PTB2 DẠNG 7 GIÁ TRỊ TUYỆT đối

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

PHẦN 7
BÀI TỐN VỀ ĐIỀU KIỆN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG
+

A ≥0

+

A =A⇔A≥0

+

A = A2

+

A . B = A.B

với mọi A

A = −A ⇔ A ≤ 0

2

A = A2

với mọi A

A = B ⇔ A = ±B

 x1x 2 < 0  x 1 < 0
⇒

x1 < x 2

x 2 > 0
+

 x1x 2 > 0
 x1 < 0
⇒

 x1 + x 2 < 0  x 2 < 0

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG
1. Phương pháp giải
Bước 1. Tính ∆, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm theo yêu cầu của bài toán
Bước 2. Viết các hệ thức về 2 nghiệm của phương trình
2

Bước 3. Vận dụng tính chất

A = A2

, giải điều kiện tìm giá trị của tham số

Bước 4. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận
2. Ví dụ.
2
Ví dụ 1. Cho phương trình x − 2mx − 3 = 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thoả mãn

x1 + x 2 = 6.
Lời giải
2
Xét phương trình x − 2mx − 3 = 0
2
2
Ta có ∆′ = (− m) − 1.(−3) = m + 3 > 0 với mọi m. ( Hoặc a = 1 > 0, c = - 3< 0)
 phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m.

 x1 + x 2 = 2m

x .x = −3
Theo hệ thức Vi - et ta có:  1 2

Ta có :

x1 + x 2 = 6 ⇔ x12 + x 22 + 2 x1 . x 2 = 36

⇔ (x12 + x 22 + 2x1x 2 ) − 2x1x 2 + 2 x1 . x 2 = 36
⇔ (x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2 + 2 x1x 2 = 36
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

1

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Suy ra :

4m − 2 ( −3 ) + 2 −3 = 36 ⇔ m = 6 ⇔ m = ± 6.
2

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2

Vậy m = ± 6 là giá trị cần tìm.
2
2
Ví dụ 2. Cho phương trình x − 4mx + 4m − m + 2 = 0 , với m là tham số

x -x =2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho 1 2
.
Lời giải
Ta có ∆’ = m - 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 ⇔ ∆ > 0 hay m − 2 > 0 ⇔ m > 2
2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x 2 = 4m ; x1x 2 = 4m – m + 2 .
Ta có

x1 − x2 = 2 ⇔ (x1 − x2)2 = 4 ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 4
⇔ (4m) 2 − 4(4m 2 − m + 2) = 4 ⇔ 4m − 12 = 0 ⇔ m = 3 (thỏa mãn m > 2 )

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) , với m là tham số
a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m.
b) Tìm m để

x1 − x2

nhận giá trị nhỏ nhất ( x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (1)).
Lời giải
2

1  19

2
= m + ÷ +
2
2
∆ ' = [ −(m + 1) ] − 1.(m − 4) = m + 2m + 1 − m + 4 = m + m + 5 
2
4
Ta có:
2

2

1

1  19 19


∆' = m + ÷ + ≥
>0
m + ÷ ≥ 0
2
2
4
4




Vì
với mọi m. Nên
với mọi m
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:
Ta có:

x1 − x 2 =

x1 + x 2 = −

( x1 − x 2 )

2

=

b
c
= 2(m + 1) = 2m + 2 x1.x 2 = = m − 4
a
a
,

( x1 + x 2 )

2

− 4x1x 2 = (2m + 2) 2 − 4(m − 4)

= 4m 2 + 8m + 4 − 4m + 16 = 4m 2 + 4m + 20 = (2m + 1) 2 + 19
2
Vì (2m + 1) ≥ 0 với mọi m. Nên

Dấu “ = “ xảy ra khi
Vậy

x1 − x 2

(2m + 1) 2 + 19 ≥ 19 với mọi m

(2m + 1) 2 = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = −

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

19 khi
2

m=−

1
2

1
2
PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Sai lầm: Học sinh lập luận
Suy ra

x1 − x 2

x1 − x 2 ≥ 0

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

với mọi m

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Khi đó x1 = x 2 . Điều này khơng xảy ra vì

