Các dạng bài tập TÍCH PHÂN hàm ẩn điển hình có lời giải chi tiết

Tích Phân Hàm Ẩn

1


Tích Phân Hàm Ẩn

MỤC LỤC

2


Tích Phân Hàm Ẩn

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

1) Quy tắc: Nếu
- Nếu

u = u ( x)

và

 f ( x ) .g ( x ) ′ = h ( x )

Câu 1. Cho hàm số

f ( x)

v = v ( x)

thì

6.

B.

.

f ( x ) .g ( x ) = ∫ h ( x ) dx.

có đạo hàm liên tục trên khoảng

x ( 4 − f ′ ( x ) ) = f ( x ) − 1, ∀x > 0.

A.

thì

( uv ) ′ = u′v + uv′

Giá trị của
5.

f ( 2)

( 0; +∞ )

thỏa mãn điều kiện

f ( 1) = 3

và

bằng
C.

3.

D.

2.

Lời giải
Chọn B

x ( 4 − f ′ ( x ) ) = f ( x ) − 1 ⇒ xf ′ ( x ) + f ( x ) = 4 x + 1

+)Từ giả thiết, ta có
⇒  xf ( x ) ′ = 4 x + 1 ⇒ xf ( x ) = ∫ ( 4 x + 1) dx ⇒ xf ( x ) = 2 x 2 + x + C.
+) Lại có

f ( 1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = 2 x + 1 ⇒ f ( 2 ) = 5.

Câu 2. Cho hàm số

f ( x)

2 f ( x ) + ( x 2 − 1) f ′ ( x ) =

A.

có đạo hàm liên tục trên khoảng

x3 + 2 x 2 + x
x2 + 3

f ( 0 ) = 2 − 3.

B.

với mọi

( −1; +∞ )

x ∈ ( −1; +∞ ) .

f ( 0 ) = e − 3.

C.

và thỏa mãn đẳng thức

Giá trị của

f ( 0)

bằng

f ( 0 ) = 3.

D.

f ( 0 ) = 1 − 3.

Lời giải
Chọn A
+) Từ giả thiết, ta có

x ( x + 1)
x3 + 2 x 2 + x
2 f ( x ) + ( x − 1) f ′ ( x ) =
⇒ 2 f ( x ) + ( x − 1) ( x + 1) f ′ ( x ) =
2
x +3
x2 + 3

2

2

⇒

2 f ( x)

( x + 1)

2

+

x −1
x
x −1
x
 x − 1 ′
f ′( x) = 2
⇒
f ′( x) = 2
÷ f ( x) +
x +1
x +1
x + 3  x +1 
x +3

 x −1
′
. f ( x) ÷ =
 x +1


⇒

có

( *)

x
x +3
2

thỏa mãn với mọi

⇒

x −1
x
x −1
. f ( x) = ∫ 2
dx ⇒
. f ( x ) = x2 + 3 + C
x +1
x +1
x +3

x ∈ ( −1; +∞ )

nên thay

x =1

vào

( *)

ta có

( *)
+) Lại

C = −2.
3


Tích Phân Hàm Ẩn

x −1
. f ( x ) = x 2 + 3 − 2.
x +1

Suy ra

f ( 0 ) = 2 − 3.

Do đó

Câu 3. (SỞ LẠNG SƠN 2019) Cho hàm số
mọi

x∈¡

A.

5
2

và

f ( 0) = 0

.

f 2 ( 1)

. Giá trị của
9
2
B.
.

f ( x)

 f ' ( x )  + f ( x ) . f '' ( x ) = 4 x 3 + 2 x
2

thỏa mãn

với

bằng

C.

16
15

.

D.

8
15

.

Lời giải
Chọn C
 f ' ( x )  + f ( x ) . f '' ( x ) =  f ( x ) . f ' ( x )  '

 f ( x ) . f ' ( x )  ' = 4 x 3 + 2 x

2

Ta có:

. Từ giả thiết ta có:
f ( x ) . f ' ( x ) = ∫ ( 4 x + 2 x ) dx = x + x + C
f ( 0) = 0 ⇒ C = 0
Suy ra:
. Với
4
2
f ( x) . f '( x) = x + x
Nên ta có:
3

1

4

1

∫ f ( x ) . f ' ( x ) dx = ∫ ( x
0

4

)

+ x dx ⇔
2

0

2

f 2 ( x)
2

1

=
0

Suy ra:

8
16
⇒ f 2 ( 1) =
15

15
.

Câu 4. (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số
 xf ′ ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f ′′ ( x ) 
2

f ( 2 ) = 2 ln 2 + 2
A.
.
2
f ( 2 ) = ln 2 + 1
.
2

f
B.

2

với mọi

x

dương. Biết

( 2 ) = 2 ln 2 + 2

f ( 1) = f ′ ( 1) = 1
f

.

f ( x)

C.

2

( 2 ) = ln 2 + 1

thỏa mãn

. Giá trị

.

f 2 ( 2)

bằng

D.

Lời giải
Chọn B
 xf ′ ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f " ( x )  ; x > 0
2

Ta có:

2
1
2
⇔ x 2 .  f ' ( x )  + 1 = x 2 1 − f ( x ) . f " ( x )  ⇔  f ' ( x )  + x 2 = 1 − f ( x ) . f " ( x )

⇔  f ' ( x )  + f ( x ) . f " ( x ) = 1 −
2



'
1
1
⇔  f ( x ) . f ' ( x )  = 1 − 2
2
x
x

1 
1
.dx ⇒ f ( x ) . f ' ( x ) = x + + c1.
2 ÷
x


∫  f ( x ) . f ' ( x )  .dx = ∫ 1 − x
'

Do đó:
f ( 1) = f ' ( 1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c1 ⇔ c1 = −1.

Vì

4


Tích Phân Hàm Ẩn


1





1



∫ f ( x ) . f ' ( x ) .dx = ∫  x + x − 1÷.dx ⇔ ∫ f ( x ) .d ( f ( x ) ) = ∫  x + x − 1÷.dx

Nên
f 2 ( x ) x2
⇒
=
+ ln x − x + c2 .
2
2
f

Vậy

2

( x)

2

=

f ( 1) = 1 ⇒
Vì

1 1
= − 1 + c2 ⇔ c2 = 1.
2 2

2

x
+ ln x − x + 1 ⇒ f 2 ( 2 ) = 2 ln 2 + 2
2

.

Câu 5. (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

1

[ 0;1]

A.

3 f ( x ) + x. f ′( x) ≥ x 2018 ∀x ∈ [ 0;1]

thỏa mãn
1
2018.2020

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1
2019.2020
2020.2021
B.
.
C.
.
Lời giải

∫ f ( x ) dx
0

.

D.

1
2019.2021

.

