Định lý giá trị trung bình lagrange một số mở rộng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HỒ THÚY NGA

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE:
MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HỒ THÚY NGA

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE:
MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

Người hướng dẫn: TS. HUỲNH MINH HIỀN

Bình Định - 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trên bất kì
cơng trình nào.

Bình Định, tháng 8 năm 2020
Tác giả

Hồ Thúy Nga


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới TS. Huỳnh Minh Hiền người đã tận tình hướng dẫn, đánh giá, chỉ
bảo, tận tình giúp đỡ tơi trong q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành
luận văn này.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các
thầy cơ giáo trong khoa Tốn và Thống kê, Phịng sau Đại học trường Đại học
Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn
khóa 21.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cùng các
anh chị trong lớp Cao học Tốn K21 đã giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, vì kiến thức cịn hạn chế nên dù rất cố gắng nhưng chắc chắn
luận văn cịn nhiều thiếu sót. Kính mong q thầy cơ đóng góp ý kiến để luận
văn hồn chỉnh hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Bình Định, tháng 8 năm 2020
Tác giả

Hồ Thúy Nga


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Một số định lý giá trị trung bình cổ điển

v
1

1.1

Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Định lý giá trị trung bình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Định lý giá trị trung bình Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Một số mở rộng của Định lý giá trị trung bình Lagrange
2.1

7

Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực một biến . . . . . . . .

7

2.1.1

Định lý giá trị trung bình Flett . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Định lý giá trị trung bình Trahan . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2

Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực hai biến . . . . . . . . 12

2.3

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ một biến thực . . 16

2.4

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ hai biến thực . . 18

2.5

Định lý giá trị trung bình cho hàm trên mặt phẳng phức . . . . . 23

3 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange trong giải tốn
phổ thơng
31
3.1

3.2

3.3

Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . 34
3.2.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iii


3.4

3.5

3.6

3.3.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tìm giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.1

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Một số bài toán ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange
trong các kỳ thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iv


Mở đầu
Định lý giá trị trung bình là một định lý quan trọng và có nhiều ứng dụng
trong Giải tích tốn học. Trong chương trình tốn học phổ thơng, định lý giá
trị trung bình được ứng dụng và khai thác khá nhiều trong các kì thi Olympic
và chọn học sinh giỏi, chẳng hạn như chứng minh bất đẳng thức, chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình, giải phương trình, tính giới hạn dãy số,....Tuy
nhiên trong chương trình tốn phổ thơng cũng như chương trình đại học, hầu
như chỉ được giới thiệu các định lý giá trị trung bình cho hàm số thực một biến,
mình cần tìm hiểu cho các hàm tổng quát hơn như hàm số thực 2 biến, hàm giá
trị véctơ 1 biến thực, hàm giá trị véctơ 2 biến thực, hàm trên mặt phẳng phức
và nghiên cứu sâu về các ứng dụng cũng như các dạng mở rộng của các định lý
này.
Với suy nghĩ đó, mục tiêu chính của luận văn là nhằm cung cấp thêm cho
cho các em học sinh, sinh viên, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi, có năng
khiếu và u thích mơn tốn, một tài liệu, ngồi những kiến thức cơ bản cịn có
thêm những kiến thức và một số bài tập nâng cao, qua đó sẽ thấy rõ hơn các

dạng toán ứng dụng rất phong phú của Định lý Rolle, Định lý Lagrange và một
số định lý mở rộng khác. Hơn nữa, luận văn cũng định hướng phương pháp giải
cho từng dạng tốn cụ thể.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày một số định lý giá trị
trung bình cổ điển là Rolle, Lagrange, Cauchy. Chương 2 trình bày một số mở
rộng của Định lý giá trị trung bình Lagrange cho hàm số thực 1 biến, hàm số
thực 2 biến, hàm giá trị véctơ 1 biến thực, hàm giá trị véctơ 2 biến thực và hàm
trên mặt phẳng phức. Chương cuối cùng trình bày một số ví dụ và các bài tốn
thi học sinh giỏi về ứng dụng của Định lý giá trị trung bình Lagrange.
Bình Định, tháng 8 năm 2020
Tác giả

v


Chương 1

Một số định lý giá trị trung bình
cổ điển
Một trong các định lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là Định lý
giá trị trung bình Lagrange. Định lý này lần đầu tiên được khám phá bởi Joseph
Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc sử dụng Định lý Rolle vào
một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy
nhiên, phát biểu đầu tiên của định lý được đưa ra trong bài báo của nhà vật
lý nổi tiếng André-Marie Ampére (1775-1836). Định lý Rolle được Michel Rolle
(1652-1719) đưa ra năm 1690, chứng minh năm 1691. Sau đây là 3 định lý giá
trị trung bình cho hàm số thực 1 biến.

