XÁC SUẤT THỐNG kê CÓ đáp án

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Chào mọi người!
Quay trở lại với lời hẹn ở mùa Toán Cao cấp năm trước, mình xin chia sẻ với
mọi người đáp án tham khảo đề thi Xác suất – Thống kê của các khóa trước.
Thành thật với các bạn rằng mình đi học khơng nhiều lắm. Chính xác là khơng
có đi ln, họa chăng vào lớp vài ba lần tồn là để ngủ. Vậy nên sau 2 đợt kiểm tra
lấy điểm thì mình được 1 cột 1 điểm và 1 cột vắng mặt (do khơng biết kiểm tra ngày
nào). Mình khai báo điều này để các bạn có thể tự cân nhắc lại xem có nên tin tưởng
vào đáp án đề nghị của một đứa “vơ học” hay khơng. Tồn bộ mọi thứ đều là do mình
mày mị từ sách và tài liệu liên quan trong suốt 2 tuần qua. Chính vì khơng qua giáo
viên giảng nên những thứ mình viết có thể có lỗi, có thể sai hoặc cũng có thể không
phù hợp với cách học và cách được dạy của các bạn ở lớp. Nhưng mong rằng, nếu đã
tin tưởng ở mình, thì các bạn cũng sẽ có những phản hồi tích cực để giúp tài liệu
tham khảo này ngày càng hồn thiện hơn.
Đối với tập tin mình chia sẻ cho các bạn, đây là tập tin tài liệu hồn tồn miễn
phí và khơng vì mục đích thương mại. Mình viết ra khơng phải để kiếm tiền, nhưng
cũng khơng thánh thiện đến mức chỉ là vì lịng tốt chia sẻ cho mọi người. Lý do mình
viết và chia sẻ tài liệu này xin phép không tiết lộ. Mong rằng mọi người sẽ giữ gìn sự
trong sạch trên danh nghĩa cho tài liệu này, đó là: “Chỉ để tham khảo và ơn thi mà

thơi!”
Có những phần mình chưa nghiên cứu tới nên mình chưa giải được.
Có những phần mình chưa chắc cách làm và lập luận nên chưa thể công bố.
Có những sơ sót, lỗi sai (rất nhiều).
Và tất cả mình đều theo hướng tự luận. Mình ghét trắc nghiệm (thơng cảm)
Rất mong sẽ nhận được phản hồi, góp ý từ các bạn!
Mọi ý kiến thắc mắc, đề nghị có thể “Bình luận” trực tiếp trên facebook hoặc
“Gửi tin nhắn” trực tiếp cho mình.
Cũng có thể liên hệ mình qua e-mail:

(Dạo này khơng cịn thảnh thơi như đợt Tốn Cao cấp nữa nên mình khơng
chắc là sẽ giải được nhiều đề. Nhưng nói chung mình vẫn sẽ cố gắng)

TRIỆU ĐOAN AN


Khóa 40 – Đề 01
Câu 1: Có 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ số. Tính xác suất để tổng
các chữ số lấy ra là một số lẻ.
3
-Tổng số cách lấy ra ba chữ số là: C10

-Để tổng 3 chữ số lấy ra là một số lẻ thì trong 3 số đó:
(Có 1 số lẻ và 2 số chẵn) hoặc (Cả 3 số đều là số lẻ)
-Suy ra số cách chọn ra 3 số để tổng của chúng là một số lẻ là:
C51 . C52 + C53
-Xác suất cần tính:
P=

C51 . C52 + C53 1
=
3
2
C10

Câu 2: Có một lơ hàng có 9 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm, được chia thành 3 phần bằng
nhau. Tính xác suất để trong mỗi phần đều có 1 phế phẩm.
*Trước tiên, ta phải tính số cách chia 9 sản phẩm thành 3 phần.
-Để chia 9 sản phẩm thành 3 phần bằng nhau, ta cần thực hiện các công việc:

1. Chọn 3 từ 9 sản phẩm tạo thành 1 nhóm. Số cách: C93
2. Chọn 3 từ 6 sản phẩm còn lại tạo thành 1 nhóm. Số cách: C63
3. Chọn 3 từ 3 sản phẩm cịn lại tạo thành 1 nhóm. Số cách: C33 = 1
-Các công việc trên thực hiện liên tiếp nhau nên số cách thực hiện sẽ là:
C93 . C63 . C33
*Ta phải chia 9 sản phẩm thành 3 phần, mỗi phần gồm 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm.
-Để làm được điều trên, ta cần làm các công việc liên tiếp như sau:
1. Chọn ra 2 sản phẩm từ 6 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm từ 3 phế phẩm. Số cách:
C62 . C31
2. Chọn tiếp 2 sản phẩm từ 4 sản phẩm tốt còn lại và 1 phế phẩm từ 2 phế phẩm còn
lại. Số cách:
C42 . C21
3. Còn lại 3 sản phẩm tạo thành phần có sẵn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm. Số cách
C22 . C11 = 1


-Vì các cơng việc trên được thực hiện liên tiếp nhau nên tổng số cách thực hiện sẽ là:
(C62 . C31 ). (C42 . C21 ). (C22 . C11 )
*Xác suất để chia 9 sản phẩm thành 3 phần bàng nhau và mỗi phần có 1 phế phẩm là:
P=

