Bộ đề thi kỹ sư tài năng đại học bách khoa hà nội

du
on

Tài liệu này gồm:

g

th

an

co

ng

.c
om

Trần Vũ Trung

- ðề thi tuyển sinh chương trình KSTN mơn tốn 2008 – 2010

u

- 12 đề tự ôn tập

cu

- Hướng dẫn giải – ðáp số

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ng

Bộ tài liệu gồm:
1) Hàm liên tục
2) Hàm khả vi
3) Dãy số
4) Tích phân
5) Lời giải ñề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010
6) Một số đề luyện tập (12 đề)

.c
om

“Bộ tài liệu ơn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao gồm những bài viết theo chủ ñề và một số
ñề thi ñược biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh mơn tốn vào chương trình
đào tạo KSTN & KSCLC của trường ðại học Bách khoa Hà Nội.

an

co

(Tài liệu tham khảo khác đi kèm:
0.1. ðề thi và đáp án mơn tốn KSTN 1999 – 2007 (Vũ Hữu Tiệp).
0.2. ðề thi và ñáp án mơn giải tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.)

cu

u

du
on

g

th

Các bài viết được trình bày với mục đích hệ thống hóa một cách trọng tâm các lí
thuyết và phương pháp giải tốn giải tích ở bậc phổ thơng. Với các bài tốn ví dụ ở nhiều
dạng bài thường xuất hiện trong ñề thi KSTN các năm trước ñây, bài viết mong muốn
đem đến một sự định hình cơ bản về cấu trúc ñề thi cũng như những nội dung kiến thức
cần thiết mà các bạn cần ôn tập, chuẩn bị cho kì thi sắp tới. Các bài viết khơng ñơn thuần
chỉ là tập hợp bài toán và lời giải mà còn cung cấp một số nhận xét quan trọng ñể tiếp cận
lời giải bằng cách ñặt vấn ñề một cách tự nhiên, có hệ thống. Mong rằng đây sẽ là một tài
liệu bổ ích phục vụ cho q trình học tập mơn giải tích ở phổ thơng nói cũng như giúp
các bạn ôn thi một cách hiệu quả.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong q trình biên soạn nhưng chắc chắn khơng thể
nào tránh khỏi thiếu sót, tác giả rất cám ơn những ý kiến đóng góp để bộ tài liệu được
hồn chỉnh hơn. Mọi thắc mắc, góp ý xin gửi về địa chỉ hịm thư:
Hà Nội, tháng 8 năm 2011
Trần Vũ Trung,
Sinh viên lớp KSTN ðKTð – K55

2

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề năm 2008
Bài 1:
Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn:

Tìm giới hạn lim ( n 2 xn ) .

 x1 = 2

2
 x1 + x2 + … + xn = n xn

n →∞

Bài 2:
sin nx
.
sin
x
0

Bài 3:

.c

om

π

Cho số nguyên dương n . Tính tích phân: I = ∫

1

Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f (0) > 0 ,

1

∫ f ( x) dx < 2008 .
0

có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1).

ng

Chứng minh rằng phương trình f ( x) = x

2007

an

co

Bài 4:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên [0;1] và khả vi trên (0;1) thỏa mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 .
Chứng minh rằng tồn tại 2 số phân biệt a, b ∈ (0;1) sao cho f '(a ) f '(b) = 1 .

th

Bài 5:
Cho hàm số f : [a ; b] → [a ; b] thỏa mãn:

du
on

g

f ( x) − f ( y ) < x − y với mọi x, y ∈ [a ; b] ; x ≠ y .
Chứng minh rằng phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất trên [a ; b] .

cu

u

Bài 6:
Cho IK là đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b ( I ∈ a, K ∈ b ),
M và N là hai điểm bất kì lần lượt thuộc a và b sao cho IM + KN = MN . Trong số các
ñiểm cách ñều các ñường thẳng a , b và MN , hãy tìm điểm có khoảng cách đến mỗi
đường nói trên là ngắn nhất.

***

3

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề năm 2009
Câu I:
Cho phương trình x 4 + x 2 − mx + 4 = 0
1) Giải phương trình (1) khi m = 6 .

(1)

trong đó m là tham số.

2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

.c
om

Câu II:
1) Chứng minh rằng với mọi số thực a cho trước thì hàm số f(x) = |x – a| có đạo hàm
tại mọi điểm x ≠ a và khơng có đạo hàm tại điểm x0 = a.

2) Cho trước các số thực λ1 , λ2 ,...., λn khác nhau từng đơi một. Chứng minh rằng:

k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … + kn x − λn = 0 ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi k1 = k2 = … = kn = 0 .

ng

Câu III:

co

 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 = 0
1) Tìm các số thực x, y , z , p, q, r thỏa mãn  2
2
2
 p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = 0

Câu IV:

du
on

g

th

an

sao cho P = x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 + r 2 − 2 xp − 2 yq − 2 zr ñạt giá trị lớn nhất.
2) Cho 2 nửa ñường thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là đoạn vng góc
chung. Góc giữa Ax, By bằng 30o. Hai ñiểm C, D lần lượt chạy trên Ax, By sao cho
AC+BD = d (d > 0) khơng đổi. Xác định vị trí các điểm C, D sao cho thể tích tứ diện
ABCD đạt giá trị lớn nhất.

u

 f ( x) ≤ x
Tìm hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn: 

với mọi x, y ∈ ℝ .
 f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y )

cu

Câu V:
Cho hàm số f : ℝ → ℝ liên tục thỏa mãn:

f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) với mọi x, y ∈ ℝ và λ ∈ (0;1) .

 a+b
 với mọi a, b ∈ ℝ ; a < b .
2 

b

Chứng minh rằng:

∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f 
a

***

4

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung

KSTN ðKTð – K55

ðề năm 2010
Câu I.
2π

1)

Tính

∫ sin ( sin x + nx ) dx

với n ∈ ℤ .

