Bài tập lớn Bộ môm Phân tích tối ưu hóa hệ thống 3

ĐỀ TÀI 5 (NHĨM 5)
1. Trình bày về hệ thống và trạng thái trong mơ hình hóa.
2. Dùng phương pháp hình học tìm GTLN, GTNN của

 2 x1 − x2 ≥ 2
 x − 2 x ≥ −2
 1
2

3 x1 + x2 ≤ 15
x , x ≥ 0
Thỏa mãn điều kiện:  1 2

3. Sử dụng phương pháp đối ngẫu hãy tìm

F = 9 x1 + 7 x2

min ( F ) = min ( 4 x1 + 6 x2 )

4 x1 + 6 x2 ≤ 100
4 x + 3 x ≤ 82
 1
2

6 x1 + 4 x2 = 120
x , x ≥ 0
Thỏa mãn điều kiện  1 2

BÀI LÀM
Câu 1: Hệ thống và trạng thái trong mơ hình hóa:
1. Mơ hình vào – ra. Hộp đen

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về hệ thống. Mỗi định nghĩa thực ra chỉ thể
hiện một quan điểm, một cách nhìn về hệ thống nhằm những mục đích nghiên cứu nhất
định .
Đầu tiên, ta hãy xem hệ thống như một hộp đen (black box) có các đầu vào và đầu
ra. Tại mỗi thời điểm, đầu vào tiếp nhận các tác động từ bên ngồi (chẳng hạn năng
lượng, thơng tin, tín hiệu, vật liệu...), hệ thống xử lý các tác động nói trên và phản ứng
đáp lại bằng cách sinh ra các tín hiệu tại đầu ra.

Hệ thống
Môi trường
Tùy theo trường hợp cụ thể, tác động từ bên ngồi cịn được gọi là tín hiệu vào, biến
vào, cơng cụ điều khiển, biến điều khiển, biến quyết định...và gọi chung là cái vào
(input). Tín hiệu ra của hệ thống có thể là sản phẩm ra, biến ra, kết quả...và gọi chung là


cái ra (output). Như vậy hệ thống hoạt động theo cách xử lý (chế biến) cái vào thành cái
ra.
Nếu ký hiệu U là tập các cái vào chấp nhận được, mỗi phần tử của nó u ∈U là một
cái vào; Y là tập các cái ra của hệ thống, mỗi phần tử y ∈ Y là một cái ra, thì khi đó, theo
cách quan niệm nói trên, hệ thống được mô tả bởi một ánh xạ: f : U → Y (tức là, ứng
với một giá trị của cái vào u ∈ U , ta có thể xác định được giá trị tương ứng của cái ra

y ∈ Y ).
Cách mô tả như trên thường được gọi là cách mô tả ngồi và mơ hình được gọi là
mơ hình vào – ra hay mơ hình hộp đen. Theo cách mơ tả ngoài, hệ thống được xem như
một cơ cấu biến đổi cái vào thành cái ra, biến đổi nguyên nhân thành kết quả, song theo
mô tả này ta chỉ chú ý đến hành vi của hệ thống, mà không chú ý đến kết cấu bên trong
của hệ thống (chính vì thế mới có tên gọi mơ hình hộp đen, coi hệ thống như một hộp
đen). Mơ hình hộp đen (vào-ra) thể hiện rất rõ quan hệ nhân quả và người ta thường gọi

là ánh xạ f nói trên là phép biến đổi vào – ra hoặc phép biến đổi nhân quả.
Ví dụ 1: Giả sử xét một hoạt động kinh tế của một quốc gia. Cái vào là lao động L và vốn
đầu tư V. Cái ra là tổng thu nhập quốc dân Y. Khi đó:
L

Y = f ( L, V )

.

