Một số mở rộng và áp dụng của các định lý giá trị trung bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THỊ THỊNH

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA
CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

VÕ THỊ THỊNH

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ÁP DỤNG CỦA
CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn:
TS. MAI THÀNH TẤN

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Mai Thành Tấn người đã tận tình hướng dẫn để
em có thể hồn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ
giáo trong khoa Tốn - Thống kê Đại học Quy Nhơn đã dạy bảo em tận
tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè cùng các anh chị trong lớp Cao học Tốn K21 đã giúp đỡ em trong
suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắc chắn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự thơng cảm và ý kiến
đóng góp của Thầy cơ.
Xin trân trọng cảm ơn.


Mục lục

Lời nói đầu

1

1 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

4

1.1

Định lý giá trị trung bình Lagrange . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân . . . . . . . .

7

1.3

Định lý giá trị trung bình Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Định lý giá trị trung bình Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . 16

2 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH

19

2.1

Vi phân đối xứng của hàm thực . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Định lý giá trị tựa - trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Một số dạng suy rộng của định lý giá trị trung bình . . . . 28

2.4

Đạo hàm Dini của hàm thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5

Định lý giá trị trung bình đối với các hàm khơng khả vi . . 36

2.6

Định lý giá trị trung bình tích phân và các mở rộng

2.7

Ứng dụng: Biểu diễn tích phân của các trung bình . . . . . 49

2.8

Sự trùng nhau các giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . 54
i

. . . . 41


ii

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN PHỔ THƠNG 59
3.1

Bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2

Bài toán nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Kết luận

74

Tài liệu tham khảo

75


Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy rộng
của nó và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trung
bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong đạo hàm suy rộng và
tích phân đặc biệt là dành cho khối chun tốn, chúng tơi quyết định
chọn đề tài với tên gọi: Một số mở rộng và áp dụng của các định lý
giá trị trung bình để tiến hành nghiên cứu. Vấn đề này ln mang tính
thời sự trong giải tích. Chúng tơi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo
tốt cho những người tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số suy
rộng của nó với các ứng dụng trong đạo hàm, tích phân và giới thiệu một

số ứng dụng định lý giá trị trung bình trong giải tốn phổ thơng nhằm
góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Lịch sử vấn đề
Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng
trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi
nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652 - 1719) đối với đa thức vào
năm 1691. Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pour
resoudre leségalitez khơng có chứng minh và khơng có nhấn mạnh đặc biệt
nào. Định lý Rolle được sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736 - 1813)
1


2

trình bày định lý giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie des
functions analytiques vào năm 1797. Nó nhận thêm được sự công nhận
khi Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) chứng minh định lý giá trị trung
bình trong cuốn sách Equationnes differentielles ordinaires. Gần đây nhiều
phương trình hàm được nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung
bình và các suy rộng của chúng.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình
Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số mở rộng định lý giá trị trung bình.
Trình bày về định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó đối với hàm
có đạo hàm đối xứng và đạo hàm Dini. Ở đây, chúng tôi sẽ giới thiệu khái
niệm vi phân đối xứng và sau đó là định lý giá trị trung bình đối với các
hàm khả vi đối xứng. Khái niệm đạo hàm Dini được giới thiệu với một số
ví dụ, định lý giá trị trung bình đối với hàm không khả vi và định lý giá
trị trung bình đối với tích phân.
4. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình Lagrange
và một số suy rộng và áp dụng của nó. Phạm vi nghiên cứu đề tài là các
định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số mở rộng và
áp dụng định lý giá trị trung bình trong đạo hàm và tích phân suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu
liên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình và các ứng dụng
của chúng.