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m

Ví dụ 4. Cho phương trình:

2

x - 2(m - 2)x - 1 = 0

, với m là tham số

x − x2 ≤ 2 5
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn 1

Lời giải
Ta có: a.c = 1.(−1) = −1 < 0 với mọi m
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:

x1 + x 2 = −

b
c
= 2(m − 2) = 2m − 4 x1.x 2 = = −1
a
a
,
2

Theo bài ra ta có:

x1 − x 2 ≤ 2 5 ⇔ x1 − x 2 ≤ 20

⇔ ( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 ≤ 20
2

⇔ (2m − 4) 2 − 4.(−1) ≤ 20

⇔ (2m − 4) 2 ≤ 24
⇔ −2 6 ≤ 2m − 4 ≤ 2 6

⇔ 2− 6 ≤ m ≤ 2+ 6

Vậy ⇔ 2 − 6 ≤ m ≤ 2 + 6 là giá trị cần tìm
Ví dụ 5. Cho phương trình

x − mx − m − 2 = 0
2

(1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 ; x 2

thỏa mãn

x1 + x 2 = 4

Lời giải
2
2

2
Ta có ∆ = (− m) − 4.1.(−m − 2) = m + 4m + 8 = (m + 2) + 4
2
2
Vì (m + 2) ≥ 0 với mọi m . Nên ∆ = (m + 2) + 4 ≥ 4 > 0 với mọi m

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:

x1 + x 2 = −

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

b
c
= m x1.x 2 = = −m − 2
a
a
,
3

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

x + x 2 = 4 ⇔ ( x1 + x 2 ) = 16 ⇔ x + x + 2 x1x 2 = 16
Ta có 1
⇔ m 2 − 2(− m − 2) + 2 − m − 2 = 16 ⇔ 2 m + 2 = − m 2 − 2m + 12
2

2
1

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2
2

2
Nếu m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ −2 . Ta có phương trình m + 4m − 8 = 0

(2)

2
Nếu m + 2 < 0 ⇔ m < −2 . Ta có phương trình m − 16 = 0

(3)

Giá trị của m cần tìm là nghiệm của phương trình (2) và (3)
3. Bài tập vận dụng
2
Bài 1. Cho phương trình x + mx − 3 = 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m = 2
x + x2 = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 2. Cho phương trình x − mx − m − 1 = 0 , với m là tham số
a) Tìm m để phương trình nhận x = 2021 + 2023 là nghiệm

x −x =2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn 1 2
.
2
Bài 3. Cho phương trình x − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
x −x =4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn 1 2
2
Bài 4. Cho phương trình x − 2x − m + 2 = 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m = 2

x − x2 = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 5. Cho phương trình x − mx − 5 = 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x = −1 . Tìm nghiệm cịn lại của phương trình

x − x2 = 6
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 6. Cho phương trình x − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m = −3

x1 − x 2 = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn
2
Bài 7. Cho phương trình x − (m + 3)x − m − 4 = 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt âm

x − x 2 = 2 x1 + x 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn 1
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

4

PHONE 0983.265.289


CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 8. Cho phương trình

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2x 2 − (m + 3)x + m = 0

(1) , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m = - 5
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 ; x 2

thỏa mãn

x1 − x 2

đạt GTNN

2
Bài 9. Cho phương trình x + mx + m – 5 = 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x = −2 là nghiệm
x + x2 = 4
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 10. Cho phương trình 2x − (m + 3)x + m = 0 , với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 1

x − x 2 đạt
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn 1
GTNN
2
2
Bài 11. Cho phương trình x + 2mx + m − m − 1 = 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình với m = 3

x − x2 = 5
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 12. Cho phương trình x − (2m + 5)x − 2m − 6 = 0 , với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 1 .

x + x2 = 7
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thỏa mãn: 1
.
Bài 13. Cho phương trình x2 - 2mx - 3 = 0.

x + x 2 = 6.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 thoả mãn 1
Bài 14. Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 , với m là tham số
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
x −x =3
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn: 1 2
.

