Dạy học môn Toán ở trường phổ thông theo hướng hình thành năng lực cho học sinh

Kiều Mạnh Hùng, Nguyễn Thanh Hưng

Dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng theo hướng hình thành
năng lực cho học sinh
Kiều Mạnh Hùng1, Nguyễn Thanh Hưng2
1Email:

2Email:

Trường Đại học Tây Nguyên
567 Lê Duẩn, thành phố Buôn Ma Thuột,
Đắk Lắk, Việt Nam

TĨM TẮT: Bài viết trình bày một số vấn đề về năng lực, sự khác biệt giữa dạy học theo
hướng tiếp cận năng lực và dạy học theo hướng tiếp cận nội dung cho học sinh. Nhóm
tác giả nêu lên 7 nhóm năng lực cần hình thành cho học sinh khi dạy học mơn Tốn là:
Năng lực phán đốn, năng lực mơ tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát; Năng lực
xây dựng các khái niệm, quy tắc, các quan hệ toán học theo hệ thống từ các trường hợp
riêng đến trường hợp tổng quát; Năng lực vận dụng các quy tắc suy luận trong giải toán;
Năng lực vận dụng phép biện chứng của tư duy Toán học; Năng lực kết hợp quy nạp
và suy diễn trong giải toán; Năng lực xây dựng và kiểm chứng giả thuyết; Năng lực phát
hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tịi kiến thức. Bên cạnh
đó là những lưu ý cho giáo viên trong việc lựa chọn linh hoạt, sáng tạo các năng lực phù
hợp để hình thành cho học sinh khi dạy học mơn Tốn nhằm đáp ứng ngày một tốt hơn
chương trình giáo dục phổ thơng mới nói chung, chương trình mơn Tốn mới ở trường
phổ thơng nói riêng.
TỪ KHỐ: Dạy học; mơn Toán; năng lực; giáo viên; học sinh.
Nhận bài 30/01/2018

Nhận kết quả phản biện và chỉnh sửa 17/3/2018

1. Đặt vấn đề

Chương trình (CT) mơn Tốn sau 2019 được xây dựng
theo định hướng phát triển 6 phẩm chất (Yêu đất nước, yêu
con người, chăm học, chăm làm, trung thực, trách nhiệm)
và 10 năng lực (NL) của người học (NL chung: Tự chủ và tự
học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề (GQVĐ) và sáng
tạo; NL chun mơn: Ngơn ngữ, tính tốn, tìm hiểu tự nhiên
và xã hội, cơng nghệ, tin học, thẩm mĩ, thể chất), đặc biệt NL
GQVĐ trong thực tiễn cuộc sống, nhằm phát huy tốt nhất
tiềm năng của mỗi học sinh (HS). Để đạt được mục tiêu trên,
CT mơn Tốn mới được Ban Soạn thảo xây dựng trên các
phương châm: Tinh giản, thiết thực, hiện đại và khơi nguồn
sáng tạo. Nội dung phải tinh giản, phản ánh những giá trị
cốt lõi, nền tảng của văn hóa tốn học. Đây là nội dung được
đề cập ở trường phổ thông (PT), phản ánh nhu cầu hiểu biết
thế giới cũng như hứng thú, sở thích của HS. CT chú trọng
tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế và các
môn học, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của các ngành
khoa học khác. Tính mới của mơn Toán sẽ giúp HS sau giai
đoạn giáo dục (GD) PT có thể hội nhập quốc tế. Chúng ta
muốn đưa đất nước đi lên thì phải có con người sáng tạo. Do
đó, GD tốn học PT cần khơi gợi sự sáng tạo ấy ở mỗi HS.
Ngoài ra, CT mới đã kế thừa và phát huy những ưu điểm của
CT hiện hành, có sự phân hóa để đáp ứng nhu cầu học Toán
của HS. Quán triệt tinh thần ai cũng được học Tốn nhưng
mỗi người có thể học Tốn theo cách phù hợp với sở thích và
NL cá nhân. Bên cạnh đó, CT có tính mở để thực hiện chủ
trương “một chương trình nhiều bộ sách giáo khoa (SGK)”,
dành sự sáng tạo cho tác giả SGK và giáo viên (GV) khi dạy

Duyệt đăng 25/3/2018.

học (DH). Việc nghiên cứu DH mơn Tốn ở trường PT theo
hướng hình thành NL cho HS là việc hết sức cần thiết, có ý
nghĩa lí luận và thực tiễn.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Một số vấn đề cơ bản về năng lực
2.1.1. Năng lực

NL là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả
năng hồn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng
(CL) cao [1].
Có nhiều loại NL khác nhau. Việc mơ tả cấu trúc và các
thành phần NL cũng khác nhau. Cấu trúc chung của NL hành
động được mô tả là sự kết hợp của 4 NL thành phần: NL
chuyên môn; NL phương pháp; NL xã hội; NL cá thể.
Mơ hình cấu trúc NL được cụ thể trong từng lĩnh vực
chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau. Cấu trúc của khái niệm
NL cho thấy GD định hướng phát triển NL không chỉ nhằm
mục tiêu phát triển NL chuyên môn bao gồm tri thức, kĩ năng
(KN) chun mơn mà cịn phát triển NL phương pháp (PP),
NL xã hội và NL cá thể. Những NL này có mối quan hệ chặt
chẽ với nhau. NL hành động được hình thành trên cơ sở có
sự kết hợp các NL này.
2.1.2. Các năng lực cốt lõi

Các NL cốt lõi bao gồm: Các NL chung (Tự chủ và tự học,
giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo), các NL
chun mơn (Ngơn ngữ, tính tốn, tìm hiểu tự nhiên và xã

hội, công nghệ, tin học, thẩm mĩ, thể chất) và các NL đặc biệt
(năng khiếu).
Số 03, tháng 03/2018

57


NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN

- Ba nhóm NL cốt lõi: Sử dụng một cách tương tác các
phương tiện thông tin và cơng cụ (khả năng sử dụng tương
tác ngơn ngữ, kí hiệu và văn bản; khả năng sử dụng tương tác
tri thức và thông tin; khả năng sử dụng tương tác các cơng
nghệ), tương tác trong các nhóm khơng đồng nhất (khả năng
duy trì các mối quan hệ tốt với những người khác; khả năng
hợp tác; khả năng giải quyết các xung đột), khả năng hành
động tự chủ (khả năng hành động trong các nhóm phức hợp;
khả năng tổ chức và thực hiện các kế hoạch về cuộc sống và
dự án cá nhân; khả năng nhận thức các quyền, lợi ích, giới
hạn và nhu cầu cá nhân).
- Tám NL cốt lõi: Giao tiếp bằng tiếng mẹ đẻ, giao tiếp
bằng tiếng nước ngồi, NL tốn học, NL trong khoa học tự
nhiên và công nghệ, NL kĩ thuật số, NL học tập (HT) (học
cách học), NL xã hội và công dân, sáng kiến và tinh thần kinh
doanh, ý thức văn hóa và khả năng biểu đạt văn hóa.
2.1.3. Sự khác biệt dạy học theo hướng tiếp cận năng lực và
dạy học theo hướng tiếp cận nội dung cho học sinh

a. Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung cho học sinh
CT được xây dựng theo mơ hình định hướng nội dung,

nặng về truyền thụ kiến thức, chưa chú trọng giúp HS vận
dụng kiến thức học được vào thực tiễn. Theo mơ hình này,
kiến thức vừa là “chất liệu”, “đầu vào” vừa là “kết quả”,
“đầu ra” của quá trình GD. Mục tiêu DH trong CT này được
đưa ra chung chung, không chi tiết và không nhất thiết phải
quan sát, đánh giá (ĐG) được cụ thể nên không đảm bảo rõ
ràng về việc đạt được CL DH theo mục tiêu đã đề ra. HS phải
học và ghi nhớ rất nhiều nhưng khả năng vận dụng vào đời
sống rất hạn chế. Ưu điểm của CT DH định hướng nội dung
là việc truyền thụ cho người học một hệ thống tri thức khoa
học hệ thống [2]. Ngày nay, DH định hướng nội dung khơng
cịn thích hợp, trong đó có những nguyên nhân sau:
Thứ nhất, việc quy định cứng nhắc những nội dung chi
tiết trong CT DH dẫn đến tình trạng nội dung chương trình
DH nhanh bị lạc hậu so với tri thức hiện đại. Do đó, việc rèn
luyện PP HT ngày càng có ý nghĩa quan trọng trong việc
chuẩn bị cho con người có khả năng HT suốt đời.
Thứ hai, CT DH định hướng nội dung dẫn đến xu hướng
việc kiểm tra, ĐG chủ yếu dựa trên việc kiểm tra khả năng
tái hiện tri thức mà không định hướng vào khả năng vận dụng
tri thức trong những tình huống thực tiễn. Theo CT này, GV
thường ra đề dưới dạng tự luận. Tuy nhiên, trong thực tế,
chúng ta chỉ cần sử dụng máy tính bỏ túi là đã có đáp số sau
cùng.
Thứ ba, do PP DH mang tính thụ động và ít chú ý đến khả
năng ứng dụng nên sản phẩm GD là những con người mang
tính thụ động. Do đó, CT GD này khơng đáp ứng được yêu
cầu ngày càng cao của xã hội và thị trường lao động đối với
người lao động về NL hành động, khả năng sáng tạo và tính
năng động.

Nhược điểm của DH theo hướng tiếp cận nội dung là tri
thức truyền đạt đến HS mang tính thụ động. Do có quy định
58 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

cứng nhắc trong nội dung nên khả năng tự tìm tịi và khám
phá kiến thức mới bị hạn chế dẫn đến HS không có khả năng
tự HT, tự nghiên cứu. Một nhược điểm không hề nhỏ của PP
DH theo hướng tiếp cận nội dung là cách kiểm tra, ĐG của
GV. Cụ thể, GV khơng thể ra đề theo hướng u cầu HS tìm
tịi khám phá kết quả mới. Điều này làm cho HS ngày càng
thụ động, khơng có khả năng sáng tạo.
b. Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực cho học sinh
CT được xây dựng theo mơ hình phát triển NL, thơng qua
những kiến thức cơ bản, thiết thực, hiện đại và các PP tích
cực hóa hoạt động của HS, giúp HS hình thành, phát triển
những phẩm chất và NL mà nhà trường, xã hội kì vọng.
GD định hướng NL nhằm mục tiêu phát triển NL HS, đảm
bảo CL đầu ra của việc DH, thực hiện mục tiêu phát triển
toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng NL vận dụng
tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho
con người NL giải quyết các tình huống của cuộc sống và
nghề nghiệp. CT này nhấn mạnh vai trò của HS với tư cách
chủ thể của quá trình nhận thức [3].
CT tiếp cận NL mục tiêu của từng cấp học được viết cụ
thể hơn. Theo đó, CT cấp Tiểu học nhằm giúp HS hình thành
những cơ sở ban đầu cho việc phát triển hài hòa về thể chất
và tinh thần, phẩm chất và NL được nêu trong mục tiêu CT
GD PT; định hướng chính vào giá trị gia đình, dịng tộc, quê
hương, những thói quen cần thiết trong HT và sinh hoạt; có
được những kiến thức và KN cơ bản nhất để tiếp tục học

trung học cơ sở. CT GD cấp Trung học cơ sở nhằm giúp HS
duy trì và nâng cao các yêu cầu về phẩm chất, NL đã hình
thành ở cấp Tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn
mực chung của xã hội; hình thành NL tự học, hoàn chỉnh tri
thức PT nền tảng để tiếp tục học lên trung học PT, học nghề
hoặc bước vào cuộc sống lao động. CT GD cấp Trung học PT
giúp HS hình thành phẩm chất, NL của người lao động, nhân
cách công dân, ý thức quyền và nghĩa vụ đối với Tổ quốc
trên cơ sở duy trì, nâng cao và định hình các phẩm chất, NL
đã hình thành ở cấp Trung học cơ sở; có khả năng tự học và
ý thức HT suốt đời, có những hiểu biết và khả năng lựa chọn
nghề nghiệp phù hợp với NL và sở thích, điều kiện và hoàn
cảnh của bản thân để tiếp tục học lên học nghề hoặc bước vào
cuộc sống lao động.
2.2. Hình thành năng lực cho học sinh ở trường phổ thơng khi
dạy học mơn Tốn

