Bai giang 1 bất ĐẲNG THỨC hàn QUỐC 2011

Bài giảng cho học sinh THCS 2020
BÀN VỀ BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI HSGQG
CỦA HÀN QUỐC 2011
Nguyễn Chí Trung – Giáo viên trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa
(Korea NMO 2011):
Cho a, b, c, d là các số thực sao cho a  b  c  d  19 và a2  b2  c2  d 2  91 . Tìm giá trị lớn
nhất của
1 1 1 1
   .
a b c d

Trong quyển Tập san, chúng tôi đã định hướng giải bài này như sau:
Bước 1: Tìm khoảng giá trị của các biến để dự đốn giá trị lớn nhất.
1
1
11
2
2
Ta có: 91  d 2  a 2  b2  c 2   a  b  c   19  d  , suy ra 4  d  .
3
3
2

 11
Chứng minh tương tự ta được a, b, c, d   4,  .
 2
Bước 2: Dự đoán giá trị lớn nhất.
 11
Do a, b, c, d   4,  và các biểu thức đối xứng nên ta “nghi ngờ” GTLN sẽ đạt được khi có một
 2
số biến bằng nhau hay một vài biến bằng 4 hoặc

11
17
. Sau khi thử, ta đốn GTLN là
khi có ba
2
20

biến bằng 5 và một biến bằng 4.
Bước 3: Thiết lập đánh giá dựa trên dấu bằng đã dự đoán.
Nhận xét: các giả thiết và biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất đều “tách biệt” giữa các biến nên ta
1 1 1 1 17
sẽ sử dụng phương pháp hệ số bất định để chứng minh    
. Ta sẽ tìm m, n, k sao
a b c d 20
1
2
cho  ma  na  k .
a
Xét hệ phương trình
7

1
2
 m  50
 4  m.4  n.4  k


1
1


2
.
  m.5  n.5  k   m 
100
5

13
 1

 52  m  2.n.5
 k  20


............

TẬP SAN TOÁN HỌC – Kỉ Niệm 20 Năm Thành Lập Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa

1


Bài giảng cho học sinh THCS 2020
Ở bước tìm m, n, k chúng tôi đã sử dụng một công cụ mà học sinh THCS chưa được học là đạo
hàm. Tuy nhiên nếu khơng sử dụng đạo hàm thì ta vẫn có thể dự đốn được m, n, k như sau:

1
na3  ma 2  ka  1
 ma  na 2  k 
 0  na3  ma 2  ka  1  0
a

a
Do dự đoán cực trị đạt được khi các biến là 4 hay 5 nên ta nghĩ đến phân tích

na3  ma 2  ka  1  0  n  a  4  a  5  a  x*   0 1
 11 
Rõ ràng ta hy vọng bất đẳng thức 1 đúng với mọi a   4;  .
 2

Nếu x*  5 (để dễ tưởng tượng, các bạn học sinh có thể cho x*  3 chẳng hạn) thì khi a dịch
chuyển từ bé hơn 5 ( chẳng hạn cỡ 4.99) sang lớn hơn 5 (chẳng hạn cỡ 5.01), vế trái của 1 sẽ
đổi dấu. Như vậy điều ta mong muốn sẽ không đạt được.
Đến đây ta nghĩ ngay đến việc cho x*  5 . Khi đó ta có

na3  ma 2  ka  1  n  a  4  a  5 .
2

So sánh hệ số tự do của hai vế ta suy ra n.  4  .  52   1 hay n 
Khi đó na3  ma 2  ka  1 
Từ đó tìm được n 

1
.
100

1
1
2
 a  4 a  5   a3  14a2  65a  100
100
100

1
14 7
65 13
;m 

;k 

và giải tiếp như lời giải đã trình bày trong
100
100 50
100 20

Tập san.
Phương pháp hệ số bất định là phương pháp rất hay nhưng có tính may rủi. Khi ta có dự đốn
ban đầu đúng, các bước suy luận có lí tiếp theo có thể dẫn ta đến đích. Nhưng nếu dự đốn ban
đầu sai thì sẽ giống như khi ta lạc đường hay thậm chí là ngược hướng, càng cố gắng đi tiếp thì
càng xa đích đến!
Qua bài viết nhỏ, hi vọng các bạn học sinh THCS sẽ hiểu ra thêm được nhiều điều. Hẹn gặp các
bạn trong các bài giảng tiếp theo và tiếp tục đọc các bài toán tương ứng với khả năng của mình
trong Tập san nhé !

TẬP SAN TOÁN HỌC – Kỉ Niệm 20 Năm Thành Lập Trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa

2