8 TUYỂN CHỌN câu hỏi điểm 10 các đề KIỂM TRA

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

TUYỂN CHỌN CÂU HỎI ĐIỂM 10
TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ , THI
HSG , THI CHUYÊN VÀ THI VÀO 10
THÀNH PHỐ HÀ NỘI
(Nhiều bài hay phù hợp cho cả học sinh lớp 10 tham khảo để ôn đội tuyển HSG trường
hoặc huyện)

Bài 1 (PGD Đan Phượng 2015-2016). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+ y+ z =1. Tìm giá
2
2
2
2
2
2
trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x  xy  2 y  2 y  yz  2 z  2 z  zx  2 x
Hướng dẫn

2 x 2  xy  2 y 2 

5
3
5
2
2
 x  y   x  y �  x  y
4
4

2

Chứng minh tương tự cho hai căn thức còn lại, sau đó cộng vế ta suy ra:

P �
5 ۳x y z 

2
2
Bài 2 (PGD Đan Phượng 2013-2014). Giải phương trình: x  x  2  2 x  x  1

Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với





2

x2  x  1 1  0

Bài 3 (PGD Đan Phượng 2014-2015). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
3
a 1  b2  b 1  c 2  c 1  a 2  .
2
3
a 2  b2  c2  .
2
Chứng minh rằng:

Hướng dẫn
2
2
2
Giả thiết tương đương: 2a 1  b  2b 1  c  2c 1  a  3

 



 



� 1  b 2  2a 1  b 2  a 2  1  c 2  2b 1  c 2  b 2  1  a 2  2c 1  a 2  c 2  0

�



 
2

1  b2  a 

 
2

1  c2  b 

1  a2  c



2

0
1

P

5


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

� 1  b2  a  1  c 2  b  1  a 2  c  0

3
a 2  b2  c2  .
2
Suy ra:

Bài 4 (PGD Đan Phượng 2010-2011). Giải phương trình:
Hướng dẫn
Phương trình đã cho tương đương với

�

x4



x  3.x 4  2 x 4  2010 x  2010



x  3  2  2010  x  1  0

x 4  x  1

� x4
�
 2010  x  1  0 �  x  1 �
 2010 � 0 � x  1.
x32
� x 3 2
�

Bài 5 (PGD Đan Phượng 2011- 2012). Cho x �2, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P   x  x  2  2 x  1  2009
Hướng dẫn
Ý tưởng: Biến đổi P về dạng tổng các bình phương bằng cách tách các hạng tử
2 P  2 x  2 x  2  4 x  1  4018  


2P

4023


P



 
2

x  2 1 



2

x  1  2  4023

4023
.
2

Bài 6 (PGD Đan Phượng 2016-2017). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1.
Chứng minh rằng: ab  c  bc  a  ca  b �2
Hướng dẫn
Đặt P  ab  c  bc  a  ca  b . Vì a  b  c  1 nên ta có

P  ab  c  a  b  c   bc  a  a  b  c   ca  b  a  b  c 


 a  c  b  c   a  b  a  c   a  b  b  c 

Áp dụng bất đẳng thức cô si cơ bản:
CM tương tự có :

 a  b  a  c

x y
xy �
2 ta có:

2a  b  c
�
2
(2),

 a  c  b  c

 a  b  b  c

a  b  2c
�
2
(1)

a  2b  c
�
2
(3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) chú ý giả thiết a  b  c  1. Suy ra đpcm.
Bài 7 (PGD Quận Hoàn Kiếm 2016-2017). Cho a, b là hai số thực thỏa mãn
a 2  b2  a  b  ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  a 3  b3  2000.
2


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS
Hướng dẫn

 a  b
Từ giả thiết ta có:

2

 a  b  3ab

2
2
Đặt S  a  b, P  ab , ta có S  S  3P và S �4 P . Suy ra 0 �S �4

Khi đó

M  S 3  3SP  2000  S 3  3S .

S2  S
 2000  S 2  2000 �2016
3

Bài 8 (THPT Chuyên Hà Nội AMSTERDAM)
a) Giải phương trình:

x  1  2 x  2  x  2  1.

b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
của biểu thức P  x  y.

x 1  y 1  2  x  y  .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Hướng dẫn
x  2 1  x  2  1 �

a) Phương trình đã cho tương đương với
�

x  2 1  





x  2 1 �

x  2 1  1  x  2

x  2  1 �0

Suy ra 2 �x �3.
2  x  y   x  y  2  2 x  1. y  1
b) Từ giả thiết ta có: x  y  0 và
2

1  17
2
� 2  x  y  �x  y  2 � x  y �
4

 a  b
Áp dụng bất đẳng thức



2

2  x  y   1. x  1  1. y  1
2

Vậy

�2  a 2  b 2 

ta có:

 � 1  1   x  1  y  1
2

max  x  y   2, min  x  y  

2

2

�  x  y    x  y   2 �0 � x  y �2
2

1  17
.
4

Bài 9 (PGD Quận Thanh Xuân 2016-2017). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
1
1
1
abc
 2
 2
�
.
2
2abc
Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab
Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức cơ si, ta có:

a 2 bc
� 2 a 2bc

2a bc

1
a  bc
2

1
2a bc

1
1
1
1
1
1
 2
 2
�


Chứng minh tương tự, cộng vế lại ta được: a  bc b  ca c  ab 2a bc 2b ca 2c ab
2

3


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

�

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

1
1
1
ab  bc  ca
 2
 2
�
a  bc b  ca c  ab
2abc
(1)
2

Mặt khác:

ab bc ca
ab  bc  ca �


 a bc
2
2
2
(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Bài 10 (Quận Đống Đa Hà Nội 2016-2017). Giải phương trình 2 x  3 x  2  2  x  4
Hướng dẫn

Ta phát hiện
liên hợp.