0

Cho hàm số y = f ( x) xác ñịnh trên tập số thực, thỏa mãn:

2)

f ( x) − f ( y ) ≤ x − y

∀x, y ∈ ℝ

Câu II.
1)

.c
om

và f ( f ( f (0))) = 0 . Chứng minh rằng f (0) = 0 .

Cho hàm số f ( x) khả vi liên tục cấp hai trên [0;1], có f " (0) = 1 và f " (1) = 0 .
Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0;1) sao cho f " (c) = c .

ng

( n dấu căn thức bậc hai).

Hàm số f ( x) khả vi tại x0 ñược gọi là lồi (lõm) tại ñiểm này nếu tồn tại lân

an

Câu III.
1)

Tính lim 30 + 30 + 30 + ⋯ + 30

co

2)

cận của ñiểm x0 là U ( x0 ) sao cho: ∀x ∈ U ( x0 ) ta có:

th

f ( x) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 )

g

(tương ứng f ( x) ≤ f ( x0 ) + f '( x0 ) ( x − x0 ) )
x0 ∈ (a ; b) .

Số nào lớn hơn trong hai số sau:
22

2

11 + 22 + 33 + ⋯ + 10001000 và 22 .

cu

u

2)

du
on

Chứng minh rằng hàm số bất kì khả vi trên (a ; b) sẽ lồi (lõm) tại ít nhất một điểm

Câu IV.
Trong một phịng có 5 người, giữa 3 người bất kì ln tìm được 2 người quen nhau và 2
người không quen nhau. Chứng minh rằng nhóm này có thể ngồi quanh một bàn trịn sao
cho mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình.
Câu V.
Cho A, B, C là các góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
tan n A + tan n B + tan n C ≥ 3 +

3n

2

∀n ∈ ℕ .

***

5

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

Một số ñề luyện tập
ðề số 1
Câu I.

2)

1
ln (1 + x 2 ) − 2011 .
2
1
Chứng minh rằng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghiệm thực duy nhất.
2
Cho dãy số thực {un } ñược xác ñịnh như sau:

Cho hàm số f ( x) =

1
ln (1 + un 2 ) − 2011 , với n ≥ 1 .
2
hội tụ.

.c
om

1)

u1 = a ∈ ℝ , un +1 =
Chứng minh rằng dãy {un }

ng

Câu II.
Cho các số thực dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực x > 0 :

co

1
1
1
2
+
+
= .
a+ x b+ x c+ x x

an

Câu III.
1) Cho hàm số f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn:

th

f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y .

Giả sử hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ 0;1] và f ′(0) f ′(1) < 0 .

du
on

2)

g

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất x0 ∈ [ 0;1] ñể f ( x0 ) = x0 .

Chứng minh rằng tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .
Câu IV.

Chứng minh rằng

cu

2)

u

2π

1)

∫

sin x 2dx > 0 .

0

Hàm f ( x) khả tích trên đoạn [ 0;1] và

[ a, b] ⊂ [ 0;1]

1

∫ f ( x)dx > 0 . Chứng minh rằng tồn tại đoạn
0

mà trên đó f ( x) > 0 .

Câu V.

Cho 2 nửa ñưởng thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là đoạn vng góc chung.
Góc giữa Ax, By bằng 30o. Hai ñiểm C, D lần lượt chạy trên Ax và By sao cho tổng
AC + BD = d (d > 0) khơng đổi. Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho thể tích tứ
diện ABCD ñạt giá trị lớn nhất.
***

6

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 2
Câu I.
Cho dãy số {un } ñược xác ñịnh bởi u1 = 1 , un+1 = 2011un2 + un .
Tìm giới hạn:

u u
u 
lim  1 + 2 + … + n  .
n →∞ u
un +1 
 2 u3

.c
om

Câu II.
1) Giả sử hàm f ( x) xác ñịnh và liên tục trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ .

Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .

ng

Tìm tất cả các hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ .

Câu III.
2012

2011

1)

So sánh hai số 20122011

2)

Giả sử hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm khả vi liên tục, và với mọi x, y ∈ ( a, b ) , tồn tại

.

th

an

và 20112012

co

2)

f ( y ) − f ( x)
= f ′( z ) . Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt

y−x
hoặc f lõm nghiêm ngặt trong ( a, b ) .

Câu IV.

du
on

g

duy nhất z mà

u

Trong phịng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng

cu

có 3 người đơi một quen nhau.

Câu V.
Cho số ngun dương n . Chứng minh bất ñẳng thức:
1  
1 
 1 
1 +  1 + 2 … 1 + n  < 3 .
 2  2   2 
***

7

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 3
Câu I.
Cho phương trình x + 1 − m − x = 1
(1).
1) Giải phương trình (1) khi m = 4 .
2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.

.c
om

Câu II.
1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên ñoạn [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) .

Chứng minh rằng tồn tại x0 ∈ ( a, b ) sao cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = 2 f ′ ( x0 ) .

2) Tìm tất cả các hàm f ( x) khả vi hai lần trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ .

x≠0
x=0

co

1
 2
 x sin
Cho hàm số ϕ ( x ) = 
x
0

ng

Câu III.

an

1) Chứng minh rằng hàm ϕ ( x) khả vi tại ñiểm x = 0 .

g

th

2) Giả sử f ( x) khả vi tại ñiểm x = 0 . Tính ñạo hàm của f (ϕ ( x ) ) tại ñiểm x = 0 .

du
on

Câu IV.


1 
Giả sử hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) thỏa mãn lim  f ( x) +
= 2.

x→0
f ( x) 

Chứng minh rằng lim f ( x) = 1 .

