Một số ứng dụng và mở rộng của bất đẳng thức cauchy schwarz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY
NHƠN

VÕ NGUYEN PHƯƠNG DUNG

___ X ________________ ___________________X __?• ________

___—

—

_ ____ X____

MỘT
SƠ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BAT
•••
ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Đinh - 2020


VÕ NGUYEN PHƯƠNG DUNG

___ X ________________ ___________________X __?• ________

___—

—

_ ____ X____

MỘT SƠ ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG CỦA BAT
•••
ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 846 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hưống dẫn:


TS. MAI THÀNH TAN


Mục lục
••

QUYET ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao).......................................

MỞĐẦU
Bất đẳng thức là một đề tài hay và giữ một vai trị đặc biệt quan trọng trong tốn
học. Bất đẳng thức có ứng dụng trong tất cả các lĩnh vực Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Trong các kì thi chọn học sinh giỏi, Olympic tốn sinh viên,
các bài toán bất đẳng thức thường xuyên được sử dụng làm đề thi và thường ở dạng
khó nên chuyên đề này luôn được quan tâm đặc biệt. Một trong những bất đẳng thức
cơ bản và có ứng dụng rộng rãi nhất đó chính là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Chính

vì thế, tơi nhận thấy việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có ý nghĩa đặc
biệt quan trọng. Bởi vậy, tôi lựa chọn đề tài "Một số ứng dụng và mở rộng của bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz".
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay còn được gọi vối tên khá dài là bất đẳng thức
Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, thường viết tắt là bất đẳng thức BCS, được đặt theo
tên của ba nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, Viktor Bunyakovsky và Hermann
Amandus Schwarz. Trong suốt quá trình phát triển của tốn học, những nhà tốn học
ln nghiên cứu và phát triển bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để cho ra những kết quả
hay, đi cùng đó là khả năng ứng dụng ngày càng rộng rãi trong toán học.
Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1: Chương này tập trung nêu và chứng minh bất đẳng thức CauchySchwarz ở dạng sơ cấp, dạng có nhiều ứng dụng trong giải tốn phổ thơng. Trình bày
một số bất đẳng thức kinh điển thông qua bất đẳng thức Cauchy- Schwarz cùng một số

4


bài tốn ứng dụng.

Chương
2:
Trình
bày
một
số
dạng
khác
của
bất
đẳng
CauchySchwarz

số
mở
cùng
của
một
bất
sốđẳg
bất
thức
đẳng
Cauchy-Schwarz
thức
liên
quan
cho
và
đặc
hàmthức
biệt
số và
hay
là
cho
một
bất
tục.
kỳrộng
số
lượng
véctơ

và
hàm
số
ở cả
hai
dạng
rời
rạc
liên

5


6

Luận văn này được hoàn thành dưối sự hưống dẫn tận tình của TS. Thầy Mai Thành
Tấn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến Thầy. Đồng thời, tác giả cũng
xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy cơ giáo trong Khoa Tốn, Trường Đại Học
Quy Nhơn, cùng lốp Cao học Toán K21 đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài.

Mặc thầy
dù
đãcơ
cố
gắng
hết
sức
trong
q

trình
thực
hiện
luận
văn,
nhưng
nghiên
do
cứu
điều
khoa
kiện
học
thời
cịn
gian
nhiều
có
hạn
hạn,
chế
trình
nên
luận
độ
và
văn
khó
nghiệm
tránh

q
khỏi
nhiều
thiếu
và
bạn
sót.
bè
Rất
để
luận
mong
văn
nhận
được
được
hồn
sự
góp
thiện
ýkinh
tận
hơn.
tình
của

6


Chương 1

Bât đăng thức Cauchy-Schwarz và
một so ứng dụng
Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
ở dạng sơ cấp có nhiều ứng dụng trong giải tốn phổ thơng. Đồng thời chứng minh
một số bất đẳng thức khác thông qua bất đẳng thức Cauchy- Schwarz cùng một số
ứng dụng trong đại số, hình học và lượng giác.