2 x 2  2





x 1

và

Phương trình đã cho tương đương với

�

2  x  1
x 1

2  x  1



3x  2  x  4

3 x  2   x  4   2  x  1

2



. Do đó ta sử dụng phương pháp nhân



x  1  3x  2  x  4  0

0

Kết luận: x  1.
Bài 11 (Quận Hai Bà Trưng Hà Nội 2016-2017). Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
ab
1
� .
a  3a  b   b  3b  a  2
Hướng dẫn
x y
xy �
2 với mọi x, y �0 ta có:
Áp dụng bất đẳng thức
1
4 a  3a  b 7 a  b
a  3a  b  
4a  3a  b  �

2
4
4
(1)

Chứng minh tương tự có:

b  3b  a  

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:

۳

ab
a  3a  b   b  3b  a 

1
2

1
4b  3b  a 7b  a
4b  3b  a  �

2
4
4
(2)

a  3a  b   b  3b  a  �2  a  b 

(đpcm).

1
3

x� ,y� .
2
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của: M  x  2 y  2 x  1  5 4 y  3  13.
Bài 11. Cho
Hướng dẫn

4


Thầy Phạm Như Tồn. ĐT 0988 819 343

Ta có:



Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

 

 

2 M  2 x  1  2. 2 x  1.1  1  4 y  3  10 4 y  3  25 

 
2

2x 1 1 

4y 3 5



Do đó M �0 . MinM = 0 � x  1, y  7.
Bài 12 (Quận Ba Đình 2016-2017). Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a 3 b3 c3
  �a ac  b ba  c cb .
b c a
Hướng dẫn
a 3 b3 c 3
  �a 2  b 2  c 2
• Chứng minh bổ đề: b c a
(1)
a3
b3
c3
 ab �2a 2 ,  bc �2b 2 ,  ac �2c 2
c
a
Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có: b
a 3 b3 c 3
   ab  bc  ca �2  a 2  b2  c 2 
2
2
2
Suy ra b c a
mà a  b  c �ab  bc  ca
a 3 b3 c 3
  �a 2  b2  c 2
b
c a

Suy ra
2
2
2
• Chứng minh a  b  c �a ac  b ba  c cb

Thật vậy:

a 2  b2  c 2 

a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca

�

2
2
2
2

1
1
1
� a 2  b2  c2 � a  a  c   b  b  a   c  c  b 
2
2
2
ac
ba
c b
� ac ,

� ba ,
� cb
2
2
2
2
2
Mà 2
do đó suy ra a  b  c �a ac  b ba  c cb (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
3
3
A   x3  3 x  3
Bài 12. Cho x  1  2  1  2 . Tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn

Ta có
Suy ra





x3  2  3 3 1  2 1  2



3

.



1  2  3 1  2  2  3x

x 3  3 x  2  0 � x 3  3 x  3  1 �  x 3  3 x  3 

Bài 13. Tính giá trị của biểu thức

2017

P

2017

 1

1
1
1
1

 ... 

.
1 3
3 5
77  99
79  81

5

2


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS
Hướng dẫn

2 P  3  1  5  3  ...  79  77  81  79  81  1  8 � P  4.
Bài 14. Cho
bao nhiêu?

a, b, c  0, abc  1,  1  a   1  b   1  c   8.

2
3
Giá trị của biểu thức A  a  b  c bằng

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có:

a

1
bc và

� 1 �

1 �
 1 b  1 c  8
�
� bc �
(1)

 b  1   c  1   bc  1  0 � b  c  1
1 1 1
 1 � b  c  bc     6 �
bc b c
b
c
bc
2

2

2

Suy ra a  1 và A  3.

Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

xy z  1  yz x  2  zx y  3
xyz
Hướng dẫn

P

z 1

z

x2

x

y  3 1  z 1 2  x  2 3  y  3 1
1
1
�


 

y
2z
2 2 2 2 3
2 2x
2 3y

Bài 16 (Phạm Như Tồn). Giải phương trình: x  x  3  3
Hướng dẫn
2 x  3  2 x  x  3  9 �
Đk: x �0. Phương trình tương đương với

x 2  3x  3  x

2
2
Điều kiện 0 �x �3. Bình phương hai vế phương trình ta được: x  3x  9  6 x  x � x  1.

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với

x 1 x  3  2  0

�

x 1
x 1
1
� 1
�

 0 �  x  1 �

� 0 � x  1.
x 1
x 3 2
x32�
� x 1

1
1
1
1



 2.
abc � .
8
Bài 17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 1  a 1  b 1  c
Chứng minh rằng
Hướng dẫn
1
b
c


Từ giả thiết ta có: 1  a 1  b 1  c

1
b
c
b
c
2 bc


�2
.

1 b 1 c
1  b. 1  c
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: 1  a 1  b 1  c
6

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

1
2 ca
1
2 ab
�
�
1  c . 1  a và 1  c
1  a. 1  b
Chứng minh tương tự, có: 1  b
Nhân 3 bất đẳng thức vế theo vế suy ra đpcm.