1)

x →0

u

Chứng minh rằng với mỗi t ≥ 0 , phương trình x 3 + tx − 8 = 0 ln có nghiệm

cu

2)

7

dương duy nhất, ký hiệu là x (t ) . Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt .
2

0

Câu V.
Trong phịng có 9 người, bất kì 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh
rằng có 4 người đơi một quen nhau.
***

8

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 4
Câu I.
π
2

1) Tính I = ∫
0

dx
1 + ( tan x )

2

.

2) Tìm tất cả các hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn:

.c
om

f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + 1 = 0 .
Câu II.

Giả sử x1 , x2 ,… , xn là các nghiệm phức của phương trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 .
n

1

∑ 1− x
k =1

.

k

ng

Tính

co

Câu III.
1) Tìm tất cả các hàm số dương f ( x) khả vi liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện:
2

Câu IV.

du
on

g

th

an

 f ′( x) 
f (1) = ef (0) và ∫ 
 dx ≤ 1 .
f ( x ) 
0
2) Tìm tất cả các hàm khả vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ .
1

Trên mặt phẳng Oxy cho 3 điểm khơng thẳng hàng A, B, C. Biết OA=1, OB=2, OC=3.

cu

u

Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC không lớn hơn 5.
Câu V.

Cho các số thực phân biệt k1 , k2 ,… , kn . Chứng minh rằng:
a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an .

***

9

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 5
Câu I.
 π4

n


1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx 
n →∞
 0




.c
om

2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] thỏa mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] .
Câu II.
1) Cho hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ a, b ] và thỏa mãn ñiều kiện f (a ) = f (b) = 0 ,

f ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ ( a, b ) . Chứng minh rằng tồn tại dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho:

(

)

e − 1 f ( xn )
un

1+ 1+ u

an

2) Cho dãy {un } : u0 = 3 , un+1 =

n

th

Câu III.



25

g

1) Số nào lớn hơn trong hai số sau:

= 2011 .

ng

n →∞

f ′ ( xn )

co

lim

2
n

. Tìm lim ( 2n un ) .

n 

n →∞

∏ 1 − 365  và
n =1

1
.
2

cu

Câu IV.

f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ .

u

du
on

2) Tìm tất cả các hàm f ( x) khả vi cấp hai trên [ a, b ] thỏa mãn f (a ) = f (b) = 0 và:

Trong phịng có 100 người, mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. Chứng minh rằng,
trong phịng phải có 4 người từng đơi một quen nhau.
Câu V.
Giải hệ phương trình:

 x1 + 2 x2 + 3x3 + … + nxn = a1
 x + 2 x + 3 x + … + nx = a
 2
3
4
1
2

…
 xn + 2 x1 + 3 x2 + … + nxn −1 = an
***

10

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 6
Câu I.

u0 = u1 = 1
Cho dãy {un } ñược xác ñịnh như sau: 
un + 2 = un +1 + un
1. Chứng minh rằng {un } là dãy tăng.

(n ∈ ℕ)

2. Chứng minh rằng {un } có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . Tìm lim un .
n →∞

du
on

g

th

an

co

ng

.c
om

Câu II.
Có tồn tại hay khơng một đa thức P ( x) thỏa mãn P ( x) > P′′( x ) và P′( x) > P′′( x ) , với
mọi x ∈ ℝ .
Biết rằng đa thức Q( x) có tính chất Q( x) > Q′( x) , với mọi x ∈ ℝ . Chứng minh rằng
Q ( x ) > 0 , với mọi x ∈ ℝ .
Câu III.
f ( x) + f ( y )
Cho phương trình hàm: f ( x + y ) =
(1)
1 − f ( x) f ( y )
1) Chứng minh rằng hàm f ( x) = tan(cx ) , c là hằng số, thỏa mãn phương trình (1),
 1 1
∀x, y ∈  − ,  .
 2 2
 1 1
2) Tìm tất cả các f ( x) hàm khả vi trên  − ,  thỏa mãn phương trình (1).
 2 2
Câu IV.
1) Với mỗi n ∈ ℕ , ñặt S n là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường:
x = 0 , y = 1, y = x n .

Tính lim Sn .
n →∞

cu

u

2) Cho các số thực p, q > 1 thỏa mãn

1 1
+ = 1 . Chứng minh rằng:
p q

ab ≤

a p bq
+ .
p q

Câu V.
Giải hệ phương trình:

a

 x1 + x2 + … + xn −1 + xn = 2004

a + x1

x2 + … + xn −1 + xn =

20052 − 1


………… ……

a + x1 + … + xn −1

xn =


2005n − 1
***

11

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 7
Câu I.
1) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh và liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn:

xf ( y ) + yf ( x) ≤ 1 , ∀x, y ∈ [ 0;1]

π

1

Chứng minh rằng:

∫ f ( x)dx ≤ 4 .
0

2) Cho các số thực dương p, q thỏa mãn p + q < 1 và dãy số {un }n∈ℕ không âm thỏa

.c

om

mãn ñiều kiện un + 2 ≤ pun +1 + qun , với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh rằng dãy {un }n∈ℕ
hội tụ và tìm giới hạn của dãy ñó.

Câu II.
Cho f ( x) = a1 sin ( b1 x ) + a2 sin ( b2 x ) + … + an sin ( bn x )

ng

1) Chứng minh phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( 0; 2π ) .

co

2) Giả sử f ( x) ≤ sin x , ∀x ∈ ( −1;1) . Chứng minh rằng: a1b1 + a2b2 + … + an bn ≤ 1 .

an

Câu III.

1) Tìm x > 0 sao cho lim x + x + x + … + x = x
n →∞

( n dấu căn).

th

n roots

g

2) Tìm tất cả các hàm liên tục f : ℝ → ℝ thỏa mãn f ( x ) = f ( 2 x + 2 ) , ∀x ∈ ℝ .

du
on

Câu IV.
Trong mặt phẳng cho 2011 ñiểm sao cho cứ 3 ñiểm bất kì có ít nhất 2 điểm cách

nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trịn bán

cu

u

kính bằng 1 chứa ít nhất 1006 ñiểm.
Câu V.