3

- Tham gia các buổi hướng dẫn của thầy để trao đổi các kết quả đang
nghiên cứu.
6. Đóng góp của luận văn
- Tổng quan các kết quả đã nghiên cứu liên quan đến Định lý giá trị
trung bình Lagrange và các suy rộng nhằm xây dựng một tài liệu tham
khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị trung bình.
- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một
số ví dụ minh họa hay và hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận
vấn đề được đề cập.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong luận văn gồm
có 3 chương như sau:
Chương 1, Các định lý giá trị trung bình.
Chương 2, Một số mở rộng của định lý giá trị trung bình.
Chương 3, Một số ứng dụng trong giải tốn phổ thông.
Tất cả các nội dung của luận văn được trình bày lại và tham khảo từ
các tài liệu P. K. Sahoo và T. Riedel [4] .

Chương 1

CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG
BÌNH
Trong chương này chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình của
phép tính vi phân, nghiên cứu định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai
phân. Cuối cùng sẽ chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy và
chứng minh định lý giá trị trung bình Pompeiu.

1.1

Định lý giá trị trung bình Lagrange

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định
lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này được phát hiện lần đầu tiên
bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc áp dụng
định lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Bonnet Ossian
(1819-1892). Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trong
một bài báo của nhà vật lý nổi tiếng André - Marie Ampére (1775-1836).
Nhiều kết quả của giải tích thực là hệ quả của định lý giá trị trung bình.
Cơ sở của định lý Rolle dựa vào hai kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.1. Nếu một hàm khả vi f : R → R đạt cực trị (cực đại hoặc
4


5

cực tiểu) tại một điểm c trong khoảng mở (a, b) thì f (c) = 0.
Mệnh đề 1.1.2. Một hàm f : R → R liên tục trên đoạn [a, b] thì nó phải

đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b].
Định lý 1.1.3. (Định lý Rolle). Giả sử f là hàm liên tục trên khoảng đóng

[x1 , x2 ] và có đạo hàm tại mọi x ∈ (x1 , x2 ). Nếu f (x1 ) = f (x2 ) thì tồn tại
ít nhất một điểm η ∈ (x1 , x2 ) sao cho f (η) = 0.
Như vậy định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học như sau nếu có
một cát tuyến nằm ngang của đồ thị f thì có một tiếp tuyến nằm ngang
của đồ thị sao cho tiếp điểm nằm giữa hai giao điểm của cát tuyến với đồ
thị.
Một giải thích khác của định lý Rolle là giữa hai nghiệm thực của một
hàm thực khả vi f có ít nhất một điểm tới hạn của f (nghiệm của đạo
hàm cấp một f ).
Định lý Rolle được tổng quát hóa bằng cách quay đồ thị của hàm f để
có định lý giá trị trung bình Lagrange.
Định lý 1.1.4. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và
với mọi cặp x1 = x2 trong I, tồn tại một điểm η phụ thuộc vào x1 và x2
sao cho

f (x1 ) − f (x2 )
= f (η(x1 , x2 )).
x1 − x2

(1.1)

Chú ý 1.1.5. Ta kết thúc mục này bằng một chứng minh khác của định
lý Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.2. Chứng
minh này của Tucker (1997) và Velleman (1998).


6

Giả sử f là hàm khả vi trên khoảng đóng [x1 , x2 ] và

m :=

f (x2 ) − f (x1 )
,
x2 − x1

và

y :=

x2 − x1
.
2

Khi đó y chia khoảng đóng [x1 , x2 ] thành hai khoảng con có độ dài

h=

x2 −x1
2 .

Nhận thấy rằng min{m1 , m2 }

m

max{m1 , m2 }, trong đó

m1 =

f (y) − f (x1 )
,
h

m2 =

f (x2 ) − f (y)
.
h

và

f (x+h)−f (x)
h
f (b1 )−f (a1 )
= m.
b1 −a1

Hàm g(x) =
sao cho

liên tục và nhận giá trị m nào đó trên [a1 , b1 ]

