Một số luật yếu số lớn đối với các biến ngẫu nhiên độc lập không âm không có kỳ vọng hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN QUYẾT

MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP KHƠNG ÂM
KHƠNG CĨ KỲ VỌNG HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN QUYẾT

MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP KHƠNG ÂM
KHƠNG CĨ KỲ VỌNG HỮU HẠN
Chun ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 8460106

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TS. Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2019

1

Mục lục

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2

Một số luật yếu số lớn đối với các biến ngẫu nhiên

độc lập không âm khơng có kỳ vọng hữu hạn

10

2.1

Các hàm biến đổi chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


2

Lời nói đầu

Luật số lớn là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất. Luật
số lớn được Bernoulli phát hiện đầu tiên vào năm 1713 và viện sĩ Kolmogorov
phát triển, hoàn thiện vào những năm 30 của thế kỷ XX. Ngày nay luật số
lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự, được nhiều nhà khoa học quan tâm
và có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kê
toán học và các ứng dụng của chúng. Các định lý giới hạn trong lý thuyết
xác suất thường quan tâm đến các biến ngẫu nhiên độc lập. Luật yếu số lớn
đối với các biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng hữu hạn
được nhiều tác giả quan tâm, trong đó có Pingyan Chen và Soo Hak Sung.
Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu tham khảo, chủ yếu là bài báo "Chen,
P., Sung, S.H.(2018).Weak laws of large numbers for nonnegative independent random variables without finite means, Comm. Statist. Theory Methods,
doi.org/10.1080/03610926.2018.1513145", chúng tôi nghiên cứu đề tài: "Một số
luật yếu số lớn đối với các biến ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng có kỳ vọng
hữu hạn". Cụ thể, giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập không
âm, {ln (x), n ≥ 1} là dãy các hàm biến đổi chậm, chúng tôi sẽ nghiên cứu các
điều kiện đặt lên dãy {ln (x), n ≥ 1} để
n

Xi
i=1

trong đó {bn }n≥1

→ 1 theo xác suất,
bn
là một dãy số dương được chọn một cách thích hợp, bn → ∞.


Qua nghiên cứu bài báo của Chen, P., Sung, S.H.(2018), chúng tôi cũng đã

nhận thấy rằng, các kết quả của bài báo này vẫn đúng, nếu thay đều kiện "độc
lập" bởi điều kiện yếu hơn: "độc lập đôi một".
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của
giảng viên, GS.TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc
của mình đến Thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tác giả rất nhiều
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm
ơn đến các thầy cô giáo ở Viện sư phạm tự nhiên và phòng sau đại học trường
Đại học Vinh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong thời gian học
tập và thực hiện luận văn. Tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc
biệt là các bạn trong lớp Cao học K25 - Lý thuyết xác suất và thống kê toán
học đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy, cơ giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

3


4

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức làm cơ sở cho
việc trình bày nội dung chính của luận văn.

1.1 Ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh
xạ X : Ω1 → Ω2 được gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

X −1 (B) ∈ F1 .
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất , G là σ - đại số
con của σ - đại số F . Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên

G -đo được nếu nó là ánh xạ G/B (R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì
X −1 (B) ∈ G ).

Biến ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu
nhiên.
Biến ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn giá trị gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.


1.1.3 Ví dụ. Giả sử A ∈ F . Đặt

1
IA (ω) =

0

nếu ω ∈ A;
nếu ω ∈
/ A.