Bài 15. Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x – 2m – 4 = 0 (1) , với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 2.

x - x2 = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x 2 sao cho 1
Bài 16. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) , với m là tham số
a) Giải phương trình (1) với m = - 5.
b) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 với mọi m.
c) Tìm m để

x1 − x2

nhận giá trị nhỏ nhất ( x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình (1)).

2
2

Bài 17. Cho phương trình x − mx − m − 4 = 0 , với m là tham số

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

5

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

a) Giải phương trình khi m = 6

x − x2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 sao cho 1
đạt giá trị nhỏ nhất
2
Bài 18. Cho phương trình 2x − (m + 3)x + m = 0 (1) , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m = - 5

x − x 2 đạt GTNN
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 thỏa mãn 1
Bài 19. Cho phương trình: x2 – (2m + 5)x + 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2
nghiệm dương phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức

P=

x1 − x2

đạt giá trị nhỏ nhất.

m – 1) x 2 – 2 ( m + 1) x + m = 0.
(
Bài 20. Cho phương trình:
với m là tham số
x − x 2 ≥ 2.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho 1

DẠNG 2. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT x1 < x 2 VÀ a.c < 0
1. Phương pháp giải
Bước 1. Tính tích a.c
Bước 2. Lập luận a.c < 0 . Nên phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

x = − x1 , x 2 = x 2
Bước 3. Viết các hệ thức Vi – ét. Chứng minh x1x 2 < 0 . Khi đó 1
Bước 4. Giải điều kiện tìm giá trị của tham số
Bước 5. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận
2. Ví dụ.
2
Ví dụ 1. Cho phương trình 2x − 2mx − 1 = 0 , với m là tham số

x − x1 = 2021
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 2
Lời giải
Phương trình đã cho có các hệ số a = 2, b = −2m, c = −1
Ta có a.c = 2.(−1) = −2 < 0 với mọi m
Suy ra phương đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi – ét ta có:

x1 + x 2 = −

b
c
1
= m, x1x 2 = = −
a
a
2

1
x1 x 2 = − < 0
2
Vì
Nên x1 và x 2 trái dấu

x < 0, x 2 > 0 ⇒ x1 = − x1 , x 2 = x 2
Mà x1 < x 2 . Suy ra 1

x − x1 = 2021 ⇔ x 2 − ( − x1 ) = 2021 ⇔ x1 + x 2 = 2021 ⇔ m = 2021
Khi đó 2
Vậy m = 2021 là giá trị cần tìm
DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM

6

PHONE 0983.265.289

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Ví dụ 2. Cho phương trình x − (m + 2)x − 1 = 0 (1) , với m là tham số
2

Lời giải
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 < x 2 thỏa mãn x1 = x 2 + 1

Phương trình đã cho có các hệ số a = 1, b = −(m + 2), c = −1
Ta có a.c = 1.(−1) = −1 < 0 với mọi m
Suy ra phương đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:

x1 + x 2 = −

b
c
= m + 2, x1x 2 = = −1
a
a

Vì x1x 2 = −1 < 0 Nên x1 và x 2 trái dấu

x < 0, x 2 > 0 ⇒ x1 = − x1
Mà x1 < x 2 . Suy ra 1

x = x 2 + 1 ⇔ − x1 = x 2 + 1 ⇔ x1 + x 2 = −1 ⇔ m + 2 = −1 ⇔ m = −3
Khi đó 1
Vậy m = −3 là giá trị cần tìm
2
2
Ví dụ 3. Cho phương trình: x − 2(2 − m)x − m − 1 = 0 , với m là tham số

x − x 2 = x1x 2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 1
Lời giải
2
Phương trình đã cho có các hệ số a = 1, b = −2(2 − m) = 2m − 4, c = −m − 1
2
2
Ta có a.c = 1.( −m − 1) = −m − 1