Lặp lại thủ tục này, ta xây dựng một chuỗi các khoảng lồng nhau

[x1 , x2 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...
sao cho

f (bn ) − f (an )
= m,
bn − an
với mọi n = 1, 2, ... và lim (bn − an ) = 0. Gọi η là điểm duy nhất trong
n→∞

giao của các khoảng này. Nếu η = aN với N nào đó thì η = an với mọi

n > N , nên
m=

f (bn ) − f (η)
→ f (η).
bn − η

Tương tự, có m = f (η) nếu η = bN với N bất kỳ. Nếu an < η < bn với


7

mọi n thì

m = µn

f (η) − f (an )
f (bn ) − f (η)
,
+ (1 − µn )
η − an
bn − η

với mọi n, trong đó 0 < µn =

1.2

η − an
< 1.
b n − an

Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý giá trị trung bình đối với
tỉ sai phân và trình bày một số ứng dụng đối với việc nghiên cứu các trung
bình. Chúng ta bắt đầu với định nghĩa tỉ sai phân và một biểu diễn tích
phân của tỉ sai phân. Một số kết quả của phần này có thể tìm thấy trong
sách của Isaacson và Keller (1966) và Ostrowski (1973). Trong mục này

f (n) biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm f , trong khi f biểu diễn đạo hàm
cấp một của f .
Định nghĩa 1.2.1. Với các số thực phân biệt x1 , x2 , ..., xn tỉ sai phân của
hàm f : R → R được định nghĩa là

f [x1 ] = f (x1 )
f (x1 ) − f (x2 )
.
x1 − x2
(x3 − x2 )f (x1 ) + (x1 − x3 )f (x2 ) + (x2 − x1 )f (x3 )
.
f [x1 , x2 , x3 ] =
(x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 )

f [x1 , x2 ] =

và

f [x1 , x2 , ..., xn ] =
với mọi n

f [x1 , x2 , ..., xn−1 ] − f [x2 , x3 , ..., xn ]
,
x1 − xn

2.

Theo định nghĩa của tỉ sai phân, phương trình (1.1) trong định lý giá


8

trị trung bình trở thành

f [x1 , x2 ] = f (η(x1 , x2 )).

(1.2)

Rõ ràng η phụ thuộc vào x1 và x2 và có thể yêu cầu f như thế nào khi
giá trị trung bình η phụ thuộc vào x1 và x2 theo một cách nào đó. Từ
quan điểm này, phương trình (1.2) xuất hiện như một phương trình hàm
với ẩn f và η được cho.
Định lý 1.2.2. Giả sử f : R → R có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng

min {x0 , x1 , . . . , xn }

x

max {x0 , x1 , . . . , xn } .

Nếu các điểm x0 , x1 , . . . , xn là phân biệt, khi đó
t1

1

dt1
0

n

tn−1

dt2 . . .
0

f
0

(n)

tk (xk − xk−1 ) dtn

x0 +
k=1

= f [x0 , x1 , . . . , xn ]
trong đó n

(1.3)

1.

Chứng minh. Ta chứng minh định lý này bằng quy nạp. Nếu n = 1, thì
phương trình (1.3) trở thành
1

f (t1 (x1 − x0 ) + x0 ) dt1 .

f [x0 , x1 ] =
0

Trước tiên ta thấy rằng tích phân ở vế bên phải của phương trình là tỉ
sai phân của f dựa trên hai điểm phân biệt x0 và x1 . Xét tích phân
1

f (t1 (x1 − x0 ) + x0 ) dt1 .
0

Khi x1 = x0 , đặt z = t1 (x1 − x0 ) + x0 , ta có dz = (x1 − x0 )dt1 hay

dt1 =

dz
x1 −x0 .

9

Khi t1 = 0, z = x0 và tương tự nếu t1 = 1,z = x1 . Khi đó ta có
1
0

x

1
dz
x0 f (z)dz
=
f (t1 (x1 − x0 ) + x0 ) dt1 =
f (z)
x1 − x0
x1 − x0
x0
f (x1 ) − f (x0 )
=
= f [x0 , x1 ].
x1 − x0

x1

Tiếp theo, giả sử biểu diễn tích phân trong (1.3) đúng đến n − 1, tức là
1

t1

dt1
0

n

tn−2

dt2 ...
0

f

(n−1)

tk (xk − xk−1 ) dtn−1

x0 +

0

k=1

= f [x0 , x1 , ..., xn−1 ] .

