Dòng trắc địa và dong horocycle trên mặt phẳng hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN NHƠN

DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE
TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN NHƠN

DÒNG TRẮC ĐỊA VÀ DÒNG HOROCYCLE
TRÊN MẶT PHẲNG HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS. HUỲNH MINH HIỀN

Bình Định - 2020

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực
và không trùng khớp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
kết quả trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bào tính trung thực, chính xác.
Quy Nhơn,

tháng 7 năm 2020
Học viên

Nguyễn Văn Nhơn


ii

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

1

Đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Đa tạp trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.4

Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Nhóm PSL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Bin i Măobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Nhóm PSL (2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Mặt phẳng hyperbolic

10

2.1

Mặt phẳng hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Phân thớ tiếp xúc đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Đường trắc địa trên H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4

Horocycle trên H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.5

Diện tích và thể tích hyperbolic . . . . . . . . . . . . . .

22


3 Dòng trắc địa và dòng horocycle trên mặt phẳng hyperbolic

24

3.1

Dòng trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2

Dòng horocycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3

Tính bảo tồn thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4

Cấu trúc tích địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.5

Hình chữ nhật trong PSL(2, R) . . . . . . . . . . . . . .

35

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42


Mở đầu
Hình học hyperbolic là một mảng đặc biệt quan trọng của hình học
phi-Euclide và có rất nhiều ứng dụng trong vật lý lý thuyết, thiên văn
học, khoa học vũ trụ, . . . Những người tiên phong trong lĩnh vực này là
Nikolai Lobachevsky (1792-1856) và Felix Klein (1849-1925). Hình học
hyperbolic nghiên cứu các tính chất hình học của các đa tạp có độ cong
âm. Ví dụ đơn giản nhất cho đa tạp có độ cong hằng âm là mặt phẳng
hyperbolic, nửa mặt phẳng trên H2 = {(x, y) ∈ R : y > 0} được trang
dx2 + dy 2
2
bị bởi mêtric hyperbolic ds =
. Nhóm các phép đẳng cự trờn
y
H2 l nhúm cỏc phộp bin i Măobius, nhúm ny đẳng cấu với nhóm
PSL(2, R) = PSL(2, R)/ {E2 , −E2 } có được bằng cách đồng nhất 2 ma
trận trong nhóm ma trận vng cấp 2 với định thức đơn vị SL(2, R).
Đường trắc địa trên mặt phẳng hyperbolic là các đường thẳng đứng
và các nửa đường trịn có tâm trên trục thực. Dòng trắc địa là hệ động
lực dọc theo các đường trắc địa. Horocycle trên mặt phẳng là các đường
thẳng nằm ngang và các đường tròn tiếp xúc với trục thực. Tương tự
dòng trắc địa, dòng horocycle là hệ động lực dọc theo các horocycle.

Quỹ đạo của dòng trắc địa (tương ứng dòng horocycle) là các đường
trắc địa (tương ứng horocycle). Ta chỉ xét các đường trắc địa và các
horocycle có vận tốc đơn vị. Vì vậy, dòng trắc địa và dòng horocycle
xác định trên phân thớ tiếp xúc đơn vị T 1 H2 . Có một song ánh từ T 1 H2
vào nhóm PSL(2, R) thay vì nghiên cứu dịng trắc địa và dịng horocycle
trên T 1 H2 , ta nghiên cứu các dòng tương ứng trên PSL(2, R). Mục đích


của đề tài là giúp người học làm quen với các kiến thức cơ bản nhất
của hình học hyperbolic như mặt phẳng hyperbolic, qua đó nghiên cứu
chuyên sâu về các tính chất của các dịng trắc địa và horocycle trên mặt
phẳng hyperbolic. Các kết quả trong luận văn được tham khảo trong các
tài liệu tham khảo, đồng thời phát triển hoặc xét các trường hợp cụ thể
hơn. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này chúng tôi chuẩn
bị một số kiến thức về đa tạp trn, khụng gian tip xỳc, a tp Riemann,
bin i Măobius, nhóm PSL(2, R), đường trắc địa.
Chương 2: Mặt phẳng hyperbolic: Trong chương này chúng tơi
trình bày một số kiến thức cơ bản về mặt phẳng hyperbolic, tìm các
đường trắc địa, xây dựng tham số cho các đường trắc địa và đường
horocycle, diện tích và thể tích trên mặt phẳng hyperbolic.
Chương 3: Dòng trắc địa và dòng horocycle trên mặt phẳng
hyperbolic: Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm dịng
trắc địa, dịng horocycle và các tính chất của hai dịng này, cấu trúc tích
địa phương (local product structure) và đưa ra ví dụ về hình chữ nhật.
Qua đây, tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Tốn cùng q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải
tích khóa 21 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng của bản thân,
nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tơi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cơ và bạn đọc
để luận văn được hồn thiện hơn.


