BỘ đề TẶNG HSG KHỐI 8 TRUONGTHUYTIEN

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Năm học 2018 – 2019
MÔN: TỐN 8

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 120 phút)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1 (5,0 điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,
b,

x4 + 2x2 y + y 2 − 9

( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 5 ) − 24  
 1 − x3

1 − x2

− x  :
2
3
1
−
x


 1− x − x + x

2. Cho biểu thức A =
a, Rút gọn biểu thức A.

2

b, Tính giá trị của biểu thức A khi
c, Tìm giá trị của x, để A < 0.
Câu 2 (4,0 điểm).

x+2 1
2
− =
x − 2 x x(x − 2)

1. Giải phương trình sau:
2. Tìm cặp số nguyên

 x − 2 = 1

÷
3 9


( x; y )

thỏa mãn phương trình:
5x + 10x 2 + 2y 6 + 4y3 − 6 = 0
4

Câu 3 (3,0 điểm).
1. Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập
phương của chúng chia hết cho 9.
2. Cho phương trình

2x − m x − 1
+
=3
x− 2 x+ 2

. Tìm m ngun để phương trình có

nghiệm dương.
Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình bình hành

và
và

BD
K

. Gọi

E, F

lần lượt là hình chiếu của

lần lượt là hình chiếu của
a, Tứ giác

b,
c,

ABCD

BEDF

AB.AH +  AD.AK =  AC 2

và

AC > BD

D

),

O

là giao điểm của

xuống đường thẳng

xuống đường thẳng

là hình bình hành ?

CH .CD = CK .CB

Câu 5 (2,0 điểm).

C

B

( có

AB

và

AD

AC

AC

. Gọi

. Chứng minh:

H


1. Cho

x + y =1

và

2. Cho ba số dương

xy ≠ 0

x, y , z

P=

. Tính:
thỏa mãn

2( x − y)
x
y
− 3
+ 2 2
y −1 x −1 x y + 3
3

x+ y+z =6

. Chứng minh rằng

x+ y 4
≥
xyz
9

---------------Hết--------------UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 8
Năm học 2018 - 2019

(HDC gồm 05 trang)
Câu
Câu 1
1. (2,0 điểm)
(5,0 điểm)
x4 + 2 x2 y + y 2 − 9

a,

Đáp án

=(
=
=

x4 + 2 x2 y + y 2 ) − 9

Với

0,5

( x 2 + y − 3)( x 2 + y + 3)

0,25

x ≠ ±1

x ≠ ±1

=
=

1− x − x + x2
(1 − x )(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

(1 − x)(1 + x + x 2 ) − x (1 − x)
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )

0,25

(1 − x)(1 + x 2 ) (1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x )(1 − x ) 2

0,25

(1 + x 2 ) :

=
=

0,25

, ta có:

3

A=

0,25

( x2 + y)2 − 9

b, ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
2. (3,0 điểm)
a) (1,25 điểm)

ĐKXĐ:

Điểm

1
1− x

(1 + x 2 )(1 − x )

b) (1,0 điểm)

0,25


2

Ta có:

2 1
 x − 2 = 1
⇔ x− =

÷
3 9

3 3

⇔ x =1

hoặc

hoặc
Với

1
3

1
3

0,25

(TMĐK)

, ta có:
  1 2   1 
1 +  ÷  1 − ÷
  3    3 

A=
2

Vậy khi

 x − 2 = 1


÷
3 9


0,25

(khơng TMĐK)
x=

x=

2 −1
x− =
3 3

thì A =

=

10 2
.
9 3

=

20
27

20
27

0,25

0,25

c) (0,75 điểm)

Ta có: A < 0

2
⇔ (1 + x )(1 − x) < 0

Mà

(1)

x ≠ ±1

1+ x > 0
2

với mọi
⇔ 1− x < 0 ⇔ x > 1

0,25

Nên (1)
Vậy với x > 1 thì A < 0
2.1) (2,0 điểm)
ĐKXĐ: x

≠

0; x

Câu 2
(4 điểm)

