Kỹ thuật điều khiển tự động tập 1 (NXB khoa học kỹ thuật 2011) bùi quý lực

TS BÙI Q UỶ LỰC

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT


TS BÙ I Q U Ý LỰC

KỸ THUẬT
ĐIỂU KHIỂN T ự ĐỘNG
T ập 1

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
H À N Ộ I -2 0 1 1


L

ờ

i N Ó I Đ Ầ U

Hệ thống điều khiển tự động có vai trị quan trọng trong tất cả các lĩnh vực kỹ
thuật. Hệ thống tự động được sử dụng rộng rãi từ thiết k ế các thiết bị địi hỏi có độ
chính xác cũng như các thiết bị điện tử có độ nhạy cao tới thiết k ế thiết bị nặng như
các thiết bị trong công nghiệp sản xuất thép. Đ iều khiển tự động sẽ ngày càng phát
triển bởi vì tất cả các thành tựu mới trong khoa học đều được dưa vào ứng dụng thiết
bị điều khiển tự động.
Cuốn sách kỹ thuật điều khiển được viết trên cơ sờ bài giảng và những trải
nghiệm giảng dạy và thực tế nhờ đó giúp tác giả có cái nhìn bao qt về m ơn học
cũng như phương pháp trình bày nhằm cung cấp cho người dọc đầy đủ nội dung
môn học, rõ ràng và dễ hiểu. Với m ục đích giúp cho các bạn đọc là người m ới tiếp

cận với lĩnh vực kỹ thuật điểu khiển tự động cũng dễ hiểu và có thể thực hành được.
Nghiên cứu hệ điểu khiển bắt đầu từ phân tích hiện tượng vật lý, từ đó xây
dựng mơ hình biểu diễn hiện tượng vật lý bằng các phần tử và tìm ra các phương
trình đặc trưng cho m ỗi phần tử. Thực tế, các phần tử thực đều có phương trình đặc
trưng là hàm phi tuyến. Bời vậy, cần phải tuyến tính hóa để các phẩn từ trở thành
các phần tử lý tướng. Sau đó, biểu diễn hệ bời mơ hình tốn học. G iải phương trình
biêu diễn hệ cho phép chúng ta hiểu được hoạt động cùa hệ và thiết kế, điều chỉnh
dế dạt được hoạt động của hệ theo yêu cầu. Chúng ta cũng có thể biểu diễn hệ bằng
sơ đổ khối. Các khối liên kết thành hệ hoàn chỉnh và sơ đổ khối là cách biểu diên
hiệu quá hoạt động của hệ. Chương 2 và chương 3 của cuốn sách chủ yếu phân tích
các hiện tượng xảy ra ờ hệ cơ, điện, thủy lực, khí nén và nhiệt. X ây dựng các mơ
hình dùng dê xấc dịnh đặc trưng của các phần tử và xác định hàm đặc trưng cho
từng phán tử. Chương 4 phân tích m ột số cấu trúc tích hợp từ các phần tử cùa các
lĩnh vực khác nhau có đặc trưng biến đổi nãng lượng, biến đổi chayển động, truyền
năng lượng và các đặc trưng khác. Chương 5 giới thiệu phương pháp biểu diễn hệ
bằng các phẩn từ lý tưởng hoặc bằng sơ đồ khối và chỉ ra ích lợi cùa biểu (tiễn hệ
trong phân tích và thiết k ế hệ. Chương 6 trình bày mơ hình tốn học. H oạt động cùa
hệ được biểu diễn bời các phương trình vi phân. Đ ể hiểu được hoạt động cùa hệ
3


chúng ta cần giải phương trình vi phân. Ở chương này nhắc lại phương pháp biến
đổi L aplace và m ột số phương pháp biến đổi ngược L aplace được dùng phổ biến
trong phân tích, thiết kế. Nhằm giúp cho sinh viên nắm các phương pháp này phục
vụ cho giai đoạn phân tích và thiết kế. Đ ồng thời đi sâu vào phân tích các đ ại lượng
đặc trưng hoạt động quá độ của hệ bậc nhất, bậc hai và các hệ thường gặp trong kỹ
thuật. Chương 7 trình bày chù yếu trình m ơ hình khơng gian trạng thái. L ý thuyết cơ
bản dùng trong thiết k ế hệ điêu khiển hiện đại. Các phương pháp chuyển phương
trình vi phân tín hiệu vào-ra sang khơng gian trạng thái, phương pháp giải phương
trình vi phàn trạng thái, chuyển phương trình trạng thái sang hàm truyền và graph

dịng biến khơng gian trạng thái cũng được trình bày ở chương này. Đ ánh giá ổn
định cùa hệ là nhiệm vụ quan trọng của phân tích, thiết k ế hệ điều khiển, nội dung
này được trình bày

ở

chương 8. Ở đây chỉ ra phương pháp đánh giá ổn định của hệ

theo tiêu chuẩn Rooth, N yquist, đồ thị Bode, đồ thi N ichols, quỹ đạo nghiệm và tiêu
chuẩn L yapunov dùng cho cả hệ tuyến tính và phi tuyến. Chương 9 trìn h bày
phương pháp phác họa quỹ đạo nghiệm và đánh giá ổn định củ a hệ thông qua quỹ
đạo nghiệm . Chương 10 chủ yếu trình bày các phương pháp thiết k ế hộ điểu khiển
phản hổi, phương pháp bù tích cực và thụ động. Đ iều khiển số và vi điều khiển ngày
càng được ứng dụng rộng rãi trong điều khiển. L ĩnh vực này được trình bày chủ yếu
ở chương 11.
T ác giả m ong rằng cuốn sách ra đời đáp ứng được nhu cầu k iến thức vể kỹ
thuật điều khiển của sinh viên các trường cao dẳng, đại học và các bạn đọc ham mê
lĩnh vực điểu khiển tự động. M ong rằng cuốn sách là tài liệu hữu ích đối với người
nghiên cứu và giảng dạy trong lĩnh vực này.
T ác giả xin bày tỏ cấm ơn chân thành tới N hà xuất bản K hoa học và K ỹ thuật
đã tạo điều kiện để cuốn sách nhanh chóng đến với bạn đọc và các đổng nghiệp dã
tham gia đóng góp nhiều ý kiến quý báu. D o thời gian và khả năng có h ạn chắc rằng
cuốn sách khơng tránh khỏi sai sót. Tác giả rất cảm kích cám ơn các b ạn đọc đến
với cuốn sách và rất m ong nhận được ý kiến đóng góp q báu giúp cho chất lượng
cuốn sách được hồn thiện hơn sau m ỗi lần tái bản. N hững ý kiến đóng góp xin gừi
về Bộ m ơn M áy và M a Sát, V iện Cơ KhíTrường đại học B ách K hoa H à Nội, s ố 1 Đại
Cồ V iệt hoặc N hà xuất bản K hoa học và K ỹ thuật 70 T rần Hưng Đ ạo H à Nội.