Có nhiều cách phân loại NL, chẳng hạn phân loại theo
nguồn gốc phát sinh (gồm NL tự nhiên và NL xã hội), theo
chun mơn hóa (gồm NL chung và NL riêng) và theo mức
độ sáng tạo (gồm NL tái tạo và NL sáng tạo) [4]. Trong HT
mơn Tốn của HS ở PT, các NL cần hình thành cho các em
được phân loại dựa theo mức độ sáng tạo. Hình thành NL cho
HS khi HT mơn Tốn ở PT nhằm làm tăng khả năng tiếp thu
kiến thức, khả năng giải tốn và khả năng tìm tịi phát hiện
kiến thức mới. Các NL chủ yếu cần hình thành cho HS trong
DH mơn Tốn là:


íng

dụ
2: vận
Chứng
minh
rằng:
“Nếu
3n
+đề
2ởquen
là
số
lẻđộ
thìcụ
nở
là
số
lẻ”.
Giả
sử
ngược
lại
NL
dụng
các
quy
tắc
suy
luận
địi
hỏi

mức
độthuộc
cụ
thể
cao.
HS
cần
lựa
chọn
các
quy
tắc
suy
luận
địi
hỏi
mức
thể
cao.
HS
cần
lựa
chọn
thuộc
-bài
các
bài
tốn
tương
tự

đã
giải.
đề
quen
-0,các
bài...)
tốn
tương
tự
đãđề,
giải.
2
đề
quen
thuộc
các
tốn
tương
tự
đã
giải.
khả
năng
biến
đổi
vấn
đề,
biến
đổi
các

bài
tốn.
Nhờ
q
trình
biến
đổi
vấn
đề,
biến
tế
nhiều
bàibiến
tốnHS
phải
giải+thuộc
bằng
suy
dụng
PP
suy
luận
trực
tiếp.
Tức
là
giả
sử
n
là

số
lẻ.
n
=
2k
+
1
(k
=
1,
2,
⇒Thực
nNL
= (2k
khả
năng
biến
đổi
vấn
đề,
biến
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
q
trình
biến
đổi

vấn
đổi
PPtốsuy
hợp luận
để GQVĐ.
xác vào
định
suy
luận
của
phụ
= 2(3k
1đổi
) làPP
sốvào
chẵ
hợp để GQVĐ. Yếu
xácluận
địnhthích
NL suy
của HSYếu
phụ tố
thuộc
của
phép
kéo
theo
là
sai,
tức

n
là
chẵn.
Ta
có
n
=
2k
(k
∈
N)
⇒
3n
+
2
=
3.2k
+
2
2
2
2thì
Ví
dụ
1:
Chứng
minh
rằng:
“Nếu
n

là
số
lẻ
n
là
số
lẻ”.
Ở
đây,
HS
có
thể
sử
luận
thích
hợp
để
GQVĐ.
Yếu
tố
xác
định
NL
suy
luận
của
HS
phụ
thuộc
vào

Ví
dụ
1:
Chứng
minh
rằng:
“Nếu
n
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
Ở
hyhợp
GQVĐ.
Yếu
tố
xác
định
NL
suy
luận
của
HS
phụ
thuộc

vào
2để
2
2
Kiều
Mạnh
Hùng,
Nguyễn
Thanh
Hưng
Ví
1:Vậy
Chứng
rằng:
“Nếu
nhuống
là
lẻmới
thìdụ
n–2:
là
sốbài
lẻ”.tốn
Ở đây,
HS
cóVíthể
sử
Ví
Chứng
minh

rằng:
“Nếu
3n
2đổi
làđâs
+ 1)
=bài
4k tốn,
+các
4k +bài
1khả
=tốn,
2(2k
+HS
2k)
+ 1các
làdụ
lẻ.
nếu
nminh
là tình
số
lẻ
thì
n tình
làmới
số
lẻ.–sốcác
dụ
3:+ Chứn

có
thể
quy
các
vấn
đề
trong
các
lạ
về
các
vấn
các
HS
có
thể
quy
vấn
đề
trong
huống
bài
tốn
lạ
về
các
vấn
năng
biến
đổi

vấn
đề,
biến
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
q
trình
biến
đổi
vấn
đề,
biến
vấn
đề,
biến
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
q
trình
biến
đổi
vấn
đề,
biến

đổi
) là
số chẵn.
Vậy
Nếu
3n hợp,
+hợp,
2 làkhái
sốdụng
lẻqt
thìPP
nhóa,
làsuy
sốtrừu
lẻ. trực
2
2⇒
luận
tiếp.
Tức
làsử
giả
sử
nvấn
là
số
= 12k
+n=1là
(ksố
= là

0,sai,
1,
...)
nchẵn.
(2k1,
ả,
, 1vấn
so
so
sánh,
sánh,
phân
phân
tích,
tích,
tổng
tổng
khái
qt
hóa,
trừu
dụng
PPtrình
suy
tiếp.
Tức
lànbiến
giả
sử
lẻ.

n =2,⇒
2k
1 (2k
(k
= 0,
dụng
PP
suy
luận
trực
tiếp.
Tức
là
giảluận
ntrực
là
số
lẻ.
nđề,
=lẻ.2k
+
(k
0,
1,
2,
...)
nn+
=là
biến
đổi

đề,
biến
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
q
biến
đổi
đổi
iăng
đề,Thực
biến
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
q
biến
đổi
vấn
đề,
biến
đổi
kết
luận
của
phép

kéo
theo
tức
tếvấn
nhiều
bài
tốn
phải
giải
bằng
PPtrình
suy
luận
gián
tiếp.
thực
gồm
hai
tập Ta
con
đề
quen
thuộc
các
bài
tốn
tương
tự
đã
giải.

đề
quen
thuộc
các
bài
tốn
tương
tự
đã
giải.
các
tốn,
HS
thể
các
đề
tình
huống
mới
–lẻ.
các
bài
quy
các vấn
trong
mới
–quy
các
bài
tốn

lạtrong
các
vấn
2= là
22có
2 giả
2 tốn lạ về các2 vấn
í thể
dụ 3:
Chứng
minhđề
rằng
“bài2 tình
là số2huống
vơ
tỉ”.
Ta
sử+ +
số4k+hữu
tỉvề
(vì
tập
số
2vấn
2 2k)
2Vậy
+
1)
=
4k

+
4k
1
2(2k
+
1
là
lẻ.
Vậy
nếu
n
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ.
1)
=
+
4k
+
1
=
2(2k
+
2k)
+

1
là
nếu
n
là
số
lẻ
thì
n
là
số
+tình
1) đề
=
4k
+
+21là–
=huống
2(2k
+
2k)
+–1sốcác
là
lẻ.
Vậy
nếu
n+ là
lẻsốthì
n làVậy
số lẻ.

=tốn
2(3k
1về
)sốlà
chẵn.
Nếu 3n + 2 là số lẻ thì
Ví
dụ
Chứng
“Nếu
3n4k+
số
lẻ bài
thìmới
ntốn
là
Giả
sử
ngược
lại
ài tốn,
HS
có2:Nhóm
thể
quy
cáctáirằng:
vấn
trong
tình
bài

các
vấn
có
thể quy
các
vấn
đề minh
trong
huống
mới
các
lạlẻ”.
về
các
vấn
2 lạ
2
2.2.1.
năng
lực
tạo
tập
số
hữu
tỉ,
hai
tập
con
này
khơng

giao
nhau).
Khi
đó
a,
Khi
đó
a,
b

N
(b
≠
Ví
dụ
Chứng
minh
rằng:
“Nếu
n thì
là
số
lẻnhau).
thì
nPPlàsuy
sốđây,
lẻ”.gián
Ở đây,
HSsử
có gián

thể tiếp.
sử
Víluyện
dụ
1:các
Chứng
rằng:
“Nếu
ncon
là
số tốn
lẻ
ngiao
là
số
lẻ”.
Ở
HS
có
thể
m
hai
tập rèn
con
là
tập
số
vơ
tỉthành
và1:minh

tập
số
hữu
tỉ,bài
hai
tập
này
khơng
đề
quen
thuộc
- các
tốn
tương
tự
đã
giải.
bài
tốn
tương
tựcác
đã
giải.
Thực
tế
nhiều
bài
phải
giải
bằng

luận
tiếp.
cần
cần
được
được
rèn
luyện
NL
NL
thành
tố
tố
như:
như:
NL
NL
xem
xem
xét
xét
Thực
tế
nhiều
bài
tốn
phải
giải
bằng
PP

suy
luận
Thực
tế
nhiều
bài
tốn
phải
giải
bằng
PP
suy
luận
gián
tiếp.
kết luận của
phép
theo
là năng
sai, tức
n làtả,chẵn.
Taphân
có ntích,
= 2k (kb ∈ N)
⇒≠3n
2 b=Ví
3.2k
a. Năng
lựckéo
phán

đốn,
lực mơ
so sánh,
N (b
0, a+và
khơng
số chung)
cho:“ 2 =là số vơ tỉ”.
dụ +có
3:2ước
Chứng
minhsao
rằng

en bài
thuộc
- các
bàitự
tốn
ác
tốn
tương
đã tương
giải. tự đã giải.

a2

an.làBình
222 ...)
22

2là=số(2k
2(k
2 mơ
tổng
khái
hóa,
trừu
tượng
hóa,
hình
hóa
phương
hai
có:
2lẻ
a(2k
dụng
PP
trực
tiếp.
Tức
là
giả
sử
ndụ
số
lẻ.
n1hai
=
2k

+talàlẻ
1n1,
0,
1,là
⇒
dụng
PP
suy
luận
trực
tiếp.
Tức
giả
sử
nnminh
là
số
lẻ.
=
2k
+thể
(k
=vế
⇒
n2,tập
vế
có:
22,
==n=...)
2b

=lẻ”.
asố
⇒
a2thì
là ngược
số
chẵn
⇒G
Ví
dụ
2:
Chứng
minh
rằng:
“Nếu
3n
+
2ta0,
số
thì
n⇒
Giả
sử
lại
hệ
ệ tốn
trong
mối
quan
quan

hệ
hệ
giữa
giữa
cái
cái
chung
chung
và
và
cái
cái
2đây,
a,
bminh
 học
Nhọc
≠)hợp,
0,
amối
và
bqt
khơng
có
ước
số
chung)
sao
cho:
=“Nếu

. 2:
Bình
phương
Ví
minh
rằng:
“Nếu
+
2số
lẻanHS
làlạithể
số
Víluận
dụ
1:
Chứng
minh
rằng:
nChứng
là
số
lẻ
thì
là
số
lẻ”.
Ở=là
đây,
sử
ng

“Nếu
nsuy
là
số
lẻ
thì
nlà
số
lẻ”.
Ởsố
HS
có
sử
2 3n
Ví
dụ
2:là
Chứng
rằng:
“Nếu
3n
+
2
là
số
thì
là
số
lẻ”.
Giả

sử
ngược
=tốn
2(3k
+(brằng:
1trong
là
số
chẵn.
Vậy
Nếu
3n
+
2
là
số
lẻ
thì
là
lẻ.
thực
gồm
hai
tập
con
là
số
vơ
tỉ
vàncó

tập
số lẻ”.
hữu
b
b
2
2
Để
có
được
các
NL
này,
HS
cần
được
rèn
luyện
các
NL
Ví
dụminh
1:
Chứng
minh
ntự,
sốphép
lẻhệlẻ”.
thì
ntheo

sốsai,lẻ”.
Ở
đây,
HS
có
thể
sử(k ∈ N) ⇒23n +2 2 = 3.2k
hứng
rằng:
nrằng:
là số“Nếu
lẻ thì
nlàcủa
là
số
Ởlàđây,
HS
có
thể
sử
2“Nếu
2đã
2với
2là lẻ
kết
luận
kéo
làchẵn
tức
n=

là
chẵn.
Ta
n2n2n(k
=1clà
2k
2 3
g,ực
quan
quan
hệVí
đã
biết
biết
với
các
các
đối
tượng
tương
tương
tự,
quan
hệ
2là
kết
luận
của
phép
kéo

theo
sai,
tức
là
Ta
có
=3.2k
2k
(kn
⇒
+
1)
=
+tượng
4k
+luận
1luận
2(2k
+vơ
2k)
+Tức
1quan
là
lẻ.
Vậy
nsố
là
thì
lẻ.
kết

kéo
theo
là
sai,
tức
n⇒
làsố
chẵn.
Ta
có
n⇔
=có
2k
∈(kchẵn.
N)
⇒
3n
+
2=nchẵn
=4c
+b2∈2là
2lẻ.
2=
2số
+ hệ
1)
=dụ
4k
+
4k