Khi đó IA là biến ngẫu nhiên đơn giản. Ánh xạ IA xác định như trên được gọi
là hàm chỉ tiêu của A.
1.1.4 Định lí. Ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong
các điều kiện sau thỏa mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R,

(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với mọi a ∈ R,
(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R,
(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với mọi a ∈ R.
1.1.5 Định lí. Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên

(Ω, F, P), f : Rn → R là hàm đo được (tức f là ánh xạ B(Rn )/B(R) đo được).
Khi đó

Y = f (X1 , ..., Xn ) :Ω → R
ω → f (X1 (ω), , ..., Xn (ω))
là biến ngẫu nhiên.
1.1.6 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P),

f : R → R là hàm liên tục, a ∈ R. Khi đó aX, X ± Y, XY, |X| , f (X),
X + = max {X; 0} , X − = max {−X; 0} , X/Y (Y = 0) đều là các biến ngẫu
nhiên.
1.1.7 Định lí. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên

(Ω, F, P). Khi đó, nếu inf Xn và sup Xn hữu hạn thì
n

n

inf Xn , sup Xn , lim Xn , lim Xn , lim Xn (nếu tồn tại)
n

n→∞

n
5

đều là biến ngẫu nhiên.
1.1.8 Định lí. Nếu X là biến ngẫu nhiên khơng âm thì tồn tại dãy biến ngẫu
nhiên đơn giản, không âm {Xn , n ≥ 1} sao cho Xn ↑ X khi n → ∞.

1.2 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là
biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại)
được gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX . Vậy
EX =

XdP.
Ω

1.2.2 Tính chất. 1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C .
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX .
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .
5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0

h.c.c.

6. (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với mọi n ≥ 1 và EY > −∞ thì
E lim Xn ≤ lim EXn .
Nếu Xn ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì
E lim Xn ≤ lim EXn .
Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì
E lim Xn ≤ lim EXn ≤ lim EXn ≤ E lim Xn .

6


7. Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó, với mọi p > 0 ta có
∞

EX p = p

xp−1 P(X > x)dx.
0

1.2.3 Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị độ lệch bình
phương trung bình

Var(X) := E (X − EX)2 (nếu tồn tại)
được gọi là phương sai của X . Phương sai của biến ngẫu nhiên X còn được ký
hiệu là DX .
1.2.4 Tính chất. Phương sai có những tính chất cơ bản sau đây:

1. Var(X) = EX 2 − (EX)2 .
2. Var(X) ≥ 0.
3. Var(CX) = C 2 Var(X).

1.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất. Họ các lớp biến
cố (Ci )i∈I (Ci ⊂ F ) được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci ,
họ các biến cố (Ai )i∈I độc lập (độc lập đôi một).
Họ các biến ngẫu nhiên (Xi )i∈I được gọi là độc lập(độc lập đôi một) nếu họ

σ -đại số (σ(Xi ))i∈I độc lập (độc lập đôi một).

(σ(Xi ) = {Xi−1 (B), B ∈ B (R)}).
1.3.2 Ví dụ. Giả sử A, B ∈ F . Khi đó IA , IB độc lập khi và chỉ khi A, B độc
lập.
7


1.3.3 Tính chất. Các biến ngẫu nhiên độc lập và độc lập đơi một có những
tính chất sau đây:
1. Nếu một họ các biến ngẫu nhiên độc lập thì họ biến ngẫu nhiên đó cũng là
họ độc lập đơi một.
2. Giả sử (Xi )i∈I là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) là hàm
đo được. Khi đó họ fi (Xi )

i∈I

độc lập.

3. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập khi và chỉ khi, với mọi n ≥ 1,

σ(Xk , 1 ≤ k ≤ n) và σ(Xk , k ≥ n + 1) độc lập .
4. Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
E(XY ) = EXY.
Tổng quát. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì
E(X1 X2 . . . Xn ) = EX1 EX2 . . . EXn .
5. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ).
Tổng quát: Nếu X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập đơi một thì

Var(X1 + · · · + Xn ) = Var(X1 ) + · · · + Var(Xn ).

1.4 Luật yếu số lớn
1.4.1 Mệnh đề. Giả sử X là biến ngẫu nhiên khơng âm. Khi đó với mọi ε > 0
ta có
EX
.
ε
1.4.2 Mệnh đề. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó nếu tồn tại Var(X)
P (X ≥ ε) ≤

thì với mọi ε > 0, ta có
P(|X − EX| ≥ ε) ≤
8

Var(X)
.
ε2


1.4.3 Định nghĩa. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng
EXi = ai (i = 1, 2, ...). Ta nói

• Dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn nếu
X1 + ... + Xn a1 + ... + an P
−
→ 0 khi n → ∞.
n
n
• Dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại dãy số
{bn , n ≥ 1}, 0 < bn ↑ ∞ sao cho

X1 + ... + Xn a1 + ... + an P
−
→ 0 khi n → ∞.
bn
bn
1.4.4 Định lí. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và thỏa
mãn điều kiện

1
n2

n

Var(Xi ) → 0 khi n → ∞
i=1

thì {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn.

