Ảnh hưởng của cường độ và độ rộng xung laser điều khiển lên lan truyền xung laser dò trong môi trường nguyên tử ba mức cấu hình chữ v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T Ƣ

ĐẠ
CV
----------

PHẠM THỊ NG C TUYẾT

Ả

ƢỞNG CỦA CƢ

ĐỘ VÀ ĐỘ RỘNG XUNG LASER

Đ ỀU KHIỂN LÊN LAN TRUYỀN XUNG LASER DỊ TRONG
MƠ T Ƣ NG NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH CHỮ V

LUẬ VĂ T ẠC SĨ VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH: QUANG H C

Nghệ An, 2019


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T Ƣ

ĐẠ
CV

----------

PHẠM THỊ NG C TUYẾT

Ả

ƢỞNG CỦA CƢ

ĐỘ VÀ ĐỘ RỘNG XUNG LASER

Đ ỀU KHIỂN LÊN LAN TRUYỀN XUNG LASER DỊ TRONG
MƠ T Ƣ NG NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH CHỮ V

LUẬ VĂ T ẠC SĨ VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH: QUANG H C
Mã số: 8.44.01.10
C n

ƣớng dẫn khoa học: TS.

OÀ

Nghệ An, 2019

M

ĐỒNG


ii

L

CAM ĐOA

Tôi xin cam đoan nội dung luận văn “Ảnh hƣởng của cƣờng độ và độ
rộng xung laser điều khiển lên lan truyền xung laser dị trong mơi trƣờng ngun
tử ba mức cấu hình chữ V” là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu, tƣ duy
độc lập nghiêm túc của tôi.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và đã đƣợc cơng bố
trên tạp chí chuyên ngành trong nƣớc.
Nghệ An, tháng 6 năm 2019
Tác giả

Phạm Thị Ngọc Tuyết


iii
L I CẢM Ơ
Tơi xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn chân thành nhất đối với thầy giáo hƣớng
dẫn TS. Hoàng Minh Đồng - ngƣời đã nêu ý tƣởng, gợi ý đề tài, hƣớng dẫn tận
tình và ln động viên tơi thực hiện đề tài trong suốt q trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành gửi đến lời cảm ơn đến quý thầy cô ngành Vật Lý
trƣờng Đại học Vinh đã có những ý kiến đóng góp khoa học, thiết thực cho nội
dung luận văn. Đồng thời, các thầy cô của ngành đã luôn tạo điều kiện thuận lợi
nhất trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Tôi vô cùng biết ơn và ghi nhớ những giúp đỡ, tạo điều kiện của BGH
trƣờng THPT Lƣu Văn Liệt và trƣờng ĐHSP KT Vĩnh Long cho tôi học tập
nghiên cứu để hồn thành chƣơng trình cao học.
Và cuối cùng tơi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, ngƣời thân

và bạn bè đã quan tâm và giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả luận văn


1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1. MƠ HÌNH LÝ THUYẾT MAXWELL-BLOCH ........................... 5
1.1. Môi trƣờng nguyên tử hai mức .................................................................. 5
1.1.1. Mơ tả theo hình thức luận ma trận mật độ .......................................... 6
1.1.2. Tiến triển nguyên tử trong gần đúng sóng quay ................................. 8
1.1.3. Dao động Rabi và diện tích xung ........................................................ 9
1.1.4. Phƣơng trình lan truyền sóng ............................................................ 11
1.1.5. Phƣơng trình sóng trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm .......... 13
1.2. Môi trƣờng nguyên tử ba mức ................................................................. 15
1.2.1. Hệ phƣơng trình ma trận mật độ đối với cấu hình chữ V ................. 15
1.2.2. Hiện tƣợng trong suốt cảm ứng điện t trong hệ ba mức chữ V ...... 18
1.2.3. Tính chất vật lý của hệ nguyên tử ba mức ........................................ 21
1.2.3.1. Nguyên tử Rb ................................. Error! Bookmark not defined.
1.2.3.2. Cấu trúc tinh tế ............................................................................... 22
1.2.3.3. Cấu trúc siêu tinh tế........................................................................ 23
KẾT LU N CHƢƠNG 1 .................................................................................... 24
CHƢƠNG 2. LAN TRUYỀN XUNG LASER TRONG MÔI TRƢỜNG
NGUYÊN TỬ BA MỨC CHỮ V DỰA TRÊN HIỆU ỨNG EIT...................... 25
2.1. Hệ phƣơng trình Maxwell-Bloch trong hệ nguyên tử ba mức chữ V ...... 25
2.2. Lan truyền xung laser trong môi trƣờng ba mức chữ V .......................... 27
2.2.1. Lan truyền xung trong miền nano giây ............................................. 27
2.2.2. Dao động của độ cƣ trú ..................................................................... 30

2.2.3. Lan truyền xung trong miền micro giây............................................ 33
2.2.4. Lan truyền xung trong miền pico giây .............................................. 34
KẾT LU N CHƢƠNG 2 .................................................................................... 36
KẾT LU N CHUNG .......................................................................................... 37
DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 39