1

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở, làm
nền tảng cho các chương sau.

1.1

Đa tạp

Trong mục này, chúng tôi liệt kê lại các khái niệm cần thiết để giới
thiệu khái niệm đa tạp Riemann. Nội dung của mục này chúng tôi tham
khảo trong các tài liệu [1, 6].
1.1.1

Đa tạp trơn

Định nghĩa 1.1. Cho M là khơng gian tơpơ. Ta nói M là đa tạp tôpô
n chiều nếu
(i) M là không gian tôpô Hausdorff, tức là với mọi x, y ∈ M, x = y tồn
tại tập mở U, V sao cho x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅.

(ii) M là không gian đếm được thứ hai, tức là M có một cơ sở tơpơ
đếm được.
(iii) M là không gian Euclid n chiều địa phương, tức là với mọi x ∈ M ,
tồn tại U là lân cận của x và V ⊂ Rn là tập mở sao cho ϕ : U → V
là một phép đồng phôi.


2

Ví dụ 1.1. (i) Rn là đa tạp tơpơ n chiều.
(ii) Tập các ma trận n dịng m cột có hệ số thực M (n × m, R) là đa tạp
tơpơ n × m chiều.
Định nghĩa 1.2. Cho M là đa tạp tôpô n chiều, một biểu đồ là một
cặp (U, ϕ) với U ⊂ M là tập mở và
ϕ : U → ϕ(U ) ⊂ Rn .
là một phép đồng phôi.
Định nghĩa 1.3. Cho M là đa tạp tôpô n chiều.
(i) Một biểu đồ trên M là một họ các biểu đồ {Uα , ϕα } sao cho họ {Uα }
phủ M .
(ii) Nếu (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) là hai biểu đồ sao cho Uα ∩ Uβ = ∅. Ánh xạ
hợp
ϕβ ◦ ϕ−1
α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ )
được gọi là ánh xạ chuyển.
(iii) Hai biểu đồ (Uα , ϕα ), (Uβ , ϕβ ) được gọi là tương thích trơn nếu hoặc
Uα ∩ Uβ = ∅ hoặc ánh xạ chuyển là trơn, tức là ánh xạ chuyển có
các đạo hàm riêng tất cả các cấp liên tục.
(iv) Một biểu đồ được gọi là trơn nếu hai biểu đồ bất kì trong đó là
tương thích trơn.
Định nghĩa 1.4 (Đa tạp trơn). Cho M là đa tạp tôpô.

(i) Một biểu đồ trơn A trên đa tạp M được gọi là cực đại nếu một biểu
đồ bất kỳ mà tương thích trơn với tất cả các biểu đồ trong A thì
cũng nằm trong A. Khi đó A được gọi là một cấu trúc trơn của M .


3

(ii) Đa tạp M được gọi là đa tạp trơn nếu nó sở hữu một cấu trúc trơn.
Ví dụ 1.2. (i) Rn là đa tạp trơn n chiều và cấu trúc trơn là biểu đồ
(Rn , Id).
(ii) Nửa mặt phẳng trên H2 = {x + iy ∈ C : y > 0} là một tập con mở
của C = R2 là một đa tạp trơn 2 chiều.
(iii) Tập các ma trận n dịng m cột M (n × m, R) là đa tạp trơn n × mchiều.
(iv) Tập các ma trận vng có định thức bằng 1, SL(n, R), là đa tạp
trơn n2 − 1 chiều.
1.1.2

