Phân thớ tango trên không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỒNG CÔNG

PHÂN THỚ TANGO
TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN HỒNG CÔNG

PHÂN THỚ TANGO
TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chuyên ngành :
Mã số
:

Người hướng dẫn :

Đại số và lí thuyết số
8460104

TS. ĐẶNG TUẤN HIỆP

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Tôpô Zariski trên không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Bậc của đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Ánh xạ giữa các đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Các số Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Định nghĩa các số Stirling loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Đa thức Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Cơ sở Lý thuyết giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Phân thớ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Định nghĩa phân thớ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Phân thớ con và phân thớ thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3. Một số ví dụ về phân thớ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Vành Chow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.1. Chu trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2. Vành Chow của đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i


2.4. Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Chương 3. Phân thớ Tango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1. Xây dựng phân thớ Tango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2. Các lớp Chern của phân thớ Tango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3. Đặc trưng Euler của phân thớ Tango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ii


LỜI MỞ ĐẦU
Trong các nghiên cứu về cấu trúc của phân thớ véctơ, đặc trưng Euler là một
trong những bất biến tôpô quan trọng. Cho E là một phân thớ véctơ trên đa tạp
X . Khi đó, đặc trưng Euler của phân thớ E , ký hiệu bởi χ(X, E), được định nghĩa

bởi tổng đan dấu
(−1)i hi (X, E),

χ(X, E) =
i

trong đó, hi (X, E) là số chiều của nhóm đối đồng điều thứ i của phân thớ véctơ
E trên X . Tuy nhiên, việc tính tốn các nhóm đối đồng điều của một phân thớ

véctơ, trong hầu hết các trường hợp, là rất phức tạp. Do đó, người ta đưa ra các
khái niệm về các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ như đặc trưng Chern, đặc trưng
Todd,. . ., từ đó, việc tính tốn đặc trưng Euler thơng qua các lớp đặc trưng này
trở nên dễ dàng hơn.
Đặc biệt, đối với các phân thớ véctơ trên không gian xạ ảnh, các lớp đặc trưng
Chern và Todd có cấu trúc đơn giản. Các lớp đặc trưng này đều được biểu diễn
dưới dạng đa thức thông qua lớp các siêu phẳng.
Một phân thớ véctơ được gọi là khơng phân tích được nếu nó khơng thể được

phân tích thành tổng trực tiếp của hai phân thớ véctơ khác có hạng nhỏ hơn. Năm
1976, Hiroshi Tango trong bài báo của ông [10], đã đưa ra một ví dụ về phân thớ
véctơ khơng phân tích được có hạng n − 1 trên khơng gian xạ ảnh Pn , gọi là phân
thớ Tango. Việc tính tốn đặc trưng Euler của phân thớ véctơ này sẽ giúp chúng ta,
một phần nào đó, hiểu được cấu trúc của nó. Đồng thời, việc tính tốn trên khơng
gian xạ ảnh cũng giúp chúng ta có những dự đốn ban đầu về đặc trưng Euler của
phân thớ Tango trên đa tạp Grassmanian, trường hợp tổng quát của không gian
xạ ảnh. Do đó, việc nghiên cứu cấu trúc của phân thớ Tango trên không gian xạ
iii


ảnh là có ý nghĩa, đó cũng chính là lý do chúng tôi quyết định chọn đề tài này.
Cấu trúc của luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Chỉ mục và Tài
liệu tham khảo. Nội dung của luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày một
số kiến thức chuẩn bị liên quan đến không gian xạ ảnh và đa tạp xạ ảnh. Bên cạnh
đó chúng tơi cũng nêu định nghĩa của các số Stirling loại một và đưa ra một số
tính chất của chúng.
Chương 2: Cơ sở Lý thuyết giao. Trong chương này, chúng tôi nêu định
nghĩa và đưa ra một số ví dụ về phân thớ véctơ trên một đa tạp xạ ảnh. Các
lớp đặc trưng của phân thớ véctơ được trình bày theo ngơn ngữ của Lý thuyết
giao thông qua vành Chow của một đa tạp. Cuối chương là Định lý HirzebruchRiemann-Roch, một kết quả quan trọng dùng để tính đặc trưng Euler của một
phân thớ véctơ trên đa tạp xạ ảnh.
Chương 3: Phân thớ Tango. Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên
cứu phân thớ Tango trên không gian xạ ảnh. Các kết quả về phân thớ véctơ trong
Chương 2 được áp dụng để tính tốn trong trường hợp phân thớ Tango. Kết quả
chính của chương, cũng là kết quả chính của luận văn này, là cơng thức tính đặc
trưng Euler của một phân thớ véctơ trên không gian xạ ảnh. Đồng thời, áp dụng
kết quả này cho phân thớ Tango.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Đặng Tuấn

Hiệp, Trường Đại học Đà Lạt. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng
biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện
luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy
Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn và Thống kê cùng quý thầy cô giáo
giảng dạy các lớp Cao học Đại số và lí thuyết số khóa 19, 20 và 21 đã dày công
giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và thực hiện luận
văn. Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia
đình, bạn bè đã ln tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học và
luận văn này.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực và cố gắng hết sức của bản thân,
iv


nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên
cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận
được những góp ý của q thầy cơ giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Ngày 26 tháng 8 năm 2019
Học viên thực hiện

Nguyễn Hồng Công

v


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày các định nghĩa và kết quả cơ bản, mang
tính chất chuẩn bị cho các lập luận ở các phần sau của luận văn. Các kết quả này
liên quan đến đa tạp xạ ảnh, tính chất bất khả quy của đa tạp xạ ảnh trong không

gian xạ ảnh Pn đối với tơpơ Zariski. Các kết quả này được trình bày chủ yếu dựa
theo các tài liệu [3], [6] và [7]. Ngồi ra chúng tơi cũng giới thiệu định nghĩa, một
số tính chất cơ bản của các số Stirling loại một (không dấu) và mối liên hệ của
các số này với đa thức Stirling. Các chi tiết về các số Striling loại một và đa thức
Stirling có thể được tìm thấy trong [9].

