Một số tổng quát hóa của môđun nâng

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L + N = M ✈➔ K + N = M ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✽ ✭❬✶✻❪✱ ❇ê ✤➲ ✶✳✹✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤

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✭✐✮ ◆➳✉ B/A M/A ✈➔ C ≤ M t❤➻ (B + C)/(A + C)
❧➔ ✤ó♥❣ ♥➳✉ C M ✳

M/(A + C)✳

✣✐➲✉ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐


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✭✐✐✮ ◆➳✉ B/A

M/A

✈➔ D/C

M/C

t❤➻ (B + D)/(A + C)

✭✐✐✐✮ ●✐↔ sû A ≤ B ≤ M ✳ ❑❤✐ ✤â C/B

M/B

(C/A)/(B/A)

✭✐✈✮ ●✐↔ sû A ≤ B
A
B✳

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◆➳✉ A

M

M/(A + C)✳

♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉

(M/A)/(B/A).

✈➔ B ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ❝õ❛ M t❤➻

✭✈✮ ◆➳✉ K ≤ L ✈➔ L ≤cc M t❤➻ L/K ≤cc M/K ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✾ ✭❬✹❪✱ ✸✳✼✮✳ ❈❤♦ K,

K ⊂ L ⊂ M✳

L

❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ët R✲♠æ✤✉♥

M

✈➔

✭✐✮ ◆➳✉ K L ✈➔ L/K ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M/K t❤➻ L ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥
✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ L ❧➔ ❤ê♥❣ t❤➻ L ⊂ M ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ❤♦➦❝ L

M✳

✭✐✐✐✮ ◆➳✉ f : M → N ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉ ♥❤ä ✈➔ L ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M t❤➻
f (L) ❧➔ ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ N ✳
✭✐✈✮ ◆➳✉ K ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M t❤➻ K ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ✤è✐ ✤â♥❣
tr♦♥❣ L✳ ✣✐➲✉ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❧➔ ✤ó♥❣ ♥➳✉ L ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❧➛♥ ❧÷đt ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ tr➯♥✳
(i) ◆➳✉ N ≤cs L t❤➻ (N + K)/K ⊆ L/K ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ♥❤ä tr♦♥❣ M/K
✭❬✹❪✱ ✸✳✷✳✼✭✐✮✮✳ ❉♦ ✤â N + K = L✱ s✉② r❛ K L ✈➔ N = L✳ ❱➻ ✈➟② L ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥
✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳
(ii) ●✐↔ sû L ❦❤æ♥❣ ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ố õ tr M õ tỗ t K ⊂ L
s❛♦ ❝❤♦ L/K M/K ✳ ❙✉② r❛ L ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❤ê♥❣✱ L M ✭❬✹❪✱ ✷✳✷ ✭✸✮✮✳
(iii) ●✐↔ sû X ≤cs f (L)✱ ✤➦t K = f −1 (X)✳ ❑❤✐ ✤â✱ K ≤cs (L + Ker f ) ✭❬✹❪✱ ✸✳✷ ✭✼✮✮✳
❙✉② r❛ Ker f ⊆ K, K = Ker f + (L ∩ K)✳ ❱➻ Ker f M ♥➯♥ (L ∩ K) ≤cs Ker f + (L ∩ K)


✾

✭❬✹❪✱ ✸✳✷ ✭✺✮✮ ❞➝♥ ✤➳♥ (L ∩ K) ≤ce (L + Ker f ) ✭❬✹❪✱ ✸✳✷ ✭✷✮✮✳ ❙✉② r❛ (L ∩ K) ≤cs L✳ ❱➻
L ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✈➔ L ∩ K = L ♥➯♥ X = f (L)
(iv) sỷ tỗ t X K s K/X
L/X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ K/X
M/X ✳ ❱➻ K ❧➔
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ♥➯♥ K = X ✳ ❱➟② K ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ L✳
◆❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû K ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ L ✈➔ L ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣
tr♦♥❣ M ✳ ❈❤♦ X ⊂ K ✈ỵ✐ K/X M/X ✳ ❚❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ✸✳✼ ✭✶✮✮✱ L/X ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐
✤â♥❣ tr♦♥❣ M/X ✈➔ t❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ✸✳✼ ✭✸✮✮ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ M/X, K/X L/X ✳ ❱➻ ✈➟② K
❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ L✱ ❤ì♥ ♥ú❛✱ X = K ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵ ✭❬✹❪✱ ✸✳✶✵✮✳ ❈❤♦ L ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✲♠æ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐

✤â✱ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ K ❝õ❛ L ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜❛♦ ✤è✐ ✤â♥❣ ❝õ❛ L tr♦♥❣ M ♥➳✉ K ✈ø❛

❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ♥❤ä✱ ✈ø❛ ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶ ✭❬✹❪✱ ✶✳✷✻✮✳ ▼ët ❤å {Nλ}Λ ❝→❝ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ R✲♠ỉ✤✉♥
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤è✐ ✤ë❝ ❧➟♣ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ Λ ✈➔ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ F ⊆ Λ
t❛ ❝â Nλ + ∩i∈F Ni = M ✳
M

✱

{λ}

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷ ✭❬✹❪✱ ✺✳✷✮✳ ▼ët R✲♠ỉ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❤♦❧❧♦✇ ❤ú✉

❤↕♥ ♥➳✉ M ❦❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ♠ët ❤å ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈æ ❤↕♥✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ sè
n = sup{k ∈ N | M

õ ởt ồ ỗ k ổ ố ✤ë❝ ❧➟♣}

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ sè ❝❤✐➲✉ ❤♦❧❧♦✇ ❝õ❛ M ✱ ỵ h . dim(M ) = n

P ử ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ♣❤➛♥ ♣❤ư✱ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✶✮✳ ❈❤♦ N ✈➔ L ❧➔ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤❛✐ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳

✭✐✮

N

❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ {K ≤ M

|L + K = M }✳


✶✵

✭✐✐✮

L+N =M

✈➔ L ∩ N

N✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✶✮✳ ▼æ✤✉♥ ❝♦♥ N t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❇ê ✤➲

✶✳✷✳✶ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❤ư ❝õ❛ L tr♦♥❣ M ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✸ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✹✮✳ ❈❤♦ U ✈➔ V ❧➔ ❤❛✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ tr♦♥❣ ✤â V ❧➔ ♣❤➛♥
♣❤ư ❝õ❛ U tr♦♥❣ M ✳ ❈→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤ó♥❣✳

✭✐✮ ◆➳✉ M ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ t❤➻ V ❝ô♥❣ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ K

M

t❤➻ V ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ U + K ✳

✭✐✐✐✮ ◆➳✉ W ≤ V t❤➻ W ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ V ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ W ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳
✭✐✈✮ ◆➳✉ U ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M t❤➻ U ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ V tr♦♥❣ M ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✹ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✺✮✳ ❈❤♦ K ≤ L ≤ M ✳ ❈→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤ó♥❣✳
✭✐✮ ◆➳✉ L ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M t❤➻ L/K ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M/K ✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ K ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M ✈➔ L/K ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M/K t❤➻ L
❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ư tr♦♥❣ M ✳
✭✐✐✐✮ ◆➳✉ M ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ö ②➳✉✱ L/K ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M/K ✈➔ K ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣
M t❤➻ L ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✶✵✮✳ ❈❤♦ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ N

❝â ♣❤➛♥ ♣❤ư ✤õ ✭❛♠♣❧❡ s✉♣♣❧❡♠❡♥t✮ tr♦♥❣ M ♥➳✉ ♠é✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ L ❝õ❛ M ✈ỵ✐
N + L = M ✤➲✉ ❝❤ù❛ ♠ët ♣❤➛♥ ử ừ N tự tỗ t ởt ♣❤ö K ❝õ❛ N
♠➔ K ⊂ L✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✻ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✶✶✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ♥➳✉ ♠é✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö
tr♦♥❣ M ✳

❼ M


✶✶

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ✤õ ♥➳✉ ♠é✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➛♥
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❼ M

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✼ ✭❬✶✶❪✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❆✳✶✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✱ N ❧➔ ♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠ỉ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ⊕✲♣❤ư ♥➳✉ N ❝â ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ♠➔ ♥â ❧➔

❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M tự tỗ t tỷ trỹ t K ❝õ❛ M ♠➔ K ❧➔ ♣❤➛♥
♣❤ö ❝õ❛ N tr♦♥❣ M ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✽✳ ▼å✐ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ✤õ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ✈➔ ♠å✐ ♠ỉ✤✉♥ ⊕✲♣❤ư ❧➔ ♠ỉ✤✉♥