Không gian tiếp xúc

Định nghĩa 1.5 (Không gian tiếp xúc). Giả sử M là một đa tạp trơn
và x là một điểm thuộc M. Chọn một biểu đồ
ϕ : U → Rn
với U là một tập con mở của M chứa x. Giả sử hai đường cong
γ1 : (−1, 1) → M và γ2 : (−1, 1) → M
với γ1 (0) = γ2 (0) = x sao cho ϕ ◦ γ1 và ϕ ◦ γ2 khả vi tại 0. Khi đó γ1
và γ2 được gọi là tương đương tại 0 nếu (ϕ ◦ γ1 ) (0) = (ϕ ◦ γ2 ) (0). Lớp
tương đương của đường cong γ được kí hiệu là [γ (0)] được gọi là véctơ
tiếp xúc với đa tạp M tại x. Khơng gian tiếp xúc của M tại x, kí hiệu
bởi Tx M, là không gian véctơ gồm tất cả các véctơ tiếp xúc với đa tạp
M tại x.

Định lý 1.1. Nếu đa tạp M có số chiều là n thì không gian tiếp xúc
Tx M , x ∈ M là một không gian véctơ n chiều.


4

Vì nửa mặt phẳng trên H2 là đa tạp trơn 2 chiều nên ta có kết quả
sau.
Hệ quả 1.1. Giả sử z ∈ H2 . Khi đó khơng gian tiếp xúc Tz H2 ∼
= R2 .
1.1.3

Đa tạp Riemann

Định nghĩa 1.6. (a) Cho M là đa tạp trơn n chiều, một mêtric Riemann
trên M là một họ { ·, · x }x∈M các tích vơ hướng xác định dương ·, ·

x

trên Tx M.
(b) Một đa tạp trơn M cùng với một mêtric Riemann được gọi là đa
tạp Riemann.
Định nghĩa 1.7. Cho M là một đa tạp Riemann và p ∈ M . Chuẩn của
véctơ v ∈ Tp M được cho bởi
||v||p = v, v

1/2
p .

Khi đó || · ||p là một chuẩn theo nghĩa thông thường.

1.1.4

Đường trắc địa

Cho γ : [0, 1] → M là một đường cong thuộc lớp C 1 . Độ dài đường
cong γ được xác định bởi
1

l(γ) =

γ(t),
˙
γ(t)
˙

1/2
γ(t) dt.

0

Giả sử M liên thông đường, tức là với mọi x, y ∈ M, tồn tại đường cong
γ : [0, 1] → M mà γ(0) = x, γ(1) = y. Với x, y ∈ M, ký hiệu
Ω(x, y) = γ : [0, 1] → M thuộc lớp C 1 , γ(0) = x và γ(1) = y .
Khoảng cách giữa hai điểm x, y được định nghĩa bởi
d(x, y) =

inf
γ∈Ω(x,y)

l(γ).

5

Khi đó, d một mêtric theo nghĩa thơng thường và được gọi là mêtric cảm
sinh bởi mêtric Riemann ban đầu.
Định nghĩa 1.8. Cho M là một đa tạp Riemann. Một đường trắc địa
trên M là đường ngắn nhất (theo mêtric cảm sinh) nối 2 điểm bất kỳ
trên nó.
Ký hiệu L(γ(t)) =

1
2

γ (t), γ (t)

Lx −

γ(t) .

Phương trình Euler-Lagrange:

d
Lx˙ = 0.
dt

Định lý 1.2. Đường trắc địa thỏa mãn phương trình Euler-Lagrange và
có vận tốc hằng.

1.2

Nhóm PSL(2, R)

Phần này trình bày một số tính chất của nhóm PSL(2, R). Chúng tơi
tham khảo ti liu [5].
1.2.1

Bin i Mă
obius

Nhc li H2 l na mt phng trờn. Ta ký hiu tp cỏc phộp bin i
Măobius trờn H2 :
Măob H2 =

T : H2 H2 : z → T (z) =

az + b
: ad − bc > 0 .
cz + d

Lưu ý rằng các phép toán trên có nghĩa vì
z+b
1 az + b a¯
−
2i cz + d c¯
z+d
1 (az + b)(c¯
z + d) − (a¯
z + b)(cz + d)
=

2i
(cz + d)(c¯
z + d)
ad − bc
z − z¯
det A
=
=
Im z > 0.
(cz + d)(c¯
z + d) 2i
|cz + d|2