12 là
=
2(2k
+phép
1+quan
là
lẻ.
Vậy
nếu
n 2sử
là
lẻ
thì
nsố
là
số
lẻ.
thành
tố
NL
xem
xét
các
đối
tượng
tốn
các
chẵn.
Đặt
a2k

=số
2c,
N.
dụng
PP
suy
trực
tiếp.
là
giả
nnếu
số
n
+
=0,Ta
0,
1,
2,khơng
...)
⇒⇒
=N)+(2k
tiếp.
Tức
là
giả
sử+4k
nđối
số
lẻ.
n=2k)

=
2k
1học,
(k
=
0,
1,
2,
...)
nalà
(2k
2của
3:như:
Chứng
minh
rằng
“+
là
số
tỉ”.
Ta
giả
sử
làsố
hữu
tỉ
(vì
tập
2b
=

4c
b
=
2c
⇒
ba2có
là2b
số
số
ch
Khi
đó
a,
b

N
(b
≠
và
b
có
ước
số
ch
2
2
2
2
2
hệ Tức

tốntrực
học
trong
mối
quan
hệ
giữa
cái
chung
và
cái
riêng;
b
=
2c
b
là
số
chẵn
b
là
số
chẵn.
Vậy
a,
b
đều
có
ước
PP

luận
Tức
là
giả
sử
n
là
số
lẻ.
n
=
2k
+
1
(k
=
0,
1,
2,
...)
⇒
n
=
(2k
trựcsuy
tiếp.
là tiếp.
giả sử
n
là

số
lẻ.
n
=
2k
+
1
(k
=
0,
1,
2,
...)
⇒
n
=
(2k
2(3k
+là 1số
) là
sốtỉ,
chẵn.
Vậy
Nếu
3n
+số
2luận
là
số
lẻnNếu

thì
n3nlà+số2 lẻ.
=Vậy
2(3k
+ 1con
) là
số
chẵn.
Vậy
là số2 lẻ thì n là số lẻ.
=nhiều
2(3k
)số
sốbiết
chẵn.
Nếu
3n
+lẻ.
2làgián
là
lẻ
thì
là
số
2vơ7=tỉ+
Thực
tếtượng,
bài
phải
giải

bằng
suy
gián
tiếp.
hai
tập
là2đối
tập
số
và
hữu
hai
tập
này
giao
nhau).
Thực
nhiều
tốn
giải
bằng
PP
suy
luận
tiếp.
Điều
mâu
sỡ thuẫn
dĩ lẻ.
có

1)
=bài
4k
+quan
4k
1tốn
=lẻ
2(2k
2k)
+lẻ.
1chung
làPP
Vậy
nếu
nnày
là
sốlẻ.lẻsỡthuẫn,
thì
n mâu
là
số
liên+
tưởng
các
đã
với
đối
2.khơng
Điều
này

mâu
thuẫn,
dĩ có
nàymâu
là do thuẫn này
=thực
2(2kgồm
+NL2k)
1tếcon
là+
lẻ.
Vậy
nếu
nphải
là1+hệtập
thì
n+2các
là
số
2 gián
2
2 số
này,
ày,
HS
gia
vào
vào
việc
việc

tìm
tìm
kiếm
kiếm
bản
bản
chất
chất
2
2
Ví
dụ
3:
Chứng
minh
rằng
“
là
số
vơ
tỉ”.
Ta
giả
sử
là
số
hữu
=14k
+gián
4k

+tiếp
1tham
=tham
+
2k)
+ 1nếu
là
lẻ.
Vậy
nếu
n
là
lẻ
thì
n
là
số
lẻ.
tượng
tương
tự,
quan
hệ
tương
tự.
ta
giả
sử
là
số

hữu
tỉ.
Vậy
phải
là
số
vơ
tỉ.
2
2 làsố
Ví
dụ
3:
Chứng
minh
rằng
“
là
số
vơ
tỉ”.
Ta
giả
sử(vìsốtập
số
=HS
2(2k
+tiếp
2k)
+2(2k

1gia
là
lẻ.
Vậy
n
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ.
2 là số hữu tỉ (vì tỉtập
Ví dụ
3: Chứng
rằng
là
sốsố
vơlẻtỉ”.
Ta
sửsốlẻ”.
2phương
Vậy
phải
làsố
vơ
tỉ.Giả
Ví
2:minh

Chứng
minh
“Nếu
3n
+bằng
là
thì
nsửgiả
là
sử
lại 7
Víb việc
dụ
Chứng
rằng:
“Nếu
3nminh
+
2sao
làgiải
số“Trong
lẻ222thì
naluận,
số
lẻ”.
Giả
sử
ngược
lạingược
Khitốn

đó a,
giải
N2:
(bbằng
≠ 0,dụacác
và
bsuy
khơng
có
ước
số
chung)
cho:
=PP
.là
Bình
Thực
tếluận
nhiều
bài
tốn
phải
suy
luận
gián
tiếp.
u bài
phải
PP
gián

tiếp.
Qua
rèn
luyện
NL
này,
HS
gián
tiếprằng:
tham
gia
vào
suy
có
thể
dụng
PP
suy
luận
trực
tiếp
hay
hể
ểThực
được
được
thực
hiện
hiệnbài
theo

theo
hướng
hướng
có
cógiải
cấu
cấu
trúc,
trúc,
có
có
hướng
hướng
thực
gồm
hai
tập
con
làgồm
số
vơ
tỉTuy
vàbsốtập
sốcó
hữu
tập
con
này
khơng
giao

nhau).
thực
hai
tậptập
con
làhữu
tập
sốnhững
vơtỉ,tập
tỉhai
vàcon
tậpnày
số hữu
tỉ,
hai
con
này kh
thực
gồm
hai
tập
con
là
tậpthể
sốtập
vơgián
tỉ và
tỉ,
hai
khơng

nhau).
tế
nhiều
tốn
phải
bằng
PP
suy
luận
gián
tiếp.
iều
bài thực
tốn
phải
giải
bằng
PP
luận
gián
tiếp.
việc
tìm
kiếm
bản
chất
của
bàisuy
tốn.
Hành

động
này
có
tiếp.
nhiên,
bài
tốn
khơng
thểsử
sửgiao
dụngtập
PP
Trong
suy
luận,
có
thể
dụng
PP
suy
kết
luận
của
phép
kéo
theo
là
sai,
tức
n

là
chẵn.
Ta
có
n
=
2k
(k
∈
N)
⇒
3n
+
2
=
3.2k
+
2
kết
luận
của
phép
kéo
là
sai,
tức
làsố
chẵn.
Ta“Nếu
có luận

n3n
= trực
2k
(klà
∈được
N) hoặc
⇒thì
3n
2 trực
=số3.2k
+Giả
2bàia giải
dụ
2:
Chứng
rằng:
+ 2tiếp
số
lẻ
n+ là
lẻ”.thì
sử sẽngược luận
lại
ng giải
minh
rằng:
“Nếu
3n
+Vítheo
2Tốn

là cấu
số
lẻđể
thì
nnminh
là
lẻ”.
ngược
lại
được
thực
hiện
theo
hướng
có
trúc,
có
hướng
dẫn.
Mục Giả
suysử
sử dụng
tiếp
diễn
iễn
giảicác
các
kết
kết
quả

quả
đúng
đúng
trong
trong
Tốn
học
học
để
giải
giải
đáp
đáp
achung)
2 dụng
Khi
đó
a,
b (b

Nsố
(b
≠và
0,
aa,
và
b khơng
có
ước
số

chung)
sao
cho:
=Bình.PP
Bình
phương
2 trực
Khi
đó
b
N
(b
≠
0,
a
và
b
khơng
có
ước
số
sao
cho:
=
Ví dụminh
2:đích
Chứng
minh
rằng:
“Nếu

3n
+
2
là
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
Giả
sử
ngược
lại
2
Khi
đó
a,
b

N
≠
0,
a
b
khơng
có
ước
số
chung)

sao
cho:
=
.
phương
những
bài
tốn
khơng
thể
sử
suy
luận
hứng
rằng:
“Nếu
3n
+
2
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
Giả
sử
ngược

lại
cuối là tập hợp và diễn giải các kết quả đúng trong toán dài và phức tạp hơn. Ngồi việc rèn luyện NLbsuy luận
7+theo
=1tức
2(3k
+
1luận
) làcủa
số
chẵn.
Vậy
Nếu
3n
+lẻ
2thì
là n+
số
lẻ=
thì
n là
sốcólẻ.n = 2k (k ∈ N) ⇒ 3n b+ 2trực
= 2(3k
+
)
là
số
chẵn.
Vậy
Nếu
3n

2
là
số
là
số
lẻ.
kết
phép
kéo
là
sai,
tức
n
là
chẵn.
Ta
=
3.2k
+
2
éo theo
là
sai,
n
là
chẵn.
Ta
có
n
=

2k
(k
∈
N)
⇒
3n
2
3.2k
+
2
học để giải đáp yêu cầu của bài toán.
tiếp và gián tiếp,
GV
cũng
cầnvà
chú
ý rèntạp
luyện
choNgồi
HS suy
bài
giải
sẽ=dài
phức
hơn.
việc rèn luy
Có
thể
đặt
câu

hỏi
“Khi
đã
có
x
x
các
ận
phép
kéo
theo
là
sai,
tức
là
chẵn.
Ta
có
n
=
2k
(k
∈
N)
⇒
3n
+
2
3.2k
+

2
1 nvà
2n thì
kéocủa
theo
là
sai,
tức
n
chẵn.
Ta
có
=
2k
(k
∈
N)
⇒
3n
+
2
=
3.2k
+
2
2
2
2
Ví
Xét3:

Định
lídụ
Viet:
Nếu
trình
hai
phản
chứng
và2giả
suy
luận
quy
uuphương
phương
trình
bậc
bậc
hai
hai
ax
ax
++3:
bx
bx
+)+phương
clà
cn=rằng
=
00minh
(a

(a“lẻ.
≠≠bậc
0)
có
cóax
2bx3n
2 nạp.
Ví
Chứng
rằng
“ +vơ
là luận
sốTa
vơ
tỉ”.
Ta
làtỉsố
20)
Vídụ:dụ
Chứng
minh
là
số
tỉ”.
giả
sử
làlàsử
số
hữu
(vìhữu

tập tỉsố(vì tập số
=
2(3k
+
1
số
chẵn.
Vậy
Nếu
+
2
là
số
lẻ
thì
n
số
lẻ.
hẵn.
Vậy+trình
Nếu
3n
+
2
là
số
lẻ
thì
là
số

cũng
ý rèn
HS suy luận phản
c = 0 (a ≠
0) cótrả
x1, xđa
tổng và
tích
các nghiệm
c. Năng lựcGV
kết hợp
quycần
nạpchú
và suy
diễnluyện
trongcho
giải tốn
2 thìdạng
nghiệm
này?”.
Câu
rất
HS
kmột
+ 1số)Vậy
làcủa
số
chẵn.
Vậy
Nếu

3n
+
2ncbuộc
là
số
lẻ
thì
là hỏi
sốđốn.
lẻ.
chẵn.
Nếu
3n
+
2=nghiệm
là
lẻ×động
thì
sốvì
lẻ.
hoạt
động
buộc
một
HS
phải
số
hoạt
phán
đốn.

