btxstkchuong 3 cao thanh luc

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

Bài 1.
a: Không gian mẫu là Sx={hóa đơn $1,hóa đơn $5, hóa đơn $50}
b: Tập hợp A là A={2,4,6}
c: Tập hợp Ac là Ac={1,2,3}
Ac=1-A

Bài 2.
Một nguồn thông tin được sản sinh ra các ký tự S = {a , b, c, d, e}. Hệ thống nén số mã hóa
các chữ cái thành các dãy nhị phân như sau.
a1
b 01
c 001
d 0001
e 0000
Với Y là biến ngẫu nhiên bằng độ dài dãy nhị phân ở đầu ra của hệ thống như vậy ta có
khơng gian mẫu là SY = { 1 , 2 , 3 , 4}
Ta có giá trị của các xác suất tại các điểm đó là
P[Y = 1] = p(a) = ½
P[Y = 2] = p(b) = ¼
P[Y = 3] = p(c) = 1/8
P[Y = 4] = P[Y = 5] = p(d) + p(e) = 1/16 + 1/16 = 1/8

Bài 3
a. Không gian mẫu
Sy={1,3,5…..,n} với n lẻ
Sy={0,2,4,…..,n} với n chẵn
b. Gọi Z là biến cố tương đương với {Y=0}
Z : Sz  S
Sz ∈ w  S(z) = 0

 Z là biến cố số lần xuất hiện mặt sấp ngửa bằng nhau
c. W : Sw  S
Sw ∈ w  W(w) <= k

(k nguyên dương )

W là biến cố độ sai khác giữa số lần xuất hiện mặt sấp và số lần xuất hiện mặt ngửa <= k
không nguyên dương.

Bài 07.
Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên y trong bài tập 2
Ta có:

Trang 1


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

Đồ thị hàm F y (y) có dạng:

Bài 8
Phác họa hàm phân phối của biến ngẫu nhiên trong bài 3
+ trường hợp 1 với n = 4
Ta coi các đồng được gieo là cân đối nên biến ngẫu nhiên Y lấy các giá trị 0,1,2,3,4 với các
1 2 3 4 3 2 1
, , , , , , bởi vậy hàm F y (x) một cách đơn giản là tổng
xác suất tương ứng là
16 16 16 16 16 16 16
xác suất của tổng các kết cục từ {0,1,2,3,4} vì vậy hàm phân phối được là hàm gián đoạn tại các
điểm 0,1,2,3,4

Xét hàm phân phối tại lân cận của điểm x= 1 , cho δ là một số dương nhỏ ta có ::
1
F y (1 − δ ) = P[Y ≤ 1 − δ ] = P [0 lân xuất hiện mặt sấp] = 16 bởi vậy giới hạn của hàm
1
phân phối khi x tiến tới 1 từ bên phải là
và
16
1
2
3
F y ( x) = P[Y ≤ 1] = P [0 hoặc 1 lần xuất hiện mặt sấp] = 16 + 16 = 16
Và
3
F y (1 + δ ) = P[Y ≤ 1 + δ ] = P[0 hoặc 1 lần sấp] = 16
Trang 2


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

Như vậy hàm phân phối liên tục bên phải và bằng

3
tại điểm x = 1. Độ nhảy tại điểm x =
16

3 1
1
=
16 16 8
Hàm phân phối có thể được biểu diễn theo hàm bậc thang đơn vị

0  khix < 0
u ( x) = 
1 khix ≥ 0
Khi đó hàm F y (x) là

1 là bằng P[ Y = 1 ] =

1
2
3
4
3
2
1
u (x) +
u (x) +
u (x) +
u (x) +
u (x) +
u (x) +
u (x)
16
16
16
16
16
16
16
+ trường hợp với n = 5
Tương tự như trường hợp n = 4

1
2
3
16
1
F y (x) = 32 u (x) + 32 u( x) + 32 u ( x) + ……….+ 32 u (x) + ……..+ 32 u (x) +
2
3
u ( x) + u ( x)
32
32

F

y

(x) =

Bài 9.
Công thức hàm phân phối:

Bài 10.
Phác hoạ hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Z trong ví dụ 5. Chỉ ra dạng của Z
Thời gian truyền Z của một tin nhắn trong một hệ truyền thông tuân theo quy luật phân phối
mũ với tham số , nghĩa là

Phác hoạ dạng đồ thị:

Bài 11
Trang 3

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
k k n−k
P(x = k) = C n p q
q=1-p
Với n=8
Xét p=1/8 => q = 7/8

k=0,1,…, n

8

0

7

1

8!  1   7 
P ( x = 8) = C p q =
.  .  = 5,96.10 −8
0!.8!  8   8 
0
8

8

0

P ( x = 7) = C81 p 7 q 1 =

8!  1 
. 
7!.1!  8 

7
.  = 3,34.10 −6
8

6

2

8!  1   7 
P ( x = 6) = C p q =
.  .  = 8,18.10 −5
6!.2!  8   8 
2
8

6

2

5

3

8!  1   7 

P ( x = 5) = C p q =
.  .  = 1,14.10 −3
5!.3!  8   8 
3
8

5

3

4

4

8!  1   7 
P ( x = 4) = C p q =
.  .  = 0,01
4!.4!  8   8 
4
8

4

4

P ( x = 3) = C85 p 3 q 5 =

3

8!  1 

. 
3!.5!  8 

5

7
.  = 0,056
8

2

6

8!  1   7 
P ( x = 2) = C p q =
.  .  = 0,196
2!.6!  8   8 
6
8

2

6

1

7

8!  1   7 
P ( x = 1) = C p q =

.  .  = 0,39
1!.7!  8   8 
7
8

1

7

0

8

8!  1   7 
P ( x = 0) = C p q =
.  .  = 0,34
8!.0!  8   8 
8
8

0

8

Với p=1/2 => q=1/2
0

P ( x = 0) = P ( x = 8) = C88 p 0 q 8 =
P ( x = 1) = P ( x = 7) = C81 p 7 q 1 =

8

8!  1   1 
.  .  = 3,9.10 −3
8!.0!  2   2 

8!  1 
. 
1!.7!  2 

7

1

1
.  = 31,25.10 −3
2
6

2

8!  1   1 
P ( x = 2) = P ( x = 6) = C p q =
.  .  = 109,375.10 −3
2!.6!  2   2 
2
8

6

2

5

3

8!  1   1 
P ( x = 3) = P ( x = 5) = C p q =
.  .  = 218,75.10 −3
3!.5!  2   2 
3
8

5

3

4

P ( x = 4) = C84 p 4 q 4 =

4

8!  1   1 
.  .  = 273,4375.10 −3
4!.4!  2   2 

Đồ thị :

Trang 4

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

Với p = 9/10 => q = 1/10
8

0

7

1

8!  9   1 
P ( x = 8) = C p q =
.  .  = 0,43
0!.8!  10   10 
0
8

8

0

8!  9   1 
P ( x = 7) = C p q =
.  .  = 0,383
7!.1!  10   10 
1
8

7

1

6

2

8!  9   1 
P ( x = 6) = C p q =
.  .  = 0,149
6!.2!  10   10 
2
8

6

2

P ( x = 5) = C83 p 5 q 3 =

5

8!  9 
. 
5!.3!  10 

3

1
.  = 0,033
 10 

4

4

8!  9   1 
P ( x = 4) = C p q =
.  .  = 4,59.10 −3
4!.4!  10   10 
4
8

4

4

3

5

8!  9   1 
P ( x = 3) = C p q =
.  .  = 4,1.10 − 4
3!.5!  10   10 
5
8

3

5

2

6

8!  9   1 
P ( x = 2) = C p q =
.  .  = 2,268.10 −5
2!.6!  10   10 
6
8

2

6

P ( x = 1) = C87 p 1 q 7 =

8!  9 
. 
1!.7!  10 

1

7

1

.  = 0,72.10 −6
 10 
0

8

8!  9   1 
P ( x = 0) = C p q =
.  .  = 10 −8
8!.0!  10   10 
Đồ thị :
8
8

0

8

Trang 5


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

Bài 12:
Vì U là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng [-1;1] nên:
P[U] = P[U-0] = P[U+0]
P[U>0] = P[0
1
3