1.1 Bât đăng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những công cụ cơ bản ở phần lốn
các bài tốn chứng minh bất đẳng thức. Nó tồn tại ở nhiều phiên bản khác nhau, tuy
nhiên ở mức độ phổ thông, chúng ta chỉ quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp và các
cách chứng minh bất đẳng thức này rất đa dạng. Sau đây, ta sẽ đi tìm hiểu một số cách
chứng minh thú vị.
Định lý 1.1.1 ([23]). (Bat đang thức Cauchy-SchLwarz) Ncu ai, a2,...,an Và b ,b ,...
i

2

,bn là các số thực tùy ý, thì
(aibi + a2b2 + • • • + anbn^ < (ai + a + • • • + a“n (bi + b2 + • • • + bn).
2

Đang thức xảy ra khi và chỉ khia = a' = • • • = a .
1

bi

2

b2

n

bn

(1.1)


Chứng minh. Trong nhiều tài liệu, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được
chứng minh bằng cách sử dụng tính chất tam thức bậc hai hay chứng minh thông qua
một số bất đẳng thức khác như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Jensen. Nhưng
ở đây, chúng tôi sẽ chỉ sử dụng các phép biến đổiđại số sơ cấp và đặc biệt là sử dụng
hình học để chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Cách 1. Sử dụng hằng đẳng thức.
Ta có
nn

nn

n

n

£ a? £ b2 i=1

abab

i i j j

i=1
nn

nn

=1 £ £(a b +a?b ) - ££ aibiaj b3
2 2

2

i=1 j=1
1 nn

= 22
=2

i=1 j=1

££
££ '- ajbi)
(a b - 2a b a bi+a b2)

?j

i=1 j=1 nn

2

ij j

?

i=1 j=1

=

(aibj - ajbi) ,
2

1
hay
nn

n2

£a? £b? -(£ aiM = £ (aibj- aJbi) .

(1.2)

2

i=1

i=1

i=1

1

Đẳng thức (1.2) được gọi là hằng đẳng thức Lagrange.
Vì thế, từ (1.2) ta suy ra được
nn

£ a? £ b? >
i=1

i=1

Cách 2. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Vối n =1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức. Xét khi n = 2, ta có
(a + a?)(bi + b?) - (aibi + a2bì
2

))

= (a2bi + aibì

))

>

0.

Giả sử đẳng thức đúng khi n = k (k > 2). Xét khi n = k + 1. Áp dụng kết quả trường
hợp n = 2 vối hai bộ
^ựai+ a2+ • • •+ ak, lak+iộ,

ta có

+ a? + • • • + ak

+ ak+i|

|

2


10
b

1

+b

2

+

• • • + bk +

I ak+1bk+1

+ a + • • • + ak

>

2

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại
có
( a1

+a +

2

• • • + ak) (b1 + b2 + • • • + bk) > (a1b1 + a2b2 + • • • + akbk) .

Suy ra
ự(a + a +--------+ an)(b + b2 +--------+ bn) > |aibi + a2Ỉb2 +---------akbk
2

2

2

Kết hợp đánh giá này vối đánh giá trên, ta được
f

a2^
akbk

bộ
i=1

>( a1b1

a b

>( 1 1

+a b +

22

• • • akbk

+a

b

k+1 k+1

i=1

+ a2b2 +
+
ak+1bk+1
)

> a1b1 + a2b2 + • • • + akbk + ak+1bk+1 2.

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k +1. Theo nguyên lý
quy nạp, ta có nó đúng vối mọi n > 1.

Cách 3. Chứng minh không sử dụng từ ngữ.
Trong [20], R. Nelsen đã chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau

Hình 1.1: Chứng minh của R.Nelsen.


11

ở phía bên phải của Hình 1.1, chúng ta có thể thấy một hình bình hành được hình
thành ở giữa và bên trái thì là một hình chữ nhật. Cả hai đều có độ dài các cạnh như
nhau. Tổng diện tích trong hình bên phải rõ ràng lốnhơn hoặc bằng bên trái và chúng
ta có thể biểu thị bất đẳng thức của tổng diện tích như sau
(\x\ + \a\)(\y\ + \b\) < 2Q\x\\y\ + 1 \a\\bộ + Vx + y Va
2

2+

2

b ,

?

hay
\x\\b\ + \y\\a\

(1.3)

\ x + y Va + b .
2

2

2

2

Ta lại có
\ xb

+ ya\ < \ x\\ b\ + \ y\\ a\ .

