Gỉai tích 3 giáo trình cơ bản giải tích 3

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Giáo trình cơ bản Giải tích 3
Bài giảng xây dựng dựa trên bài giảng của thầy Nguyễn Xuân Thảo
Phần I: Xét sự hội tụ của chuỗi số
A, kiến thức và ví dụ cơ bản cần nhớ ( Thơng dụng hay thi)
Cách 1: sử dụng giới hạn.

1
2
3
lưu ý: - 1 chỉ có theo 1 chiều, ko có chiều ngược lại.
-2 hay sử dụng để tìm tính phân kì của chuỗi, ko sử dụng phương pháp loại trừ ở đây , tức là
cho chuỗi là chuỗi hội tụ ngay khi chuỗi không là chuỗi phân kì.
- 3 có nghĩa là thay đổi n=1 bằng n=2; n=3;... thì vẫn xét được như thường.
Ví dụ:

Cách 2: Sử dụng định lý so sánh

Điều kiện áp dụng:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 1

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Cách 3: sử dụng

Điều kiện áp dụng:

\

Cách 4: Sử dụng tiêu chuẩn CAUCHY
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 2

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Điều kiện áp dụng:

Nếu I=1 thì ta sử dụng cách khác để chứng minh.

Cách 5: Sử dụng với chuỗi có dấu bất kì

VD:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 3

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Cách 5: Sử dụng tiêu chuẩn leibnitz cho chuỗi đan dấu:

tức là ta chứng minh:+Chuỗi là chuỗi đan dấu
+
+

+
thì chuỗi là chuỗi hội tụ
Chú ý phép nhân chuỗi:

Một số lưu ý cần thiết:
+Tổng 2 chuỗi hội tụ thì hội tụ;
+Tích 2 chuỗi hội tụ hoặc tích 2 chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ
+ các trường hợp cịn lại phân kì.

B, BÀI TẬP
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 4

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Hướng dẫn:
a, Sử dụng dalamber b, Sử dụng so sánh c, Sử dụng cauchy D, sử dụng dalambert
e, Sử dụng dalamber f, sử dụng so sánh g, sử dụng so sánhh, sử dụng dalambert và so sánh
i, quy đồng và sử dụng dalambert k, sử dụng dalambert l, sử dụng dalambert

Hướng dẫn:
a, Sử dụng dalambert b, Sử dụng dalambert c, Sử dụng dalambert d, sử dụng dalambert
e, sử dụng dalambert f, sử dụng dalambert g, sử dụng dalambert h, sử dụng dalambert
Phần 2: Tìm miền hội tụ:( Thơng dụng nhất)

Xét chuỗi:

Bước 1:Tính:

Bước 2: Xác định bán kính R:
Bước 3: Xác định miền hội tụ:

Bước 4: Xét hội tụ tại x=R, xem chuỗi hội tụ hay phân kì.
Bước 5: kết luận tập hội tụ dựa vào bước 3, bước 4.

Lưu ý: Đặt và đưa chuỗi bài cho về đúng dạng :
Nếu chuỗi là chuỗi đan dấu thì ta xét thêm trị tuyệt đối vào. như ví dụ 2 dưới đây.

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 5

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

+ Nếu R= VƠ cùng thì miền là (-VC; +VC)
+ Nếu R=0 thì xét tại đó xem hội tụ hay phân kì.
B, BÀI TẬP

Phần III: Khai triển chuỗi maclaurin và tính tổng chuỗi
Một số khai triển cơ bản cần nhớ:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 6

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

lưu ý: Đưa về đúng dạng như các hàm trên bằng cách đặt , thay thế, sau đó khai triển bằng
cách thay thế x bằng ẩn của bài.
Cách tính tổng chuỗi: + xét chuỗi hội tụ tại điều kiện nào.
+ta xem hàm đã ở dạng đặt biệt chưa, nếu chưa thì ta sử dụng phương pháp đạo hàm hay tích
phân ngược.
+ ta sử dụng đạo hàm hay tích phân ngược để đưa về dạng ban đầu để được dạng chuỗi ban
đầu.
Lưu ý: Phần này chủ yếu dùng mẹo làm, nhiều bài khơng thể tính được tổng.

B, Bài tập:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 7

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Tính tổng các chuỗi sau:

Phần IV: khải triển chuỗi Fourier:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 8

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 9

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Phần V: Phương trình phân li
Dạng bài tốn dễ, chỉ cần nguyên hàm từ từ lên là được.
Bài tập:

Phần VI: Phương trình vi Phân Đẳng cấp cấp 1
Chú ý 2 dạng bài:
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 10

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Phần VII: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 11

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

lưu ý: ta tính lần lượt từ tích phân trong ra ngồi. khơng tính hẳn như trên dễ dẫn đến
nhầm lẫn và nếu sai thì mất hết điểm, tính lần lượt được đến đâu có điểm đến đó

Phần XIII:Phương trình Bernoulli

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 12

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

lưu ý: Trường hợp y dưới dạng phân số thì ta đưa về dạng ngũ ;Căn bậc n thì ngũ 1/n

Phần IX: Phương trình vi phân tồn phần
Dạng:
TH1:

xét:

Với cùng điều kiện

ta có thể làm theo cách sau:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 13

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

TH2:
+ Tính

:( chọn 1 trong 2 cách tính sao cho dễ sử dụng)

sau đó nhân

vào 2 vế

, ta được pt mới:

rồi giải lại như TH 1.

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 14

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Phươn trình vi phân cấp 2:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 15

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Gỉai: + Nhẩm nghiệm y1; y1 thường có dạng e ngũ x, x bình,...; pt cấp1,2,3; tanx, cosx,
sinx;1
+ tính y2:

+ suy ra nghiệm tổng quát:

Cách giải pt:
B1: giải pt:

ta tính ra y1,y2, thay vào và tính được:

Gỉai hệ sau tìm ra C’1,C’2; ngun hàm lên tìm ra C1,C2:
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 16

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Tìm ra nghiệm:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 17

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

lưu ý:nghiệm tổng qt:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 18

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Cách giải hệ phương trình vi phân khá là dễ, thực ra chỉ là sự thay thế của 2 phương
trình.
vd:

Phần X: Biến đổi laplace

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 19

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Lưu ý: L tổng bằng tổng Lđơn
Cách tính:

Cách tính laplace ngược:

Cách tính laplace thuận:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 20

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

VD:

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuộc phần đọc thêm , khơng thi nên khơng đề cập,
nếu có vào thì cũng là dang cơ bản nhất.
Một số phép biến đổi laplace nâng cao:
:

VD:

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 21

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

(ít thi)

(ít thi)

thì:

:
Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 22

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 23

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Thực ra phần này ít khi vào, chỉ có năm ngối có vào thơi, nên năm 2018 này khó mà
vào.

Đây chỉ là những gì mà anh hiểu và làm. Nếu có gì sai sót
mong các em bỏ qua. Đây là món quà nho nhỏ của anh.
Chúc các em thi tốt !

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 24

/>

Mục đích: Phục vụ thi cuối kì GT 3

Người viết: HTLN.98K

Biến đổi laplace của các hàm số sau:

Biến đổi laplace ngược :

Học khơng khó, Chăm cần đó, thơng minh có cần

CuuDuongThanCong.com

Trang 25

/>