Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Đinh - Năm 2019


CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TỐN TỬ

Chun ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số
: 8460104

Người hướng dẫn: TS. LÊ CƠNG TRÌNH


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan mọi kết quả của đề tài “Một số đặc trưng của hàm đơn
điệu toán tử ” là cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn của TS. Lê
Cơng Trình.
Các nội dung và kết quả sử dụng trong luận văn đều có trích dẫn và chú

thích nguồn gốc. Nếu có điều gì gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm về
luận văn của mình.
Bình Định, tháng 07 năm 2019
Hoc viên thưc hiện đề tài

Châu Thị Huỳnh Trâm


Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ
MỞ ĐẦU

HIỆU

1
3

1

Kiến thức chuẩn bị
5
1.1 Toán tử tuyến tính trên khơng gian Hilbert....................................... 5
1.2 Định lý phân tích phổ và giá trị tốn tử củamột hàm số . .
6
1.3 Toán tử nửa xác định dương và xác định dương............................... 7
1.4 Phép nối và trung bình tốn tử.......................................................... 8

2

Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu toán tử

10
2.1 Hàm lồi lơgarit tốn tử.................................................................... 10
2.2 Đơn điệu tốn tử, lồi lơgarit tốn tử, và trung bình tốn tử .
14
2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử dương qua trung bình tốn
tử..................................................................................................... 24
2.4 Thêm một số đặc trưng của hàm đơn điệu tốn tử qua trung
bình tốn tử..................................................................................... 29

3

Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học 33
3.1 Các trung bình số và đặc trưng của các hàm đơn điệu ....
34
3.2 Đặc trưng của hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học 37
3.3 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học
có trọng........................................................................................... 44

KẾT LUẬN

46


2

TÀI LIÊU THAM KHẢO

47

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐE TÀI LUẬN VĂN

49


1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
R : Tập hợp các số thực
R : Tập hợp các số thực không âm
+

H : Khơng gian Hilbert
B(H) : Tập hợp các tốn tử tuyến tính bị chặn trên H
B(H) : Tập hợp các tốn tử tuyến tính nửa xác định dương trên H
+

B(H) : Tập các tốn tử tuyến tính xác định dương trên H
++

(x,y) : Tích vơ hướng của các vectơ x và y

C : Không gian vectơ phức n chiều
n

M (C) : Tập hợp các ma trận vuông phức cấp n
n

A* : Toán tử liên hợp của toán tử A
A : Toán tử nghịch đảo của toán tử A
-1

I: Toán tử đơn vị
A > 0 : Toán tử A nửa xác định dương
A > 0 : Toán tử A xác định dương
A(A) : Giá trị riêng của toán tử A
Ỡ-(A) : Phổ của toán tử A
||A|| : Chuẩn toán tử của toán tử A
AVB : Trung bình số học của hai tốn tử A và B
A!B : Trung bình điều hịa của hai tốn tử A và B
A#B : Trung bình hình học của hai toán tử A và B
VA : Trung bình số học với trọng số A

!A : Trung bình điều hòa với trọng số A


2
#x : Trung bình hình học với trọng số A
log : Hàm lôgarit
sinh(t) : Hàm sin hyperbolic của t
cosh(t) : Hàm cos hyperbolic của t


MỞ ĐẦU
Cho H là một không gian Hilbert (tách được) vơ hạn chiều. Ký hiệu B(H) là tập
hợp các tốn tử tuyến tính bị chặn trên H; B(H) là tập hợp con của B(H) gồm
+

các tốn tử tuyến tính nửa xác định dương; B(H) là tập con của B(H) gồm các
++

+

tốn tử tuyến tính khả nghịch.
Cho f : (0, +rc>) R là một hàm liên tục. f được gọi là một hàm đơn điệu toán
tử (rõ hơn, đơn điệu tăng toán tử) nếu với mọi A,B G B(H) ,
++

A>B

f (A) > f (B),

trong đó A > B có nghĩa là A — B là một toán tử nửa xác định dương. f được gọi
là một hàm lồi toán tử nếu với mọi A,B G B(H) và với mọi A G [0,1],
++

f (AA + (1 — A)B) < Af(A) + (1 — A)f(B).