C62 . C31 . C42 . C21 . C22 . C11 C62 . C31 . C42 . C21
9
=
=
3 3 3
3 3
28
C9 . C6 . C3
C9 . C6

Câu 3: Một kiện hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn
lại tùng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng lại. Tìm số lần lấy trung bình để gặp
được phế phẩm.
-Số lần lấy ít nhất để lấy được phế phẩm là 1, số lần nhiều nhất để lấy được phế phẩm là 3.
2

Xác suất để lấy 1 lần được phế phẩm là: P1 = 5
3 2

3

Xác suất để lấy 2 lần được phế phẩm là: P2 = 5 . 4 = 10
3 2 2

1

Xác suất để lấy 3 lần được phế phẩm là: P3 = 5 . 4 . 3 = 5
-Số lần lấy trung bình là:
n=

2
3
1
. 1 + . 2 + . 3 = 1,6
5
10
5

Câu 4: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất 30 lần. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện trong

30 lần tung. Tìm phương sai của X.
-Gọi Xi là số chấm xuất hiện trong lần tung thứ i. Ta có:
30

X = ∑ Xi
i=1

-Do các lần tung là độc lập với nhau nên:
30

Var(X) = ∑ Var(Xi )
i=1

-Các lần tung là độc lập và như nhau nên phương sai của các tung là như nhau.
30

Var(X) = ∑ Var(Xi ) = 30Var(Xi )
i=1

Với Var(Xi ) là phương sai chung của của số chấm xuất hiện trong mỗi lần tung. Ta có:
6

1+2+3+4+5+6
35
μ(X) =
= 3,5 ; Var(Xi ) = ∑(k − μ)2 Pk =
6
12
k=1

-Từ đó, ta được:
Var(X) = 30Var(Xi ) = 87,5


Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ này bắn 100 viên đạn. Tính xác suất
để có số viên đạn bắn trúng bia từ 70 đến 80 viên.
-Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia.
-Đại lương X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức:
X ∼ B(n = 100; p = 0,8)
-Vì các lần bắn là độc lập với nhau nên:
80

80

i
P(70 ≤ X ≤ 80) = ∑ P(X = i) = ∑ C100
. 0,8i . (1 − 0,8)100−i = 0,5338
i=70

i=70

Câu 6: Tại một khu bảo tồn động vật, lần đầu người ta săn bắt 100 con tê giác, đánh dấu chúng
rồi thả lại vào khu bảo tồn. Một thời gian sau, người ta săn bắt 200 con thì thấy có 40 con có
đánh dấu. Hãy ước lượng số tê giác có trong khu bảo tồn tại với độ tin cậy 96%.
𝚽(𝟐, 𝟓𝟕𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟑𝟐𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟎𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟏𝟕𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟎𝟓𝟒) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟎.
-Với mức tin cậy 96%, ta có:
2Φ(zα/2 ) = 96% ⇒ Φ(zα/2 ) = 0,48 ⇒ zα/2 = 2,054
-Gọi N là số tê giác có trong khu bảo tồn. Như vậy, sau khi đánh dấu, tỉ lệ tìm săn bắt được
số tê giác là:
P=

100
N

-Trong 200 con săn bắt được, thấy có 40 được đánh dấu nên tỉ lệ mẫu thu được:
f=

40
= 0,2
200

-Suy ra độ chính xác:
f(1 − f)
0,2.0,8
ε = zα/2 √
= 2,054. √
= 0,0581
n
200
-Khoảng tin cậy:
P ∈ (f ± ε) ⇒

100
∈ (0,1419; 0,2581) ⇒ N ∈ (387; 705)
N

Câu 7: Cho tổng thể được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau:
X
P

1
1/6

2
1/6

3
1/6

4
1/6

5
1/6

6
1/6


Gọi (𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , … , 𝐗 𝟓𝟎 ) là mẫu ngẫu nhiên gồm n=50 quan sát độc lập được chọn từ tổng thể
̅ = 𝟏 ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐗 𝐢 .
trên (chọn theo phương pháp có hồn lại). Tìm phương sai của 𝐗
𝐧

n

n

i=1

i=1

1
1
̅) = Var ( ∑ Xi ) = Var (∑ Xi )
Var(X
n
n2
-Vì 50 quan sát trong mẫu là độc lập nên:
n

1
1
1
̅) = ∑ Var(Xi ) = . nVar(Xi ) =
Var(X
. Var(Xi )
n2
n2
50
i=1

Với Var(Xi ) là phương sai chung của mỗi quan sát.
-Ta tính được:
μ(X) =

1+2+3+4+5+6
= 3,5
6
6

Var(Xi ) = ∑(Xk − μ)2 . Pk =
k=1

35
12

-Thay vào, ta được:
̅) =
Var(X

1
7
. Var(Xi ) =
50
120

Câu 8: Một mẫu ngẫu nhiên gồm có n quan sát độc lập được rút ra từ tổng thể có phân phối
chuẩn với trung bình là 𝛍 và độ lệch chuẩn là 𝛔 = 𝟖.
̅ − 𝛍| ≤ 𝟎, 𝟗𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟓.
Tìm n sao cho: 𝐏(|𝐗
n