1.1. Không gian xạ ảnh
Chúng tôi quan tâm đến khơng gian xạ ảnh trên một trường K bất kì, tuy nhiên
ở các chương sau, trường K được xét là trường các số phức C.

1.1.1. Đa tạp xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh). Cho K là một trường. Trên tập Kn+1 \{0},
xét quan hệ tương đương sau
x ∼ y nếu và chỉ nếu y = λx với λ ∈ K \ {0}.

Khi đó tập thương (Kn+1 \ {0})/ ∼ được gọi là không gian xạ ảnh n chiều trên K,
ký hiệu bởi Pn (K), khi trường K đã được xác định, ta chỉ ký hiệu đơn giản bởi Pn .

1


Ta xem Kn+1 là một không gian véctơ trên trường K. Khi đó, mỗi khơng gian
con một chiều của Kn+1 hồn tồn được xác định bởi một véctơ khác khơng trong
Kn+1 . Hơn nữa, hai véctơ khác không cùng xác định một không gian con khi và
chỉ khi chúng sai khác nhau một bội vơ hướng. Do đó khơng gian xạ ảnh Pn (K)
có thể được định nghĩa là tập tất cả các không gian con một chiều của không gian
véctơ Kn+1 .
Mỗi phần tử trong Pn được gọi là một điểm trong không gian xạ ảnh. Giả sử p
là một điểm trong Pn . Khi đó bộ (a0 , a1 , . . . , an ) trong lớp tương đương của p được
gọi là tọa độ thuần nhất (hay tọa độ xạ ảnh) của p và ký hiệu p = (x0 : x1 : . . . : xn ).

Tiếp theo ta xem xét tập nghiệm của một đa thức trong không gian xạ ảnh.
Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một đa thức. Nếu đa thức f triệt tiêu tại p ∈ Pn thì
f phải triệt tiêu tại mọi điểm thuộc lớp tương đương của p. Do đó, trong không

gian xạ ảnh, ta sẽ chỉ xét các đa thức thuần nhất.
Định nghĩa 1.1.2 (Đa thức thuần nhất). Một đa thức f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] gọi là
thuần nhất bậc d nếu mọi đơn thức của f đều có cùng bậc d.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một đa thức thuần nhất bậc d và
λ ∈ k . Khi đó
f (λx0 , λx1 , . . . , λxn ) = λd f (x0 , x1 , . . . , xn ).

Điều ngược lại đúng khi K là trường vô hạn. Nói chung, với trường K bất kì, đa
thức f là thuần nhất khi và chỉ khi f (λx0 , λx1 , . . . , λxn ) − λd f (x0 , x1 , . . . , xn ), xem
như là một đa thức trong vành K[x0 , x1 , . . . , xn , λ], là đa thức không.
Chứng minh. Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một đa thức thuần nhất bậc d. Khi đó
f được viết dưới dạng
d

ci xj00 xj11 . . . xjnn ,

f (x0 , x1 , . . . , xn ) =
j0 ,j1 ,...,jn =0

2


trong đó ci ∈ K và j0 + j1 + · · · + jn = d. Với λ ∈ K ta có
d

ci (λx0 )j0 (λx1 )j1 . . . (λxn )jn .

f (λx0 , λx1 , . . . , λxn ) =
j0 ,j1 ,...,jn =0
d

ci λj0 +j1 +···+jn xj00 xj11 . . . xjnn

=
j0 ,j1 ,...,jn =0

= λd f (x0 , x1 , . . . , xn ).

Nhận xét rằng, nếu f là một đa thức bất kỳ bậc d (khơng nhất thiết thuần
nhất) thì ta có thể viết
f = f0 + f1 + · · · + fd ,

với fi là các đa thức thuần nhất bậc i với mọi i = 0, 1, . . . , d. Ví dụ, cho đa thức
f (x, y) = 2x3 + x2 y − 3x + y − 1. Khi đó ta có thể viết f = f0 + f1 + f2 + f3 , trong đó
f0 = −1, f1 = −3x + y , f2 = 0 và f3 = 2x3 + x2 y .