♣❤ư✳ ❚❤❡♦ ✭❬✶✶❪✱ ❍➺ q✉↔ ❆✳✻✮✱ ❝❤✐➲✉ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➟♥ ①➨t ♥➔② ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤ỉ♥❣
✤ó♥❣✳

✶✳✸ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ①↕ ↔♥❤

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶ ✭❬✹❪✱ ✹✳✶✮✳ ❈❤♦ P,

❧➔ ❝→❝ R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ P ✤÷đ❝ ❣å✐
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M

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N

0

tỗ t ỗ h : P → M s❛♦ ❝❤♦ f = g ◦ h✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳ ❈❤♦ P, M ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ P ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ①↕ ↔♥❤ ♥➳✉
P

❧➔ M ✲①↕ ↔♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ R✲♠ỉ✤✉♥ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✸ ✭❬✹❪✱ ✷✳✶✮✳ ❚♦➔♥ ❝➜✉ f : M → N ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❤ä ♥➳✉ Ker f
♥❣♦➔✐ r❛✱ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤õ ♥❤ä✳

M

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✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✹ ✭❬✹❪✱ ✹✳✼✮✳ ❈❤♦ P ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✱ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳

❑❤✐ ✤â✱ t♦➔♥ ❝➜✉ ♥❤ä ϕ : P → M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤õ ①↕ ↔♥❤ ❝õ❛ M ✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✺ ✭❬✹❪✱ ✹✳✸✮✳


✶✷

✭✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❤å {Pi}I ❝õ❛ ❝→❝ ❘✲♠ỉ✤✉♥✱ ⊕I Pi ❧➔ M ✲①↕ ↔♥❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ Pi ❧➔
M ✲①↕ ↔♥❤✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I ✳
✭✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ {Mi}ni=1 ❝õ❛ ❝→❝ ❘✲♠æ✤✉♥✱ P ❧➔ ⊕ni=1Mi✲①↕ ↔♥❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾
❦❤✐ P ❧➔ Mi✲①↕ ↔♥❤ ✈ỵ✐ i = 1, . . . , n✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✻✳ ❈❤♦ P ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♠å✐ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ P
❝ô♥❣ ❧➔ ①↕ ↔♥❤✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✼ ✭❬✹❪✱ ✹✳✻✮✳ ❈❤♦ P ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ P ❧➔ ①↕ ↔♥❤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

✈ỵ✐ ♠å✐ ♠ỉ✤✉♥ M ✱ ♠é✐ t♦➔♥ ❝➜✉ ϕ : M → P ❧➔ ❝❤➫ r❛ ✭tù❝ ❤↕t ♥❤➙♥ Ker(ϕ) ❧➔ ♠ët
❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✮✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽ ✭❬✶✼❪✱ ✶✽✳✻✭✷✮✮✳ ❈❤♦ P ❧➔ ♠ët R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔
t÷ì♥❣ ữỡ



P





P

ợ ởt tỷ trỹ t R tr õ ởt t số

ỗ t↕✐ ♠ët ❤å ❝→❝ ♣❤➛♥ tû {vλ ∈ P | } ởt ồ Rỗ
{f Hom(P, R) | λ ∈ Λ} s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ P ✱
✰
✰

✈ỵ✐ ♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ λ ∈ Λ✱
λ∈Λ fλ (x)vλ ✳

fλ (x) = 0
x=

❚❛ ❣å✐ ❤å ❝→❝ ♣❤➛♥ tû {vλ ∈ P | λ ∈ } ũ ợ ồ Rỗ {f

Hom(P ; R) | λ ∈ Λ} tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✽ ❧➔ ❝ì sð ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤ P ✳

∈


✶✸

❈❤÷ì♥❣ ✷
▼ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣✱ ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✱
♠ỉ✤✉♥ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ✈➔ ♠ỉ✤✉♥
❝❢✲♥➙♥❣
✷✳✶ ▼ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣✱ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣✳ ❚♦➔♥ ❜ë ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ✤÷đ❝
t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✹❪✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✶✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✱ U ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❈→❝
❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s tữỡ ữỡ

ỗ t ởt tỷ trỹ t✐➳♣ X ❝õ❛ M ✈ỵ✐ X ⊆ U ✈➔ U/X

M/X

ỗ t ởt tỷ trỹ t X M ✈➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ Y ❝õ❛ M ✈ỵ✐ X ⊆ U
U = X + Y Y
M
ỗ t ♠ët sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ M = X ⊕ X ✈ỵ✐ X ⊆ U ✈➔ X
✭✐✈✮