Im T (z) =


6

Ký hiu
Măob1 H2 =

T : H2 H2 : z → T (z) =

az + b
: ad − bc = 1 .
cz + d

B 1.1. Măob H2 v Măob1 H2 l cỏc nhúm v Măob H2 = Măob1 H2 .
1.2.2

Nhóm PSL (2, R)

Định nghĩa 1.9. Ký hiệu SL(2, R) là nhóm gồm các ma trận thực vng
cấp hai có định thức bằng 1, có phần tử đơn vị E2 . Khi đó {E2 , −E2 }
là nhóm con chuẩn tắc của nhóm SL(2, R). Ta định nghĩa nhóm thương
PSL(2, R) := SL(2, R)/ {E2 , −E2 }. Mỗi phần tử g ∈ PSL(2, R) là tập
gồm hai phần tử đối nhau trong SL(2, R), tức là
g = [A] = {A, −A} ,
với A ∈ SL(2, R). Kí hiệu e = [E2 , −E2 ] là phần tử đơn vị trong
PSL(2, R),
Ví dụ 1.3. Với t ∈ R, các ma trận
At =

et/2

0

0

e−t/2

,

Bt =

1 t
0 1

,

Ct =

1 0
t 1

là các phần tử của SL(2, R). Ta ký hiệu at := [At ] = {At , −At },
bt := [Bt ] = {Bt , −Bt }, ct := [Ct ] = {Ct , −Ct }, Khi đó at , bt , ct ∈ PSL(2, R).
Mệnh đề 1.1. Xét ánh xạ
Ψ1 : SL(2, R) Măob1 H2 ,

1 (A) = T : z →

az + b
.
cz + d

Khi đó, Ψ1 là một tồn cấu nhóm với Ker Ψ1 = {E2 , −E2 }.
Theo định lý đồng cấu nhóm, ta thu được kết quả sau
H qu 1.2. Nhúm PSL(2, R) v nhúm Măob1 H2 là đẳng cấu với nhau.


7

Kớ hiu
: PSL(2, R) Măob1 H2

(1.1)

l ng cu cảm sinh bởi Ψ1 .
Mệnh đề 1.2. Với t, s ∈ R, ta có:

(a) A0 = B0 = C0 = E2 .
(b) At As = At+s , Bt Bs = Bt+s , Ct Cs = Ct+s .
(c) Bet s At = At Bs .
(d) At Cs = At Cset .
Chứng minh.
(a) Ta có A0 =

e0/2

0

0

e−0/2

B0 =

1 0

1 0

=

0 1

= E2 ,

0 1

C0 =

= E2 .
1 0

= E2 .

0 1

(b) Thật vậy
et/2

At As =

0

0
e

es/2

.

−t/2

0

0
e

=

−s/2

e(t+s)/2

0
−((t+s)/2)

0

e

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
(c) Ta có
B At =
et s

=

1 et s
0

1

et/2

0

0

e−t/2

et/2

0

1 s

0

e−t/2

0 1

= At Bs .
(d) Chứng minh tương tự (c).

=

et/2 et/2 s
0

e−t/2

= At+s .


8

Bổ đề 1.2 ([5]). (a) Tồn tại một mêtric Riemann trên G = PSL(2, R)

sao cho mêtric cảm sinh dG bất biến bên trái, tức là
dG (hg1 , hg2 ) = dG (g1 , g2 ),

với mọi g1 , g2 , h ∈ G

và thỏa mãn
dG (bt , e) ≤ |t|, t ∈ R và dG (ct , e) < |t|, t ∈ R.
(b) Với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 có tính chất sau. Nếu g ∈ PSL(2, R)
thỏa dG (g, e) < δ khi đó tồn tại
G=

g11 g12
g21 g22

∈ SL(2, R)

sao cho g = π(G) và |g11 − 1| + |g12 | + |g21 | + |g22 − 1| < ε.

1.3

Dòng

Định nghĩa 1.10. Cho X là một tập hợp. Một dòng ϕ trên X là một
tác động nhóm của nhóm cộng các số thực trên X. Cụ thể:
ϕ:R×X →X
được gọi là một dịng nếu với mọi x ∈ X và mọi số thực s và t ta có
ϕ(0, x) = x.
φ(s, ϕ(t, x)) = ϕ(s + t, x).
Thông thường ta viết ϕt (x) thay cho ϕ(t, x) và dòng (ϕt )t∈R trên X
thường được viết gọn ϕt : X → X.