Bổ đề 1.1.4. Cho f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số trên
trường đóng đại số K. Khi đó tồn tại a = (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Kn+1 sao cho f (a) = 0
và vô hạn các điểm b = (b0 , b1 , . . . , bn ) ∈ Kn+1 thỏa mãn f (b) = 0.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số biến của đa thức f . Trường
hợp n = 1 là hiển nhiên vì K là trường đóng đại số. Giả sử mệnh đề đã được chứng
minh cho các đa thức n biến. Xét đa thức n + 1 biến f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ], ta có thể
viết dưới dạng
f = f0 + f1 x0 + · · · + fd xd0 ,

trong đó fi là các đa thức theo các biến x0 , x1 , . . . , xn . Nếu fd = 0 thì f là đa thức

n − 1 biến. Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh. Giả sử fd = 0. Bởi

giả thiết quy nạp, tồn tại vô hạn điểm b = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Kn sao cho fd (b) = 0.
Với mỗi điểm b như vậy, xét đa thức g = f (x0 , b1 , . . . , bn ) ta có g là đa thức một biến
bậc d > 0. Do đó có vơ hạn điểm b0 ∈ K thỏa mãn 0 = g(b0 ) = f (b0 , b1 , . . . , bn ).

3


Mệnh đề 1.1.5. Tập nghiệm của một đa thức f bậc d > 0 xác định một tập con
của Pn khi và chỉ khi f là đa thức thuần nhất.
Chứng minh. Giả sử f là một đa thức thuần nhất và p = (p0 : p1 : . . . : pn ) ∈ Pn
là một nghiệm của f . Với λ ∈ K bất kỳ, Mệnh đề 1.1.3 chứng tỏ λp cũng là một
nghiệm của f . Do đó tập nghiệm của f xác định một tập con của Pn .
Ngược lại, giả sử f không là đa thức thuần nhất. Ta viết f dưới dạng
f = f0 + f1 + . . . + fd ,

trong đó fi là đa thức thuần nhất bậc i với i = 0, 1, . . . , d. Vì f khơng thuần nhất
nên ta có thể giả sử fd = 0 và fi = 0 với i < d nào đó. Đặt j là chỉ số nhỏ nhất sao
cho fj = 0. Bởi Bổ đề 1.1.4, tồn tại y = (y0 , y1 , . . . , yn ) ∈ k n+1 sao cho fd (y) = 0. Khi
đó
f (xy) = xj pj (y) + · · · + xd−1 fd−1 (y) + xd fd (y)

là một đa thức bậc d > 0 một biến x thỏa mãn f (xy) chia hết cho xj . Giả sử
f (xy) = xj g(xy), trong đó g(xy) là đa thức bậc d − j > 0 theo biến x, có hệ số tự

do khác 0. Bởi Bổ đề 1.1.4, tồn tại a, b ∈ k sao cho g(ay) = 0 và g(by) = 0, trong
đó a = 0. Đặt p = ay và λ =

b

ta có f (p) = 0 và f (λp) = 0. Điều này cho ta mâu
a

thuẫn.
Ví dụ 1.1.6. Ta xét một phản ví dụ cho Mệnh đề 1.1.5. Xét đa thức f (x, y) =
1 + x + y ∈ C[x, y] không là đa thức thuần nhất. Ta có (1 : −2) = (2 : −4) ∈ P1 (C).

Tuy nhiên, (1, −2) là một nghiệm của f (x, y) cịn (2, −4) khơng là nghiệm.
Như vậy, tập nghiệm của một đa thức thuần nhất xác định một tập con của
không gian xạ ảnh. Mở rộng ra, tập nghiệm của một tập các đa thức thuần nhất
cũng xác định một tập con của không gian xạ ảnh, ta gọi những tập con có dạng
này là các đa tạp xạ ảnh. Cụ thể, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.7 (Đa tạp xạ ảnh). Cho n là một số nguyên dương.
(i) Giả sử S ⊆ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một tập các đa thức thuần nhất (khơng nhất
thiết có cùng bậc). Khi đó tập các không điểm của S được định nghĩa bởi
V (S) := {p ∈ Pn : f (p) = 0 với mọi f ∈ S} ⊆ Pn .
4


Như chú ý ở phần trên, V (S) là xác định một tập con của Pn . Mỗi tập con
của Pn có dạng này được gọi là một đa tạp xạ ảnh. Nếu S = {f1 , f2 , . . . , fm }
thì ta viết V (f1 , f2 , . . . , fm ) thay cho V (S). Nếu S = {f } là tập chỉ gồm một
đa thức thuần nhất f thì V (S) = V (f ) gọi là một siêu mặt trong Pn .
(ii) Giả sử I ⊆ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là một iđêan thuần nhất (iđêan sinh bởi các đa
thức thuần nhất). Khi đó ta đặt
V (I) := {p ∈ Pn : f (p) = 0 với mọi f ∈ I} ⊆ Pn .

Nếu I là iđêan sinh bởi tập S các đa thức thuần nhất thì V (I) = V (S).
(iii) Cho X là một tập con của Pn . Iđêan của X , ký hiệu bởi I(X) được định nghĩa
là iđêan sinh bởi tập hợp

{f ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] thuần nhất : f (p) = 0 với mọi p ∈ X}.

Nhận xét 1.1.8. Trong trường hợp K = C, theo Định lý cơ sở của Hilbert1 , ta
chỉ cần một số hữu hạn các đa thức thuần nhất để xác định một đa tạp xạ ảnh.
Ví dụ 1.1.9.

(i) Tập rỗng và Pn là các đa tạp xạ ảnh. Thật vậy ∅ = V (1) và

Pn = V (0).
(ii) Mỗi tập hợp chỉ gồm một điểm trong Pn là một đa tạp xạ ảnh. Thật vậy, giả
sử P (a0 : a1 : . . . : an ) ∈ Pn , trong đó ai = 0 với i ∈ {0, 1, . . . , n}. Xét tập các đa
thức thuần nhất
S = {a0 xi − ai x0 , a1 xi − ai x1 , . . . , an xi − ai xn }.