36

x2

Bài 18. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức
Hướng dẫn

4
 28  4 x  2  y  1
y 1

36
�
��
4 x2 

 24 � � y  1 
�
x2
��
�
Đẳng thức đã cho tương đương �

2
�

x2 6
x2

 
2

y 1  2
y 1



�
4
 4 � 0
�
y 1
�

2

 0 � 2 x2 6 

y 1  2  0

Suy ra x  11, y  5 .
2
2
Bài 19. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a  b �16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A  a b  a  8b   b a  b  8a  .

Hướng dẫn
b  a  8b  

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

1
1 9b  a  8b
9b  a  8b  � .
3
3
2

a 2  17 ab
a b  a  8b  �
6
Suy ra
(1)
b 2  17ab
b a  b  8a  �
6

Chứng minh tương tự ta có:
(2)
a 2  b 2  34ab
A�
2
2
A 3�
 a2 b2 
6
Cộng vế (1) và (2) ta được:
mà 2ab �a  b nên

A 48

2
2
2
Bài 20. Cho 0 �a, b, c �2, a  b  c  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  a  b  c .
Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có

 2  a   2  b   2  c  �0 � 8  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c  �0

� 2  ab  bc  ca  �abc  4

.

A   a  b  c   2  ab  bc  ca   9  2  ab  bc  ca 
2

Ta có

7


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Suy ra A �9  abc  4  5  abc �5
Max A = 5 khi

 a, b, c    0,1, 2 

và các hốn vị của nó.

x  2 x  1  x  2 x  1  2.

Bài 21. Giải phương trình:

Hướng dẫn
Điều kiện: x �1. Khi đó phương trình tương đương với phương trình
x 1  2 x 1  1  x 1  2 x 1  1  2

�
�





2

x 1 1 





x 1 1

2

2

x 1 1  x 1  1  2

�
x 1�1���
1
x 
1

x 1 1 0

x 1 1

x

2

Kết hợp điều kiện suy ra giá trị cần tìm của x là 1 �x �2.

Bài 22. Giải phương trình:

x2  4  4  x  2

x2
 x  2
�0.
Điều kiện: x  2
Đặt

x2
 3
x2
Hướng dẫn

x2
 t � t 2  x2  4
2
x2
. Khi đó phương trình trở thành: t  4t  3

t  1
�
�  t  1  t  3  0 � �
t  3
�

• Với t  1, ta có

 x  2

x2
 1
x2
, vì 1  0 nên x  2  0 � x  2

2
2
Khi đó x  4  1 � x  5 � x   5

• Với t  3, ta có:

 x  2

x2
2 x2
 3 �  x  2  .
 9 � x 2  13 � x   13.
x2
x2

Vậy tập nghiệm của phương trình là





S   5;  13 .

Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A  xyz  x  y   y  z   z  x 

8

biết x, y, z  0 và thỏa


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

mãn x  y  z  3.
Hướng dẫn
x yz 3
� xyz

3
Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho ba số dương có:

3

xyz

�x  y  z �
�
� 1

� 3
� (1)

3

x y yzzx� 8
3
 x  y  z  8
�
3
�
� 27
(2)

 x  y   y  z   z  x  ��
�

Từ (1) và (2) suy ra: A �8.
MaxA = 8 � x  y  z  1.
Bài 24. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x  2  y  1 biết x  y  4.
Hướng dẫn

 a  b
Áp dụng bất đẳng thức:
Ta có:

A2 



x  2  y 1



2

2

�2  a 2  b 2 

(các em tự chứng minh)

�2  x  2  y  1  2  x  y  3  2

2
2
Do A không âm nên từ A �

A

(vì x  y  4 ).

2.

5
3
max A  2 � x  , y  .
2
2

Bài 25. Cho các số không âm x, y thỏa mãn x  y  4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu
x
y
P

y4 x4
thức
Hướng dẫn

Viết lại

P

x
y
x
y



y  4 x  4 x  2 y y  2 x , sau đó sử dụng BĐT Cauchy-shwarzt

Bài 26 (Phạm Như Tồn). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn

A

2y  4
3x  9
z 1



x
y
z

Sử dụng BĐT Cauchy
Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

y  x 1  x  3  2x  2

Hướng dẫn
Lập bảng xét dấu, ta có:
9

với 2 �x �4.


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Tốn THCS

• Với 2 �x �1 � y  6.
• Với 1  x �1 � y  4 x  2
• Với 1  x  3 � y  2 x
• Với 3 �x �4 � y  6.
Vẽ đồ thị hàm số ra ta thấy max y  6, min y  6.
Bài 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  x  2  2 x  3  4 x  1  5 x  10

Hướng dẫn
Cách 1: Xét khoảng, dùng đồ thị hàm số để tìm ra min.
Cách 2: Dùng tính chất bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

A �A

với mọi A.

P  2  x  2 x  3  4 x  1  10  5 x �2  x  2 x  3  4 x  1  10  5 x  8.

Cách 3: Dùng bất đẳng thức trị tuyệt đối

A  B �A  B .

2
2
Bài 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  x  1  x  x  1
Hướng dẫn

2
A � Amin
Cách 1: Vì A  0 nên min

A2 �
2
x2 2 2 x4

x2 1 4

A 2

x2  x  1 x2  x  1  2

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si: A �2

x 4  x 2  1 �2

Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y biết x, y là các số dương thỏa mãn
3 4
  1.
x y
Hướng dẫn
2
�
� 3 � �2
�
y �
�
�x�
� �
�
�y
��
�
� � �

   

Cách 1:

�3 4 �
A   x  y  �  � � x
�
�x y � �

2

2
2
��
�� 3  2 .
�
��
��





(theo bất đẳng thức buhiacopxki)
A7

Cách 2: áp dụng bất đẳng thức cô si:

4x 3 y
4x 3y

�7  2
.