U

∩U

X

✳

❝â ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö V tr♦♥❣ M t❤ä❛ ♠➣♥ U ∩ V ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t tr U

ỗ t ởt ụ e ∈ End(M ) ✈ỵ✐ e(M ) ⊆ U ✈➔ (1 − e)(U )

(1 − e)(M )✳


✶✹

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ ♥❤÷ s❛✉✳
(i) ⇒ (ii) ●✐↔ sû M = X ⊕ X ✈➔ U/X
M/X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ U = X + (U ∩ X )✳ ❱➻
φ : M/X → X ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ♥➯♥ tø U/X
M/X ✱ t❛ ❝â
φ(U/X) = U ∩ X

❉♦ ✤â U ∩ X

X.

✳
(ii) ⇒ (iii) ●✐↔ sû M = X ⊕ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ X ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❤ư ❝õ❛ X tr♦♥❣ M ✳ ❍ì♥
♥ú❛✱ ♥â ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ư ❝õ❛ U = X + Y tr♦♥❣ M ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✹ ✭✹✮✮✳ ❱➻ ✈➟②✱

U ∩X
X✳
(iii) ⇒ (iv) ❚ø ✭✐✐✐✮✱ U = X ⊕ (U ∩ X ) ✈➔ X ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ U tr♦♥❣ M ✳
(iv) ⇒ (v) ❚ø ✭✐✈✮✱ ✈ỵ✐ X ⊆ U ✱ t❛ ❝â M = U + V, U ∩ V
V ✈➔ U = (U ∩ V ) ⊕ X ✳
❑❤✐ ✤â✱ M = U + V = X + (U ∩ V ) + V = X + V ✈➔ X ∩ V = 0✳ ❉♦ ✤â✱ M = X ⊕ V ✳
●✐↔ sû e : M → X ❧➔ →♥❤ ①↕ ①↕ ↔♥❤ ❞å❝ t❤❡♦ V ✳ ❑❤✐ ✤â e(M ) ⊆ U ✳ ❱➻ X ⊆ U ♥➯♥
M

(1 − e)(U ) = U ∩ (1 − e)(M ) = U ∩ V
(v) ⇒ (i)

V = (1 − e)(M ).

●✐↔ sû X = e(M )✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â M = X ⊕ (1 − e)(M ) ✈➔ X ⊆ U ✳ ✣➦t
φ : M/X −→ (1 − e)(M )
U/X −→ φ(U/X) = (1 − e)(U )

❑❤✐ ✤â φ ❧➔ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉✱ ❦➨♦ t❤❡♦ U/X

M/X

(1 − e)(M ).

✳

❈❤ó þ ✷✳✶✳✷✳ ◆➳✉ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ U ❝õ❛ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ M t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✶ t❤➻ t❛ ♥â✐ U ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✸ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✷✮✳ ▼ët R✲♠æ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣ ♥➳✉ ♠å✐

♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ✤➲✉ ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M õ tỗ
t tỷ trỹ t X ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ X ⊂ N ✈➔ N/X M/X ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✹ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✷✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣✳ ❈→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙②
❧➔ ✤ó♥❣✳


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(i) ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ❝â ❜❛♦ ❤➔♠ ✤è✐ ♥❤ä ❦❤æ♥❣ t❤ü❝
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(ii) ●✐↔ sû M = L + K ✱ tr♦♥❣ ✤â K, L ❧➔ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ r➡♥❣ K ❝❤ù❛ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ L tr♦♥❣ M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➔ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✶✭❜✮✮✱
K = N ⊕ H ✈ỵ✐ H
M ✈➔ N ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❉♦ ✤â✱ M = L + N ✳
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✈➟② N1 ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✈➔ S N ✳
●✐↔ sû N = N1 ⊕ N2 ✈ỵ✐ ♠ët sè ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ N2 ❝õ❛ N ✳ ❑❤✐ ✤â✱ N2 ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö
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tr♦♥❣ N ✳ ❉♦ ✤â M = L+N = L+(L∩N )+N2 = L+N2 ✈➔ L∩N2 = (L∩N )∩N2 N2✳
❱➻ ✈➟② N2 ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ L tr♦♥❣ M ✳
(iii) ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳
(iv) ●✐↔ sû N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤õ ❝õ❛ M U/N M/N

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❉➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ e¯(M ) ⊆ M/N ✈➔ (1 e)(U/N ) M/N