Chọn D

g ( x ) = x3 . f ( x ) −

x 2021
2021

[ 0;1]

Xét hàm số:
trên
.
2
3
2020
2
g ′ ( x ) = 3x f ( x ) + x f ′ ( x ) − x
= x . 3 f ( x ) + x. f ′( x) − x 2018  ≥ 0 ∀x ∈ [ 0;1]
Ta có:
.
g ( x)
g ( x ) ≥ g ( 0 ) ∀x ∈ [ 0;1]
[ 0;1]

Do đó
là hàm số khơng giảm trên
, suy ra
2021
x
x 2018
3
x . f ( x) −
≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ f ( x ) ≥
≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1]
2021
2021
Hay
.
1
1
2018
x
1
∫0 f ( x ) dx ≥ ∫0 2021 dx = 2019.2021
Vậy:
.
x 2018
f ( x) =
2021
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
 u ′ u′v − uv′
 ÷=
u = u ( x)

v = v ( x)
v2
v
v ≠ 0.
2) Quy tắc: Nếu
và
thì
với
 f ( x ) ′
f ( x)
= h ( x)
= h ( x ) dx.

÷
÷
g ( x) ∫
 g ( x) 
- Nếu
thì
 1 ′ −u ′
 ÷= 2
u = u ( x)
u  u
u≠0
Hệ quả: Nếu
thì
với
.

5

Tích Phân Hàm Ẩn

- Nếu

 1 ′
= g ( x)

÷
÷
 f ( x) 

1
= g ( x ) dx
f ( x) ∫

thì

Câu 6. (ĐỀ THTP QUỐC GIA NĂM 2018 – MÃ ĐỀ 101) Cho hàm số
f ′ ( x ) = 2 x  f ( x )  , ∀x ∈ ¡ .
2

và

−
A.

35
.

36

B.

Giá trị của
2
− .
3

f ( 1)

f ( x)

f ( 2) = −
thỏa mãn

2
9

bằng
−
C.

19
.
36

−
D.

2
.
15

Lời giải
Chọn B

 1 ′
1
f ′ ( x ) = 2 x  f ( x )  ⇒
= 2x ⇒ 
= − ∫ 2 xdx
 = −2 x ⇒
2
f ( x)
 f ( x ) 
 f ( x ) 
f ′( x)

2

+)Ta có
1
⇒
= − x2 + C
f ( x)

+) Lại có

.

2
1
1
1
2
f ( 2) = − ⇒ C = − ⇒
= − x 2 − ⇒ f ( 1) = − .
9
2
f ( x)
2
3

Câu 7. (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Cho hàm số
khoảng
A.

( 0; + ∞ )

f ( 2) = e

thỏa mãn

x2 f ′ ( x ) + f ( x ) = 0

2

.

B.

f ( 2) = 3 e

.

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

f ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( 0; + ∞ )
f ( 2)
f ( 1) = e
và
,
. Tính
biết
.
C.

f ( 2 ) = 2e 2

.

D.

f ( 2) = e

.

Lời giải

Chọn D
f ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f ( x ) = 0
( 0; + ∞ )
Ta có
,
khơng có nghiệm trên khoảng
( 1; 2 ) ⇒ f ( 1) . f ( 2 ) > 0 ∀x ∈ ( 1; 2 )
⇒ f ( x) = 0
khơng có nghiệm trên khoảng
,
.
f ( 1) = e > 0
f ( 2) > 0
Mà
nên
.
f ′( x)
1
=−
2
2
x f ′( x) + f ( x) = 0 ⇔ x
f ( x)
Do đó
.
2
2
2
f ′( x)
2

1
1
d
x
=
−
∫1 x 2
∫1 f ( x ) dx ⇔ − x 1 = − ln f ( x ) 1
Suy ra
1 
1
−  − 1÷ = − ln f ( 2 ) − ln f ( 1)
= − ln f ( 2 ) − ln e 
⇔ 2 
⇔ 2

(

)

6


Tích Phân Hàm Ẩn
1
1
1
= − ln f ( 2 ) + 1
ln f ( 2 ) =
2

f
2
=
e
= e
(
)
⇔ 2
⇔
⇔
2

Câu 8. Cho hàm số
2
3
A. .

f ( 1) =

f ( x)

thỏa mãn
3
2
B.
.

1
3

và

.

f ′ ( x ) =  xf ( x ) 

C.

16
3

2

với mọi

x∈¡

.

. Giá trị
3
16
D.
.

f ( 2)

bằng

Lời giải

Chọn B

 1 ′
1
x3
2
2
=
x
⇒
=
−
x
⇒
=
−
x
dx
=
−
+C


∫
f 2 ( x)
f ( x)
3
 f ( x ) 
f ′( x)

2

+) Từ giả thiết, ta có
1
10
1
− x 3 + 10
1
2
3
f ( 1) = ⇒ C = ⇒
=
⇒
= ⇒ f ( 2) = .
3
3
f ( x)
3
f ( 2) 3
2
+) Lại có

f ( x)

Câu 9. (QUỲNH LƯU LẦN 1) Cho hàm số

f ( x ) ≠ 0, ∀x > 0

A.

2
5

và

(x

2

)

+1

2

f ' ( x ) =  f ( x ) 
−

.

B.

2
5

2

(x

2

thỏa mãn các điều kiện

)

−1

với mọi
5
−
2
C.
.

.

x>0

.

f ( 1) = 2

. Giá trị của

,

f ( 2)

D.

5
2

bằng

.

Lời giải
Chọn D

(

)

x2 + 1

2

f ' ( x ) =  f ( x ) 

Ta có
Lấy tích phân 2 vế (*) trên
f '( x)

2

∫  f ( x) 
1





2

2

dx = ∫
1

(

2

[ 1; 2]

(

)

x2 − 1 ⇔

f '( x)
 f ( x ) 

2

=

x2 −1

(x

2

)

+1

2

∀x ∈ [ 1; 2 ] (*)

ta được

1
2 1−
1 2
x 2 dx
dx ⇔ −
=∫
2
2
f ( x) 1 1 
1
x2 + 1
x+ ÷
x

x2 −1

)

1

d x + ÷
2
1
1
1
1
1
x
⇔−
+
=∫ 
⇔−
+ =−
2
11
f ( 2 ) f ( 1) 1 
f ( 2) 2

1
x+ ÷
x+ ÷
x

x


2

⇔−

1
1
2 1
5
+ = − + ⇔ f ( 2) =
f ( 2) 2
5 2
2

.

7


Tích Phân Hàm Ẩn

Câu 10. Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 1; 2]

f ( 1) = −
và thỏa mãn

1
2

và

2

(

)

f ( x ) + xf ′ ( x ) = 2 x 3 + x 2 f 2 ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 2 ] .

A.

4
ln .
3

B.

∫ xf ( x ) dx
Giá trị của tích phân

3
ln .
4

1

bằng

ln 3.

C.

D.

0.