Ví dụ 1.4. Đặt G = PSL(2, R). Định nghĩa
ϕG : R × G → G, ϕG (t, g) = gat , t ∈ R, g ∈ G,
θG : R × G → G, θG (t, g) = gbt , t ∈ R, g ∈ G,


9

η G : R × G → G, η G (t, g) = gct , t ∈ R, g ∈ G.
Ta thấy rằng các định nghĩa trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện
nên có nghĩa. Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.2 (a),(b) ta suy ra
a0 = b0 = c0 = e
và
at as = at+s , bt bs = bt+s , ct cs = ct+s ,

với mọi t, s ∈ R.

Ta kiểm tra ϕG là một dòng. Thật vậy, với g ∈ G và t, s ∈ R, ta có
ϕG
0 (g) = ga0 = g
và
G
G
G
ϕG
s (ϕt (g)) = ϕs (gat ) = gat as = gat+s = ϕt+s (g)

nên ϕG là một dòng trên G. Chứng minh tương tự ta cũng được θG và
η G là các dòng trên G.

10

Chương 2

Mặt phẳng hyperbolic
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về
mặt phẳng hyperbolic, tìm các đường trắc địa, xây dựng tham số cho
các đường trắc địa và đường horocycle. Các kết quả trong chương này
được tham khảo và đúc kết từ các tài liệu [2, 5].

2.1

Mặt phẳng hyperbolic

Định nghĩa 2.1. Mặt phẳng hyperbolic là nửa mặt phẳng trên
H2 = (x, y) ∈ R2 : y > 0 được trang bị mêtric Riemann g = (gz )z∈H2
cho bởi
gz (ξ, ζ) =

1
(ξ1 ζ1 + ξ2 ζ2 )
y2

với z = (x, y) ∈ H2 , ξ = (ξ1 , ξ2 ) , ζ = (ζ1 , ζ2 ) ∈ Tz H2 = R2 .
Đôi khi ta viết ·, ·

z

thay cho gz (·, ·).

Với ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ Tz H2 , chuẩn của ξ được định nghĩa
ξ

z

= gz (ξ, ξ)1/2 = ξ, ξ

1/2
z .

(2.1)


11

Hình 2.1: Nửa mặt phẳng trên H2 .

2.2

Phân thớ tiếp xúc đơn vị

Phân thớ tiếp xúc đơn vị của H2 là tập các véctơ tiếp xúc có chuẩn
bằng 1:
T 1 H2 = (z, ξ) : z ∈ H2 , ξ ∈ Tz (H2 ), ξ

z

= gz (ξ, ξ)1/2 = 1 .

Với g ∈ PSL(2, R), ta xét toán tử đạo hàm

Dg : T 1 H2 → T 1 H2
được định nghĩa
Dg(z, ξ) = (T (z), T (z)ξ),

(2.2)

trong đó T = Φ(g).
Trước hết ta kiểm tra D có nghĩa. Dễ thấy
1
Im z.
Im T (z) =
|cz + d|2
1
1
¯ suy ra
Theo (2.1) ta có gz (ξ, ζ) = 2 (ξ1 ζ1 + ξ2 ζ2 ) =
Re ξ ζ,
y
(Im z)2
1
gT (z) T (z)ξ, T (z) ξ =
Re T (z)ξ, T (z)ξ
(Im T (z))2
|cz + d|4
det A
det A
=
Re
ξ
ξ

(det A)2 (Im z)2
(cz + d)2 (cz + d)2
1
=
Re ξξ = gz (ξ, ξ).
(Im z)2


12

Rõ ràng ta thấy Dg(z, ξ) ∈ T 1 H2 vì
T (z)ξ
Nếu g =

2
T (z)

a b
c d

= gT (z) (T (z)ξ, T (z)ξ) = gz (ξ, ξ) = ξ

,

−a −b
−c −d

Dg(z, ξ) =

thì T (z) =

2
z

= 1.

az + b
, ad − bc = 1 và
cz + d

ξ
az + b
,
cz + d (cz + d)2

.