0,25

≠

2
x+2 1
2
− =
x − 2 x x(x − 2)

x(x + 2) − (x − 2)
2
=
x(x − 2)
x(x − 2)
⇔

0,25

0,25

⇒ x(x + 2) − (x − 2) = 2

0,25

⇔ x 2 + 2x − x + 2 = 2

0,25

⇔ x2 + x = 0

0,25

⇔ x(x + 1) = 0

0,25

⇒

0,25

x = 0 (loại) hoặc x = - 1(nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = - 1
2.2) (2,0điểm)
5x 4 + 10x 2 + 2y 6 + 4y3 − 6 = 0
⇔

0,25

( 5x

4

+ 10x 2 + 5) + ( 2y6 + 4y3 + 2 ) = 13

0,25

0,25

⇔ 5(x + 2x + 1) + 2(y + 2y + 1) = 13
4

2

6

3

⇔ 5( x + 1) + 2(y + 1) = 13
2

2

3

2

0,25


Vì:
Mà

 x 2 + 1∈ Z
x ∈ Z
⇒

 3
 y + 1 ∈ Z
y∈Z

0,25

5( x 2 + 1) 2 ≤ 13 ⇒ x 2 + 1 ≤ 1

0,25

Mặt khác

x2 + 1 ≥ 1

với mọi x

⇒ x2 + 1 = 1

0,25

⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0

Với

x=0

, ta có:

5 + 2(y3 + 1) 2 = 13
3
2
3
2
⇒ 2(y + 1) = 8 ⇒ (y + 1) = 4

 y3 + 1 = 2
 3
⇒  y + 1 = −2 ⇒

Vì y

∈

Z nên y3 = 1

⇒

 y3 = 1
 3
 y = −3

0,25

0,25
0,25

y=1

( x; y ) = ( 0;1)

Câu 3
(3 điểm)

Vậy phương trình có một nghiệm ngun
3.1. (1,5 điểm)
3
⇒ x + yM
Gọi hai số thỏa mãn đầu bài là x, y
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 )
Ta có:
= ( x + y ) ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 3 xy 
= ( x + y ) ( x + y ) − 3 xy 


2

Vì

x + y M3

nên

( x + y)

x + y ) ( x + y )


⇒(

2

2

− 3 xy M3

− 3 xy  M9


Vậy nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của
chúng chia hết cho 9.
3.2. (1,5điểm)
x ≠ ±2
ĐKXĐ:
2x − m x −1
+
=3
x−2 x+2
⇒ ( 2 x − m ) ( x + 2 ) + ( x − 1) ( x − 2 ) = 3 ( x 2 − 4 )

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

⇔ x ( 1 − m ) = 2m − 14

(*)
Nếu m = 1 thì phương trình (*) có dạng 0 = -12 vơ nghiệm.
2m− 14
x=
1− m
m≠ 1
Nếu
phương trình (*) trở thành

0,25
0,25


Khi đó phương trình đã cho có nghiệm dương
 2m − 14
 1− m ≠ 2

 2m − 14
⇔
≠ −2
1
−
m


 m≠4
 2m − 14
 1 − m > 0 ⇔ 1 < m < 7



0,25

Mà m nguyên.
Vậy

m ∈ { 2;3;5;6}

0,25
thì thỏa mãn đầu bài

Câu 4
(6,0 điểm)

0,25

a) (2,0 điểm).
⊥

⊥

Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt)
Xét

∆BEO

và

⇒

∆DFO

BE // DF (1)

·
·
BEO
= DFO
= 900

Có:
OB = OD (t/c hình bình hành)
·
·
EOB
= FOB

0,75

(đối đỉnh)

⇒ ∆BEO = ∆DFO
⇒

0,75

(cạnh huyền – góc nhọn)
0,25

BE = DF (2)

Từ (1) và (2)

⇒

Tứ giác BEDF là hình bình hành (đpcm)

0,25

b) (1,75 điểm).