(1.4)

KếthỢp (1.3) và (1.4) ta được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Hay trong [22], S.
H. Kung lại có một chứng minh khác như sau.

Hình 1.2: Chứng minh của S. H. Kung.
Trong Hình 1.2, ta có thể thấy rằng hai khu vực khơng tơ màu có cùng kích
thưốc. Do đó
\x\\a\ + \y\\b\ =

ỵ/x2 + y2ỵ/a + b sinỡ < ỵ/x + y2ỵ/a + b .
2

2

2

2

2

(1.5)

Kết hợp vối bất đẳng thức trên và (1.4), ta suy ra được bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz.

□

Ngồi dạng sơ cấp trên, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cịn tồn tại ở dạng phân
thức vối nhiều ứng dụng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi,
Olympic quốc gia và quốc tế. Nó giúp giải quyết được một lốp các bất đẳng thức
chứa các đại lượng có dạng phân thức.
Hệ quả 1.1.1 ([2]). (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức) Nếu a , a ,...
i

2

,an là các số thực và bi,b2,bn là các số thực dương, thì
a?

a?

ai

ai + a2 + • • • + an

(1.6)


12

,
bi

bi

+-------+ 7 >
bi

7—

bi + b? +-----+ bn


13

Chứng minh. Trong (1.1), chọn x =

,yĩ = y/% vối a , bĩ G R,bĩ > 0, ta thu

ĩ

z7

ĩ

'

vh

được bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức.

□

1.2 Một số ứng dụng của bất đẳng thức CauchySchwarz trong đại số
Có rất nhiều bất đẳng thức kinh điển và một số bất đẳng thức khác có thể được
suy ra từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Dưối đây, chúng tôi sẽ sử dụng bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz để chứng minh các kết quả kinh điển đó. Đồng thời, trình bày
một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong việc giải các bài toán
chứng minh bất đẳng thức đại số.

1.2.1 Chứng minh một số bất đẳng thức cổ điển và một số bất đẳng
thức khác
Hệ quả 1.2.1 ([23]). (Bất đẳng thức AM-GM) Nếu a ,a ,... ,a là các số thực
i

2

n

khơngâm thì
/ ai + a2 + • • • + an

,~

(aia2 • • • an)n <---------------------------.
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = • • • = a
i

2

fl

(1.7)

n

Chứng minh. Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh bất đẳng thức
đúng ở cả hai trường hợp sau.

Trường hợp 1. Với n = 2 ,k > 1.
k

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
/ ai

+a

2

(1.8)

—,

a a

Vi 2<

2

là bất đẳng thức (1.7) vối n = 2.
Áp dụng (1.8) hai lần, ta được (1.7) đúng vối n = 4
1

ĩ

.

..1

(1.9)
4

(aia2) + (a3a4) 2
2

ai + a2 + a3 + a4

(aia2aza^ 4 < ---------------- -—2--------- < ---------------•-------------

Tiếp tục áp dụng (1.9) và (1.8) ta có

(1.10)


14

/
. (aia2a3a^ + (a5a6a7a8^ ai + a2 + • • • + a8

(aia2 • • • a8) 8 < ---------------------------------------------- < ----------------8--------1


15

Bất đẳng thức (1.7) cũng đúng vối n = 8.
Lặp lại quá trình trên k lần, ta được (1.7) đúng vối n = 2
(aia2 ...a2k) < a + a 2

+89

i

2k

k

vối k > 1.