̅−μ
1
82
X
2
̅
X = ∑ Xi ∼ N (μ; σ = ) ⇒

. √n ∼ N(0; 1)
n
n
8
i=1

-Ta có:
̅ − μ| ≤ 0,98) = 2Φ(X
̅ − μ = 0,98) = 2Φ (
P(|X

̅−μ
X
0,98
0,98
. √n =
√n) = 2Φ (
√n)
8
8
8

-Theo đề bài:
̅ − μ| ≤ 0,98) = 0,95
P(|X
0,98
⇒ Φ(
√n) = 0,475
8
⇒ 0,1225√n = 1,96

⇒ n = 256


Câu 9: Lấy mẫu kích thước 200 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,2. Lấy tiếp mẫu kích
thước 100 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,8. Trung bình mẫu của mẫu gộp lại cả hai
mẫu trên là bao nhiêu?
Trung bình mẫu:
𝑋̅ =

14,2.200 + 14,8.100
= 14,4
300

Câu 10: Điều tra ngẫu nhiên thu nhập (triệu đồng/tháng) của 200 công nhân (CN) làm việc ở
2 thành phố A và B, ta có số liệu:
Thu nhập

<4

4–8

>= 8

Thành phố
A
15
25
24
B
55

45
36
Với mức ý nghĩa 5%, hãy tính giá trị của tiêu chuẩn kiểm định và xét xem thu nhập của CN có
phụ thuộc vào nơi làm việc hay không.
A. 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒. Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc.
B. 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒. Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc.
A. 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕. Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc.
A. 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕. Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc.
(Chưa nghiên cứu nên không biết làm, híc)

Câu 11: Một bến xe có 5 xe bus chạy cùng tuyến đường và đang chuẩn bị xuất phát. Có 8 hành
khách lên các xe này một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Tính xác suất để xe nào cũng
có người lên.
Mình vẫn chưa tìm được cách làm và đáp án thực sự đáng tin cậy cho bài tốn này.
Mong sẽ nhận được lời giải đóng góp từ mọi người!

Câu 12: Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở 3 chỗ đó
lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9. Biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên một chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ
câu được 1 con cá. Tìm xác suất con cá đó câu được ở chỗ thứ nhất.
Câu này giải sau nhé!
Câu 13: Khối lượng của 1 con gà được chọn ngẫu nhiên là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trung bình là 1,8kg và độ lệch chuẩn là 0,2kg. Khối lượng của một con vịt được chọn
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 2,5kg và độ lệch chuẩn là 0,3kg. Chọn mua
ngẫu nhiên 5 con gà và 4 con vịt. Tìm xác suất để tổng khối lượng thịt gà và thịt vịt mua được
nằm trong khoảng [18;20] (kg).


-Gọi G và V lần lượt là khối lượng của gà và vịt. Theo đề bài, hai đại lượng trên tuân theo
luật phân phối chuẩn:
G ∼ N(μ = 1,8; σ2 = 0,22 ) ; V ∼ N(μ = 2,5; σ2 = 0,32 )

⇒ 5G ∼ N(μ = 9; σ2 = 12 ) ; 4V ∼ N(μ = 10; σ2 = 1,22 )
-Gọi M là tổng khối lượng 5 con gà 4 con vịt, ta có:
M = 5G + 4V
-Vì G và V là các biến ngẫu nhiên và độc lập với nhau nên:
M ∼ N(μ = 9 + 10; σ2 = 12 + 1,22 )
⇒ M ∼ N (μ = 19; σ2 =
⇒

5(M − 19)
√61

61
)
25

∼ N(0; 1)

-Ta có:
P(18 ≤ M ≤ 20) = P (−

5
√61

≤

5(M − 19)
√61

≤

5

5
) = 2Φ (
) ≈ 2Φ(0,64) = 0,4778
√61
√61

Câu 14: Khảo sát về mức tiêu thụ điện (kwh/tháng) của một số hộ gia đình ở một thành phố,
ta có bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau:
Lượng điện tiêu thụ
Số hộ

240 – 360
13

360 – 420
22

420 – 480
35

480 – 540
20

540 - 720
10

Quy ước những hộ có mức tiêu thụ điện lớn hơn 480 kwh/tháng là những hộ có mức tiêu thụ
điện cao.

a) Tìm khoảng tin cậy của lượng điện tiêu thụ trung bình của một hộ có mức tiêu thụ điện cao
với mức tin cậy 95%.
-Lượng điện tiêu thụ trung bình:
480 + 540
540 + 720
) . 20 + (
) . 10
2
2
̅
X=
= 550
30
(

-Với mức tin cậy 95%, ta có:
2Φ(zα/2 ) = 95% ⇒ Φ(zα/2 ) = 0,475 ⇒ zα/2 = 1,96
-Gọi X là lượng điện tiêu thụ của các hộ gia đình.
-Tỷ lệ mẫu những hộ gia đình có múc tiêu thụ điện cao:
f=

30
= 0,3
100


-Suy ra độ chính xác:
f(1 − f)
0,3.0,7
ε = zα/2 √

= 1,96. √
= 0,0898
n
100
-Khoảng tin cậy:
X∈̅
X(1 ± ε) ⇒ X ∈ 550. (0,9102; 1,0898) ⇒ X ∈ (500; 600)

b) Với mẫu đã cho, nếu muốn sai số của phép ước lượng tỷ lệ những hộ có mức tiêu thụ điện
cao là 7% thì độ tin cậy phải đạt bao nhiêu %?
-Ta có:
f(1 − f)
ε = zα √
n
2