Lời giải
Chọn B

(

f ( x ) + xf ′ ( x )

)

f ( x ) + xf ′ ( x ) = 2 x 3 + x 2 f 2 ( x ) ⇒

 xf ( x ) 

= 2x + 1

2

+) Từ giả thiết, ta có
 1 ′

1
1
⇒
= ∫ ( −2 x − 1) dx ⇒
= − x 2 − x + C.
 = −2 x − 1 ⇒
xf ( x )
xf ( x )
 xf ( x ) 
2

2

1
1
−1
f ( 1) = − ⇒ C = 0 ⇒ xf ( x ) = −
⇒ ∫ xf ( x ) dx = ∫
dx
2
x ( x + 1)
x
x
+
1
(
)
1
1

+) Lại có
2
1
x +1 2
3
 1
= ∫
− ÷dx = ln
= ln .
x +1 x 
x 1
4
1

Câu 11. Cho hàm số

f ( x)

9 f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = 9

có đạo hàm liên tục trên đoạn

2

A.

T = 2 + 9 ln 2

. Tính

.

B.

T = f ( 1) − f ( 0 )

T =9

[ 0;1]

đồng thời thỏa mãn

f ′ ( 0) = 9

và

.
T=

.

C.

1
+ 9 ln 2
2

.

D.

T = 2 − 9 ln 2

.

Lời giải
Chọn C
9 f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = 9 ⇒ 9 ( f ′′ ( x ) − 1) = −  f ′ ( x ) − x 
2

Ta có

−∫
Lấy nguyên hàm hai vế
Do

f ′ ( 0) = 9

C=
nên

1
9

f ′′ ( x ) − 1
 f ′ ( x ) − x 

f ′′ ( x ) − 1

1

1
x
dx = ∫ dx ⇒
= +C
9
 f ' ( x ) − x 
f ′( x) − x 9
f ′( x) − x =

suy ra

2

=

1
9
.

2

.

9
9
⇒ f ′( x) =
+x
x +1
x +1
1


x2 
 9

T = f ( 1) − f ( 0 ) = ∫ 
+ x ÷dx =  9 ln x + 1 + ÷ = 9ln 2 + 1
2 0
x +1 

0
2
1

Vậy

2

⇒−

.
8


Tích Phân Hàm Ẩn

f ( x) ≠ 0

Câu 12. Cho hàm số

thỏa mãn điều kiện

f ( 0) = −

f ′ ( x ) = ( 2 x + 3) f 2 ( x )

f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) =
tổng
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
< −1
>1
b
b
A.
.
B.
.

a
b

với

C.

(

a∈¡ , b∈¡

a + b = 1010

và

+

)

và

a
b

.

1
2

. Biết rằng

là phân số tối giản.

D.

b − a = 3029

.

Lời giải

Chọn D

Ta có
⇔∫

f ′ ( x ) = ( 2 x + 3) f
f ′( x)
f

2

( x)

2

( x)

⇔

f ′( x)

f 2 ( x)

dx = ∫ ( 2 x + 3) dx ⇔ −

= 2x + 3

1
= x 2 + 3x + C
f ( x)

. Vì

.

1

Vậy

1
1
f ( x) = −
=
−
( x + 1) ( x + 2 ) x + 2 x + 1

1
f ( 0) = − ⇒ C = 2
2

.

f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) =
Do đó
a = −1009 b = 2020
b − a = 3029
Vậy
;
. Do đó
.

Câu 13. Cho hàm số

y = f ( x)

1
1
1009
− =−
2020 2
2020

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 1; 2]

.

thỏa mãn

f ( 1) = 2

và

2

f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = 2 xf 2 ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 2 ] .

A.

1 + ln 2.

B.

∫ f ( x ) dx
Giá trị của

1

1 − ln 2.

bằng

C.

1
− ln 2.
2

D.

1
+ ln 2.
2

Lời giải
Chọn D
f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = 2 xf 2 ( x ) ⇒

f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x )
f 2 ( x)

+) Từ giả thiết, ta có
 x + 1 ′
x +1
x +1
⇒
= ∫ 2 xdx ⇒
= x 2 + C.
 = 2x ⇒
f ( x)
f ( x)
 f ( x ) 
f ( 1) = 2 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) =
+) Lại có

2

= 2x

2

1 1
1 1 
+ 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  + 2 ÷dx
x x
x x 
1
1

9

Tích Phân Hàm Ẩn
2 12 1
= ln x −
= + ln 2.
1 x1 2

f ( x)

Câu 14. Cho hàm số

f ( x ) − f ′ ( x ) =  f ( x ) 

số

y = f ( x)

A.

ln 2.

có đạo hàm liên tục trên đoạn

2

với mọi

x ∈ [ 0;1]

[ 0;1]

f ( 0) =
thỏa mãn

1
3

và

S
. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

, trục hồnh và hai đường thẳng
4
ln .
3
B.

x = 0; x = 1.

C.

ln12.

D.

3
ln .
4

Lời giải
Chọn B

f ( x ) − f ′ ( x ) =  f ( x )  ⇒
2

f ( x) − f ′( x)
 f ( x ) 

+) Ta có

e )′ f ( x) − e f ′( x)
(
⇒
=e
x

x

 f ( x ) 

x

2

2

= 1⇒

ex f ( x) − ex f ′( x )

.

S=
+) Do đó

e

x

∫ 2+e

x

(

dx = ln 2 + e x

0

f ( x)

Câu 15. Cho hàm số
và

x

1
e

e
f ( 0) = ⇒ C = 2 ⇒
= ex + 2 ⇒ f ( x ) =
3
f ( x)
2 + ex
ln 2

e + e.

+) Từ giả thiết, ta có

.

4
= ln 4 − ln 3 = ln .
3

xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng

2

Chọn B

ln 2

)0

x ( f ′ ( x ) − x ) = f ( x ) − 1, ∀x > 0.
A.

= ex

 e x ′
ex
x
⇒
= ∫ e x dx = e x + C
 =e ⇒
f ( x)
 f ( x ) 
x

+) Lại có

 f ( x ) 

2

B.

Giá trị của
2
e + 1.

( 0; +∞ )

thỏa mãn

f ( 1) = 2

f ( e)

bằng
e 2 − e.
C.
Lời giải

D.

e2 − 1.

x ( f ′ ( x ) − x ) = f ( x ) − 1 ⇒ xf ′ ( x ) − f ( x ) = x 2 − 1

⇒

xf ′ ( x ) − f ( x ) x 2 − 1 xf ′ ( x ) − ( x ) ′ f ( x ) x 2 − 1  f ( x ) ′
1
= 2 ⇒
= 2 ⇒
 = 1− 2
2
2
x
x
x
x
x
 x 

⇒

f ( x)
1
= x + + C.
x
x

10


Tích Phân Hàm Ẩn

f ( 1) = 2 ⇒ C = 0 ⇒
+) Lại có

f ( x)
x

= x+

1
⇒ f ( x ) = x 2 + 1 ⇒ f ( e ) = e 2 + 1.
x
y = f ( x)

Câu 16. (PHAN ĐÌNH TÙNG HÀ TĨNH) Cho hàm số
biết

x. f ( x ) ≠ −1, ∀x ≠ 0; f ( 1) = −2

và

( x. f ( x ) + 1)

2

xác định và liên tục trên

− x. f ′ ( x ) − f ( x ) = 0

với

∀x ∈ ¡ \ { 0} .