74 3
y
x
y x

10


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Tốn THCS

2
2
2
Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A  x  y  z  xy  yz  zx biết x  y  z  3.
Hướng dẫn

Chú ý:

 x  y  z

2

 x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx 

và các bất đẳng thức sau đây

2
2

2
• x  y  z �xy  yz  zx

1
2
x2  y 2  z 2 �  x  y  z  .
3
•

 x  y  z
•

2

�3  xy  yz  zx  .

Bài 32 (Nâng cao phát triển toán 9 tập 1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A  a 2  b2  c 2 biết 1 �a, b, c �3, a  b  c  1.
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra:

 a  1  a  3   b  1  b  3   c  1  c  3 �0

2
+
�
a 2�+
b 2 
c
2 a b c

9

MaxA  11 �  a, b, c    1, 1,3

A 11

và các hốn vị của nó.

Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1 1
2
 �
2 xy x 2 �y 2
x y
xy mà

P

xy

1 1

2
2
x y biết x, y  0, x  y  1.
Hướng dẫn

1
2

2
xy

2 2

A 2 2

x
y
Bài 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  3  3 với x  y  4.
Hướng dẫn

Ta có

A  3x  34 x  3x 

81
81
�2 3x. x  18.
x
3
3

36a  81
.
a2

Bài 34. Cho a  0. Tìm GTNN của biểu thức
Đề thi thử vào 10 trường THPT Lương Thế Vinh năm 2018
Hướng dẫn
P  a 2  4a  15 

2

P  a 2  4a  15 

36 81 � 9 � � 9 �

�
a  � 4 �
a  � 3
a a2 � a � � a �

11


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Đặt

9
9
t a� �

t �
a
a

a

a

9
a

P  t 2  4t  3   t  2   7

t �6
�
�
t �6
�

6

2

Khi đó

. Vì

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Tốn THCS
t

6

(vì a  0 )

t

t  �6�t�
2��
4

2

2

16

A 9.

Min A  9 � t  6 � a  3

� 1�
� 1�
A   1 x �
1  �  1  y  �
1 �
y
x �với x  0, y  0 và
�
�
�
Bài 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
thỏa mãn x  y  1.

Hướng dẫn

Dự đoán minA đạt được khi

Ta có

A 2

x y

1
.
2

x y
1 1
 x y 
y x
x y

x y
 �2
• y x
(cơ si)

x y
•

1 1
4

2
2
 �x  y 
 x y

�2
x y
x y
x y x y

 x  y

2
2

3 2
x y
2  x2  y 2 

Vậy A �4  3 2.
9a
25b 64c


 30.
a
,
b
,
c

.
Bài 36. Cho ba số thực dương
Chứng minh rằng: b  c c  a a  b
Hướng dẫn giải

Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b. Suy ra

a

yzx
x z y
x y z
,b 
,c 
.
2
2
2

9 y  z  x
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

2x



25  x  z  y 
2y



64  x  y  z 
2z

�9 y 25 x � �9 z 64 x � �25 z 64 y �
P� 
� � 
� 49.
� � 
2z �
�2 x 2 y � �2 x 2 z � �2 y
Thật vậy đặt P là vế trái, ta có:
9 y 25 x
9 y 25 x
9 z 64 x
25 z 64 y

�2
.
 15;

�24;

�40.
2
x
2
y
2
x

2
y
2
x
2
z
2
y
2
z
Áp dụng bđt cơsi ta có:

12

 30.


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Suy ra P �15  24  40  49  30.
Dấu bằng không xảy ra nên P  30 (đpcm).

Bài 37. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xy  yz  zx  2018. Chứng minh rằng
yz
xy
zx
3
 2


� .
2
2
x  2108
z  2018
y  2018 2
Hướng dẫn
yz

BĐT cần chứng minh viết lại:

 x  y  x  z



xy

 x  z  y  z





zx

3
� .
y  z  x  y 2

1� y
z �
� �

 x  y   x  z  2 �x  y x  z �
�Tương tự với các đánh giá còn lại, sau đó cộng vế suy ra
yz

Cơsi:
đpcm.

Bài 38. Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh:
Hướng dẫn giải

P

3  a 2 3  b2 3  c2


�6.
bc ca ab

1
1 � a2
b2
c2
�1
P  3�






.
�
a

b
b

c
c

a
b

c
c

a
a

b
�
�
Có
1 1 1
9
  �
Áp dụng bất đăng thức x y z x  y  z với mọi x, y, z  0 ta có:

1
1
1
9
9
3


�

 .
a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2 a  b  c 2
a2
bc
a2 b  c

�2
.
a
b

c
4
b

c
4
Áp dụng bất đẳng thức cơsi, ta có:
b2

ca
c2
a b

�b,

�c
4
ab
4
Chứng minh tương tự: c  a
. Cộng vế theo vế ba bđt này ta được:
2
2
2
a
b
c
abc 3


�
 .
bc c a ab
2
2
3 3
P �3.   6
2 2
Do đó:

(đpcm).

13


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

a  b   a  b  1  a 2  b 2 .
Bài 39. Cho hai số dương a, b thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
Q 4
 4
.
2
2
2
a  b  2ab b  a  2ba 2
thức
Hướng dẫn giải

 a  b
Từ giả thiết ta có:

2

  a  b   a 2  b 2 � 2ab  a  b.