2
MỞ ĐẦU

Trong những năm qua, giao thoa và kết hợp lƣợng tử trong quang học
lƣợng tử và vật lý nguyên tử đã thu hút đƣợc phần lớn sự quan tâm nghiên cứu
bởi những hiện tƣợng thú vị và các ứng dụng tiềm năng của chúng. Một trong
những hiện tƣợng quan trọng nhất đó là hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện t
(Electromagnetically Induced Transparency: EIT) [1-4]. Hiệu ứng EIT lần đầu
tiên đã đƣợc đề xuất bởi bởi Harris cộng sự vào năm 1989 [1] và sau đó đƣợc
chứng minh bằng thực nghiệm vào năm 1991 [2]. Bản chất vật lí của hiệu ứng
này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch
chuyển trong một hệ nguyên tử đƣợc k ch th ch kết hợp bởi hai hoặc nhiều
trƣờng ánh sáng dẫn đến sự triệt tiêu biên độ xác suất dịch chuyển toàn phần của
một ch m quang học, do đó mơi trƣờng trở nên trong suốt trong một miền quang
học nào đó (gọi là cửa sổ EIT). Với những đặc trƣng bất thƣờng của môi trƣờng
EIT đã mở ra nhiều lĩnh vực nghiên cứu mới nhƣ: laser mà không đảo lộn độ cƣ
trú (Lasing without inversion: LWI) [5], làm chậm vận tốc nhóm [6], thơng tin
lƣợng tử [7], chuyển mạch tồn quang [8], quang phi tuyến ngƣỡng thấp [9] và
tăng cƣờng Kerr phi tuyến [10, 11], lƣỡng ổn định và chuyển mạch quang học
[12, 13].
Ngoài những nghiên cứu dựa trên hiệu ứng EIT trong trạng thái d ng thì
động học của lan truyền xung ánh sáng trong môi trƣờng EIT cũng đã thu hút sự

chú ý lớn bởi các ứng dụng tiềm năng của nó. Một số cơng trình đầu tiên trong
nghiên cứu lan truyền xung trong môi trƣờng hệ nguyên tử ba mức lambda dƣới
điều kiện EIT đã đƣợc đề xuất bởi Eberly [14] và Harris cùng cộng sự [15].
Chúng cho thấy rằng dạng gần EIT của xung ánh sáng với mất mát chuẩn bị
năng lƣợng tại sƣờn trƣớc của xung. Sau đó, đã có nhiều cơng trình đƣợc thực
hiện [16, 20], chẳng hạn nhƣ điều khiển động học của lan truyền xung ánh sáng


3
[16-18], hình thành và lan truyền xung ổn định dƣới ảnh hƣởng của hiệu ứng
Doppler [19] và ảnh hƣởng của pha tƣơng đối, độ phát xạ đƣợc tạo bởi phát xạ
tự phát và bơm kết hợp lên dạng xung ổn định cũng đã đƣợc thực hiện trong
cơng trình [20].
Gần đây hơn, nghiên cứu ảnh hƣởng của cƣờng độ hay diện tích của xung
laser điều khiển lên sự hình thành EIT của xung dò (dạng gần giống soliton) đã
đƣợc thực hiện [19, 21, 22]. Các cơng trình này đã cho thấy rằng hiệu ứng EIT
đối với độ rộng xung dài (ns) thì đƣợc thành lập tại diện tích xung lớn hơn với
c0 >> p0, trong khi đối với độ rộng xung ngắn (fs or ps) và diện tích xung nhỏ
thì đi xung của xung laser dò là bị phá hủy đáng kể trong quá trình lan truyền
và sƣờn phải của xung bị tách thành một vài xung con. Khi tăng diện tích xung
laser điều khiển thì biên độ của các xung con là suy giảm, lan truyền của xung
laser dị khơng bị phá hủy và EIT lý tƣởng đƣợc thành lập. Hơn nữa, đối với
trƣờng hợp cặp xung đơn các xung laser dị và laser điều khiển thì điều kiện EIT
đƣợc thành lập đối với diện t ch xung laser điều khiển lớn hơn so với trƣờng hợp
cặp chuỗi xung. Tuy nhiên, các kết quả thu đƣợc trong các cơng trình [21, 22] là
thực hiện cho các cấu hình lambda và bậc thang, mà chƣa có nghiên cứu đối với
cấu hình chữ V. Những bỏ ngõ này là thú vị để chúng tôi quan tâm nghiên cứu
ảnh hƣởng của cƣờng độ hay diện t ch xung laser điều khiển lên lan truyền xung
laser dị trong mơi trƣờng EIT cho cấu hình chữ V trong các miền xung khác
nhau.