9


10

Chương 2

Một số luật yếu số lớn đối với các biến
ngẫu nhiên độc lập khơng âm khơng
có kỳ vọng hữu hạn

Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập nhưng không nhất

thiết cùng phân phối. Bài tốn đặt ra là tìm một dãy {bn , n ≥ 1} thoả mãn
n

Xi
i=1

bn

→ 1 theo xác suất.

(2.1)

Trong trường hợp {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối, chúng ta có thể chọn bn = nEX1 , nếu kỳ vọng tồn tại. Nếu kỳ vọng khơng
tồn tại, thì khơng dễ dàng để tìm dãy {bn } thoả mãn (2.1). Ở St. Petersburg
game (xem X4 [4]), phân phối của X1 được định nghĩa như sau
P(X1 = 2i ) =

1
2i

với mọi i ≥ 1.

(2.2)


Khi đó EX1 = ∞, nhưng (2.1) đúng với bn =
Theo (2.2),

n ln n

(xem [6] hoặc X4[4] ).
ln 2

∞

i

P(X1 = 2 ) =

1
1
=
.
i
n
2
2
i=n+1

2
1
≤ P(X1 > x) ≤ với mọi x ≥ 2.
x
x
Trong luận văn này chúng tôi xét dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một,
ln (x)
không âm {Xn , n ≥ 1} với P(Xn > x) ≈
, trong đó ln (x) > 0,n ≥ 1 là
x
các hàm biến đổi chậm. Ở đây, với các hàm dương bất kỳ {fn (x), n ≥ 1} và

Suy ra

{gn (x), n ≥ 1}, ký hiệu fn (x) ≈ gn (x) có nghĩa là
fn (x)
fn (x)
≤ lim sup sup
< ∞.
n≥1 gn (x)
n→∞
n≥1 gn (x)

0 < lim inf inf
n→∞

f (x)
= 1. Đối với hai dãy
x→∞ g(x)
an
{an , n ≥ 1} và {bn , n ≥ 1}, ký hiệu an ∼ bn nghĩa là lim
= 1. Trong chương
x→∞ bn
này, chúng tôi sẽ thiết lập một số điều kiện cho {ln (x)} và {bn } để (2.1) đúng.
Mặt khác, ký hiệu f (x) ∼ g(x) có nghĩa là lim

Các kết quả trình bày ở đây là tổng quát hoá của nhiều kết quả khác. Chẳng
hạn, trong St. Petersburg game, ln (x) = 1 với mọi n ≥ 1. Trong [1], Adler xét
1
1
vấn đề với ln (x) = . Nakata [8] tổng quát hóa kết quả của [1] với ln (x) = ,
n

cn
∞ 1
trong đó {cn , n ≥ 1} là một dãy các số dương thỏa mãn
= ∞. Nakata [8]
n=1 cn
cũng xét vấn đề với ln (x) = nβ L(n), trong đó β > −1 và L(x) là một hàm biến
đổi chậm. Gần đây, Adler [2] nghiên cứu phân phối với ln (x) = n−1 lnα (nx),
trong đó α ≥ −1.
Trong tồn bộ luận văn C được dùng để ký hiệu một hằng số dương có
thể khác nhau trong từng lần xuất hiện. Với biến cố E , I(E) kí hiệu là hàm chỉ
tiêu của E .
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, không âm,
11


{ln (x), n ≥ 1} là dãy các hàm biến đổi chậm. Trong chương này chúng tôi sẽ
nghiên cứu các điều kiện đặt lên dãy {ln (x), n ≥ 1} để
n

Xi
i=1

→ 1 theo xác suất,
bn
trong đó {bn , n ≥ 1} là một dãy số dương được chọn một cách thích hợp,
bn → ∞. Để làm điều đó, trước hết chúng tơi trình bày về các hàm biến đổi
chậm.