(1.11)

Trường hợp 2. Với 2 < n < 2 , k > 1.
k-i

k

Bưốc tiếp theo, ta sẽ lấp đầy khoảng trống giữa 2 và 2 bằng cách lấy một giá trị n
k-i

k

< 2.
k

Thật vậy, xét a = a vối 1 < i < n và đặt
i

i

a +a +

1

+a

2

nk

ai = —---------------------------------- = A vối n < i < 2 .
n
n

Áp dụng bất đẳng thức (1.11) cho{
(

, ta được

a +a +

-2k_n)

„ i

-n

(aia2 • • • an.A ' )
2

k

• • • + an

2

+ 2k —

(

A

< ------------------------2k"-------------------—
(\ -V . n aia2 • • • an) < A
2

hay

n

2k

= A,

.

k

2

Nâng lũy thừa bậc — cả hai vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh
ai + a2 + • • • + a

n

n

âm, khi đó
(1.12)
Hệ quả 1.2.2. (Bất đẳng thức AM-HM) Với a ,a ,...,a là các số thực không
i

2

n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = • • • = a .
i

2

n

(ai + a2 + • • •

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

> n2.

(
. ) / 1,1
1V í 1
1,
(ai + a2 + • • • + an lị---------1----+ • • • — > ai----------------+ a2------+ • • • +

an—

ai

a2

an

ai

a2

2

a

n

= „2.
=n.

Hệ quả 1.2.3 ([2]). Với mọi dãy số thực a , a ,... ,a ta có
i

2

n

(ai + a2 + • • • + an) < n(ai + a + • • • + a^n).
2

8
9(aia2 • • • an) <
n

(1.13)


16

Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vối hai bộ
a , a , . . . , a , 1, 1, . . . , 1 ,
1

2

n

trong đó bộ số thứ 2 gồm n số 1.

□

Hệ quả 1.2.4 ([23]). Nếup > 0 với 1 - k - n vàp + p + ... + p = 1, khi đó
k

1

L . 1 \\_3 .
> Pk + —
Pk

2

n

1
— n + 2n + -.
n
3

Chứng minh. Ta có
nn2 n n

n

— 2n + V' P2 + V' -2

y^ịpk +--------)
pJ
k=i
k=1 V

k=1 k=1 k

(1.14)

p

k=i

Áp dụng Hệ quả 1.2.3 ta được

Eo

(pi + P2 +------------+ Pn)

n

2

1

(1.15)

nn k=1

k

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có (n
\ 2n

1

n

£VPĨ•“;=) - £ Pk£p •
Ếí
w

Ếí Ếípk

hay
1

n

n - £ -.
2

' Ỉ=1 p

Suy ra
-•( £ ế

(1.16)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta lại có

n

2

n

(£ PÙ - n £ P2
\T=1 w - k=i Pk

k=1 k

k=1

(1.17)

Kếthợp (1.16) và (1.17), ta được
n
n3

- £ p2 .
k=1

P

(1.18)

k

Do đó, từ (1.14),(1.15) và (1.18) ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
□

17

Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vối hai bộ


18

Hệ quả 1.2.5 ([3]). (Bất đẳng thức tam giác) Với
a1,a2,... ,ak và b1,b2,. các số thực tùy ý, thì
n

n

k

n

AI

Mỉ

\Ếak+\

..,b là

(1.19)

ak + bk

k=i

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
(n

X2n

n

52 k( k M) <52 k-52 ak + bk . k=1k=1
a

a +

a

k=1

Suy ra
n

n

ak ak + bk <

a +b .

(1.20)

a +b .

(1.21)

k

k

2

k=1

k=1

Tương tự ta có
n

n

n

bk ak + bk <

k

k=1

k

2

k=1

hay
n

n

a +b
k

k

n

a +b

2

k

k=1

k

2

a

k

+

k=1

k=1

Cộng vế vối vế của bất đẳng thức
(1.20),(1.21) ta suy ra
n

ak + bk <

n

s ak + k=1
k=1

Bất đẳng thức được chứng minh xong.
Hệ quả 1.2.6 ([2]). Với a ,a ,...,a ; b ,b ,... ,b là các số thực. Khi đó
1

2

n

1

n

2

> \/(a1 + a2 + • • •++ a+n) + (b1+ + b2a ++ • • • + bn) .
b
2 • • • V n bn
+b +
Chứng minh. Vối n =1, bất đẳng thức (1.22) trở thành đẳng thức. Vối n = 2,
2

2
1

ta có

2

(1.22)


19

ai + bl + A/ a" + b2 > ỵ/(ai + a2) + (bi + b2) hay
(a + bi) • (al + bl) > (aia2 + bibl) ,
2

2

2

2

2

đúng vối bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k. Xét khi n = k + 1. Áp dụng giả thiết
quy nạp, ta có
+

\/aĩ b1

+

\/a2+ b2+

+

\/ak+ bk+ \ a.+ bk+i

> /(a1 + a2 + • • • + ak)2 + (b1 + b2 + • • • + bk)2 + ak+i + bk+i
>/(a1 + a2 + • • • + ak+1)2 + (b1 + b2 + • • • + bk+1)2.