Ở Việt Nam, những năm gần đây nhóm Quang học của trƣờng Đại học
Vinh cũng đã cơng bố một số cơng trình về động học lan truyền xung trong môi
trƣờng EIT [17-20, 22].
Với tầm quan trọng và tính thời sự của chủ đề nghiên cứu, chúng tôi chọn
“Ảnh hưởng của cường độ và độ rộng xung laser điều khiển lên lan truyền xung
laser dò trong mơi trường ngun tử ba mức cấu hình chữ V” làm đề tài nghiên


4
cứu cho luận văn của mình. Các kết quả chính của luận văn cũng đã đƣợc cơng bố trên
Tạp chí Khoa học của trƣờng Đại học vinh [23].
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận chung, luận văn đƣợc trình bày trong
hai chƣơng với nội dung nhƣ sau:
C ƣơng 1. Mơ hình lý thuyết Maxwell-Bloch
Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày mơ hình lý thuyết hệ phƣơng trình
Maxwell-Bloch cho tƣơng tác của hệ nguyên tử ba mức cấu hình chữ V và các
trƣờng laser. Sử dụng các phƣơng pháp gần đúng hàm bao biến thiên chậm và
gần đúng sóng quay chúng ta để thiết lập phƣơng trình cho lan truyền xung laser
đơn và sau đó áp dụng cho lan truyền đồng thời của hai xung laser trong mơi
trƣờng cấu hình chữ V. Bản chất vật lý của hiệu ứng EIT và các tính chất vật lý
của nguyên tử thực 87Rb đƣợc trình bày trong phần cuối.

C ƣơng 2. Sự lan truyền xung laser trong môi trƣờng nguyên tử ba mức
chữ V dựa trên hiệu ứng EIT
Trong chƣơng này, chúng tôi dẫn ra hệ phƣơng trình Maxwell-Bloch cho
lan truyền cặp xung laser dị và laser điều khiển trong mơi trƣờng ngun tử ba
mức cấu hình chƣ V. T đó, ảnh hƣởng của diện tích cũng nhƣ cƣờng độ đỉnh
của xung laser điều khiển lên q trình lan truyền xung laser dị trong các miền
xung khác nhau đƣợc nghiên cứu một cách chi tiết. Đồng thời chúng tôi cũng
cho thấy điều kiện để có xung lan truyền ổn định trong các miền xung này.

5
C ƢƠ

1

MƠ HÌNH LÝ THUYẾT MAXWELL-BLOCH

Mơ hình Maxwell Bloch (MB) là một mơ hình bán cổ điển mơ tả sự tƣơng
tác của các xung laser với môi trƣờng nguyên tử, ở đây khái niệm bán cổ điển có
nghĩa rằng các xung laser đƣợc xem nhƣ trƣờng cổ điển, trong khi các nguyên tử
đƣợc biểu diễn theo cơ học lƣợng tử. Mơ hình MB sử dụng phƣơng trình
Schrodinger hoặc các phƣơng trình Von Neumann khi ma trận mật độ là cần
thiết, sử dụng động học thời gian của môi trƣờng nguyên tử và các phƣơng trình
Maxwell để mơ tả sự lan truyền các xung laser qua môi trƣờng.

1.1. Môi trƣờng nguyên tử ai mức
Chúng ta xét một trƣờng quang học với sóng lan truyền dọc theo trục z
trong mơi trƣờng các nguyên tử hai mức năng lƣợng và giả sử hàm bao của sóng
mang đƣợc viết dƣới dạng:




E  z, t   E  z, t  e 

i t kz 

 c.c. ,

(1.1)

trong đó ω là tần số, k = ω/c là số sóng và   z, t  là hàm bao của sóng mang. Ở
đây, chúng ta giả sử tần số ω là rất gần với tần số dịch chuyển giữa hai mức của
nguyên tử do đó các tƣơng tác gần cộng hƣởng là đƣợc quan tâm nghiên cứu.
Năng lƣợng của các trạng thái cơ bản và thái kích thích của nguyên tử
đƣợc ký hiệu là

1 và

2 , tƣơng ứng. Do đó, Hamilton tƣơng tác giữa

nguyên tử với trƣờng laser đƣợc viết:
ˆ 


H  1 1 1  2 2 2  d . E .

(1.2)


6
ở đây tốn tử mơmen lƣỡng cực điện đƣợc biểu diễn:
ˆ






d  d 12 1 2  d 21 2 1 .
Δ

(1.3)

|2

|1

Hình 1.1. Sơ đồ dao động của hệ nguyên tử hai mức, với |1 là trạng thái cơ bản và |2
là trạng thái kích thích.

Chúng ta có thể biểu diễn các trạng thái nguyên tử dƣới dạng hàm sóng  , khi
đó sự tiến triển của nó đƣợc mơ tả bởi phƣơng trình Schrưdinger:

i


 H ,
t

(1.4)

Khi đó hàm sóng đối với hệ nguyên tử hai mức có dạng:

  t   c1(t)|1 + c2(t)|2,

(1.5)

Trong đó c1(t) và c2(t) là các biên độ xác suất phụ thuộc thời gian tƣơng ứng của
các trạng thái |1 và |2.
1.1.1. Mô tả theo hình thức luận ma trận mật đ
Sự tƣơng tác giữa nguyên tử và trƣờng ánh sáng có thể đƣợc mô tả bởi
nhiều cách khác nhau, chẳng hạn, chúng ta có thể sử dụng phƣơng trình
Schrodinger để mơ tả sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái của hệ. Nếu
chúng ta chỉ quan tâm các quá trình k ch th ch lên hệ nguyên tử, nhƣ sự hấp thụ


