DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC, DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN (BÀI TẬP + ĐÁP ÁN)

TOÁN 11

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

2

D. 22 + 42 + 62 + ⋯ + ( 2n ) =

1D3-1
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1.

Câu 2.

n

Cho S n =
A. S3 =

A. Tn = 3 .
Câu 9.

Đặt Sn =

1
B. S2 = .
6

2
C. S2 = .
3

B. Sn =

n
.
n +1

C. S n =

n +1
.
n+2

C. Tn = cos

.

π
2 n +1

.

D. Tn = 5 .

B. S n =

3n − 1
.
4n + 2

C. Sn =

n
.
2n + 1

Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n+1 > n2 + 3n.
A. n ≥ 3 .
B. n ≥ 5 .
C. n ≥ 6 .
Câu 11. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n ≥ 3 , là:
A. S = n.180° .
B. S = ( n − 2 ) .180° .
C. S = ( n − 1) .180° .
D. S = ( n − 3) .180° .

D. Sn =

n+2
.
6n + 3

D. n ≥ 4 .

2

B. S = n ( n + 2 ) .

C. S = n ( n + 1) .

D. S = 2n ( n + 1) .

Câu 13. Kí hiệu k ! = k ( k − 1) ...2.1, ∀k ∈ ℕ* . Với n ∈ ℕ* , đặt Sn = 1.1!+ 2.2!+ ... + n.n !. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A. Sn = 2.n ! .
B. S n = ( n + 1)!− 1 .
C. S n = ( n + 1)! .
D. S n = ( n + 1)!+ 1 .
2

2

Câu 14. Với n ∈ ℕ* , đặt Tn = 12 + 22 + 32 + ... + ( 2n ) và M n = 22 + 42 + 62 + ... + ( 2n ) . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
T
T
T
T
4n + 1
4n + 1
8n + 1
2n + 1
A. n =
.
B. n =
.
C. n =
.
D. n =
.

M n 2n + 2
M n 2n + 1
Mn
n +1
Mn
n +1

n+2
.
n+3

Câu 15. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2 n > 2n + 1 với mọi số nguyên n ≥ p .
A. p = 5 .
B. p = 3 .
C. p = 4 .
D. p = 2 .

1 
1 
1

Cho Pn = 1 − 2  1 − 2  ... 1 − 2  với n ≥ 2 và n ∈ ℕ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 2  3   n 
n +1
n −1
n +1
n +1
A. P =
.
B. P =

.
C. P =
.
D. P =
.
n+2
2n
n
2n

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của n ∈ ℕ* sao cho 2n > n 2 .
A. n ≥ 5 .
B. n = 1 hoặc n ≥ 6 . C n ≥ 7 .
D. n = 1 hoặc n ≥ 5 .
1
1
1
an + b
+
+ ... +
=
Câu 17. Với mọi số nguyên dương n , ta có:
, trong đó a, b, c là
( 3n − 1) ( 3n + 2 ) cn + 4
2.5 5.8
2
2
2
các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = ab + bc + ca .
A. T = 3 .

B. T = 6 .
C. T = 43 .
D. T = 42 .
1  an + 2
 1  1  
Câu 18. Với mọi số nguyên dương n ≥ 2 , ta có: 1 −  1 −  ...  1 − 2  =
, trong đó a , b là các số
 4   9   n  bn + 4
nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T = a 2 + b 2 .
A. P = 5 .
B. P = 9 .
C. P = 20 .
D. P = 36 .

Với mọi n ∈ℕ* , hệ thức nào sau đây là sai?
n ( n + 1)
A. 1 + 2 + ... + n =
2
B. 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2 .
C. 12 + 22 + ... + n 2 =

n +1
.
2(2n + 1)

2

1
D. S3 = .
4

D. S n =

π
2 n +1

1
1
1
+
+ ... +
,với n ∈ ℕ* .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1.3 3.5
(2n − 1)(2n + 1)

A. S = n ( n + 1) .

1
1
1
1
với n ∈ N* . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+
+
+ ... +
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n. ( n + 1)

n −1
.

n

B. Tn = 2 cos

Câu 12. Với n ∈ ℕ* , hãy rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n ( 3n + 1) .

1
1
1
1
với n ∈ N* . Mệnh đề nào sau đây đúng?
+
+
+ ... +
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n. ( n + 1)

1
.
12

Cho S n =
A. Sn =

Câu 6.

Đặt Tn = 2 + 2 + 2 + ... + 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. Sn =

8k +1 + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi n ∈ ℕ* .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì khơng có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì khơng dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Câu 5.

Câu 8.

Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 + 1 chia hết cho 7, ∀n ∈ ℕ '' (*) như sau:

• Ta có: 8k +1 + 1 = 8 ( 8k + 1) − 7 , kết hợp với giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được

Câu 4.

Với mối số nguyên dương n , đặt S = 12 + 22 + ... + n2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(2n + 1)
A. S =
. B. S =
.
6
3
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
C. S =
. D. S =
.

6
2

*

• Giả sử (*) đúng với n = k , tức là 8k + 1 chia hết cho 7.

Câu 3.

Câu 7.

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A ( n ) đúng với mọi số tự
nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
• Bước 1, kiểm tra mệnh đề A ( n ) đúng với n = p.

• Bước 2, giả thiết mệnh đề A ( n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p và phải chứng minh
rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Trogn hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng.
B. Chỉ có bước 2 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng.
D. Cả hai bước đều sai.

