  IJ   số tự nhiên m  1 sao cho xm  IJ
n
x  I


IJ  I
x  I

 x I  J
Ta có 
 m

x

J

x

J
IJ  J




 IJ 



I J



(1)

 x  I
 x  I  J  
 x  J
 x m1  I
  hai số tự nhiên m1  1 và m2  1 sao cho  m
 x 2  I

 x m1 x m2  IJ
 x m1  m2  IJ
 x  IJ

 I  J  IJ (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra

IJ  I  J

ii. I  J   x  R | m  N * ; x m  I  J 
  x  R | m  N * ; x m  I  x m  J 

  x  R | m  N * ; x m  I    x  R | m  N * ; x m  J 
 I J

10


Vậy

IJ  I  J .

1.2.6 Mệnh đề [2]

I là iđêan căn. Khi đó, I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I khơng phân
tích được thành giao của hai iđêan căn thực sự lớn hơn I .
Chứng minh
 Điều kiện cần: I là iđêan nguyên tố và I  J1  J 2
Khi đó, J1.J 2  I
Mặt khác, do I là iđêan nguyên tố, nên J1  I (hoặc J 2  I )
Như vậy I không là giao của hai iđêan căn thực sự lớn hơn I
 Điều kiện đủ: Giả thiết I là iđêan căn nhưng khơng phải là iđêan ngun
tố.
Khi đó, f , g  A và f , g  I , để I .g  I
Ta đặt J1 

I , f ; J2 

I, g

Ta có: J1  I ; J 2  I và I   J1  J 2 
Giả sử, h  J1  J 2  h  J1 và h  J 2

m, h m  I , f

k
k , h  I , g
h m  1  f .h1;1  I ; h1  A
 k
h   2  f .h2 ; 2  I ; h2  A
 h m k  I
 h I
Mặt khác, theo giả thiết I là iđêan căn

I  I  h I
Vậy I  J1  J 2 (mâu thuẫn)

 I là iđêan nguyên tố.

11


1.3. Tập đại số trong

n

1.3.1 Định nghĩa
Một tập con V 
đa thức trong

n

gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một hệ S các

 x .



Ta kí hiệu tập nghiệm của đa thức f là V  Z  S   a 

n



f  a   0, f  S .

1.3.2. Ví dụ
1) Với f  a; a  R; a  0 . Ta suy ra phương trình f  0 .
Do đó Z  f    . Vậy  là tập đại số.
2) Với f  0 có nghiệm với a 

3) Hệ phương trình

n

, nên Z  f  

n

. Vậy

n

là tập đại số.

 x1  2  0

 x2  1  0 ; có nghiệm a  2; 1;6  
x  6  0
 3

3

.

Ta suy ra a   2; 1;6  là tập đại số.

 x  ai  0
Tổng qt: Hệ phương trình  i
có 1 nghiệm là
i

1,2,...,
n


a  a1, a2 ,..., an  

n

Vậy tập 1 điểm a   a1, a2 ,..., an  là một tập đại số

n

4) Ta xét hệ phương trình tuyến tính:

a11 x1  ...  a1n xm  b1

* 

a x  ...  a x  b
mn n
m

 m1 1

S   f1  x1,...,xn   a11 x1  ...  a1n xn  b1, fm  x1,...,xn   am1x1  ...  amn xn  .
Vậy V  Z  S  là tập đại số ( V là nghiệm của hệ phương trình (*)).
5) f  x, y   x 2  y 

 x, y thì V  Z  f    a, a2  
12

,a 

.


2

Nó là một parabol trong
Vậy parabol trong

2

.

là một tập đại số.

1.3.3. Nhận xét [2]
i/ Nếu S1, S2 

 x  mà

S1  S2 thì Z  S2   Z  S1  .

Thật vậy: a  Z  S2   f  a   0;f  S2 mà S1  S2

 f  a   0;f  S1 . Vậy Z  S2   Z  S1  .
ii/ Tập A của tập số thực

là tập đại số khi và chỉ khi nó là rỗng, tồn bộ

hoặc nó là tập hữu hạn các phần tử của

.

Thật vậy: Vì tập nghiệm của 1 đa thức một biến f  x  sẽ là một trong ba loại:
(1) f  x   x 2  1  Z  f   
(2) f  x   0  Z  f  
(3) f  x   a0  a1 x  ...  ak x k  Z  f  có nhiều nhất k nghiệm  x1,...,x k 
1.3.4. Mệnh đề [7]
i/ Hợp của 2 tập đại số là một tập đại số.
ii/ Giao của 2 tập đại số là một tập đại số.
Chứng minh:
n

Giả sử A và B là tập đại số trong
Khi đó có tập S1 , S2 trong

.

 x1,..., xn  sao cho

A  Z  S1  ; B  Z  S2  .

i/ Ta có: A  B  Z  S  , với S   f .g f  S1, g  S2 
Thật vậy:

13


 x  A  f  x   0;f  S1
x  A  B  

 x  B  g  x   0;g  S2
 f  x  .g  x   0;f  S1, g  S2
 x  Z S
 A  B  Z S


Ngược lại:

x  Z  S    f .g  x   0
 f  x .g  x   0;f  S1,  g  S 2
 f  x   0;f  S1
x  A


x  B
 f  x   0;g  S2

 x  A  B  Z S  A  B
ii/ Ta cần chứng minh A  B  Z  S1  S2 

 Thật vậy :
 x  A  x  Z  S1 
x  A  B  

 x  B  x  Z ( S2 )
 f ( x)  0; f  S1

 g ( x)  0; g  S2
 x  Z  S1  S2 

 x  Z  S1  S2   f ( x)  0, f  S1  S2

S
 x là nghiệm của hệ  1
 S2
 f ( x)  0; f  S1
 x  Z ( S1 )


 g ( x)  0; g  S2  x  Z ( S 2 )
 x  Z ( S1 )  Z ( S 2 )
 x  A B

14


1.3.5 Mệnh đề [2]
Giả sử S 

 X  . Khi đó Z (S ) 

Z( f ) .
f S

Chứng minh:
 Giả sử x  Z ( S )
 f ( x)  0, f  S
 x  Z ( f ), f  S
 x

Z( f )
f S



 Z (S )   Z ( f ) 
 f S




 Với x   Z ( S ) 
 f S


 x  Z ( f ), f  S
 f ( x)  0, f  S
 x  Z (S )



  Z ( f )   Z (S )
 f S

Ta suy ra Z ( S ) 

Z( f )
f S

1.3.6 Mệnh đề [5]
Cho S là một hệ đa thức trong

 X  và I là iđêan của  X  sinh bởi đa

thức S. Khi đó Z  I   Z  S  .
Chứng minh:
 S  I  Z  I   Z  S  ; (1)
 a  Z  S   f (a)  0 ; f  S
Ta xét: g  I  g  f1h1  ...  f k hk ; fi  S , hi  R  X 

15


 g (a)   f1 (a)h1 (a)  ...  f k (a)hk (a)  0

 aZ I 
 Z  S   Z  I  (2)

Từ ( 1) và (2) ta có Z  I   Z  S 
1.4 Iđêan của tập đại số
1.4.1 Định nghĩa

Giả sử V là một tập đại số

n

.

Khi đó IV   f   X  | f  a   0, a V  được gọi là iđêan của tập đại số.
1.4.2 Ví dụ
V  1 

Khi đó: IV  f ( x)  x  1 là iđêan của V .
Thật vậy:
 g  IV  g  f .h; h 

 x

  x  1 h
 g (1)  0
 h

 x , với h(1)  0

Ta có:

h   x  1 h1  r ; r 
 h 1  r
r 0
 h   x  1 h1
 h  f  IV
Vậy IV  f  x   x  1 .

16


1.4.3 Mệnh đề [2]
i/ Giả sử V là một tập đại số trong

n

thì IV là một iđêan lớn nhất nhận V

làm nghiệm.
ii/ IV là iđêan căn.
Chứng minh:
i/ f , g  IV .
 Ta xét:

( f  g )(a)  f  a   g  a   0; a V
 f  g  IV

 f .h  a   f  a .h  a   0; a V , h   X 
 f .h  IV
Vậy IV là một iđêan
 Giả sử có iđêan J trong

 X  nhận V

làm nghiệm

Khi đó, f  J  f  a   0; a V

 f  IV
 J  IV

Vậy IV là một iđêan lớn nhất nhận V làm nghiệm.
ii/ Ta cần chứng minh Iv  I v .
Thật vậy, ta ln có I v  I v .
Lấy phần tử bất kỳ f  I v thì f m  I v với m  0 nào đó. Ta suy ra: f m (a)  0
với a V , m  0  f (a)  0 với a V
 f  Iv
 Iv  Iv . .

Vậy I v là iđêan căn.

17


1.4.4 Mệnh đề [7]
Cho V, W là tập đại số của Rn . Khi đó:
1/ Nếu V  W thì Iv  I w ;
2/ Iv  I w  Ivw
3/ Iv  I w  Iv  w.
Chứng minh.
1/ I w  Iv : Lấy phần tử bất kỳ f  I w thì f (a)  0 với a  W
 f (a)  0

với a V vì V  W

 f  Iv  I w  Iv .

2/ Để chứng minh Iv  I w  Ivw ta sẽ chứng minh Iv  I w  Ivw và Iv  I w  Ivw . .

 f I

 f (a)  0, a V

v

 Iv  I w  Ivw Lấy tùy ý f  Iv  I w suy ra: 
 f (b)  0, b  W
 f  Iw

 f (c)  0, c V  W  f  I vw

Vậy  Iv  I w  I vw .
 I v  I w  I v w :
Ta có: V  V  W và W  V  W . Do đó Iv  Ivw và I w  Ivw .
Vậy Iv  I w  I vw .
3/ Chứng minh: Iv  I w  I vw .
 Nếu V W    IV W  I  R  X   IV  I W  R  X 
 Nếu V W   , Lấy phần tử bất kỳ f  Iv  I w thì f  g  h với g  Iv , h  I w
 g (a )  0, a  V

 g (e)

và h(b)  0, b  W

và h(c)  0 với c V  W

 f (c)  g (c)  h(c)  0, với c V  W

 f  I v  I w . Vậy I v  I w  I vw .