Khi đó P = V (S) ⊆ Pn .
(iii) Một đa tạp xạ ảnh được xác định bởi các đa thức thuần nhất bậc một gọi là
đa tạp (xạ ảnh) tuyến tính.
1

Định lý cơ sở của Hilbert: Vành các đa thức với hệ số trên một vành Noether là Noether.

5


Cho Y ⊆ Pn là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó đó S(Y ) := K[x0 , x1 , . . . , xn ]/I(Y )
được gọi là vành tọa độ thuần nhất của Y . Giả sử I là một iđêan của vành S(Y )
và X là một tập con của Y . Khi đó ta định nghĩa các tập hợp sau
VY (I) := {p ∈ Y : f (p) = 0 với mọi f ∈ I},
IY (X) := (f ∈ S(Y ) thuần nhất : f (p) = 0 với mọi p ∈ X).

Mỗi tập con của Y có dạng VY (I) với I là một iđêan thuần nhất trong S(Y ) được
gọi là một đa tạp (xạ ảnh) con của Y .

1.1.2. Tôpô Zariski trên không gian xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.10 (Tôpô Zariski). Cho Y ⊆ Pn là một đa tạp xạ ảnh. Tôpô
Zariski2 trên Y được định nghĩa bởi họ tập đóng gồm các đa tạp con của Y .
Giả sử {Wα }α∈Γ là một họ bất kì các đa tạp xạ ảnh và giả sử Wα = V (Iα ) với
α ∈ Γ. Khi đó

α∈Γ Wi

cũng là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi họ

α∈Γ Iα

các đa

thức thuần nhất. Giả sử W1 = V (I1 ) và W2 = V (I2 ) là các đa tạp xạ ảnh. Khi đó
W1 ∪ W2 cũng là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi họ các đa thức thuần nhất
I1 I2 = {f g : f ∈ I1 , g ∈ I2 }.

Như vậy ta vừa kiểm tra rằng định nghĩa của tôpô Zariski trên Pn là hợp lý. Tiếp
theo ta định nghĩa tính bất khả quy của một đa tạp xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.11 (Tính bất khả quy). Giả sử X ⊆ Pn là một đa tạp xạ ảnh.
(i) Một tập con X của X được gọi là một thành phần bất khả quy của X nếu X
đóng (theo nghĩa Zariski), bất khả quy trong không gian tôpô Pn (với tôpô
Zariski) và là tập con lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) của X có các tính
chất trên.
(ii) Đa tạp X gọi là bất khả quy nếu X là thành phần bất khả quy duy nhất của
chính nó.

2

Oscar Zariski (1899-1986), nhà Tốn học người Mỹ gốc Nga.

6


Với mỗi i ∈ {0, 1, . . . , n}, xét tập hợp Ui = {(x0 : x1 : . . . : xn ) : xi = 0} ⊆ Pn .
Định nghĩa các tập Ui này là hợp lý. Thật vậy, giả sử (y0 , y1 , . . . , yn ) là một đại diện
khác trong lớp tương đương (x0 : x1 : . . . : xn ). Khi đó tồn tại λ ∈ K khác 0 sao cho
yj = λxj với mọi 0 ≤ j ≤ n. Vì xi = 0 nên yi = λxi = 0. Vậy Ui là một tập con của

Pn .
Mệnh đề 1.1.12. Các tập Ui được xác định như trên lập thành một phủ mở của
không gian xạ ảnh Pn .
Chứng minh. Rõ ràng các tập Ui là mở trong Pn đối với tơpơ Zariski vì là phần bù
của siêu mặt Hi = {(x0 : x1 : . . . : xn ) : xi = 0}. Bởi định nghĩa không gian xạ ảnh,
mỗi điểm p(x0 : x1 : . . . : xn ) ∈ Pn không thể có tất cả các thành phần tọa độ đều
bằng 0. Do đó

n
i=0 Hi

= ∅. Từ đó suy ra
n

n

(Pn \ Hi ) = Pn .

Ui =
i=0

i=0

Vậy {Ui } là một phủ mở của Pn .
Tiếp theo ta sẽ định nghĩa không gian tiếp xúc của đa tạp xạ ảnh.
Định nghĩa 1.1.13. Cho p = (p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ Cn và F ∈ C[x1 , x2 , . . . , xn ]. Ta định
nghĩa đạo hàm của F tại điểm p, ký hiệu là dp F là phần tuyến tính trong khai
triển Taylor của F tại p.
Cụ thể, giả sử F được viết dưới dạng
F (x) = F (p) + L(x1 − p1 , x2 − p2 , . . . , xn − pn ) + G(x1 − p1 , x2 − p2 , . . . , xn − pn ),

trong đó L là phần tuyến tính và G là đa thức khơng chứa nhân tử tuyến tính hay
hằng. Khi đó đạo hàm của F tại p là L(x − p). Ta có
n

L(x − p) = dp F (x − p) =
j=1

∂F
(p)(xj − pj ).
∂xj

Định nghĩa 1.1.14 (Không gian tiếp xúc). Cho X ⊆ Pn là một đa tạp xạ ảnh và
p ∈ X . Giả sử I(X) = F1 , F2 , . . . , Fm .
7


(i) Không gian tiếp xúc của X tại p, ký hiệu bởi Tp X , được định nghĩa là đa tạp

xạ ảnh xác định bởi các đa thức tuyến tính dp F1 , dp F2 , . . . , dp Fm .
(ii) Không gian tiếp xúc của X , ký hiệu bởi T X , được định nghĩa là tập hợp
T X = {(p, y) : y ∈ Tp X} ⊆ X × Pn .