2  a 2  b 2  � a  b  a, b

Ta có

Áp dụng bđt cơsi, ta có:
MaxQ



b
 a �b �
 a�
2

2

. Do đó

 a  b

2

 a  b

2

2

2

a b

1
1
1
2
2 1
Q� 2
 2


�2  .
2
2
2
2a b  2ab
2b a  2a b ab  a  b   a  b 
2
2

1
� a  b  1.
2

x
Bài 40. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y , xy  1. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải

2

 y2 

 x  y

2

2

x2  y 2
�2 2 � x 2  y 2  2 2 x  2 2 y �0
BĐT cần chứng minh tương đương với x  y



� x 2  y 2  2 xy  2 2 x  2 2 y  2 �0 � x  y  2



2

�0

(luôn đúng).

Bài 41. Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 9
26
A  
.

x y 3x  y
Hướng dẫn giải
3 9
3 9
 �2 .  6
x y
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: x y
(vì xy  3 )

3 x �
y �
2 3 xy
� 6

Do đó

A �6 

26
3x  y

13
3

26
3x  y

13
3

13 5
 .
3 3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  1, y  3.

14

�8.

a b 2.


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Vậy

min A 

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

5
� x  1, y  3.
3

Bài 42. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 1 �x, y, z �3 và x  y  z  1. Chứng minh rằng
x 2  y 2  z 2 �11.
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có:
 x  1  x  3   y  1  y  3   z  1  z  3 �0 � x 2  y 2  z 2 �2  x  y  z   9  11.

(đpcm)

x
y

�1.
2
2
x
,
y
x

y

2.
1

y
1

x
Bài 43. Cho các số thực dương
thỏa mãn
CMR:
Hướng dẫn giải

x2 y 2  x  y 

�
b

ab
Áp dụng bất đẳng thức a

2

với a, b  0, x, y tùy ý

 x  y
x
y
x2
y2
4



�

2
2
2
2
1 y 1 x
x  xy
y  yx
x  y  xy  x  y  2  1  xy 
2

Ta có:

Vì

 x  y
xy �

2

4

1

nên

x
y
4

�
 1.
2
2
1 y 1 x
2  1  1

Bài 44. Giải phương trình:

(đpcm).

x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2 x  3

Hướng dẫn giải
PT tương đương

 x  1  x  2  

x3  x2 

ĐKXĐ: x �2 . Khi đó pt trên tương đương với
�



x2  x3

 x  1  x  3 .

x 1



 

x2  x3 



x2  x3  0

�x  2  x 3
x 1 1  0 � �

� x  2.
� x 1  1





Bài 45 (Phạm Như Toàn). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  999. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
2a
2b
2c
P


.
2
2
2
a  333
b  333
c  333
Hướng dẫn giải
999 
 a�b۳c
 3  ab bc ca 
2

Ta có

333 ab bc ca

15


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343
2a

P�

2b



Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS


2c

a 2  ab  bc  ca
b 2  ab  bc  ca
c 2  ab  bc  ca Hay
2a
2b
2c
P�


 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a   c  b 

Do đó

a ��b
b ��c
c �
�a
��



� �
� �
� 3
�a  b a  c � �a  b b  c � �a  c b  c � (BĐT Cauchy).
a b c 9 3 abc
  
�6
Bài 46 (THTT) Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng: b c a a  b  c
Hướng dẫn giải

a a b
a a b
3a
2a b
3a
  �3 3 . .  3
�
 �3
b b c
b c

abc
abc
Áp dụng bđt côsi: b b c
a b c a bc
  � 3
b
c a
abc
Chứng minh tương tự, sau đó cộng vế các bđt lại ta được:

a b c 9 3 abc
a  b  c 9 3 abc
  
� 3

�6
b
c
a
a

b

c
a

b

c
abc

Do đó
(cơ si)
3
2
Bài 47 (HSG Tỉnh Hưng Yên 2018). Giải phương trình 4 x  5 x  1  3 x  1  3 x.
Hướng dẫn giải

Bài 48. Giải phương trình

x  2  y  2009  z  2010 

1
 x  y  z .
2

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x  y  z  2 x  2  2 y  2009  2 z  2010  0
�
�



 
2

x  2 1 
x2 

 
2

y  2009  1 



2

z  2010  1  0

y  2009  x  2010  1 � x  3, y  2008, z  2011.

2
Bài 49. Giải phương trình: x  x  2004  2004.
Hướng dẫn giải

Đặt y  x  2004 . Ta thu được hệ

2
2
�x  y  2004 �x   y  2004
� �2
�2
�y  x  2004 �y  x  2004

x y 0
�
x 2  y 2   y  x �  x  y   x  y  1  0 � �
x  y 1  0
�
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:

16


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Đến đây các e tự giải tiếp vì bài tốn đã trở nên đơn giản rồi.
Bài 50. Giải phương trình
4
a) x  24 x  32

4
2
b) x  2 x  8 x  3
Hướng dẫn

x
a) Thêm bớt ta được phương trình tương đương với
x 4  2 x 2  8 x  3 �  x 2  1   2 x  2 
2

b)