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M1 ⊆ N ✈➔ N ∩ M2

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M

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M

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(i) (ii) (i) ⇔ (iii) s✉② r❛ tø ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✶✮✳
(i) ⇒ (iv) ✈➔ (iv) ⇒ (v) s✉② r❛ tø ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✷ ✈➔ ✷✵✳✸✮✳
(v) ⇒ (i) ❧➔ ♠ët ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✷✹✭❜✮ ✈➔ ✷✷✳✶✭❜✮✮✳

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✤â✱ N ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✷✮✳ ❚❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✷✷✭✷✮✮✱ N ❧➔ ♣❤➛♥
♣❤ö ✤õ✳ ●✐↔ sû K ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ N ✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ N
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e(M ) ⊂ Rxn ✈➔ Rxn ∩ (1 − e)(M ) = (1 − e)(Rxn )
M✳
✣➦t K = n−1
i=1 (1 − e)(Rxi )✳ ❚❛ ❝â e(N ) ⊂ Rxn ⊂ N ✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â ❤➺ t❤ù❝
N = (1 − e)(N ) + e(N ) = K + Rxn ✳ ❇ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✱ K ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû
trü❝ t õ tỗ t ởt tỹ ỗ ❧ô② ✤➥♥❣ f ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ f (M ) ⊂ K ✈➔
K ∩ (1 − f )(M ) = (1 − f )(K)
M ✳ ❱➻ f (M ) ⊂ K ⊂ (1 − e)(M ) ♥➯♥ (1 − e) ◦ f = f ✱
tù❝ ❧➔ e ◦ f = 0 ✈➔ ❞♦ ✤â g = e + f − f ◦ e ❧➔ ♠ët ❧ô② ✤➥♥❣✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝

g(M ) ⊂ f (M ) + e(M ) ⊂ K + Rxn = N,
(N ∩ (1 − g))(M ) = (1 − f ) ◦ (1 − e)(N ) ⊂ (1 − f )(K) + (1 − f ) ◦ (1 − e)(Rxn )

M

✣✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ N ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✈➔ M ❧➔ ❢✲♥➙♥❣✳
◆❤➢❝ ❧↕✐✱ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ê♥❣ ♥➳✉ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ H ✤➲✉ ❧➔
♥❤ä tr♦♥❣ H ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
♥➙♥❣✱ ✤â ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ❤ê♥❣ ❤❛② ❤✲♥➙♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✸ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✽✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠ỉ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
♥➙♥❣ ❤ê♥❣ ✭❤♦❧❧♦✇ ❧✐❢t✐♥❣✮✱ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ ❤✲♥➙♥❣✱ ♥➳✉ M ❧➔ ♣❤ö ✤õ ✈➔ ♠å✐ ♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❤ê♥❣ ❝õ❛ M ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✹✳ ❚❤❡♦ ỵ ồ ổ t ❦❤→❝✱
sû ❞ư♥❣ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✷✷✭✶✮✮ ✈➔ ❜➡♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✻
✭❬✹❪✱ ✷✷✳✻✮✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❜➜t ❦ý ✭✈➔ ❞♦ ✤â ♠å✐ ❤↕♥❣
tû trü❝ t✐➳♣✮ ❝õ❛ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❤✲♥➙♥❣ ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ❤✲♥➙♥❣✳

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✾✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❤✲♥➙♥❣ ✈➔ K ≤ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐
✤â♥❣ ✈ỵ✐ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ K ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳


✶✾

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ P❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t✐➳♥ ❤➔♥❤ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛
K ✳ ◆➳✉ h . dim(K) = 1 t❤➻ K ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❤ê♥❣✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ K ❝❤➦♥ tr➯♥ ❤↕♥❣ tû
trü❝ t✐➳♣ X ❝õ❛ M = X ⊕ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ K = X ⊕ (K ∩ X ) ✈➔ K ∩ X X ✳ ❱➻ K ❧➔
❤ê♥❣ ♥➯♥ K = X = 0 ❤♦➦❝ K = K ∩ X X ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ K ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ♥➯♥
❝❤➾ ①↔② r❛ K ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳

●✐↔ sû r➡♥❣ ♠å✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✈ỵ✐ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ♥❤ä t❤✉❛ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ n
✤➲✉ ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ●å✐ K ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✈ỵ✐ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣
h . dim(K) = n + 1✳ K õ số ờ ỳ tỗ t↕✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ L ❝õ❛
K s❛♦ ❝❤♦ K/L ❧➔ ❤ê♥❣ ✭❬✹❪✱ ✷✳✶✻✮✳ ❚❤❡♦ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✹✱ K ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ❤✲♥➙♥❣✳
●å✐ N ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ L tr♦♥❣ K ✳ ❑❤✐ ✤â✱ N ❧➔ ❤ê♥❣ ✈➻ N/(N ∩ L) ∼= K/L ✈➔
N ∩L
N ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ N ❧➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ K ✈➔ K ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö tr♦♥❣ M ♥➯♥ N
✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✹✭✽✮✮✳ ❉♦ ✤â N ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✱ M = N ⊕ N
✈➔ N ≤ M ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ K = N ⊕ (K ∩ N ) ✈➔
h . dim(K) = h . dim(N ) + h . dim(K ∩ N )✳
❙✉② r❛ K ∩ N ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ M ✈ỵ✐ h . dim(K ∩ N ) = n✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t
q✉② ♥↕♣✱ K ∩ N ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ✣➦t M = (K ∩ N ) ⊕ N ✳ ❑❤✐ ✤â✱
N = (K ∩ N ) ⊕ (N ∩ N ”) ✈➔
M = N ⊕ N = N ⊕ (K ∩ N ) ⊕ (N ∩ N ”) = K ⊕ (N ∩ N ”).

✣â ❧➔ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✻ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✶✵✮✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ✈ỵ✐ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❑❤✐ ✤â✱ M ❧➔ ❤✲♥➙♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ M ❧➔ ♥➙♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû M ❧➔ ❤✲♥➙♥❣ ✈ỵ✐ sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ M ❧➔ ♣❤ư ✤õ
t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ ♠å✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ M ❝ô♥❣ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❤ê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❧➔
♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ❜ð✐ ❇ê ử ỵ t õ M ❧➔
♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣✳


✷✵

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❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠ỉ✤✉♥ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉②✳ ▲ỵ♣

❝→❝ ♠ỉ✤✉♥ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ❧➔ ♠ët ❧ỵ♣ ❝♦♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ ❧ỵ♣ ❝→❝ ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥
✭tù❝ ❢✲♥➙♥❣✮ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ①↕ ↔♥❤✳ ❈❤➼♥❤ ①→❝ ❧➔✱ ♠ët ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ỳ
ỗ tớ t õ ỷ ❝❤➼♥❤ q✉②✳
❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✱ ♠æ✤✉♥ M ❧➔ ❢✲♥➙♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ①✐❝❧✐❝
❝õ❛ M ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✼ ✭❬✹❪✱ ✷✷✳✷✺✭✶✮ ✈➔ ❬✶✷❪✮✳ ❈❤♦ R✲♠ỉ✤✉♥ M ✳
✭✐✮

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ①✐❝❧✐❝ ✤➲✉ ❝❤➦♥ tr➯♥ ♠ët
❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ①↕ ↔♥❤ ❝õ❛ M ✳

M

✭✐✐✮ P❤➛♥ tû x ∈ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ①✐❝❧✐❝ Rx ❝❤➦♥ tr➯♥
♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ①↕ ↔♥❤ ❝õ❛ M ✳
✭✐✐✐✮ ❱ỵ✐ M ❧➔ ởt Rổ tr ỵ M := HomR(M ; R) t Rỗ
tứ M Rổ tr RR✳ P❤➛♥ tû x ∈ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q
tỗ t M s (x)x = x

ú ỵ ứ t õ ♥❣❛② ❝→❝ ♥❤➟♥ ①➨t s❛✉✳
✭✐✮ ▼ët ♠æ✤✉♥ M ❧➔ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ M ❧➔ ♥û❛
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✭✐✐✮ ▼å✐ ♠æ✤✉♥ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ✤➲✉ ❧➔ ♥➙♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳
✭✐✐✐✮ ▼æ✤✉♥ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉② ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥
♥➙♥❣✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝✱ ♠ët ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧➔ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉②✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥✱ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤ ♥➙♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✤➲✉ ❧➔ ♥û❛ ❝❤➼♥❤ q✉②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✾ ✭❬✶✷❪✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✮✳ ❈❤♦ R✲♠æ✤✉♥ M ✈➔ ❣✐↔ sû x ∈ M ❧➔ ởt
tỷ tũ ỵ s tữỡ ✤÷ì♥❣✳