(2.3)

Bổ đề 2.1. Nếu g1 , g2 ∈ PSL(2, R) thì D(g1 g2 ) = (Dg1 ) ◦ (Dg2 ).
Chứng minh. Với g1 , g2 ∈ g1 , g2 ∈ PSL(2, R), ta có T1 = Φ(g1 ) và
T2 = Φ(g2 ), suy ra Φ(g1 g2 ) = Φ(g1 ) ◦ Φ(g2 ) = T1 ◦ T2 . Do đó với (z, ξ) ∈
T 1 H2 ,
D(g1 g2 )(z, ξ) =

(T1 ◦ T2 )(z), (T1 ◦ T2 ) (z)ξ

=

T1 (T2 (z)), T1 (T2 (z))T2 (z)ξ

= Dg1 (T2 (z), T2 (z)ξ) = Dg1 (Dg2 (z, ξ))

Bổ đề 2.2. Với z1 , z2 ∈ H2 tồn tại g ∈ PSL(2, R) sao cho Φ(g)(z1 ) = z2 .
Chứng minh. Cho z0 = x0 + iy0
√
y0

A=
0

∈ H2 và ta xét
x0 
√
y0 
1  ∈ SL(2, R).
√
y0

suy ra tồn tại T sao cho T = 1 (A) Măob H2 . Khi đó T (z) = y0 z + x0
suy ra T (i) = z0 . Cho z1 , z2 ∈ H2 tn ti T1 , T2 Măob H2 sao cho
T1 (i) = z1 và T2 (i) = z2 . Ta cú
T = T2 T11 Măob H2 T (z1 ) = (T2 ◦ T1−1 )(z1 ) = T2 (i) = z2 .
Do đó g = Φ−1 (T ) ∈ PSL(2, R). Ta có được điều cần chứng minh.


13

B 2.3. Ký hiu
StabMăob(H2 ) (i) = T Măob H2 : T (i) = i Măob H2 .

Khi ú
StabMăob(H2 ) (i) = (PSO(2)) ,
trong ú
PSO(2) = SO(2)/ {E2 , −E2 }

(2.4)

với
SO(2) =

cos θ − sin θ
sin θ

cos θ

:θ∈R

⊂ SL(2, R).

Chứng minh.
Đặt g ∈ PSO(2) và T = Φ(g). Khi đó T = Ψ1 (A) với
A=

cos θ − sin θ
sin θ

cos θ

với mọi θ ∈ R. Ta có:
T (z) =

cos θ z − sin θ
,
sin θ z + cos θ

Suy ra
T (i) =

cos θi − sin θ
= (cos θi − sin θ)(− sin θi + cos θ) = i.
sin i + cos

Suy ra T StabMăob(H2 ) (i).
Ngc li, nu T Măob H2 sao cho T (i) = i thì T = Φ(g) với
g ∈ PSL(2, R) duy nhất. Đặt A =

a b

∈ SL(2, R) sao cho g =
c d
{A, −A}. Ta cần chứng minh A ∈ SO(2), g ∈ PSO(2).Ta có
Im T (z) =

1
Im z.
|cz + d|2


14

Vì T (i) = i nên ta được 1 = |ci + d|2 = c2 + d2 . Do đó chúng ta có thể
chọn θ ∈ R sao cho c = sin θ và d = cos θ. Khi đó
ai + b
i = T (i) =
⇔ − sin θ + i cos θ = ai + b
sin θi + cos θ
Suy ra a = cos θ và b = − sin θ. Suy ra A ∈ SO(2), g ∈ PSO(2) và
T = Φ(g) ∈ Φ(PSO(2)).

Định lý 2.1. Với mọi (z1 , ξ1 ), (z2 , ξ2 ) ∈ T 1 H2 tồn tại duy nhất một
g ∈ PSL(2, R) sao cho
Dg(z1 , ξ1 ) = (z2 , ξ2 ).
Chứng minh. Cố định (z, ξ) ∈ T 1 H2 .
Bước 1: Ta chỉ ra rằng tồn tại g ∈ PSL(2, R) sao cho Dg(i, i) = (z, ξ).
Theo Bổ đề 2.2 tồn tại g1 ∈ PSL(2, R) sao cho T1 (i) = z với T1 = Φ(g1 ).
Ta xét
A2 =

cos θ − sin θ
sin θ

cos θ

∈ SO(2)

và biến đổi T2 = 1 (A2 ) Măob H2 cng nh g2 = Φ−1
1 (T2 ) ∈ PSO(2).
Khi đó T2 (i) = i theo Bổ đề 2.3.
Dg2 (i, ζ) =

i,

ζ
(sin θi + cos θ)2

= (i, (cos(2θ) − i sin(2θ))ζ)

với mọi ζ ∈ Ti (H2 ). Nếu ta đặt g = g1 g2 ∈ PSL(2, R) thì Φ(g) = Φ(g1 ) ◦ Φ(g2 ) = T1
suy ra
Dg(i, i) = D(g1 g2 )(i, i) = Dg1 (Dg2 (i, i)) = Dg1 i, (cos(2θ) − i sin(2θ))i
=

T1 (i), T1 (i)(sin(2θ) + i cos(2θ)) .