4

CHƯƠNG
1
G IỚ I T H IỆ U V Ề K Ỹ T H U Ậ T
Đ IỀ U K H IỂ N T ự Đ Ộ N G
1.1 LỊCH S Ử P H Á T T R IỂN Đ IỂU KHIEN T ự đ ộ n g
Trước khi đi vào nghiên cứu kỹ thuật điều khiển tự động người ta thường đặt
vấn đề điều khiển tự động là gì? Dưới đây m ơ tả hình ảnh đơn giản nhưng thể hiện
đầy đủ về khái niệm điều khiển tự động: đó là hệ thống đảm bảo áp suất và lưu
lượng Q „ trên đường ra của thùng chứa chất lỏng luôn là ổn định. Đ ể đạt được m ục
đích này cần giữ chất lỏng ở trong thùng ln có độ cao H. Đ iều đó có thể thực hiện
được nhờ người công nhân quan sát mức chất lỏng và điều khiển van bằng tay, hệ
thống đó được gọi là h ệ th ô n g đ iều k h iển b ằ n g ta y như chi ra trên hình 1 -la. T rên
hình 1 -lb cũng với hệ thống trên nhưng được điều khiển tự động. Đ ộ cao H trong
thùng được đo bằng phao, khi độ cao mức nước trong thùng thấp hơn H, trọng lượng
phao kéo phao đi xuống, qua hệ thống trung gian làm m ở van, chất lỏng chảy vào
thùng và đưa phao đi lên cho đến khi mức nước trờ lại chiều cao H u cẩu, thơng
qua hệ thống trung gian van đóng lại. Hệ thống điều khiển mức chất lỏng chỉ ra trên
hình 1 -lb được gọi là h ệ th ố n g đ iểu k h iể n tự động.

HĨNH 1-1a Hệ diẻu thièữ ápauãt
a) Điẻu ktnca bằng tay
b)

Đ iẻ u k b ie a tự d ộ a g

Điều khiển tự động đã xuất hiện từ lâu* nhưng cho đến khoảng 300 năm trước
cõng nguyên, K tesibios người H y L ạp trình bày cơ cấu điều chỉnh đổng hổ nước
bằng phao được xem là mốc khởi đầu của lĩnh vực kỹ thuật điều khiển tự động,
Trong giai đoạn này vào nãm 250 năm trước công nguyên người ta ứng dụng hệ

5


thống phao để điểu khiển giữ mức dầu không đổi trong đèn. C uốn sách đáu tiên
viết về lĩnh vực điều khiển tự động được H eron trình bày vào năm đầu tiên sau công
nguyên với tên cuốn sách ià “K hí lực học” (Pneum atica). Những năm tiếp theo,
nhiéu nhà khoa học đã đi vào nghiên cứu, thiết k ế hệ điều khiển tự động như
Cornells Drebbel (1572 - 1633). Ong là người H à L an cũng là người T ây A u dẩu
tiên phát m inh ra hệ thống điểu khiển phản hổi điều khiển tự động nhiệt độ. Năm
1681 Dennis Papin là người đã phát m inh ra thiết bị điều chỉnh tự động áp s u it nồi
hơi và nguyên tẵc điều chỉnh áp suất của Dennis Papin được áp dụng để thiết k ế và
c h ế tạo van an toàn cho các bếp ga m à hiện nay chúng ta đang sử dụng.
Đ iểu khiển tự động được ứng dụng vào sản xuất công nghiệp đẩu tiên phải kể
đến hệ thống điều khiển tốc độ động cơ hơi nước của Jam es W att năm 1769. Cơ cấu
điều chình tốc độ động cơ hơi nước của Jam es W att được biểu diễn ở hình 1-2.
N guyên tắc làm việc của hệ thống điều khiển tốc độ bằng cơ k hí được giải thích như
sau: chuyển động quay trục ra được truyền qua trục trung tâm tới hệ thống quả văng
nhờ bộ truyền bánh răng côn. Trục trung tâm liên kết với hai quả văng làm bằng
thép nhờ các thanh liên kết. Đồng thời hai quả văng liên kết với bạc trượt (bạc trượt
trung tầm ), bạc này có khả năng trượt dọc trục trung tàm như chỉ ra trên hình 1-2.
Bạc trượt trung tâm liên kết với cơ cấu đóng m ở van điẻu khiển lưu lượng hơi nước
cấp cho động cơ. Khi tốc độ động cơ tãng, tốc độ quay củ a trục ra cũng tãng, lực ly
tâm tăng làm bạc trượt trung tâm đi lên, thông qua hệ thống thanh liên kết đóng bớt
cửa van cấp hơi nước cho động cơ, tốc độ động cơ giảm xuống.
*

3 . Đ o tố c đ õ

ỵ ỊỊ\
Q u ã càu sất >

i

T J- _
i r ỉơ t aưoc

(ỊẠ +

"!

ỵ ị/

is ' j

' "t •

CơcàutruyẻQ

H ỈN H 1 - 2

••; V v“

H e th ó 'O f đ i ề u c b i a b b à a g q u á c à u c í a W a t t

Tiếp theo, nám 1765 Polzunop trình bày hộ thống điều chỉnh mức nước bằn°
phao chỉ ra trên hình 1-3. Đ iều đó khẳng định thêm xu hướng phát triển ngày càn°
m ạnh mẽ cùa điều khiển tự động phản hồi.
Giai đoạn trước nãm 1868 được xem là giai đoạn phát triển hệ thống điểu khiển
thông qua quan sát băng trực giác và sáng tạo. Trong giai đoạn này người ta tìm
cách nâng cạo độ chính xác của hệ điều khiển bằng cách làm giảm dao động đẽ hệ

thống dần dần đến trạng thái ổn định.
6


Sau năm 1868 là giai đoạn phát triển lý thuyết điéu khiển tự động. J . c M axw ell
(1868) là người đẩu tiên đưa lý thuyết toán học vào lý thuyết điều khiển tự động. Hệ
điều khiển được m ô tả bằng hệ phương trình vi phân và nhờ đó xác định được hiệu
quả của các tham sơ' tới hiệu suất của hệ thống. Cũng trong giai đoạn này,
Vyshnegradskii đã xây dựng lý thuyết toán học cho hệ điều khiển phản hồi và
Adam s và E.J. Routh (1877) là người đưa ra tiêu chuẩn ổn định cho hệ thống điều
khiến tự động. Thời gian ngắn sau đó nhà tốn học N ga A .M L yapunov (1893) trình
bày nghiên cứu cùa m ình về ổn định chuyển động hệ cơ học. N ghiên cứu của A.M
Lyapunov trên cơ sở chuyển các phương trình vi phân phi tuyến cùa chuyển động
sang m õ tả bằng phương trình vi phân tuyến tính tương đương, kết quả tính tốn
chuyển động của A .M Lyapunov tương đương với kết quả tính tốn theo phương
pháp của A dam s và E.J. Routh. Chính nghiên cứu này, A .M L yapunov đã đề xuất ra
khái niệm về biến trạng thái trong lý thuyết điều khiển tự động hiện đại.
Trước giai đoạn đại chiến th ế giới
lần thứ hai, M ỹ và ở T ây Âu phát triển
m ạnh mẽ lý thuyết điều khiển và ứng
dụng điều khiển tự động vào hệ thống
điện thoại và m ạch khuếch đại phản hổi.
Trong khi đó N ga và các nước Đ ông Âu
tập trung vào nghiên cứu lĩnh vực khác.
Phao_
Phịng thí nghiệm ở Bell Telephone
Laboratori Bode, N yquit và Black là
những người đầu tién phát triển kỷ thuật
điều khiển tự động trong m iền tần số.
Kỹ thuật tán số lần đầu tiên được sử