18


CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN TÔPÔ BẤT KHẢ QUY
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong đó, trình bày định
nghĩa, khái niệm và một số tính chất của khơng gian tôpô Zariski, tập đại số bất
khả quy và không gian tôpô bất khả quy.
n

2.1 Không gian Tô Pô Zariski trên

Trong mục này, ta ký hiệu: TZ  U  k n A A là tập đại số
2.1.1 Mệnh đề [4] TZ là một Tôpô trên

n

n

.

.

Chứng minh:

U'

là các tập đại số trên

n

Vì ∅ ;
n

\ 

n

Giả sử U i 

n

iI

Do
iI

nên U 

n

\

n

   Tz và

 Tz .

với Ai , i  I là các tập đại số trên

\ Ai

Ui 

Ta có:

n

iI



n

\ Ai  

n

n

.



\  Ai 
 iI 




Ai là một tập đại số nên  Ui   Tz .
 iI 

Gỉả sử U1 ,U 2  Tz ;U1 
số trên

n

U1 U 2  (

n

A1 ,U 2 

n

A2 . Trong đó A1 , A2 là các tập đại

. Ta có:
n

\ A2 ) 

n

\ ( A1

A2 )

Do A1 , A2 là các tập đại số trên

n

nên A1 A2 là tập đại số trên

n

.

Do đó, U1 U 2 Tz . .
2.1.2. Định nghĩa
Tz được gọi là Tôpô Zariski trên
n

n

.

cùng với Tôpô Zariski Tz được gọi là không gian Tôpô Zariski

Chú ý:

19

n

.

i/ Tập Ui  TZ được gọi là một tập mở Zariski ;
ii/ Mỗi tập đại số Ai được gọi là một tập đóng Zariski.
2.1.3. Ví dụ
1. Tơpơ Zariski Tz trên
Trong đó A  ; A 
2. Tập hợp U 
(

2

2

gồm các tập hợp có dạng U  \ A;

hay A là tập hữu hạn điểm.



/ A , với A  ( x, x 2 ) x 

 , là tập mở trong không gian tôpô

, Tz ) .

2.1.4. Mệnh đề [8]
Cho không gian Tôpô ( 2 , Tz ) . Ta ký hiệu:
D( f ) 

n

Z ( f ) \, với f ∈ f 

X .

Khi đó:   D( f ) f   X  là cơ sở của Tz trên

n

.

Chứng minh:
 Với f  1 thì Z ( f )   , Do đó D( f ) 

n

D( f ) 

. Vì vậy

n

.

f R[ x ]

 Giả sử U  Tz , thế thì U có dạng U  Rn \ Z (S ); Trong đó S là hệ đa thức

 X  . Vì vành đa thức  X  là vành Noether nên iđêan

trong

S là iđêan hữu

hạn sinh.
Giả sử  f1 ,..., f m  là hệ sinh hữu hạn của iđêan S . Ta có:
U

n

Z (S )

=

n

=

n

Z  f1 ,..., f m 
m

Z ( f i ) fi))
i 1

m

=

D( fi )

i 1

Như vậy, mỗi tập mở U theo Tôpô Zariski Tz trong
các tập trong  .

20

n

là hợp (hữu hạn)


2.1.5. Mệnh đề [1]
Giả sử U1 ,U 2 Tz ;U1   . Khi đó U1 U 2   .
Chứng minh:

 x  . Ta có

Giả sử f , g  0 là các đa thức trong

Z ( f ) Z ( g )  Z ( f .g ) 

n

.

Do f .g  0 . Từ đó suy ra
D( f ) D( g )  (

Giả sử U1 

m

n

n

\ z( f ) (

D( f i ); U 2 

i 1

\ Z (g) 

n

\ Z ( f .g )   .

l

D( g j )
j 1


  l
D( f i )   D( g j ) 
 i 1
  j 1


Ta có U1 U 2  

m

 D( f )

=

i

D( g j )    .

i, j

2.1.6. Nhận xét
i/



n

; Tz  là không gian liên thông ( vì theo mệnh đề (2.1.5) thì

n

khơng

thể phân tách được thành hợp của hai tập mở rời nhau).
ii/ Với tập U   là tập mở trong

n

(vì với ∀x ∈

n

n

theo Tơpơ Zariski Tz thì U trù mật trong

, ta ln có Ux ∩ U = ∅ ).

2.1.7. Mệnh đề [1]
Mọi tập con trong không gian Tôpô Zariski (

n

;TZ) đều là tập compact.

Chứng minh:
Giả sử A là một tập con của không gian Tôpô (

n

; TZ) và họ {Ui= D(fi)}i∈M

(M là tập chỉ số) phủ A. ta có :
A

Ui

iM

=

(

n

\ Z(fi)) =

n

\(

iM

Z ( fi)).
iM

Gọi I là iđêan trong R[x] sinh bởi {fi}i∈M . Do vành đa thức R[x] là vành
Noether nên iđêan hữu hạn sinh. Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử I  f1 ,..., f h .
Khi đó ta có:

21