1.1

Định lý Rolle

Chứng minh của Định lý Rolle dựa vào hai kết quả sau đây.
Bổ đề 1.1 ([5]). Nếu một hàm f : [a, b] → R, khả vi và đạt cực trị tại một điểm
c thuộc một khoảng mở (a, b), khi đó f (c) = 0.
Chứng minh. Giả sử hàm số f : [a, b] → R đạt giá trị cực đại tại điểm c ∈ (a, b),
tức là f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ (a, b).
Vì c ∈ (a, b) nên ta có thể chọn hai dãy số {pn }n≥1 ⊂ (a, b) và {qn }n≥1 ⊂ (a, b)
sao cho khi n → ∞ thì pn → c, qn → c và pn ≤ c, qn ≥ c, ∀n ≥ 1.
Vì c là điểm cực đại của hàm số f trên (a, b) cho nên với mọi n, f (pn )−f (c) ≤ 0
và f (qn ) − f (c) ≤ 0. Do đó với mọi n ≥ 1, ta có
f (pn ) − f (c)
≥0
pn − c

và

1

f (qn ) − f (c)
≤ 0.
qn − c


Theo giả thiết, f khả vi tại c, tức là tồn tại giới hạn sau
f (x) − f (c)
= f (c).
x→c
x−c

lim

Do đó
0 ≤ lim

n→∞

f (qn ) − f (c)
f (pn ) − f (c)
= f (c) = lim
≤ 0.
n→∞
pn − c
qn − c

Vậy f (c) = 0.
Thực hiện tương tự với trường hợp hàm số f đạt cực tiểu tại điểm c ∈ (a, b)
ta cũng thu được f (c) = 0.
Bổ đề đã được chứng minh.

Bổ đề 1.2 ([5]). Nếu một hàm số f : [a, b] → R liên tục thì f đạt cực trị trên
đoạn [a, b].
Chứng minh. Đặt M = sup {f (x), x ∈ [a, b]}. Vậy với mỗi n ≥ 1, n ∈ N, luôn
tồn tại một điểm cn ∈ [a, b] sao cho |M − f (cn )| < 1/n. Vì dãy {cn }n≥1 ⊂ [a, b]
nên theo Định lý Bolzano-Weierstrass, tồn tại một dãy con {cnk }k≥1 hội tụ, đặt
lim cnk = d. Vì f là hàm liên tục trên đoạn [a, b], do đó f (cnk ) → f (d) khi k → ∞.
k→∞

Mặt khác, vì |M − f (cnk )| < 1/nk , ∀k ≥ 1, do đó
M = lim f (cnk ) = f (d).

k→∞

Vậy hàm số f đạt giá trị cực đại trên đoạn [a, b] và giá trị cực đại là M . Tương
tự, đặt N = inf {f (x), x ∈ [a, b]}, khi đó f đạt cực tiểu trên [a, b] và giá trị cực
tiểu là N .
Bổ đề đã được chứng minh.
Định lý 1.1 (Rolle,[5]). Nếu hàm số f liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và
f (a) = f (b) thì tồn tại điểm η ∈ (a, b) sao cho f (η) = 0.
Chứng minh. Vì f liên tục trên [a, b], theo Bổ đề 1.2 f đạt cực đại và cực tiểu
trên [a, b].
Nếu cả hai giá trị này cùng đạt tại các điểm a, b thì giá trị cực đại và giá trị
cực tiểu bằng nhau. Do đó f là hàm hằng. Suy ra f (η) = 0 với mọi η ∈ (a, b) .
Nếu f đạt cực trị tại một điểm η ∈ (a, b) và theo Bổ đề 1.1 thì f (η) = 0.
2


Ví dụ 1.1. Xét hàm số f (x) = x2 − 4x + 3 liên tục trên đoạn [1, 3], khả vi trên
khoảng (1, 3) và có đạo hàm
f (x) = 2x − 4, ∀x ∈ [1, 3].

Ta có f (1) = f (3) = 0. Rõ ràng, 2 ∈ (1, 3) và
f (2) = 0.

Ý nghĩa hình học: Định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học như
sau: Nếu có một đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị của hàm f tại hai điểm thì
có một tiếp tuyến nằm ngang của đồ thị tại một điểm nằm giữa hai giao điểm
của đồ thị và đường thẳng đã cho.