Vì vậy, bất đẳng thức đã cho đúng vối mọi số nguyên dương n.
□

Hệ quả 1.2.7 ([1]). Với m, n là hai số nguyên dương và aij (1 < i < m, 1 < j <
n) là các số thực tùy ý, khi đó
n

m

E'>A

(1.23)

i=i

Chứng minh. Bình phương hai vế, ta có thể viết được bất đẳng thức (1.23)
dưối dạng
nm
EE

4+2 E

j=1 i=1

1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
m

E
1
i=1
i=1

a

M

i=1

i=1

mm

E j>
11<ki=1

EE

a

a .

ik ij

Từ đó suy ra
m
i=1

m
i=1

nm
nm

m

Ea2k) E j >EEa+2.,E, E

i=1 i=1 j=1 i=1 1j=1 i=1
mn

=

a

ik ij

1m

aij + 2
i=1 j=1

a

aikaij
i=1 1

20
mn

=

a

ij

+2

i=1 ' j=1
mn

aik aij

J

12

=Ẽ(Ẻ °ề) .
i=1

j=1

Phép chứng minh được hoàn tất.
Hệ quả 1.2.8 ([2]). (Bất đẳng thức Nesbitt) Với a,b,c là các số thực

dương, khi đó
abc3
7—i 1 + ---------1--:—7 > n .
bI c cI a aI b 2

(1.24)

Chứng minh. Ta có
(a + b + c) f

+ -^~ + TTri
bI c cI a aI b

+ 77-------------+ 1. If + 7-----------------+ , , ,,
ab I ac bc I bd cd I ce de I df ef I ea 2fa I fb
(a I b I c I d I e I f)

= ^—--------+ 1. ! 1

Gọi S là mẫu số của phân thức nói trên. Khi đó, ta có
2S =(a + b + c + d + e + f )
-(

2

a + b + c + d + e + f + 2 ad + 2 bd + 2 cf ) .
2

2

2

2

2

2

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
a +b +c +d +e +f +2ad + 2bd+2cf

2

2

2

2

2

2

=(a+d) +(b+e) +(d+f)
2

> 1(a

2

2

+b+c+d+e+f).
2

3

Do đó
2S < 2(a + b + c + d + e + f) .
3
2

(1.26)

Từ (1.25) và (1.26) ta có được bất đẳng thức cần chứng minh.
□
Hệ quả 1.2.10 ([23]). Với \a : 1 < j < m, 1 < k < n} là một dãy số thực, khi
>

ab + bc + cd + de + ef + f a + ac + ce + ea + bd + df + fb

(1.25)


21

đó ta có
mn2nm2mn2mn

k) + n

m

a

j=1 k =1

j'M + mn

a

k =1 j=1

j.

a

k) <(
j=1 k =1

(L27)

j=1 k =1

Chứng minh. Nếu ta xem {x j : 1 < j < m, 1 < k < n} là một vectơ độ dài mn,
i

khi đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
mn2mn

jk.

X

j'M < mn

j=1 k =1

x

j=1 k =1

Đặt
x

jk — ajk

trong đó

rj ck

,

nm
nm

rj —

ajk, ck —

ajk.

(L28)


22

hay
mn2nm2mn2mn

J + n aJ <[

ma

a

jfc)

+ mn

j =1 k=1

jk.

a

j=1 k =1

k =1 j=1

j=1 k =1

j=1 k =1

Bất đẳng thức được chứng minh xong.
Hệ quả 1.2.11 ([8]). Với a, b, c và x, y, z là các số thực dương, khi đó

/

/

—•— /b + c) +------y— c + a) +---•— /a + b) — A 3 ab + bc + ca).