2.1 Các hàm biến đổi chậm
Các kết quả của mục này đều được lấy trong các tài liệu [6] và [3].

2.1.1 Định nghĩa. Một hàm đo được L : (0, ∞) → (0, ∞) được gọi là hàm
biến đổi chậm (ở vô cực) nếu với mọi a > 0,

L(ax)
= 1.
x→∞ L(x)
lim

2.1.2 Ví dụ. Nếu có giới hạn lim L(x) = b ∈ (0, ∞) thì L là một hàm biến
x→∞

đổi chậm. Bởi vì, khi đó, với mọi a > 0,

lim L(ax) b
L(ax) x→∞
lim
=
= = 1.
x→∞ L(x)
lim L(x)
b
x→∞

2.1.3 Định nghĩa. Một hàm U được gọi là hàm biến đổi chính quy với số mũ

ρ, với −∞ < ρ < ∞, nếu nó có dạng U (x) = xρ L(x) với L là hàm biến đổi
chậm.
Như vậy, một hàm biến đổi chính quy với số mũ ρ = 0 là hàm biến đổi chậm.
2.1.4 Bổ đề. Nếu L là hàm biến đổi chậm ở vơ cực thì

x− < L(x) < x
với mỗi

> 0 và mọi x đủ lớn.
12


2.1.5 Bổ đề. Giả sử Z > 0 là hàm biến đổi chậm và p ∈ R, x ∈ R+ . Các tích
phân

∞

x

Zp∗ (x) =

y p Z(y)dy,

Zp (x) =

y p Z(y)dy

(2.3)

x

0

hội tụ tại ∞ với p < −1, phân kỳ với p > −1.
Nếu p ≥ −1 thì Zp là hàm biến đổi chính quy với số mũ p + 1. Nếu p < −1

thì Zp∗ là hàm biến đổi chính quy với số mũ p + 1 và điều này vẫn đúng với
∗
p + 1 = 0 nếu Z−1
tồn tại.

Chứng minh. Với các số dương x và

đã cho, chọn η sao cho y ≥ η,

(1 − )Z(y) ≤ Z(xy) ≤ (1 + )Z(y).
Giả sử rằng các tích phân ở (2.3) hội tụ. Từ
∞

Zp∗ (tx) = xp+1

y p Z(xy)dy
t

ta suy ra rằng, với t > η

(1 − )xp+1 Zp∗ (t) ≤ Zp∗ (tx) ≤ (1 + )xp+1 Zp∗ (t).
Vì

> 0 bất kỳ , nên khi t → ∞
Zp∗ (tx)
→ xp+1 .
∗
Zp (t)

Điều này chứng tỏ sự biến đổi chính quy của Zp∗ (với L(x)=1). Hơn nữa, vì Zp∗

là một hàm giảm, nên p + 1 ≤ 0. Do đó, các tích phân ở (2.3) khơng thể hội tụ
trừ khi p ≤ −1.
Giả sử các tích phân này phân kỳ. Khi đó với t > η
t

Zp (tx) = Zp (ηx) + xp+1

y p Z(xy)dy
η

13


và do đó

(1 − )xp+1 Zp (t) ≤ Zp (tx) − Zp (ηx) ≤ (1 + )xp+1 Zp (t).
Zp (tx)
dần đến
Zp (t)
xp+1 . Trong trường hợp phân kỳ, Zp biến đổi chính quy và chỉ có thể phân kỳ
Khi chia cho Zp (t) và cho t → ∞ chúng ta kết luận như trên,

khi p ≥ −1.
2.1.6 Định lí. (a) Nếu Z là hàm biến đổi chính quy với số mũ γ và Zp∗ tồn tại
thì

tp+1 Z(t)
→λ
Zp∗ (t)

(2.4)

trong đó λ = −(p + λ + 1) ≥ 0.
Ngược lại, nếu (2.4) đúng với λ > 0 thì Z và Zp∗ là các biến đổi chính quy
với số mũ lần lượt là γ = −λ − p − 1 và −λ. Nếu (2.4) đúng với λ = 0 thì Zp∗
là hàm biến đổi chậm.