Hình 1.1: Biểu diễn hình học của Định lý Rolle.

1.2

Định lý giá trị trung bình Lagrange

Định lý 1.2 (Lagrange,[5]). Nếu f : [a, b] → R là một hàm số liên tục trên đoạn
[a, b], khả vi trong khoảng (a, b), khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho
f (a) − f (b)
= f (η) .
a−b

3


Chứng minh. Xét hàm số
g (x) = f (x) −

f (b) − f (a)
(x − a) − f (a) , ∀x ∈ [a, b].
b−a

Vì f liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) nên g cũng vậy.
Mặt khác g (a) = g (b) = 0, theo Định lý Rolle tồn tại một điểm η ∈ (a, b), khi
đó
0 = g (η) = f (η) −

f (b) − f (a)
.
b−a

Vậy

f (a) − f (b)
= f (η) .
a−b

Ví dụ 1.2. Xét hàm số f (x) = sin x liên tục trên đoạn
và có đạo hàm f (x) = cos x, ∀x ∈ π4 , 3π
4 .
Ta có
π
f
4

Rõ ràng,

π
2

∈

π 3π
4, 4

3π
4

=f

π 3π
4, 4

, khả vi trên

π 3π
4, 4

√
=

2
.
2

và
f

3π
4
3π
4

−f
−

π
4

π
4

=f

π
.
2

Ý nghĩa hình học: Nếu cát tuyến của đồ thị hàm số f cắt đồ thị hàm số
tại hai điểm (a, f (a)), (b, f (b)) thì tồn tại một tiếp tuyến tại một điểm nằm giữa
hai giao điểm đó và song song với cát tuyến đã cho.

4


Hình 1.2: Biểu diễn hình học của Định lý giá trị trung bình Lagrange.

1.3

Định lý giá trị trung bình Cauchy

Năm 1823, nhà Toán học người Pháp Augustine-Louis Cauchy (1789-1857)
đã đưa ra tổng quát sau đây của định lý giá trị trung bình mang tên ơng.
Định lý 1.3 (Cauchy,[5]). Với mọi hàm số thực f : [a, b] → R và g : [a, b] → R
liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) với a < b, tồn tại một điểm η ∈ (a, b)sao cho
[f (a) − f (b)] g (η) = [g (a) − g (b)] f (η) .

Chứng minh. Với mỗi x ∈ [a, b], đặt h(x) = [f (a) − f (b)]g(x) − [g(a) − g(b)]f (x).
Khi đó h khả vi trên (a, b), ta có
h(a) = f (b)g(a) − g(b)f (a) = h(b).

Theo Định lý Rolle tồn tại một điểm η ∈ (a, b), do đó
0 = h (η) = [f (a) − f (b)]g (η) − [g(a) − g(b)]f (η),

Vậy
[f (a) − f (b)] g (η) = [g (a) − g (b)] f (η) .

5


Nhận xét 1.1. Xét hai hàm số f (x) = x4 và g(x) = x2 trên [1, 3]. Khi đó đạo
hàm của các hàm số f và g là
f (x) = 4x3 , g (x) = 2x.

Ta có

và

√

f (1) − f (3)
1 − 34
=
= 10.
g(1) − g(3)
1 − 32

5 ∈ (1, 3) thỏa
√
√
f ( 5)
4( 5)3
f (1) − f (3)

√ = √ = 10 =
.
g(1) − g(3)
g ( 5)
2 5

6


Chương 2

Một số mở rộng của Định lý giá trị
trung bình Lagrange
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số mở rộng của Định lý giá trị
trung bình Lagrange. Trong phần một, định lý giá trị trung bình cho hàm số
thực 1 biến, chúng tơi trình bày các định lý giá trị trung bình do Flett đưa ra
năm 1958 và Trahan đưa ra năm 1966. Trong phần hai, chúng tôi trình bày một
số mở rộng của Định lý giá trị trung bình Lagrange và Định lý giá trị trung bình
Flett cho các hàm số thực 2 biến. Phần ba trình bày các định lý giá trị trung
bình cho các hàm giá trị vectơ 1 biến thực và một số kết quả được đưa ra bởi
Sanderson năm 1972 và McLeod năm 1964. Phần bốn đề cập đến các mở rộng
khác nhau của định lý giá trị trung bình cho các hàm giá trị vectơ 2 biến thực.
Chúng tơi cũng trình bày một số kết quả do Furi và Martelli đưa ra 1995 và
kiểm tra một số hệ quả để minh họa tính tổng quát và đơn giản kết quả của họ.
Trong phần năm, chúng tôi thảo luận những mở rộng về định lý giá trị trung
bình cho các hàm trên mặt phẳng phức.