Chứng minh rằng bất ñẳng thức sau ñúng với mọi n ∈ ℕ* :
2
4n + 3
n n < 1 + 2 +… + n <
n.
3
6
***

12

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 8
Câu I.
1 + 22 + 33 + … + n n
.
n →∞
nn
1
dx
2) Tính tích phân: I = ∫ x
.
2
e
+
1
x
+
1
−1

1) Tìm giới hạn: lim

(

)(

)

Câu II.
a
1
503
+
+
= 0.
n + 2 n +1 n

.c
om

1) Cho số nguyên dương n và số thực a thỏa mãn

1
.
2012
2) Cho hàm số f ( x) xác ñịnh và khả vi cấp hai trên ℝ , thỏa mãn ñiều kiện
f ( x ) + f ′′( x ) ≥ 0 , với mọi x ∈ ℝ .
Chứng minh rằng:
f ( x) + f ( x + π ) ≥ 0 , với mọi x ∈ ℝ .

co

ng

Chứng minh rằng: a ≤

Câu III.

∀x ∈ ℝ
∀x, y ∈ ℝ

th

an

 f ( x) ≥ e2011x
Tìm tất cả các hàm f ( x) thỏa mãn: 
 f ( x + y ) ≥ f ( x) f ( y )

g

Câu IV.

du
on

Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [ 0;1] . ðặt

1

∫ f ( x)dx = a . Chứng minh rằng:
0

x

1

∫ F ( x)dx ≤ a −

cu

2)

u

1) F ( x ) ≤ x và F ( x ) ≤ a , với F ( x) = ∫ f ( x)dx .

0

0

2

a
.
2

1

a2
≤ xf ( x)dx .
2 ∫0

3)

1

∫ xf ( x)dx ≤ a −

4)

0

a2
. ðẳng thức xảy ra khi nào?
2

Câu V.
Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 ñường thẳng sao cho mỗi ñường thẳng chia ABCD
thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng, trong 17 đường thẳng

đó có 5 đường thẳng ñồng quy.
***

13

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 9
Câu I.

n

1) Tính: lim ∫
n→∞

e− x
−

x
n

dx .

1+ e
2) ℚ là tập hợp số hữu tỉ. Tìm tất cả các hàm liên tục f : [ a, b ] → [ a, b ] , thỏa mãn:
0

f ( x) = 0 , với mọi x ∈ ℚ ∩ [ a, b ] .

Chứng minh rằng ∃c ∈ ( 0;1) sao cho f ′(c) = c .

.c
om

Câu II.
1) Cho hàm f ( x) khả vi trên [ 0;1] , f ′(0) = 1 , f ′(1) = 0 .

du
on

g

th

an

co

ng

2) Hàm ϕ ( x) khả vi cấp hai trên [ 0; +∞ ) . Biết rằng ϕ ( x ) > 0 , ϕ ′( x) > 0 và
ϕ ( x)ϕ ′′( x)
ϕ ′( x)
≤ 2 , ∀x ∈ [ 0; +∞ ) . Chứng minh rằng lim
=0.
2
2
x →+∞
(ϕ ′( x) )
(ϕ ( x ) )
Câu III.
1) Giải hệ phương trình:
 xyz = x + y + z
 yzt = y + z + t


 ztx = z + t + x
txy = t + x + y
1
3

2) Cho hàm liên tục f : [ 0;1] → [1; 2] thỏa mãn ∫ f ( x)dx = .
2
0
1

Chứng minh rằng:

dx

3

∫ f ( x) < 4 .

cu

Câu IV.

u

0

Cho một bàn cờ quốc tế 8 x 8 . Hỏi rằng qn mã có thể đi nước đầu tiên từ ô

dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay khơng ? (Với điều kiện nó phải
đi qua tất cả các ơ trên bàn cờ và mỗi ơ chỉ đi qua đúng một lần)
Câu V.

Chứng minh rằng mọi đa giác bất kì đều có 2 cạnh mà tỉ số ñộ dài giữa chúng
1 
nằm trong khoảng  ; 2  .

2 
***

14

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 10
Câu I.

Cho dãy { xn }n∈ℕ* được xác định bởi cơng thức truy hồi xn +1 = xn2 − 2 , với x1 = 5 .

1) Tìm giới hạn lim

n →∞

xn +1
.
x1 x2 … xn

1

1
1
2) Tìm giới hạn lim  +

+… +
.
n →∞ x
x1 x2 … xn 
 1 x1 x2

π

.c
om

Câu II.

(n ∈ ℕ ) .

sin nx
dx
sin x
0

1) Tính tích phân I n = ∫

*

2) Cho hàm f ( x) khả vi trên ñoạn [ 0;1] thỏa mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 .

ng

Chứng minh rằng với mọi k1 > 0 , k2 > 0 , tồn tại x1 , x2 ∈ [ 0;1] sao cho:

co

k1
k2
+
= k1 + k 2 .
f '( x1 ) f '( x2 )

an

Câu III.
Tìm số α lớn nhất và số β nhỏ nhất ñể:

n +α

 1
≤ e ≤ 1 + 
 n

th

 1
1 + 
 n

.

g

Câu IV.

n+ β

du
on

Một nền nhà hình chữ nhật được lát kín bởi 2 loại gạch có kích thớc 1 x 4 và 2 x 2. Người
ta dỡ gạch lên và không may làm vỡ mất 1 viên 2 x 2. Họ thay viên bị vỡ bởi viên 1 x 4

u

rồi tiến hành lát lại sàn nhà. Hỏi bây giờ có thể lát kín nền nhà được hay khơng?

cu

Câu V.
Cho n số thực a1 , a2 ,… , an thỏa mãn 0 ≤ ak ≤ 1 , với mọi k = 1, 2,… , n .
Chứng minh rằng:
2
(1 + a1 + a2 + … + an ) ≥ 4 a12 + a22 + … + an2 .