Lớp các hàm đơn điệu/lồi toán tử là một trong những lớp hàm quan trọng trong
Giải tích ma trận và Lý thuyết toán tử. Vào những năm 1930, lý thuyết hàm
đơn điệu toán tử đã được khởi xướng bởi Lowner [12], ngay sau đó Kraus [10]
đã tiếp tục phát triển lý thuyết hàm lồi toán tử. Gần nửa thế kỷ sau, một lý
thuyết hiện đại về lớp các hàm đơn điệu/lồi toán tử đã được đưa ra bởi Hansen
và Pedersen [8].
Đã có nhiều đặc trưng được đưa ra cho các lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử,
chủ yếu dựa vào các trung bình tốn tử và các bất đẳng thức toán tử. Nội dung
luận văn tập trung nghiên cứu một số đặc trưng của lớp hàm đơn điệu toán tử
qua các trung bình tốn tử.
Ngồi Mở đầu, Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia làm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết
tốn tử trên khơng gian Hilbert cùng với một số kết quả liên quan đến các
chương sau của luận văn.
Chương 2. Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu toán tử Trong


chương này chúng tơi trình bày bài báo của Ando và Hiai [2] về một số đặc
trưng của hàm đơn điệu tốn tử thơng qua các đặc trưng của hàm lồi lơgarit
tốn tử.
Chương 3. Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua trung bình
hình học
Trong chương này chúng tơi trình bày bài báo của Dinh, Dumitru và Franco [5]
về một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử thơng qua các trung bình hình
học.
Luận văn được hồn thành sau hai năm học tập và rèn luyện tại Trường Đại
học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy Lê Cơng Trình.
Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy. Tơi cũng xin bày
tỏ lịng biết ơn đến q Thầy, Cơ đang giảng dạy tại khoa Toán và Thống kê
Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo những điều kiện tốt nhất cho tơi trong q
trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn nhưng do hạn chế
về thời gian và trình độ nên bên cạnh những kết quả đạt được, luận văn vẫn
khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý của q
thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.


5


6

trong đó A : B được gọi là tổng song song của A và B, được định nghĩa bởi, A :
B := (A + B ) .
-1

-1 -1

Ta có quan hệ sau giữa các trung bình trên của A và B:
AVB > A#B > A!B.

Năm 1980, Ando và Kubo [11] đã phát triển một lý thuyết tiên đề về trung
bình tốn tử.
Định nghĩa 1.4.2. Một phép tốn hai ngơi ơ trên lớp các toán tử xác định
dương, (A,B) AơB, được gọi là một phép nối (connection) toán tử nếu các điều
kiện sau thỏa mãn:
(i) A < C và B < D kéo theo AơB < CơD;
(ii) C*(AơB)C < (C*AC)a(C*BC);
(iii) A ị A và B ị B kéo theo Ar ơBr ị AơB (trong đó A ị A nghĩa là dãy A hội tụ
m

m

n

n

m

m

mạnh theo chuẩn về A).
Một trung bình là một phép nối toán tử ơ thỏa mãn.
(iv) IơI = I.

Một hệ quả ngay lập tức của (ii) là
(ii ) C(AơB)C = (CAC)ơ(CBƠ) với bất kỳ toán tử khả nghịch C.
0

Với A,B G B(H) , AVB, A#B, A!B là các trung bình tốn tử của các ma trận A và
+

B.

Chú ý 1.4.3. Ta có thể định nghĩa trung bình tốn tử cho các ma trận nửa xác
định dương như sau: Với A, B > 0 và với trung bình tốn tử ơ, ta có thể định
nghĩa (A + eI)ơ(B + eI) với s > 0. Sau đó, do tính liên tục của hàm đại diện của ơ,
cho s dần đến 0 bên phải, ta có AơB. Tức là,
AơB := lim(A + eI)Ơ(B + eI) với A,B G B(H) .
+

e\0

(1.1)


7

Định lý 1.4.4 (Kubo-Ando, [9, Theorem 5.10]). Với mỗi phép nối toán tử ơ trên
B(H) , tồn tại duy nhất một hàm đơn điệu toán tử f : [0, +rc>) [0, +rc>) sao cho f
+

(t)I = Iơ(tI), Vt G [0, +rc>) và với mọi A> 0,B > 0, ta có
Aơf B = A f (A BA )A .
1/2