2.1

Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực một

biến

2.1.1

Định lý giá trị trung bình Flett

Định lý 2.1 (Flett,[5]). Cho f : [a, b] → R khả vi trên [a, b] và f (a) = f (b). Khi
đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho
f (η) − f (a) = (η − a)f (η).

Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt, giả sử rằng f (a) = f (b) = 0. Nếu chúng
7


khơng bằng 0 thì ta làm việc với hàm f (x) − xf (a). Xét hàm số g : [a, b] → R
được xác định bởi


 f (x)−f (a) nếu x ∈ (a, b],
x−a
g(x) =

nếu x = a.


f (a)

Rõ ràng g liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b]. Hơn nữa, ta có
g (x) = −

f (x) − f (a) f (x)
,
+
(x − a)2
x−a

khi đó
g (x) = −

g(x)
f (x)
+
(x − a) x − a

với mọi x ∈ (a, b]. Vậy để chứng minh định lý chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại
một điểm η ∈ (a, b) sao cho g (η) = 0.
Ta thấy g(a) = 0. Nếu g(b) = 0 thì theo Định lý Rolle tồn tại một điểm
η ∈ (a, b) sao cho g (η) = 0. Nếu g(b) = 0 thì g(b) > 0 hoặc g(b) < 0.
Giả sử g(b) > 0, ta có
g (b) = −

g(b)
< 0.
b−a

Suy ra tồn tại một điểm x1 ∈ (a, b) sao cho
g(x1 ) > g(b).

Từ đó ta có g(a) < g(b) < g(x1 ) và g liên tục nên tồn tại một điểm trung gian
x0 ∈ (a, x1 ) sao cho g(x0 ) = g(b). Áp dụng Định lý Rolle cho hàm g trên đoạn

[x0 , b], tồn tại η1 ∈ (x0 , b) thỏa g(η1 ) = 0.
Tương tự, với trường hợp g(b) < 0, ta có
g (b) = −

g(b)
> 0.
b−a

Vì g liên tục nên tồn tại một điểm x3 ∈ (a, b) sao cho
g(x3 ) < g(b).

Từ đó ta có g(x3 ) < g(b) < g(a) và g liên tục nên tồn tại một điểm trung gian
x2 ∈ (a, x3 ) sao cho g(x2 ) = g(b). Áp đụng Định lý Rolle cho hàm g trên đoạn
[x2 , b], tồn tại η2 ∈ (x2 , b) thỏa g (η2 ) = 0.
Ví dụ 2.1. Xét hàm số f (x) = x3 − 3x, a = −1, b = 1, f (−1) = f (1) = 0. Tồn tại
c = 1/2 thuộc (−1, 1) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) tại điểm (c, f (c))
cũng đi qua điểm (−1, 3).
8


Ý nghĩa hình học: Nếu đường cong trơn y = f (x) có tiếp tuyến tại x = a
và x = b là song song, tồn tại một điểm trung gian η sao cho tiếp tuyến tại đó
đi qua điểm a.

Hình 2.1: Biểu diễn hình học của Định lý giá trị trung bình Flett.

Sau đây là một kết quả tổng quát của định lý trên, bỏ đi giả thiết f (a) = f (b).
Định lý 2.2 ([5]). Giả sử f : [a, b] → R là hàm khả vi. Khi đó tồn tại một điểm
η ∈ (a, b) sao cho
f (η) − f (a) = (η − a)f (η) −

1 f (b) − f (a)
(η − a)2 .
2
b−a

Chứng minh. Định nghĩa một hàm phụ φ : [a, b] → R xác định bởi
φ(x) = f (x) −

1 f (b) − f (a)
(x − a)2 .
2
b−a

Vì f khả vi trên [a, b] nên φ khả vi trên [a, b] và
φ (x) = f (x) −

f (b) − f (a)
(x − a).
b−a

Khi đó φ (a) = φ (b) = f (a). Áp dụng Định lý giá trị trung bình Flett cho hàm
φ, ta được
φ(η) − φ(a) = (η − a)φ (η)

với η ∈ (a, b) nào đó. Sử dụng định nghĩa hàm φ, ta có
f (η) − f (a) = (η − a)f (η) −

Định lý đã được chứng minh.
9

1 f (b) − f (a)
(η − a)2 .
2
b−a


Hàm phụ φ được sử dụng ở định lý trên có được bằng cách xét hiệu của f (x)
và một xấp xỉ bậc hai, A + B(x − a) + C(x − a)2 , của f (x) và áp đặt điều kiện
biên cho đạo hàm của hàm φ, cụ thể là φ (a) = φ (b). Từ điều kiện biên của hàm
(a)
φ suy ra C = 21 f (b)−f
. Các hằng số A và B là tùy ý và để thuận tiện chúng
b−a
tôi chọn chúng bằng 0.