(b) Nếu Z là hàm biến đổi chính quy với số mũ γ và nếu p ≥ −λ − 1 thì
tp+1 Z(t)
→λ
Zp (t)

(2.5)

với λ = p + γ + 1.
Ngược lại (2.5) đúng với λ > 0 thì Z và Zp là các hàm biến đổi chính quy
với số mũ lần lượt là λ − p − 1 và λ. Nếu (2.5) đúng với λ = 0 thì Zp là hàm
biến đổi chậm.

Chứng minh. Chứng minh là tương tự nhau cho cả hai phần. Vì thế, chúng tơi
tiến hành chứng minh cho phần (a). Đặt

y p Z(y) η(y)
=
.
Zp∗ (y)
y
14

(2.6)

Tử số bên trái là đạo hàm âm của mẫu số (tức là y p Z(y) = −(Zp∗ (y)) ) và do
đó với x > 1 chúng ta được

Zp∗ (t)
log ∗
=
Zp (tx)

tx

x

dy
η(y) = η(t)
y
t

η(ts) ds
.
η(t) s

(2.7)

1

Giả sử bây giờ Z biến đổi chính quy với số mũ γ . Khi đó Zp∗ biến đổi chính
quy với số mũ λ = γ + p + 1 và do đó hai vế của (2.6) biến đổi chính quy
với số mũ −1. Do đó η là một hàm biến đổi chậm. Khi t → ∞ tích phân cuối

cùng trong (2.7) vì thế tiến đến s−1 . Chúng ta không biết rằng η là bị chặn hay
khơng, nên chỉ có thể khẳng định rằng giới hạn dưới của tích phân là ≥ log x.
Nhưng vì Zp∗ là hàm biến đổi chính quy, nên vế trái tiến đến λ log x và vì vậy

lim sup η(t) ≤ λ.
Nhưng điều này dẫn đến tính bị chặn của η và do đó chúng ta có thể chọn
một dãy tn → ∞ sao cho η(tn ) → c < ∞. Do sự biến đổi chậm này dẫn đến

η(tn s) → c với mọi s và sự hội tụ là bị chặn. Như vậy vế bên phải trong (2.7)
xấp xỉ c log x và do đó c = λ. Từ đó suy ra rằng giới hạn c khơng phụ thuộc
vào dãy {tn } và do đó η(t) → λ. Điều này chứng tỏ rằng (2.4) là đúng.
Ngược lại, giả sử η(t) → λ ≥ 0. Hai vế trong (2.7) khi đó xấp xỉ λ log x và
Zp∗ (t)
do đó tỉ số ∗
xấp xỉ xλ như đã khẳng định. Nếu λ > 0 điều này cùng với
Zp (tx)
(2.4) chứng tỏ rằng Z biến đổi chính quy với số mũ −λ − p − 1.
2.1.7 Định nghĩa. Hàm số f gọi là hàm bị chặn địa phương trên tập A nào
đó nếu tại mọi điểm x0 của tập đó, đều tồn tại một lân cận của x0 để trên đó

f bị chặn.
2.1.8 Mệnh đề. (Prop. 1.5.8 [3]) Nếu L(x) là biến đổi chậm, m đủ lớn, L(x)
bị chặn địa phương trên [m, ∞) và α > −1, thì
x

tα L(t)dt ∼

xα+1 L(x)
α+1

m
15

(x → ∞).