Có
HS
thể
phải
đặtncâu
phán
“KhiCó
đãthể
có
đặt
xhợp
câu
x72hỏi
thì
“Khi
các
đãdiễn
có trong
x17vàgiải
x2 thì
các
17 và
blời
b số
clà
nó
là:
x
+
x

;
x
x
=
.
Việc
kết
quy
nạp
và
suy
tốn
giúp
thực
gồm
hai
là
số
vơ
tỉ
tập
tỉ,con
hai
con
này
nhau).
−−số
2là
11×
22=

ghiệm
hiệmminh
của
củanó
nó
là:
là:
xhai
x“1 1+1+2xtập
x2 2=
=con
;Ví
;vơ
xtập
x1dụ
×xcon
x23:
=Chứng
.giả
. tập
thực
gồm
là
tập
số
vơ
tỉ sử
và
tập
sốvà

hữu
tỉ,
tập
khơng
giao
nhau).
2số
2khơng
minh
rằng
“hữu
làhữu
số
vơ
tỉ”.
Ta
là
sốvàgiao
hữu
tỉHS
(vì
tậpgiải
số t
2 là
ng
rằng
tỉ”.
Ta
số
tỉhai

(vì
tập
số này
c.tập
NLgiả
kết sử
hợp
quy
nạp
suy diễn
trong
a
a
a
a
án
đốn.
Có
thể
đặt
câu
hỏi
“Khi
đã
có
x
và
x
thì
các

1
2
nhận
thức
các
lớp
đối
tượng
và
quan
hệ
có
tính
chất
chung
của
em
có
thể
thực
hiện
phép
em
tính
có
thể
gì
thực
đối
với

hiện
hai
phép
nghiệm
tính
này?”.
gì
đối
với
Câu
hai
trả
nghiệm
lời
rất
đa
này?”.
dạng
Câu
vì
HS
trả
lời
rất
đa
dạng
vì
HS
g,
trừ,

nhân,
chia,
bình
phương,
lấy
căn
bậc
2 là
Ví dụminh
3: Chứng
“ tỉ”.
vơsử
tỉ”. Ta
hữu
2 làrằng
2 làgiả
hứng
rằng “minh
số vơ
Tasốgiả
sốsử
hữu 2tỉ là
(vìsốtập
số tỉ (vì atập số a
Việc
phám
phá
ra
định
lí hữu

này
khơng
q
khó
nếu
HSnày
thường
chúng.
Để số
thu
được
các
mơ
hình,
địicon
hỏi HS
phải
tiến
các trong
Việc
nạp
và hành
suy giao
diễn
giả
thực
gồm
hai
tập
con

là
tập
số
vơ
tỉ
và
tập
hữu
tỉ,
hai
tập
khơng
nhau).
on
là
tập
số
vơ
tỉ
và
tập
số
tỉ,
hai
tập
con
khơng
giao
nhau).
này

ày
khơng
khơng
q
q
khó
khó
nếu
nếu
HS
HS
thường
thường
xun
xun
được
được
rèn
rèn
ối
với
hai
nghiệm
này?”.
Câu
trả
lời
rất
đa
dạng

vì
HS
2 quy
Khi
đó
a,
b

N
(b
≠
0,
a
và
b
khơng
có
ước
số
chung)
sao
cho:
= này
.hành
Bình
ể
đặt
câu
hỏi
“Khi

đã
có
x
và
x
thì
các
2diễn,
Khi
đó
a,
b

N
(b
≠
0,
a
và
b
khơng
có
ước
số
chung)
sao
cho:
=kết
.hợp
Bình

phương
1 lời
2 có
có
thể
trảxun
lời
làđược
có thể
có
thực
thể
hiện
trả
phép
là
cộng,
thể khi
trừ,
thực
nhân,
hiện
phép
chia,
bình
cộng,
phương,
trừ,quy
nhân,
lấy

chia,
căn
bậc
bình
phương,
lấy
căn
bậcphương
rèn
luyện
NL
phán
đốn.
Sau
học
cơng
thức
thao
tác
nạp
và
suy
kết
hợp
với
các
động
như:
và
nhân

hai
nghiệm
x
,
x
là
được
một
biểu
1
2
bchất chung của chúng. Để
gồm
tậpsốcon
tậptập
số vơ
tỉ và tỉ,
tậphai
sốtập
hữucon
tỉ, hai
congiao
này tượng
khơngvàgiao
bnhau).
con hai
là tập
vơ là
tỉ và
số hữu

này tập
khơng
nhau).
quan
hệ cókhái
tính
cơng
ơng
thức
thức
nghiệm
nghiệm
của
của
phương
phương
trình
trình
bậc
bậc
hai,
hai,
GV
GV
gợi
gợi
ýýhoạt
atrừu tượng
nghiệm
của

phương
trình
bậc
hai,
GV
gợi
ý một
số
động
tả,x2so
sánh,
phân
tích,
tổng
hợp,
qt
hóa, biểu
phép
cộng,
trừ,
nhân,
chia,
bình
phương,
lấy
căn
bậc
a Mơ
hai,…
Tuy

nhiên,
ở
đây
hai,…
ta
thấy
Tuy
chỉ
nhiên,
có
tổng
ở
đây
và
ta
nhân
thấy
hai
chỉ
nghiệm
có
tổng
x
,
và
nhân
là
được
hai
một

nghiệm
biểu
x
,
x
là
được
1
1
2
ệm
này?”.
Câu
trả
lời
rất
đa
dạng
vì
HS
2một
Khi
đó a,
bchung)

N (bsao
≠“Khi
0,
ađãvà
b=

khơng
cóTừ
ước
sốarút
chung)
sao
cho:
=
. Bình phương
bc.≠ 0, a và
khơng
có đốn.
ước
sốthể
cho:
.aBình
phương
buộcbHS
phải phán
Có
đặt câu hỏi
có 2x1 và
hóa,…
đó,
HS
ra
các
tính
chất
chung,

các
quan
hệ chung
tiến
hành
các
thao
tác
quy
nạp
và
suy diễn, kết hợ
b
b
6
6
2
ó
a,
b

N
(b
≠
0,
a
và
b
khơng
có

ước
số
chung)
sao
cho:
=
.
Bình
phương
hỉ
có
tổng
và
nhân
hai
nghiệm
x
,
x
là
được
một
biểu
2
(b
≠
0,
a
và
b

khơng
có
ước
số
chung)
sao
cho:
=
.
Bình
phương
1hệ 2số
thức
đơn xgiản
phụ
thuộc
thức
đơn
các
giản
phụ
a,
b,
thuộc
hệ số a, b,
c.
em
cóphương,
thểvào
thực

hiện
phép
tính
gìc.đốivào
với các
hai nghiệm
từ
các
lớp
đối
tượng,
hiện
tượng
mn
màu
mn
vẻ
để
dẫn
2 thì các
, nhân,
chia,
bình
lấy
căn
bậc
b
b7
cho
NL

khái
hóa.
từ thực7 hiện đến
sánh,mới,
phân
tổng
hợp, khái qt hóa, trừu tượn
này?”.
CâuHS
trả lời
rất đa
dạngqt
vì HS trả
lời làVì
có thể
các khái niệm
các tích,
lí thuyết
mới.
ệrèn
số a,luyện
b,
c.
Bên cạnh đó, GV cần Bên
thường
cạnhxun
đó, GV
rèn cần
luyện
thường

cho HS
xun
NL rèn
kháiluyện
qt cho
hóa.HS
Vì NL
từ khái qt hóa. Vì từ
cộng, x
trừ,
bìnhmột
phương,
Ví dụ 4: Tính tổng n số nguyên lẻ đầu tiên. Trước hết, ta xét
hân hai phép
nghiệm
x2 làchia,
được
biểulấy căn bậc hai,...
1, nhân,
tính chất chung, các2 quan hệ chung từ các lớp đ
S
cóTuy
thể
mở
phát
biểu
được
định
lítrình
ngmới

xun
rèn
luyện
cho
NL
khái
qt
hóa.
Vìcó
từthể bậc
7có3,các
nhiên,
đây
taHS
thấy
chỉ
cóđối
tổng
nhân
nghiệm
x1,hai
với
nmới
= 1,biểu
2,
4, 5mở
tađịnh
có:
nlí= phát
1: 1 =biểu

1 = 1được
; n = 2:
1 + lí
3=4=
Định
lí Viet
đối
vớiởrộng
phương
Định
lí7trình
Viet
bậc
hai
vớivà
HS
phương
mớihai
mở
rộng
HS
phát
thể
được
rộng
định
2
2
2;thuyết mới.
7

7
x2 là
được
biểu
thức đơn
phụđược
thuộcđịnh
vào lí
các hệ số 2 ; n = 3: 1 + vẻ
3 +để
5 =dẫn
9 = đến
3 ; ncác
= 4:khái
1 + 3niệm
+ 5 + mới,
7 = 16các
= 4lí
bậc hai
HS
mới
có một
thể trong
mở
rộng
phátgiản
biểu
trong
phương
trình

bậc
ba.
phương
trình
bậc
ba.
2
a, b, c.
n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 .
Vítadụ
4:
Tính
tổng
n số ngun
lẻ đầu tiên. T
luyệnKhi
chorèn
HS
NL
khái
qt
hóa.
Vì
từ
Bên
cạnh
đó,
GV
cần
thường

xun
rèn
luyện
cho
HS
NL
Từ HS
các
kết
này,
có
thể HS
phánphát
đốntriển
tổng nnhóm
số ngun
cầnKhi
có kế
rèn
hoạch,
luyện,
biện
GV
pháp,
cần cónội
kế dung
hoạch,
giúp
biện
pháp,

phátquả
nội
triển
dung
nhóm
giúp
biện pháp, nộiluyện,
dungGV
giúp
HS
phát
triển
nhóm
2.
khái qt hóa. Vì từ Định lí Viet đối với phương trình bậc hai lẻ đầu tiên là ncó:
n = 1: 1 = 1 = 12; n = 2: 1 + 3 = 4 = 22; n = 3: 1
ếi hoạch,
biện
pháp,
nội
dung
giúp
HSqua
phát
triển
nhóm
cónày
thểthơng
mở
rộng

phát
biểu
được
định
lí
NL
qua
lồng
NL
ghép
này
các
thơng
câu
hỏi
gợi
lồng
động
ghép
cơ,
các
các
câu
tình
hỏi
huống
gợi
động
có
vấn

cơ,
đề,...
các
huống
có vấn
HScác
mới tình
có thể huống
mở rộng có
phátvấn
biểu đề,...
được định lí trong phương
Đối với HS trungtình
học PT,
khả năng
kháiđề,...
quát, tổng hợp các
động cơ,
2
=
16
=
4
;
n
=
5:
1
+ 3 +tổng
5 +quát

7 +thường
9 = 25 = 52.
trình
bậc
ba.
kiến
thức
rời
rạc
để
đưa
ra
những
kết
luận
âu hỏi b.
gợiNL
động
cơ,
các
tình
huống
có
vấn
đề,...
vận dụng các quyb.tắc
NLsuy
vậnluận
dụngtrong
các quy

giải tắc
tốnsuy luận trong giải tốn
rèn luyện, GV cần có kế hoạch, biện pháp, nội dung chưa tốt. Để cải thiệnTừ
điều
thường
rèn đốn tổng
rong giải Khi
tốn
cácnày,
kếtGV
quảphải
này,
ta có xun
thể phán
suy luận
giải
tốn
NLtrong
vậnHS
dụng
các
quy
tắc
NLNL
suy
vận
luận
dụng
địi
các

hỏi
quy
ở mức
tắc
suy
độcác
luận
cụ thể
địicao.
hỏi
HS
ởnày
mức
cần
độ
lựa
cụ
chọn
thể cao. HS cần lựa chọn
giúp
phát
triển
nhóm
này
thơng
qua
lồng
ghép
luyện
NL

cho
HS.
pháp, nội dung giúp HS phát triển nhóm
Đốivàvới
trung
PT, khả năng khái qu
ịi
hỏi ởđịi
mức
cụ
HS
cần
lựa
chọn
câu
hỏiđộ
độngthể
cơ, cao.
cácthể
tình
huống
cócần
vấn đề,...
d. Năng lực xây dựng
kiểmHS
chứng
giảhọc
thuyết
uy
ởgợimức

độ
cao.
HStố
chọn
PP luận
suy luậnhỏi
thích
hợp PP
để cụ
suy
GQVĐ.
luận
Yếu
thích
hợp
xáclựa
để
định
GQVĐ.
NL suy
Yếuluận
tố xác
của định
HS phụ
NL thuộc
suy luận
vàocủa HS phụ thuộc vào
b. Năng
lực vậncó
dụng

cácđề,...
quy tắc suy luận trong giải toán
Để giúp HS củng cố kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức mới,
g cơ, các tình
huống
vấn
đưa ra những kết luận tổng quát thường chưa tốt.
Yếu
tố xác
định
suy
luận
của
HS
phụ
thuộc
vàođộ
ác
định
NL
suy
luận
HS
thuộc
NL
vận NL
dụng
cáccủa
quy
tắc

suyphụ
luận
địi
hỏi
mức
cụcác
thể bài
ngồi
việc
bồi q
dưỡng
cácđổi
NL
bảnvấn
của hoạt
động đổi
phát hiện
khả
năng
biến
đổi
vấn
khả
đề,
biến
năng
đổi
biến
các
đổibài

vấn
tốn.
đề,ởvào
Nhờ
biến
q
đổi
trình
biến
tốn.
đổi
Nhờ
vấn
đề,
biến
trình
biếncơđổi
đề, biến
cao.
HS
cần
lựa
chọn
PP
suy
luận
thích
hợp
để
GQVĐ.