= 1

-

=

1
2

1
3

1
2

1
3

1
3

1
3

P[|U|< ] = P[ − =

4
6

-

2
6

1
3
3
+ P[ 4
3
+ F[1] - F[ ]
4
7
+ 1 8
1
4

=
3
4

3
4

P[|U| ≥ ] = P[-13
4

= F[ − ] - F[-1]
=

1
8

- 0

=
P[U<5] = 0
1
3

1
2

1
2

1
3

P[
Trang 6


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

=

3
4

4
6

1
12

=
Bài 13:

•

→ P[A] = 0

ã
P[B] =
=

=

ã

P[C] =

ã

P[D] =

Bài 14:
a. Biến ngẫu nhiên x là BNN liên tục
1
1
n+
Fx ( n ) =  4
4
1

0 ≤ n ≤1
n >1

1

b. ρ  X < −  = ρ [φ ] = 0
2

1

 1 1 1 −1
ρ  X <  = ρ [0;  = − =
3
6

 3  12 4

ρ [ X ≤ 0] = ρ [{ 0} ] =

1

4

Trang 7


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
 1   3
1

ρ  ≤ X < 1 = ρ   ;1  =
4

  4   16
3
3
1

1

ρ  ≤ X ≤ 1 = ρ  ≤ X < 1 + ρ [{1} ] = + 0 =
16
16
4

4

 1 
1
7


1
ρ  X >  = ρ  ;1 + ρ [ (1,+∞)] = FX (1) − FX   + 1 =
2
8

2
 2 

ρ [ X ≥ 5] = 1
ρ [ X < 5] = ρ [ (1;5) ] + ρ [ [ 0;1] ] = 1 + Fx (1) − FX ( 0 − ) =

3
4

Bài 15:
 0( y < 1)
FY ( y ) = 
−n
1 − y ( y ≥ 1)
•

0 ≤ k ≤ 1 ⇔ P { 0 < Y ≤ 2} = PY { (0,1)} + PY { [ 1, 2] }
= 0 + FY (2) − FY (1 − 0) = 1 − 2 − k

•

k > 1 ⇔ P { k < Y ≤ k + 1} = PY { (k , k + 1]}

= FY (k + 1) − FY (k )
= 1 − ( k + 1) − k − (1 − k − k ) = k − k − (k + 1) − k

Bài 17:
Biến cố ngẫu nhiên Rayleigh có hàm phân phối
02 r < 0

−r
FR (r ) = 
2σ 2 khir ≥ 0
1
−
 e

Tìm
P[ σ ≤ R ≤ 2σ ]
[ σ ≤ R ≤ 2σ ]=[R= σ ] ∪ [ σ ≤ R ≤ 2σ ]
P[ σ ≤ R ≤ 2σ ]= FR (σ ) - FR (σ − ) + FR (2σ ) - FR (σ ) = FR (2σ ) - FR (σ − )
−1 / 2
−2
−4 r / 2σ
− r / 2σ
=(1- e
) –(1- e
)= e − e
2

2

2

2

P[R> 3σ ]=1-P[R ≤ 3σ ] =1- F R (3σ ) =1- e

−9 / 2

Bài 18.
X là biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ ta có hàm mật độ xác suất của hàm
biến mũ là
nếu x ≥ 0
λe − λx
f X ( x) = 
0

nếu x < 0

Vậy ta có hàm phân phối mũ là
Trang 8


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

x

FX ( x) =

∫f

0

X

( x)dx =

−∞

x

x

x

λ
λ x
λ
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ λe dt = −e 0 = −( e
X

X

−∞

− t

− t

− x

X

0

0

)

− 1 = 1 − e − λx

0

Vậy giá trị của hàm phân phối được viết là
1 − e − λx
FX ( x ) = 
0

Nếu x ≥ 0

Nếu x < 0
Với giá trị d > 0 , k nguyên dương
Tính P[ X ≤ d ] = FX (d ) = 1 − e − λd
P[ kd ≤ X ≤ ( k + 1) d ]= FX ((k + 1)d ) − FX (kd ) = 1 − e − λ ( k +1) d − (1 − e − λkd ) = e − λkd − e − λ ( k +1) d
Hay P[ kd ≤ X ≤ ( k + 1) d ] =