2
2
Vì −m ≤ 0 với mọi m. Nên −m − 1 ≤ −1 < 0 với mọi m

⇒ a.c < 0 với mọi m
Phương đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:

x1 + x 2 = −

b
c
= 4 − 2m, x1x 2 = = −m 2 − 1
a

a

2
Vì x1x 2 = − m − 1 < 0 với mọi m Nên x1 và x 2 trái dấu

x < 0, x 2 > 0 ⇒ x1 = − x1 , x 2 = x 2
Mà x1 < x 2 . Suy ra 1
Khi đó

x1 − x 2 = x1x 2 ⇔ − x1 − x 2 = x1x 2 ⇔ x1 + x 2 + x1x 2 = 0

⇔ 4 − 2m − m 2 − 1 = 0 ⇔ m 2 + 2m − 3 = 0

(2)

Phương trình (2) có: a + b + c = 1 + 2 − 3 = 0
Suy ra Phương trình (2) có 2 nghiệm m1 = 1, m 2 = −3
Vậy m = 1, m = −3 là giá trị cần tìm
DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM

7

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

x – 2 ( m + 1) x – m − 1 = 0 m

Ví dụ 4. Cho phương trình
( là tham số). Chứng minh rằng
phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi giá trị của m. Hãy xác định m để phương trình
x − x x + 2 ) = 2021 + x 2 .
có hai nghiệm x1; x 2 với x1 < x 2 thỏa mãn 1 ( 1 2
2

2

Lời giải
2
Vì a.c = – m − 1 < 0 với mọi m
Nên phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Vì x1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-ét ta có

x1 + x 2 = 2(m + 1); x1.x 2 = −m 2 − 1
c
<0
Vì a
. Nên x1 ; x 2 trái dấu.
x < 0; x 2 > 0 ⇒ x1 = − x1; x 2 = x 2
Mà x1 < x 2 nên 1

Khi đó

x1 − ( x1x 2 + 2 ) = 2021 + x 2 ⇔ − x1 − ( x1x 2 + 2 ) = 2021 + x 2
⇔ ( x1 + x 2 ) + x1x 2 = −2023

 m = −44
2

⇔ 2(m + 1) − m 2 − 1 = −2023 ⇔ ( m − 1) = 2025 ⇔ 
 m = 46
Vậy m = 44; m = −46 là giá trị cần tìm

3. Bài tập vận dụng.
2
Bài 1. Cho phương trình: x - (2m +1)x - 3 = 0 , với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 với mọi m.
b) Tìm các giá trị của m sao cho

x1 - x 2 = 5 với x1 < x 2 .

2
Bài 2. Cho phương trình x − 4mx − 8 = 0 (1) , với m là tham số

a) Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

x + 2 x2 = 8
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 < x 2 thỏa mãn 1
2
2
Bài 3. Cho phương trình x + 2(m − 2)x − m − 5 = 0 (1) , với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m = 0 .

x − x2 +1 = 5
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 1
2
2
Bài 4. Cho phương trình x + (m − 1)x − m − 2 = 0 , với m là tham số

2 x1 − x 2 = 4
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn
2
2
Bài 5. Cho phương trình x + 2(m − 2)x − m − 5 = 0 (1) , với m là tham số.
a) Giải phương trình (1) với m = 0 .

x − x2 + 1 = 5
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 1
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

8

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Bài 6. Cho phương trình x − mx − m + m − 4 = 0 , với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2

2

x − x2 = 2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 1
2

Bài 7. Cho phương trình x − 3x + 2m − 1 = 0 , với m là tham số
a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
x = 2 x2
b) Giả sử x1 < x 2 là 2 nghiệm trái dấu của phương trình. Tìm m sao cho 1
2
Bài 8. Cho phương trình x − (2m + 1)x − 7 = 0 , m là tham số

1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 x1 = 1 − x 2
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 < x 2 thoả mãn
2
2
Bài 9. x + (2m − 3)x − m − 2 = 0 , với m là tham số