2

 2   2x  6
2

2

2

f x  ax 2  bx  c
f 1 ,f 4 ,f 9
Bài 51 (ƠN CHUN) Cho  
có tính chất       là các số hữu tỉ.
Chứng minh rằng khi đó a, b, c là các số hữu tỉ.
Hướng dẫn giải

f  1  a  b  c ��

(1)

f  4   16a  4b  c �� (2)

f  9   81a  9b  c �� (3)
Từ (1),(2) suy ra 15a  3b ��� 5a  b �� (4)
Từ (1), (3) suy ra 80a  8b ��� 10a  b �� (5)
Từ (4), (5) suy ra 5a ��� a ��. Từ (4) suy ra b ��. Từ (1) vì a, b �� nên c ��.
4
2
2
Bài 52 (ƠN CHUN). Tìm a để nghiệm của phương trình x  2 x  2ax  a  6a  1  0 (1)
là nhỏ nhất, lớn nhất.
Hướng dẫn giải

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn a. Ta viết lại

a 2  2a  x  3  x 4  2 x 2  1  0.

�
  x  3  x 4  2 x 2  1   x 4  x 2  6 x  8 �0.
2

Phương trình có nghiệm (tức tồn tại a) khi

�  x  2   x  1  x 2  x  4  �0 �  x  2   x  1 �0

2
(vì x  x  4  0 x )

 0 suy ra
Giải ra ta được 1 �x �2 . Vậy nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là -1 và 2. Khi đó �
a  2, a  5.

1 2 3
   6.
x
,
y
,
z

0
x
y z
Bài 53. Cho
và thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2
P  x  y  z3
Hướng dẫn giải

17


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

2
3
Áp dụng bất đẳng thức côsi: y  1 �2 y, z  1  1 �3 z . Suy ra P �x  2 y  3z  3.

1 2 3
2�� 3�
� 1��
P  6 �x  2 y  3z     3  �x  � �
2 y  � �
3z  � 3 �2  4  6  3  9
x y z
y�� z�
� x��
Suy ra
(cô si). Suy ra P �3.
2
2
Bài 54. Cho hai số thực x và y thỏa mãn x  xy  y  1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2

2
sau B  x  xy  2 y .

Hướng dẫn giải

Ta viết lại

B

x 2  xy  2 y 2
x 2  xy  y 2 . Nếu y  0 thì từ giả thiết ta được x 2  1 � B  1.
2

B
2

Xét y �0. Chia cả tử và mẫu của B cho y ta được
B

�x � x
�y � y  2
��
2

�x � x
�y � y  1
��

,đặt

t

x
y ta thu được

t2  t  2
�  B  1 t 2   B  1 t  B  2  0
2
t  t 1
(1)
   B  1  4  B  1  B  2   B 2  14 B  7
2

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn t, ta có

�
B �7  2 14
 �0 � B 2  14 B  7 �0 � �
B �7  2 14
�
Giải điều kiện

Dễ thấy B  0 nên ta chọn B �7  2 14
3
3
Bài 55. Cho x,y là các số thực khơng âm thỏa mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
thức P  x  y .

Hướng dẫn giải

x 3  y 3  1 � x3  1  y 3 (1) . Vì x, y �0 nên từ (1) suy ra 0 ���
x3 �
1
2
3
2
3
2
2
3
3
y
x y x y
P 1
0 �y �1. Suy ra x x�,y���

0

x 1 , tương tự ta có

4
4
Bài 56. Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  1. Tìm GTNN của biểu
P  x3  y 3  3  x  y   xy  1  1
thức
Hướng dẫn giải

18

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

4
0 �x �1 �
�x, y �0
�
�x �x
�
�
� x  y �x 4  y 4  1
�4
�
�
4
4
0 �y �1 �y �y
x  y 1 �
Từ giả thiết �

P  x3  y 3  3 xy  x  y   3  x  y   1   x  y   3  x  y   1
Đặt x  y  a. Viết lại
3

Do đó
Vậy

P  a 3  3a  1   a 3  1  1  3a  1 �3a  3a  1  1

(bđt côsi)

min P  1 � a  1 �  x; y     0;1 ,  1; 0  

Bài 57. Cho a, b, c là các số thực không âm không lớn hơn 2 và thỏa mãn a  b  c  3. Chứng
2
2
2
minh rằng: a  b  c �5
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có

0 �a, b, c �2 �  2  a   2  b   2  c  �0

� 8  4  a  b  c   2  ab  bc  ca   abc �0 � 2  ab  bc  ca   abc �4
� 2  ab  bc  ca  �4  abc

(1)

a 2  b 2  c 2   a  b  c   2  ab  bc  ca   9  2  ab  bc  ca 
2

Ta có

(2)

2
2

2
2
2
2
Từ (1) và (2) suy ra a  b  c �9  4  abc  5  abc vì abc �0 nên a  b  c �5 (đpcm).