(

)

***

15

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 11
Câu I.
Cho hệ phương trình:

 x2 + y2 + z = a
 2
2
x + y + z = a
x + y2 + z2 = a


.c
om

1) Giải hệ khi a = 1 .
2) Tìm a để hệ đã cho có đúng 1 nghiệm.
Câu II.
1) Giả sử f ( x) khả vi liên tục trên khoảng ( a, b ) . Liệu có thể chắc chắn rằng với
mọi c ∈ ( a, b ) , tồn tại x1 , x2 ∈ ( a, b ) , x1 ≠ x2 sao cho: f ′(c) =

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1

co

ng

hay không?
2) Cho f ( x) là một ña thức bậc n thỏa mãn f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ . Chứng minh rằng:
f ( x) + f ′( x) + f ′′( x) + … + f ( n ) ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ ℝ .

du
on

g

th

an

Câu III.
1) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn các tính chất:
i.
0 < f ( x ) < 1 , ∀x > 0 ;
1
ii.
f ( x + h) (1 − f ( x) ) ≥ , ∀h > 0 .
4
Tính lim f ( x) .
x →+∞

π

1 π 

2) Chứng minh rằng ∫ x ( tan x ) dx >
 
n+2 4 
0
n

n+ 2

(n ∈ ℕ ) .
*

cu

u

4

Câu IV.
Trong quốc hội một nước, mỗi nghị sĩ đều có khơng q 3 kẻ thù.
Chứng minh rằng có thể chia quốc hội thành 2 viện sao cho trong mỗi viện, mỗi nghị sĩ
đều có khơng q 1 kẻ thù.
Câu V.
Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+… +
> 1 , ∀n ∈ ℕ .

n +1 n + 2
3n + 1
***

16

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề số 12
Câu I.
π

(

2

)

1) Tính tích phân: I = ∫ cos 2 (cos x) + sin 2 (sin x) dx .
0

2) Tìm tất cả các hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn:

f ( x) = max { xy − f ( y )} , ∀x ∈ ℝ .
y∈ℝ

.c
om

Câu II.
1) Cho f là một hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn ñiều kiện f (0) = f (1) .

ng

1 

Chứng minh rằng tồn tại một số c ∈ [ 0;1] sao cho f (c) = f  c +
.
2011 

2) Cho H là tập hợp các hàm số f ( x) có đạo hàm ñến cấp 2 liên tục trên ñoạn [0,1]
thỏa mãn ñiều kiện f (0) = f (1) = 0 , f ′(0) = 1 .
1

∫ ( f ′′( x) )

2

dx , với f ( x) ∈ H .

an

0

co

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu III.
Cho dãy số { xn } thỏa mãn 0 < x0 < x1 và:

)

th

(

(

)

1 + xn 1 + xn −1 xn +1 = 1 + xn −1 1 + xn xn +1 , ∀n ∈ ℕ* .

du
on

g

CMR: { xn } hội tụ khi n → +∞ . Tìm lim xn .
n →+∞

cu

u

Câu IV.
Giải hệ phương trình:


log 3 x +

log y +
3


( log3 x − 1)

y
+1
3
2
( log3 y − 1) + 1 = 3x + 1
2

+1 =

Câu V.
Cho một đa giác lồi P có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình trịn
1
bán kính
mà đa giác P nằm trọn trong đó.
4

***

17

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

Hướng dẫn giải – ðáp số
ðề năm 2008
Bài 1:
u1 + u2 + … + un −1 + un = n 2un
u
n −1
2
, ∀n ≥ 2 .
⇒ n 2 − 1 un = ( n − 1) un−1 ⇒ n =

2
un −1 n + 1
= (n − 1) un −1
u1 + u2 + … + un −1
n
n
u
k −1
u
1⋅ 2
4

Khi đó, ∏ k = ∏
.
⇒ n =
⇒ un =
u1 n ⋅ (n + 1)
n(n + 1)
k = 2 uk −1
k =2 k + 1

)

.c
om

(

4n 2
= 4.
n →∞ n ( n + 1)

n→∞

ng

Vậy lim ( n 2un ) = lim
Bài 2:
π

co

(n∈ ℕ )

sin nx
dx
sin x
0

In = ∫

*

π

π

π

an

sin (n + 1) x − sin (n − 1) x
2 cos nx sin x
dx = ∫
dx = 2∫ cos nx dx = 0 , ∀n ∈ ℕ* .
x
x
sin
sin
0
0
0

th

I n +1 − I n −1 = ∫

u

du
on

g

π
π

sin x
dx = ∫ dx = π
 I 2 n −1 = I1 = ∫
sin x
0
0
* 
Suy ra, ∀n ∈ ℕ : 
π
π
 I = I = sin 2 x dx = cos x dx = 0
2
∫0 sin x
∫0
 2n


Bài 3:
Xét hàm g ( x) = f ( x) − x 2007 ( x ∈ [0;1]) .

cu

Giả sử g ( x ) khơng đổi dấu trên [0;1].
Ta có g (0) = f (0) > 0 nên g ( x ) > 0 với mọi x ∈ [0;1] .
1

1

1

1

0

0

0

0

Khi đó, 0 < ∫ g ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ x 2007 dx = ∫ f ( x)dx −
1

suy ra

1

,
2008

1

∫ f ( x)dx > 2008 , mâu thuẫn giả thiết.
0

Vậy g ( x ) ñổi dấu trên [0;1], tồn tại c ∈ [0;1] sao cho g (c) = 0 , suy ra ñpcm.