(1.4)

Ta sẽ biểu diễn (1.3) đúng với mọi số nguyên n. Đặt

w = tn (xn − xn−1 ) + ... + t1 (x1 − x0 ) + x0 .

Ta có dtn =

dw
xn −xn−1

với xn = xn−1 . Nếu tn = 0 thì

w = w0 = tn−1 (xn−1 − xn−2 ) + . . . + t1 (x1 − x0 ) + x0 .
Tương tự, nếu tn = tn−1 thì

w = w1 = tn−1 (xn − xn−2 ) + ... + t1 (x1 − x0 ) + x0 .
Áp dụng giả thiết quy nạp ta có
1

t1

dt1
0

dt2 ...
0

1

n

tn−1

f

(n)

0
t1

tk (xk − xk−1 ) dtn

x0 +
k=1

tn−2

(w1 ) − f (n−1) (w0 )
=
dtn−1
dt1
dt2 ...
xn − xn−1
0
0
0
f [x0 , x1 , ..., xn−2 , xn ] − f [x0 , x1 , ..., xn−2 , xn−1 ]
=
xn − xn−1
=f [x0 , x1 , ..., xn ] .

f

(n−1)

10

Từ biểu diễn tích phân ở trên, ta thấy rằng lấy tích phân là một hàm
liên tục theo các biến x0 , x1 , ..., xn và vì thế f [x0 , x1 , ..., xn ] cũng là hàm
liên tục theo các biến này. Nếu f (x) có đạo hàm cấp n liên tục thì biểu diễn
tích phân ở trên xác định duy nhất mở rộng liên tục của f [x0 , x1 , ..., xn ].
Chẳng hạn, nếu n = 1 thì mở rộng liên tục của f [x0 , x1 ] là


 f (x0 )−f (x1 ) nếu x1 = x0
x0 −x1
f [x0 , x1 ] =

f (x0 )
nếu x1 = x0 ,
miễn sao f có đạo hàm cấp một.
Bây giờ chúng ta trình bày giá trị trung bình đối với tỉ sai phân.
Định lý 1.2.3. Cho f : [a, b] → R là một hàm giá trị thực với đạo hàm
cấp n liên tục và x0 , x1 , ..., xn trong [a, b]. Khi đó tồn tại một điểm η trong
khoảng [min{x0 , x1 , ..., xn }, max{x0 , x1 , ..., xn }] sao cho

f (n) (η)
f [x0 , x1 , ..., xn ] =
.
n!
Chứng minh. Vì f (n) (x) liên tục trên [a, b], hàm f (n) (x) có cực đại và cực
tiểu trên [a, b]. Đặt m = min f (n) (x) và M = max f (n) (x). Khi đó từ biểu
diễn tích phân của f [x0 , x1 , ..., xn ], ta có
n

n

tk−1

m

dtk
k=1

f [x0 , x1 , ..., xn ]

tk−1

M

0

dtk ,
k=1

0

trong đó t0 = 1. Sử dụng đẳng thức
n

tk−1

1

dtk =
k=1

0

t1

dt1
0

tn−1

dt2 ...
0

dtn =
0

Ta được bất đẳng thức

m

f [x0 , x1 , ..., xn ] (n!)

M.

1
.
n!