2.1.2

Định lý giá trị trung bình Trahan

Trong phần này, chúng tơi sẽ trình bày một mở rộng của Định lý Flett do
D.H. Trahan đưa ra năm 1966. Để chứng minh kết quả đó, chúng ta cần hai bổ
đề sau.
Bổ đề 2.1 ([5]). Cho f : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b] và
[f (b) − f (a)]f (b) ≤ 0. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b] sao cho f (η) = 0.
Chứng minh. Trường hợp 1: Nếu f (b) = f (a) thì theo Định lý Rolle, tồn tại
η ∈ (a, b) sao cho f (η) = 0. Nếu f (b) = 0, đặt η = b ta được f (η) = 0.
Trường hợp 2: Giả sử [f (b) − f (a)]f (b) < 0. Nếu f (b) < 0, f (b) > f (a) và f
liên tục trên [a, b] thì f có một cực đại tại η ∈ (a, b). Do đó f (η) = 0. Tương tự,
nếu f (b) > 0 và f (b) < f (a) thì hàm f có một cực tiểu tại η ∈ (a, b) và do đó

f (η) = 0.

Từ kết quả và chứng minh trên, ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2 ([5]). Cho f : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và
[f (b) − f (a)]f (b) < 0. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho f (η) = 0.
Sau đây là một mở rộng của Định lý giá trị trung bình Flett.
Định lý 2.3 (Trahan,[5]). Cho hàm số f : [a, b] → R khả vi và
f (b) −

f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
· f (a) −
≥ 0.
b−a
b−a

(2.1)

Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b] sao cho
f (η) − f (a) = (η − a)f (η).

Chứng minh. Ta định nghĩa một hàm số h : [a, b] → R xác định bởi
h(x) =



 f (x)−f (a)

nếu x ∈ (a, b],


f (a)

nếu x = a.

x−a

10

(2.2)


Khi đó h liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b]. Ta có
h (x) = −

f (x) − f (a) f (x)
+
(x − a)2
x−a

với mọi x ∈ (a, b]. Từ đó
f (b) − f (a) f (b)
f (b) − f (a)
− f (a) · −
+
b−a
(x − a)2
b−a
−1
f (b) − f (a)

f (b) − f (a)
=
f (b) −
· f (a) −
.
b−a
b−a
b−a

[h(b) − h(a)] h (b) =

Theo (2.1), ta thấy rằng
[h(b) − h(a)]h (b) ≤ 0.

Vì vậy, áp dụng Bổ đề 2.1 ta được
h (η) = 0

với η ∈ (a, b], hay
−

f (η) − f (a) f (η)
+
= 0.
(η − a)2
η−a

Do dó
f (η) − f (a) = (η − a)f (η).

Nhận xét: Định lý 2.3 là một mở rộng của Định lý 2.1. Để thấy điều này,

định nghĩa h như ở Định lý 2.3. Đó là

h(x) =



 f (x)−f (a)

nếu x ∈ (a, b],


f (a)

nếu x = a.

x−a

(2.3)

Khi đó h liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b]. Ta có
h (x) = −

f (x) − f (a) f (x)
+
(x − a)2
x−a

với mọi x ∈ (a, b]. Đầu tiên, xét trường hợp
f (b) − f (a) = (b − a)f (b).

11

(2.4)


Từ (2.3) và (2.4), ta có
h(b) − h(a) =

f (b) − f (a)
− f (a)
b−a

= f (b) − f (a)
= 0 (từ giả thiết).

Do đó h(b) = h(a). Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm h, tồn tại η ∈ (a, b) sao
cho h (η) = 0. Vì vậy
f (η) − f (a) = (η − a)f (η).

Tiếp theo, chúng tôi xét trường hợp
f (b) − f (a) = (b − a)f (b).
(a)
(a)
> 0 hoặc f (b) − f (b)−f
< 0. Hơn nữa, sử dụng giả
Khi đó, f (b) − f (b)−f
b−a
b−a

thiết f (b) = f (a), ta có

f (b) −

f (b) − f (a)
b−a

f (a) −

f (b) − f (a)
> 0.
b−a

Vậy từ Định lý 2.3 ta có thể đưa về Định lý 2.1. Có thể làm tương tự với
η = b.