1.1.3. Bậc của đa tạp xạ ảnh
Cho U và V là các đa tạp xạ ảnh trong không gian xạ ảnh Pn , ký hiệu bởi
#(U ∩ V ) số giao điểm của U và V .

Định nghĩa 1.1.15 (Bậc). Cho X ⊆ Pn là một đa tạp xạ ảnh. Bậc của đa tạp
X , ký hiệu bởi deg X , được định nghĩa là số giao điểm hữu hạn lớn nhất của X và

một đa tạp tuyến tính L ⊆ Pn có đối chiều bằng số chiều của X ; tức là
deg X = max{#(X ∩ L) < ∞ : L ⊆ Pn là đa tạp tuyến tính, codim L = dim V }.

Ví dụ 1.1.16. Trong không gian xạ ảnh P2 (C), xét đa tạp X xác định bởi đa thức
thuần nhất yz − x2 . Khi đó X có thể xem như một đường parabol trong C2 . Do đó
số giao điểm của X với một đường thẳng nhiều nhất là 2 hay deg X = 2.
Ví dụ 1.1.17 (Bậc của một siêu mặt). Giả sử X ⊆ Pn là một siêu mặt xác định
bởi đa thức thuần nhất bất khả quy F bậc d. Xét một đa tạp tuyến tính L bất kỳ
trong Pn . Khi đó , các giao điểm của X và L là các nghiệm của đa thức F hạn chế
trên L. Hạn chế của F lên L là một đa thức bậc d trên L. Vì L đẳng cấu với C nên
đa thức hạn chế có đủ d nghiệm. Với cách chọn L đủ tổng quát, d nghiệm này là
khác nhau từng đơi và do đó deg X = d.
Khái niệm bậc của một đa tạp xạ ảnh cũng có thể được định nghĩa thơng qua
đa thức Hibert của đa tạp đó. Giả sử X là một đa tạp xạ ảnh d chiều và C[X] là
vành tọa độ thuần nhất của X . Khi đó tập Ri tất cả các đa thức thuần nhất trên
C[X] với bậc i cho trước là một không gian véctơ con hữu hạn chiều của C[X] và
ta có
C[X] =

Ri ,
i≥0

trong đó R0 = C.
8


Định nghĩa 1.1.18 (Đa thức Hilbert). Với các ký hiệu như trên, hàm số N −→ N
cho bởi n −→ dim Rn được gọi là hàm Hilbert của đa tạp X . Với n đủ lớn, hàm
Hilbert xác định một đa thức
P (n) = a0 nd + a1 nd−1 + · · · + ad ,

gọi là đa thức Hilbert của đa tạp X .
Khi đó ta có thể định nghĩa bậc của đa tạp X ⊆ Pn là d!a0 . Chi tiết có thể xem
trong [5, Mục 7, Chương I].

1.1.4. Ánh xạ giữa các đa tạp xạ ảnh
Định nghĩa 1.1.19 (Đồng cấu). Giả sử V ⊆ Pn và W ⊆ Pm là các đa tạp xạ ảnh.
Một ánh xạ F : V −→ W được gọi là một đồng cấu giữa các đa tạp xạ ảnh (hay đơn
giản là đồng cấu) nếu thỏa mãn điều kiện sau: Với mỗi điểm p ∈ V , tồn tại một lân
cận Up của p trong V và các đa thức thuần nhất F0 , F1 , . . . , Fm ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ]
sao cho ánh xạ F hạn chế lên Up được cho bởi
q −→ (F0 (q) : F1 (q) : . . . : Fm (q)).

Nhận xét 1.1.20. Để định nghĩa trên có nghĩa thì các đa thức Fi phải có cùng
bậc. Có thể xảy ra trường hợp một số đa thức đồng nhất 0, các đa thức cịn lại có
cùng bậc. Hơn nữa, các đa thức Fi không cùng triệt tiêu tại cùng một điểm.
Định nghĩa 1.1.21 (Đẳng cấu). Một đồng cấu F : V −→ W giữa các đa tạp xạ
ảnh được gọi là một đẳng cấu nếu tồn tại đồng cấu ngược G : W −→ V . Khi đó ta
nói hai đa tạp xạ ảnh V và W đẳng cấu với nhau.

Ví dụ 1.1.22. Xét ánh xạ F : P1 (C) −→ P2 (C) cho bởi
(s : t) −→ (s2 : st : t2 ).