11

Vì f (n) (x) liên tục nên ta có

f [x0 , x1 , ..., xn ] (n!) = f (n) (η),
với η ∈ [min {x0 , x1 , ..., xn } , max {x0 , x1 , ..., xn }]. Điều này cho kết quả
như đã khẳng định.
Chú ý 1.2.4. Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân có thể được
dùng để xác định trung bình hàm. Ta thấy rằng một số nút trong tỉ sai
phân có thể kết hợp thành nhóm nếu f khả vi thích hợp. Ví dụ, nếu f khả
vi thì

f [b, b, a, a] =
=
=
=
=

f [b, b, a] − f [b, a, a]
b−a
1
[f [b, b, a] − f [b, a, a]]
b−a
1
f [b, b] − f [b, a] f [b, a] − f [a, a]
−
b−a
b−a
b−a

1
[f [b, b] − 2f [b, a] + f [a, a]]
(b − a)2
f (b) − 2f [b, a] + f (a)
.
(b − a)2

Để đơn giản kí hiệu, ta kí hiệu f [b, b, a, a] bởi f [b[2] , a[2] ]. Tổng quát

f [b[n] , a[n] ] = f [b, b, ..., b, a, a, ..., a],trong tỉ sai phân này a và b xuất hiện
đúng n lần.
Giả sử f khả vi liên tục (2n − 1) lần. Ngoài ra, ta giả sử f (2n−1) (x) đơn
điệu chặt trong [a, b]. Khi đó theo định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai
phân, tồn tại một điểm η ∈ [a, b] sao cho

f [b[n] , a[n] ] =

f (2n−1) (η)
.
(2n − 1)!

Chú ý 1.2.5. Tính đơn điệu chặt của f (2n−1) (x) buộc η là một giá trị
trung bình, nghĩa là a < η < b. Hơn nữa, vì f (2n−1) (x) là đơn điệu chặt,


12

một η như thế cũng duy nhất và điều này xác định một trung bình hàm

Mfn (a, b) theo a và b. Do đó

Mfn (a, b) = f (2n−1)

−1

(2n − 1)!f b[n] , a[n]

.

Nếu n = 1 thì Mfn (a, b) trở thành

f (b) − f (a)
,
b−a

Mf (a, b) = (f )−1

đó là một trung bình hàm, được giới thiệu bởi Stolarsky (1975) và Mays
(1983).
Dưới đây là hai ví dụ minh họa bằng cách sử dụng trung bình hàm

Mfn (a, b).
Ví dụ 1.2.6. Nếu f (x) = xm , trong đó m là một số nguyên dương lớn
hơn hoặc bằng n, khi đó Mfn (a, b) =

a+b
2 .

Nếu f (x) = xm thì có thể chứng tỏ rằng

f [x0 , x1 , ..., xm−1 ] = x0 + x1 + ... + xm−1 .

(1.5)

Đặt m = 2n, x0 = x1 = ... = xn−1 = a và xn = xn+1 = ... = x2n−1 = b
trong (1.5) ta có

f b[n] , a[n] = n(a + b).
Khi đó

Mfn (a, b) = f (2n−1)

−1

(2n − 1)!f b[n] , a[n]

1
a+b
(2n − 1)!n(a + b) =
(2n)!
2
√
Ví dụ 1.2.7. Nếu f (x) = x1 thì Mfn (a, b) = ab.
=

Nếu f (x) =

1
x

có thể chứng tỏ rằng

(−1)n
f [x0 , x1 , ..., xn−1 ] =
.
x0 x1 ...xn−1


13

Do đó

(−1)2n−1
.
f b ,a
=
an bn
(−1)2n−1 (2n − 1)!
(2n−1)
Vì f
(x) =
, do đó ta có
x2n
[n]

Mfn (a, b) = f (2n−1)

−1

[n]

(2n − 1)!f b[n] , a[n]

1

= (an bn ) 2n =

√
ab.