Đặt T1 = Ψ1 (A1 ) với A1 =
và do đó |T1 (i)| =

a b
c d

∈ SL(2, R), khi đó T1 (i) =

1
(ci+d)2

1
với chuẩn (chuẩn Euclide) | · | trên C. Ngoài
c2 + d2

15

ra vì (1.1) ta suy ra
Im z = Im T1 (i) =

1
1
Im
i
=
.
|ci + d|2
c2 + d2

Do đó ta được |T1 (i)| = Im z. Mặt khác
1= ξ

2
z

= gz (ξ, ξ) =

1
|ξ|2
2
(Im z)

ta suy ra |ξ| = Imz = |T1 (i)| > 0. Do đó véctơ v = (T1 (i))−1 ξ ∈ C có độ
dài bằng 1, tức là |v| = 1. Do đó chúng ta có thể cố định θ0 ∈ R sao cho
sin(2θ0 ) + i cos(2θ0 ) = v. Áp dụng với θ = θ0 , ta suy ra được

Dg(i, i) = (T1 (i), T1 (i)(sin(2θ0 ) + i cos(2θ0 ))) = (z, T1 (i)v) = (z, ξ).
Bước 2: Ta chứng minh rằng g ∈ PSL(2, R) sao cho Dg(i, i) =
(z, ξ) là duy nhất. Nếu Dgj (i, i) = (z, ξ) với g1 , g2 ∈ PSL(2, R), khi
đó T1 (i) = z = T2 (i), T1 (i)i = ξ = T2 (i)i với Tj = (gj ) Măob H2
v do ú T 1(i) = T2 (i). Định nghĩa T = T2−1 ◦ T1 ∈ Măob H2 , ta c
T (i) = T21 (z) = i và
T (w) = T2−1 (T1 (w)) T1 (w) = T2−1 ((T2 ◦ T ) (w)) T1 (w)
−1

= (T2 (T (w)))

T1 (w)

với w ∈ H2 , vì vậy
T (i) = (T2 (i))−1 T1 (i) = 1.
Do đó, ta đã chứng minh rng T Măob H2 , T (i) = i và T (i) = 1 tức
là T = id. Theo Bổ đề 2.3, chúng ta có T = Φ(g) với g ∈ PSO(2), tức là
cos θ − sin θ
T = Ψ1 (A) với A =
∈ SO(2). Khi đó
sin θ cos θ
T (w) =

1
.
(sin θw + cos θ)2

1 = T (i) =

1

(sin θi + cos θ)2


16

suy ra
1 = (sin θi + cos θ)2 = (cos2 θ − sin2 θ) + 2 sin θ cos θi.
Vì cos θ = 0 nên sin θ = 0 ⇒ cos2 θ = 1, từ đó cos θ = 1 hoặc cos θ = −1.
Trong trường hợp trước chúng ta có A = E2 và do đó T = Ψ1 (A) = id.
Nếu cos θ = −1 thì A = −E2 và do đó T = Ψ1 (A) = id. Do đó, tồn tại
duy nhất g ∈ PSL(2, R) sao cho Dg(i, i) = (z, ξ).
Chúng ta xét trường hợp tổng quát. Cố định (z1 , ξ1 ), (z2 , ξ2 ) ∈ T 1 H2 .
Dựa vào bước 1 tồn tại g1 , g2 ∈ PSL(2, R) sao cho Dg1 (i, i) = (z1 , ξ1 ) và
Dg2 (i, i) = (z2 , ξ2 ). Khi đó g = g2 g1−1 PSL(2, R) và theo Bổ đề 2.1(b), ta
suy ra Dg1−1 (z1 , ξ1 ) = (i, i). Từ Bổ đề 2.1(a) ta có
Dg(z1 , ξ1 ) = D(g2 g1−1 )(z1 , ξ1 ) = Dg2 (Dg1−1 (z1 , ξ1 )) = Dg2 (i, i) = (z2 , ξ2 ).
Để chứng minh tính duy nhất, giả sử rằng Dgj (z1 , ξ1 ) = (z2 , ξ2 ) với
g1 , g2 ∈ PSL(2, R). Cố định h ∈ PSL(2, R) sao cho Dh(i, i) = (z1 , ξ1 ) và
xét g¯1 = g1 h và g¯2 = g2 h. Khi đó
D¯
gj (i, i) = D(gj h)(i, i) = Dgj (Dh(i, i)) = Dgj (z1 , ξ1 ) = (z2 , ξ2 )
với j = 1, 2 theo Bổ đề 2.1(a). Do đó ta suy ra được g¯1 = g¯2 hay g1 = g2 .