dụng để m ô tả hệ điểu khiển khuếch đại
Yaa
phàn hổi. Trái lại, các nhà toán học và
các nhà cơ học ứng dụng nổi tiếng của
HÌNH 1-3 ĐLẻu cbìữb mút QUOỚC bằLQg phao
Liên bang Xơ viết trước đây đã vượt xa
trong lĩnh vực lý thuyết điều khiển tự động so với các nước T ây Âu ở chỗ lý thuyết
điều khiển của Liên X ô đã bắt đầu đi vào thiết lập phương trình vi phân cho các hệ
thống diều khiển tự động trong m iền thời gian.
Đại chiến th ế giới bùng nổ là động lực thúc đẩy m ạnh mẽ phát triển lĩnh vực
điều khiển tự động. Người ta cần phải thiết k ế các m áy bay có khả năng lái tự động,
hoặc thiết k ế các loại súng tự dộng, hệ thống điểu khiển ăng ten cùa ra đa và các
thiết bị quân sự khác trên cơ sờ áp dụng điều khiển phản hồi. Kỹ thuật tần số tiếp
tục được phát triển và phát triển m ạnh m ẽ nhất là khi sử dụng có hiệu quả dạng
chuyến dổi L aplace và m ặt phảng phức trong thiết kế. Đ ồng thời trong thời gian này
W iener và Phillips đã bắt đầu nghiên cứu điều khiển tối ưu và m ở rộng ra nghiên
cứu quỹ đạo tối ưu cho hệ phi tuyến trên cơ sờ sử dụng phép tốn vi, tích phân để
giái quyết những bài to án về hệ số biến.
W .R Evans là người làm việc trong lĩnh vực dẫn đường và điéu khiển các thiết
bị vận tải hàng không đã gặp nhiéu vấn đề phức tạp, nhất là ổn định và m ất ổn định
động lực cùa thiết bị. W .R Evans đã sử dụng phương pháp tần số để giải quyết vấn
7


đề này nhưng gặp nhiéu khó khăn vì vậy ơng đã đé xuất cần quay về nghiên cứu các
phương trình đặc trưng m à J .c M axw ell đưa ra cách đấy 70 năm và sau này W .R
Evans đã phát triển thành phương pháp quỹ đạo nghiệm .
Năm 1950 m ột sô nhà khoa học như R.B ellnam , R. E K alm an người M ỹ và L.
s. Pontryagin người N ga bắt đầu xem xét lại các phương trình vi phân thường
(ordinary differential equation - ODE) và xem nó là m ơ hình hệ điều khiển đồng

thời xét các vấn đề nảy sinh khi đi vào nghiên cứu lĩnh vực điều khiển m ới, ví dụ
điều khiển vệ tinh bay quanh trái đất. Các nhà khoa học L iên X ơ đã sừ dụng phương
trình vi phân thường để biểu diễn mơ hình điều khiển và sử dụng m áy tính sơ dể
tính tốn điều khiển. N hiều hội nghị khoa học về điều khiển tự động đã được tổ
chức tại L iên Xô vào những năm 1960. T ại đây người ta khơng cịn thảo luận vé
việc sử dụng đáp ứng tần sô hoặc phương trình đặc trưng vào tính tốn thiết k ế hệ
điều khiển m à người ta đi vào thảo luận cách sừ dụng trực tiếp dạng phương trình VI
phân thường hoặc dạng phương trình vi phân trạng thái và sử dụng m áy tính số như
là thành phần cùa hệ điểu khiển. Phương pháp sử dụng phương trình vi phân thường
(O D E) biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân trạng thái và m áy tính số là thành
phần trong hệ thống điều khiển tự động, hệ điều khiển như th ế được gọi là hệ điều
k h iể n h iện đ ạ i (M odern control). Các hệ thống điều khiển được thiết k ế theo các
phương pháp trước đó được gọi là hệ đ iều k h iể n cổ điển.
1.2 MỘT S Ố KHÁI NIỆM DÙNG T R O N G KỸ T H U Ậ T ĐIỂU KHIEN T ự Đ Ộ N G
M ột hệ thống địi hỏi con người điều khiển, ví dụ như ô tô được người điểu
khiển gọi là điều k h iển b ằ n g tay . H ệ m à khơng địi hịi con người tham g ia vào q
trình điều khiển, ví dụ như để giữ ổn định nhiệt trong phòng chúng ta sử dụng máy
điéu nhiệt độ được gọi là điều k h iển tự dộng. Hệ được thiết k ế giữ cho tín hiệu ra
ln ổn định chống lại các nhiễu tác động vào hệ được gọi là hệ đ iều c h ỉn h . Thiết
bị được thiết k ế để bám theo tín hiệu chuẩn được gọi là hệ T ra c k in g hay h ệ S ervo.
Hệ điều khiển được phân loại theo dạng thơng tin dùng để tinh tốn hoạt động
điều khiển. N ếu hệ điều khiển không dùng thiết bị đo tín hiệu ra của hệ để tính toán
hoạt động điều khiển được gọi là hệ đ iều k h iể n hở. N ếu hệ điều khiển dùng thiết bị
đo tín hiệu ra và dùng tín hiệu này vào tính tốn điều khiển, hệ đó được gọi là điểu
k h iể n k ín hay gọi là điều k h iển p h à n hồi.
K hái niệm hệ th ố n g được dùng khá phổ biến hiện nay. N ó khơng chỉ dùng cho
kỹ thuật m à còn dùng trong kinh tế, xã hội và ngay cả chính trị. H ệ th ố n g được
định nghĩa như là tích hợp cùa nhiều thành phẳn tác động khác nhau hình thành đối
tượng nào đó. H ệ th ố n g đ iều k h iể n là sự liên kết giữa nhiều thành phần hình thành
nên cấu trúc hệ thống để đưa ra đáp ứng hệ thống u cầu. Cơ sờ để phân tích hệ

thơng là lý thuyết hệ tuyến tính m à nó đã chấp nhận m ối liên hệ nguyên-quâ đối với
m ọi thành phần trong hệ. Trong kỹ thuật điều khiên chúng ta còn gặp khái niệm hệ
đ ộ n g lực, vậy hệ động lực là hệ như thế nào? Người ta cho rằng tất cả các hệ tón tại
theo thời gian và có tốc độ thay đổi đáng kể của hệ được coi như là hệ đ ộ n g lực, ví
dụ ơ tơ đang chuyển động trên đường có thể xem như là hệ động lực.


CHƯƠNG
2
CÁ C PH Ầ N TỬ HỆ C ơ H Ọ C
M ơ hình là cơng cụ m ạnh dùng trong thiết k ế hoặc thực hiện các giải thuật điều
khiển và gợi ý cho người thiết k ế lựa chọn mơ hình khá đặc trưng, gần giống với
điéu kiện làm việc thực tế. M õ hình được xem là m ột cơng cụ, thì đây là cơng cụ
đặc biệt dùng để phát triển khoa học ứng dụng riêng cho từng lĩnh vực. T rong thực
tế, có thể có nhiều m ơ hình cùng mơ tả m ột hệ thống, ví dụ mơ hình tốn học sử
dụng phương trình để m ơ tả hệ thống, vì vậy người ta có thể dùng nhiều dạng khác
nhau cùa phương trình đ ể m ô tả cùng m ột hệ thống. M ồ hình được đánh giá là tốt
khi nó đơn giản nhưng chứa đựng được các thông tin cần thiết để thực hiện các hoạt
động kỹ thuật.
Phân tích cơ học cho thấy hệ gồm ba phần tử là: khối lượng, lò xo (phần tử đàn
hồi), giảm chấn (sức cản cơ học hoặc giảm chấn) và ba phần từ này biểu diễn các
hiện tượng vật lý xảy ra theo nhiều cách khác nhau trong cơ hệ. Phần tử cơ học
trong thực tế được lý tưởng hóa và biểu diễn bằng m ơ hình tham số tập trung, ví dụ
lị xo trong thực tế nó có khối lượng và độ cứng khơng thay đổi trên suốt chiều dài.
Chúng ta có thể m ơ hình nó bằng m ơ hình tham số tập trung phù hợp với điều kiện
giới hạn tối thiểu hoạt động cùa phần tử. Chúng ta hãy xét trường hợp khi nén lò xo
thực với tốc độ chậm , gia tốc của khối lượng là rất nhỏ vì vậy tất cả lực đặt ở điểm
đầu truyền toàn bộ đến điểm cuối, với điều kiện như th ế lị xo có thể xem là phần từ
lò xo lý tưởng.
Xét về m ặt năng lượng các phần từ cơ học có thể chia thành hai dạng: dạng thứ