-1/2

-1/2

1/2

Hàm f được gọi là hàm đại diện của ơ.
Đặc biệt, với A,B G B(H) , trung bình hình học với trọng V G [0,1] của A và B
++

được định nghĩa bởi
A#vB := A1/2(A-1/2BA-1/2)VA = AơfB,
1/2

với f (t) = t , t G (0, +rc>).
v

Chương 2
Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn
điệu toán tử
Trong chương này chúng tơi trình bày bài báo của T. Ando và F. Hiai [2] về
hàm lồi lơgarit tốn tử và trung bình tốn tử. Trong tồn bộ chương này, H là
một không gian Hilbert (tách được) vô hạn chiều; B(H) là khơng gian các tốn
tử tuyến tính bị chặn trên H; B(H) ký hiệu cho tập hợp các toán tử nửa xác định
+

dương trong B(H); và B(H) ký hiệu cho tập tất cả các toán tử khả nghịch trong
++

B(H) .
+

2.1

Hàm lồi lơgarit tốn tử

Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm số f : (0, +rc>)

R. f được gọi là đơn điệu

toán tử (chính xác hơn, đơn điệu tăng tốn tử) nếu
A > B suy ra f (A) > f (B), với A,B G B(H) ,
++


8

và đơn điệu giảm toán tử nếu —f là đơn điệu toán tử, tức là
A > B suy ra f (A) < f (B),

trong đó các ma trận f (A) và f (B) được định nhĩa như ở mục 1.2.
Định nghĩa 2.1.2. Hàm f : (0, +rc>) R được gọi là loi toán tử nếu
f (AA + (1 — A)B) < Af (A) + (1 — A)f (B) với mọi A,B G B(H) và A G [0,1].
++

9

Hàm f được gọi là lõm toán tử nếu —f là lồi tốn tử.
Ví dụ 2.1.3. (1) f (t) = a + bt là hàm đơn điệu toán tử với a G R, b > 0. Hàm f là
lồi toán tử với mọi a, b G R.
(2) Hàm f (t) = t là một hàm lồi toán tử.
2

Thật vậy, với A, B G B(H), ta có
(■'1A2 ")
+ 1AB + 1 BA + 1B
4
444
2

2

và
f (A) + f (B) = A + B
22
2

2

Suy ra
2

1

y!

f (A) + 1 f (B) — f í"1 A + 1 B^ = 1A — 1AB — 1 BA + 1B
2
\2
2)
4
4
4
4
— 1(A — B) > 0.
2

2

v!

2

Tức là
f (2A + 1B) á 5f (A) + 1 f (B).

Do đó hàm f là lồi toán tử.
Định lý 2.1.4 (Lowner, [9, Theorem 4.39]). Cho f : (0, +Khi đó, nếu f là đơn điệu tốn tử trên (0, +Định lý 2.1.5 ([9, Theorem 4.41]). Nếu f là một hàm đơn điệu tốn tử liên tục
trên [0, ro

st dụ,(s),

trong đó a — f (0) và > 0. Nếu g là một hàm
lồi tốn
tục trên [0, x) thì tồn
Vt Etử[0,liên
+s+t

tại một độ đo dương p. trên [0,oe

trong đó a — g(0),^
—ag+(0)
Y >+ 0.
g(t) —
^t và
+ Yt
z

2

st
d^(s), Vt G [0, +x)
s+t
2


R > 0. f được gọi là lồi lơgarit tốn

Định nghĩa 2.1.6. Cho f : (0, +TO)
tử nếu

(2.1)

f (AVB) < f (A)#f (B), A,B e B(H ).
++

Thuật ngữ này được định nghĩa một cách tự nhiên, xuất phát từ bất đẳng
thức số f ((a + b)/2) < f (a)f (b) , a, b > 0, tức là logf là một hàm lồi. f là lõm
lơgarit tốn tử nếu
f (AVB) > f (A)#f (B), A,B e B(H) ).
++

Việc đưa ra khái niệm hàm lồi lơgarit tốn tử xuất phát từ câu hỏi:
Phiếm hàm B(H)

R định nghĩa bởi

++

A G B(H)

++

logu(A )
a

có là một hàm lồi hay không với a E [-1,0] và với bất kỳ phiếm hàm tuyến tính
dương w trên B(H).
Câu hỏi này được trả lời ở kết quả sau.
Mệnh đề 2.1.7 ([2, Proposition 1.1]). Cho f : (0, +TO) R là một hàm đơn điệu

giảm tốn tử, khơng âm và w là một phiếm hàm tuyến tính trên B( H). Khi đó
phiếm hàm B(H) —> [-TO, TO) định nghĩa bởi
++