¡ \ { 0} ,

Tính

e

∫ f ( x ) dx.
1

A.

1
−2
e

2−
.

B.

1
e

−
.

C.

1
e

.

D.

1
−1
e

.

Lời giải
Chọn A
 x. f ( x ) + 1 − x. f ′ ( x ) − f ( x ) = 0 ⇔  x. f ( x ) + 1 = x. f ′ ( x ) + f ( x )
2

2

Ta có
x. f ′ ( x ) + f ( x )
⇔
=1
2
 x. f ( x ) + 1

(do

x. f ( x ) ≠ −1, ∀x ≠ 0

).


′
−1
−1
⇔
=1⇔
= x+C
 x. f ( x ) + 1 ÷
÷
x. f ( x ) + 1



Do

−1
= C +1 ⇔ 1 = C +1 ⇔ C = 0
f ( 1) + 1

f ( 1) = −2

Do đó

nên
.
−1
−
1
−
x
1 1
= x ⇔ x 2 . f ( x ) + x = −1 ⇔ f ( x ) =
=− 2 −
2
x. f ( x ) + 1
x
x
x
e

∫
Suy ra

1

e

e
1
 1 1
1

f ( x ) dx = ∫  − 2 − ÷dx =  − ln x ÷ = − 2.
x
x
x
1 e
1

Câu 17. (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng
(1; +∞)

( xf ′( x) − 2 f ( x) ) ln x = x3 − f ( x)

và thỏa mãn
thuộc khoảng nào dưới đây?
25 

 27 
 12; ÷
13; ÷
2 
2 



A.
.
B.
.

,

∀x ∈ (1; +∞)

C.

f

; biết

 23

 ;12 ÷.
 2


( e ) = 3e
3

. Giá trị

f (2)

29 


14; ÷
2 

D.
.

Lời giải
Chọn C
x ∈ (1; +∞)
Vì
nên ta có

11


Tích Phân Hàm Ẩn

 x 2 f ′( x) − 2 xf ( x) 
f ( x)
⇔
ln x = 1 − 3

÷
2
4
4
x
x
( x f ′( x) − 2 xf ( x) ) ln x = x − xf ( x) 


f ( x)
f ( x) 
 f ( x) ′
 f ( x) ′

⇒  2 ÷ ln x = 1 − 3 ⇔ ∫  2 ÷ ln xdx = ∫ 1 − 3 ÷dx
x
x 
 x 

 x 
⇔

f ( x ) ln x
f ( x)
f ( x)
− ∫ 3 dx = x − ∫ 3 dx + C
2
x
x
x

⇔

x2 ( x + C )
f ( x) ln x
f ( x) ln x
=
x

+
C
⇔
=
x
+
C
⇔
f
(
x
)
=
x2
x2
ln x

( e ) = 3e ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) = lnx x

.

3

f
Theo bài ra
f (2) =

Do đó

3

8
 23

∈  ;12 ÷.
ln 2  2


Câu 18. Cho hàm số
1
f  ÷= a
2

,

.

f ( x)

 3
f 
÷
÷= b
 2 

có đạo hàm liên tục trên khoảng

( 0;1)

và

f ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( 0;1)
,
. Biết rằng

x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4 ∀x ∈ ( 0;1)
và
,
. Tính tích phân

π
3

sin 2 x.cos x + 2sin 2 x
I=∫
dx
f 2 ( sin x )
π
6

b
và .
3b + a
I=
4ab

theo
3a + b
4ab

I=
A.

.

a

I=
.

B.

3b − a
4ab

C.

I=
.

D
.

3a − b
4ab

.

Lời giải
Chọn D

∀x ∈ ( 0;1)

ta có:
x + xf ′ ( x ) = 2 f ( x ) − 4 ⇔ x + 4 = 2 f ( x ) − xf ′ ( x ) ⇒ x 2 + 4 x = 2 xf ( x ) − x 2 f ′ ( x )

2
x2 + 4 x  x2
x 2 + 4 x 2 xf ( x ) − x f ′ ( x )
⇔ 2
=
⇔ 2
=
f ( x )  f ( x )
f ( x)
f 2 ( x)

π
3

I=∫
Tính

Đặt

π
6

′
÷
÷



.

π
3

sin 2 x.cos x + 2sin 2 x
sin 2 x.cos x + 4sin x.cos x
d
x
=
dx
∫
f 2 ( sin x )
f 2 ( sin x )
π

t = sin x ⇒ dt = cos xdx

6

x=
, đổi cận

π
1
π
3
⇒t =

x = ⇒t =
6
2
3
2
,
.
12


Tích Phân Hàm Ẩn
2

I=

3
2

1
2

Ta có

3
2

t 2 + 4t
t2
d
t

=
f 2 ( t)
f ( t)

∫

 3

÷
2 

=
−
 3
f
÷
 2 

1
2

2

1
 ÷
 2
1
1 3a − b
f ÷ 3
 2  = 4b − 4a = 4ab

f ( x) > 0

Câu 19. (NAM TIỀN HẢI THÁI BÌNH LẦN 1) Cho hàm số
 π
0, 3 

.
có đạo hàm liên tục trên

 f ( x) 
2
f ′′ ( x ) . f ( x ) + 
 =  f ′ ( x ) 
 cos x 
2

, đồng thời thỏa mãn

f ′ ( 0) = 0

;

f ( 0) = 1

và

.Tính

π 

T= f ÷
3

T=
A.

3
4

T=

.

B.

3
4

T=

.

C.

3
2

T=
.

D.

1
2

.

Lời giải
Chọn D
f ′′ ( x ) . f ( x ) −  f ′ ( x ) 
 f ( x) 
2
1
f ′′ ( x ) . f ( x ) + 
=−
 =  f ′ ( x )  ⇔
2
f ( x)
cos 2 x
 cos x 
2

2

Ta có

 f ′ ( x ) ′
f ′( x)
1
⇒

= − tan x + C

 =−
cos 2 x
f ( x)
 f ( x ) 
f ′( x)
Do đó

f ( x)

π
3

∫

= − tan x

0

d ( f ( x) )
f ( x)

. Vì

 f ′ ( 0 ) = 0

 f ( 0 ) = 1

nên

π
3

π
3

0

0

= ∫ − tan x.dx = ∫

. Suy ra
1
π 
π  1
⇔ ln f  ÷− ln f ( 0 ) = ln − ln1 ⇔ f  ÷ =
2
3
3 2

C =0

.

d (cos x )
⇔ ln f ( x )
cos x

π
3
0

π

= ln cos x 03

.

( u ) ′ = 2u′u

u = u ( x)
u > 0.
3) Quy tắc: Nếu
thì
với
 f ( x ) ′ = h ( x )
f ( x ) = ∫ h ( x ) dx.