nhất là phần tử tích luỹ năng lượng và dạng thứ hai là phẩn tử tiêu tán năng lượng.
Lò xo và khối lượng là hai phần tử tích luỹ năng lượng và giảm chấn là phần tử tiêu
tán nãng lượng.
2.1 PH Ầ N T Ử C ơ H Ọ C C H U Y ỂN Đ Ộ N G TỊNH TIẾN
Chuyên động cùa các phần từ riêng biệt trong cơ hệ liên hệ với lực đặt lẽn phần
tử dó hay nói m ột cách khác chuyển động là kết quả tác động lực lén phần tử.
Chuyển động được định nghĩa là chuyển dời với vận tốc và gia tốc cùa m ột điểm so
với điểm khác. C huyển động tuyệt đối cùa m ột điểm có thể được định nghĩa như là
chuyển động của m ột điểm liên hệ với m ột điểm cố định khác trong khơng gian (với
trái đất).
2.1.1 KHƠI L Ư Ợ N G C H U Y ỂN Đ Ộ N G TỊNH TIẾN
Phân tích cơ hệ là xét cơ hệ trên cơ sở các định luật chuyển động cùa Niu tơn và
nguyên tắc tác dụng tương hỗ. Các phần tử của cơ hệ là thành phần vật chất vì vậy
nó có khối lượng và không đồng nhất. N ếu xem khối lượng là vặt rắn đổng nhất và
bò qua hiệu ứng m a sát, biến dạng và chuyển động trong môi trường khơng có gia
9


tốc, khối lượng được coi là khối lượng lý tưởng. K hối lươn® lý tướng phù hợp với
các định luật Niu tơn. Bây giờ, chúng ta khảo sat khối lượn ° m có đơn vị đo bãng
kg (kg= N -s2/m ) chuyển động theo phương X đo tính bằng m ét như chi ra trên hình
2-1, vặn tốc chuyển động của tâm khối lượng là V và cách điểm c ố dm h la X.
Phương trình cơ bản của phẩn tử khối lượng viết theo định luật N iu tơn là:
r , •.
dv
f(t) = m ~
dt

(2 .la)

Bởi vì, vận tốc v = d x l d t là biến của khoảng cách X, quan hệ giữa lực và
khoảng cách được viết:
m

= m ^ ị

(2. lb)

dt
Phương trình (2.1) chỉ biểu diễn quá trình động học chuyển dộng của khối
lượng m à khơng đặc trưng q trình động lực của nó. Bởi vậy, để biểu d iỉn đặc
trưng động lực học cùa khối lượng chuyển động người ta dùng dộng lượng. Động
lượng của khối lượng là tích của khối lượng và vận tốc p = m v . Thực tế, vật chất
tích hợp từ nhiều phần tử cơ học có khối lượng khác nhau do đó vận tốc cùa các
phần tử sẽ khác nhau. Bởi vậy, quan hệ động lượng và vận tốc của khối lượng thực
là hàm đơn điệu và đơn trị:
p =f( v )

(2.2)

Và quan hệ giữa động lượng và lực có thế viết:
(2.3)

/ ( 0 = 4 = ■P
dt

Đ ộng lượng của khối lượng từ thời điểm bắt đầu / = Ođến thời điểm I được xác
định là:
(2.4)
trong đó p 0 là động lượng tại thời điểm t0 .

'■Đ iém cõ định
V

f(0 ,
m
X
HĨNH 2-1

Sd dỏ d an giản xác định vạn toc
và gia tò c c ù a khòi lưỢũg

Với vận tốc chuyển động cùa khối lượng lớn hơn rất nhiều so với vận tốc ánh
sáng, quan hệ giữa động lượng và vận tốc (2.4) là quan hệ phi tuyên được biểu diễn
bằng đường cong (1) chi ra trên hình 2-2. T heo định luật thứ nhất nhiệt động học
10


quan hệ giữa động lượng với vận tốc là quan hệ tuyến tính. Q uan hệ này chỉ phù
hợp với trường hợp vận tốc chuyển động cùa khối lượng nhỏ hơn rất nhiều so với
vận tốc ánh sáng, nhớ rằng quan hệ vận tốc ánh sáng với động lượng là:
mv
p=

Từ dó cho thấy động lượng là hàm của vận tốc tuyệt đối V và động lượng cùa
khối lượng lý tướng được viết:
p =mv

(2.5)

Trong thực tế, lực tác dụng vào khối lượng có thể gồm nhiều lực bởi vậy quan

hệ (2 -lb ) viết dưới dưới dạng tổng quát là:
( 2 .6 )

trong đó / ( f ) lực thứ i tác dụng lên khối lượng theo phương X. Xét về m ặt năng
lượng, năng lượng cùa hệ cơ học được biểu diễn qua năng lượng thực hiện chuyển
động tịnh tiến theo hướng xác định. Dòng năng lượng của hệ được xác định bằng
tích cùa lực tính bằng N và vận tốc tính bằng m/s. T heo định luật nhiệt động học thứ
nhất, ta có:

Tích phân theo thời gian, nhận được:
(2.7a)
hoặc
£ = £ ( 0 ) + y v 2(O

(2.7b)

ớ đây E„ là nãng lượng tích luỹ ban đẩu của phẩn từ khối lượng. Chúng ta có thể
tính được năng lượng tích lũy của khối lượng thực ờ thời điểm vặn tốc của nó là V:
(2.7c)
T ừ (2.7a) chúng ta tính được năng lượng tích luỹ trong phần tử khối lượng lý
tướng bằng cách thay V = p ! m , ta có:
(2.7d)
T ừ cống thức (2.7b) cho thấy, năng lượng là đại lượng ln dương, nó phụ thuộc
vào bình phương vận tốc và phần từ khối lượng là phần tử tích luỹ năng lượng.
11