A E B(H) I—> logu(f (A)) G [—TO, TO)
++

là một hàm lồi.
Chứng minh. Nếu tồn tại x G (0, +TO) sao cho f (x) = 0 thì f là ánh xạ đồng nhất 0
do tính chất giải tích của f. Do đó ta có thể giả sử rằng f (x) > 0, Vx G (0, TO). Vì
1/f là một hàm số dương và đơn điệu toán tử trên (0, TO) nên suy ra rằng hàm số
1/f là lõm toán tử trên (0, TO). Do đó
f(AVB) > f(A) Vf(B) .
-1

-1

-1

Vì vậy
f (AVB) < f(A)! f (B), A,B e B(H ).
++

(2.2)


Với mỗi A > 0, do
f (A) ! f(B) < f (A)#f (B) = (Af(A))#(A f(B)) < Af
-1

(A)

()
Y 1 f B , nên

)) + A- f (B))
w(f (A)Vf (B)) < A (A
, A,B E B(H) .
2
++

Do bất đẳng thức trên đúng với mọi A > 0 nên ta suy ra
»(/(AVB)) < EEf(A)Mf(B)),

và do đó
log^(f(AVB)) < g '

(A)) +

'

(B))
.

Vì A E B(H) logw(f (A)) E [-TO; x) là một phiếm hàm liên tục theo chuẩn tốn tử
++

nên tính lồi của nó suy ra từ tính lồi của trung điểm. □
Mệnh đề 2.1.8 ([2, Proposition 1.2]). Cho f là một hàm đơn điệu tốn tử khơng
âm trên khoảng (0,

TO)

và w là một phiếm hàm tuyến tính trên B( H). Khi đó

phiếm hàm
A E B(H)

logu)(f (A)) E [-TO, TO)

++

là một hàm lõm.
Chứng minh. Nếu f (x) = 0 với x E (0, TO) thì f là ánh xạ đồng nhất 0 do tính giải
tích của f. Do đó ta có thể giả sử rằng f (x) > 0, Vx E (0, TO). Vì f (x) > 0 và đơn
điệu trên (0, x) nên f là hàm lõm toán tử trên (0, TO). Do đó
f (AịB) >

,

hay
f (AVB) > f

(A)

+f

(B)

.

Suy ra
và do đó

u(f(AVB)) >

^(f (A)) + 0>(f (B))

( )) +
loguif(AVB)) > g ' A

Vì vậy f là một hàm lõm.

>EEf (AM/ (B)),
( ))
'B .

□


Trong phần tiếp theo chúng tơi sẽ trình bày phép chứng minh cho các kết
quả sau.
(1°) f là đơn điệu giảm toán tử nếu và chỉ nếu f là lồi lơgarit tốn tử.
(2°) f là đơn điệu tốn tử (tăng) nếu và chỉ nếu f là lõm lơgarit tốn tử.

2.2

Đơn điêu tốn tử, lồi lơgarit tốn tử, và trung bình
tốn tử

Chú ý rằng, khi f là hàm không âm liên tục trên (0, x), tính lồi tốn tử của f
được biểu diễn bởi
f (AVB) < f (A)Vf (B), A,B e B(H) .
++

(2.3)

Nhắc lại rằng một trung bình tốn tử ơ được gọi là đối xứng nếu AơB = BơA với
mọi A, B G B(H) . Chú ý rằng trung bình số học V và trung bình điều hịa ! lần
++

lượt là trung bình đối xứng lớn nhất và nhỏ nhất, tức là
AVB > AơB > A\B, A,B G B(H)

++

(2.4)

với mọi trung bình tốn tử đối xứng ơ, hoặc tương đương,
x

2

x+ 1
2x
> h(x) > x2X1, x > 0

(2 5)

.

với mọi hàm đơn điệu tốn tử khơng âm h trên [0; x) thỏa mãn h(1) = 1 và điều
kiện đối xứng h(x) = xh(x ) với x > 0.
-1