Đặt f (x) = xp , với p ∈ R. Ví dụ 1.2.5 cho thấy rằng nếu p là một nguyên
dương lơn hơn hoặc bằng n thì trung bình hàm Mfn (a, b) là trung bình số
học của a và b. Ví dụ 1.2.6 minh họa rằng nếu p = −1, khi đó trung bình
hàm Mfn (a, b) là trung bình hình học của a và b. Horwitz (1995) đã chứng
tỏ rằng

lim

x→∞

Mfn (a, b)

√
=

ab

trong đó f (x) = xp với p ∈ R. Kết quả này nói rằng nếu f là một hàm
lũy thừa thì trung bình hàm tiến đến tiệm cận trung bình hình học. Cũng
có các trung bình khác xuất hiện trong trường hợp giới hạn của Mfn (a, b)
khi n → ∞. Chẳng hạn, nếu f (x) = ex thì

lim Mfn (a, b) =

x→∞

1.3

a+b
.
2

Định lý giá trị trung bình Cauchy

Augustine - Louis Cauchy (1789 - 1857) đưa ra một suy rộng dưới đây
của định lý giá trị trung bình mà hiện nay mang tên của ông.
Định lý 1.3.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng số
thực I và với mọi cặp x1 = x2 trong I , tồn tại một điểm η phụ thuộc vào

x1 và x2 sao cho
[f (x1 ) − f (x2 )] g (η) = [g(x1 ) − g(x2 )] f (η).

(1.6)


14

Chứng minh. Định nghĩa h(x) = [f (x1 ) − f (x2 )] g(x)−[g(x1 ) − g(x2 )] f (x)
với mọi x ∈ I . Khi đó h khả vi trên I và ngồi ra, ta có

h(x1 ) = f (x2 )g(x1 ) − g(x2 )f (x1 ) = h(x2 ).

Theo định lý Rolle ta có η ∈ (x1 , x2 ), sao cho

0 = h (η) = [f (x1 ) − f (x2 )] g (η) = [g(x1 ) − g(x2 )] f (η).
Chú ý 1.3.2. Định lý giá trị trung bình Cauchy được sử dụng trong việc
chứng minh một phương pháp thơng dụng để tính giới hạn của các hàm.
Phương pháp này của Guillaume Francois Marquis de L’Hospital (16611704) và được gọi là quy tắc L’Hospital. Năm 1696,Marquis de L’Hospital
biên dịch bài giảng của thầy ông là Johann Bernoulli (1667-1748) và quy
tắc L’Hospital đầu tiên xuất hiện. Chính xác hơn nên gọi quy tắc này là
quy tắc Bernoulli - L’Hospital.
Định lý 1.3.3. Cho f, g : [a, b] → R là những hàm giá trị thực có đạo hàm
cấp n liên tục và g (n) (t) = 0 trên [a, b]. Hơn nữa, cho x0 , x1 , ..., xn trong

[a, b]. Khi đó tồn tại một điểm η ∈ [min {x0 , x1 , ..., xn } , max {x0 , x1 , ..., xn }]
sao cho

f [x0 , x1 , ..., xn ] g (n) (η) = g [x0 , x1 , ..., xn ] f (n) (η).
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử x0

(1.7)

x1

...

xn . Nếu x0 = x1 = ... = xn thì từ định nghĩa của tỉ sai phân và từ việc f
và g khả vi liên tục cấp n, (1.7) đúng với x0 = x1 = ... = xn = η.
Giả sử x0 < xn . Với x0

t

xn , định nghĩa

F (t) = f [t, x1 , ..., xn−1 ] và G(t) = g [t, x1 , ..., xn−1 ] .

(1.8)


15

Từ định nghĩa của tỉ sai phân và (1.8) ta thấy rằng

f [x0 , x1 , ..., xn ] =

F (x0 ) − F (xn )
x0 − xn

(1.9)

g [x0 , x1 , ..., xn ] =

G(x0 ) − G(xn )
.
x0 − xn

(1.10)

và

Vì g (n) = 0 trên [a, b], ta có thể kết luận rằng g [x0 , x1 , ..., xn ] = 0. Tiếp
theo, đặt

H(t) = g [x0 , x1 , ..., xn ] F (t) − f [x0 , x1 , ..., xn ] G(t).

(1.11)

Sử dụng (1.9) và (1.10) trong (1.11) dễ dàng thấy rằng

H(x0 ) = H(xn ).