7
ánh sáng tới thì chỉ cần sử dụng phƣơng trình Schrodinger để t nh tốn xác suất
tìm thấy ngun tử ở trong trạng k ch th ch. Tuy nhiên, thực tế bao giờ cũng có
các q trình t ch thốt độ cƣ trú, khi nguyên tử đạt tới trạng thái d ng thì tốc độ
k ch th ch và t ch thốt cân bằng nhau. Do đó, sự phát xạ tự phát cũng nhƣ các
quá trình suy giảm khác phải đƣợc đƣa vào trong sự mô tả sự tiến triển theo thời
gian của hệ nguyên tử-trƣờng. Vì vậy, phƣơng trình Schrodinger khơng cịn ph
hợp, chúng ta cần phải sử dụng hình thức luận ma trận mật độ với đặc trƣng pha
trộn thống kê các trạng thái lƣợng tử để mô tả sự tiến triển theo thời gian của hệ.
Nếu tập hợp các trạng thái riêng của hệ là c ng một trạng thái 

thì hệ nằm

trong một trạng thái thuần khiết và khi đó tốn tử ma trận mật độ liên hệ với
hàm sóng theo [10, 19]:

 c1 2 c1c2*   
12 
   11
    
,

 c c* c 2   21 22 
2 
 21

(1.6)

Các phần tử ma trận mật độ nói chung là một hàm phụ thuộc cả không
gian và thời gian, do đó để thuận tiện chúng ta cho kí hiệu 12  12  z, t  .
Khi đó các phần tử 11 và  22 biểu diễn độ cƣ trú của mức |1 và |2
*
tƣơng ứng và các phần tử ngoài đƣờng chéo ij  ci c j với i≠ j là độ kết hợp giữa

chúng. Khi đó các ngun tử khơng thể đƣợc đặc trƣng bởi hàm sóng đơn, mà
chúng ta cần sử dụng hình thức luận ma trận mật độ để mô tả các trạng thái của
hệ. Các phần tử ma trận mật độ ngoài đƣờng chéo chính ij khơng có liên hệ trực
tiếp với các phần tử trên đƣờng đƣờng chéo chính 11 và 22 thì chúng ta nói các
nguyên tử đang ở trạng thái pha trộn.
Điều kiện để xác suất trong hệ kín đƣợc bảo tồn là ma trận mật độ phải
có vết bằng đơn vị, tức 11 + 22 = 1. Sự tiến triển theo thời gian của toán tử ma
trận mật độ đƣợc xác định [19]:


8


i
  H ,  .
t

(1.7)

Phƣơng trình (1.7) đƣợc gọi là phƣơng trình Liouville hay phƣơng trình Von
Neumann mơ tả sự tiến triển của các toán tử mật độ theo thời gian, mơ tả sự
đóng góp của tập hợp các trạng thái lƣợng tử theo tốn tử Hamiltion tồn phần.
Hamilton toàn phần của nguyên tử-trƣờng đƣợc biểu diễn:
   d .E 
H  1
.
 d * E



2

(1.8)

1.1.2. Sự tiến triển của nguyên tử trong gần đúng sóng quay
Chúng ta sử dụng gần đúng sóng quay (Rotating Wave Approximation:
RWA), để đơn giản Hamilton tƣơng tác, trong đó các số hạng dao động nhanh là
đƣợc bỏ qua. Để thực hiện gần đúng sóng quay ta đƣa vào ma trận biến đổi unita
[19]:
U=

ei1t

1 0

.

 i kz t  

0
e



(1.9)

ma trận mật độ theo biến đổi này

 RW  U U ,
†

(1.10)

chỉ số trên RW là kí hiệu trong cơ sở sóng quay và chúng ta có thể thấy rằng
phƣơng trình Liouville là dạng bất biến dƣới hình thức biến đổi unita:

i

 RW
   H RW ,  RW  ,
t

(1.11)

Do đó trong cơ sở sóng quay Hamilton có dạng
 
H RW  UHU †  i  U U † .
 t 

(1.12)


9
Do đó Hamilton tồn phần trong cơ sở này đƣợc viết:

H

RW


0

  d .E eit kz 
21








 d12 .E e





 it  kz 


.



(1.13)

Ở đây,   2  1    là độ lệch tần số. Theo biểu thức điện trƣờng (1.1) thì số
hạng ngồi đƣờng chéo bên phải là Eeit kz   E  E *e2it kz  và số hạng ngoài
đƣờng chéo bên trái là Eei  kz t   Ee2i  kz t   E * . Bỏ qua các số hạng dao động
nhanh 2it trong khi thực hiện gần đúng sóng quay và giả sử hàm bao   z, t 
biến thiên chậm trong một chu kỳ sóng mang. Sử dụng gần đúng này, chúng ta
xác định đƣợc Hamilton toàn phần trong RWA:
 0
H RWA  
 d .E *
 21


0
 d12 .E  

    *

 2


 
2

.
 