Yếu
tìm
tịi
kiến
thức
mới,
chúng
ta
cần
chú
trọng
bồi
dưỡng
NL
thường xun rèn luyện NL này cho HS.
giải
tốn
iốn.
cácbài
bài
tốn.
Nhờ
q
trình
biến
đổi
vấn
đề,
biến
đổi vấn

các
tốn,
HS
có
thể
các
quy
bài
các
tốn,
vấn
HS
đề
trong
có
thể
tình
quy
huống
các
mới
đề
–
trong
các
bài
tình
tốn
huống
lạ

về
mới
các
–
vấn
các
bài
tốn
lạ
về
các
vấn
Nhờ
q
trình
biến
đổi
vấn
đề,
biến
đổi
tố xác định NL suy luận của HS phụ thuộc vào khả năng biến xây dựng và kiểm chứng giả thuyết. Tức là bồi dưỡng NL
NLđểxây
dựnggiải
vàcác
kiểm
iđề
mức
độ
cụ

thểbiến
cao.
cần
chọn
nởđề
trong
tình
huống
mới
–HS
các
bài
tốn
lạq
vềtrình
các biến
vấn
đổi
vấn
đề,
đổi
các
bài
tốn.
Nhờ
đổitự
vấnđã giải.
huy động kiến thức vàd.PP
GQVĐ,
bài chứng

tốn. giả thuyết
quenhuống
thuộc
-mới
các
bài
đề
tốn
quen
tương
thuộc
tựlựa
-lạ
đã
các
giải.
bài
tốn
tương
g tình
–
các
bài
tốn
về
các
vấn
đề, biến đổi các bài tốn, HS có thể quy các vấn đề trong tình
Ví dụ 5: Có bao nhiêu
tự nhiên

số khác
nhau
Đểsốgiúp
HS gồm
củng6 chữ
cố kiến
thức
cũ, lĩnh hội
2
tự đã
giải.
Ví
dụ 1:luận
Chứng
minh
rằng:
Ví
dụ
“Nếu
1:các
Chứng
n vào
làđềminh
sốquen
lẻ thì
rằng:
n2 -là
“Nếu
số lẻ”.
ntrong

là Ởsố
đây,
lẻ
thì
HSnchữ
có
làsố
thể
số0 lẻ”.
sửchữ
Ở số
đây,
HS có thể sử
nh
NL
suy
của
HStốn
phụ
thuộc
huống
mới
–
các
bài
lạ
về
vấn
thuộc
các

đó
có
mặt
và
1?
.
2 đã giải.
các dẫn
NL cơ áp
bản củaquy
hoạt
phátthểhiện
tìm tịi kiến
bàisố
tốn
Cách
tắcđộng
nhân.
“Nếu n là
lẻ tương
thì
là sốTức
lẻ”.suy
Ởgiả
đây,
HS
dụng
luận
trựcn tự
tiếp.

dụng
PP
làđề,
luận
sửtrực
n đổi
là có
tiếp.
số thể
lẻ.Tức
n2sử=là2kgiả
+ 1sử(kn=là
0,số1,1:
lẻ.
2,Hướng
n...)= ⇒
2k n+2 1HS
= (k
(2k=dụng
0, 1, 2, ...)
⇒ n2 Cụ
= (2k cơng
Nhờ PP
qsuytrình
biến
đổi
vấn
biến
2
Víndụ là

1: Chứng
minh
lẻ 2thìsử
n là số lẻ”. việc ở đây là sắp
6 chữNL
số vào
6dựng
ô trống
có 1 ơ chứa
àgiảsố2sửlẻn thì
số
lẻ”.
Ởrằng:
đây,“Nếu
HSn là
cósốthể
dưỡng
xây
vàtrong
kiểmđóchứng
giả thuyết. Tức
2 (k = 20, 1, 2, ...) ⇒ n = (2k
2
2
số4k
lẻ.
==thể
2k
+1)1dụng
Ở2 +

đây,
HS
tiếp.
0,
ô chứa
số số
1, 4lẻơ thì
cịnnlại
chọn
+ 1) = 4klà
+n1có
2(2k
+ sử
+=2k)
4kPP++suy
14k
làluận
+lẻ.1trực
Vậy
= 2(2k
nếu+Tức
n2k)
làlàsố
+giả1lẻsử
làthì
lẻ.số
nVậy
là1số
nếu
lẻ.n là

là
số từ
lẻ.tập hợp E = {2; 3; 4; 5;
huống mới
–lẻ.các
bài+ 1toán
lạ1,về
các vấn
22= (2k + 1)2 = 4k2 +
và8PP
giải
2k
(k
=1,
2,
...)
6; 7; 8; 9} gồm
chữđể
số.GQVĐ,
Công việc
nàycác
có 3bài
giaitốn.
đoạn: Giai
à1số
lẻ.
nn là=tếsố
2k
+
1=bài

(k tốn
= thì
0,Thực
2,giải
...)
⇒ nnbài
=tốn
(2kluận
là lẻ.
Vậy
nếu
nn là
số
lẻ
n0,2 là
số
lẻ.
Thực
nhiều
phải
tế
nhiều
bằng
PP
suy
phải
gián
giải
bằng
tiếp.

PP
suy
luận
gián
tiếp.
2
4k + 1 = 2(2k + 2k) + 1 là lẻ. Vậy nếu n là số lẻ thì n là số lẻ. đoạn 1 - sắp chữ số 0; giai đoạn 2 - sắp chữ số 1; giai đoạn
8
giải
bằng
PP
luận
tiếp.
ậy nếu
là
sốChứng
thìgián
n2tốn
là
số
Thực
tếlẻ
nhiều
bài
phải
giải
bằng
suy
gián
tiếp.

3số-+sắp
chữ
tậpnE.
Ví ndụ
2:suy
minh
rằng:
Ví
dụlẻ.
“Nếu
2: Chứng
3n PP
+ minh
2 làluận
số
rằng:
lẻ thì
“Nếu
n là3n
lẻ”.
2 4làGiả
số số
sử
lẻtừthì
ngược
làlại
số lẻ”. Giả sử ngược lại
2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: “Nếu 3n + 2 là số lẻ thì n là số
Cách 2: PP giải gián tiếp. Chia tập hợp H = {các số gồm
lẻ

thì
ncủa
số
lẻ”.
Ở
đây,
HS
cónGiả
thể
“Nếu
3n
+là2phép
làgián
số
lẻtiếp.
thì
làsai,
số
lẻ”.
sửsử
ngược
lại
kết
luận
kéo
theo
kếtnluận
là
của
tức

phép
làkéo
chẵn.
theo
Talàcó
sai,
n =tức
2kn(klà∈chẵn.
N) ⇒Ta
3ncó
+ n2 = 2k
3.2k
(k+∈2N) ⇒ 3n + 2 = 3.2k + 2
PP
suy
luận
2

lẻ”. Giả sử ngược lại kết luận của phép kéo theo là sai, tức n 6 chữ số khác nhau} thành 4 tập gồm: A = {các số khơng có
Ta
có
2k(k
(k
+chẵn.
==3.2k
++12 làmặt
số n0 là
và số
chữlẻ.
số 1}, B = {các số khơng có mặt chữ số

n là
có
===Vậy
2k
∈+...)
N)
⇒
+=2số
2(2k
3.2k
22(3k
lẻ.
= chẵn.
2k
+làTa
1số(k
=n n0,
1,
2,Nếu
n22 là
=ức2(3k
1là)chẵn.
chẵn.
2(3k
1Giả
3n
)⇒
là+3n
số
lẻVậy

thì+ 2Nếu
n+=là
số
3nlẻ.
số chữ
lẻ thì
+
2 là+số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
ngược
) là số chẵn. Vậy Nếu 3n + 2 là sốsử
lẻ thì
n là số lại
lẻ.
0 và có mặt chữ số 1}, C = {các số có mặt chữ số 0 và khơng
n +n2là
là
số
lẻ
thì
nnChứng
là2 số
lẻ.
2 là có
2sốlà

2sốlàcósố
Vísố
dụVí
Chứng
Vírằng
dụ““3:2Chứng
làsốsốvơvơ
minh
Ta
giả
“ sử
vơsốchữ
tỉ”.
hữu
Tatỉ
(vì
tập
hữu
tậpchữ
sốsố 1}.
ếu
lẻ3:dụ
thì
làminh
số
lẻ.rằng
3:
minh
là
tỉ”.tỉ”.

Tarằng
giả sử
mặt
số
1,giả
D =sử
{cácsố
mặt
chữtỉsố(vì
0 và
ẵn. Ta có
n
=
2k
(k
∈
N)
⇒ gồm
3n +hai2tập
= 3.2k
+tập2số vơ tỉ và Khi đó D = H – A – B – C.
là
số
hữu
tỉ
(vì
tập
số
thực
con

là
“ 2 là số vơ tỉ”. Ta giả sử 2 là số hữu tỉ (vì tập số

thựcluận
gồmgián
hai tập
con là
thực
tậpgồm
số vôhai
tỉ tập
và tập
consốlàhữu
tập tỉ,
số hai
vô tỉtập
vàcon
tập này
số hữu
khơng
tỉ, hai
giaotập
nhau).
con này khơng giao nhau).
uy
tiếp.
ốtỉlẻvàthì
n
là
số

lẻ.
tập số hữu tỉ, hai tập con này không giao nhau).
a
a Số 03, tháng 03/2018
Khi
N (b
Khi
0, a đó
và a,
b sử
khơng
b ngược
 Ncó(bước
≠lại
0,sốa chung)
và b khơng
sao cho:
có ước2 số
= chung)
. Bìnhsao
phương
cho: 2 = . Bình phương
à sốđólẻa,
thìb nlà
số≠lẻ”.
Giả
b
b
a
2 là số hữu

ốhơng
vơ có
tỉ”.ước
Tasốgiả
sử sao
số
chung)
cho: 2 = tỉ. (vì
Bìnhtập
phương
b
Ta có n = 2k (k ∈ N) ⇒ 3n + 2 = 3.2k
+2

59


ột số hoạt động buộc HS phải phán
đoán.
thểquan
đặt câu
hỏi “Khi
đã cóhệx1thống
và x2 từ
thìcác
cáctrường hợp riêng đến trường hợp
các quy
tắc,Cócác
hệ tốn
học theo