Bài 58. Cho x, y là các sô thực thay đổi thỏa mãn 1 �x �y �5. Tìm GTNN của biểu thức sau
P  2  x 2  y 2   4  x  y  xy   7
Hướng dẫn
P  2 x  y  4 x  y  7
2

5 ��4
Từ giả thiết 1 �x�y�

x y

0 , đặt t  x  y

2
Bài tốn trở thành tìm GTNN của P  2t  4t  7 với 4 �t �0

P  2  t  1  5 �5
2

Có

Vậy minP = 5 khi x  y  1.
2
2

2
Bài 59. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  200. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2 xy  yz  zx.
Gợi ý

19


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS
2

z� 3
2
�
200  P   x  y   z  x  y   z 2  �x  y  � z 2 �0
2� 4
�


200. Dấu bằng xảy ra khi  x; y; z  �  10; 10;0  ,  10;10; 0  

P

A

Bài 60. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức
Gợi ý

x2
x2  x  1

• MinA = 0.
A

•

x2
1
1
4


� .
2
2
x  x  1 1  1  1 �1 1 � 3 3
4
 �
max A  .
x x2 �
�2 x � 4
3
Suy ra

3
3
2
2

Bài 61. Cho các số dương x, y thỏa mãn x  y  x  y. Chứng minh rằng x  y  1.
Gợi ý

Từ giả thiết suy ra x  y  0

Ta cần chứng minh
� xy  y  x   2 y 3

x2  y 2 

x3  y3
x  y (1). Thật vậy (1) � x 3  x 2 y  xy 2  y 3  x 3  y 3

(hiển nhiên đúng với mọi x  y  0 )

Bài 62. Cho các số thực x, y thỏa mãn

x �1, y �1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 1 x   1 y  .

T  xy  x 1  y 2  y 1  x 2 

2

2

Gợi ý







 sau đó áp dụng bất đăng thức  ab  cd 
�
1  y    y  1  y  � 2
�

T  x y  1  y 2  1  x2 y  1  y 2



�
T 2 � x 2  1  x 2  �y 
�
ta có

2

2

2

2

2

Suy ra max T  2.
7
a 2  b2  c 2  .
4 Chứng minh rằng
Bài 63. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
1
  
.
a b c abc
Gợi ý

20

� a 2  c 2   b 2  d 2 


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương bc  ca  ab  1 . Từ đó ta nghĩ xem kết nối với giả
thiết như thế nào để chứng minh bđt này đúng.
2
2
2
Có a  b  c và xuất hiện bc  ca  ab ta nghĩ ngay đến kết hợp để tạo hằng đẳng thức

a 2  b 2  c 2  2bc  2ca  2ab   a  b  c  �0

2

Thật vậy

7
1 1 1
1
a 2  b 2  c 2 �2  bc  ca  ab  � bc  ca  ab �  1 �   
8
a b c abc (đpcm).
Suy ra

Bài 64. Giải phương trình

2  x2  2 

1
� 1�
 4  �x  �
.
2
x
� x�
Gợi ý

Phương trình tương đương

2  x2  x  2 

 a  b

Áp dụng bất đẳng thức
Suy ra

2

�2  a  b
2

2  x 2  x � 2  x 2  x �2

Chứng minh tương tự ta có

2

2




ta có

2  x2  x



2

�2  2  x 2  x 2   4

(1)

1 1
 �2
x2 x

Cộng vế theo vế (1) với (2) suy ra

1 1
  4.
x2 x

(2)

2  x2  x  2 

1 1
 �4
x2 x

� 2  x2  x
�
�
1 1 � x 1
2


�
2
x
x

�
''

''
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi



x  1 y2
x
,
y
Bài 65. Cho các số thực
thỏa mãn
P

x

y
.
thức

 y



1  x 2  1.

Tính giá trị của biểu

Gợi ý
Bài 66. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  a 3 1 b  c  b 3 1 c  a  c 3 1 a  b
Gợi ý
3b c
1  b  c  3 1.1.  1  b  c  �
3
Sử dụng bất đẳng thức cô si:
3

21


Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

3a  ab  ac
a 3 1 b  c �
3
Suy ra
, thiết lập tương tự hai bất đẳng thức cịn lại sau đó cộng vế theo vế suy
ra GTLN của P.

Bài 67. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

x 2  2 x  2018

 x �0 
x2
Gợi ý

2 2018 �2018
2018
1
1 � 2017
P  1  2  �

2
.

�
� x2
x
x
x
2018 2018 �
�
� 2018
2

� 2018
1 � 2017 2017
P�

�
�
� x

2018 �
�
� 2018 2018

Bài 68. Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b �1, a  0. Tìm giá trị nhỏ nhất
8a 2  b
P
 b2
4a
của biểu thức
Gợi ý
Từ giả thiết ta có thể dự đốn được minP khi a  b  1. Bây giờ ta biến đổi P để xuất hiện được giả thiết
trong đó
P  2a 

b
b 1
1
ba
1
ab
1
 b 2  2a 
  b 2   2a 
 b2   a 
 a  b2 
4a
4a 4
4
4a

4
4a
4
2

1
1
1 � 1� 1
1 3
P �a 
 1  b  b 2  �2 a.
�
b  � �1  
4a
4
4a � 2 � 2
2 2

Bài 69. Cho hai số thực x, y thỏa mãn
nhỏ nhất của biểu thức S  x  y.

 x  y  1

2

 5 x  5 y  y 2  1.

Tìm giá trị lớn nhất và

Gợi ý

Từ giả thiết ta suy ra

 x  y  1

2

 5  x  y  1  4  y 2 �4

�  x  y  1  5  x  y  1  4 �0
2

�
1 �
xy 1 4

0

x

y 3

Bài 70. Cho bốn số dương x, y , z , t có tổng bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x  y  z  x  y
P
xyzt
(Trích đề thi HSG Hà nội 2003-2004)
Gợi ý
22

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

 a  b
Áp dụng bđt
 x  y  z

2

2

�4ab

�4  x  y  z (2)

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

�
 x  y  z  t�
� �4  x  y  z  t
: �
2

,

 x  y

2

�4 xy

(1)

(3)

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế suy ra P �16.
MinP = 16 khi

x y

1
1
1
z t
2
4
4

�x, y, z  0
2
9
P
 2
�
xy  yz  zx x  y 2  z 2
Bài 71. Cho �x  y  z  1 . Tìm GTNN của biểu thức
(Đề thi thử vào 10 lần 4- THPT Lương Thế Vinh Hà Nội)
Gợi ý
a 2 b2  a  b 
 �
mn

Bổ đề: Ta chứng minh m n

2

(1) với mọi a, b và m, n  0.

 a n  b m   m  n  �mn  a  b 
Thật vậy (1) tương đương với
2

�  an  bm  �0

2

2

� a 2 n 2  b 2 m 2 �2abmn

2

(đúng).