⇒ zα/2 = ε√

n
100
= 0,07√
= 1,5275
f(1 − f)
0,3.0,7

-Độ tin cậy:
2Φ(zα/2 ) = 2Φ(1,5275) = 88,36%


Khóa 40 – Đề 02

Câu 1: Tỷ lệ sản phẩm loại B của một nhà máy là 20%. Nhà máy này có rất nhiều sản phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra, có khơng
q một sản phẩm loại B.
-Gọi X là số sản phẩm loại B được lấy ra. Như vậy, X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân
phối nhị thức:
X ∼ B(n = 4; p = 0,2)
-Xác suất để có khơng q một sản phẩm loại B được lấy ra:
P = P(X = 0) + P(X = 1) = C40 . 0,20 . 0,84 + C41 . 0,21 . 0,83 = 0,8192

Câu 2: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với 𝐄(𝐗) = 𝟐 . Xác suất
𝐏(𝐗 ≥ 𝟒|𝐗 ≥ 𝟐) là:
-Theo đề bài, ta được:
λ = E(X) = 2
-Ta có:
P(X ≥ 4|X ≥ 2) =

P[(X ≥ 4) ∪ (X ≥ 2)] P(X ≥ 4)
=
P(X ≥ 2)
P(X ≥ 2)

Với
3

∞

3

P(X ≥ 4) = ∑ pi − ∑ pk = 1 − ∑
i=0

k=0
∞

k=0
1

e−2 . 2k
1 20 21 22 23
= 1− 2( + + + )
k!
e 0! 1! 2! 3!
1

P(X ≥ 2) = ∑ pi − ∑ pk = 1 − ∑
i=0

k=0

k=0

e−2 . 2k
1 20 21
= 1− 2( + )
k!
e 0! 1!

-Thay vào, ta được:
1−
P(X ≥ 4|X ≥ 2) =

1 20 21 22 23
( + + + )
e2 0! 1! 2! 3!
= 0,241
1 20 21
1 − 2 ( 0! + 1! )
e

Câu 3: Một hộp có 15 viên bi, trong đó có 6 bi trắng, 4 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ
hộp này lần lượt mỗi lần một bi, khơng hồn lại, để có đủ 3 bi. Xác suất để lần đầu lấy được bi
trắng, lần hai lấy được bi xanh và lần ba lấy được bi đỏ là:

Chú ý rằng sau mỗi lần lấy, tổng số bi trong hộp đều giảm đi 1.


P=

6 4 5
4
. .
=
15 14 13 91

Câu 4: Khối lượng của sản phẩm của một nhà máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với kỳ vọng 𝛍 (𝐠) và độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟎, 𝟑 (𝐠). Biết rằng tỷ lệ các sản phẩm có khối lượng
lớn hơn 𝟖 (𝐠) là 1%. Cho 𝐏(𝐙 < 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟗 với 𝐙~𝐍(𝟎; 𝟏). Khi đó 𝛍 bằng:
-Gọi X là khối lượng của sản phẩm của nhà máy. Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật
phân phối chuẩn:
X ∼ N(μ; 0,32 ) ⇒

X−μ
~N(0; 1)
0,3

-Theo đề bài:
8−μ
8−μ
P(X > 8) = 1% ⇒ Φ(∞) − Φ (
) = 0,01 ⇒ Φ (
) = 0,49
0,3
0,3
P(Z < 2,33) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) + Φ(∞) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) = 0,49
-Đồng nhất hai vế phải của biểu thức vừa tìm được:
8−μ
= 2,33 ⇒ μ = 7,301
0,3

Câu 5: Một lơ hàng có tỷ lệ sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất lần lượt là 40% và 60%.
Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một, hai tương ứng là 90%, 96%. Lấy ngẫu
nhiên một sản phẩm từ lô hàng này thì được sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn. Xác suất để sản
phẩm này do phân xướng một sản xuất là:
-Gọi X1 , X2 là biến cố chọn được sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất.
-Gọi B là biến cố sản phẩm được chọn không đạt tiêu chuẩn.
-Ta cần tính xác suất chọn được sản phẩm của phân xưởng một khi đã biết rằng sản phẩm
này không đạt tiêu chuẩn:
P(X1 |B) =

P(X1 B)

P(B)

-Ta tính P(X1 B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một:
P(X1 B) = 40%. (1 − 90%) = 0,04
-Tính tiếp P(B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong lô hàng:
P(B) = P(X1 ). P(B|X1) + P(X2 ). P(B|X2 ) = 40%. (1 − 90%) + 60%. (1 − 96%) = 0,064
-Thay hết vào, ta được:
P(X1 |B) =

0,04
5
= = 0,625
0,064 8


Câu 6: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B và 1
phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) từ kiện hàng này ra 2 sản phẩm. Gọi X, Y lần lượt
là số sản phẩm loại A, loại B trong 2 sản phẩm lấy ra. Khi đó 𝐄(𝐗|𝐘 = 𝟏) bằng:
-Với số sản phẩm B lấy ra là 1 thì số sản phẩm A lấy ra tối thiểu là 0, tối đa là 1. Ta có:
E(X|Y = 1) = E(X = 0|Y = 1) + E(X = 1|Y = 1)
⇒ E(X|Y = 1) = 0. P(X = 0|Y = 1) + 1. P(X = 1|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1)
⇒ E(X|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) =

P[(X = 1)(Y = 1)]
P(Y = 1)

Ta có:

P[(X = 1)(Y = 1)] =

6.3
3.7
; P(Y = 1) = 2
2
C10
C10

6.3
6
C2
⇒ E(X|Y = 1) = 10 =
3.7 7
2
C10

Câu 7: Lấy mẫu kích thước 300 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,5 và phương sai mẫu là
0,4. Với độ tin cậy 95% thì ta tinh được độ chính xác trong phép ước lượng trung bình tổng
thể là 𝛆. Nếu muốn độ chính xác là 𝛆 nhưng độ tin cậy là 98% thì phải lấy mẫu có kích thước
bao nhiêu?
-Với độ tin cậy 95% và 98% ta có:
Φ(z1 ) =

95%
98%
⇒ z1 = 1,96 ; Φ(z2 ) =
⇒ z2 = 2,33
2
2

-Ta có cơng thức tính độ chính xác:

ε = z.

σ
√n

-Vì độ chính xác trong hai lần lấy mẫu là như nhau nên:
z1

σ
σ
z2 2
= z2
⇒ n2 = ( ) . n1 = 424
z1
√n1
√ n2

Câu 8: Điều tra một số sản phẩm của một xí nghiệp về chiều dài (X – cm) và hàm lượng chất
A (Y - %), ta có bảng số liệu:
Y
X

8

10

12

14

16

100
5
5
110
4
6
7
120
5
9
8
130
4
6
9
140
5
7
Để có khoảng tin cậy cho chiều dài trung bình đạt được độ chính xác là 32mm thì độ tin cậy
là bao nhiêu?


-Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn:
̅1 = 120,75 cm ; σ = 12,4273 cm
X
-Độ chính xác:
ε = zα/2 .
⇒ zα/2 = ε.

σ
√n

√80
√n
= 3,2.
= 2,30
σ
12,4273

-Độ tin cậy:
2Φ(zα/2 ) = 2Φ(2,3) = 97,8%

Câu 9: Trước đây, chiều dài trung bình của sản phẩm do một nhà máy sản xuất là 0,05 (m).
̅ = 𝟎, 𝟎𝟓𝟑 (𝐦) và 𝐬 =
Người ta lấy mẫu 9 sản phẩm do máy này sản xuất và tính được 𝐗
𝟎, 𝟎𝟎𝟑 (𝐦). Gọi 𝛍 là chiều dài trung bình của sản phẩm do máy sản xuất hiện nay. Với mức ý
nghia 5%, kiểm định giả thiết 𝐇𝟎 ; 𝛍 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐯ớ𝐢

𝐇𝟏
𝛍

≠ 𝟎, 𝟎𝟓. Tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định

và đưa ra kết luận:
A. t=1 và bác bỏ H0.
B. t=1 và chấp nhận H0.
C. t=3 và chấp nhận H0.
D. t=3 và bác bỏ H0.

(câu này cũng chưa nghiên cứu, tạm bỏ qua nhé!)

Câu 10: Một địa phương có 50% hộ sử dụng internet. Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100
theo phép chọn lặp. Gọi Y là số lần xuất hiện hộ sử dụng internet. Xác suất 𝐏(𝟒𝟎 ≤ 𝐘 ≤ 𝟔𝟎):
60

60

i
P(40 ≤ Y ≤ 60) = ∑ 0,5i . 0,5100−i = 0,5100 ∑ C100
= 0,9648
i=40

i=40

Câu 11: Một lơ hàng có 2 kiện sản phẩm. Mỗi kiện có 10 sản phẩm. Kiện thứ nhất có 8 sản
phẩm loại A và kiện thứ hai có 6 sản phẩm loại A. Lấy ngâu nhiên một kiện, rồi từ kiện đó lấy
ngẫu nhiên một sản phẩm.
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại A.
-Gọi X1, X2 lần lượt là biến cố chọn được kiện hàng thứ nhất, thứ hai. Vì hai kiện hàng là như
nhau nên:
P(X1 ) = P(X2 ) = 0,5


-Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm loại A.
-Vì hệ {X1 ; X2 } là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nên xác suất chọn được sản phẩm
loại A được tính:
P(A) = P(X1 ). P(A|X1 ) + P(X2 ). P(A|X2 ) = 0,5.0,8 + 0,5.0,6 = 0,7

b) Biết rằng lấy được sản phẩm loại A. Hãy tính xác suất để lấy tiếp một sản phẩm nữa từ kiện

đó ra cũng là sản phẩm loại A.
-Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm loại A trong lần lấy thứ nhất, thứ hai.
-Theo đề bài, ta cần tính:
P(A2 |A1 ) = P(X1 ). P((A2 |A1 )|X1 ) + P(X2 ). P((A2 |A1 )|X2 )
7
5 2
= P(X1 ). P(A2 |A1 X1 ) + P(X2 ). P(A2 |A1 X2 ) = 0,5. + 0,5. = = 0,6667
9
9 3

Câu 12: 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 là mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 lập từ đại lượng ngẫu nhiên
X (các đại lượng ngẫu nhiên 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 độc lập và có cùng phân phối với X). Biết
𝐄(𝐗) = 𝟏𝟔 và 𝐕𝐚𝐫(𝐗) = 𝟒. Tính xác suất 𝐏(𝐗 𝟏 + 𝐗 𝟐 + 𝐗 𝟑 + ⋯ + 𝐗 𝟏𝟎𝟎 < 𝟏𝟔𝟓𝟎).
-Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn nên:
X ∼ N(μ = 16; σ2 = 22 ) ⇒