( k +1) d

∫

( k +1) d

f X ( x )dx =

kd

∫

λe − λx dx = −e − λx

kd

(k + 1)d
= e − λkd − e − λ ( k +1) d
kd

(

)

P[X>kd] = 1 - P[X ≤ kd] = 1 - F X (kd) = 1 – (1- e − λkd ) = e − λkd
b.Hãy chia phần dương của đường thẳng thực thành năm khoảng khơng có
điểm chung đồng xác suất.
P[ kd ≤ X ≤ ( k + 1) d ]

0
d
kd
(k+1)d
Các giá trị xác suất tại các điểm là không có điểm chung đồng xác suất
P[0P[dP[kdP[X > (k+1)d] = 1 – FX((k+1)d)

Bài 19:
∞

a. Áp dụng tính chất

∫

fx( x)dx = 1

−∞
∞

Mặt khác

∫

−∞

∫

−∞

+∞

1

0

fx( x) dx =

fx( x) dx +

∫
0

fx( x)dx +

∫

fx( x)dx = 1

1

Trang 9


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

⇔

0

1

∞

−∞

0

1

∫ 0 + ∫ Cx(1 − x)dx + ∫ 0 = 1

1

⇔ ∫ Cx (1 − x)dx ≤ = 1
0

⇔ C(

x2 x3
)
2
3

⇔ C(

1 3
- )= 1
2 4

| 10 =1

⇔ C= 6
Vậy f x (x)=

6x(1-x)
0

nếu 0 ≤ x ≤ 1
nếu khác

c. Hàm phân phối xác suất
0
2

F x (x) =

nếu x< 0
nếu 0 ≤ x ≤ 1
nếu x>1

3

3x – 2x
1

b. P[

1
3
3
1
2
4
4
2
3 2

3 3
1
1
= ( 3 ( ) - 2 ( ) ) – [3( )2 – 2( )3] = 0,34375
4
4
2
2

Bài 21.
a.Tìm fx(x).
0 neu x < − a
c
   (x+c) neu – a ≤ x < 0
a
fx(x) = 
 −c ( x − c ) neu 0 ≤ x < a
a
0 neu x ≥ a


b.Tìm Fx(x)
x

Fx(x)= ∫ Fx(t )dt
−∞

x



c
a
−a

c
Fx(x)= ∫ (t + c)dt = (t-c)2
a

a

−a

x
c
c
c
= [(x+c)2 – (c-a)2] = (x+c)2 - (c-a)2
−a a
a
a
a

−a
−a
Fx(x) = ∫ c (t − c)dt =
(t-c)2 =
[ (a-c)2 - (x-c)2]
x
c

c
x

Trang 10


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

=

−a
a
a
a
(a-c)2 + (x-c)2 = (x-c)2 - (a-c)2
c
c
c
c

Vậy hàm phân phối :
c
2
2
c
 a ( x + c ) −  a ( c − a ) neu x < 0
Fx(x)= 
 a ( x-c ) 2 −  a ( a − c ) 2 neu x ≥ 0
 c
c

1
c. P[|x|2

Bài 23

Bài 25.
Công thức hàm mật độ xác suất:

Bài 26.
Chứng minh rằng

thoả mãn tám tính chất của một hàm phân phối

i)
Từ tiên đề 1
Ta có

. Cần chứng minh:
mà A và

xung khắc với nhau nên

Trang 11


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

Từ tiên đề 1 =>

=>

(đpcm)

ii)
Do

nên khi

thì

. Điều này tương đưong với X là tồn bộ khơng gian mẫu

X=S

iii)
A là một biến cố nào đó có liên quan đến X và có giá trị ln lớn hơn -∞

iv)
Vì a < b nên

là tập con của

Từ tiên đề 1
v)
Do
vi)
Hai biến cố ở vế trái xung khắc nên từ tiên đề 3 và định nghĩa hàm phân phối (
ta có

vii)

Khi

Giả sử

là một số vơ cùng bé. Từ tính chất vi) ta có

. Điều này tương đưong với

Trang 12


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
Và

. Vậy:

Bài 27:
Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
Sx = [0,∞]
fx(x) = λ e-λx
Hàm phân phô'i
1 - e - λx x ≥ 0
Fx(x) ={
0

x<0

Lúc này

Fx( x | X>t) = P[X ≤ x | X > t ]
P[{X ≤ x} ∩ {X > t }
P[X > t]

=

Tích của hai biến cố {X ≤ x} ∩ {X > t} bằng tập rỗng nếu X < t và sẽ bằng {t< X ≤ x}
khi x ≥ t Do vậy:

0 x≤ t

Fx ( x | X > t ) =

{
Fx ( x) − Fx (t )
1 − Fx (t )

Fx ( x) − Fx (t )
1 − Fx (t )

khi..x > t

1 − e − xλ − 1 + e − λ t e − λ t − e − λ x
=
=
1 − 1 + e − λt
e − λt

= 1 − e λt −λ x

t

Nên

Fx ( x | X > t ) =

0 x≤ t

0

{

1 − eλ t − λ x khi..x > t
b) Hàm mật độ xác suất có điều kiện tìm được bằng vi phân theo x:

f x (x | X > t) =

f x ( x)
khi..x ≥ t
1 − Fx (t )

f x ( x)
λ e−λ x
λt − λ x
=
=
1 − Fx (t ) 1 − (1 − e− λt ) λ e
λ eλt −λ x khi..x ≥ t ≥ 0

Trang 13

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
⇔

f x (x | X > t)

đặt S(x)=

=

0

{

khi t ≤ x <0

S(x)= λ

λ e λt
t

Bài 28:
a.Áp dụng công thức:

P[{ X ≤ x} ∩ A]
P[ A]
dFx( x | A)
fx ( x | A) =
dx

Fx( x | a ≤ x ≤ b) = P[ X ≤ x | a ≤ X ≤ b]
Fx( x | A) =

=

P[{ X ≤ x} ∩ {a ≤ X ≤ b}]
P[{a ≤ X ≤ b}]

0 − − − − − − − − − − − − − x ≤ a

 Fx( x) − Fx (a)
Fx( x | a ≤ x ≤ b) = 
− − − − − −a ≤ x ≤ b
 Fx(b) − Fx (a )
1 − − − − − − − − − − − − − b < x

Đồ Thị:

Fx( x | a ≤ x ≤ b)

Trang 14


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

0
a
b
fx
(

x
|
a
≤
x
≤
b) :
b.Tìm và phác họa

x

dFx( x | a ≤ x ≤ b)
dx
0 − − − − − − − − − − x < a

fx( x | a ≤ x ≤ b) = 
fx( x)
 Fx(b) − Fx(a) − − − a ≤ x < b

fx( x | a ≤ x ≤ b) =

Bài 29:
Đặt:
BNN Nhị thức

với n = 8, p = 1/10 (p = 1/2; p = 9/10). Khi đó:

(a). Ta có:

Trang 15

Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

=

⇒
(b).Ta có:

nếu

Do đó:

Trang 16


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

Bµi 30:
0 nÕun ≤ k
 n   [ n]
FX =   = 
 1
j −1
 4   ∑ ρq .
 ρ ( A)
 j = k +1
V× Fx ( n / a ) =

ρ [{ n ≤ n} ∩ A]

ρ [ A]
φ nÕun ≤ k

{ n ≤ n} ∩ { x > k } = 

k < X = n nÕu n> n

Cho X là biến ngẫu nhiên hình học. Tìm và phác hoạ FX(n/A) nếu.
A = { n < k } và n chẵn k nguyên dơng
Ta có:
A = {n ≤ n \

n ch½n,
n≥ k

n ≤ n

{ n < k} } = 

n≥n
n ≤ k − 1 n ch½n,

F 
2
 

ρ [ A] = ∑ ρ .q 2 j −1
j =1

n

2
 

⇒ FX ( n / A) = ∑ ρ .q 2 j −1
j =1

n
 2  −1
 

∑ ρ .q

2 j −1

j =1

Bài 31:
a. I A (ζ ) = {3,4,5}
3
b. I A (ζ ) = {[ ,1]}
4
I
(
ζ
)
=
{(
x
, y ) | 0 < x < 1;0 < y < 1;0.5 < x + y < 1}
c. A