 2  3
22
32
P
 2
�
2
2

2  xy  yz  zx  x  y  z
2  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2
2

Áp dụng kết quả (1) ta có:
۳ P

25

 x  y  z

2

 25.

Vậy min P  25 . Các em tự chỉ ra dấu ''  ''
Chú ý: (1) còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Bất đẳng thức này rất hiệu
quả cho các bai toán ở dạng phân thức.
Bài 72. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2
b2
c2
P


c  c 2  a2  a  a2  b 2  b  b2  c2 
biểu thức
(Đề thi thử vào 10 - THCS Trưng Vương Hà Nội)
Gợi ý
1 1 1

  3
Từ giả thiết suy ra a b c

23


Thầy Phạm Như Tồn. ĐT 0988 819 343

Ta có

a2  c2  c2 1
c
  2 2
2
2
c a  c  c a  c

Ta ln có

2
c 2 a�
 2ca

. Do đó

c
c  a2

P

c
2ca

2

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS
1 1 1 � c
a
b �
   �2
 2
 2 2�
2
2
a b c �c  a a  b b  c �

1
2a , lập luận tương tự suy ra

1 1 1 �1
1
1 � 1 �1 1 1 � 3
P �    �   � �   �
a b c �2a 2b 2c � 2 �a b c � 2
MinP 

3
� a  b  c  1.
2

2
2
2
Bài 73. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc. Tìm giá trị lớn
a
b
c
P 2
 2
 2
a  bc b  ca c  ab
nhất của biểu thức
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THCS Nguyễn Trường Tộ Hà Nội)
Gợi ý

a
a
bc
�

Áp dụng bất đẳng thức cơ si ta có: a  bc 2a bc 2bc
2

ab
bc
ca
ca.cb  ab.ac  ab.bc
P�




2ab 2bc 2ca
2abc
Chứng minh tương tự suy ra:
ac  bc ab  ac ab  bc


ab  bc  ca
1
2
2
� 2

�
2
2
2
2
2
2
2 a  b  c 
2 a  b  c  2

maxP



2
2
2

(vì a  b  c �ab  bc  ca )

1
� a  b  c  3.
2

2
2
2
Bài 74. Cho a, b, c là các thực thỏa mãn điều kiện a, b �0, 0 �c �1, a  b  c  3. Tìm giá
A  ab  bc  ca  3  a  b  c  .
trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 – THPT chuyên Hà Nội AMSTERDAM)
Gợi ý

a  b  c � 3  a2  b2  c2 
2
2
2
• Tìm GTLN: Có ab  bc  ca �a  b  c và

Suy ra max P  12
• Tìm GTNN:
2 A   a  b  c    a2  b2  c2   6  a  b  c    a  b  c   6  a  b  c   3
2

2

24

Thầy Phạm Như Toàn. ĐT 0988 819 343

Bổ trợ kiến thức và luyện thi Toán THCS

� 2 A   a  b  c  3  12
2

a 2  b 2  c 2  3 �  a  b  c   3  2  ab  bc  ca  �3  2  abc  bc  ca 
2

Ta có

 a  b  c
Suy ra
Do đó



2

(vì 0 �c �1 )

�3  2c  ab  b  a  �3 � a  b  c � 3

2 A  �
3 3



2

12

A 3 3

Bài 75. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  6. Tìm giá trị lớn nhất của
2
2
2
2
2
2
biểu thức S  a  4ab  b  b  4bc  c  c  4ca  a
(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Nguyễn Tất Thành Hà Nội)
Gợi ý

Áp dụng bất đẳng thức

a 2  4ab  b 2 

 x  y
xy �

2

4

 a  b

2

 2ab �

Chứng minh tương tự ta suy ra

ta có

3
6
2
 a  b   a  b
2
2

S � 6  a  b  c   6 6.

x 4 x  1  y  4 y  1  z  4 z  1  9.
Bài 76. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 
Tìm giá trị
2
2
2
nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z .

(Đề thi thử vào 10 năm 2018 - THPT Lương Thế Vinh Hà Nội)
Gợi ý
Ta có

9  4  xy  yz  zx   x  y  z

(1)

2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức a  b  c �ab  bc  ca, a, b, c (*) ta được:

P 
x 2 �
y 2 ۳
z 2 xy

yz

zx

4P

4  xy

yz

zx 

(2)

(*) � 3  a 2  b 2  c 2  � a  b  c  � 3  a 2  b 2  c 2  �a  b  c �a  b  c
2

Áp dụng (**) ta được:
Từ (1), (2), (3) suy ra:
 �4P
� 3 3

0

P

3P  3  x 2  y 2  z 2  �x  y  z

(**)

(3)







4 P  3P �9 � 4 P  3P  9 �0 � 4 P  3 3 P  3 �0
3 3
4 (do P �0 )
25