2.2

Định lý giá trị trung bình cho hàm số thực hai
biến

Định lý 2.4 ([5]). Cho hàm số f : R2 → R có các đạo hàm riêng liên tục fx , fy
và với mọi cặp điểm phân biệt (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 , tồn tại một điểm trung gian
(η1 , η2 ) nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) sao cho
f (y1 , y2 ) − f (x1 , x2 ) = (y1 − x1 )fx (η1 , η2 ) + (y2 − x2 )fy (η1 , η2 ).

(2.5)

Chứng minh. Cho (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) là hai điểm bất kỳ trong R2 . Đặt h1 = y1 −
x1 , h2 = y2 − x2 .

Gọi L là đoạn thẳng nối hai điểm (x1 , x2 ) và (y1 , y2 ). Tọa độ của một điểm

bất kì nằm trên đường thẳng này có dạng (x1 + h1 t, x2 + h2 t) với t ∈ [0, 1]. Ta
định nghĩa hàm F : [0, 1] → R xác định bởi
F (t) = f (x1 + h1 t, x2 + h2 t)
12


với x1 , x2 , y1 , y2 cố định. Khi đó F có đạo hàm
F (x) = h1 fx (x1 + h1 t, x2 + h2 t) + h2 fy (x1 + h1 t, x2 + h2 t),

trong đó fx , fy là các đạo hàm riêng của f .
Theo Định lý giá trị trung bình Lagrange, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho
F (1) − F (0) = F (t0 ),

hay
f (y1 , y2 ) − f (x1 , x2 ) = h1 fx (x1 + h1 t0 , x2 + h2 t0 )+
+h2 fy (x1 + h1 t0 , x2 + h2 t0 ).

Đặt
η1 = x1 + h1 t0 , η2 = x2 + h2 t0 và η = (η1 , η2 ).

Vậy
f (y1 , y2 ) − f (x1 , x2 ) = (y1 − x1 )fx (η1 , η2 ) + (y2 − x2 )fy (η1 , η2 ).

Định nghĩa 2.1 ([5]). Cho (x1 , x2 ) và (y1 , y2 ) là hai điểm bất kỳ trong R2 . Tích
vơ hướng trong Euclide (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) giữa hai điểm (x1 , x2 ) và (y1 , y2 ) được
định nghĩa như sau
(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = x1 y1 + x2 y2 ,

và chuẩn (x1 , x2 ) của (x1 , x2 ) được định nghĩa
(x1 , x2 ) =

x21 + x22 .

Để trình bày đơn giản hơn, nếu f : R2 → R là một hàm hai biến có đạo hàm
riêng fx và fy thì ta ký hiệu (fx , fy ) = f .
Ta có thể viết lại (2.5) như sau
f (y1 , y2 ) − f (x1 , x2 ) = f (η1 , η2 ), (y1 − x1 , y2 − x2 ) ,

hoặc ta có thể viết ngắn gọn là
f (y) − f (x) = f (η), y − x

với x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) và η = (η1 , η2 ).
Sau đây là tổng quát của Định lý giá trị trung bình Flet cho hàm số thực hai
biến.
13


Định lý 2.5 ([5]). Cho hàm số f : R2 → R liên tục có các đạo hàm riêng fx và
fy , cho a, b ∈ R2 và f (a) = f (b). Khi đó tồn tại một điểm trung gian nằm trên
đoạn thẳng nối a với b sao cho
f (η) − f (a) = η − a, f (η) .

(2.6)

Chứng minh. Viết a = (a1 , a2 ) và b = (b1 , b2 ) là hai điểm phân biệt bất kì thuộc
R2 . Đặt h1 = b1 − a1 và h2 = b2 − a2 .
Gọi L là đoạn thẳng nối a và b. Tọa độ của một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng này có dạng (a1 +h1 t, a2 +h2 t) với t ∈ [0, 1]. Ta định nghĩa hàm F : [0, 1] → R
xác định bởi
F (t) = f (a1 + h1 t, a2 + h2 t).

Khi đó F khả vi trên [0, 1] và
F (t) = h1 fx (a1 + h1 t, a2 + h2 t) + h2 fy (a1 + h1 t, a2 + h2 t).

Ta có
F (0) = h1 fx (a1 , a2 ) + h2 fy (a1 , a2 ),
F (1) = h1 fx (b1 , b2 ) + h2 fy (b1 , b2 ).