2.2 Các kết quả chính
2.2.1 Định lí. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một,
ln (x)
không âm với P (Xn > x) ≈
, tức là tồn tại các hằng số dương C1 , C2 , và
x
ln (x)
ln (x)
≤ P (Xn > x) ≤ C2
với mọi x ≥ m và mọi n ≥ 1,
m sao cho C1
x
x
trong đó ln (x) > 0, n ≥ 1, là các hàm biến đổi chậm.
Giả sử các điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) Tồn tại một dãy không giảm, không bị chặn {cn , n ≥ 1} sao cho
n

cn

i=1 m
n

(ii)
i=1

li (cn )
→ 0,
cn
n

(iii)

li (x)
dx ∼ cn ,
x

cn

c−1
n

n

li (x) dx = O

li (cn ) .

i=1 m

i=1

Khi đó

n

Xi
i=1

bn
n

→ 1 theo xác suất ,

cn

n

P (Xi > x) dx ∼

trong đó bn =
i=1 0

EXi I (Xi ≤ cn ).
i=1

16


Chứng minh. Đầu tiên ta có bn → ∞. Thật vậy
cn

n

n

cn

P (Xi > x) dx ≥

bn =
i=1 0

P (Xi > x) dx
i=1 m
n

cn

≥ C1
i=1 m

li (x)
dx
x

∼ C1 cn → ∞.
n

Chúng ta viết lại
i=1

Xi

như sau
bn

n

n

n

Xi I (Xi ≥ cn )

Xi
i=1

bn

=

i=1

(Xi I (Xi ≤ cn ) − EXi I (Xi ≤ cn ))
+

bn

i=1

bn

n

EXi I (Xi ≤ cn )

+

i=1

bn

:= I1 + I2 + I3 , trong đó
n

Xi I (Xi ≥ cn )
I1 =

i=1

bn

,

n

(Xi I (Xi ≤ cn ) − EXi I (Xi ≤ cn ))
I2 =

i=1

bn

,

n

EXi I (Xi ≤ cn )

I3 =

i=1

.

bn

Ta sẽ chứng minh

I1 → 0 theo xác suất

(2.8)

I2 → 0 theo xác suất

(2.9)

I3 → 0 theo xác suất

(2.10)

17

Ta có
n



Xi I (Xi ≥ cn )
i=1


(|I1 | > ε) = 


bn
n



Xi I (Xi ≥ cn )

 i=1
=


bn

n



Xi I (Xi ≥ cn )

 i=1
⊂


bn



> ε



> ε



> 0


n

⊂

{Xi I (Xi > cn ) > 0} .
i=1

Do đó, theo (ii),
n

P (|I1 > ε|) ≤ P

{Xi I (Xi > cn ) > 0}
i=1

n

≤

P (Xi > cn )
i=1
n

≤C
i=1

li (cn )
→ 0.
cn

Suy ra (2.8) đúng.
Theo Mệnh đề 1.4.2, chúng ta có với cn ≥ m,

 n
(X I (Xi ≤ cn ) − EXi I (Xi ≤ cn ))

 i=1 i

P (|I2 | > ε) = P 

>
ε


bn

18


n



n

Xi I (Xi ≤ cn )
i=1


= P


n

Xi I (Xi ≤ cn )

 i=1
Var 



> ε


bn






bn

≤

i=1

−

bn


Xi I (Xi ≤ cn )

E



ε2

n

1
Var Xi I (Xi ≤ cn )
b2n
i=1
=
ε2
n

Xi I (Xi ≤ cn )