Bài 33.
Ta có X là biến ngẫu nhiên nhị thức nên ta có

p k = C nk p k q n −k . mặt khác ta có giá trị p k −1 = C nk −1 p k −1 q n −k +1 .
pk
C nk p k q n − k
( n − k + 1) p = 1 + (n + 1) p (dpcm)
=
=

Lúc này ta có.

p k −1

C nk −1 p k −1 q n − k +1

kq

kq

b.Chứng minh rằng P[X= k] đạt cực đại tại kmax = [(n+1)p].
pk
(n + 1) p
≥ 1 ⇒ 1+
≥ 1 ⇔ k ≤ ( n + 1) p
Ta có nếu ta xét tỷ số
p k −1
kq
Trang 17

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
Vậy nếu khi k tăng giá trị từ 0 đến (n+1)p. Thì gía trị p(k) tăng. Nếu như ta có giá trị
pk
≤ 1 thì k ≥ (n + 1) p . Như vậy thì p(k) giảm nếu như k tăng.
p k −1
Vậy khi giá trị k = (n+1)p thì xác suất p[X =k ] đạt giá trị cực đại.
Nếu khi giá trị (n+1)p nguyên thì giá trị k sẽ có hai giá trị k1 = (n+1)p và giá trị k2 = (n+1)p -1.
Mà tại các giá trị này thì p(k) max. Nên khi (n+1)p nguyên thì cực đại đạt tại các giá trị kmax và
kmax -1.

Bài 34.
Cho N là biến ngẫu nhiên hình học SN = {0 , 1, 2, …}
a. Tìm P[N > k]
Xác suất để hơn k lần phép thử được thực hiện trước khi xuất hiện thành cơng
có
∞

∞

N = k +1

j =0

N −1
k
j
k
P[N > k] = ∑ pq = pq ∑ q = pq

1
= qk
1− q

b. Tìm hàm phân phối của N
Ta có hàm phân phối
1 − qk
= 1 − q k với giá trị p = 1 – q
1− q
j =1
i =0
P[{ N = k } ∩ { N ≤ m} ]
Tìm giá trị P[ N = k | N ≤ m] =
P( N ≤ m )
Nếu giá trị k > m thì ta có { N = k } ∩ { N ≤ m} = ∅ vậy suy ra
P{ N = k } ∩ { N ≤ m} = 0
P[ N = k | N ≤ m ] = 0
k

k −1

FX ( x) = P[ N ≤ k ] = ∑ pq j −1 = p ∑ q i = p

Mặt khác vì N là biến ngẫu nhiên hình học nên ta có
Với giá trị 1
P[{ N = k } ]

Mặt khác ta có P[{ N = k } ] = p(1 − q)k −1 .

Vậy xác suất của P[ N = k | N ≤ m] =

P[ N = k ] p (1 − q ) k −1 p (1 − q ) k −1
=
=
P[ N ≤ m ]
FX ( m )
1 − qm

Bài 35:
Đối với biến ngẫu nhiên hình học: P[M=k] = (1-p)k-1.p
t
t
t
α
] =(1-p) n T = [(1- ) n ] T
T
n
Chứng minh: P[ M ≥ k + j | M > j ] = P[ M ≥ k ]
P[( M ≥ k + j ) ∩ ( M > j )]
=
P[ M > j ]

Ta có: P(x>t) = P[M>n

=> e

Với k=1,2,3….; p=
−αt
T

α
α
;λ=
2
T

khi n → ∞

Trang 18


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
P[ M ≥ k + j ] P[( M > k + j ) ∪ ( M = k )]
=
P[ M > j ]
P[ M > j ]

=

e − λ .( λ + j ) + (1 − p ) k −1 . p
e −λ . j
Mà P[M ≥ k ] = e − λk => đpcm
=

Bài 37.
150 −15 1
. e = 15 = 0,306. 10−6
e
0!

152
159 
−15 
1
−
P
[N
<
10]
=
1e
1
+
15!
+
+
...
+
≥
10
b.P[N
]=

2!
9! 