(1.12)

Tính tuyến tính của tỉ sai phân và (1.11) kéo theo

H(t) = g [x0 , x1 , ..., xn ] F (t) − f [x0 , x1 , ..., xn ] G(t)
F (x0 ) − F (xn )
G(x0 ) − G(xn )
F (t) −
G(t)
x0 − xn
x0 − xn
F (x0 ) − F (xn )
G(x0 ) − G(xn )
f [t, x1 , ..., xn−1 ] −
g [t, x1 , ..., xn−1 ]
=
x0 − xn
x0 − xn
=

=h [t, x1 , ..., xn−1 ] ,

trong đó

h(t) = g [x0 , x1 , ..., xn ] f (t) − f [x0 , x1 , ..., xn ] g(t)
với x0

t

(1.13)

xn . Đạo hàm H(t) đối với t, ta có từ tính chất tỉ sai phân
H (t) = h [t, t, x1 , ..., xn−1 ] .

(1.14)

Vì f và g khả vi đến cấp n, nên h cũng vậy. Vì vậy sử dụng đinh lý giá trị
trung bình đối với tỉ sai phân, ta có

h(n) (ξ(t))
h [t, t, x1 , ..., xn−1 ] =
,
n!

(1.15)


16

với ξ(t) nào đó trong khoảng đóng [x0 , xn ]. Vì vậy từ (1.13) và (1.14) ta
có

H (t)

h(n) (ξ(t))
.
n!

(1.16)

Vì H khả vi và H(x0 ) = H(xn ) ta được

H (θ) = 0,

(1.17)

với θ nào đó trong (x0 , xn ). Từ đây và (1.16), gọi ξ(θ) là η , ta có

h(n) (η)
= 0.
n!

(1.18)

Sử dụng (1.13) trong (1.18) , ta thấy rằng

g [x0 , x1 , ..., xn ] f (n) (η) − f [x0 , x1 , ..., xn ] g (n) (η) = 0,

(1.19)

với η ∈ [x0 , xn ].

1.4

Định lý giá trị trung bình Pompeiu

Vào năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung
bình Lagrange và ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu.
Định lý 1.4.1. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng đóng

[a, b] khơng chứa 0 và với mọi cặp x1 = x2 trong [a, b], tồn tại điểm ξ ∈
(x1 , x2 ) sao cho
x1 f (x2 ) − x2 f (x1 )
= f (ξ) − ξf (ξ).
x1 − x2
Chứng minh. Định nghĩa một hàm giá trị thực F trên khoảng

F (x) = tf

1
.
t

(1.20)
1 1
b, a

bởi
(1.21)


17

Vì f khả vi trên [a, b] và 0 khơng thuộc [a, b], ta thấy rằng F khả vi
trên

1 1
b, a

và

F (t) = f

1
t

1
− f
t

1
.
t

(1.22)

Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với F trên khoảng [x, y] ⊂

1 1
b, a

,

ta có

F (x) − F (y)
= F (η),
x−y
với η ∈ (x, y) nào đó. Đặt x2 = x1 , x1 =

1
y

(1.23)

và ξ = η1 . Vì η ∈ (x, y), ta có

x1 < ξ < x2 .
Bây giờ ta sử dụng (1.21) và (1.22) trong (1.23), ta có

xf

1
x

− yf
x−y

1
y

=f

1
η

1
− f
η

1
η

hay

x1 f (x2 ) − x2 f (x1 )
= f (ξ) − ξf (ξ).
x1 − x2
Chú ý 1.4.2. Dưới đây là ý nghĩa hình học của định lý này. Phương trình
của cát tuyến nối các điểm (x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )) được cho bởi

y = f (x1 ) +

f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) .
x2 − x1

Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm (0, y), trong đó y là

f (x2 ) − f (x1 )
(0 − x1 )
x2 − x1

x2 f (x1 ) − x1 f (x2 ) − x1 f (x2 ) + x1 f (x1 )
=
x2 − x1
x1 f (x2 ) − x2 f (x1 )
=
.
x1 − x2