18

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
Bài 4:
Xét hàm g ( x ) = f ( x ) + x − 1 liên tục trên ñoạn [0;1] .
g (0) = −1 < 0 , g (1) = 1 > 0 , suy ra tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho g (c) = 0 , hay f (c) = 1 − c .

.c
om

Áp dụng ñịnh lý Lagrange,
f (c) − f (0) f (c)
∃a ∈ ( 0; c ) : f ′(a ) =
=
c−0

c
f (1) − f (c) 1 − f (c)
∃b ∈ ( c ;1) : f ′(b) =
.
=
1− c
1− c
Khi đó, f ′(a ) f ′(b) = 1 (đpcm).
Bài 5:
∀ε > 0 , x − y < ε ⇒ f ( x) − f ( y ) < ε , do đó f là hàm liên tục trên [ a, b ] .
Xét hàm g ( x) = f ( x) − x liên tục , g (a) ≥ 0 và g (b) ≤ 0 . Do đó, tồn tại x0 ∈ [ a, b ] sao

ng

cho g ( x0 ) = 0 , khi đó f ( x0 ) = x0 .

co

Giả sử phương trình f ( x) = x có nghiệm x1 ∈ [ a, b ] , x1 ≠ x0 .

an

Khi đó, f ( x1 ) − f ( x0 ) = x1 − x0 , mâu thuẫn với bđt đã cho.

th

Vậy phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ a, b ] .

cu

u

du
on

g

Bài 6:
Gọi P là trung ñiểm của IK. Ta chứng minh P cách ñều các ñường thẳng a , b và MN .
Do IK là đoạn vng góc chung của a , b nên P cách đều các ñường thẳng a , b
Thật vậy, trên tia ñối tia KN lấy ñiểm E sao cho KE = IM.
Khi ñó, MN = IM + KN = KE + KN = EN.
Dễ thấy ∆ PIM = ∆ PKE (c.g.c), suy ra PM = PE.
Do đó, ∆ PNE = ∆ PNM (c.c.c), suy ra NP là phân giác của góc ENM, nên P cách ñều
các ñường thẳng b , MN .
Vậy P cách ñều các ñường thẳng a , b và MN .

Do IK là đoạn vng góc chung của a , b nên trong các ñiểm cách ñều các ñường thẳng
a , b thì P là điểm có khoảng cách ñến mỗi ñường ñó là ngắn nhất.
Tóm lại, trung ñiểm P của IK chính là điểm phải tìm.

***

19

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung

KSTN ðKTð – K55

ðề năm 2009
Câu I:
2
1) x 4 + x 2 − 6 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 4 ) = 0 ⇔ x = 1 .

2) Dễ thấy x ≠ 0 , khi đó x 4 + x 2 − mx + 4 = 0 ⇔ m =

x4 + x2 + 4
4
⇔ m = x3 + x + .
x
x

4
( x ≠ 0)
x
4 ( x 2 − 1)(3 x 2 + 4)
, f ′( x ) = 0 ⇔ x = ±1 .
f ′( x) = 3 x 2 + 1 − 2 =
x
x2
Bảng biến thiên:

f ( x)

−∞

+

−1
0
−6

0
||
−
|| +∞
−∞ ||

−

1
0

+∞

ng

−∞

+

+∞

6

co

x
f ′( x)

.c
om

Xét hàm f ( x) = x3 + x +

th

an

 m ≤ −6
Từ bảng biến thiên nhận thấy phương trình f ( x) = m có nghiệm ⇔ 
.
m ≥ 6

du
on

g

Câu II:
Chứng minh quy nạp.
Trường hợp n = 1 hiển nhiên ñúng.

Giả sử bài tốn đúng đến n − 1 , nghĩa là nếu

n −1

∑a
i =1

i

x − bi = 0 , ∀x ∈ ℝ thì tất cả ai = 0 .

u

Ta chứng minh nếu f ( x) = k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … kn x − λn = 0 với mọi x ∈ ℝ thì

cu

k1 = k2 = … = kn = 0 .
Thật vậy, khơng mất tính tổng quát, giả sử λ1 < λ2 < … < λn −1 = a < λn = b .
Khi đó, f ( x) = ( k1 + k2 + … + kn ) x − ( λ1 + λ2 + … + λn ) = 0 với mọi x > b , f là hàm hằng
trên ( b; +∞ ) nên f ′( x) = 0 với mọi x > b , hay:

k1 + k2 + … + kn −1 + kn = 0 .

(1)

f ( x) = ( k1 + k2 + … + kn −1 − kn ) x − ( λ1 + λ2 + … + λn −1 − λn ) = 0 với mọi x ∈ ( a, b ) , f là

hàm hằng trên ( a, b ) nên f ′( x) = 0 với mọi x ∈ ( a, b ) , hay:
k1 + k2 + … + kn −1 − kn = 0 .

(2)

Từ (1) và (2) suy ra kn = 0 , suy ra f ( x) = k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … kn −1 x − λn −1 = 0 với

mọi x ∈ ℝ , theo giả thiết quy nạp thì k1 = k2 = … = kn −1 = 0 .

20

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
Vậy k1 = k2 = … = kn = 0 nếu k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … kn x − λn = 0 ∀x ∈ ℝ .
Chiều ngược lại hiển nhiên đúng, bài tốn được chứng minh.