- Nếu
thì
Câu 20. Cho hàm số

f ( x)

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 0;1]

thỏa mãn

1

f ′ ( x) = 2 f ( x)

,

∀x ∈ [ 0;1]

và

f ( 0 ) = 1.

∫ f ( x ) dx
Giá trị của tích phân

0

bằng

13


Tích Phân Hàm Ẩn

A.

8

.
3

B.

7.

1
.
3

C.

7
.
3

D.

Lời giải
Chọn D
+) Từ giả thiết, ta có
f ′( x) = 2 f ( x) ⇒

f ′( x)

2 f ( x)

=1⇒

(

f ( x)

)′ = 1⇒

f ( x ) = ∫ dx ⇒

1

1

0

0

f ( x) = x + C

f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x ) = ( x + 1) ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) dx =
2

+) Lại có
Câu 21. Cho hàm số

f ( x)

2

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

1
7
3 1
( x + 1) = .
0 3
3

[ 0;1]

f ( 0) = 1

thỏa mãn

và

1

 f ′ ( x )  − 16 x 2 . f ( x ) = 0

x ∈ [ 0;1] .

2

A.

28
.
15

với mọi

8
.
15
B.

I = ∫ f ( x ) dx
0

Giá trị của tích phân
2
− .
3
C.
Lời giải

bằng
4
.
3

D.

Chọn A

 f ′ ( x ) 
 f ′ ( x )  = 16 x . f ( x ) ⇒ 
= 4 x2 ⇒
4 f ( x)
2

2

+)

Từ

giả

thiết,

′
⇒  f ( x)  = 2x ⇒


ta

có

f ( x ) = ∫ 2 xdx ⇒



2

2

+) Lại có
Câu 22. Cho hàm số

0

1

A.

1011
2

,

.

g ( x) = f 2 ( x)

B.

1

1

0

0

xác định, có đạo hàm trên đoạn

x

g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt

1009
2

2 f ( x)

= 2x

f ( x ) = x 2 + C.

f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ f ( x ) = ( x 2 + 1) ⇒ I = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x2 + 1) dx =
y = f ( x) > 0

f ′( x)

∫
. Tính

[ 0;1]

2

28
15

.

và thỏa mãn:

g ( x ) dx

0

.

.

C.

2019
2

.

D.

505

.

Lời giải
Chọn A
x

g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt
Ta có

0

⇒ g ′ ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018 g ( x )

14


Tích Phân Hàm Ẩn
g′( x )

⇒

g ( x)

⇒2

(

g′( x)

t

= 2018 ⇒ ∫

g ( x)

0

t

dx = 2018∫ dx
0

⇒2

(

g ( x)

)

t

t

0

= 2018 x 0
1

1

)

g ( t ) − 1 = 2018t

Câu 23. Cho hàm số

g ( 0 ) = 1 ⇒ g ( t ) = 1009t + 1
(do
)

f ( x)

1011
 1009 2 
g ( t ) dt = 
t +t÷ =
2
 2
0

⇒∫
0

đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn

 f ( x ) + xf ′ ( x )  = 4 f ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 4]

[ 1; 4]

f ( 1) = 1

thỏa mãn

.

và

2

y = f ( x)

S

. Tính diện tích

, trục hồnh và hai đường thẳng
4 − 2 ln 2.
4 + 2 ln 2.
A.
B.

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x = 1, x = 4.
4 + ln 2.

C.

4 − ln 2.

D.

Lời giải
Chọn B

( f ( x ) + xf ′ ( x ) )
( f ( x ) + xf ′ ( x ) ) = 4 f ( x ) ⇒
4 f ( x)

2

2

+) Ta có

⇒

f ( x ) + xf ′ ( x )
2 xf ( x )

⇒ xf ( x ) = ∫

=

4

S =∫
+) Do đó

1

( 3)
A.

0

=

(

1
x

xf ( x )

)′ =

1
x

1
dx ⇒ xf ( x ) = 2 x + C.
x

(2

)

x −1
x

Câu 24. Cho hàm số
f

2

4 xf ( x )

( x ) ′ f ( x ) + xf ′ ( x ) = 1 ⇒ ( xf ( x ) ) ′ = 1 ⇒
1
⇒
x

x
x
2 xf ( x )
2 xf ( x )

f ( 1) = 1 ⇒ C = −1 ⇒ xf ( x ) = 2
+) Lại có

( f ( x ) + xf ′ ( x ) )
= 1⇒

f

2

(2
x −1 ⇒ f ( x ) =

)

x −1
x

2

.

4

4

4
4
4 1

dx = ∫  4 −
+ ÷dx =4 x − 8 x + ln x = 4 + 2 ln 2.
1
1
1
x x
1

f ′ ( x ) x2 + 1 = 2x f ( x ) + 1
f ( x ) > −1 f ( 0 ) = 0
liên tục,
,
và thỏa
. Tính

.
.

B.

3

.

C.

7

.

D.

9

.

Lời giải
Chọn B
f ′ ( x ) x2 + 1 = 2x f ( x ) + 1 ⇔

Ta có

f ′( x)

f ( x) +1

=

2x
x2 + 1

15


Tích Phân Hàm Ẩn
f ′( x)

3

∫

⇔

f ( x) +1

0

⇔

f

3

dx =

∫
0

( 3 ) +1 −

2x
x2 + 1

f ( 0) + 1 = 1 ⇔

Câu 25. Cho hàm số

f ( x) +1

dx ⇔

y = f ( x)

f

3

= x2 +1

0

3
0

( 3) +1 = 2 ⇔ f ( 3) = 3

có đạo hàm liên tục trên đoạn

f ( x) +1

⇔

3
0

=1

.

[ 1; 4]

, đồng biến trên đoạn

[ 1; 4]

và thỏa

4

3
f ( 1) =
2

I = ∫ f ( x ) dx

x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  ∀x ∈ [ 1; 4]
1
mãn đẳng thức
,
. Biết rằng
, tính
?
1186
1174
1222
1201

I=
I=
I=
I=
45
45
45
45
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
f ′( x)
⇒
= x
2
1+ 2 f ( x)
x + 2 x. f ( x ) =  f ′ ( x )  ⇒ x . 1 + 2 f ( x ) = f ′ ( x )
∀x ∈ [ 1; 4]
Ta có
,
.
f ′( x)
df ( x )

∫ 1 + 2 f ( x ) dx = ∫ x dx + C ⇔ ∫ 1 + 2 f ( x ) dx = ∫ xdx + C
Suy ra
2

2

⇒ 1+ 2 f ( x) =
4

2 32
x +C
3

I = ∫ f ( x ) dx =
1

Vậy

f ( 1) =
. Mà

3
4
⇒C =
2
3

.

f ( x ) . f ′ ( x ) = cos x 1 + f 2 ( x )

2

.

1186
45

Câu 26. (LÝ NHÂN TÔNG) Cho hàm số

A.

. Vậy

 2 32 4 
 x + ÷ −1
3
3
f ( x) = 
2

.

với mọi

B.

1

f ( x)

liên tục không âm trên

 π
x ∈  0; 
 2

và

.

f ( 0) = 3
C.