Y

V
Khi sử dụng cách mơ tả ngồi, ta có một giả thiết cơ bản là: cái ra được hoàn tồn
xác định bởi cái vào. Do đó, ta có thể xác lập hệ thống và nghiên cứu nó. Nhiều khi, ta
phân tích một hệ thống lớn thành liên kết của nhiều hệ thống con hoặc phải lắp ghép
nhiều hệ thống con thành một hệ thống lớn (cái ra của hệ thống trước là một trong những
cái vào của hệ thống sau). Khi đó cách mơ tả này tỏra rất tiện lợi để nghiên cứu các hệ
thống phức tạp

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang2


Nhược điểm của mơ hình hộp đen là chỉ quan tâm đến hành vi của hệ thống tức là
quan tâm đến mối tương tác của nó với mơi trường bên ngồi mà khơng quan tâm đến
động thái, đến cấu trúc bên trong của hệ thống. Thực tế, như ta thấy hệ thống ln ln
biến động, cách mơ tả ngồi khơng cho ta thấy vận động bên trong của nó, và như thế cần
phải có một cách mơ tả khác chú ý đến thể hiện cấu trúc bên trong (của hệ thống) thích
hợp cho việc phân tích động thái của hệ thống bên cạnh việc khảo sát hành vi vào-ra.

2. Khái niệm trạng thái. Hộp trắng

Bây giờ, ta giả sử là cái vào u và cái ra y đều phụ thuộc thời gian t:

u = u( t) ; y = y( t)

u( t)

y( t)

Cách mô tả này là mô tả hệ thống thuộc loại khơng có nhớ, tức là hậu quả ở mỗi thời
điểm t chỉ phụ thuộc vào nguyên nhân ở chính thời điểm ấy chứ khơng phụ thuộc vào các
nguyên nhân trước đó. Nói một cách khác, hệ thống mô tả như vậy sẽ không nhớ các
nguyên nhân, các tác động trước đó tức là khơng nhớ đến q khứ và điều này chưa phù
hợp với thực tế với thực tế là các hệ thống thường có nhớ.
Như vậy, cần xét y(t) như hậu quả của u(t) và của tồn bộ “ tiểu sử hoạt động” trước
đó của nó, nói khác đi, cần phải xét u(t) như một hàm vào, với

t ∈ to,ts 

một giá trị đơn lẻ của cái vào. Phép biến đổi vào- ra bây giờ sẽ là

chứ không phải

f : u ( .) → y ( . )

Khi đó,

thay cho việc xét tập các cái vào U ta xét tập các hàm vào u.
Cần chú ý rằng với cùng một cái vào u xét ở hai thời điểm khác nhau t1 , t2 có thể

y t
u t = u ( t2 )
gây nên những hậu quả y (t1 ) và ( 2 ) khác nhau, tức là ( 1 )
không nhất thiết
kéo theo

y (t1 ) = y ( t2 )

. Điều đó có nghĩa là cái ra khơng chỉ phụ thuộc vào cái vào mà

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang3


cịn phụ thuộc vào tình trạng của hệ thống tịa thời điểm mà cái vào tác động, tức là phụ
thuộc vào việc nhớ hoạt động quá khứ của hệ thống. Để mơ tả tình trạng của hệ thống, ta
đưa vào khái niệm “trạng thái”. Trạng thái là đại lượng đặc trưng cho cấu trúc bên trong
của hệ thống và tập các trạng thái được ký hiệu là X, mỗi phần tử x ∈ X là một trạng thái
của hệ thống. Hệ thống hoạt động theo cách tại mỗi thời điểm, dưới tác động của cái vào,
tùy thuộc vào trạng thái cũ, tùy thuộc theo trạng thái cũ, hệ thống thay đổi chuyển sang
trạng thái mới và sản sinh cái ra. Như vậy, bây giờ hệ thống được mô tả bởi hai phương
trình:
-

Phương trình mơ tả thay đổi trạng thái do tác động của cái vào và trạng thái cũ.
Phương trình mô tả cái ra do tác động của cái vào và trạng thái cũ.
Đây được gọi là cách mô tả trong vì nó phản ánh cấu trúc bên trong của hệ thống,

phản ánh động thái của hệ thống và mô hình được gọi là mơ hình theo khơng gian trạng
thái hay mơ hình hộp trắng. Khái niệm trạng thái là khái niệm rất quan trọng vì dựa vào
nó ta mới có thể nghiên cứu động thái của hệ thống và từ đó cho phép dự đốn và tác
động vào sự tăng trưởng, phát triển của hệ thống.
L(t)

Y(t)

V(t)
Ví dụ 2: Xét hệ thống mô tả nền kinh tế quốc đân trong ví dụ 1. Lao động L và vốn V đều
là hàm của thời gian t và tổng thu nhập quốc dân Y(t) sẽ là:

Y ( t ) = f [ L(t );V (t ) ]

Đây là hệ thống không nhớ. Để mô tả phù hợp với thực tế hơn, ta giả thiết rằng vốn
sản xuất V(t) của năm thứ t phụ thuộc vào vốn năm trước V(t-1) và vào thu nhập năm
trước:
Vốn sản xuất năm thứ t= (1-μ) x Vốn của năm trước + s(t-1) x thu nhập của năm trước
Trong đó μ được gọi là hệ số hao mịn (khấu hao) vốn (0 <μ< 1), s(t-1) là tỷ trọng
tích lũy vốn của năm trước dành cho năm thứ t. Như thế, ta sẽ có phương trình:
V ( t ) = ( 1 à ) ì V ( t − 1) + s ( t − 1) × F  L ( t − 1) ;V ( t − 1) 

( *)

Số hạng thứ 2 ở vế phải trong chương trình (*) (tích của tỷ trọng tích lũy và thu
nhập năm trước) chính là phần vốn của năm (t-1) được dành để đầu tư thêm cho năm
thứt.
Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang4

Với hệ thống có nhớ như trên, ta khơng thể coi V(t) là biến vào được nữa, V(t) đặc
trưng cho tình trạng của hệ thống ở thời điểm t và là trạng thái của hệ thống. Đóng vai trị
biến vào bây giờ sẽ là s(t) và L(t). Như thế, nếu biết V(0) ( giá trị vốn có ở thời điểm gốc)
và biết quy luật của biến vào s(.) và L(.) ta có thể xác định đượcV(.) tại các thời điểm tiếp
theo dựa vào phương trình (*). Phương trình (*) được gọi là phương trình chuyển trạng
thái, nó mơ tả cách hệ thống thay đổi trạng thái: trạng thái ở thời điểm t phụ thuộc vào
trạng thái của hệ thống ở thời điểm (t-1) và phụ thuộc vào các cái vào s và L tại thời điểm
(t-1). Hoạt động của hệ thống bây giờ được mô tả bởi hệ hai phương trình:
V ( t ) = ( 1 − µ ) × V ( t − 1) + s ( t − 1) × F  L ( t − 1) ;V ( t − 1) 
( *)

Y (t ) = f  L ( t ) ;V ( t ) 
Ví dụ 3: Bài tốn vận tải
Bài tốn vận tải tĩnh: Lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ m kho Ai (i=1, ..., m)
đến n cơ sở sản xuất Bj (j = 1,..., n) sao cho tổng cước phí vận chuyển là nhỏ nhất, biết số
lượng của kho Ai là ai, nhu cầu của cơ sở Bj là bj (đơn vị hàng hóa), cước vận chuyển một
đơn vị hàng hóa từ Ai đến Bj là cij(đơnvị tiền).
aibj
a1
...
ai
...
am

b1
c11
...
ci1

...
cm1

...
...
...
...
...
...

bj
c1j
...
cij
...
cmj

...
..
...
...
...
...

Để đơn giản hóa bài tốn, ta xét trường hợp số cung, cầu như nhau, tức là

bn
c1n
...
Cin

...
cmn
m

n

i =1

j =1

∑ ai = ∑ b j

.

Gặp trường hợp cung cầu không khớp ( thường xảy ra trong thực tế) ta cần lập thêm hoặc
kho giả, hoặc cơ sở giả để đưa về bài tốn có số lượng cung, cầu bằng nhau.
Để giải bài toán vận tải tĩnh đặt ra như trên, ta phải tìm (m.n) ẩn số

xij ≥ 0

(lượng

hàng hóa đưa từ kho thứ i đến cơ sở j) thỏa mãn một hệ(m+n) phương trình tuyến tính
n

∑x
j =1

ij

= ai

( i = 1,..., m ) ;

m

∑x
i =1

ij

= bj

(

j = 1,..., n )
(a)

Và làm cực tiểu hàm:

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang5


m

n

L ( x1 ,..., xn ) = ∑∑ cij xij

i =1 j =1

(b)
m

Ta lưu ý rằng do có điều kiện:

n

∑ a =∑ b
i =1

i

j =1

j

trong (m+n) phương trình (b) chỉ có

(m+n+1) phương trình độc lập, số phương trình độc lập này thường nhỏ hơn số ẩn (mxn)
rất nhiều.
Bài toán vận tải tĩnh cho ta một mơ hình về hệ thống không nhớ, ở đây, sau khi đã
biết cái vào (ai,bj,cij), ∀i, j ta sẽ sử dụng các phương pháp giải thích hợp để tìm được xij
(cái ra) để lập phương án vận chuyển tối ưu.
Bài toán trở nên phức tạp hơn nếu các cái vào đều phụ thuộc thời gian t và ta cần lập
kế hoạch vận chuyển hàng hóa trong một thời gian dài. Đây là bài toán vận tải động mà
ta sẽ trình bày một cách tóm tắt như sau:
Lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa trong một thời gian dài gồm nhiều gia đoạn
được chia bởi các thời điểm to , t1,..., tk ,..., ts .Ở mỗi thời điểm tk kho thứ i có số lượng dự

trữ là xi(k) và được nhập thêm vào kho ai (k) đơn vị hàng hóa; cơ sở sản xuất thứ j có yj(k)
đơn vị hàng hóa ở thời điểm tkvà tiêu dùng hết bj(k) đơn vị hàng hóa

xij ( k ) ≥ 0

là số đơn

vị hàng hóa cần chuyển từ Ai đến Bj.
{ x ( k ) , y j ( k ) / i = 1, 2,...m; j = 1, 2,...n} là trạng thái; tập
Tại mỗi thời điểm k, tập i

{ a ( k ) , b ( k ) / i = 1, 2,...m; j = 1, 2,...n} là cái vào;
{ x ( k ) / i = 1, 2,...m; j = 1, 2,...n} là cái ra của hệ thống. Khi đó, ta có các phương
Cịn tập
i

j

ij

trình sau đây là phương trình chuyển trạng thái của hệ thống:
 xi ( k + 1) = xi ( k ) + ai ( k ) − ∑ xij ( k )

j

 y j ( k + 1) = y j ( k ) + b j ( k ) − ∑ xij ( k )
i

Nếu gọi αi(k), βj(k) là chi phí cho việc bảo quản một đơn vị sản phẩm lần lượt ở kho
thứ i và cơ sở sản xuất thứ j, ta cần cực tiểu hóa hàm sau đây:

N


min ∑ ∑ α i ( k ) xi ( k ) + ∑ β j ( k ) y j ( k ) ∑∑ Cij ( k ) xij ( k ) 
k =1  i
j
i
j


Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang6


Giải bài toán này ta xác định được cái ra

{ x ( k ) / i = 1, 2,...m; j = 1, 2,...n} . Bài toán
ij

yêu cầu điều khiển một quá trình nhiều bước, với phương pháp giải khác với bài tốn
tĩnh.
Ví dụ 4: Xét nền KTQD được mơ tả bởi các phương trình sau đây:
(1) Tổng thu nhập năm = Tiêu dùng (phụ thuộc thu nhập) + Vốn đầu tư + Tiêu

dùng độc lập (không phụ thuộc thu nhập).
Y ( t) = C ( t) + I ( t) + U ( t)
C ( t ) = α Y ( t – 1) ,
(2) Tiêu dùng phụ thuộc
với α là một hằng số đã biết.

I ( t ) = β C ( t ) – C ( t − 1) 
(3) Vốn đầu tư
, với β là hệ số đã biết.
Như thế ta có thể viết:
Y ( t ) = α Y ( t – 1) + β α Y ( t – 1) – C ( t − 2 )  + U ( t )

Hãy mô tả hệ thống kinh tế được xét bằng các biến trạng thái và phương trình trạng thái.
X ( t ) =  X 1 ( t ) , X 2 ( t ) 
Cách1: Gọi biến trạng thái là

với

X 1 ( t ) = Y ( t − 1) ; X 2 ( t ) = Y ( t ) ;

Như thế, ta sẽ có

c

và ký hiệu Ac là ma trận chuyển vị của ma trận A.

