HSG huyện anh sơn 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN ANH SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8.
CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN
NĂM HỌC 2013-2014

MƠN THI: TỐN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2.5 điểm)
10x - 5 3 - x �x + 2
�
:
Cho biểu thức A= � 2
�
�x - 9 x + 3 �x +3
a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x =

5
2

c/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2.5 điểm)
a/ Giải phương trình: x 3 - 4x + 1=  x - 1

2

b/ Chứng minh rằng biểu thức S =  n 2 + n - 1 - 1 chia hết cho 24 với mọi số

nguyên n.
2

2
2
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2024

Câu 3 (2.0 điểm)
Cho hình vng ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CD, DA. Gọi H là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác BMDP là hình bình hành.
b/ BA = BH
Câu 4 (2 điểm)
Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng
minh rằng:
a/ AEB : AFC
�  ABC
�
b/ AEF
c/ BH.BE  CH.CF  BC 2
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số a, b, c �R * thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1và

1 1 1
   1.
a b c

Chứng minh rằng có ít nhất một số bằng 1.
- HẾT Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm!

Đáp án và biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 8
Năm học 2013 – 2014
Bài
1

Câu
Nội dung cần đạt
a ĐKXĐ: x �2; x ��3
10x - 5 3 - x �x + 2
�
A= � 2
:
=
�
�x - 9 x + 3 �x +3
(10x  5)  (x  3) 2 x  2
:
=
(x  3)  x  3
x 3
x 2  4x  4 x  2
:
=
(x  3)  x  3 x  3

c

0,25đ

5
(�ĐKXĐ)
2
5
�5
� 9 1 9
 9
Thay vào A ta có A = (  2) : �  3 � : 
2
1
�2
� 2 2
Với x 

Với x �ĐKXĐ.
A có giá trị nguyên �

a

Giải phương trình x 3 - 4x + 1=  x - 1

0,5đ

0,25đ

0,25đ

2

� x 3  4x  1  x 2  2x  1

� x 3  x 2  2x  0
� x  x  1  x  2   0
� x  0;x  1; x  2
b

0,25đ

x2
có giá trị nguyên
x 3

khi đó x + 2 Mx – 3
nên ( x + 2) – ( x – 3) Mx – 3
� 5Mx – 3
� x – 3 � 5; 1;1;5
Do đó x � 2;2;4;8
Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy có 3 giá trị thỏa mãn đề bài là
x = 2; x = 4; x = 8
2

0,25đ
0,25đ

(x  2) 2
x3 x 2
�

=
(x  3)  x  3 x  2 x  3
b

Điểm
0,5đ

S =  n 2 + n - 1 - 1=  n 2 + n   n 2 + n - 2 

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2

= n  n + 1  n - 1  n + 2 

S là tích của bốn số nguyên liên tiếp nên S chia hết cho 3 vá S

0,25đ
0,25đ
0,25đ


chi hết cho 8, mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên S
c

chia hết cho 24
P = x 2 + 2y 2 + 2xy - 6x - 8y + 2024

=  x 2 + y 2 + 9 + 2xy - 6x - 6y  +  y 2 -2y+1 + 2014
=  x + y - 3 +  y - 1 + 2014 �2014

P = 2014 � x = 2; y = 1.
Vậy Pmin = 2014 khi x = 2; y = 1.
2

0,25đ
0,25đ

2

0,25đ

M

C

B

N
H
Q
D
A

a

Xét tứ giác BMDP ta có:

1
1
BC= AD)

2
2
Nên tứ giác BMDP là hình bình hành
Xét tam giác ADH Ta có P là trung điểm của AD mà PQ //DH
Nên theo tính chất của đường trung bình ta có Q là trung điểm
của AH(1)
Mặt khác: ABP  DAN (c – g – c)
�  BAQ
�  900 ( Do BAD
�  DAN
�
�  900 )
Nên ABP
mà DAN
�  BAQ
�  900
Vì vậy ABP
Do đó ABQ vuông tại Q nên BQ  AH (2)
Từ (1) và (2) � Tam giác ABH cân tại B ( Vì BQ vừa là
đường cao vừa là trung tuyến). Nên AB = BH
BM//=DP( Vì BM=DP =

b

P

1,0đ

0,25đ

0,5đ
0,25đ


4

A

E

F
H

B

a

b

c

5

D

C

Xét AEB ; và AFC ta có
� chung
A

�  AFC
� (  900 )
AEB
Do đó AEB : AFC (g –g)
Vì AEB : AFC (g –g)
AE AB
�

Nên
kết hợp với ABC
AF AC
Do vậy AEF : ABC (c- g- c)
�  ABC
�
Vì vậy AEF
CH CD

� CH.CF  CD.CB
CB CF
BH BD

� BH.BE  BD.CB
Vì BHD : BCE (g –g) nên
CB BE
2
Do đó BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC
1 1 1
Vì a  b  c  1 và    1
a b c
1 1 1

1
Nên   
a b c abc
Biến đổi hệ thức trên ta có
(a + b)( b +c)(c +a) = 0
Nên a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
Nếu a + b = 0 thì c = 1
Nếu b + c = 0 thì a = 1
Nếu c + a = 0 thì b = 1
Vậy trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1
Vì CHD : CBF (g –g) nên

0,5đ

0,75đ

0,75đ

0,5đ

0,5đ