De tiểu luận GT không trơn k41

Đề bài tiểu luận
Học phần: Giải tích khơng trơn
Lớp Cao học K41
Nội dung 1: Phát biểu khái niệm hàm lồi trên đường thẳng thực; nêu
và chứng minh các tính chất cơ bản của nó?
Nội dung 2: Cho I là tập lồi trong R, hàm số f : I → R xác định trên
I. Khi đó f (x) là hàm lồi khi và chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với
n

mọi x1 , x2 , ..., xn thuộc I, với mọi λi > 0, (i = 1, 2, ..., n và

λi = 1 ta có:
i=1

n

n

λi xi ) ≤

f(
i=1

λi f (x).

(1)

i=1

Nội dung 3: Chứng minh rằng: Nếu a, b ≥ 0 và p, q > 0 sao cho
1 1

+ = 1 thì ta có:
p q
ap b q
ab ≤
+
p
q
Dấu bằng xảy ra khi ap = bq .
Nội dung 4: Cho a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn > 0, và p, q > 0,
Khi đó ta có

n

n

ai b i ≤ (
i=1

n
1

1
api ) p (

i=1

bqi ) q .
i=1

——- Hết——-

1

1 1
+ = 1.
p q