1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

5 x1 − 3 x 2 = 11
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 > x 2 thoả mãn
2
2
Bài 10. Cho phương trình x − 3x − m − 6 = 0 , với m là tham số
1) Giải phương trình với m = −1

2 x1 + 3 x 2 = −9
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 > x 2 thoả mãn
2
Bài 11. Cho phương trình x + (1 − 2m)x − 6 = 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x 2 − x1 = −5

DẠNG 3. BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH NHẨM NGHIỆM ĐƯỢC
1. Phương pháp giải
Bước 1. Xác định các hệ số a, b, c của phương trình
Bước 2. Nhẩm nghiệm của phương trinh (Áp dụng hệ thức Vi – ét nếu có thể)
Bước 3. Xét 2 trường hợp nghiệm của phương trình giải điều kiện
Bước 4. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận
2. Ví dụ.
2
Ví dụ 1. Cho phương trình x + (2 − m)x + m − 3 = 0 , với m là tham số

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m
x + x 22 = 2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 < x 2 thỏa mãn 1
.
Lời giải
a) Phương trình đã cho có các hệ số: a = 1; b = 2 − m;c = m − 3
a + b + c = 1+ 2 − m + m − 3 = 0
Phương trình có hai nghiệm x = 1, x = m − 3 với mọi m
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m
DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM

9

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 1 ≠ m − 3 ⇔ m ≠ 4

b) Theo bài có:

x1 + x 2 2 = 2

Trường hợp 1: x1 = 1; x 2 = m − 3

Ta có:

1 + ( m − 3)

2

m − 3 = 1
 m = 4 (ko t / m)
2
⇔ ( m − 3) = 1 ⇔ 
⇔
=2
 m − 3 = −1  m = 2 (t / m)

Trường hợp 2: x 2 = 1; x1 = m − 3
m − 3 = 1
 m = 4 (ko t / m)
⇔ m −3 =1⇔ 
⇔

m − 3 +1 = 2
 m − 3 = −1  m = 2 (t / m)
Ta có:
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
2

x 2 − ( m − 3) x − m + 2 = 0 (1)
Ví dụ 2. Cho phương trình ẩn x :
, với m là tham số
a) Giải phương trình (1) khi m = 5 .
2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn x1 + x 2 = 8 .
x 2 − ( m − 3) x − m + 2 = 0 (1)
Ta có phương trình:

Lời giải
 x = −1
⇔
2
⇔ ( x + 1) ( x − 3) = 0
x = 3
a) Khi m = 5 ta có phương trình: x − 2x − 3 = 0

Vậy m = 5 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = −1; x 2 = 3
b) Xét phương trình:
Ta có

x 2 − ( m − 3) x − m + 2 = 0 (1)

a = 1;b = − ( m − 3) ;c = −m + 2 ⇒ a − b + c = 1 + m − 3 − m + 2 = 0

x = −1, x = m − 2 với mọi m
Suy ra phương trình có hai nghiệm
2
Theo đề bài có: x1 + x 2 = 8

−1 + m − 2 = 8 ⇔ m = 9
Trường hợp 1: x1 = −1; x 2 = m − 2 ta có: ( )
Trường hợp 2: x1 = m − 2; x 2 = −1 ta có:
m − 2 = 3
m = 5
2
2
⇔
( m − 2 ) + ( −1) = 8 ⇔ ( m − 2 ) = 9 ⇔ 
 m − 2 = −3
 m = −1
2

Vậy m = −1, m = 5, m = 9 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho phương trình

x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2m = 0

, với m là tham số.

x = 3 x2
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 (với x1 < x 2 ) thỏa mãn: 1
Lời giải
2