Vì (0 : 0) ∈
/ P1 (C) nên (0 : 0 : 0) ∈
/ P2 (C). Với mỗi P ∈ P1 (C), ta chọn UP = P1 (C) là
một lân cận của P . Như vậy ánh xạ được xác định như trên là một đồng cấu. Ta

9


nhận thấy rằng ảnh của ánh xạ này chính là siêu mặt C = V (y 2 − xz) ⊆ P2 (C). Do
đó ta có thể xem F là một ánh xạ vào C :
P1 (C) −→ C ⊆ P2 (C).
Tiếp theo ta xây dựng ánh xạ G : C −→ P1 (C) bằng cách đặt



(x : y) nếu x = 0
(x : y : z) −→



(y : z) nếu z = 0.
Để G là một ánh xạ, ta cần điều kiện rằng với x = 0, z = ta có (x : y) = (y : z). Chú
ý rằng điều này chỉ đúng trên C nhưng nói chung khơng đúng trên toàn P2 (C).
Như vậy P1 (C) và C = V (y 2 − xz) đẳng cấu với nhau thông qua đẳng cấu
P1 (C) −→ C −→ P1 (C)
xác định bởi
(s : t) −→ (s2 : st : t2 ) −→




(s2 : st) nếu s = 0

= (s : t).



(st : t2 ) nếu t = 0.
Ví dụ 1.1.23 (Phép đổi tọa độ trên Pn ). Cho F0 , F1 , . . . , Fn là các dạng tuyến tính
độc lập tuyến tính trên khơng gian véctơ Cn+1 . Khi đó các dạng này cảm sinh đẳng
cấu
ϕ : Pn −→ Pn

.

x −→ (F0 (x) : F( x) : . . . : Fn (x))

Định nghĩa 1.1.24 (Hàm hữu tỷ). Cho X là một đa tạp xạ ảnh. Một hàm
F : X −→ K được gọi là một hàm hữu tỷ nếu F được xác định bởi
F (x) =

G(x)
, x ∈ X,
H(x)

trong đó, F, G ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ] là các đa thức thuần nhất có cùng bậc.
Nếu H(x) = 0 thì tỷ số G(x)/H(x) được xác định. Thật vậy, giả sử deg H =

deg G = d, lấy λ ∈ K \ {0} ta có
G(λx)
λd G(x)
G(x)
=
= d
,
H(λx
H(x)
λ H(x)
10


ở đây x = (x0 , x1 , . . . , xn ).
Nhận xét rằng G/H và G /H cùng xác định một hàm hữu tỷ trên X nếu và
chỉ nếu H G − G H ∈ I(X). Do đó tập tất cả các hàm hữu tỷ trên X có cấu trúc
trường, ta gọi là trường các phân thức trên X và ký hiệu bởi R(X). Cụ thể ta có
R(X) :=

G
: G, H ∈ K[x0 , x1 , . . . , xn ], h ∈
/ I(X) / ∼,
H

trong đó G và H là các đa thức thuần nhất cùng bậc và ∼ là quan hệ tương đương
xác định bởi
G
G
∼
nếu và chỉ nếu H G − G H ∈ I(X).

H
H

Định nghĩa 1.1.25 (Hàm chính quy). Cho F là một hàm hữu tỷ trên đa tạp xạ
ảnh X .
(i) Ta nói F là chính quy tại x ∈ X nếu F = G/H , trong đó G và H là các đa
thức thuần nhất cùng bậc thỏa mãn H(x) = 0. ký hiệu OX,x là tập tất cả các
hàm hữu tỷ trên X và chính quy tại x.
(ii) Nếu F chính quy tại mọi điểm của một tập con mở U ⊆ X thì ta nói F chính
quy trên U . Ký hiệu OX (U ) (hoặc O(U ) khi đa tạp X đã được xác định) là
tập các hàm chính quy trên U .
Khi đó OX,x là một vành con của R(X), gọi là vành địa phương của X tại x.
Mệnh đề 1.1.26. Cho G ∈ k[x0 , x1 , . . . , xn ] là một đa thức thuần nhất. Đặt U =
Pn \ V (f ). Khi đó
OPn (U ) =

F
: F thuần nhất, deg(F ) = i deg(G) .
Gi

Ví dụ 1.1.27 (Hàm chính quy trên Pn (C)). Hàm chính quy trên Pn (C) chỉ là các
hàm hằng, tức là, OPn (Pn ) = C. Thật vậy, ta có Pn là tập con mở của Pn xác định
bởi phần bù của tập V (1). Bởi Mệnh đề 1.1.26 ta có
OPn (Pn ) =

F
: F thuần nhất, deg(F ) = 0
1i

11

= C.


1.2. Các số Stirling
Các số Stirling loại một, được giới thiệu lần đầu tiên bởi James Stirling3 trong
cuốn sách “Methodus Differentialis” vào năm 1730, có một số tính chất tương tự
với các hệ số nhị thức và đóng vai trị quan trong trong nhiều lĩnh vực Toán học,
đặc biệt là Toán rời rạc. Các số loại này sẽ là cầu nối liên kết cho các tính tốn
của chúng tơi trong các phần sau của luận văn.

1.2.1. Định nghĩa các số Stirling loại một
Định nghĩa 1.2.1 (Số Stirlingloại
 một). Cho các số nguyên dương k và n. Các số
n

Stirling loại một, ký hiệu bởi  4 , được định nghĩa bởi hệ số của xk trong khai
k

triển của
n

 
n

  xk .