đối với hai nghiệm này?”. Câu trả lời rất đa dạng vì HS
b. NL vận dụng phép biện chứng của tư du
có thể thực hiện phép tính gì tổng
đối với
haicho
nghiệm
này?”.
lời giỏi.
rất đa dạng vì HS
quát
HS, đặc
biệt Câu
là HStrảkhá,
n phép cộng, trừ,
nhân, chia,
phương, lấy căn bậc
Trong DH Toán, GV cần rèn luyện NL t
NGHIÊN
CỨUbình
LÍ LUẬN
thể trả lời là có thể thực hiện phép b.cộng,
trừ,dụng
nhân,phép
chia,biện
bình
phương,
lấyduy
căntốn
bậchọc
NL vận

chứng
của tư
chỉ có tổng và nhân hai nghiệm x1, x2 là được một biểu
đoán, phát hiện và lập luận xác nhận kiến thức
i,… Tuy nhiên, ở đây ta thấy chỉ có tổng
nhân
hai nghiệm
, x2 luyện
là được
TrongvàDH
Tốn,
GV cầnx1rèn
NLmột
tư biểu
duy toán học liên quan đến việc dự
hệ số a, b, c.
NL khám phá, phát triển từ một bài toán thành nh
Cách
3: Hướng
dẫn đoán,
HS
coia,
việc
số gồm
6 chữ
số khác
phátkiến
triểnthức
từ mộtmới
bài toán

thành
nhiều
toán HS
mới phát
theo quan
ức đơn giản phụ
thuộc
vào các
hệ số
b, lập
c.
phát
hiện
và lập
luận
xác nhận
nhằm
mục
tiêubàigiúp
triển
ường xunnhau
rènmà
luyện
cho
HS
NL
khái
qt
hóa.
Vì

từ
riêng
thành
nhiều
cái
chung
khác
nhau.
đã có mặt chữ số 0 và chữ số 1 nên chỉ cần chọn điểm một cái riêng thành nhiều cái chung khác nhau.
ĐồngĐồng thời
Bên cạnh
đó,
GVsốcần
thường
xun
rèn
luyện
chotừHS
hóa.
từ tốn
NL
khám
phá,
phát
triển
mộtNL
bài khái
tốn
thành
nhiều

bài
mới
điểmbài
một
cái
thêm
4 chữ
tập
E
= {2;
3; 4;biểu
5;
6; được
7;
8; 9}.
thời, qt
HS
tăng
khảVìnăng
tìm tịi
cáctheo
kiếnquan
thức mới,
tốn
h bậc hai HS
mới
có thểtừmở
rộng
phát
định lí

mới, bài tốn mới từ nhiều trường hợp riêng.
4: Tiếp cận
bàiriêng
tốn
hướng
xétcó
vị thể
trí
của
số nhau.
mớibiểu
từ nhiều
trường
nh lí Viet đốiCách
với phương
trình
bậc theo
hai
HS
mới
mởchữ
rộng
phát
được
định
lí riêng.
thành
nhiều
cái
chung

khác
Đồng
thời,
HShợp
tăng
khả năng tìm tịi các kiến thức
1 (số 1 ở vị trí đầu tiên; số 1 khơng ở vị trí đầu tiên).
Ví dụ 7: Viết phương
(d1) qua
điểm
N(0; thẳng (d
Vítrình
dụ đường
7: Viếtthẳng
phương
trình
đường
ng phương trình
bậc
ba.
mới,
bài
tốn
mới
từ
nhiều
trường
hợp
riêng.
Hoạt động HT mơn Tốn ở PT là một chuỗi củng cố kiến 1; 1),

kế hoạch, biện
pháp, nội dung giúp HS phát triển nhóm
x −1 y + 2 z
thức cũ, lĩnh hội, phát triển kiến thức mới. Chuỗi này được
vng góc với
đường
thẳng(d
(d22):
): =
=
đường
và cắt đường th
Khi rèn luyện, GV cần có kế hoạch,
biện
pháp,phương
nội dung
giúpđường
HS
phát
triển
Ví dụ
7: Viết
trình
thẳng
(d1nhóm
) quathẳng
điểm N(0;
1;
3 1), vng
1

1 góc với
lặpđộng
đi lặpcơ,
lại các
suốt tình
q trình
HT.có
CLvấn
mộtđề,...
giờ học mơn Tốn ở
c câu hỏi gợi
huống
0
được
ĐGghép
qua việc
vậnđộng
dụng cơ,
kiến
cũ,
và vấn
cắt đường
L này thôngPT
qua
lồng
các ghi
câunhớ
hỏivàgợi
huống
có

đề,... thẳng (d3):  x + y − z + 2 =
x −các
1thứcytình
+ 2 lĩnh
z
đường
thẳng
(d
và
cắt
đường
thẳng
(d
. cách giải. Ở đây, ta
Bài
này
có
nhiều
ắc suy luận hội,
trong
giải
tốn
2): = =
3): tốn

tìm tịi và phát hiện kiến thức mới. Tức là
3 GV nên
1cầnchú
1 luyện HS NL vận dụng phép
x biện

+ 1 =0chứng của tư duy toán học.
rèn

b. NL vận
dụng
các quy
tắc dựng
suy luận
trong
giảigiảtoán
trọng
rènởrèn
luyện
NL
và
kiểm
chứng
thuyết
trong của tư duy toán học. Biện pháp thường
suy luận đòi
hỏi
mức
độ xây
cụ
HS
cầnphép
lựa chọn
cần
luyện
HSthể

NLcao.
vận
dụng
biện chứng
10
áp
dụng
là Bài
đặt
rađây,
những
bài tốn
u
cầu
HS
đốn,
phát
Bài
tốn
này
có
nhiều
giải.
Ởtốn
tacókhơng
dừng
việc
giải
xong.
khoảng

thời
gian
đầu
của
mỗi
tiết
học.
nàylựa
nhiều
cách
giải.lại
Ởở
đây,
tadự
khơng
dừng
lạiGV
ởhiện và lậ
NL vận dụng các quy tắc suy luận đòi hỏi ở mức độ cụcách
thể cao.
HS
cần
chọn
Đ. Yếu tố xác áp
định
NLlàsuy
của HS
vào HS dự đốn,
dụng
đặtluận

ra những
bàiphụ
tốnthuộc
u cầu
phátxong.
hiệnGV
vàcần
lập luận
để tìmNL
cách
việchạn,
giải
vận “Viết
dụng phép
biện trình đườ
giải.
Chẳng
GV
u vào
cầurèn
HSluyện
giảiHS
bài tốn
phương
suy luận thích
hợp
để
GQVĐ.
Yếu
tố

xác
định
NL
suy
luận
của
HS
phụ
thuộc
10
2.2.2.Nhờ
năng
lực sáng
chứng
của phép
tư duybiện
học.
Biện
pháp
áp dụng
đặt pháp thư
cần
luyện
HS NL
vận
dụng
chứng
của
duy
học.làBiện

đổi các bài tốn.
q
trình
biến
đổi
đề,
biến
đổi tốn
giải.Nhóm
Chẳng
hạn,
GVtạo
u vấn
cầu
HSrèn
giải
bài
“Viết
phương
trìnhtốn
đường
thẳng
(dtư1)thường
qua tốn
xlập luận
y z +3
a.
Năng
lực
xây

dựng
các
khái
niệm,
các
quy
tắc,
các
quan
ra
những
bài
toán
yêu
cầu
HS
dự
đoán,
phát
hiện
và
ả năng biến đổi vấn đề, biến đổi các bài tốn.
Nhờ q
trình
biến
đề,
biến
đổiHS
điểm
N(3;đổi

2;vấn
1),
vng
góc
vớidự
đường
thẳng
(d2) và
: lập= luận
=
và
áp
dụng
là
đặt
ra
những
bài
tốn
u
cầu
đốn,
phát
hiện
vấn đề trong
huống
– các
tốn lạhợp
về riêng
các vấn

x cách
y z +3
4 để1 tìm
hệ tình
tốn học
theomới
hệ thống
từ bài
các trường
đến trường để tìm
hạn, GV yêu cầu HS giải 2bài tốn
điểm N(3;
2; 1), vng
góc với đường
thẳng (d2) :
= =giải. Chẳng
và cắt
đường thẳng
c bài toán, HS
thể
quy các vấn đề trong tình
– các bài
tốn
lạ4 vềtrình
các
vấn thẳng (d ) qua điểm N(3; 2; 1),
hợp có
tổng
quát
“Viết

1 đường
2 phương
giải.huống
Chẳngmới
hạn,
ng tự đã giải.
đó”.GV yêu cầu HS giải bài tốn “Viết 1phương trình đường thẳng (d1)
Việc rèn luyện NL này giúp HS có ý thức thiết lập mối
quen thuộc - các
bài toán2 tương tự đã giải.
đó”.
x
y z +3
khái Ở
qt,
với2;
các1),kiến
góc
vớithiết
đường
(d
g: “Nếu n quan
là sốhệ
lẻ các
thì kiến
n làthức
số lẻ”.
đây,trừu
HStượng
cóN(3;

thể
sử
Đây vng
là NL
cần
đểthẳng
HS(d
khá,
điểm
vng
góc
với
đường
thẳng
: giỏi=biết =cách tưvàduy,
cắtkhám
đườngphá
t
2)2):
2
1
2
4
riêng minh
lẻ.
Từ
đó,
HS
có
được

khả
năng
định
hướng
Ví dụ 1:thức
Chứng
rằng:
“Nếu
n
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
Ở
đây,
HS
có
thể
sử
Đây là NL cần thiết để HS khá,
giỏi biết cách tư duy, khám phá, tìm tịi kiến thức
2
là giả sử n GQVĐ.
là số lẻ.Bồi
n =dưỡng
2k + 1tốt(kNL

= 0,xây
1, 2,
...) các
⇒ nkhái
= (2k
mới.
các thẳng
tiết giới
dựng
niệm,
cácDo đóvàtrong
cắt đường
đó”.thiệu khái niệm, định lí GV cần chú ý
2
đó”.
ng PP suy luận
trực
tiếp.
Tức
là giả
n làgiới
số lẻ.
n =khái
2k +niệm,
1 (k
=định
0, 1,
...)NL
⇒cần
nchú

= (2k
Do đó
trong
cácsửtiết
thiệu
lí2,GV
cần
ý rèn
NL vận
quanmới.
hệ theo
tăng
cácphép
Đây
thiết
HSluyện
khá, giỏi
) + 1 là lẻ. Vậy
nếu
n làhệ
sốthống
lẻ thìsẽn2làm
là số
lẻ.khả năng phát triển
dụng
biệnlàchứng
của
tưđểduy
tốn
họcbiết

chocách
HS.tư duy, khám
Đây
là
NL
cần
để
HS
khá,
giỏi
biết
cách
tư
duy,
khám
phá,thiệu
tìm tịi kiến
2
2
2 thiết
vấn
đề
tốn
học
nói
chung
với
cách
chọn
các

đối
tượng,
phá,
tìm
tịi
kiến
thức
mới.
Do
đó
trong
các
tiết giới
1) = 4k + 4k +dụng
1 = 2(2k
2k) +
1 là lẻ.
nếutốn
n là học
số lẻcho
thì HS.
n là số lẻ.
phép+biện
chứng
củaVậy
tư duy
NL phát
tượng
chức
gợi phép