Câu III:
 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 z − 7 = 0
( x − 1) 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 9
1)  2
⇔

2
2
2
2
2
 p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = 0
( p + 5) + (q − 3) + (r − 7) = 36
Do đó điểm M ( x, y, z ) nằm trên đường trịn tâm A (1; 0;1) bán kính 3,

cịn điểm N ( p, q, r ) nằm trên đường trịn tâm B ( −5;3;7 ) bán kính 6.

th

an

co

ng

.c
om

P = x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 + r 2 − 2 xp − 2 yq − 2 zr = ( x − p )2 + ( y − q )2 + ( z − r ) 2 ñạt GTLN
khi ñộ dài ñoạn MN lớn nhất.
Ta có: MN ≤ MA + AB + BN = 3 + 9 + 6 = 18 .
1

 AM = − 3 AB
 M = (3; −1; −1)
ðẳng thức xảy ra khi 
⇔
 N = (−9;5;11)
 BN = 2 AB

3
2) Qua A kẻ nửa ñường thẳng Az || By. Kẻ CH vng góc với Az (H∈Az).
AB ⊥ AC, AB ⊥ AH ⇒ AB ⊥ CH
CH ⊥ AB, CH ⊥ AH ⇒ CH ⊥ mp(ABH) ⇒ CH ⊥ mp(ABD)
Thể tích tứ diện ABCD: V = 1/3 CH . S(ABD),
S(ABD) = 1/2 AB.BD
Mà CH = AC sin30o = 1/2 AC,

cu

u

Câu IV:

du
on

g

d2
ad 2
Suy ra V = 1/12 AB.AC.BD ≤ 1/12 a.
.
=
4
48
d
Vmax khi AC = BD = .
2
 f ( x) ≤ x

 f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y )

 f (0) ≤ 0
Thay x = 0 vào hệ ñược 
⇒ f (0) = 0
 f ( y ) ≤ f (0) + f ( y )

 f ( x) ≤ x

Thay y = − x vào hệ ta ñược  f (− x) ≤ − x
0 = f (0) ≤ f ( x) + f (− x)

Từ đó suy ra tất cả các ñẳng thức xảy ra ở hệ trên, nghĩa là f ( x ) = x , ∀x ∈ ℝ .

21

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55
Câu V.
Xét 2 ñiểm tùy ý A ( x, f ( x) ) và B ( y, f ( y ) ) nằm trên ñồ thị hàm số.

y−z
∈ ( 0;1) , khi đó
y−x
z = λ x + (1 − λ ) y .
ðiểm C ′ ( z , t ) với t = λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) ≤ f ( z ) nằm trên ñường thẳng AB, và thấp hơn

Xét ñiểm C ( z , f ( z ) ) bất kì ( x < z < y ). Chọn λ =

ñiểm C ( z , f ( z ) ) . ðiều đó chứng tỏ trong ñoạn [ x, y ] , ñồ thị hàm f nằm phía trên
đường thẳng AB. Suy ra, f là hàm lồi .

.c

om

Trên ñoạn [ a, b ] , hàm liên tục f bị chặn, ∃m ∈ ℝ : f ( x) > −m , ∀x ∈ ℝ .
ðặt g ( x ) = f ( x) + m . Khi đó, g cũng là hàm lồi và g ( x ) > 0 , ∀x ∈ ℝ .
Gọi (C) là ñồ thị hàm g . Phần giới hạn bởi (C) và 2 ñường thẳng x = a , x = b có diện
b

tích S1 = ∫ g ( x)dx .

ng

a

a+b
nằm phía trên (C), và cắt 2 đường thẳng x = a ,
2
 a+b
x = b tạo thành 1 hình thang có diện tích S 2 = (b − a ) g 
.
 2 

an

co

Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm x =

 a+b 
 a+b
Nhận thấy S1 ≤ S 2 nên ∫ g ( x)dx ≤ (b − a) g 

 ⇒ ∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f 
.
 2  a
 2 
a
b

g

th

b

***

cu

u

du
on

Nhận xét. Bài này và các bài bài 4 năm 2000, bài 3 năm 2001 có cùng bản chất (xoay
quanh các tính chất về hàm lồi). Các bạn có thể tham khảo lời giải bằng cách xét hàm số
được trình bày ở [0.1.]

22

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

ðề năm 2010
Câu I.
2π

∫ sin ( sinx + nx )dx

1) Tính

(n ∈ ℕ)

0

Lời giải.
ðặt I =

2π

∫ sin ( sinx + nx )dx

(n ∈ ℕ)

0

ðổi biến x = y + π , ta có:
π

∫π sin ( − sin y + nπ + ny ) dy

−

.c
om

I=

Xét hàm dưới dấu tích phân f ( y ) = sin ( − sin y + nπ + ny ) .
f (− y ) = sin ( − sin(− y ) + nπ − ny ) = sin ( sin y + nπ − ny ) =

ng

= sin ( sin y + nπ − ny − 2nπ ) = sin ( sin y − nπ − ny ) = − sin ( − sin y + nπ + ny ) = − f ( y ) .

co

Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên I = 0 .

2) Cho hàm số y = f ( x ) xác ñịnh trên tập số thực thỏa mãn

th

Chứng minh f (0) = 0 .

an

f ( x ) − f ( y ) ≤ x − y ∀x, y ∈ ℝ và f ( f ( f (0) ) ) = 0 .

du
on

g

Lời giải.
f ( x ) − f ( y ) ≤ x − y ---------- (*)

ðặt f (0) = a , f (a ) = b . Theo giả thiết, f (b) = 0 .
Áp dụng liên tiếp (*) ta có:
a − 0 ≥ f (a ) − f (0) = b − a ≥ f (b) − f (a ) = 0 − b ≥ f (0) − f (b) = a − 0 .

u

Như vậy, các bất ñẳng thức trung gian ñều là ñẳng thức. Ta ñược a = b = b − a .

cu

Từ đó suy ra a = b = 0 . Vậy f (0) = 0 .
Câu II.
1) Cho hàm số f ( x) khả vi liên tục cấp hai trên [0;1], có f ′′ ( 0 ) = 1, f ′′ (1) = 0 .

Chứng minh rằng tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho f ′′ ( c ) = c .
Lời giải.
Xét hàm g ( x) = f ′′ ( x ) − x .