Vì f (a) = f (b) nên F (0) = F (1).
Áp dụng Định lý 2.1 cho hàm F , tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho
F (t0 ) − F (0)
= F (t0 ).
t0 − 0

Theo định nghĩa hàm F ta có
f (a1 + h1 t0 , a2 + h2 t0 ) − f (a1 , a2 )
= t0 h1 fx (a1 + h1 t0 , a2 + h2 t0 ) + t0 h2 fy (a1 + h1 t0 , a2 + h2 t0 ).

Ta đặt η1 = a1 + h1 t0 , η2 = a2 + h2 t0 , η = (η1 , η2 ). Từ đó, ta có
f (η1 , η2 ) − f (a1 , a2 ) = (η1 − a1 )fx (η1 , η2 ) + (η2 − a2 )fy (η1 , η2 ),

hay
f (η) − f (a) = η − a, f (η) .

14


Định lý 2.6 (Trahan,[5]). Cho hàm số f : R2 → R liên tục có các đạo hàm
riêng fx và fy và với mọi cặp điểm riêng biệt a và b trong R2 sao cho
b − a, f (a) − f (b) + f (a)

b − a, f (b) − f (b) + f (a) ≥ 0,

(2.7)

tồn tại một điểm trung gian η nằm trên đường thẳng nối a và b thoả mãn
f (η) − f (a) = η − a, f (η) .

Chứng minh. Cho a = (a1 , a2 ) và b = (b1 , b2 ) là hai điểm phân biệt bất kì thuộc
R2 . Đặt h1 = b1 − a1 và h2 = b2 − a2 .
Gọi L là đoạn thẳng nối a và b. Tọa độ của một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng này có dạng (a1 +h1 t, a2 +h2 t) với t ∈ [0, 1]. Ta định nghĩa hàm F : [0, 1] → R
xác định bởi
F (t) = f (a1 + h1 t, a2 + h2 t).
(2.8)
Khi đó F khả vi trên [0, 1] và
F (t) = h1 fx (a1 + h1 t, a2 + h2 t) + h2 fy (a1 + h1 t, a2 + h2 t).

Ta có
F (0) = (b1 − a1 )fx (a1 , a2 ) + (b2 − a2 )fy (a1 , a2 ) = b − a, f (a) ,
F (1) = (b1 − a1 )fx (b1 , b2 ) + (b2 − a2 )fy (b1 , b2 ) = b − a, f (b) .

(2.9)
(2.10)

Từ (2.8) - (2.10), ta thấy rằng
[F (0) − F (1) + F (0)][F (1) − F (1) + F (0)] ≥ 0.

Áp dụng Định lý 2.3 cho hàm F trên đoạn [0, 1], tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho
F (t0 ) − F (0)

= F (t0 ),
t0 − 0

Đặt η = (η1 , η2 ), ηi = ai + hi t0 (i = 1, 2), khi đó
t0 F (t0 ) = t0 h1 fx (η1 , η2 ) + t0 h2 fy (η1 , η2 )
= (η1 − a1 )fx (η1 , η2 ) + (η2 − a2 )fx (η1 , η2 )
= η − a, f (η) .

Từ (2.11), (2.8) và mối quan hệ trên, ta được
f (η) − f (a) = η − a, f (η) .

15

(2.11)


2.3

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ
một biến thực

Bây giờ chúng ta chuyển sang tìm một mở rộng của Định lý giá trị trung
bình cho các hàm khả vi từ R vào R2 . Ở Chương 1, Định lý giá trị trung bình
Rolle được phát biểu rằng nếu một hàm số khả vi, có giá trị thực f là hằng số
trên biên của một đoạn [a, b] (nghĩa là f (a) = f (b)), khi đó tồn tại một điểm tới
hạn c trong khoảng (a, b) (f (c) = 0). Ta xét ví dụ sau để chỉ ra rằng khơng có
phát biểu tương tự cho các hàm khả vi từ R vào R2 .
Ví dụ 2.2 ([5]). Xét hàm số f : R → R2 xác định bởi
f (x) = (x − x2 , x − x3 ).

Đạo hàm của hàm f là
f (x) = (1 − 2x, 1 − 3x2 ).

Hàm số này là hằng số trên biên của đoạn [0, 1]:
f (0) = (0, 0) và f (1) = (0, 0).