Định lý sau mô tả các hàm lồi lôgarit qua các hàm đơn điệu giảm tốn tử và
trung bình tốn tử.
Định lý 2.2.1 ([2, Theorem 2.1]). Cho f là một hàm liên tục không âm trên (0,
x). Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(al) f là đơn điệu giảm toán tử;
(a2) f (AVB) < f (A)af(B), với mọi A,B E B(H) và với mọi trung bình tốn tử bình
++

đối xứng ơ;


(a3) f là lồi lơgarit tốn tử, nghĩa là f (AVB) < f (A)#f (B), với mọi A,B G B(H) ;
++

(a4) f(AVB) < f(A)f(B), với mọi A,B E B(H) và với một trung bình tốn tử đối
++

xứng ơ nào đó thỏa mãn ơ = V.
Để chứng minh Định lý 2.2.1, chúng tôi cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2 ([2, Lemma 2.2]). Cho y là một hàm liên tục không giảm trên [0, x)
sao cho ^(0) = 0 và ^(1) = 1. Nếu một trung bình tốn tử đối xứng ơ thỏa mãn
^(AVB) < V(A)ơV(B), A,B G B(H) ,
++

thì ơ = V.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh kết quả trên cho trường hợp A,B là các ma
trận cấp 2 xác định dương.
Gọi P và Q là hai phép chiếu trực giao trong B(H) sao cho P A Q = 0. Áp
+

dụng giả thiết của bổ đề cho A := P + eI và B := Q + eI với £ > 0, chúng ta có
£

£

^(A£VB£) < ^(A£)Ơ^(B£).

Vì A VB = PVQ+EI PVQ theo chuẩn toán tử, ^(A VB )
£

£

£

^(PVQ) với

£

£ \ 0 theo chuẩn tốn tử. Hơn nữa, vì A(A£) \ A(P) = P, v(B ) \ A(Q) = Q với £ \ 0 và
£

trung bình tốn tử liên tục theo tơpơ tốn tử mạnh, ta có
A(PVQ)

< PơQ.

(2.6)

Khi đó PơQ = h(0)(P + Q), trong đó h là một hàm đơn điệu toán tử đối xứng
tương ứng với ơ. Chọn hai phép chiếu trực giao


ớ là cosỡsinỡ
Khi đó P A Q = 0 và chéo hóa củacos
PAQ
P :=
Q :=
với 0 < ỡ < n/2.
Do đó,
sin ớ
cosớsinớ
1+cosỡ
cos 21 cột
sin 12 của các
cos 2 tasin
2
So sánh hạng tử ở cos
hàng
ma
trận 0trong (2.6),
2
2 sin 2
cos được
2 sin 2

2

2

A(P VQ)2 0

1-cosỡ
sin 2 —cos . 2 0 0(ì — cosỡ\
sin 2 —cos
2
Í1+sin
cosớ\
, 2 —cos
2M2
2
2 —cos
2
sin
2
+ sin
1
h(0)(1 + cos 0)
cos
2A(
2
)
2 A ( —2°; .

Suy ra
cos 2A ()) + sin 2A (")

h(ớ) > ------ y 2A
2.
1 + cos ớ
2

2

2

.

2

Cho 0

0 ta nhận được h(0) > 1/2. Vì h(1) = 1 và h là lõm, cho nên

h(x) > (x + 1)/2 trên [0,1]. Suy ra ơ = V do tính giải tích của h.

□

Bây giờ chúng tơi trình bày một phép chứng minh của Định lý 2.2.1.
Chứng minh của Định lý 2.2.1. Như ta đã thấy trong chứng minh của Mệnh đề
2.1.7, (a1) suy ra bất đẳng thức (2.2). Do đó, (a1)

(a2) vì trung bình

điều hịa ! là nhỏ nhất trong số các trung bình tốn tử đối xứng. Dễ thấy (a2) (a3)
(a4). Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng (a4) (a1).

Giả thiết có (a4). Vì
f (AVB) - f (A)af (B) - f (A)Vf (B), A, B e B(H) ,
++

f là lồi tốn tử, do đó giải tích trên (0,

TO).

Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng f

(x) > 0 với mọi x > 0 đủ lớn; bởi vì nếu ngược lại thì f là đồng nhất khơng. Vì f
(Ố + x) hiển nhiên thỏa mãn (a4) với mọi Ố > 0 nên ta có thể


giả sử rằng các giới hạn limf (+0) := limx \ 0f (x) và f (+0) := lim ^ f (x) là tồn tại.
z

x 0

z

Khi đó f có biểu diễn tích phân
(A + 1)x
d^(A),
A+x
2

f (x) = a + Ị3x + YX +
2

(2.7)

(0,w)

trong đó a,Ị3 G R (thực ra, a = f (+0),^ = f'(+0)), Y > 0 và là một độ đo dương hữu
hạn trên (0, x). Sau đây ta sẽ chia chứng minh làm ba bước, mỗi bước sẽ chứng
minh bằng phương pháp phản chứng.
Bước 1 Với c > 0 đủ lớn sao cho f (c) > 0, ta viết
C2

+

c

x+

Yx + f

d

A

Í^+X-

2

(0,w)

f (cx)

f (c)

+

2

ễ+

Y+

fA+ c

d (A)

d

(0,w)

và chú ý rằng với mỗi x > 0 cố định,
(A + 1)x
dụ,(A) = 0
A+cx
2

(0,w)

theo định lý hội tụ bị chặn. Giả sử phản chứng rằng Y > 0. Khi đó ta có
f (cx)
(c)
Chú ý rằng f (x) := f (cx)/f (c)lim thỏa

' fmãn
=(a4)
x , cũng như f .Vì ơ là một trung bình
c x

c

2

x > 0.

toán tử liên tục khi hạn chế lên các cặp ma trận xác định dương, với mỗi ma trận
xác định dương cấp 2 A, B, chúng ta có thể lấy giới hạn của f (AVB) < f (A)ơf (B)
C

C

C

khi c ' x để nhận được (AVB) < A ơB . Áp dụng Bổ đề 2.2.2 cho ^(x) = x , ta dẫn
2

2

2

2

đến mâu thuẫn với giả thiết ơ = V.
Do đó chúng ta phải có Y = 0, vì vậy

(A + 1)x
dụ,(A).
A+x
2

f (x) = a + fix +
(0;TO
)

Bước 2 Với c > 0 đủ lớn, ta viết

(A |I)'CX2
A+cx

f (cx)

f (c)

C2 + C +

Y+

ỉ

dụ,
(A)

(2.8)

Với mỗi x > 0 cố định, vì (A + 1)CX/(A + cx) / A +1 khi c / TO, theo định lý hội tụ
đơn điệu, ta có
(A + 1)cX
dp(A) =
A+ cx
2

(A + 1)dp(A)

(07)

)

Giả sử phản chứng, rằng f (A + 1)dp(A) = +TO. Với mỗi c, X G

x.

(0, TO) ta

(0,7)

đặt

f
",7

,X
p(c X):

'+dM(A)

(2.9)

’ = ^(A)
7(

(07)

Vì
(A + 1)c
(A + 1)cx
(A + 1)c
'—X
< ' nếu 0 < x < 1,
A+c
A + cx
A+c
(A + 1)c (A + 1)cx
(A + 1)c
',
< ,'
— < \ ' X nếu X > 1.
A + c A+ cx A + c

Nên với mọi c > 0, ta có
nếu 0 < X < 1,

X < p(c, x) < 1,

nếu X > 1.

1 < p(c, x) < X,

(2.10)

Hơn nữa p(c, X) là một hàm không giảm với X > 0, với mỗi c > 0 cố định. Ký
hiệu D là tập đếm được gồm tất cả các số đại số dương. Vì tập hợp {p(c, X) : c >
0} bị chặn với mỗi X > 0 cố định, ta có thể chọn một dãy số c với 0 < c / TO sao
n

n

cho giới hạn
K(X)

:= lim p(cn,X)

(2.11)

tồn tại với mọi X G D. Khi đó, từ (2.8) ta được
P(X)

= XK(X) = lim f(C X), X G D.
n

n

f (c )

n

Hơn nữa, với mỗi n đủ lớn, vì f (X) := f (c X)/(f (cn)) thỏa mãn (a4) và vì vậy f là
n

lồi toán tử trên (0,

TO),

n

n

điều này dẫn đến P(X) là hàm lồi trên D. Do đó có the


thác triển thành một hàm không giảm liên tục trên [0, +{x < <^(x) < x nếu 0 < x < 1,
2

x < ^(x) < x nếu x > 1.
2

Đặc biệt, ^(0) = 0 và ^(1) = 1. Bây giờ gọi A,B là hai ma trận xác định dương cấp
2 với hệ tử là các số phức hữu tỉ. Vì các giá trị riêng của A,B và AVB thuộc D, ta
có thể lấy giới hạn của f (AVB) < f (A)ơf (B) để nhận được
n

n

n

(2.12)

<^(AVB) < ip(A)ơip(B).