0
HỈNH 2 -2

V*

V

Đ ị thị biổu diên q uan hê
đơng lưọog v ói v Ịn tóc

Chú ý là năng lượng tích luỹ trong phần tử khối lượng có thể lấy lại được. Hình
2-3 là ký hiệu cùa phần tử khối lượng trong hệ cơ học.
x(t)

m

HĨNH 2-3

Ký hiệu pháo tử
ch uyến đống tịnh tiéu

Ví DỤ 2.1
H ãy tính khoảng cách dịch chuyển cùa ô tô từ khi rigười lái xe tắt động cơ cho
đến khi ô tô dừng như ch ỉ ra trên hình 2- 4. Biết rằng ờ thời điểm / = 0 nguồn động
lực bị cắt, ơ tơ có vận tốc là V = v0 và ở thời điểm dừng ơ tơ có vận tốc V = 0 . Ma
sát giữa m ặt đường và bánh xe có hệ số m a sát là n .
GIẢI
Đ ể xác định khoảng cách dừng của ơ tơ chúng ta phân tích và biểu diễn nó dưới
dạng các phần tử lý tưởng, ô tô được biểu diễn bằng phần tử khối lượng lý tường m
và ở thời điểm I = 0 có vận tốc V = v0 . K hi cắt nguồn động lực, ô tô vẫn tiếp tục
chuyển động là nhờ nãng lượng tích luỹ trong khối lượng. Ơ tơ dừng là do tác dụng
của lực cản m a sát f c của bánh xe lên m ặt đường và sức cản của khơng khí. Già
thiết rằng lực cản của khơng k hí nhỏ có thể bỏ q u a và chỉ có lực m a sát sinh ra do

trọng lượng của ô tô tác dụng lên m ặt đường. Bây giờ chúng ta tính tốn lực cản do
m a sát sinh ra:
f c = v ms
trong đó m là khối lượng cùa ô tô, g là gia tốc trọng trường và n là hệ số m a sát
của m ặt đường với bánh ô tô.
K hoảng cách dừng cùa ô tơ được xác định thơng qua năng lượng tích lũy cùa
k hối lượng ô tô và năng lượng tiêu tán do lực cản ma sát gây ra khi bánh xe lãn trên
m ặt đường. N ăng lượng tích lũy cùa ô tô tính theo vận tốc ban đâu.
12


v=0

_Q

Khoảag cách dừũg

-+ u f

T hờ i đ iả n
tắ t đỏng cơ

HỈNH 2-4

T h ờ i đ iổ m
I

dừng

Khoầũg cách dừng cùa ồ tô

P

_

1 —

2

£ o = Ỷ 'ĩ"'o

Từ phương trình (2.7a), giả thiết rằng lực cản do m a sát gây ra là không đổi
trong suốt thời gian từ t= 0 đến t, N ăng lượng giảm chấn do lực m a sát gây ra là:

trong đó X là quãng đường õ tô chuyển động từ thời điểm t = 0 đến thời gian t .
Trên cơ sở cãn bằng năng lượng, chúng ta xác định khoảng cách xe dừng sau khi
dừng động cơ là:

2 mv0 = f c x
hoặc:
m vị _
2f c

m vị

=

2ịim g

vị
2ụg

Từ ví dụ trên, cho ta kết luận: khoảng cách dừng tỉ lệ với bình phương vận tốc
ban đầu. Áp dụng với trường hợp cụ thể với vận tốc ban đầu cùa ô tô 20 m /s, hệ số
ma sát mặt đường |J =0.8 . K hoảng cách xe dừng sau khi dừng động cơ là:
X = ------ —--------=25.5 m
20x0.8x9.81
2 .1 .2 LÒ X O TỊNH TIẾN
Chúng ta khảo sát hiện tượng tự nhiên khác trong cơ học thổng qua thí nghiệm
tác dụng lực / ( / ) vào m ột đầu của lò xo, đầu kia được cô' định. Dưới tác dụng của
lực, điểm đặt lực trên lò xo dịch chuyển dọc theo trục lò xo m ột lượng bằng hiệu
giữa chiều dài ban đầu và chiều dài sau khi dịch chuyển lượng dịch chuyển (biến
dạng cùa lò xo). Đ ặc trưng biến dạng dưới tác dụng của lực cùa lò xo như chỉ ra trên
hình 2-5.

13


HÌN H 2-5

Đặc Únil cùa lị xo

Thực tế, vật liệu ch ế tạo lị xo là khơng đổng nhất, bởi vậy các vùng khác nhau
của lị xo có độ cứng khác nhau và tổn tại hiệu ứng nội m a sát và lị xo có khối
lượng. V ì vậy, quan hệ giữa lực và biến dạng cùa lò xo là hàm phi truyến, đơn điệu
đơn trị có nghĩa là ứng với m ột giá trị lực cho ta m ột giá trị biến dạng X hoặc với
giá trị biến dạng cho trước ta chỉ có thể xác định được m ột giá trị lực duy nhất tác
dụng lên lò xo và tuân theo định luật H ooke :
x ự ) = < D (/(0 )

(2.8)

Đường cong (1) trên hình 2-6 biểu diễn quan hệ giữa lực và biến dạng cùa lò xo
thực.
Nếu cho rằng lò xo là dồng nhất và bỏ qua hiệu ứng nội m a sát và khối lượng, lò
xo được xem là phần tử lò xo lý tư ở ng. Q uan hệ giữa lực và biến dạng của lị xo lý
tường là hàm tuyến tính:
m

= kx(t)

(2.9)

trong đó k là hệ số độ cứng cùa lị xo chính là độ dốc của đường biểu diẻn quan hệ
lực tác dụng làm lò xo biến dạng m ột lượng X và quan hệ đó được biếu diễn bời
đường thẳng (2) trên hình 2-6. T ín hiệu vào của phẩn tử lị xo ln ln là lực và tín
hiệu ra cùa phần từ là chiều dài biến dạng. Phương trình (2.9) được gọi là phương
trình đặc trưng của phần từ lị xo. Phương trình đặc trung (2.9) có
thể viết theo hệ số
m ềm của lò xo là:
x (l) = c m

(2 . 10)

trong đó c là hệ sơ' đặc trưng cho độ m ềm của lò xo với đơn vị đo m ét trên Niu
tơn, (m /N ). T rong thực tế khi khảo sát lị xo tuyến tính người ta thường sử dụng hệ
số cứng m à ít khi sử dụng hệ số m ểm , vì vậy cơng thức (2.10) trờ thành công thức
(2.9) khi thay k = — đơn vị đo cù a hệ số độ cứng là Niu tơn trên m ét, (N /m ).
Từ phương trình (2.9), vi phân cả hai v ế , nhận được:
d- m
dt

14

= kẺẢO
dt

(2.lla)


và vùtig tích lũy Qáng lưạug cùa pháa tử lị xo

Quan hệ giữa tốc độ dịch chuyển điểm đặt lực của lị xo dưới tác dụng của lực
cho bời tích phán:
/ ( 0 = * JĨv( t ) í / t + / 0

(2 .1 l b )

ớ đ â y / 0 là lự c b a n đ ẩ u . N ế u g iữ lò x o ờ tr ạ n g th á i n é n v ớ i lự c là / ( / ) , lò x o tr ờ

thành phần từ tích luỹ năng lượng. Năng lượng tích luỹ tính theo công thức:
E =^ - f \ t )
2k

(2.12)

Từ (2.12) cho thấy năng lượng tích luỹ trong phần tử lị xo ln dương và ti lệ
với bình phương lực tác dụng. Vùng tích luỹ năng lượng cùa lị xo chỉ ra trên hình
2-6 và ký hiệu phần tử lị xo chì ra ở hình 2-7

HIMH 2 -7

K ý b iê u p h áũ tử lò x o tịn h tiê u

Ví DỤ 2 .2
Hãy tìm phương trình biểu diễn f k và biến dạng X theo thời gian cùa lò xo chỉ
ra trẽn hình 2-8.