2 2

 π
0; 2 

. Giá trị của

, thỏa mãn

π 
f ÷
2

.

D.

bằng

0

.

Lời giải
Chọn C

Với

 π
x ∈  0; 
 2

Suy ra

f ( x ) . f ′ ( x ) = cos x 1 + f 2 ( x ) ⇒
ta có

1 + f 2 ( x ) = sin x + C

2 f ( x) . f ′( x)
2 1+ f 2 ( x)

= cos x ( *)
.

.

16


Tích Phân Hàm Ẩn

Ta có

f ( x) =

f ( 0) = 3 ⇒ C = 2

( sin x + 2 )

, dẫn đến
eu ′ = u′.eu ;
u = u ( x)
4) Quy tắc: Nếu
thì
′
e f ( x) = g ( x )
e f ( x ) = ∫ g ( x ) dx.
- Nếu
thì

2

π 
f  ÷= 2 2
2

−1
. Vậy

.

( )

(

)

Câu 27. Cho hàm số

f ( x)

[ 0;1]

có đạo hàm liên tục trên đoạn

f ( 0) = 1

thỏa mãn

và

1

f ′ ( x ) .e f ( x ) − x

A.

2

−1

= 2 x, ∀x ∈ [ 0;1]

4
.
3

B.

∫ f ( x ) dx
. Giá trị của

0

bằng

2.

C.

4
− .
3

D.

−2.

Lời giải
Chọn A
f ′ ( x ) .e f ( x ) − x

2

−1

= 2 x ⇒ f ′ ( x ) .e f ( x ) = 2 xe x

2

+1

(

⇒ e f ( x)

) ′ = 2 xe

x 2 +1

+) Ta có
2
2
⇒ e f ( x ) = ∫ 2 xe x +1dx ⇒ e f ( x ) = e x +1 + C.
+) Lại có

f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ e f ( x) = e x
1

+1

⇒ f ( x ) = x 2 + 1.

1
1
1 4
f ( x ) dx = ∫ ( x 2 + 1) dx =  x 3 + x ÷ = .
3
0 3
0

∫
+) Do vậy

2

0

Câu 28. (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho
3 f ′ ( x ) .e f

3

( x ) − x 2 −1

−

và thỏa mãn

2x
=0
f ( x)
2

với mọi

x∈¡

. Biết

f ( 0) = 1

f ( x)

có đạo hàm trên

¡

, tính tích phân

7

I=

∫ x. f ( x ) dx

0

.
I=

A.

9
2

I=
.

B.

45
8

I=
.

C.

11
2

I=
.

D.

15
4

.

Lời giải
Chọn B

17


Tích Phân Hàm Ẩn
3 f ′ ( x ) .e
Ta

f 3 ( x ) − x 2 −1

có

(

3

⇔ ef

Thế

( x)

)′ = ( e )′ ⇔ e
x 2 +1

x=0
e

vào

f 3 ( x)

( *)

=e

x 2 +1

ta được
⇔ f

Do đó
7

I=

∫

x 3 x 2 + 1 dx =

0

Vậy
3
45
= . ( 16 − 1) =
8
8

3

f3 x

= ex

+1

+ C ( *)

.

e = e+C ⇔ C = 0

( x) = x

1
2

2

7

∫(
0

2

.

+ 1 ⇔ f ( x ) = 3 x2 + 1

(

.

)

1
1 x +1
x2 + 1 3 d x2 + 1 = .
4
2
3

) (

)

2

7

4
3

0

3
= x2 + 1
8

(

)

7
3

x +1
2

0

.

Câu 29. Cho hàm số

(

f 3 ( x)

e ( )

2x
2x
− 2
= 0 ⇔ 3 f ′ ( x ) . x2 +1 = 2
3
2
f ( x ) ⇔ 3 f 2 ( x ) . f ′ ( x ) .e f ( x ) = 2 x.e x +1
f ( x)
e

f ( x)

)

có đạo hàm liên tục trên

¡

thỏa mãn

f ( 0) = 0

và

f ′ ( x ) 1 + e f ( x ) = 1 + e x , ∀x ∈ ¡ .

hồnh và hai đường thẳng
4.
A.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x = 1, x = 3.
B.

2.

C.

8.

D.

y = f ( x)

, trục

5.

Lời giải
Chọn A

(

)

′
f ′ ( x ) 1 + e f ( x ) = 1 + e x ⇒ f ′ ( x ) + f ′ ( x ) e f ( x ) = 1 + e x ⇒  f ( x ) + e f ( x )  = 1 + e x

+) Ta có
⇒ f ( x ) + e f ( x ) = x + e x + C.

+) Lại có

f ( 0) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) + e f ( x) = x + e x .

Xét hàm số

Suy ra

g ( t ) = t + et

với

t
t ∈ ¡ . g ′ ( t ) = 1 + e > 0, ∀t ∈ ¡

f ( x ) + e f ( x ) = x + e x ⇒ f ( x ) = x.

Do đó

g ( t)
¡.
nên
đồng biến trên
3
1 3
S = ∫ xdx = x 2 = 4.
2 1
1

18

Tích Phân Hàm Ẩn
y = f ( x)

Câu 30. (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số

mãn

3 f 2 ( x ). f '( x) − 4 xe − f

3

2

( x )+ 2 x + x +1

T = a − 3b
giản. Tính
T = 6123.
A.

B.

= 1 = f (0).

I=

−1+ 4089
4

∫

(4 x + 1) f ( x)dx =

0

Biết rằng

T = 12279.

liên tục và có đạo hàm trên

C.

¡

thỏa

a
b
là phân số tối

T = 6125.

D.

T = 12273.

Lời giải

Chọn D
Ta có:
3
2
3
3
2
2
3 f 2 ( x). f '( x) − 4 xe − f ( x ) + 2 x + x +1 = 1 = f (0) ⇔ ( f 3 ( x)) ' e f ( x ) − e f ( x ) = (4 x + 1).e2 x + x +1 − e 2 x + x+1

⇒  f 3 ( x ) − x ′ e f
Mà

3

( x) −x

= 2 x 2 + 1 ′ .e 2 x

(

)

2

+1

⇒ ef

3

( x) −x

= e2 x

2

+1

+C

f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f 3 ( x ) − x = 2 x2 + 1

⇒ f 3 ( x ) = 2 x 2 + x + 1 ⇒ f ( x) = 3 2 x 2 + x + 1
⇒I=

−1+ 4089
4

∫

(4 x + 1) f ( x)dx =

0

.

5) Quy tắc: Nếu
- Nếu

u = u ( x)

ln ( f ( x ) ) ′ = g ( x )



Câu 31. Cho hàm số
và

f '( x) + 2 f ( x) = 0

A.

f ( −1) = e

12285
4

nhận giá trị dương trên
thì

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

f ( 1) = 1

−2

.

thì

u′
u

trên

K.

ln ( f ( x ) ) = ∫ g ( x ) dx.

y = f ( x)

. Biết

K

[ ln u ] ′ =

B.

f ( −1)

, tính
f ( −1) = e3

.