+

+bc+ca+

4'■b+bc+ca

yĩ

-J

}+

(-+-) +(x+ĩ) +2
X -ựa + b + c + 2 /ab + bc + ac)
2

2

2

=Rl^ ‘ +( xL) 2 + ( xh)
y+ z
z+ x

x+ y

Do đó ta chỉ cần chứng minh được
f -ĩ- ) +f -s- ) +f -ị- V +3 < f +-i- )

y+ z
z+ x
x+ y 2 y+ z z+ x x+ y
2

2

2

(1.29)


23

Bất đẳng thức này tương đương vối
yz + xz + xy > 3
x+y x+z y+x y+z z+x z+y 4 hay
222222

x y + y x + y z + z y + z x + x z > 6xyz.

Bất đẳng thức này đúng theo AM-GM.
Bất đẳng thức được chứng minh xong.
□
Hệ quả 1.2.12 ([3]). Với các số thực không âm ai, bi (i = 1,... ,n), ta có

n

a

3

(1.30)

V'.

i=1

i

4

n

a

i>
2=i=1
bi >

(1.31)

i

Chứng minh. Đe chứng minh hai bất đẳng thức trên, trưốc tiên ta cần chứng
minh hai bất đẳng thức phụ sau.

Với ai,bi,Ci,di > 0 (i = 1,..., n), khi đó
n4nnnn
abcd

///

J<

a4

•

b4

•

c4

•

d

i.

(1 32)

.


Do đó ta chỉ cần chứng minh

Bất đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Ta tiếp tục chứng minh bất đẳng thức (1.33).

Rõ ràng bất đẳng thức đã cho đúng nếu Vn= a b c = 0, nên ở đây ta sẽ xét I2n=i a b c
1

i

i

i

i

> 0. Theo (1.32), vối mọi x , y , z , t > 0, ta có
i

i

i

i

nnnn

zx • z y • z • zt
4

4

4

4

Suy ra
n

3

n

n

n

( z aibiciỊ < z ai • z bi • z ci .
3

i=i

3

i=i

3

i=i

i=i

Hai bất đẳng thức phụ đã được chứng minh xong.
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (1.30).
Áp dụng (1.33), ta có

Suy ra

n3

a3

(Ễ aiY

\i=i /
Ị-1 bị > / n V i=i i

b

i

Tương tự, để chứng minh bất đẳng thức (1.31) ta sử dụng (1.32), ta được

i

i


hay

4

n

n aý. (ẳ “)
b3 >

Ea

\ 2L

-1

i)
i=l /
n

x3

b

i
i=l

\

(go.)

Phép chứng minh hoàn tất.

1.2.2

Một số ứng dụng khác

Một số bất đẳng thức, nếu ta để ở dạng ban đầu thì rất khó để có thể sử dụng bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh chúng. Tuy nhiên, bằng một số biến đổi,

ta có thể đưa chúng về dạng mà bất đẳng thức Cauchy- Schwarz có thể được áp dụng
và mang lại kết quả mong muốn. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài
tốn như thế. Để cho gọn trình bày, chúng tơi sẽ sử dụng các kí hiệu Ị Ị và E để chỉ
tổng và tích tuần hồn, chẳng hạn như n f (a, b) = f (a, b)f (b c)f (c, a) E f (a> b) = f (a> b) + f (b c) + f (c> a).
Ví dụ 1.2.1. Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0, ta đều có

/

a2

a
I
V 4a + ab + 4b + V
2

b2

/b
I/
4b + bc + 4c +

2

c2
<
V 4c + ca + 4a “

2

2

2

2

2

2

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

íV

.

a2

I

V 4a + ab + 4b ì
2

2

a2

(4a + ab + 4b2) (4a + ac + 4c2)
^8 E a + E ab) ^8 E a b + abc E a)
4a + ab + 4b
4b + bc + 4c

4c + ca + 4a
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Do đó ta chỉ cần chứng minh
^8 a + ab) ^8 a b + abc a)
2

2

2

< (4a2 + ab

+ 4b )(4b + bc + 4c )(4c + ca + 4a ).
2

2

Thực hiện phép khai triển trực tiếp, ta được

2

2

2