(1.14)

Trên đây, định nghĩa tần số Rabi đã đƣợc sử dụng:
  z, t  

2d 21.E  z, t 

.

(1.15)

Trong tƣơng tác của hệ nguyên tử-trƣờng, tần số Rabi đóng một vai trị quan trọng
do liên quan tới cả mô men lƣỡng cực điện và hàm bao biến thiên chậm.
1.1.3. Sự dao đ ng Rabi và diện tích xung
Các lời giải của phƣơng trình Liouville trong gần đúng sóng quay đối với
trƣờng đơn sắc   z, t   0 là không đổi và xác định   z, t    0 . Khi đƣợc
kích thích bởi trƣờng nhƣ vậy độ cƣ trú nguyên tử giữa các trạng thái cơ bản và
kích thích dao động theo chu kỳ, theo biểu thức [19]:

22  t   sin 2  0t / 2  ,

(1.16)


10
tại tần số cộng hƣởng Δ = 0, quá trình này đƣợc gọi là dao động Rabi và đƣợc

minh họa trong hình 1.2. Ta có 0  t   0t đƣợc gọi là diện tích xung, cho phép
chúng ta xác định độ cƣ trú của trạng thái kích thích 22 tại thời điểm t bất kỳ.

Hình 1.2. Dao động độ cƣ trú của trạng thái kích thích trong hệ nguyên tử hai mức.

Hình 1.2 cho thấy, ban đầu các nguyên tử ở trạng thái cơ bản và sau đó
chuyển lên trạng thái kích thích khi tích 0t là bằng một số nguyên lẻ của π và
quay trở lại trạng thái cơ bản khi tích 0t là một số nguyên chẵn của π. Khi diện
tích bằng 2π ta có một dao động toàn phần của độ cƣ trú.
Khái niệm diện tích xung là thuận tiện để ta mơ tả hàm bao xung phụ
thuộc thời gian và đƣợc định nghĩa


  z      z, d ,


(1.17)

và đƣợc mơ tả nhƣ trong hình 1.3 với trƣờng hợp độ rộng xung bằng 0 = 1.


11

Hình 1.3. Diện tích xung Gaussian 0t = 2 với độ rộng xung 0 = 1.

1.1.4. P ƣơng trìn lan truyền sóng
Trong mơi trƣờng vật chất, lan truyền của trƣờng điện t đƣợc mơ tả bởi
các phƣơng trình Maxwell. Phân cực của môi trƣờng sẽ bị tác động khi các xung
laser tƣơng tác với môi trƣờng. Mối liên hệ giữa các trƣờng điện và t biến thiên
theo thời gian có dạng [1, 19]:

  D  e ,

(1.18)

 B  0,

(1.19)


B
 E  
,
t




 H 

D
J.
t

(1.20)

(1.21)


12









ở đây, E và H là các v ctơ cƣờng độ điện trƣờng và t trƣờng, D và B là
v ctơ cảm ứng điện và t , J là v ctơ dòng điện dẫn và e là mật độ điện t ch
trong môi trƣờng vật chất.
Khi khảo sát môi trƣờng vật chất khơng có các điện t ch tự do và khơng
có dịng điện tự do, vì vậy:

e  0 ,

(1.22)

J 0 .

(1.23)

Ta cũng giả thiết mơi trƣờng khơng có t nh t hố, do đó phƣơng trình liên hệ
giữa các trƣờng điện và t có dạng:

B  0 H ,

(1.24)

D  0E  P .

(1.25)

trong đó,  0 và 0 lần lƣợt là độ điện thẩm và độ t thẩm trong chân không. Véc
tơ P là phân cực vĩ mô của môi trƣờng mô tả hiệu ứng t ch lũy của mô-men
lƣỡng cực trong mỗi nguyên tử.
Kết hợp các phƣơng trình Maxwell và chỉ khảo sát sự đáp ứng lƣỡng cực
điện của mơi trƣờng vật chất, khi đó phƣơng trình sóng có dạng [19]:
 E 

1 2
1 2
E


P,
c 2 t 2
 0c 2 t 2

(1.26)

Phƣơng trình (1.26) là dạng tổng qt nhất mơ tả sóng lan truyền trong mơi
trƣờng điện mơi. Chúng ta có thể khai triển số hạng thứ nhất ở vế trái của
phƣơng trình (1.26) nhƣ sau:

 E  (  E )  2 E .