động cơ cho
ải
PP suy
luận trường
gián tiếp.
quátbằng
hóa.quan
a. giải
hệ trong
hợp riêng, tăng khả năng hoạt động c. khái
niệm, hiện
định lícác
GV đối
cần chú
ý rèncóluyện
NLnăng
vận dụng
mới.
Do
trong
các
tiếtgợi
giới
thiệucơkhái
niệm,
định lítìm
GV cần chú ý rèn luyện NL
Thực tếkhái
nhiều
phải

giải
bằng
suy
luậnđó
gián
tiếp.
c.tốn
phát
hiện
cácPP
đối
tượng
có
chức
năng
động
hoạthọc
động
qtbài
hóa
-NL
tổng
qt
hóa.
chứng
của tư cho
duy tốn
cho HS. tịi
2
2 kiến thứcbiện

g:
“Nếu
3n
+
2
là
số
lẻ
thì
n
là
số
lẻ”.
Giả
sử
ngược
lại
2thức
Ví
dụ
6:
Xét
bất
đẳng
Cauchy.
Xuất
phát
từ
(a
−

b)
≥
0
(1)
ln
đúng
với
a,
Ví
dụ
6:
Xét
bất
đẳng
thức
Cauchy.
Xuất
phát
từ
(a
−
b)
≥
0
(1)
ln
đúng
với
a,
2

c Cauchy. Xuất
từ bất
(a −đẳng
b) thức
≥ 0 Cauchy.
(1) ln
đúng
với
a,
Víphát
dụphát
6:từ
Xét
Xuất
phát
(a - b)
c. tư
Năng
pháthọc
hiệncho
đối tượng có chức năng gợi động
phép
biện
của
duy
Cauchy.
(a −rằng:
b)2 ≥“Nếu
0 (1)3n
ln

với
Ví dụXuất
2: Chứng
minh
+ dụng
2đúng
là số
lẻtừa,
thì
n2chứng
là ≥số
lẻ”.
Giả
sửlựctốn
ngược
lại các HS.
kiến thức
2 DH
2 biến
22+
2 điểm
2 a,(k
2 N)
2 theo
quan
“thầy
,Ta
tức
n
là

chẵn.
Ta
có
n
=
2k
∈
⇒
3n
2
=
3.2k
+
2
0
(1)
ln
đúng
với
b
R.
Ta
đổi
đưa
về
dạng
a
+
b
cơ

cho
hoạt
động
tìm
tịi
kiến
thức đọc bài giảng, giải thích ch
2bbiến
2
b )đúng
biến
đưata
a− +bHơn
b) ≥≥ 2ab.
Hơn
nữa
cób (các
≥ 0có(2)
đúngkhơng
đưa
vềđổi
dạng
a về
+ dạng
b( ≥a 2ab.
nữa
ta
có phát
( a ta−hiện
) a≥ đối

0− (2)
a +2b R.đổi
≥ Ta
2ab.
Hơn
nữa
có
0 (2)
đúng
c.
gợi
động
cơ cho
hoạt động tìm
phép
kéo
theo
sai,
n làđiểm
nNL
=với2k
⇒DH
3n theo
+
2tượng
=
3.2k
+ chức
2“thầynăng
≥ 2ab.

Hơn
nữa
có ( tức
00Ta
(2)
đúng
a,(kb ∈
quan
điểm
khơng
đọcthức
bài giảng,
giải thích
a −
bchẵn.
a2luận
+ b của
≥ 2ab.
Hơn
nữa
talàtatheo
có
)2 ≥≥“thầy
(2)có
đúng
DH
quan
khơng
đọc
bàiN)giảng,

giải
thích
chuyển
tải
kiến
mà
là
người
tạo
tình
huống
cho
HS,
thiết
lập
các
tình
huống,
ub 3n
+
+ 2 là số+ lẻ +thì n là số lẻ.
.được
phương
vế2của
trái
của
(2)
ta NL
được
ata

bđốn
chuyển
tảiđốn
kiến phán
thức
là người
ab
b Rta
phương
RKhai
. Khai
phương
vế
(2)
+..bBằng
≥ 2 NL
. phán
Bằng
NL
đốn
ta tạo tình huống cho HS, thiết thiết lậ
với
R . a,
Khai
vế
(2)
ta của
được
aphán
++thức

bđược
≥ 2 aab
Bằng
ta mà
kiến
ab
rái
của
(2)
a Vậy
+
btrái
≥Nếu
.+trái
Bằng
ta
2(3k
+
1
)
là
số
chẵn.
3n
2
là
số
lẻ
thì
n

là
số
lẻ.
mà
là
người
tạo
tình
huống
cho
HS,
thiết
lập
các
tình
huống,
thiết
lập
các
cấucấu
trúc cần
ái của2(2) taNL
được a đốn,
+ b ≥ta2tìmabđược
. 2Bằng
NL phán
đốn tự:
ta athiết”
bấtsốđẳng
thức

tương
+ b + nhất
lậpthiết
các tình
huống,
thiết lập NL
các
cần các
thiết”đối
nhất
thiết có chức
phải
bồi dưỡng
pháttrúc
hiện
tượng
g“
là số vơphán
tỉ”.
Ta
giả
sử
là
hữu
tỉ
(vì
tập
số
3
3

3đẳng
abc
tìm
được
bất
thức
tự:
+đó,
babc
+bằng
c(3).
≥bằng
3DH
(3).
Khơng
lại ởkhơng
đó,
bằng
NL
ợc
đẳng
thức
tương
tự:
atương
+ bdừng
+dừng
clại
≥a ở3lại
Khơng

dừng
lạiđiểm
ởdừng
đó,
bằng
NL
theo
quan
“thầy
đọc
bài
giảng,
giải
thích
chuyển
abc
ự: abất
+
b
+
c
≥
3
(3).
Khơng
ở
đó,
NL
c
(3).

Khơng
NL
mơ
tả
HS.
sẽ
phải
bồi
dưỡng
NL
phát
hiện
các
đối
tượng
có
chức
năng
gợi tải kiến
3
2 bồi
thiết”
nhất
thiết
dưỡng
NL
phát
hiện 2các
tượng
có tập

chứcsốnăng gợi động cơ
Víb +
dục 3:
Chứng
minh
rằng dừng
“phải
là
số
vơ tỉ”.
TaNL
giả sử
là đối
số hữu
tỉ (vì
abc
a
+
≥
3
(3).
Khơng
lại
ở
đó,
bằng
cho
hoạt
động
tìm

tịi
kiến
thức.
Tùy
thuộc
vào
việc
lựa
chọn đối t
vơ tỉ và tậpphát
số hữu
tỉ,
haibấttập
conthức
nàyCauchy
khơngdạng
giao
nhau).
biểu
được
đẳng
tổng
qt.
động cơ
choHS,
hoạtthiết
độnglập
tìm tịi
kiến
thức.

Tùy thuộc
vào
việc
mà
là
người
tạo
tình
huống
cho
các
tình
huống,
thiết
lập
các
mơ
tả
HS
sẽ
phát
biểu
được
bất
đẳng
thức
Cauchy
dạng
tổng
qt.

HS
sẽ
phát
biểu
được
bất
đẳng
thức
Cauchy
dạng
tổng
qt.
đẳng
thức
Cauchy
dạng
tổng
qt.
hoạt
động
tịitập
kiến
Tùy
vàonày
việc
lựa đối
chọn
đốichúng
tượng,
ta

cóđộng tương thích cấu trúc
ực
tập cho
con
là tập
sốqt.
vơtìm
tỉ và
sốthức.
hữu tỉ,
haithuộc
tập con
giao
nhau).
lựakhơng
chọn
tượng,
ta nội
cóchúng
những
hoạt
ẳnggồm
thứchai
Cauchy
dạng
tổng
a
những
hoạt
động

tương
thích
với
dung
và
PP.
số
chung)
cho:
=2a3....athiết”
Bình
phương
n 2a
nsao
nhất
thiết
phải
bồi
dưỡng
NL
phát
hiện
các
đối
tượng
có chức năng gợi độn
a
+
a
+

a
+
…
+
a
≥
(4)
với
nội
dung
và
PP.
+
a
+
…
+
a
≥
n
(4)
akhơng
+aaa2 ...
+cóaaa3ước
…
+
a
≥
n
(4)

a
a
a
a
...
a
1+
2
3
n
n1 a
n
1
2
3
n
n
1
n
1
2
3
(4)
tương
vớichung)
nội dung
PP. 2 = a . Bình phương
b số
1 2 3
 Nnhững

(b ≠ 0,hoạt
a vàđộng
b khơng
cóthích
ước
saovà
cho:
ai1ađó
...an bn (4)
4x2
2 a3 a,
Ví bdụ 8: Giải hệ phương trình  2 x 3 + y ( x + 1) =
cho
hoạt
động
tìm
tịi
kiến
thức.
Tùy
thuộc
vào
việc
lựa
chọn
đối
tượng, chúng t
Ví
dụ
8:

Giải
hệ
phương
trình
3
2

Qua
việc
ba
bấtđẳng
đẳng
thức
(2),
(3),
tìm
được
kiệnsốcủa các số 5 x 4 − 4 x 6 =
Qua
sánh
baso
bất
(2),
(3),
(4),
ta(4),
tìm
được
kiện
của các

 2tax(4),
Qua
việc
sosánh
sánh
ba thức
bất
thức
(2),
(3),
tìm
được
4 x điều
+ yta
+ 1) =
( xđiều
đẳngviệc
thứcso
(2),
(3),
(4),
tađẳng
tìm
được
điều
kiện
của
các
số
y2


ẳng thức (2),
(3),
(4),
ta
tìm
được
điều
kiện
của
các
số
Ví
dụ
8:
Giải
hệ
phương
trình
 động
kiện của các số a1, a2, a3, … an phải
là sốhoạt
dương.
4
2
những
tương
với
nộia(1)
dung

và aPP.
5ởa
xbất
− 4Nhận
x 6ra
=
a1, an2thấy
,phải
a3điều
,7dấu
…
a“=”
làrasố
dương.
Nhận
thấy
dấu
xảy
ởythức
bấtthích
đẳng
thức
=
a3,Nhận
…
là số
dương.
Nhận
thấy
dấu

“=”
xảy
ra“=”
đẳng
(1) là
khi
= là khi
n phải
g.
xảy
ở
bất
đẳng
thức
(1)
là
khi
=
bấtđẳng
đẳng thức
thức (1)
làlàkhi
a =ab=đồng thời GV GV
cần
giúp
HS
huyđộng
độngcác
các kiến
kiến thức,

thức, vận
cần
giúp
HS
huy
vậndụng
dụngNLNL tư duy
Nhận thấy thấy
dấu dấu
“=”“=”
xảyxảy
ra ra
ở ởbất
(1)
khi
7
3
2
tích,
2 x +tìm
yhồn
x + 1)liên
4 xhệ
=
(
khi
cho
các
số
thực

a1
=
a2
=
a3
=
…
=
an
thì
(4)
đúng.
Do
tư
duy
để
phân
mối
giữa
các
yếu
tố
trong
b
đồng
thời
khi
cho
các
số

thực
a
=
a
=
…
=
a
thì
(4)
đúng.
Do
đó,
chúng
ta
thời
khi
cho
các
số
thực
a
=
a
=
a
=
…
=
a

thì
(4)
đúng.
Do
đó,
chúng
ta
hồn
1
2
3
n
1
2
3
n
giúp HS
động Ví
các
thức,hệvận
dụng trình
NL tư duy để phân tích, tìm
a1 = a2 = a3 = … = anGV
thì cần
(4) đúng.
Do huy
đó, chúng
ta hồn
dụkiến
8: Giải

phương
liên hệ
yếu
tố
trong
bài
tốn.
Cụ
thể
GV
có
thể
4 có
6 u
2 cầu
= antathì
(4)tồn
đúng.
Dophán
đó,đốn
chúng
ta dấu
hồn
1 = a2 = a3 =
đó,…
chúng
hồn
có thể
được
bằngmối

trong
bài giữa
tốn. các
Cụ thể
GV
thể
HS
nêu
các
PP
giải
hệ u cầu H
5x − 4x =
y
thực
tồn
có
thể
phán
đốn
được
dấu
bằng
trong
bất
đẳng
thức
(4)
xảy
ra

khi
các
số
dương
thể
phán
đốn
được
dấu
bằng
trong
bất
đẳng
thức
(4)
xảy
ra
khi
các
số
thực
dương
mối thức
liên
hệ(4)giữa
yếusố
tốthực
trong
bàidương
thể GV

có thể uxác
cầu
HScác
nêu
các
PP
bằng trong bất
bấtđẳng
đẳng
thức
xảycác
ra khi
các
số thực
(4)
dương
atốn.
aCụ
…
phương
định
yếu
liêngiải
quan
liênliên quan
1, a2,hệ
3, phương
trình;trình;
xác định
các yếu

tốtố liên
quanđến
đếnbiến,
biến,
ằng trong bất
đẳng thức
(4)xảy
xảyrarakhi
khicáccác
số thực
dương
huy
động
cácquan
kiếnđến
thức,
vận
để phân tích
bằng
quan
đến
phương
trình
trong
hệ,
liêndụng
quan
đến tư
haiduy
vế trong

a1,aan2,bằng
a3a,n…
an nhau.
bằng nhau.
a3, …
nhau.
hệ
phương
trình; xác định các yếuGV
tố cần
liêngiúp
quanHS
đến
biến,
liên
phương
trìnhNL
trong
liênphương
quan đến
vếGV
trong
mỗixun
phương
trình.HS
Nếu
Trong DH Tốn ở PT, việc HS tiếp xúc với những bài
tốnhệ,mỗi
trình.hai
Nếu

thường
rèn luyện,
NLGV thườn
mối
liên
hệđể
giữa
các
tốđơn
trong
bài
tốn.
Cụ
thể GV
thể u cầu HS nêu các PP
DH
Tốn
ởHS
PT,
việc
HS
tiếp
xúc
với
những
bàiyếu
tốn
lẻ
diễn
ra thường