15


—ẠA/^O----k
HĨNH 2 - 8

/t

So đò lò xo chịu l ự c y

Đ ộ cứng của lò xo ẤT= 800 N /m m , Dưới tác dụng của lực, vận tốc dịch chuyển
điểm đặt lực không đổi V = 20 m m /s và bắt đầu ở thời điểm t = 0 .
GIẢI
Từ quan hệ giữa lực với biến dạng là hàm tích phân theo biến thời gian chỉ ra
trong phương trình (2.11).
fk

0 1

0

X

t

a)

Bởi vậy, lực từ tác dụng từ í= 0 đến thời điểm I được xác định là
/CO = K £ v(t )a
T heo bài ra, vận tốc chuyển động cù a điểm đặt lực là không đổi. T hay giá trị tốc
độ biến dạng và độ cứng vào phương trình ta có:
/( O = * £ v (T )* = (* 0 O )(2 O )£ d r
/ ( / ) -0= (8 0 0 )(2 0 )f - 0 = 16000/ [N]
Lực biến đổi theo thời gian cùa lò xo chỉ ra trên hỉnh 2-9(a)
16


Q uan hệ giữa tốc độ dịch chuyển và lượng dịch chuyển theo biến thời gian là:
.

dx

*
Xác định lượng dịch chuyển bằng cách lấy tích phân phương trình trên theo thời
gian từ í = 0 cho đến t ta có:
x ( r ) = £ vdt = £ 2 0 í/í = 2 0 |r f f = 2 0 |'0
x(t) = 2 0 1 mm
Đáp ứng của thành phần dịch chuyển của lò xo theo thời gian chỉ ra trên hình 29b. Trường hợp cụ thể, tại thời điểm / = 0 .1 , lực tương ứng là f k =1600Af, cũng tại
thời điểm đó lị xo dịch chuyển được chiều dài x = 2 mm
2 .1 .3 GIẢM CH Ấ N TỊNH TIẾN
Vật chất được hình thành từ các phần tử và các phẩn tử chuyển động tương đối
với nhau ớ tốc độ giới hạn. K hi các phân tử chuyển động, xuất hiện lực cản chuyển
động, lực này tỷ lệ với vận tốc chuyển động tương đối giữa các phân tử. Trong vạt
rắn hiệu ứng này rất nhỏ, thường được bỏ qua chú ý rằng trong cơ học gọi là biến

dạng đàn hổi của vật rắn. Với chất lỏng các phân tử trong nó tự do trượt hoặc
chuyển động liên tục tương đối với các phân tử khác theo phương tiếp tuyến với
phương trượt. Lực xuất hiện do tốc độ chuyển động tương dối sinh ra là đáng kể.
Tính chất cùa chất lỏng nêu ở trên có xu hướng chống lại sự thay đổi tốc độ được
gọi là độ nhớt. Độ nhớt lòng được định nghĩa là ứng suất trượt sinh ra ứng với tốc độ
đơn vị làm phá vỡ sức căng cùa phân từ chất lỏng. Hiệu ứng sinh ra cùa chất lòng và
chất rắn cản trờ chuyển động tương đối giữa các phân từ hoặc các thành phần
thường được gọi là m a sát. Khi lực sinh ra chống lại chuyển động tương đối tỷ lệ
thuận với tốc độ chuyển động tương đối được gọi là m a sát nhót hoặc m a sát tuyến
tính. Nhưng trong thực tế kỹ thuật, phần lớn hệ cơ tồn tại m a sát phi tuyến. Đ ể biểu
diẻn hiện tượng vật lý trên, người ta đưa vào cơ hệ phần tử giảm chấn (dam per).
Phần tử giảm chấn là phẩn tử tiêu tán năng lượng. Nó đóng vai trị như là khóa điều
khiển vận tốc và ổn định hệ.

i

Đề xác định đặc trưng của phẩn từ chúng ta tìm quan hệ giữa lực và vận tốc khi
lực truyền qua phẩn tử giảm chấn như chì ra trên sơ đồ hình 2-10. Đ ặt lực vào điểm
(2) lực truyền qua phần từ giảm chấn tới điểm (1), dùng thiết bị đo xác định vận tốc
ờ điểm (1), từ đó tìm được quan hệ giữa lực và vận tốc. Q uan hệ lực và vận tốc trên
phần từ giảm chấn thực là hàm phi tuyến và được mô tả bởi phương trình tốn học:
m

= /[v (0 ]

(2.13)

Quan hệ giữa lực và vận tốc cùa phẩn từ giảm chấn thực được biểu diễn bởi
đường (1) chi ra ờ hình 2-11.

17


Vị

m

V1
—►
f~ V r.
— T T~«J k
1
Ầ2
*
B
*ỉ

HĨNH 2-10

So đók h ào sát
pháo tử giảm chán

Nếu coi phần tử giảm chấn không có khối ỉượng và khơng có tính lị xo đó ỉà
phần tử giảm ch ấ n lý tường. Q uan hệ giữa lực và vận tốc cùa phẩn tử giảm chấn lý
tưởng được khảo sát theo sơ đổ hình 2-10 ờ trạng thái cân bằng lực. Khi đặl
lực / ( í ) vào điểm (2), lực truyền qua phần tử giảm chấn tới diểm (1). Đ ê hệ ờ trạng
thái cân bằng, tại điểm (1) cùa giảm chấn xuất hiện lực có giá trị bằng lực dặt vào
điểm (2) nhưng chiểu ngược lại để hệ ở trạng thái cân bằng. Bởi vậy, phương trình
tốn học m ơ tả quan hệ giữa lực và vận tốc trên phần tử giảm chấn lý tường là hàm
tuyến tính:

/(< ) = B v ự )
(2.14)
ở đây:
B được gọi là hệ số giảm chấn với đơn vị đo (N -s/m ); v = v 2 - V

|

là vận tốc của

phần từ giảm chấn. Q uan hệ lực và vận tốc củ a phần tử lý tưởng là đường thẳng (2)
trên hình 2-11.
m

'

A t)-A m

V

2

/

1\

X — f ( f ) - Bv(t)

Ị
. 1

Giảm chấn Coulcmb

ỵ /

ỵ
HỈNH 2-11

3
vCO

0

ĐỔ thi biếu diẽa các quaa bệ cơ bảũ
cùa pbáa tửgiảracliấũ

Từ phương trình (2.14) chúng ta dễ dàng xác định quan hệ giữa lực và dich
chuyển cùa phẩn từ giảm chấn lý tường:
f(,)= B ^ d T
18

(2 1 5 >


Trường hợp, khi thay đổi vận tốc nhưng lực cản không thay đổi người ta gọi là
giảm ch ấ n C o u lo m b (m a sát coulom b giống như là m a sất khô). Q uan hệ đó được
biêu diễn bới đường cong 3 chỉ ra trên hình 2-11.
Khi khảo sát cỡ hệ chuyển động tịnh tiến, càu hỏi đặt ra là trạng thái nào cùa
các cụm cơ cấu được xem là giảm chấn lý tưởng hoặc khơng lý tưởng ví dụ, trong
trường hợp cặp truyền động trục - ổ, khi ổ được bôi trơn tốt có thể xem đây là phần
từ giảm chấn lý tưởng. Trường hợp ổ chặn hai m ặt giữa chúng có chuyển động

tương đối với nhau và nếu giữa chúng không được bơi trơn đầy đủ thì ta xem đây là
giảm chấn khơng lý tưởng. Vì vậy trong q trình xây dựng m ô hlnh, chúng ta cần
phải xem xét đánh giá các hiện tượng vật lý sao cho m ô hình phải thể hiện đẩy đù
nhất đặc trưng của quá trình vật lý. Ký hiệu phần từ giảm chấn thể hiện trên hình 2-12
xự)
t fit)
_