.

C.

[ −1;1]

f ( −1) = e 4

, thỏa mãn

.

f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡

D.

f ( −1) = 3

.

Lời giải
Chọn C
Biến đổi:

f '( x) + 2 f ( x) = 0 ⇔
ln

f ( 1)

f ( −1)

= −4 ⇔

f '( x)
f ( x)

f ( 1)

f ( −1)

1

= −2 ⇔

f '( x)

∫ f ( x)

−1

1

dx = ∫ −2dx ⇔
−1

1

df ( x )

∫ f ( x)

= −4 ⇔ ln f ( x )

1
−1

= −4

−1

= e −4 ⇔ f ( −1) = f ( 1) .e 4 = e 4
.

19


Tích Phân Hàm Ẩn

Câu 32. Cho hàm số

nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên

[ 0; +∞ )

thỏa mãn điều kiện

f ( x ) = f ′ ( x ) 3 x + 1, ∀x ≥ 0.

f ( 1) = 1

A.

f ( x)

và
1 < f ( 5 ) < 2.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2 < f ( 5 ) < 3.
4 < f ( 5 ) < 5.
B.
C.
Lời giải

Chọn D
f ( x ) = f ′ ( x ) 3x + 1 ⇒

f ′( x)
f ( x)

=

+) Từ giải thiết, ta có
1
2
⇒ ln f ( x ) = ∫
dx ⇒ ln f ( x ) =
3 x + 1 + C.
3
3x + 1
f ( 1) = 1 ⇒ C = −

+) Lại có

Câu 33. Cho hàm số

D.

3 < f ( 5 ) < 4.

1
1
⇒  ln f ( x ) ′ =
3x + 1
3x + 1

4
4
2 3x + 1 − 4
⇒ ln f ( x ) =
⇒ f ( 5) = e 3 ≈ 3, 79.
3
3

f ( x)

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 0;1]

thỏa mãn

f ( 0) = 0

và

1

f ′ ( x ) = 2 x 1 + f ( x )  , ∀x ∈ ¡ .

A.

e − 2.

B.

∫ 2xf ( x ) dx
Giá trị của
e − 1.

0

bằng
e + 2.
C.

D.

e.

Lời giải
Chọn A

1 + f ( x ) ′

= 2x ⇒ 
= 2 x ⇒  ln ( 1 + f ( x ) ) ′ = 2 x
1+ f ( x)
1+ f ( x)
f ′( x)

+) Từ giải thiết, ta có
⇒ ln 1 + f ( x )  = ∫ 2 xdx ⇒ ln 1 + f ( x )  = x 2 + C.

f ( 0 ) = 0 ⇒ C = 0 ⇒ ln 1 + f ( x )  = x 2 ⇒ 1 + f ( x ) = e x ⇒ f ( x ) = e x − 1.
2

+) Lại có
1

1

(

)

x
x
∫ 2 xf ( x ) dx = ∫ 2 x e − 1 dx = e

+) Vậy

0

0

Câu 34. Cho hàm số

f ( 1) = 1

f ′( x) =
và

đồ thị của hàm số

f ( x)

2

1
0

− x2

1
0

= e − 2.

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn

1
f ( x ) , ∀x ∈ [ 1; 2] .
x

y = f ( x)

2

2

[ 1; 2]

thỏa mãn điều kiện

Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi

, trục hồnh và hai đường thẳng

x = 1, x = 2

quay quanh trục hoành.

20


Tích Phân Hàm Ẩn

7π .

A.

7π
.
3

B.

C.

5π
.
3

D.

3π .

Lời giải
Chọn B
f ′( x) =

f ′( x) 1
1
1
f ( x) ⇒
= ⇒  ln f ( x ) ′ =
x
f ( x) x
x

+) Từ giả thiết, ta có
1
⇒ ln f ( x ) = ∫ dx ⇒ ln f ( x ) = ln x + C.
x

2

2

1

1

f ( 1) = 1 ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = x ⇒ V = π ∫ f 2 ( x ) dx = π ∫ x 2 dx =
+) Lại có

Câu 35. (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hàm số

f ′ ( x ) + 2 x. f ( x ) = e x f ( x )

e +1

A.

với

.

f ( x ) ≠ 0,∀x

B.

e

f ( 0) = 1

và

. Khi đó
e −1
C.
.

e−2

.

f ( 1)

π x 3 2 7π
=
.
3 1
3
f ( x)

thỏa mãn

bằng
D.

ee +1

.

Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết:

f ′ ( x ) + 2 x. f ( x ) = e x f ( x )

(

f ′( x) = f ( x) e − 2x

⇒∫

Mà

f ′( x)
f ( x)

x

)

⇒

(

f ′( x)
f ( x)

)

dx = ∫ e x − 2 x dx

f ( 0) = 1

nên

, ta có

= ex − 2x
(vì

f ( x ) ≠ 0, ∀x

)

⇒ ln f ( x ) = e x − x 2 + C

.
ln f ( x ) = e x − x 2 − 1

C = −1

. Khi đó, ta được:
ln f ( 1) = e − 2 ⇒ f ( 1) = ee − 2

x =1
Thế
, ta có:
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

.

.

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1:
b

b

∫ u '( x). f [ u( x)] .dx
Cho

a

∫ f ( x).dx
, tính

a

b

∫ f ( x).dx
a

b

∫ u '( x). f [ u( x)] .dx
a

. Hoặc cho
, tính
.
t = u ( x)
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến
và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì
khơng phụ thuộc vào biến số.
4

2

∫ f ( x ) dx = 16
Câu 36. Cho

0

∫ f ( 2 x ) dx
. Tính

0

21


Tích Phân Hàm Ẩn
A.

16

.

4

B.

.

C.

32

.

D.

8

.

Lời giải
Chọn D
2

∫ f ( 2 x ) dx
0

Xét tích phân

. Đặt

2

4

1

1

1
dt
2

x=0

. Khi

0

0

2

∫
Câu 37. Cho

I =1

0

1

I =∫

I =2

B.

; khi

x=2

thì

t=4

.

.

( x ) dx
x

1

. Tính

.

f

4

f ( x ) dx = 2

t=0

thì

4

∫ f ( 2 x ) dx = 2 ∫ f ( t ) dt = 2 ∫ f ( x ) dx = 12 .16 = 8

Do đó

A.

2x = t

⇒ dx =

bằng

.

C.

I =4

I=
.

D.

1
2

.

Lời giải
Chọn C

t = x ⇒ dt =
Đặt
4

I =∫

f

( x ) dx =
x

1

1
2 x

dx
; đổi cận:

2

2

1

1

x =1⇒ t =1 x = 4 ⇒ t = 2
,

∫ f ( t ) 2dt = 2∫ f ( t ) dt = 2.2 = 4
.
f

16

Câu 38. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

¡

∫

thỏa mãn

( ) dx = 6

x

1

π
2

x

∫ f ( sin x ) cos xdx = 3

và

0

. Tính

4

I = ∫ f ( x ) dx
tích phân
I = −2
A.
.