Rn (x) = x(x + 1) . . . (x + n − 1) =
k=0

k

 
0

Ta quy ước   = 1.
0

Ví dụ 1.2.2. Một số giá trị đầu tiên của các số Stirling loại một được bởi bảng
sau
0

1

2

3

4

5

0 1

•

•

•

•

•

1 0

1

•

•

•

•

2 0

1

1

•

•

•

3 0

2

3

1

•

•

4 0

6

11

6

1

•

5 0 24 50 35 10 1
3

James Stirling (1692-1770), nhà Tốn học người Scotland.
Có rất nhiều ký hiệu khác nhau cho các số Stirling loại một, ký hiệu mà ta sử dụng ở đây được đề
xuất bởi nhà toán học Donald E. Knuth.
4

12


 
n

Nhận xét 1.2.3. Các số Stirling loại một   cịn có thể được định nghĩa là số
k

 
4

cách sắp xếp n phần tử thành k xích. Ví dụ, có tất cả   = 11 cách xếp 4 phần
2

tử thành 2 xích, cụ thể như sau
[1, 2, 3][4], [1, 2, 4][3], [1, 3, 4][2], [2, 3, 4][1],
[1, 3, 2][4], [1, 4, 2][3], [1, 4, 3][2], [2, 4, 3][1],
[1, 2][3, 4], [1, 3][2, 4], [1, 4][2, 3].

Tiếp theo ta xét một số tính chất của các số Stirling loại một.
Mệnh đề 1.2.4 (Công thức quy nạp cho các số Stirling loại một).
 

 

n+1



k

=

n

n

 + n .

k−1

k

Chứng minh. Ta có
Rn+1 (x) = x(x + 1) . . . (x + n − 1)(x + n) = nRn (x) + xRn (x).





n+1

Hệ số của xk ở vế trái là 


k

 
n

. Hệ số của xk trong nRn (x) là n  . Hệ số của
k



n
. Bằng cách so sánh các hệ số của xk ta suy ra điều phải
xk trong xRn (x) là 
k−1

chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. Cho n là một số nguyên dương. Khi đó
 
n

(i)   = (n − 1)!.
1

(ii)

1
n!

n


n+1



k=1


k+1

 = n.

13


Chứng minh. (i) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1, bởi định nghĩa ta có
 
1

  = 1 = 0!.
1

Giả sử kết quả đúng với số nguyên dương n. Khi đó, từ giả thiết quy nạp ta
suy ra



n+1



1

 

 

 

n

n

n

0

1

1

 =   + n   = 0 + n   = n.(n − 1)! = n!.

Do đó ta có điều phải chứng minh.
(ii) Xét đa thức Rn (x) như trong định nghĩa các số Stirling. Ta có Rn+1 (1) =
(n + 1)!, kết hợp với (i) và định nghĩa các số Stirling ta suy ra
n

(n + 1)! =




n+1


k=0

k+1




=

n+1
1


n

+

n+1


k=1

n

= n! +



k+1





n+1


k=1





k+1



Từ đó suy ra
n


n+1


k=1


k+1

 = (n + 1)! − n! = n!(n + 1) − n! = n!n.

Vậy đẳng thức thứ hai được chứng minh.

1.2.2. Đa thức Stirling
Trong mục này, ta xét trường các số phức C.

14


Định nghĩa 1.2.6 (Chuỗi lũy thừa hình thức). Một chuỗi lũy thừa hình thức theo
biến t trong C là một biểu diễn dạng
∞

ak tk ,

f (t) =
k=0

trong đó ak ∈ C với mọi k = 0, 1, . . ..
Tập hợp tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức theo biến t trong C là một C-đại
số với các phép toán được định nghĩa như sau,
bk t =

ak t +



∞

∞

ak tk  


k=0

k=0

k=0

k=0

(ak + bk )tk ,

k

k



∞

∞

∞



∞

bk tk  =
k=0



aj bk−j  tk .


k=0



k

j=0

Định nghĩa 1.2.7 (Cấp). Cho f (t) là một chuỗi lũy thừa hình thức. Ta định nghĩa
cấp của f (t), ký hiệu bởi ord(f (t)), là số nguyên k nhỏ nhất sao cho cho hệ số của
tk không triệt tiêu. Quy ước ord(0) = +∞.

Nhận xét 1.2.8. Cho f (t) là một chuỗi lũy thừa hình thức theo biến t trên C.
(i) Nếu ord(f (t)) = 0 thì f (t) được gọi là khả nghịch.
(ii) Nếu ord(f (t)) = 1 thì f (t) được gọi là một chuỗi delta. Khi đó, tồn tại một
chuỗi lũy thừa hình thức f (t) sao cho f (f (t)) = f (f (t)) = t.
Bây giờ, xét đại số P các đa thức một biến x với hệ số trên C. Ký hiệu P ∗ là
không gian véctơ tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên P . Giả sử L ∈ P ∗ là một
phiếm hàm tuyến tính và p(x) ∈ C[x] là một đa thức một biến x. Khi đó tác động
của phiếm hàm L lên đa thức p(x) được ký hiệu bởi L : p(x) . Nhắc lại rằng P ∗ là

một C-không gian véctơ với các phép toán được xác định như sau,
L + M : p(x) = L : p(x) + M : p(x) ,
λL : p(x) = λ L : p(x) ,

với mọi L, M ∈ P ∗ , với mọi p(x) ∈ C[x] và với mọi λ ∈ C.
15


Định lý 1.2.9 ([9, Định lý 2.3.1]). Giả sử f (t) là một chuỗi delta và g(t) khả
nghịch. Khi đó tồn tại duy nhất một dãy sn (x) các đa thức thỏa mãn deg sn (x) = n
và
g(t)f (t)k : sn (x) = n!δnk ,

với mọi n, k ≥ 0, trong đó δn,k là ký hiệu Kronecker. Dãy sn (x) như vậy được gọi là
dãy Sheffer cho cặp (g(t), f (t)).
Định nghĩa 1.2.10 (Đa thức Stirling). Cho k là một số nguyên không âm, đa
thức Stirling, ký hiệu bởi Sn (x), được định nghĩa là dãy Sheffer cho cặp (g(t), f (t)),
trong đó
g(t) = e−t ,
t
1 − e−t

f (t) = log

Khi đó ta có
t
1 − e−t

.