(1.27)

Trong quang tuyến t nh với môi trƣờng đẳng hƣớng, số hạng thứ nhất ở vế phải

13
của phƣơng trình này bằng khơng do phƣơng trình Maxwell   D  0 nên

  E  0 . Trong quang phi tuyến số hạng này thƣờng không triệt tiêu ngay cả
đối với các vật liệu đồng nhất. Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp chúng ta sử
dụng sóng phẳng và trong gần đúng hàm bao biến thiên chậm thì số hạng này
cũng có thể đƣợc bỏ qua, do đó phƣơng trình sóng (1.26) đƣợc viết lại [19]:
2 E 

1 2
1 2

P.
E
c 2 t 2
 0c 2 t 2

(1.28)

1.1.5. P ƣơng trìn lan truyền trong gần đúng àm ao iến thiên chậm
Bây giờ ta xét sự lan truyền của trƣờng laser dọc theo trục z, do đó t
phƣơng trình (1.28) chúng ta có:

2
1 2
2
E


E


P,
0
z 2
c 2 t 2
t 2

(1.29)

ở đây P là phân cực phụ thuộc cả không gian và thời gian nên khi chúng ta biểu
diễn đối với các nguyên tử hai mức với mật độ số hạt N, phân cực có dạng:

 

ˆ
P  N Tr d  ,



(1.30a)



 N d12 21  d2112 ,



 N d12 21RWe 

i  kz t 

 d2112RWe

(1.30b)
i   kz t 

.

(1.30c)

Trong (1.30c), chúng ta đã viết độ phân cực theo các biến sóng quay nhƣ đã
đƣợc định nghĩa trong phần 1.1.2. Lấy đạo hàm cả hai vế phƣơng trình này và
sau đó nhóm các số hạng có cùng tần số trong phƣơng trình sóng Maxwell, ta
thu đƣợc:

 2

2  1  2

2 
 k E  2ik E  2 E   2   E  2i E  2 E 
z
z  c 
z
z 


14

 2 RW
 RW  2 RW 
 0 Nd12   12  2i 12  2 12 
t
t



(1.31)

Sử dụng các trƣờng biến thiên chậm so với sóng mang và thực hiện trong gần
đúng hàm bao biến thiên chậm (SVEA), nhƣ dƣới đây:
E
z
E
t

k E;

 2E
z 2

k

E
;
z

(1.32a)

 E;

 2E
t 2



E
.
t

(1.32b)

Thực hiện tƣơng tự cho các biến sóng quay trong biến thiên chậm:
12RW
t

 12RW .

(1.33)

Sử dụng các gần đúng sóng qua và gần đúng hàm bao biến thiên chậm ta tìm
đƣợc phƣơng trình sóng biến thiên chậm:
i
 1
Nd12 12RW .
 
E 

2 0c
 z c t 

(1.34)

Hoặc viết theo tần số Rabi,
 1
RW
 
   2i12 ,
 z c t 

(1.35)

 N d12

,
2 0c

(1.36)

ở đây
2


15
là hệ số lan truyền của laser trong môi trƣờng. Hệ các phƣơng trình (1.7) và
(1.35) đƣợc gọi là hệ phƣơng trình Maxwell-Bloch đối với hệ ngun tử hai
mức.
1.2. Mơi trƣờng nguyên tử a mức

1.2.1. Hệ p ƣơng trìn ma trận mật đ đối với cấu hình chữ V
X t sơ đồ hệ nguyên tử ba mức đƣợc kích thích bởi hai trƣờng laser dò và
laser điều khiển nhƣ trong hình 1.4. Ở đây |1 là trạng thái cơ bản, |2 và |3 là
các trạng thái kích thích. Các dịch chuyển giữa các trạng thái |1|2 và giữa
các trạng thái |1|3 là các dịch chuyển lƣỡng cực điện cho phép, trong khi
dịch chuyển giữa |2|3 là bị cấm lƣỡng cực điện. Chúng ta kí hiệu 21 và 31
là tốc độ phân rã t các trạng thái |2 và trạng thái |3, tƣơng ứng. Một trƣờng dò
yếu với tần số p và biên độ p đƣợc đƣa vào dịch chuyển |3|1 và trƣờng
điều khiển mạnh với tần số c và biên độ c kích thích dịch chuyển |2|1.

Hình 1.4. Sơ đồ kính thích hệ ngun tử ba mức loại cấu hình chữ V: ở đây các trạng
thái |1 và |3 đƣợc liên kết bởi laser dò với photon tần số  p , trong khi đó các trạng
thái |1 và |2 đƣợc liên kết bởi laser điều khiển với photon tần số c .


16
Sự tiến triển theo thời gian của các phần tử trận mật độ của hệ nguyên tử
ba mức cấu hình chữ V tƣơng tác với hai trƣờng laser cũng đƣợc mơ tả bởi
phƣơng trình Liouville [15]:


i
   H ,     .
t

(1.38)

Trong đó  đƣợc xác định [23],

  21 22   3133

    21 21
  
31 31


 2112

 3113


( 21   31 )  23  .

 3133


 21 22
( 21   31 ) 32

(1.39)

Chúng ta thực hiện gần đúng sóng quay, bằng cách chuyển vào hệ quy
chiếu quay và bỏ qua các số hạng dao động nhanh. Chuyển đổi unita thực hiện
trong hệ quy chiếu quay này đối với hệ nguyên tử ba mức cấu hình chữ V:
1
0

 i k z  t
U  ei1t  0 e  c c 

0

0



0
.
 i k z  t  
e p p 
0

(1.40)

Thực hiện tƣơng tự nhƣ trong mục 1.1.2, chúng ta thu đƣợc Hamilton trong cơ
sở sóng quay:

H

RW


0


 i k z  t
   d 21.E e  c c 

 i k z  t
  d31.E e  p p 












 d 21.E e 

i kc z ct 





 d31.E e



i k p z  pt

c

0

0

p





 , (1.41)




ở đây c  21  c ;  p  31   p là các độ lệch tần của xung laser điều khiển
và laser dò tƣơng ứng.