X 1 ( t ) = X 2 ( t − 1) ,

đồng thời:

Y ( t )  =  α ( 1 + β ) Y ( t –1) − αβ Y ( t – 2 ) + U ( t )
= α ( 1 + β ) X 1 ( t ) − αβ X 2 ( t ) + U ( t )

= α ( 1 + β ) X 2 ( t ) − αβ X 1 ( t − 2 ) + U ( t ) = X 2 ( t )

hay là, ta có thể viết:

1
 X1 ( t )   α
  X 1 ( t − 1)  0 

=
 +   ×U ( t )
×
−
α
.
β
α
1
+
β
X
t
X
t
−
1
(
)
(
)
(
)
2
2
 


 
 1 
hoặc gọn hơn, dưới dạng ma trận:
Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang7


X ( t ) = A × X ( t − 1) + B × U ( t )

Với phương trình trên khi biết X(0) và U(1) ta có thể tìm được X(1), sau đó với
U(2) đã biết có thể xác định X(2),...có nghĩa là, khi đã có phương trình trạng thái lại biết
điều kiện ban đầu X(0) và hàm U(t) ta hoàn toàn xác định được X(t), Y(t) tại mọi thời
điểm.
Cách viết như trên có điều bất tiện là các hàm ở vế phải không xét ở cùng một thời
điểm.Cách thứ 2 trình bày sau đây sẽ cho ta một dạng khác của phương trình trạng thái
tiện dụng hơn.
Cách 2: Nếu đặt các biến trạng thái là:
X1 ( t ) = Y ( t ) − U ( t ) ,
X 2 ( t ) = −αβ Y ( t − 1)

X 1 ( t ) = Y ( t ) − U ( t ) = α ( 1 + β ) Y ( t − 1) − αβ Y ( t − 2 )

thì:
thêm bớt

α ( 1 + β ) U ( t − 1)

ta có:

X 1 (t ) = α (1 + β ) [ Y (t − 1) − U (t − 1) ] + X 2 (t − 1) + α (1 + β )U (t − 1)
= α (1 + β ) X 1 (t − 1) + X 2 (t − 1) + α (1 + β )U (t − 1);
còn

X 2 (t ) = −αβ ) [ Y (t − 1) − U (t − 1) ] − αβU (t − 1)
= −αβ ) X 1 (t − 1) − αβU (t − 1)
 X (t )  α (1 + β ) 1   X 1 (t − 1)  α (1 + β ) 
X (t ) =  1  = 
 ×  X (t − 1)  +  −αβ  × U (t − 1)
−
αβ
0
X
(
t
)

  2

 2 
 
Như thế phương trình trạng thái sẽ có dạng:
X (t ) = A1 × X (t − 1) + B1 × U (t − 1)
Ví dụ 5: Bài toán cân đối liên ngành (tĩnh và động)
Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang8

Bài toán tĩnh được đặt ra như sau: Giả sử nền kinh tế được chia làm n ngành, mỗi
ngành sản xuất là một loại sản phẩm. Nhu cầu tiêu dùng cuối cùng của ngành thứ i tại
thời điểm t là di(t) (i=1,2,…n). Hãy tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất Zi của ngành i,
biết rằng số sản phẩm làm ra ngoài việc phục vụ cho nhu cầu tiêu dùng cuối cùng còn
dùng để sản xuất các sản phẩm của các ngành với aij là định mức tiêu hao sản phẩm i để
làm ra một đơn vị sản phẩm j. (Ví dụ, nếu ngành i là luyện thép, ngành j là ngành sản
xuất ơ tơ thì aij là số lượng thép cần để làm một cái ơ tơ).

Ta có hệ thức liên hệ

Z i = di + ∑ aij Z j
j

hoặc dưới dạng ma trận Z = D + A × Z với

A = (aij) (ma trận vuông cấp n) là ma trận hao phí trực tiếp. Như vậy, tại mỗi thời điểm t,
ta có:

Z ( t ) = D( t ) + A× Z ( t )

hay là

Z ( t) =

( E − A)