X − 16
∼ N(0; 1)
2

-Vì X1 , X2 , X3 , … , X100 độc lập và có cùng phân phối với X nên xác suất được tính:
P = P(X1 + X2 + X 3 + ⋯ + X100 < 1650) = P(100X < 1650) = P(X < 16,5)
X − 16
= P(
< 0,25)
2
⇒ P = Φ(0,25) − Φ(−∞) = 0,0987 + 0,5 = 0,5987

Câu 13: Khảo sát ngẫu nhiên 400 nhân viên ngân hàng Vietcombank trong năm 2011 về thu
nhập hàng tháng (đơn vị: triệu đồng/tháng), người ta thu được bảng số liệu dạng khoảng

[𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) như sau:
Thu nhập
Số nhiên viên

2–5
45

5 – 10
47

10 – 15
53

15 – 20
115

20 – 30
100

30 – 50
40

a) Hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng tháng của mỗi nhân viên ngân hàng Vietcombank
trong năm 2011 với độ tin cậy 95%.
-Các đặc trưng số:
n = 400 ; x̅ = 18,2125 ; σ = 10,0644 ; f = 1


-Với độ tin cậy 95%, ta tìm được:
Φ(z) =

95%
⇒ z = 1,96
2

-Độ chính xác:
ε = z.

√400
√n
= 1,96.
= 3,8949
σ
10,0644

-Khoảng tin cậy:
X ∈ (x̅ ± ε) ⇒ X ∈ (14,3176 ; 22,1074)

b) Những nhân viên có thu nhập từ 20 triệu đồng/tháng trở lên là những nhân viên có thu
nhập cao. Trong phép ước lượng tỷ lệ của những nhân viên có thu nhập cao ở Vietcombank,
với độ chính xác 6% thì độ tin cậy sẽ là bao nhiêu %?
-Tỉ lệ mẫu:
f=

140
7
=
400 20

-Độ chính xác:

ε = z√

f(1 − f)
n
⇒ z = ε√
= 2,52
n
f(1 − f)

-Suy ra độ tin cậy:
1 − α = 2Φ(2,52) = 0,9882
-Vậy độ tin cậy là 98,82%


K40 – Đề 03
Câu 1: Một lơ hàng có 35 sản phẩm của cơng ty X (trong đó có 5 phế phẩm), 45 sản phẩm của
cơng ty Y (trong đó có 10 phế phẩm) và 50 sản phẩm của cơng ty Z (trong đó có 5 phế phẩm).
Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lơ hàng thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm
đó là của công ty X hoặc công ty Y.
-Gọi X, Y, Z lần lượt là biến cố lấy được sản phẩm của công ty X, Y, Z. Rõ ràng, bộ ba biến cố
này đầy đủ xung khắc từng đơi. Ta có:
P(X) =

35
45
50
; P(Y) =
; P(Z) =
130
130

130

-Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm. Ta có:
⇒ P(B) =

5 + 10 + 5
20
=
130
130

-Theo đề bài, ta đã biết sản phẩm vừa lấy ra là phế phẩm. Tức biến cố B là điều kiện đã biết.
Ta cần tìm xác suất sản phẩm đó là của cơng ty X hoặc Y.
-Ta có:
P = P(X|B) + P(Y|B)
5
10
P(XB) P(YB) 130 + 130 3
⇒P=
+
=
= = 0,75
20
P(B)
P(B)
4
130
̅ ).
Câu 2: Cho 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟕; 𝐏(𝐁) = 𝟎, 𝟔𝟓 𝐯à 𝐏(𝐀 + 𝐁) = 𝟎, 𝟗. Tính 𝐏(𝐁|𝐀

Chú ý cơng thức sau:
̅ 𝑩) = 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩)
𝑷(𝑨
-Áp dụng vào, ta dễ dàng khai triển:
̅) =
P(B|A

̅) P(B) − P(AB)
P(BA
=
̅)
1 − P(A)
P(A

-Ta tính được P(AB) nhờ:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B)
-Thay vào, ta được:
̅) =
P(B|A

P(A + B) − P(A) 0,9 − 0,7 2
=
=
1 − P(A)
1 − 0,7
3

Một điều rất lạ là kết quả không phụ thuộc vào 𝑃(𝐵).

Câu 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau. Tìm phương sai của X.
X
1
F(x)
1/8
(Bài này hơi sai sai nên làm vẫn chưa ra)

2
3/8

3
3/8

4
1

Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi độc lập với nhau bao gồm 4 câu hỏi (mỗi câu có
2 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng) và 16 câu hỏi (mỗi câu có 4 phương
án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng). Trả lời đúng 1 câu hỏi loại 2 phương án trả lời
thì được 1 điểm và trả lời đúng 1 câu hỏi loại 4 phương án trả lời thì được 2 điểm. Một thí
sinh khơng học bài nên trả lời các câu hỏi một cách cầu may (chọn ngẫu nhiên một đáp án).
Tìm số điểm trung bình mà thí sinh này làm được.
-Gọi X, Y lần lượt là số câu loại 2 phương án và 4 phương án mà thí sinh trả lời đúng.
-Tổng điểm của thí sinh này là:
A = X + 2Y
-Số điểm trung bình:
E(A) = E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y)
-Nhận thấy rằng, đại lượng ngẫu nhiên X và Y tuân theo luật phân phối nhị thức:
X ∼ B(nX = 4; pX = 0,5) ; Y ∼ B(nY = 16; pY = 0,25)
⇒ E(X) = nX pX = 2 ; E(Y) = nY pY = 4