17
Sử dụng phƣơng trình (1.40), chúng ta thấy rằng mỗi phần tử ngồi đƣờng
chéo gồm có bốn số hạng. Chúng ta có thể phân tích một phần tử để thấy rõ điều
này hơn





 d31.E e



 i k p z  pt



 d31Ep e



2 i k p z  p t



 d31Ece


*  i k p z  p t
31 c

d E d E e
*
31 p



 i k p z  p t



e

 i kc z ct 

(1.42)

 i kc z ct 
e
.

Trong gần đúng sóng quay ta có thể bỏ qua các số hạng dao động bằng hai lần
tần số laser 2i pt và 2ict , cũng nhƣ tổng và hiệu của chúng i  p  c  do
chúng thay đổi dấu quá nhanh. Cũng nhƣ phần trƣớc, chúng ta giả sử rằng các
hàm bao  p  z, t  và  c  z, t  là biến thiên chậm so với các tần số quang học. Khi
đó các số hạng dao động nhanh với giá trị trung bình bằng khơng nên chúng ta
có:

H RWA

 0

  d 21Ec*

*
 d31Ep

Trong đó: c  z, t  

d 21Ec
c
0

2d 21Ec  z , t 



d31Ep  
 
0 

 p  


và  p  z, t  

0



*c
2
*p
2

c
2
p
0

2d31Ep  z , t 



p 


2 

0  .(1.43)


p 


, tƣơng ứng là các

tần số Rabi của trƣờng điều khiển và trƣờng dị.
T các các phƣơng trình (1.7), (1.38) và (1.39) chúng ta dẫn ra dạng
tƣờng minh của hệ phƣơng trình ma trận mật độ đối với hệ chữ V trong gần
đúng sóng quay:

11
i
  3133   2122  *c 
2


21

i
i
 c 12  *p 
2
2

31

i
  p 13 , (1.44a)
2


18

22
i
i
  2122  c 12  *c 21 ,
2
2


(1.44b)

33
i
i
  3133   p 13  *p 31 ,

2
2

(1.44c)

21

 
i
i

   i c  21  21  c ( 11  22 )   p 23 ,

2 
2
2


(1.44d)

31
 
i
i

   i p  31  31   p ( 11  33 )  c 32 ,

2 
2
2


(1.44e)

32
  
i

i

  i   p   c   21 31  32  *c 31   p 12 ,

2 
2
2


(1.44f)

1.2.2. Hiện tƣợng trong suốt cảm ứng điện t trong hệ ba mức chữ V
Hiệu ứng EIT có thể đƣợc giải th ch bằng cách dựa vào sự giao thoa
lƣợng tử xảy ra giữa các nhánh k ch th ch khác nhau nhƣ hình 1.5.

3
Nhánh 2
2
c

Nhánh 1
p
1

Hình 1.5. Hai con đƣờng k ch th ch nguyên tử t trạng thái cơ bản |1 tới trạng thái |3:
nhánh 1, k ch th ch trực tiếp |1  |3 và nhánh 2, k ch th ch gián tiếp |1  |2  |3.


19
Sự giao thoa lƣợng tử của các biên độ xác suất dịch chuyển giữa hai trạng

thái |1 và |3 bao gồm hai nhánh khác nhau: một nhánh là do sự kích thích trực
tiếp |1  |3 chỉ bởi ch m laser dị  p ; một nhánh khác là kích thích gián tiếp
|1  |2  |3, do sự có mặt của ch m laser điều khiển thứ hai c . Do trƣờng

laser điều khiển mạnh hơn nhiều so với trƣờng dò nên biên độ xác suất dịch
chuyển ở nhánh gián tiếp có độ lớn bằng biên độ xác suất dịch chuyển của
nhánh trực tiếp nhƣng ngƣợc dấu nhau [19]. Vì vậy, biên độ dịch chuyển tồn
phần bị triệt tiêu, dẫn đến mơi trƣờng có thể trong suốt đối với ch m laser dị khi
nó lan truyền qua.

ìn 1.6. (a) đồ thị hệ số hấp thụ và (b) đồ thị hệ số tán sắc: đƣờng liền n t ứng với
khi có trƣờng laser điều khiển cịn đƣờng đứt n t ứng với khi khơng có trƣờng laser
điều khiển [4].


