Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết các dạng bài tập

Tổng hợp kiến thức tâm đường tròn nội tiếp tam giác
1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là khi ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và
đường tròn nằm hoàn toàn bên trong tam giác.

2. Cách xác định tâm đường trịn nội tiếp tam giác
Để xác định được khơng chỉ tâm đường trịn nội tiếp tam giác vng mà cịn tâm đường trịn
nội tiếp tam giác đều nữa thì ta cần ghi nhớ lý thuyết.
Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong của tam
giác, hoặc có thể là hai đường phân giác.

- Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C
+ Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác

+ Bước 2 : Tính tỉ số


+ Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F
+ Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE
+ Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE
- Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

3. Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
Tam giác ABC có độ dài lần lượt là a, b, c ứng với ba cạnh BC. AC, AB.
- Nửa chu vi tam giác

- Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

4. Phương trình đường trịn nội tiếp tam giác
Cho tam giác ABC có
- Cách 1:

+ Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B
+ Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
+ Viết phương trình đường trịn
- Cách 2:
+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
+ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A

+ Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức


+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
+ Viết phương trình đường trịn

5. Các dạng bài tập về đường trịn nội tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của
đương trịn nội tiếp tam giác ABC .
Giải:
Ta có
Do đó:

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)
Dạng 2: Tìm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải:
Ta có,

Do đó, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là

Dạng 3: Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết
phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0


Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0
Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:

Vậy tọa độ I(10,0)
Bán kính đường trịn nội tiếp: r=d(I,AB)=5
Phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC:
Ví dụ 2: Trong tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Bán kính r đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng?
Hướng dẫn
- Chu vi tam giác ABC: p = 9.

- Bán kính:

Ví dụ 3: Cho ba điểm có tọa độ như sau: A(-2; 3);
Oxy. Hãy tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC.

; C(2; 0) nằm trong mặt phẳng

6. Bài tập vận dụng đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1
a) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vng nội tiếp đường trịn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp hình vng ở câu b) rồi vẽ đường trịn (O; r).
Vẽ hình minh họa


a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường trịn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ đường kính AC và BD vng góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta
được tứ giác ABCD là hình vng nội tiếp đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vng) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD,
DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)
⇒ O là tâm đường trịn nội tiếp hình vng ABCD
OH là bán kính r của đường trịn nội tiếp hình vng ABCD.
Tam giác vng OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ OH = 1/2 BC=BH
Xét tam giác vng OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)
Vẽ đường trịn (O; OH). Đường trịn này nội tiếp hình vng, tiếp xúc bốn cạnh hình vng
tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Bài 2
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường trịn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).
GIẢI
Vẽ hình


a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b) Gọi A';B';C' lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực
(đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác AA';BB';CC' của tam giác đều
ABC).
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.
Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R=OA = OB = OC ta được đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Tính AA':
GIẢI

Xét tam giác AA'C vng tại A' có AC=3;

, theo định lý Pytago ta có

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên


Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là
(cm).
c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng
thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.
Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A', B', C'
của các cạnh.
Hay đường trịn (O; r) là đường trịn tâm O; bán kính r=OA’ = OB’ = OC’.

Ta có:

(cm).

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại A,B,C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta
có ∆IJK là tam giác đều ngoại tiếp (O;R).
Bài 3
Trên đường trịn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung
sao cho: đ

đ

đ

a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vng góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
GIẢI

a) Xét đường tròn (O) ta có:

(góc nội tiếp chắn

(1)


( góc nội tiếp chắn

) (2)

Từ (1) và (2) có:

(3)
và

là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD.

Đẳng thức (3) chứng tỏ AB // CD. Do đó tứ giác ABCD là hình thang, mà hình thang nội tiếp
đường trịn là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD và đ

đ

b) Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I.
là góc có đỉnh nằm trong đường trịn, nên:
đ

đ

Vậy
c) Vì đ

nên

(góc ở tâm)

=> ∆AOB đều, nên AB = OA = OB = R.
Vì sđ

(góc ở tâm)

Kẻ

Tứ giác ABCD là hình thang cân
Lại có

Xét

vng cân tại O

vng tại H ta có:

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vng góc với dây cung thì đi qua trung điểm
của dây ấy).


Bài 4
Vẽ hình lục giác đều, hình vng, tam giác đều cùng nội tiếp đường trịn (O; R) rồi tính cạnh
của các hình đó theo R.
GIẢI
Vẽ hình:

+) Hình a.
Cách vẽ: vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung
mà dây căng cung có độ dài bằng R. Nối
với A 1 ta được hình lục giác đều

với

với

nội tiếp đường trịn

Tính bán kính:
Gọi

là cạnh của đa giác đều có i cạnh.
ì

là tam giác đều)

+) Hình b.
Cách vẽ:
+ Vẽ đường kính

của đường trịn tâm O.

+ Vẽ đường kính
Tứ giác
có hai đường chéo bằng nhau, vng góc với nhau và cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường nên là hình vng.


Nối

với

với

với A_4;A4 với A1 ta được hình vng

nội tiếp

đường trịn (O).
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của hình vng là a.
Vì hai đường chéo của hình vng vng góc với nhau nên xét tam giác vng

+) Hình c:
Cách vẽ như câu a) hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác
như trên hình c.
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là a.

Trong tam giác vng

Từ đó

ta có:

có