−1

× D( t)

trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.
Dù có thời gian t tham gia vào phương trình trạng thái, mơ hình được xét vẫn là mơ
hình tĩnh.Đây là mơ hình mang tên Leontiev.
Bài tốn động xét một hệ thống có nhớ, với mối quan hệ phức tạp hơn:
Z(t) = D(t) +A x Z(t) + B[Z(t+1) – Z(t)]
trong đó: A là ma trận hao phí như trong bài tốn tĩnh, B là ma trận hao phí đầu tư, D(t) là
ma trận các hàm tiêu dùng. Viết theo các phần tử của ma trận ta có:
Z i (t ) = ∑ aij Z j (t ) + ∑ bij  Z j (t + 1) − Z j (t )  + di (t )
j

j

với bij là định mức tiêu hao sản phẩm ngành i để đầu tư thêm cho năm sau một sản phẩm
ngành j.
Với bài toán động, ta chọn Z(t) là biến trạng thái, D(t) là biến vào và viết phương
trình trạng thái bằng cách biểu diễn Z(t+1) theo Z(t) và D(t).
Từ hệ thức trên, ta có giả thiết với ma trận khơng suy biến:
Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang9


B  Z ( t + 1) – Z ( t )  = Z ( t ) – A × Z ( t ) – D ( t )

hay là:

Z ( t + 1) = Z ( t ) + B −1  Z ( t ) – A × Z ( t ) – D ( t ) 

Trường hợp ma trận B là suy biến, cách làm trên không đúng nữa.Đây là trường hợp
thường xảy ra (chẳng hạn, khi có một ngành nào đó khơng tiến hành đầu tư cho năm sau,

sẽ có một dịng trong ma trận B gồm tồn các con số 0). Khi đó người ta phải phân hoạch
ma trận B thành nhiều ma trận con thích hợp và việc viết phương trình trạng thái sẽ phức
tạp hơn nhiều
Câu 2: Giải bài tốn tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp hình học
Theo bài ra ta có các ràng buộc điều kiện của hàm F = 9 x1 + 7 x2

2 x1 − x2 ≥ 2
 x − 2 x ≥ −2
 1
2

3 x1 + x2 ≤ 15
 x1 , x2 ≥ 0

⇔

 2 x1 − x2 − 2 ≥ 0
x − 2x + 2 ≥ 0
 1
2

3 x1 + x2 − 15 ≤ 0
 x1 , x2 ≥ 0
như sau:

• 2 x1 − x2 − 2 = 0

( d1)

• x1 − 2 x2 + 2 = 0 (d 2)

• 3x1 + x2 − 15 = 0 (d 3)
• x1 = 0
Đầu tiên ta vẽ các đường thẳng sau:

• x2 = 0

Xác định các miền chấp nhận thuộc giới hạn ràng buộc, gạch bỏ các miền không xác
định→ Ta được miền chấp nhận được là tứ giác lồi ABCDthỏa mãn các điều kiện của bài
tốn (Hình 1):
Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang10


x2

Ghi chú: Miền không xác định
2 x1 − x2 − 2 ≥ 0

5

x1 − 2 x2 + 2 ≥ 0
3x1 + x2 − 15 ≤ 0

4

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

C (4,3)

3
D (2,2)

2

1

(d2): x1 - 2x2 +2 =0

A (1,0)

-2

-1.5

-1

O

-0.5
-1

0.5

1

B(5,0)

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x1

5.5

(d3): 3x1 +x2 -15=0

(d1): 2x1 - x2 -2 =0

-2

Hình 1
Ta có tọa độ các đỉnh của tứ giác lồi ABCD như sau:
A (1,0) ; B(5,0)
C có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

3x1 + x2 − 15 = 0
 x1 = 4
⇔
⇔ C ( 4,3)


x
−
2
x
+
2
=
0
x
=
3
 1
2
 2

D có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang11


2 x1 − x2 − 2 = 0

 x1 = 2
⇔ 
⇔ D ( 2,2 )

x
−
2
x
+
2
=
0
x
=
2
 1
2
 2
Tại các đỉnh của tứ giác lồi ABCD thuộc miền xác định ta có:

F ( A ) = 1× 9 + 0 × 7 = 9

F ( D ) = 2 × 9 + 2 × 7 = 32
F ( B ) = 5 × 9 + 0 × 7 = 45
F ( C ) = 4 *9 + 7 *3 = 57

Vậy ta có GTLN của hàm

F = 9 x1 + 7 x2 là max F= F ( C ) = 57 và GTNN là

min F = F ( A ) = 9
Câu 3: Sử dụng phương pháp đối ngẫu hãy tìm

Thỏa mãn điều kiện

min ( F ) = min ( 4 x1 + 6 x2 )