B

HĨNH 2-12

Ký hiệu pháa từgiảrn cbíti

Thực tế với cùng m ột hiện tượng vật lý nhưng khi xem xét chúng ta có thể mơ
hình theo các cách khác nhau, ví dụ phân tích cơ hệ chỉ ra ở hình 2 - 13(a) và biểu
diễn bàng các phần tử lý tưởng. N ếu m a sát giữa vỏ giảm chấn và khối lượng được
xem là giảm chấn nhớt thì lực m a sát là hàm tuyến tính với vận tốc cùa khối lượng,
cũng trường hợp trên nếu chúng ta xem khối lượng trượt trẽn vỏ giảm chấn là m a sát
khơ thì có thể coi đây là giảm chấn Coulomb. Chú ý rằng đặc trưng cùa m a sát
Coulomb có thể xem là gẩn với giảm chấn lý tưởng và có thể sử dụng đặc trưng này
trong biểu diễn hệ vật lý. Bời vậy, khi xem m a sát giữa khối lượng và vỏ giảm chấn
là ma sát nhớt thì hệ được biểu diễn bằng các phần tử lý tường như hình 2 - 13(b) và
biểu diễn phần tử khối lượng ở trạng thái cân bằng lực chì ra trên hình 2 - 13(c).

'S T / / 7 7
a>
HÌN H 2-13

r-------I

Bỳ

ky

b)
c)
a) Két cấu cơ cấu giảm chán
b)

B iế u d i ê n g i ả m c b ấ ti b à a g
c á c p tià a t ử i ý tu ở ũ g

c) Trạtig thái câũ bằng cùa khdi luợtig
19


Á p dụng định luật thứ hai Niu tơn, viết phương trình cân bằng lực cho c ơ hệ gổn
ba phần tử: khối lượng, lò xo và giảm chấn:
m Ể ỵ Ị p - + g M l + kyự) = / ( , )
(2.16)
dt
dí
trong đó B là hệ giảm chấn nhớt và k là độ cứng lò xo.
N hư đã phân tích ờ phần trên, giảm chấn tịnh tiến là phần tử tiêu tán năng lượng
khi năng lượng truyền qua nó, năng lượng tiêu tán được xác định theo công thức:
E = B v \t)= ỉ^ -

(2.17)

Năng lượng tiêu tán của giảm chắn là đại lượng luôn dương và tỷ lệ bình phương
với lực tác dụng lên phần từ giảm chấn và năng lượng này không thể lấy lại được
như trong trường hợp phần tử khối lượng và lò xo.
2 .2

PH A N TỬ C ơ H Ọ C Q UAY
Chúng ta đã xem xét cơ hệ với các phân tử khối lượng, lò xo, giảm chấn tịnh
tiến. Dưới đây chúng xem xét các phần từ khối lượng, lò xo và giảm chấn hệ cơ học
quay
2 .2 .1 LÒ XO Q U AY
Khi trục thực quay, nếu mô men địi hỏi để tăng qn tính quay là nhỏ đáng kể
so với mơ m en truyền, khi đó chúng ta có thể xem trục như lị xo và khi m ô men
truyền nhỏ đáng kể so với mô m en địi hỏi để tăng qn tính riêng cùa nó, trong
trường hợp đó nó có thể xem là phần tử khối lượng. Bởi vậy, trục thực được xem
gồn hai thành phần đó là lị xo và khối lượng như chỉ ra trên hình 2-14. H iện tượng
tự nhiên trên được biểu diễn bằng p h ầ n tử lò xo q uay.
o 1= 0
o 2= 0

flP V w v w
(1 ) V
K
HÌNH 2-14

y p
V ( 2)

So đị lị xo quay kbi
chưa có Dgoại lục

H ình 2-15 dùng để khảo sát phần tử lị xo. Hai đầu của m ơ hình người ta đặt hai
mơ m en có cùng giá trị nhưng ngược chiều. Bời vậy, đánh giá đặc tính cùa lị xo
quay là đánh giá quan hệ giữa m ô m en và góc xoắn. G iả thiết góc xoắn ờ diểm (1)
l à e , , khi tác dụng m õ m en lén lị xo đo góc xoắn ở điểm (2) nhận d ư ợ c 0 ,. Theo
dinh luật Hooke, quan hệ giữa mơ m en với góc xoắn của trục thực là hàm phi
tuyến:
e(0 = / [ T ( 0 ]
( 2 . 18 )
Đường (1) biểu diễn quan hệ (2.18) chỉ ra trên hình 2-16. Nếu trục thực có mơ
m en địi hỏi đê tăng qn tính quay là nhị đáng kể so với m ơ m en truyền, trục thực

20


dược xem là phẩn từ lò xo q u a y lý tưởng. Quan hệ giữa m ô m en và góc xoắn của lị
xo lý tường là hàm tuyến tính và dược viết:
(2.19a)
T = W Ì - e 2)
Đ iém có địati

Điểm có định

\ ' e9 ,

V,
/

°2

ụ C k ũ

,
n
i p
w

A
t f

í
( 1)

HÌNH 2-13

T

r

7

iX
p

Sơ đị kháo sái lị xo quay

đặt 0 = 8j - 0 , ta có:
T (t ) =KQ

(2.19b)

e = — T (t)

K

(2.19c)

hoặc:

9 là góc biến dạng, thường được gọi là góc xoắn đo bằng rad (rad=radian) và K là
độ cứng xoắn của lò xo quay đơn vị đo N -m /rad. Phương trình đặc trưng cùa phần từ
quay lý tướng (2.19) là đường (2) chỉ ra trên hình 2-16.
. .

m = A m

\ (O
1
(2)
Vùtig tích luỹ
náagluọtig

^

/.
/1 - '"
Tb

HỈNH 2-1 ỉ

T

Đ á thị biếu diên qưaa bệ cơ bản cùa

phá a t ừ lò xo q uay và vù ag tích
luỹ Báng iLTỌag cùa BĨ

Phương trình chỉ ra quan hệ giữa vận tốc góc và góc xoắn cùa lò xo quay là:
n=—
dt

(2.20)

21


trong đó Q, là vận tốc góc tại điểm (1) và í ì 2 là vận tốc góc tại diểm (2), vận tốc
góc lị xo quay n = n , - f i 2 và đơn vị do là rad/s. Q uan hệ giữa m ô m en và vận tốc
góc của lị xo quay thực được xác định là:
TỤ) = K ^ C l d t +T0

(2.21)

T0 là m ô m en tại thời điểm 1= 0
X ét về m ặt năng lượng, lò xo quay là phần tử tích luỹ năng lượng dưới dạng thế
năng (biến dạng). N íu góc xoắn 0] = 0 (điểm đẩu), tại điểm cuối lị xo bị xoăn đi
m ột g ó c Q ị, nãng lượng tích luỹ trong phần từ lị xo quay được tính:
E =

T (t)d m

(2.22)

Vùng tích lũy năng lượng của lị xo quay chỉ rõ ư ẽn hình 2-16. T rường hợp lò xo

quay lý tưởng, năng lượng tích luỹ được tính là:
E = ^ -T \t)
(2.23)
2K
K phụ thuộc vào đặc tính của vật liệu, dáng hình học của lị xo. Phương trình (2.23)
cho thấy năng lượng tích lũy tỷ lệ với bình phương m ơ m en tác dụng vào lị xo quay
và nó là đại lượng ln dương. Từ phương trình (2.21) xác định vận tốc góc cùa lị
xo quay:

..................