Hơn nữa, ta có thể xấp xỉ tùy ý các ma trận xác định dương cấp 2 bởi các ma
trận có hệ tử hữu tỉ và lấy giới hạn (2.12) với các xấp xỉ của các ma trận xác
định dương A và B. Khi đó, Bổ đề 2.2.2 dẫn đến ơ = V, mâu thuẫn. Suy ra rằng f
(A + 1)d^(A) < +x.
(0,-xj

Bước 3 Cuối cùng, giả sử phản chứng rằng + f (A + 1)d^(A) = 0. Khi (0,-xj
đó, suy ra từ (2.8) rằng
f(cx)
= x, x > 0.

lim
c

f (c)

Áp dụng Bổ đề 2.2.2 cho ^(x) = x, điều này lại dẫn đến mâu thuẫn, khi đó ta có +
J (A + 1)d^(A) = 0. Vì vậy
(0,-xj

f (x) = a + Ị I

(A + 1)x
- (A +1)x| dM(A)= a - Ị '
A +

.A.

2

(0,w)

(0,w)

Do
x
A
A + x A + x là một hàm đơn điệu giảm toán tử

trên (0, x), f cũng là một hàm đơn điệu giảm toán tử.

□


Định lý tiếp theo đưa ra một dạng tương tự với Định lý 2.2.1 cho các hàm
lõm lơgarit tốn tử.
Định lý 2.2.3 ([2, Theorem 2.3]). Cho f là một hàm liên tục khơng âm trên (0, x).
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(bl) f là đơn điệu toán tử.
(b2) f (AVB) > f (A)af (B) với mọi A,B E B(H) và với mọi trung bình đối xứng ơ.
++

(b3) f là lõm lơgarit tốn tử, nghĩa là, f (AVB) > f (A)#f (B) với mọi A,B G
B(H) .
++

(b4) f (AVB) > f (A)ơf (B) với mọi A,B E B(H) và với một trung bình tốn tử đối
++

xứng ơ =! nào đó.
Chúng ta cần bổ đề sau để chứng minh Định lý 2.2.3.
Bổ đề 2.2.4 ([2, Lemma 2.4]). Cho f là hàm liên tục không âm trên (0, x) và giả
sử rằng
f (AVB) > f (A)!f (B), A,B e B(H) .
++

(2.13)

Khi đó, hoặc f (x) > 0 với mọi x > 0 hoặc f là đồng nhất không.
Chứng minh. Giả sử rằng f (x) = 0 với một x > 0 nào đó nhưng f khơng đồng nhất
khơng. Áp dụng giả thiết (2.13) cho A = ai và B = bi ta nhận được f (aVb) > f (a)!f
(b) với mỗi vô hướng a,b > 0. Bằng cách quy nạp theo n G N, có thể thấy rằng
f ((1 - A)a + Ab)

> f (ò)!xf(b)

(2.14)
với mọi a, b > 0 và mọi A = k/2 , k = 0,1,..., 2 , n G N, trong đó u!\v với 0 < A < 1 là
n

n

A-trung bình điều hịa cho các vơ hướng u, v > 0 được xác định

Hơn nữa, do tính liên tục của f, (2.14) thỏa mãn với mọi a,b > 0 và mọi A £ [0,1].

Vì vậy ta chú ý rằng f(x) > 0 với mọi x £ (a,b) khi f(a) > 0 và f (b) > 0. Do đó, áp


dụng giả thiết trên cho f, tồn tại a £ (0, rc>) sao cho các điều sau thỏa mãn:
(i) f (x) = 0 với mọi x £ (0, a] và f (x) > 0 với mọi x £ (a, a + J] với ỏ > 0 nào đó.
(ii) f (x) > 0 với mọi x £ (0, a) và f (x) = 0 với mọi x £ [a, rc>).