Tuy nhiên, hàm f khơng có điểm tới hạn trong (0, 1), nghĩa là đạo hàm f (x)
không bằng 0 trong khoảng (0, 1). Do đó, định lý giá trị trung bình khơng có mở
rộng theo cách đơn giản với các hàm giá trị véctơ 2 chiều trên tập số thực.
Trong phần này chúng ta trình bày một mở rộng được đưa ra bởi Sanderson
năm 1972.
Định lý 2.7. Cho f : [a, b] → R2 là một hàm giá trị véctơ 2 chiều khả vi và các
véctơ f (a), f (b) trực giao với một véctơ v ∈ R2 khác véctơ khơng. Khi đó tồn tại
một điểm η ∈ (a, b) sao cho
v, f (η) = 0,

nghĩa là, f (η) trực giao với véctơ v ∈ R2 .
Chứng minh. Đầu tiên, ta định nghĩa một hàm số F : [a, b] → R2 xác định bởi
F (t) = v, f (t) .

Do đó, F khả vi trên đoạn [a, b] và F (a) = F (b) = 0. Áp dụng Định lý Rolle cho
hàm F , tồn tại η ∈ (a, b) sao cho
F (η) = 0.
16


Theo định nghĩa hàm F ta suy ra
v, f (η) = 0.

Định lý đã được chứng minh.

Nhận xét 2.1. a) Từ định lý trên, người ta có thể suy ra Định lý giá trị trung
bình Lagrange theo cách làm sau. Nếu ta lấy f (t) = (t, g(t)) với t ∈ [a, b] và
v = (g(b) − g(a), a − b), sau đó áp dụng định lý trên, ta có
v, f (η) = 0

với η ∈ (a, b). Từ đó, ta được
(1, g (η)), (g(b) − g(a), a − b) = 0

hay
g(b) − g(a) = (b − a)g (η).

b) Tương tự, Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được suy ra từ định lý
trên bằng cách đặt f (t) = (h(t), g(t)) và v = (g(b) − g(a), h(a) − h(b)).
Định lý dưới đây là một biến thể của định lý trên.
Định lý 2.8 ([5]). Cho f : [a, b] → R2 là một hàm giá trị véctơ 2 chiều khả vi
và f trực giao với một véctơ v ∈ R2 khác véctơ không tại 2 điểm phân biệt thuộc
[a, b]. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho
v, f (η) = 0,

nghĩa là, f (η) trực giao với véctơ v ∈ R2 .
Chứng minh. Lấy c và d là 2 điểm phân biệt thuộc [a, b] sao cho f (c), f (d) trực
giao với một véctơ v ∈ R2 khác véctơ không. Rõ ràng [c, d] ⊆ [a, b]. Ta áp dụng
định lý trên cho hàm f trên đoạn [c, d]. Khi đó, ta kết luận rằng tồn tại một
điểm η ∈ (c, d) sao cho
v, f (η) = 0.

Vậy định lý đã được chứng minh.
Hai định lý trên được mở rộng thành các định lý sau đây.

17

Định lý 2.9 ([5]). Cho f : [a, b] → Rn là một hàm giá trị véctơ n chiều khả vi.
Giả sử f (a), f (b) và các đạo hàm bậc 1, bậc 2,. . . , bậc k − 1 của f tại a trực giao
với một véctơ v ∈ Rn khác véctơ khơng. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao
cho
v, f (k) (η) = 0,

nghĩa là, f (k) (η) là trực giao với véctơ v ∈ Rn .
Định lý 2.10 ([5]). Cho f : [a, b] → Rn là một hàm giá trị véctơ n chiều khả vi.
Giả sử giá trị của f tại k + 1 điểm phân biệt thuộc [a, b] trực giao với một véctơ
v ∈ Rn khác véctơ không. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ (a, b) sao cho
v, f (k) (η) = 0,

nghĩa là, f (k) (η) trực giao với véctơ v ∈ Rn .
Định lý dưới đây được đưa ra bởi McLeod năm 1964.
Định lý 2.11 ([5]). Cho f : [a, b] → Rn liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên
khoảng (a, b). Hơn nữa, giả sử rằng f (x) liên tục trên [a, b]. Khi đó tồn tại n
điểm c1 , c2 , . . . , cn ∈ (a, b) và n số dương r1 , r2 , . . . , rn sao cho
r1 + r2 + · · · + rn = 1

và

n

f (b) − f (a) = (b − a)

rk f (ck ).
k=1

Chú ý rằng nếu n = 1, thì định lý trên trở thành Định lý giá trị trung bình
Lagrange.

2.4

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ
hai biến thực

Trong phần này, chúng tơi sẽ trình bày một ví dụ để chứng minh rằng khơng
thể có mở rộng của Định lý giá trị trung bình cho các hàm có giá trị véctơ trên
mặt phẳng.
Cho hàm số
f : R2 → R2
(x, y) → f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y))
18