" 4 T

H ình 2-17 biểu diễn ký hiệu phần tử lị xo quay.
“

•

TỌ) Õ(t)

A IA

AAAA.L

CT/

K
HÌNH 2-17

Ký hiệu ptiáa từ lò xo quay

2 .2 .2 KHỐI LƯ ỢNG QUAY
Bây giờ, chúng ta khảo sát hiện tượng tự nhiên khác xảy ra trong hệ cơ học, đó là
khối lượng điểm m quay quanh trục c ố định cách khoảng r như hình 2-18a. Mơ
m en qn tính J của khối lượng được xác định theo công thức:
J = m r2

(2.25)

đơn vị đo cùa mơ m en qn tính J là kg.m 2. Nếu hệ gồm n khối lượng độc lập,
mơ m en qn tính tổng là:
J = ịr ,

(2.26)

k=\

Đ ối với vật hình dáng bất kỳ có khoi lượng phân bõ' quay quanh trục c ố định, mỏ
m en qn tính cùa nó được lấy tích phản trên toàn vật thẽ.
22


\
V

/

\

/

J= m rj
a)

H IN H 2-18

b)
M ơraen qn tíati cùa vặt
a) Mơ m ea Jay vái vít có kbtíi liíọtig ạ p truag
b) M ô m e n lấy với vật có khói lư ạng phâa bó

Giả sử, vật thể có khối lượng phân bố như chỉ ra trên hình 2-18b, và quay quanh
trục, khối lượng của vật được thu về cách trục quay khoảng r , m ô m en qn tính
quay được tính theo cơng thức:

J=í ừ m

(2.21)

ở đây dm là phân tố khối lượng. N hớ rằng giá trị m ơ m en qn tính của vật quay
phụ thuộc vào hình dáng hình học và phân bố khối lượng của vật.
Phương trình đặc trưng của phần tử khối lượng quay được m ô tả theo quan hệ
giữa động lượng góc h với vận tốc góc n . K hảo sát cho thấy phương trình đặc
trưng của phần tử là hàm phi tuyến và được biểu diễn bởi đường cong (1) trẽn hình
2-19 và có phương trình tốn học là:
h = /(n )
(2.28)
Nếu phần tử khối lượng quay là tập hợp từ nhiều vật rắn liên kết với nhau và
quay cùng vận tốc, phần tử đó được gọi là phần từ khối lượng q u a y lý tư ở ng. Khi
đó, mõ m en qn tính J là hằng số, động lượng góc cùa khối lượng quay lý tường
là:

h=JCì

(2.29)

Đồ thị biểu diễn q u an hệ (2.29) là đường thẳng (2) trên hình 2-19. Q uan hệ giữa
động lượng góc h và m ơ m en T được xác định bằng cách vi phân hai vế phương
trình (2.29), ta có:
— =J —
dt
dt
T heo định luật hai N iu tơn cùa chuyển động quay, ta có:
T =J —
dt

(2.30)

(2.3 la)

hoặc:
r = Ja

(2.3 lb )

trong đó a là gia tốc góc
23


Thay (2.31) vào phương trình (2.30), nhận được:

r =—

(2.32)

dt
Xét về mặt năng lượng, khối lượng quay cũng là phần từ tích lũy năng lượng,
vùng tích lũy năng lượng được chỉ ra trên đổ thị hình 2-19ab.
h = m

(1)
h = j(n ;

\

T(t) 6(1)

V
Vùng tích lu ỹ .
ấng lương

^ ( 2 )

AA

Ị I

ị

'ư \ J

n
b)
HÌNH 2-19

í) ĐỊ ttù biểu diên q u ia bệ cơ bản
cùa phán tử kbòi lương quay
b) Ký hiệu phán từ khói lươũg quay

Năng lượng tích luỹ trong khối lượng quay được tính như sau:
E = í'10 a d h = - ừ hdh = - h A"'
Jo
J/ Jo
*>
J7

- h ỉ= - jn 1
2J ° 2

(2.33)

Phương trình (2.33) cho thấy năng lượng tích luỹ cùa phần từ khối lượng quay là
đại lượng luôn dương,
vi DỤ 2.3
G ia công phay trên m áy phay vạn năng là quá trình cắt gọt không liên tục bời
vậy, người ta thường lắp bánh đà trên trục chính. Bánh đà trên trục chính được mõ
tả trên hình 2-20a. Bây giờ, chúng ta cần tính tốn góc xoắn (góc biến dạng) cho
phép để trục chính khơng bị phá hỏng khi tãng hoặc giảm tốc đột ngột.
GIẢI
Thiết lập mơ hình tính tốn với giả thiết rằng bánh đà có m ơm en qn tính J
quay với vận tốc góc f i 0 , trục chính m ang bánh đà được xem là lò xo quay lý tường

với độ cứng xoắn K , bò qua tiêu tán năng lượng trên ổ bi và các ảnh hường khác.
Góc xoắn cùa trục chính m ang bánh đà là 0 = 0 , - 0 , và m ô hình tính tốn mỏ tả
trên hình 2-20b.
Xác định năng lượng tích luỹ trong bánh đà (khối lượng quay) với tốc độ quay
n „ là:

Em ~ 2 ^

24

(2.34)


T ính tốn năng lượng tích lũy trong trục m ang bánh đà tương ứng với góc xoắn
cho phép 0 (/l(góc xoắn cho phép là góc xoắn để trục chính m ang bánh đà khơng bị
phá hủy). Bình phương hai vế phương trình (2.19), ta có:
T 2 = K 2G2
T hay vào phương trình (2.23) ta nhận được nâng lượng tích lũy cùa trục ờ góc
xoắn cho phép:

E.ruc = TdOcp = KQcpd ũ cp =

IK Q ị

(2.35)

Từ (2.34) và (2.35) xác định góc xoắn cho cùa trục chính m ang bánh đà:

góc xoắn cho phép sẽ là:

Từ kết quả trẽn cho ta nhận xét, góc xoắn tỳ lệ với vận tốc góc của bánh đà và
tỷ lệ bình phương với tỷ sỏ' giữa m ơ m en qn tính và độ cứng xoắn của trục chính.
Bính đi

rf
íf
■fWWV—
\ j
HĨNH 2 -2 0

K

Ị\
Ịn°

\j u— 1\ ì
s>ì
a) Két cáu true-bá till đà
b ) B iế u d i ê u k é t c ấ u t r ụ c - b á a t i đ à

2 .2 .3 GIẢM CH Ấ N Q U A Y
Bày giờ, chúng ta xem xét hiện tượng giảm vận tốc chuyển động giữa các thành
phẩn quay tương đối với nhau trong c ơ hệ, ví dụ chuyển động cùa bi trong vành ổ
hoặc hiện tượng giảm va đập trong khớp nối thuỹ lực cùa ô tơ. H iện tượng trẽn có
thế giải thích là sự xuất hiện hiệu ứng m a sát giữa các viên bi trong ổ bi với nhau và
với vành ổ, trường hợp khớp nối thủy lực là sự xuất hiện hiệu ứng trượt cùa các lớp
dầu trong khớp nối. Đ ể biểu diễn hiện tượng tự nhiên trên, người ta đưa vào hệ cơ
học phán tử g iảm c h á n q u a y . Phần từ giảm chấn quay làm nhiệm vụ chống va đập
25