1 
152 153 154 155 156 157 158 159 
+
+

+
+
+
+
+
=1 − −15 1 + 15 +
e 
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 

a. Ta có α = 15 => P[0]=

= 0,9301
Bài 39.

Bài 40
Ta có biến ngẫu nhiên POISSON là ::
S x = {0,1,2………..}

p = αk! e
k

−α

k

k = 0,1,2………..và α >0

E[ X ] = α
VAR[X] = α
Ta có số lệnh chờ được thực thi cho bởi tham số α =

(*)

λ
nµ

Với λ = 3 là số lệnh trung bình đến 1 ngày
µ = 1 là số lệnh cần được thực thi bởi một nhân viên trong một ngày
n là số nhân viên

Trang 19


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

λ
3
=
αµ α
Ta có với 4 lệnh chờ ⇒ k ≥ 4 và xác suất cho có hơn 4 lệnh chờ nhỏ hơn 90%
Giả sử ta lấy với k =4 và pk = 0,9
⇒n=

α e
4!
4

Thay số vào (*) ta được 0,9 =

−α

⇒α

(khó q khơng tìm được giá trị của α )
+ Đối với xác suất khơng có lệnh chờ thì α = 0
Thì khi đó

p

k

=1

Bài 42.
Phân vị thứ r, π(r), của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa: P[X ≤ π(r)] =
a) Tìm phân vị 90%, 95% và 99% của biến ngẫu nhiên mũ với tham số λ
Ta có:
=
P[X ≤ π(r)] =
= P[X < 0] + P[0 ≤ X ≤ π(r)]
= 0 + (π(r)) - ( )
= (1 -

)

=1-

=



=1-



=



=-

Phân vị 90%, 95% và 99% lần lượt ứng với r = 90, 95 và 99
b) Làm lại câu a với biến ngẫu nhiên Gauss với tham số m = 0 và σ
Đặt

đưa biến ngẫu nhiên X bất kỳ

về biến ngẫu nhiên Z chuẩn tắc

.

Trang 20


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

Trong đó:
Hàm phân phối này khơng tính được bằng cách tích phân chỉ tính được gần đúng dựa vào

.

một hàm đặc biệt

Từ đó ta tính được hàm phân phối là

Mà

Bài 43
Ta có :

f X ( x) =

1
2π

e

−x2
2

=> f X (x) là hàm đối xứng đối với x
=>

f X (x) = f X (− x)

Ta lại có :

F X ( x) = P( X ≤ x) = P{x ∈ (−∞ , x]}

FX (− x) = P( X ≤ − x) = P{− x ∈ (−∞ ,− x]}

Do f X (x) = f X (− x) nên P{− x ∈ (−∞ ,− x]} = P{x ∈ [ x,+∞)}
Mà :

P{x ∈ (−∞ ,+∞)} = 1 = P{x ∈ (−∞ , x)} + P{x ∈ ( x,+∞)}

⇔ 1 = F X ( x) + F X (− x) = 1 − Q( x) + 1 − Q(− x)

⇔ Q(− x) = 1 − Q( x)⇒ đfcm

Bài 44
Tính xác xuất Gauss
Ta có hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên chuẩn là
P[X x]

=

a, X
ta có

t=

(

)

Trang 21

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục

P[X m]

=

t=

( )

Theo bảng Q-hàm ta có
( ) = 1 - Q(0) = 1 – 0.5 = 0.5
b, P[

>k ]

với k = 1, 2, 3, 4, 5

và P[ X > m+k ] với k = 1.28, 3.09, 4.26, 5.20
Trường hợp với X > k + m
P[X > k + m] = 1 - P[X < k + m] = 1 =
= Q(k)

t

( )

Trường hợp với X < -k + m
P[X < - k + m] =

t = Q(-k) = 1 - Q(k)
(do tính đối xứng của hàm mật độ)

K= 1

Q(1) = 0.159

Q(-1) = 0.841

K= 2

Q(2) = 0.0228

Q(-2) = 0.9772

K= 3

Q(3) = 0.00135

Q(-3) = 0.99865

K= 4

Q(4) = 3.17E -5

Q(-4) = 0.9999683

K= 5
Q(5) = 2.87E -7
Theo bảng 3.4 ta có:

K= 1.28

Q(1.28) = E -1

K= 3.09

Q(3.09) = E -3

K= 4.26

Q(4.26) = E -5

K= 5.20

Q(5.20) = E -7

Q(-5) = 0.999999713

Bài 45:
BNN N là BNN Gauss N (0;1) có hàm phân phối:

.