Gọi H và K là các ma trận Hermit cấp 2. Với mỗi Y £ R sao cho ai + YH,ai + YK
> 0 (nghĩa là xác định dương), ta có thể áp dụng (2.13) cho A := ai + YH và B :=
ai + YK để được

(2.15)

f (ai + YV^) > f (ai + YH)!f (ai + YK).

Ký hiệu
X:

= f (ai + YH), Y := f (ai + YK), Z := f (^ai + YH

+K ,
)

và ký hiệu s(X), s(Y) và s(Z) lần lượt là các phép chiếu giá của X, Y và Z, tức là
các phép chiếu trực giao lên ảnh của X, Y và Z (trong C ). Vì X > es(X) và Y >
2

es(Y) với s > 0 đủ nhỏ, từ (2.15) ta nhận được
Z > {es(X)}! {es(Y)} = £ {s(X) A s(Y)} .

Đặt P := s(X) A s(Y), ta có
0 = (i - s(Z))Z(i - s(Z)) > E(i - s(Z))P(i - s(Z)).

Vì vậy P(i - s(Z)) = 0, hay tương đương P < s(Z). Do đó,
s(Z) > s(X) A s(Y).

Với mỗi ma trận Hermit S, đặt S = S - S là phân tích Jordan của S. Trong trường
+

-

hợp (i), chọn Y > 0 đủ nhỏ sao cho ai+YH, ai+YK < (a+ô)i;


và trong trường hợp (ii), chọn Y < 0 sao cho aI +
YK

YH,

aI +

> 0. Khi đó ta có
s(X) = s(H+), s(Y) = s(K+), s(Z) = s((H+ K)+),

và vì vậy
(2.16)

s((H + K)+) > s(H+) A s(K+).

Do đó, để chứng minh bổ đề bằng phản chứng, chỉ cần chứng tỏ rằng (2.16) nói

chung là khơng đúng. Từ (2.16) ta thấy rằng
s(H ) > s(K ) với H > K bất kỳ.
+

(2.17)

+

Thật vậy, đặt G := H — K > 0 (do đó s(G ) = s(G) = I), ta có
+

s(H+) = s((G + K)+) > s(G+) A s(K+) = s(K+).

Do đó, ta chỉ cần chứng minh rằng (2.17) nói chung là khơng đúng. Bây ta có H
> K với £ > 0 nhỏ. Do đó, (2.17) là khơng đúng. Suy ra điều phải chứng minh.
1/2phép
1/2 chứng minh cho Định lý 2.2.3
10 tơi trình bày một
Sau đây chúng
và định nghĩa H := P và K :=
giờ đặt P :=
và Q :=
1/2 1/2

00

Chứng minh Định lý 2.2.3. Giả sử có (b1). Khi đó f là lõm tốn tử. Do đó ta
sQ — (I — Q) với £ > 0. Khi đó s(H ) = P Q = s(K ). Nhưng vì
được (b2). Rõ ràng (b2) (b3) (b4). Cuối cùng, ta chứng minh rằng (b4) (b1). Do
+

H—K= 10

—

1/2 1/2

+

+

1/2

—

3 —£

1+

1/2

1+

2
1 —£
2

£
(b4) suy ra giả thiết của
Bổ đề 2.2.4, ta có thể giả 1/2

sử rằng f (x)2> 0 với
mọi x > 0.
£

Khi đó (b4) suy00ra
và

1/2 1/2

—1/2

£

f (AVB) < (f(A)af(B)) = f(A) Vf(B) , A,B e B(H) ,
1 — 3e
det(H — K)=m (i—£) —
) 2
trong đó ơ* là liên hợp của ơ, trung bình tốn tử đối xứng định
2 , nghĩa bởi
-1

—1

—

-1

++

Aơ*B := (A AB ) . Vì ơ =!, có nghĩa là ơ* = V, Định lý 2.2.1 suy ra rằng 1/f là đơn

1

1

điệu giảm tốn tử, vì vậy (b1) được chứng minh.
Chú ý 2.2.5. Bổ đề 2.2.4 suy ra rằng hàm không âm liên tục f trên (0,

□
TO)

thỏa

mãn (2.13) khi và chỉ khi f là đồng nhất không, hoặc f > 0 và 1/f là lồi toán tử.
Chú ý 2.2.6. (1) Với mỗi A G [0,1], các trung bình số học và trung bình điều hòa
với trọng số A định nghĩa bởi