y = f (x1 ) +


18

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) là y = (x − ξ)f (ξ) + f (ξ).
Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm (0, y), trong đó y = −ξf (ξ) + f (ξ).
Nếu tiếp tuyến này cắt trục tung cùng điểm của cát tuyến trên thì ta có

x1 f (x2 ) − x2 f (x1 )
= f (ξ) − ξf (ξ).
x1 − x2
Đó là phương trình (1.20) trong Định lý 1.4.1. Do đó ý nghĩa hình học
là tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) cắt trục tung tại điểm như của cát tuyến
nối các điểm (x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )).


Chương 2

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA CÁC
ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Trong chương trước, chúng tơi nghiên cứu nhiều định lý giá trị trung

bình cho hàm khả vi theo chiều hướng cổ điển. Bên cạnh bàn về những
bài toán trơn cổ điển, các nhà toán học trong những thập kỷ qua từ nhiều
lĩnh vực khác như kinh tế và kỹ thuật đã bàn về các bài tốn tối ưu hóa
khơng khả vi, khơng trơn. Trong nhiều bài tốn tối ưu hóa khơng trơn các
đạo hàm suy rộng như đạo hàm Dini và định lý giá trị trung bình tương
ứng được sử dụng. Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một số định lý giá
trị trung bình và sự suy rộng của chúng khi một hàm có đạo hàm suy rộng
như đạo hàm Dini hoặc đạo hàm đối xứng. Bắt đầu chương này với một
giới thiệu sơ cấp về vi phân đối xứng.

2.1

Vi phân đối xứng của hàm thực

Nhắc lại rằng đạo hàm của hàm thực f là hàm từ R → R tại một điểm
(x)
x được cho bởi giới hạn f (x) = lim f (x+h)−f
với điều kiện giới hạn này
h
h→0

tồn tại. Giới hạn tồn tại nghĩa là nó tồn tại và hữu hạn. Trong nhiều

19


20

năm qua các nhà toán học đã đề xuất nhiều đạo hàm suy rộng bằng cách
thay vế bên phải của định nghĩa đạo hàm đã nêu ở trên. Nếu ta thay thế

f (x+h)−f (x)
h

bởi

f (x+h)−f (x−h)
,
2h

khi đó ta được một đạo hàm suy rộng. Đạo

hàm suy rộng này được gọi là đạo hàm đối xứng của hàm f .
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm thực f trong khoảng (a, b) được gọi là khả
(x−h)
tồn tại.
vi đối xứng tại điểm x trong (a, b) nếu giới hạn lim f (x+h)−f
2h
h→0

Ta sẽ kí hiệu đạo hàm này là f s (x). Nếu một hàm là khả vi đối xứng tại
mọi điểm của một khoảng, khi đó ta nói nó khả vi đối xứng trên khoảng
đó. Dễ dàng chứng tỏ rằng nếu một hàm là khả vi, khi đó nó cũng khả vi
đối xứng.
Định lý 2.1.2. Mọi hàm khả vi là khả vi đối xứng.
Chứng minh. Cho x là một điểm tùy ý. Ta sẽ cho thấy rằng đạo hàm đối
xứng f s (x) tồn tại. Vì

f (x + h) − f (x − h)
h→0
2h

f (x + h) − f (x)
f (x) − f (x − h)
= lim
+ lim
h→0
h→0
2h
2h
1
1
= f (x) + f (x) = f (x).
2
2

f s (x) = lim

Đạo hàm đối xứng của f , nghĩa là f s (x) tồn tại tại mọi điểm x. Do đó

f là khả vi đối xứng.
Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng như các ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.1.3. Hàm f (x) = |x| là khả vi đối xứng tại 0 nhưng không khả
vi tại 0.
(x)
(x−h)
Để thấy được điều này, ta xét giới hạn lim f (x+h)−f
và lim f (x+h)−f
h
2h
h→0

h→0