-Thay hết vào, ta được:
E(A) = 10

Câu 5: Một sinh viên (SV) thi liên tiếp hai môn A và B. Xác suất để sinh viên này thi đạt yêu
cầu mơn A là 0,8. Nếu đạt mơn A thì xác suất để SV này đạt được yêu cầu môn B là 0,7. Nếu
khơng đạt mơn A thì xác suất để SV này đạt u cầu mơn B là 0,5. Tính xác suất để sinh viên
này chỉ đạt yêu cầu một môn.
-Gọi A, B lần lượt là biến cố SV đạt yêu cầu môn A, B.
-Xác suất để SV chỉ đạt yêu cầu một môn:
̅B) = P(A). P(B
̅). P(B|A
̅) = 0,8. (1 − 0,7) + (1 − 0,8). 0,5
̅) + P(A
̅|A) + P(A
P = P(AB
⇒ P = 0,34

Câu 6: Có 500 vịng bi, khối lượng trung bình mỗi vịng bi là 150 g và độ lệch chuẩn là 1 g (cho
biết khối lượng vịng bi là đạt lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn). Chọn một mẫu ngẫu
nhiên gồm 100 vòng bi. Tìm xác suất để mẫu này có tổng khối lượng từ 14,95 kg đến 15,01
kg.


(Câu này nghi ngờ mình giải sai vì chưa dùng đến số liệu 500 vịng đầu bài. Mong nhận được
góp ý từ các bạn)
-Gọi X (g) là khối lượng vòng bi. Theo đề bài, đại lượng X tuân theo luật phân phối chuẩn:
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎 2 = 12 )

-Ta cần tìm xác suất của mẫu 100 vịng bi, tức của đại lượng:
𝑌 = 100𝑋

-Áp dụng công thức:
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎 2 = 12 ) ⇒ 𝑌 = 100𝑋 + 0 ∼ 𝑁(100𝜇 + 0; 1002 𝜎 2 )
⇒ 𝑌 ∼ 𝑁(15000; 1002 )
⇒

𝑌 − 15000
∼ 𝑁(0; 1)
100

-Ta có:
𝑃(14950 ≤ 𝑌 ≤ 15010) = 𝛷 (

15010 − 15000
14950 − 15000
)−𝛷(
) = 0,0398 + 0,1915
100
100
⇒ 𝑃 = 0,478

Câu 7: Khảo sát thời gian tự học (giờ/tuần) của một số sinh viên hệ chính quy ở một trường
đại học trong thời gian gần đây, người ta thu được kết quả dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) như sau:
Thời gian tự
học (tuần/giờ)
Số SV

1–4

4–6

6–8

8 – 10

10 – 12

12 – 16

18

25

30

35

25

11

Những sinh viên có số giờ tự học thuộc khoảng [6;12) giờ được xem là những SV có số giờ tự
học ở mức trung bình. Để có khoảng tin cậy cho tỷ lệ SV có số giờ tự học ở mức trung bình của
trường đạt độ chính xác là 8% và độ tin cậy 99% thì phải điều tra thêm bao nhiêu sinh viên
nữa?
-Với độ tin cậy 99%, ta có:
2Φ(z) = 99% ⇒ z = 2,575
-Xem rằng tỷ lệ mẫu không đổi:
f=

90
144

-Như vây từ công thức:
f(1 − f)
ε = z√
N


-Ta tìm được số người phải điều ra là:
N=

z2
2,5752
90
90
(1
.
−
f).
f
=
. (1 −
).
≈ 243
2
2
ε
0,08
144 144

-Vậy số người phải điều tra thêm là:
∆N = 243 − 144 = 99

Câu 8: Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên nam. Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước
n=20 theo phép chọn lặp. Gọi Y là số lần xuất hiện sinh viên nam trong mẫu và F=Y/20. Khi
đó 𝐄(𝐅) bằng:
1
1
1
60
E(F) = E ( . Y) =
E(Y) =
(20.
) = 0,6
20
20
20
100

Câu 9: Để đánh giá số lượng chim quý trong khu bảo tồn chim, người ta săn bắt 100 con chim,
đánh dấu chúng rồi thả lại vào khu bảo tồn. Vài ngày sau, người ta săn bắt 75 con thì thấy có
15 con chim được đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số chim có trong khu bảo tồn
này.
-Gọi N là số chim trong khu bảo tồn.
-Độ tin cậy 95% cho ta:
2Φ(zα/2 ) = 95% ⇒ zα/2 = 1,96
-Tỷ lệ mẫu:
f=

15
= 0,2
75

-Độ chính xác:
f(1 − f)
0,2.0,8
ε = zα . √
= 1,96√
= 0,0910
n
75
2
-Gọi N là số chim trong bảo tàng thì:
100
∈ (f ± 0,0910) = (0,1090; 0,2910)
N
⇒ N ∈ (344; 917)

Câu 10: Trong một kỳ thi tốt nghiệp ở một trường trung học phổ thông, người ta khảo sát
điểm thi của một số học sinh (HS) được chọn ngẫu nhiên và thu được bảng số liệu dạng
khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) như sau:


Tổng điểm thi
Số học sinh

0 – 30
18

30 – 42
35

42 – 48
37

48 – 54
34

54 – 60
20

Những HS được 48 điểm trở lên được xếp loại giỏi. Nếu một báo cáo cho rằng số HS được xếp
loại giỏi của trường là 900 thì có chấp nhận được khơng với mức ý nghĩa 5%, biết rằng trường
có 2000 HS? u cầu tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định và đưa ra kết luận.
A. z=1,86. Chấp nhận báo cáo.
B. z=1,86. Bác bỏ báo cáo.
C. z=-1,81. Bác bỏ báo cáo.
D. z=-1,81. Chấp nhận báo cáo.
Dạng này chưa nghiên cứu luôn!