20
Các t nh chất quang học của môi trƣờng phụ thuộc chủ yếu vào cấu trúc
năng lƣợng của hệ nguyên tử hay phân tử. Sự đáp ứng tuyến t nh của môi trƣờng
tại ánh sáng cộng hƣởng nguyên tử đƣợc mô tả bởi độ cảm điện bậc nhất  (1) .
Phần ảo của độ cảm điện Im(  ) mô tả hấp thụ của môi trƣờng lên trƣờng ánh
(1)

sáng, phần thực Re(  ) mô tả sự khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng. Khi
(1)

trƣờng laser điều khiển vắng mặt, tại dịch chuyển lƣỡng cực cho ph p dạng của

Im(  (1) ) là hàm của tần số (đƣờng đứt n t trong hình 1.6a), vì nó có dạng
Lorentz với độ rộng đƣợc xác định bởi tốc độ suy giảm độ cƣ trú của mức k ch
th ch. Phần thực Re(  ) có dạng tán sắc quen thuộc với đƣờng tán sắc dị

(1)

thƣờng trong miền cộng hƣởng (đƣờng đứt n t trong hình 1.6b).
Khi có mặt của trƣờng laser điều khiển, trong Im(  ) , do triệt tiêu giao
(1)

thoa của các biên độ xác xuất dịch chuyển ngay tại tần số cộng hƣởng nên môi
trƣờng trong suốt đối với ch m laser dị nhƣ mơ tả bởi đƣờng liền n t trong hình
1.6a. Thực tế, nếu chỉ có sự trong suốt của môi trƣờng đạt đƣợc tại tần số cộng
hƣởng thì điều này cũng khơng phải là vấn đề đáng quan tâm bởi vì độ trong
suốt có bậc tƣơng tự cũng có thể thu đƣợc dễ dàng khi điều chỉnh tần số ánh
sáng ra xa cộng hƣởng. Tuy nhiên, điều quan trọng là trong miền phổ trong suốt
tại cộng hƣởng thì sự đáp ứng phi tuyến  (3) thể hiện sự giao thoa tăng cƣờng,
tức là giá trị của  (3) trong miền cộng hƣởng (với sự hấp thụ triệt tiêu) thì lớn
hơn nhiều so với khi khơng có mặt của trƣờng laser điều khiển [10]. Hơn nữa,
sự tán sắc biến thiên trong miền cộng hƣởng hoàn toàn khác so với sự tán sắc dị
thƣờng quen thuộc, nhƣ đƣợc mơ tả bởi đƣờng liền n t trong hình 1.6b. Xuất
hiện một đƣờng tán sắc thƣờng trong miền phổ trong suốt tại tần số cộng hƣởng
với độ dốc tán sắc có thể đƣợc điều khiển bởi một trƣờng laser mạnh. Nhƣ vậy,
mặc d trƣờng laser dị truyền qua mơi trƣờng trở nên trong suốt nhƣng vẫn có
sự tán sắc lớn và t nh phi tuyến mạnh. Do các đặc trƣng bất thƣờng này, môi


21
trƣờng EIT hứa hẹn nhiều ứng dụng liên quan chẳng hạn nhƣ lạm chậm ánh
sáng tại cƣờng độ thấp ánh sáng thấp, sự n n xung hay làm d ng ánh sáng,
chuyển mạch quang học và lan truyền xung ổn định dạng soliton [9].
1.2.3. Tính chất vật lý của hệ nguyên tử Rubidium ba mức
Trong phần trƣớc, chúng ta đã thu đƣợc một mơ hình tốn học cho hai
trƣờng laser tƣơng tác với hệ nguyên tử hai và ba mức. về nguyên tắc chúng ta

có thể sử dụng các kim loại kiềm có vạch D nằm trong dịch chuyển quang học
nhƣ natri, Rubidi và Cesium đều đƣợc. Tuy nhiên, do mục tiêu và giới hạn của
luận văn là áp dụng cho một mơ hình cụ thể ba mức cấu hình chữ V nên trong
phần này chúng tơi trình bày các đặc trƣng của nguyên tử Rb.
Nguyên tử rubidium (Rb) là nguyên tố kim loại kiềm có nguyên tử số là
37, tức là có 37 electron xung quanh hạt nhân nhƣng chỉ có một electron hố trị.
Các t nh chất quang học của các nguyên tử Rb sinh ra t sự tƣơng tác giữa
electron hoá trị này với trƣờng điện t tại các tần số quang học. Do tần số của
các dịch chuyển của nguyên tử Rb ph hợp với các tần số đƣợc sử dụng trong
các thiết bị công nghiệp thƣơng mại và nó cũng có cấu trúc nguyên tử th ch hợp
nên đƣợc sử dụng trong các th nghiệm quang học lƣợng tử cũng nhƣ các th
nghiệm về EIT và các hiệu ứng liên quan.
Ở nhiệt độ phòng Rb có màu xám bạc và tồn tại ở thể rắn. Nhiệt độ nóng
chảy là 312 K tƣơng ứng với 39 C0 tại áp suất p = 0,1 MPa = 1 bar và điểm sôi
là 974 K tƣơng ứng với 700 C0 [24]. T quá trình cân bằng nhiệt giữa thể rắn
hay lỏng và thể hơi của nguyên tử Rb dẫn ra hệ thức [24]:

log10  p   7,738  4215 / T .

(1.45)

Mật độ nguyên tử đƣợc t nh toán theo định luật kh lý tƣởng, p = NkBT, trong đó
N là số nguyên tử trên m t khối và kB là hằng số oltzmann.