0

.
B.

I =6

.

C.

I =9

.

D.

I =2

.

Lời giải
Chọn B
16

I=∫
1

•Xét

Đổi cận:

f

( x ) dx = 6

x

x =t⇒
, đặt

dx
= dt
2 x

x = 1 ⇒ t = 1 x = 16 ⇒ t = 4
;
nên

4

4

1

1

I = 2∫ f ( t ) dt = 6 ⇒ ∫ f ( t ) dt =

6
=3
2
.

π
2

J = ∫ f ( sin x ) cos xdx = 3

•

0

, đặt

sin x = u ⇒ cos xdx = du

22


Tích Phân Hàm Ẩn
1

π
x = ⇒ u = 1 ⇒ J = ∫ f ( u ) du = 3
x =0⇒u =0
0
2
Đổi cận:
;
4

1

4

0

0

1

I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 3 = 6
Vậy

.
1

Câu 39. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

∫

¡

thỏa

2

f ( 2 x ) dx = 2

0

∫ f ( 6 x ) dx = 14
và

0

. Tính

2

∫ f ( 5 x + 2) dx

−2

.
A.

30

.

B.

32

.

C.

34

.

D.

36

.

Lời giải
Chọn B
1

∫ f ( 2 x ) dx = 2
+ Xét

u = 2 x ⇒ du = 2dx x = 0 ⇒ u = 0 x = 1 ⇒ u = 2
. Đặt
;
;
.
2
2
1
f ( 2 x ) dx = ∫ f ( u ) du ⇒ ∫ f ( u ) du = 4
20
0
.

0

1

2=∫
0

Nên
2

∫ f ( 6 x ) dx = 14
+ Xét

0

2

14 = ∫
0

Nên
2

∫

+ Xét

−2

v = 6 x ⇒ dv = 6dx x = 0 ⇒ v = 0 x = 2 ⇒ v = 12
. Đặt
;

;
.
12
12
1
f ( 6 x ) dx = ∫ f ( v ) dv ⇒ ∫ f ( v ) dv = 84
60
0
.

f ( 5 x + 2 ) dx =

0

∫

−2

2

f ( 5 x + 2 ) dx + ∫ f ( 5 x + 2 ) dx
0

.

0

I1 =

∫ f ( 5 x + 2 ) dx

−2

* Tính
.
t =5 x +2
−2 < x < 0 t = −5 x + 2 ⇒ dt = −5dx x = −2 ⇒ t = 12 x = 0 ⇒ t = 2
Đặt
.Khi
,
;
;
.
12
2
2

1
−1
=  ∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt  = 1 ( 84 − 4 ) = 16
I1 =
f
t
d
t
(
)
5 0
5 12∫
0

 5
.
2

I1 = ∫ f ( 5 x + 2 ) dx
0

* Tính
.
t =5 x +2
0 < x < 2 t = 5 x + 2 ⇒ dt = 5dx x = 2 ⇒ t = 12 x = 0 ⇒ t = 2
Đặt
.Khi
,
;
;
.
23


Tích Phân Hàm Ẩn
12
2
12

1
1
=
f
t

d
t
−
f ( t ) dt  = 1 ( 84 − 4 ) = 16
(
)
I 2 = ∫ f ( t ) dt
∫
∫
5 0
52
0
 5

.

2

∫ f ( 5 x + 2 ) dx = 32

−2

Vậy

.

Hoặc: Do hàm

f ( 5 x + 2)

2

0

−2

−2

∫ f ( 5 x + 2 ) dx = 2 ∫ f ( 5 x + 2 ) dx = 2.16 = 32

là hàm số chẵn nên

.
2

I = ∫ f ( x ) dx = 2
1

Câu 40. (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi) Cho
π
2

J =∫

sin x. f

(

3cos x + 1

3cos x + 1

0

. Giá trị của

) dx
bằng
−

A. 2.

B.

4
3

.

4
3

C.

.

D.

−2

.

Lời giải
Chọn C

t = 3cos x + 1 ⇒ dt =
Đặt

−3sin x
dx
2 3cos x + 1

.
π
x = ⇒ t =1
x =0⇒t =2
2
Đổi cận:
;
.
1
2
2
2
2
2
2
4
J = ∫ − f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = .2 =
3

3
31
3
3
2
1
Khi đó:
.

Câu 41. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên đoạn

[ 1; 4]

f ( x) =

(

) + ln x

f 2 x −1
x

và thỏa mãn

x

. Tính tích

4

I = ∫ f ( x ) dx
3

phân

.
I = 3 + 2 ln 2
A.
.

I = 2 ln 2 2

2

B.

.

I = ln 2 2

C.

.

D.

I = 2 ln 2

.

Lời giải
Chọn B
4

∫
Ta có

1

(

)


4  f 2 x −1
ln x 
4 f 2 x −1
4
ln x
= ∫
+
dx
f ( x ) dx 1 
=
d
x

+
dx
x 
x
∫
∫
x
x


1
1

(

)

.

24


Tích Phân Hàm Ẩn

(

x

1

Xét

) dx

f 2 x −1

4

K =∫

.
3

3

t + 1 ⇒ dx = dt ⇒ K = f ( t ) dt = f ( x ) dx
⇒ x=
∫1
∫1
2 x −1 = t
x
2
Đặt
.
.
4

4

Xét

4
ln 2 x
ln x
=
M =∫
dx = ∫ ln xd ( ln x ) =
2 1 2 ln 2 2
x
1
1
4

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + 2 ln
Do đó

1

1

1

Câu 42. Cho
A. 26 .

2

2
2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 2 ln 2
3

π
2

.

∫ (

f ( 2 x + 1) dx = 12

∫

3

)

f sin 2 x sin 2 xdx = 3

và 0
B. 22 .

0

.

4

3

. Tính

C. 27 .

∫ f ( x ) dx
0

.
D. 15 .

Lời giải
Chọn C
3

3

3

3

1
 t −1  1
⇒ 12 = ∫ f ( t ) d 
÷ = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = 24
21
 2  21
1
1
Đặt 2 x + 1 = t
.
π
2

π
2

∫ f ( sin x ) sin 2 xdx = ∫ f ( sin x ) .2sin x cos xdx = ∫ 2sin x. f ( sin x ) d ( sin x )

Ta có
π
2

π
2

2

0

2

0

(

) (

)

2

0

1

1

= ∫ f sin 2 x d sin 2 x = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx = 3
0

0

0

3

1

3

0

0

1

⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 + 24 = 27

.
3

Câu 43. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡

và thỏa mãn

f ( 4 − x) = f ( x)

∫ xf ( x ) dx = 5
. Biết

1

.

3

I = ∫ f ( x ) dx
1

Tính
I=
A.

5
2

.
I=
.

B.

7
2

I=
.

C.

9
2

I=
.

D.

11
2

.

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh

25