Để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 đã được gửi đi thì điện áp là khơng âm, tức là
hay

Trang 22


Ket-noi.com diễn đàn cơng nghệ, giáo dục

Khi đó:

Tương tự, để nơi nhận mắc lỗi nếu 1 đã được gửi đi thì điện áp là âm, tức là
hay

:

Xét tích phân : I =

, đặt u =

⇒ du = t.dt =

.dt ⇒

I viết lại:

Trong đó:

là hàm Gamma tại

, suy ra

⇒I=

Từ đó ta có:

Vậy xác suất để nơi nhận mắc lỗi nếu 0 và 1 đã được gửi đi là như nhau.

Bµi 46:
* Víi thêi gian sèng mong mn cđa hƯ thèng lµ 20000 giờ.
* Xét với chip 1
Ta có hàm mật độ x¸c suÊt:

∫ ( x) =
X1

1
2n σ

.e −( x −11)

2

/ 2σ 2

Với độ lệch chuẩn = 4000 giờ
Giá trị kỳ väng µ = 20000 giê

Trang 23


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
⇒∫

X

( x) =

1
4000 2 n

* XÐt víi chip 2:
§é lƯch chn σ = 1000 giờ
Giá trị kỳ vọng: à = 22000 giờ


X2

( x) =

1
2 n .1000

.e − 2000

2

/ 2.1000 2

=

1
1000.e 2 2 n

Cã: f X ( x ) > f X ( x )
1

2

→ Chíp 1 thích hợp hơn.
* Với thời gian mong muốn cđa hƯ thèng lµ 24000 giê:
→ ChÝp 1:
1
∫ ( x ) = 4000
X1

2n

2

.e − 4000

/ 2.4000 2

=

1
4000. 2 n e

→ ChÝp 2:
1
∫ ( x ) = 1000
X2

2n

.e −2000

2

/ 2.1000 2

=

1
1000.e 2 2 n

Cã: f X ( x ) > f X ( x )
2

1

→ ChÝp 2 thÝch hỵp víi hƯ thèng h¬n.

Bài 47:

α
=1 .
T
Theo cơng thức biến ngẫu nhiên có phân phối mũ thì xác suất để thời gian vượt quá t giây
Với λ =

là:
t

P [ X < t ] = P  M > n. 
T


t

= (1 − p)

n.

t
T

t
 α n T
−α .
T
=  1 − ÷  → e
 n  

a.X<6 thì
t

P [ X < 6] = 1 − P [ X > 6] = 1 − P  M > n. 
T


Trang 24


Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục
t

= 1 − (1 − p )

n.

t
T

t
 α n T
−α .
T
= 1 − 1 − ÷  → 1 − e
= 1 − e −6
 n  

b.X>8 thì
t

P [ X < t ] = P  M > n. 
T

t

= (1 − p)

n.

t
T

t

 α n T
−α .
=  1 − ÷  → e T = e −8
 n  

Bài 49:
Biến ngẫu nhiên khi_bình phương

f

1
1 1 α −1 − 1 x
α −1
− x
( x) e 2
.
x e 2 02
2
=
α
( x) =
x
Γ(α )
2 .Γ(α )

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên khi_bình phương
α=

k

2

k nguyên dương

K=1

f

X

1
2

α=

1
Γ( ) = π
2
1

( x) =

1
2

x .e

1
x
2

α =1

K=2

f

X

( x) =

X

Γ(1) = 1

1

e

−1 / 2

.2. π

α=

K=3

f

. 2π

x

(x) =

e

1
x
2

1
+1
2

1
1 1
1
Γ( + 1) = Γ( ) =
π
2
2 2
2

1
2

. 2π

Trang 25