Trong
Tốn
ởdiễn
PT,
tiếp
xúc
với
những
bài
tốn
đơn
lẻ
diễn
ra các
thường
trong
hệ,
liên
quan
đến
hai
vế
trong
mỗi
phương
trình.
Nếu
GV
xun
rèn có

luyện
đơn
raviệc
thường
xun.
Tuy
nhiên,
hệ
thống
đưa đến
phát
hiện
đốithường
tượng
có
chức năng
gợi động cơ thì HS sẽ
ệc HS DH
tiếpTrong
xúc lẻ
với
những
bài
tốn
đơn
lẻ
diễn
ra
thường
HS tiếp xúc với những bài toán đơn lẻ diễn ra thường HS NL phát hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ thì HS sẽ nh

kếthệluận,
bài tốn
tổngđến
qt
là một
việc
làmtốn
khơng
dễ.tốn
Do
nhận
thấy
có
thể
giải
bàiquan
tốn
bằng
cách
rútliên
ẩn yquan
từ phương
hệ
phương
trình;
xácđộng
định
các
yếu
tố

liên
đến
biến,
đến phương
xun.
Tuy
nhiên,
hệtốn
thống
đểqt
đưa
đến
kết
luận,
bài
tổng
qt
là
một
việc
làm
Tuy
nhiên,
thống
để
đưa
kết
luận,
bài
tổng

qt
là
một
việc
làm
HS
NL
phát
hiện
các
đối
tượng
có
chức
năng
gợi
cơ
thì
HS
sẽ
nhận
thấy
có
thể
giải
đưa
đến kết
luận,
bài
tổng

là
một
việc
làm
GV cần
bồimột
dưỡng
NL xây
trình thứ
nhấtrút
thếẩn
vàoyphương
trình thứ
hai.thứ
Saunhất
khi phát
bàicác
tốn bằng
cách
từ phương
trình
thếhiện
vào phương
đưa đến kếtvậy,
luận,
bài phải
tốnthường
tổng xun
qt là
việc

làmdựng
trong
hệ,
liên
quan
đến
haithế
vế
trong
mỗi
phương
trình.
khơng
dễ.
Do
vậy,
GV
cần
phải
thường
bồi
dưỡng
xây
dựng
các
khái
niệm,
dễ.
Do vậy,
GV

cần
phải
thường
dưỡng
NL
xây
dựng
các
khái
niệm,
khái
niệm,
các
quy
tắc,
các
quan
hệ bồi
tốn
học
theo
hệtrình
thống
từNL
hướng
giải,
HS
tiến
hành
kiểmthứ

chứng.
bài
tốn
bằng
cách
rút
ẩn
ycác
từxun
phương
thứ
nhất
vào
phương
trình
hai.Nếu
SauGV thường xuyên rèn 2l
i thường
xuyên
bồi
dưỡng
NL
xâyxuyên
dựng
khái
niệm,
4x
thường xuyên
bồi dưỡng
NL đến

xâytrường
dựng hợp
cáctổng
kháiquát
niệm,
các trường
hợp riêng
cho hiện
HS,
đặc
khi
phátđối
hiện
hướng
giải,
HS
tiến
kiểm
chứng.
Thật
vậy,
y =có thể
HS
NL
phát
các
tượng
có
chức
năng

gợi
động
cơ
thì
HS
sẽ
nhận
thấy
2
3 hành
các
quy
tắc,
các
quan
hệ
tốn
học
theo
hệ
thống
từ
các
trường
hợp
riêng
đến
trường
hợp
yọctắc,

các
quan
hệ
tốn
học
theo
hệ
thống
từ
các
trường
hợp
riêng
đến
trường
hợp
4
x
−
2
x
x
theo hệ thống
từphát
các
trường
hợp giải,
riêngHS
đếntiến
trường

hợp
biệt là
khá,
giỏi. hướng
Thật vậy,
(x =
= 11 không
không là nghiệm). Thế
khi
hiện
hành
vậy, y =
(x
theo hệ thống
từHS
các
trường
hợp riêng
đến trường
hợpkiểm chứng. Thật
x
+
1
bài
tốn
bằng
cách
rút
ẩn
y

từ
phương
trình
thứ
nhất
thế
vào
phương
trình
thứ
hai.
4
b.
Năng
lực
vậnbiệt
dụnglàgiỏi.
phép
học
tổnggiỏi.
qtđặc
cho
HS,là
đặc
HS biện
khá,chứng
giỏi. của tư duy tốn
t
cho
HS,

biệt
HS
khá,
là nghiệm).
Thế vào phương trình thứ hai
ta4 được
x4(4x
+ 8x3 + 3x2 - 2
S khá,
4
3
2
khá, giỏi.
Trong
DH
Tốn,
GV
cần
rèn
luyện
NL
tư
duy
tốn
học
liên
vào
phương
4
4

3trình thứ
2 hai ta được x (4x + 8x + 3x -2 26x +3
là
nghiệm).
Thế vào
trình
thứ
hai
tahọc
được x (4x + 8x + 3x - 26x + 11)1 = 0. Hay
4x − 2x
b.
NL
vận
dụng
phép
chứng
tư
duy
toán
b.chứng
NL vậncủa
dụng
phép
biện
chứng
củaphương
tư duy
toán
học

tư duy
toán
học
khi
phát
hiện
hướng
chứng.
quan
việc
dự
đoán,biện
phát
hiện
vàcủa
lập
luận
xác
nhận
kiến giải,
11)HS
= 0.tiến
Hay
x 0,
= 0,
x= =11và
và
x =hành
x kiểm
xx== ..Thật vậy, y = x + 1 (x = 1 k

hứng của tư
duyđến
toán
học
2
thức
mớiGV
nhằm
mục
tiêu
giúprèn
HS luyện
phát
triểntoán
NL
phá,
Toán,
GV
cần
tưkhám
duy liên
toánquan
học liên
đến việc dự
Trong
DHTrong
Toán,
cần
rèn
luyện

tư duy
học
đến quan
việc dự
n rèn luyện
NL DH
tư duy
toán
học
liênNL
quan
đếnNL
việc
dự
4 11 3
rèn luyện NL tư duy toán học liên quan đến
việc dựThế vào phương trình thứ Như
là nghiệm).
hai tavậy,
được
x4(4x
+ 8x
3x2 -NL
26xphát
+ 11)
= 0.c
bằng
cách
rèn +luyện
hiện

đốn,
phát
hiện
và
lập
luận
xác
nhận
kiến
thức
mới
nhằm
mục
tiêu
giúp
HS
phát
triển
phát
hiện
và
lập
luận
xác
nhận
kiến
thức
mới
nhằm
mục

tiêu
giúp
HS
phát
triển
TẠPmới
CHÍ KHOA
HỌC GIÁO
VIỆTgiúp
NAM HS phát triển 11
nhận kiến60thức
nhằm
mụcDỤC
tiêu
nhận kiến thức mới nhằm mục tiêu giúp HS phát triển
cơ, GV đã giúp HS hiểu sâu sắc hơn bài toán, huy đ
phá,
phát
mộtthành
bài toán
thành
nhiều
bàitheo
toánquan
mới theo
điểm một cái
ám
phá,
phát
triển

từ
một
bàitừ
toán
nhiều
bài toán
điểmquan
một cái
bàiNL
toánkhám
thành
nhiều
bàitriển
toán
mới
theo
quan
điểm
một mới
cái
ài toán thành nhiều bài tốn mới theo quan điểm một cái
giải qua đó 11
tìm ra kiến thức mới.
thành
nhiều cái
nhau.
thời,khả
HSnăng
tăng tìm
khảtịi

năng
tịithức
các kiến thức
hànhriêng
nhiều
cái chung
khácchung
nhau.khác
Đồng
thời,Đồng
HS tăng
cáctìm
kiến


Kiều Mạnh Hùng, Nguyễn Thanh Hưng

Như vậy, bằng cách rèn luyện NL phát hiện các đối tượng
có chức năng gợi động cơ, GV đã giúp HS hiểu sâu sắc hơn
bài tốn, huy động kiến thức đã có để tìm ra cách giải qua đó
tìm ra kiến thức mới.
Đứng trước bài tốn khó, việc phát hiện yếu tố có chức
năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tịi lời giải mang tính
quyết định. Do đó, trong các trường chun, lớp chọn, GV
cần phải đặc biệt chú ý rèn luyện NL này cho HS trong các
giờ học Toán.

3. Kết luận

Việc nghiên cứu DH mơn Tốn ở trường PT theo hướng

hình thành NL cho HS được nhiều người quan tâm nghiên
cứu. Bài viết đã trình bày một số vấn đề về NL (khái niệm,
các NL cốt lõi), sự khác biệt giữa DH theo hướng tiếp cận NL
và DH theo hướng tiếp cận nội dung cho HS bên cạnh việc
nêu lên 7 nhóm NL cho HS, từ các nhóm NL này khi DH, GV
cần lựu chọn các NL phù hợp để hình thành cho HS khi DH
mơn Tốn ở trường PT.

Tài liệu tham khảo
[1] Viện Ngôn ngữ học, (1997), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng.
[2] Êxipôp B. P., (1971), Những cơ sở của lí luận dạy học, Tập 1, NXB
Giáo dục.
[3] Phan Trọng Ngọ, (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà
trường, NXB Đại học Sư phạm.
[4] Nguyễn Thu Hà, (2014), Giảng dạy theo năng lực và đánh giá theo
năng lực trong giáo dục: Một số vấn đề lí luận cơ bản, Tạp chí Khoa
học, Đại học Quốc gia Hà Nội.

[5] Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại
học Sư phạm.
[6] Bùi Văn Nghị, (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn
Tốn ở trường trung học phổ thơng, NXB Đại học Sư phạm.

TEACHING MATHEMATICS IN HIGH SCHOOLS SCHOOLS BY
COMPETENCIES-BASED APPROACH
Kieu Manh Hung1, Nguyen Thanh Hung2
1Email:

2Email:

Tay Nguyen University
567 Le Duan Street, Buon Ma Thuot City,
Dak Lak, Vietnam

This paper presents an overview on the issues of capacity, including
the differences between competence-based teaching and knowledge/ contentsoriented approaches. The author sets out seven groups of competencies that need
to be developed for students in teaching mathematics: (1) Judgment, describability,
comparison, analysis, synthesis, generalization; (2) Developing concepts, rules,
mathematical relationships in a systematic manner from individual cases to general;
(3) Applying the rules of reasoning in mathematics; (4) Applying the dialectics of
mathematical thinking; (5) Incorporation of inductive and deductive reasoning in finding
solutions for math problems; (6) Constructing and testing hypotheses; (7) Ability to
detect motivational objects for knowledge discovery. In addition, teachers are advised
that they should be flexible and creative in selection of the appropriate competencies
when teaching individual mathematics courses.
Teaching; Math; capacity; teacher; the student.

Số 03, tháng 03/2018

61