4 x1 + 6 x2 ≤ 100
4 x + 3 x ≤ 82
 1
2

6 x1 + 4 x2 = 120
 x1 , x2 ≥ 0

Bài làm:
Theo bài ra ta thấy các điều kiện ràng buộc của hàm F chưa phải là dạng chính tắc
min, ta phải đưa về dạng chính tắc:

Vì vậy ta có:

4 x1 + 6 x2 ≤ 100
−4 x1 − 6 x2 ≥ −100
4 x + 3 x ≤ 82
−4 x − 3x ≥ −82
 1

2
1
2

⇔

6 x1 + 4 x2 = 120 6 x1 + 4 x2 = 120
 x1 , x2 ≥ 0
 x1 , x2 ≥ 0

Để giải bài toán theo phương pháp đối ngẫu, ta có bảng tóm tắt hai bài tốn đối ngẫu
như sau:
Bài tốn A:

Bài tốn B:

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang12


y3 x2 y4

x1

1
2
3

-4
-4
6

-6

y5 -3
4

Min

4

6

1
2

-4
-6

Max -100

≥≤
-100
-82
120

-4
-3

6
4

-82

120

4
6

Như vậy,ta có bài tốn đối ngẫu của bài tốn tìm min(F) là:
Tìm max ( L ) = max ( −100 y3 − 82 y4 + 120 y5 )

Thỏa mãn điều kiện:

−4 y3 − 4 y4 + 6 y5 ≤ 4

−6 y3 − 3 y4 + 4 y5 ≤ 6
 y , y ≥ 0, y tùy ý
5
 3 4

Do bài toán chưa phải bài toán chuẩn tắc max nên ta thêm 2 biến chênh lệch y1và y2 .
− 4 y3 − 4 y4 + 6 y5 = 4
 y1

y2 − 6 y3 − 3 y4 + 4 y5 = 6
Ta có: 
Dạng rút gọn của hàm mục tiêu được viết lại như sau:
L + 100 y3 + 82 y4 − 120 y5 = 0
⇒ Ta lập bảng đơn hình của bài tốn B :
BCS

y1

y2

y3

y4

y5

HSTD

y1
y2
L

1
0
0

0
1
0

-4
-6
100

-4
-3
82

6
4

4
6
0

y5
y2
L

1/6
-2/3
20

0
1
0

-2/3
-2/3
-10/3
-1/3
20
2
Bảng đơn hình 1

-120 ⇑
1
0

0

2/3
10/3
80

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Tỉ lệ
⇐ 2/3
3/2

⇐ Tối ưu!

Trang13


Bảng đơn hìnhcuối cùng có tất cả hệ số đánh giá đều khơng âm, do đó ta có phương
án tối ưu(PATƯ) duy nhất cho bài toán max như sau: PATƯ(0;10/3;0;0;2/3) và giá trị hàm
mục tiêu đạt được là GTTƯ max(L)=80.
Vậy đối với bài tốn tìm min(F) ta dựa vào bảng đơn hình của bài tốn B ta đưa về
bảng đơn hình của bài tốn A như sau:
BCS

x1

x2

x1
x3

x4
F

1
0
0
0

2/3
10/3
1/3
10/3

x3

x4

0
0
1
0
0
1
0
0
Bảng đơn hình 2

x5

HSTD

Tỉ lệ

-1/6
2/3
2/3
2/3

20
20
2
80

⇐ Tối ưu!

Xét bảng đơn hình 2, ta thấy:
+ Tất cả các hệ số đánh giá đều không âm, do đó ta có phương án tối ưu (PATƯ)
cho bài tốn min như sau: PATƯ(20;0;20;2;0) và giá trị hàm mục tiêu đạt được là GTTƯ
min(L) = 80;
+ Các hệ số đánh giá của các biến tự do x2 , x5 đều dương, ta kết luận được phương
án tối ưu là duy nhất.
Kết luận: Min(F)=80 với PATƯ duy nhất (x1;x2) = (20;0).

Phân tích và tối ưu hóa hệ thống - GV hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Thọ - Tiểu luận nhóm 5

Trang14