Cho (z, ξ) ∈ T 1 H2 , phương trình
Dg(i, i) = (z, ξ)

(2.5)

có một nghiệm duy nhất g ∈ PSL(2, R) theo Định lý 2.1. Điều này cảm
sinh một song ánh:

Υ : T 1 H2 → PSL(2, R), (z, ξ) → g

(2.6)

với g ∈ PSL(2, R) thỏa (3.5). Song ánh này sẽ được dùng nhiều trong
các chương sau.


17

Đường trắc địa trên H2

2.3

Định lý 2.2. Các đường trắc địa trên mặt phẳng hyperbolic H2 là các
đường thẳng đứng và các nửa đường trịn có tâm trên trục thực.
Chứng minh.
x2+y2
L=
y2
Áp dụng phương trình Euler-Lagrange, ta có:
∂L
∂x

d
dτ

d
dτ

−

∂L
∂y

∂L
d
=0⇔
∂x
dτ

d
∂L
=0⇔
∂y
dτ

−

2x
y2

2y
y2

=0⇔

2
2
(x

−
xy)=0
y2
y

2

= 0 ⇔ y y − 2y = 0.

Khi đó
d
dτ

x2+y2
y2

2
2
2
y(x
+
y
y
)
−
(x
+
y
)y
y3

2
2
2
2
2
2
= 3 2x y + y (y − x ) − (x + y )y
y

=

vì thế

x2+y2
= C1 .
y2

= 0,

(2.7)

Chúng ta có thể giả sử rằng C1 = 1. Khi đó ta có thể viết lại như sau:
d
dτ

x
y2

= 0 ⇔ x = C2 y 2 (C2 ∈ R).

Nếu C2 = 0 thì ta có x = 0 và đường trắc địa là các đường thẳng
đứng z ∈ H2 : Re z = x0 . Nếu C2 = 0 thì bởi (2.7)
dy
y
=
=
dx x

y2 − x 2
=
x

y 2 − C22 y 4
=
C2 y 2

1 − C22 y 2
C2 y


18

hay
C2 y
1 − C22 y 2

dy = dx.

Lấy tích phân hai vế ta được:
−

1
C2

1 − C22 y 2 = x − x0

với x0 ∈ R. Do đó, đường trắc địa là nửa đường trịn có tâm trên trục
thực .
(x − x0 )2 + y 2 =

1
.
C22

Hình 2.2: Các đường trắc địa trên H2

Tóm lại, mọi nghiệm của phương trình trắc địa trong H2 là một phần
của một đường thẳng đứng hoặc một nửa đường trịn có tâm trên trục
thực.
Ngược lại, xét tham số z0 (τ ) = x0 + ieτ , (τ ∈ R) của đường thẳng
z ∈ H2 : Re z = x0 . Rõ ràng z0 thỏa phương trình đường trắc địa
z 0 (τ )

2
z0 (τ )

= gz0 (τ ) (z 0 (τ ), z 0 (τ )) =

1
z 0 (τ )

(Im z0 (τ ))2

2

=

1 2τ
e = 1.
e2τ

Xét một nửa đường cong C ∈ H2 với tâm trên đường thẳng thực có bán
kính r.
C = z ∈ H2 : |z − (x0 + r)|2 = r2 .
Lấy
z(τ ) = x0 + 2r

ieτ
ieτ + 1

(τ ∈ R),