Ta có: ABCD là hình bình hành (gt)
Mà

⇒ ·ABC = ·ADC

0,25

·ABC + HBC
·
·
= ·ADC + KDC
= 1800

0,25

·
·
⇒ HBC
= KDC

Xét

∆CBH

và

∆CDK

có:

0,25
0,5


·
·
BHC
= DKC
= 900
·
·
HBC
= KDC

(chứng minh trên)

⇒ ∆CBH : ∆CDK ( g − g )
⇒

CH CK
=
CB CD

0,25

⇒ CH .CD = CK .CB

c) (2,0 điểm).

Xét
Có:

∆AFD

và

(đpcm)

0,25

∆AKC

· D = ·AKC = 900

AF

·
FAD

0,5
chung

⇒ ∆AFD : ∆AKC ( g − g )
AF AK
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC

⇒

Xét
Có:

∆CFD

và

∆AHC

0,25

(3)

· D = ·AHC = 900

CF
·
·
FCD
= HAC

0,5
(so le trong)

⇒ ∆CFD : ∆AHC ( g − g )
⇒

CF AH
=
CD AC

⇒

Mà : CD = AB
Từ(3) và (4)
Câu 5
(2,0điểm)

0,25

CF AH
=
⇒ AB. AH = CF . AC
AB AC

⇒ AB.AH +  AD.AK =  CF.AC + AF.AC

0,25

(4)

=  ( CF + AF ) AC = AC 2

0,25
(đpcm).

5.1(1,0 điểm)

Ta có:
x
y
− 3
3
y −1 x −1

=

(x

=

x 4 − x − y4 + y
(y3 − 1)(x 3 − 1)
4

xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1)

( x − y) ( x + y) ( x

=

0,25

− y 4 ) − (x − y)

2

+ y 2 ) − (x − y)

xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)

0,25


( x − y ) (x

+ y 2 − 1)
xy  x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 

=
=

( x − y ) (x

− x + y 2 − y)

xy  x 2 y 2 + (x + y) 2 + 2 
2

( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ]

=
=
=
=
⇒

2

xy(x 2 y 2 + 3)

( x − y ) [ x(− y) + y(− x)]
xy(x 2 y 2 + 3)

( x − y ) (−2xy)

( do x + y = 1

⇒

y - 1= -x và x – 1 = - y)

0,25

xy(x 2 y 2 + 3)

−2(x − y)
x 2 y2 + 3

−2(x − y)
x 2 y2 + 3

2(x − y)
x 2 y2 + 3

0,25

P=
+
=0
5.2(1,0 điểm)
2
( x + y ) ≥ 4xy
Ta có:
(1)
2
⇒ ( x + y ) + z  ≥ 4(x + y)z
⇔ 36 ≥ 4(x + y)z

(vì

x+ y+z =6

⇔ 36(x + y) ≥ 4(x + y) z

0,25

0,25

)

2

Từ (1) và (2), ta có:

(vì x, y dương nên x + y dương)

36(x + y) ≥ 16xyz

x+ y 4
4
≥
⇔ x + y ≥ xyz ⇔
xyz
9
9

(2)

0,25

0,25

(đpcm)

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic.
-

Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương
ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc khơng vẽ hình thì khơng chấm.

-THẦY CƠ CẦN TRỌN BỘ ĐỀ HSG LỚP 8
VÀ 9 chĩ 90K
-

THẦY CÔ CẦN BỘ ĐỀ TUYỂN SINH 10,
TRỌN BỘ 12 FILE (CÓ LỜI GIẢI CHI


-

TIẾT).ƯU ĐÃI GIẢM 50% TRONG
THÁNG 4 CHĨ CÒN 189K
VUI LÒNG LIÊN HỆ ZALO 0907338923
HOẶC FB:
/>