Var
i=1

=

ε2 b2n

1
= 2 2
ε bn
≤
≤

1
ε2 b2n
1
ε2 b2n

n

Var (Xi I (Xi ≤ cn )) ( vì dãy {Xn , n ≥ 1} độc lập đôi một )
i=1
n

EXi2 I (Xi ≤ cn )
i=1
n

EXi2 I(Xi ≤ cn )
i=1
n

cn

1
≤ 2 2
2xP (Xj > x) dx
ε b i=1
0

m
n
1
2 1
x
P
(X
>

x)
dx
+
= 2
i
ε
b2n i=1
b2n
0

n

cn



xP (Xi > x) dx
i=1 m

2
(J1 + J2 ).
ε2
Để chứng minh (2.9) ta cần chứng minh J1 → 0 và J2 → 0.
:=

Ta chứng minh J1 → 0, chúng ta có, với cn ≥ m

1
J1 = 2
bn

n

m

xP (Xi > x) dx
i=1 0

19


m

n

m
≤ 2
bn

P (Xi > x) dx
i=1 0
cn

n

P (Xi > x) dx
i=1

≤ m

0
cn

n

P (Xi > x) dx


i=1

=

2

0

m

cn

n

P (Xi > x) dx
i=1

≤

0

m

cn

n

P (Xi > x) dx
i=1

≤

m

m

cn

n

C1
i=1

m

li (x)
dx
x

m

=

cn

n

C1
i=1

li (x)
dx
x

m

1 m
→ 0 khi n → 0.
C1 cn
Ta chứng minh J2 → 0, chúng ta cũng có, với cn ≥ m
≤

1
J2 = 2
bn

cn

n

xP (Xi > x) dx
i=1 m

cn
n

P (Xi > x) dx
i=1

≤

n

m
cn

2
P (Xi > x) dx


i=1

m
20


cn

n

C2 li (x) dx
i=1

≤

n

m
cn

2

C1


i=1

m
cn

n

C2

li (x) dx
i=1

=

n

m
cn

 C1
i=1

cn
≤ C

li (x) 
dx
x

n

li (x) 
dx
x

m
n

li (cn )
i=1
cn
li (x)


i=1

2

x

2

dx

m

n

cn

li (cn )
i=1

≤C

(cn )2
n

li (cn )
i=1

→ 0 khi n → ∞.
cn
Cuối cùng, chúng ta chứng minh (2.10). Từ Xi ≥ 0, ta có
=C

n

EXi I (Xi ≤ cn )

I3 =

i=1

bn
n



∞

P (Xi I (Xi ≤ cn ) > x) dx


i=1

o

=

bn
n



i=1

∞

cn

P (Xi I (Xi ≤ cn ) > x) dx +



=



o

P (Xi I (Xi ≤ cn ) > x) dx
cn

bn
21




cn



n


P (Xi I (Xi ≤ cn ) > x) dx


i=1

o

=

bn
cn

n

P (x < Xi ≤ cn ) dx
i=1

=

0

bn
cn

n

(P (Xi > x) − P (Xi > cn ) dx)
i=1

=

0

bn
cn



n

cn

P (Xi > x) dx −


i=1

0

=


P (Xi > cn ) dx

0

bn
cn



n


P (Xi > x) dx − cn P (Xi > cn )


i=1

0

=

bn
cn

n

n

P (Xi > x) dx
i=1

=

0

cn
−

bn

P (Xi > cn )
i=1

bn

n

cn
=1−

P (Xi > cn )
i=1

.

bn

Từ đó, với cn ≥ m,
n

cn

P (Xi > cn )
i=1

|I3 − 1| =

bn
n

cn
=
n

P (Xi > cn )
i=1
cn

P (Xi > x) dx
i=1

0
22


n

cn

P (Xi > cn )
i=1
cn

≤
n

P (Xi > x) dx
i=1

m
n

li (cn )
i=1
cn

≤
n

C1
i=1

li (x)
dx
x

m
n
i=1 li (cn )

1
≤
C1

cn

→ 0 khi n → ∞.
Suy ra (2.10) đúng.
n

EXi I (Xi ≤ cn )
Do |I3 − 1| → 0 nên lim

i=1

= 1.

bn

n→∞

Do đó

n

bn ∼

EXi I (Xi ≤ cn ) .
i=1

2.2.2 Định lí. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một,
l(x)
không âm với P (Xn > x) ≈
, tức là tồn tại hằng số dương C1 , C2 , và m sao
x
cho

C1

l (x)
l (x)
≤ P (Xn > x) ≤ C2
với mọi x ≥ m và mọi n ≥ 1,
x
x

trong đó l (x) > 0, là hàm biến đổi chậm và bị chặn trên mỗi tập con compact
của [m, ∞).
Khi đó

n

Xi
i=1

bn

→ 1 theo xác suất,

23