Do f ( x) khả vi liên tục cấp hai trên [0;1] nên g ( x ) liên tục trên [0;1].
Mà g (0) = 1 > 0 , g (1) = −1 < 0 ,
do đó tồn tại c ∈ ( 0;1) sao cho g (c) = 0 , khi ñó f ′′ ( c ) = c .

23

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

2) Tìm giới hạn lim 30 + 30 + ... + 30 ( n dấu căn)
n→+∞

Lời giải.

Thiết lập dãy ( un ) :

u1 = 30 ,

un +1 = 30 + un

(n ∈ ℕ ) .
*

Ta cần tính lim un .
n →∞

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh ñược 0 < un < 6 với mọi n ∈ ℕ* .

Ta có un +12 − un 2 = 30 + un − un 2 = ( 6 − un )( 5 + un ) > 0 , suy ra un +1 > un .

.c
om

Dãy ( un ) tăng, bị chặn trên bởi 6, nên hội tụ khi n → ∞ . ðặt a = lim un --- ( 0 < a ≤ 6 ) .
n →∞

Ta có a = 30 + a ⇒ a = 6 .
Vậy lim 30 + 30 + ... + 30 = lim un = 6 .
n→∞

ng

n → +∞

co

Câu III.

1) Hàm số f ( x) khả vi tại x0 ñược gọi là lồi (lõm) tại ñiểm này nếu tồn tại lân cận của

an

ñiểm x0 là U ( x0 ) sao cho ∀ x ∈ U ( x0 ) ta có

th

f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 )

g

(tương ứng f ( x ) ≤ f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 ) ).

u

Lời giải.

du
on

Chứng minh rằng hàm số bất kì khả vi trên đoạn [a, b] sẽ lồi (lõm) tại ít nhất một
điểm x0 ∈ ( a, b ) .

cu

Dễ thấy rằng tính chất lồi (lõm) của hàm số tại 1 điểm sẽ khơng thay đổi khi ta thêm vào
nó một hàm tuyến tính bất kì. Nghĩa là với mọi p, q ∈ ℝ thì hàm f ( x) lồi (lõm) tại ñiểm
x0 khi và chỉ khi hàm f ( x ) + px + q lồi (lõm) tại ñiểm x0 .
Giả sử f ( x) khả vi trên ñoạn [a, b] .
f (a ) − f (b)
Xét hàm g ( x) = f ( x) +
( x − a) .
b−a
Ta có g (a ) = g (b) . Khi đó, nếu g ( x) là hàm hằng thì hiển nhiên có điểm lồi (lõm), nếu

g ( x) khơng phải hàm hằng thì nó có ít nhất một ñiểm cực trị trong ( a, b ) . Dễ thấy điểm

cực tiểu sẽ là điểm lồi, cịn điểm cực ñại là ñiểm lõm của g ( x) .
Theo nhận xét ban ñầu, ta suy ra tại ñiểm mà g ( x ) đạt cực trị thì tại đó, f ( x) lồi hoặc
lõm, suy ra ñpcm.

24

CuuDuongThanCong.com

/>

Trần Vũ Trung
KSTN ðKTð – K55

2) Số nào lớn hơn trong hai số sau:
22

2

1 + 22 + 33 + ... + 10001000 và 22 .
Lời giải.
2
22

ðặt a = 1 + 22 + 33 + ... + 10001000 và b = 22 .
Ta có:
a < 10001000 + 10001000 + ... + 10001000 = 1000.10001000 = 10001001 < (210 )1001 = 210010 ;
22

b = 2 = 22 , mà 216 = 210.26 > 1000.64 = 64000 , suy ra b > 264000 .
Rõ ràng a < b .
16

.c

om

22

ng

Câu IV. Trong một phòng có 5 người, giữa 3 người bất kì ln tìm ñược 2 người quen
nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng nhóm người này có thể ngồi quanh
một bàn trịn sao cho mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình.

co

Lời giải.

th

an

Biểu diễn mỗi người trong phịng bằng một ñiểm trên mặt phẳng sao cho 5 ñiểm biểu
diễn là A, B, C, D, E khơng có 3 ñiểm nào thẳng hàng. Nối tất cả các ñiểm bằng các đoạn
thẳng và tơ màu các đoạn đó. ðoạn thẳng nối 2 điểm ứng với 2 người được tơ màu ñỏ
nếu họ quen nhau và tô màu xanh nếu không quen nhau.

du
on

g

Nhận xét 1: Khơng có tam giác có 3 cạnh cùng màu (suy trực tiếp từ giả thiết)
Nhận xét 2: Khơng có 3 đoạn cùng xuất phát từ cùng một ñỉnh mà cùng màu.

Thật vậy, giả sử AB, AC, AD cùng màu đỏ thì áp dụng NX1, các đoạn BC, CD, DA cùng
màu xanh, tam giác BCD mâu thuẫn với NX1.

cu

u

Hệ quả của NX2: Trong 4 ñoạn xuất phát từ cùng một đỉnh phải có 2 cạnh xanh và 2
cạnh đỏ.
Khơng mất tỉnh tổng qt, giả sử tại A có AB và AE đỏ, cịn AC và AD xanh.
Áp dụng NX1:
- AB, AE ñỏ → BE xanh
- AC, AD xanh → CD ñỏ
* Nếu ED ñỏ:
- DC, DE ñỏ → CE xanh
- EB, EC xanh → BC ñỏ
Cách sắp xếp theo vòng tròn ABCDEA thỏa mãn.
* Nếu ED xanh:
- EB, ED xanh → BD ñỏ
- EB, ED xanh → EC đỏ
(NX2)
Cách sắp xếp theo vịng trịn ABDCEA thỏa mãn.

25

CuuDuongThanCong.com

/>