Phương trình (1) có các hệ số: a = 1, b = −2(m + 1), c = m + 2m

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

10

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

∆ ' = −
 ( m + 1)  − ( m + 2m ) = m + 2m + 1 − m − 2m = 1 > 0
2

2

2

2

với mọi m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x 2 với mọi m ,
x = m +1+1 = m + 2
Ta có: x = m + 1 − 1 = m
và
Vì m < m + 2 và x1 < x 2 nên: x1 = m, x 2 = m + 2

x1 ; x 2 thỏa mãn: x1 = 3 x 2 ⇒ m = 3 m + 2

 m = −3 ( thỏ
a mã
n điề
u kiệ
n x1 m = 3( m+ 2)
3m+ 6 = m

⇔
⇔
⇔
3
 m = −3( m+ 2)
a mã
n điề
u kiệ
n x1 m = −3m− 6  m = − ( thoû
2

Vậy m = −3 và

m=−

3
2 là giá trị cần tìm.

x 2 – 2 ( m − 2 ) x + 2m − 5 = 0

Ví dụ 4. Cho phương trình
, với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x = 1 với mọi giá trị của m.
x − x 2 = 10.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 1
Lời giải
Phương trình đã cho có các hệ số a = 1, b = −2(m − 2) = −2m + 4, c = 2m − 5
Ta có a + b + c = 1 − 2m + 4 + 2m − 5 = 0 .
Phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1, x = 2m − 5 với mọi m
Trường hợp 1: x1 = 1, x 2 = 2m − 5 .
Ta có:

x1 − x 2 = 10 ⇔ 1 − (2m − 5) = 10 ⇔ 1 − 2m + 5 = 10 ⇔ m = −2

Trường hợp 2: x1 = 2m − 5, x 2 = 1
m = 8
x1 − x 2 = 10 ⇔ 2m − 5 − 1 = 10 ⇔ 2m − 5 = 11 ⇔ 
 m = −3
Ta có:
Vậy m = −2, m = −3, m = 8 là giá trị cần tìm

3. Bài tập vận dụng
2
Bài 1. Cho phương trình x − (m − 8)x − 3m + 6 = 0 , với m là tham số
1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

x12 + x 2 = 12

2
2
Bài 2. Cho phương trình x − (3m + 5)x + 2m + 10 = 0 , với m là tham số
1) Tìm m để phương trình nhận x = 2 là nghiệm

2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

x1 − 3x 2 = 6

2
2
Bài 3. Cho phương trình x − (3m + 5)x + 2m + 10 = 0 , với m là tham số
1) Tìm m để phương trình nhận x = −2 là nghiệm

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

11

PHONE 0983.265.289


CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

x1 + 3 x 2 = 8

2

Bài 4. Cho phương trình x − 2(m − 2)x − 2m + 3 = 0 , với m là tham số

x − 2 x2 = 3
1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 1
x − 3x 2 = 6
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 1
2
2
Bài 5. Cho phương trình: x − (m + 1)x − m + m − 1 = 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình với m = −1

x − x2 = 2
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x 2 thỏa mãn 1
2
Bài 6. Cho phương trình: x + (m − 2)x + m − 3 = 0 (1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

x1; x2

2
Bài 7. Cho phương trình: x − 2mx − 2m − 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

thỏa mãn

x1 + 2 x2 = 3

(1) , với m là tham số

x1; x2

thỏa mãn

x1 = 4 x2

2
Bài 8. Cho phương trình: x − 2(m − 2)x + 3 − 2m = 0 (1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

x1; x2

thỏa mãn

3 x1 = 2 x2

2
Bài 9. Cho phương trình: x − (2m + 3)x + 4m + 2 = 0 (1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

x1; x2

thỏa mãn

2
Bài 10. Cho phương trình: x − (m − 2)x − 3m − 3 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
Bài 11. Cho phương trình:

x1; x2

(1), với m là tham số

thỏa mãn

x 2 – ( 2m – 1) x + m 2 – m = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
Bài 12. Cho phương trình:

x1; x2

DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM

x1; x2

12

2 x1 = x2 − 1

(1), với m là tham số

thỏa mãn

x 2 – ( 1 – m ) x − 2m 2 – 2m = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

3x1 = x2 + 1

x1 − 2x2 = x2 − 1

(1), với m là tham số

thỏa mãn

x1 − x2 = x1 + 2

PHONE 0983.265.289