∞

x+1

=

Sk (x)
k=0

tk
.
k!

Ví dụ 1.2.11 (Đa thức Stirling).
S0 (x) = 1
1
S1 (x) = (x + 1)
2
1
S2 (x) = (3x2 + 5x + 2).
12

Kết quả sau đây cho ta mối liên hệ giữa đa thức Stirling và các số Stirling loại
một.
Mệnh đề 1.2.12. Cho k và n là các số nguyên dương. Khi đó


n+1
n
,

Sk (n) = 
k
n−k+1

trong đó

n
k

=

n!
.
k!(n − k)!

Chứng minh. Phép chứng minh được trình bày chi tiết trong [9, Chương 4].
16


Chương 2
Cơ sở Lý thuyết giao
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, một số ví dụ và các lớp
đặc trưng của một phân thớ véctơ trên một đa tạp xạ ảnh. Định lý HirzebruchRiemann-Roch là một kết quả có ý nghĩa, đóng vai trị quan trọng trong việc tính
tốn đặc trưng Euler của phân thớ véctơ thơng qua các lớp đặc trưng. Các kết quả
trong chương này được trình bày theo các tài liệu [2], [3] và [7].

2.1. Phân thớ véctơ
2.1.1. Định nghĩa phân thớ véctơ
Cho X là một đa tạp xạ ảnh. Ta sẽ định nghĩa phân thớ véctơ trên đa tạp X .
Định nghĩa 2.1.1 (Phân thớ véctơ). Một phân thớ véctơ hạng r trên X là một

bộ (E, X, π), trong đó E là một đa tạp xạ ảnh và π : E −→ X là một đồng cấu sao
cho tồn tại một phủ mở {Ui }i của X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) tồn tại các đẳng cấu ψi : π −1 (Ui ) −→ Ui × Kr ;
(ii) trên Ui ∩ Uj , hợp thành
ψi ◦ ψj−1 : (Ui ∩ Uj ) × Kr −→ (Ui ∩ Ui ) × Kr

là tuyến tính theo các tọa độ trong Kr ; tức là (x, v) −→ (x, gij (x)v), trong đó
gij là các đẳng cấu tuyến tính. Do đó gij có thể xem như một ma trận vuông

với các hệ số là các hàm trên Ui ∩ Uj .
17


Người ta gọi phân thớ véctơ (E, X, π) đơn giản bởi E hoặc π : E −→ X . Với mỗi
x ∈ X , tập π −1 (x) được gọi là thớ tại x và được ký hiệu là Ex . Một phân thớ véctơ

có hạng bằng 1 được gọi là một phân thớ đường thẳng.
Từ định nghĩa của phân thớ véctơ, ta thấy với mỗi x ∈ X , thớ π −1 (x) có cấu
trúc của một khơng gian véctơ. Do đó mỗi phân thớ véctơ có thể được xem như là
một họ các không gian véctơ được tham số hóa bởi một đa tạp xạ ảnh.
Mệnh đề 2.1.2. Các ánh xạ gij xác định như trong Định nghĩa 2.1.1, được gọi là
các hàm chuyển, thỏa mãn các tính chất sau
(i) gij là ánh xạ đồng nhất trên tập con mở Ui .
(ii) Trên tập Ui ∩ Uj ∩ Uk ta có gik = gij ◦ gjk .
Các hàm chuyển gij là không duy nhất đối với một phân thớ véctơ. Ta có thể
chọn các đẳng cấu khác φi : π −1 (Ui ) −→ Ui × Kr . Khi đó ta có các hàm chuyển mới
hij = φj ◦ φ−1
i . Vì ψi và φi đều là các đẳng cấu nên ta có thể giả sử φi = Ai ψi , trong

đó Ai : Ui × Kr −→ Ui × Kr tuyến tính. Khi đó

−1 −1
−1
hij = φi ◦ φ−1
j = Ai ψi ψj Aj = Ai gij Aj .

Mặc dù các hàm chuyển là không duy nhất đối với một phân thớ véctơ, tuy
nhiên, ta có thể xây dựng được một phân thớ véctơ từ các hàm chuyển. Thật vậy,
cho trước các hàm gij , với i, j ∈ J , thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2.1.2. Giả
sử {Ui }i∈I là một phủ mở của X . Đặt
Ui × Kr .

F :=
i∈I

Ta định nghĩa một quan hệ tương đương ∼ trên F như sau, với x ∈ Ui , y ∈ Uj ,
u, v ∈ Kr ,
(x, u) ∼ (y, v) ⇐⇒ x = y ∈ X và v = gij (x)u.

Xét tập thương E := F/ ∼. Khi đó các phép chiếu Ui × Kr −→ Ui xác định một
đồng cấu π : E −→ X . Bởi ánh xạ thương F −→ E , phép nhúng Ui × Kr → F là
18