Câu 11: Chiều cao của sinh viên (SV) trường đại học M là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với chiều cao trung bình là 167cm và độ lệch chuẩn 4cm. 80% số sinh viên có chiều cao
trên 175cm có uống sữa của cơng ty N. 50% số sinh viên có chiều cao từ 163cm đến 175cm
có uống sữa của cơng ty N. Những SV có chiều cao dưới 163cm đều khơng uống sữa của công
ty N.
a) Gặp ngẫu nhiên một SV của trường đại học M thì thấy SV này có uống sữa của cơng ty N.
Tính xác suất để SV này có chiều cao trên 175cm.
b) Gặp ngẫu nhiên 5 SV của trường đại học M. Tính xác suất để găp được ít nhất một người có
uống sữa của cơng ty N.

Câu 12: Một lơ hàng có 100 kiện hàng, mỗi kiện hàng có 10 sản phẩm. Giả sử mỗi kiện hàng
trong lơ đều có luật phân phối xác suất giống nhau như sau:
X (số sản phẩm 0
hỏng)
P(X=x)
0,375

1

2

3

0,125

0,375

0,125

a) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong lơ hàng
b) Tìm độ lệch chuẩn của số sản phẩm hỏng trong lô hàng.

Câu 13: Trong một đợt khảo sát về khối lượng của một loại trái cây trong vườn, ta thu được
bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] như sau:
Khối lượng (g)
Số trái

200 – 400
35

400 – 570
17

570 – 680
25

680 – 800
13

800 – 1000
10


a) Những trái có khối lượng lớn hơn 680g được xem là những trái to vượt trội. Tìm khoảng
tin cậy cho tỷ lệ trái to vượt trội trong vườn này ở độ tin cậy 97%.
b) Giả sử sau đợt khảo sát, người ta áp dụng một loại phân bón mới làm cho khối lượng trung
bình của trái cây trong vườn là 590g. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết loại phân bón mới có
làm cho khối lượng trung bình của loại trái cây này tăng lên hay không?


K40 – Đề 04 (Đang hoàn thành)
Câu 1: Cho A, B là hai biến cố. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hệ A,
̅ B).
̅+A
Câu 2: Cho P(A) = 0,2; P(B) = 0,4 và P(A + B) = 0,5. Tính P(AB
̅B xung khắc nên:
̅ và A
Vì AB

̅ B) = P(AB
̅B)
̅+A
̅) + P(A
P(AB
Áp dụng công thức:
̅B) = P(B) − P(AB)
P(A
Ta được:
̅ B) = P(A) − P(AB) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − 2P(AB)
̅+A
P(AB
Ta tính P(AB) nhờ:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B)
Thay vào, ta được:
̅B) = 2P(A + B) − P(A) − P(B) = 2.0,5 − 0,2 − 0,4 = 0,4
̅+A
P(AB

K39 – 01
Câu 1: Kiểm tra 10 sản phẩm. Gọi A là biến cố có 1 phế phẩm trong 10 sản phẩm kiểm tra.
Gọi B là biến cố có 2 phế phẩm trong 10 sản phẩm kiểm tra. Cho biết P(A) = 0,3 và P(B) =
0,1. Các câu sau đây, câu nào sai?
A. P(A|B) = 0
B. P(AB) = 0,03
̅∪B
̅) = 1
C. P(A
̅∩B
̅) = 0,6

D. P(A
Rõ ràng A và B xung khắc nên:
A ∩ B = AB = ∅ ⇒ P(AB) = 0
Ta có:
P(A|B) =

P(AB)
=0
P(B)

̅∪B
̅) + P(B
̅B
̅) = P(A
̅) − P(A
̅)
P(A
Ta tính:
̅B
̅) − P(A
̅B) = P(A
̅) − [P(B) − P(AB)] = P(A
̅) − P(B) + P(AB)
̅) = P(A
P(A


Thay vào, ta được:
̅∪B
̅) + P(B

̅) + P(B) − P(AB) = 1 − P(AB) = 1
̅) = P(A
̅) − P(A
P(A
Ta có:
̅∩B
̅̅̅̅̅̅̅
̅) = P(A
P(A
∪ B) = 0
Câu 2: A, B là các biến cố thuộc không gian các biến cố sơ cấp Ω. Biết P(A) = 0,8; P(B) =
̅ ).
0,75 và P(AB) = 0,6. Tính P(A|B
Ta có:
̅) =
P(A|B

̅) P(A) − P(AB) 0,8 − 06 4
P(AB
=
=
= = 0,8
̅)
1 − P(B)
1 − 0,75 5
P(B