2n ( n + 1)( 2n + 1)
.
6

n ( n + 1)( 2n + 1)
6

1

2


1
2
3
n
→ dự đốn Sn =
.
Cách tự luận. Ta có S1 = , S2 = , S3 = 
2
3
4
n +1
1
1
=
: đúng.
• Với n = 1 , ta được S1 =
1.2 1 + 1
1
1
1
k
• Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ( k ≥ 1) , tức là
.
+
+ ... +

=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1
1
1
1
k
• Ta có
+
+ ... +
=
1.2 2.3
k ( k + 1) k + 1
1
1
1
1
k
1
⇔
+
+ ... +
+
=
+
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) k + 1 ( k + 1)( k + 2 )

Câu 19. Biết rằng 13 + 23 + ... + n3 = an4 + bn3 + cn 2 + dn + e, ∀n ∈ ℕ* . Tính giá trị biểu thức
M = a +b+c +d +e.

1
1
A. M = 4 .
B. M = 1 .
C. M = .
D. M = .
4
2
Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = a1n 3 + b1n 2 + c1n + d1 và
Tính
giá
trị
biểu
thức
1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = a2 n3 + b2 n 2 + c2 n + d 2 .
T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 .
4
2
.
D. T = .
3
3
Câu 21. Biết rằng 1k + 2 k + ... + n k , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

A. T = 2 .

B. T = 1 .

C. M =

1
1
1
1
k 2 + 2k + 1
+
+ ... +
+
=
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) ( k + 1)( k + 2 )
1
1
1
1
k +1
⇔
+
+ ... +
+
=
. Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1 .
1.2 2.3
k ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 ) k + 2

2
n ( n + 1)
n ( n + 1)( 2n + 1)
n 2 ( n − 1)
n ( n + 1)( 2n + 1) ( 3n 2 + 3n − 1)

S1 =
, S2 =
, S3 =
và S4 =
.
2
6
4
30
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A. 4 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .

⇔

*

Câu 22. Với n ∈ ℕ , ta xét các mệnh đề P : "7 n + 5 chia hết cho 2" ; Q :"7 n + 5 chia hết cho 3" và
Q :"7 n + 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .

Câu 5.

Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n ≥ 2 n −1 ”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài tốn này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n = 1 , ta có: n ! = 1! = 1 và 2n−1 = 21−1 = 20 = 1 . Vậy n ! ≥ 2 n −1 đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 , tức là ta có k ! ≥ 2 k −1 .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 , nghĩa là phải chứng minh ( k + 1) ! ≥ 2k .
k −1

k

n −1

Bước 3 : Ta có ( k + 1)! = ( k + 1) .k ! ≥ 2.2 = 2 . Vậy n! ≥ 2
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.
B. Sai từ bước 2.
C. Sai từ bước 1.

với mọi số nguyên dương n .
D. Sai từ bước 3.

1
1
1
an 2 + bn
Câu 24. Biết rằng
+
+ ... +
=
, trong đó a, b, c, d và n là các số
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1) ( n + 2 ) cn 2 + dn + 16
nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = ( a + c )( b + d ) .

là :
A. T = 75 .
B. T = 364 .
C. T = 300 .
D. T = 256 .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

Chọn
C.
Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1 , khi đó ta có 81 + 1 = 9 khơng chi hết cho 7.
1
1
1
Nhìn vào đuôi của Sn là

→ cho n = 2 , ta được
=
.
n. ( n + 1)
2. ( 2 + 1) 2 ⋅ 3

1
1
2
+
= . Chọn C.
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3

1
2
3
Cách trắc nghiệm: Ta tính được S1 = , S2 = , S3 = . Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn
2
3
4
mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.
Do đó với n = 2 , ta có S2 =

Câu 4.

3

Câu 6.
Câu 7.
Đáp án


1  3

→ P2 = 1 − 2  =
n = 2 

 2  4
Vì n ≥ 2 nên ta cho 
.
1 
1 2


n = 3 
→ P3 = 1 − 2  .  1 − 2  =

 2  3  3
Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.
Bẳng cách thử với n = 1 , n = 2 , n = 3 là ta kết luận được. Chọn

D.

C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn học rằng mọi n ∈ ℕ* , ta có
n(n + 1)(2n + 1)
đẳng thức 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =
.
6
1(1 + 1)(2.1 + 1)
= 1.
- Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng 12 = 1 , vế phải bằng
6
Vậy đẳng thức đúng với n = 1 .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
n = k ≥ 1 , tức là chứng minh
(k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
2
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) =
=
.

6
6
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh
(k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1)2 =
=
.
6
6
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
(k + 1)(k + 1)(2k + 1)
12 + 22 + 32 + ... + k 2 + (k + 1) 2 =
+ (k + 1) 2 .
6
(k + 1)(k + 1)(2k + 1)
k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 (k + 1)( k + 2)(2k + 3)
Mà
+ ( k + 1)2 =
=
.
6
6
6
(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
Suy ra 12 + 22 + 32 + ... + k 2 + ( k + 1)2 =
.
6
Do đó đẳng thức đúng với n = k + 1 . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là
C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua
một số giá trị cụ thể của n.
4


+ Với n = 1 thì S = 12 = 1 (loại được các phương án B và D);
+ Với n = 2 thì S = 12 + 22 = 5 (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là
C.

Mặt khác 2k 2 + 6k − ( k 2 + 5k + 4 ) = k 2 + k − 4 ≥ 4 2 + 4 − 4 = 16 với mọi k ≥ 4.
Do đó 2k + 2 > 2 ( k 2 + 3k ) > k 2 + 5k + 4 hay bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 11. Đáp án
B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180° và tổng các góc trong từ giác bằng 360° ,
chúng ta dự đoán được S = ( n − 2) .180° .
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các cơng thức. Cụ
thể là với n = 3 thì S = 180° (loại luôn được các phương án A, C và D); với n = 4 thì S = 360°
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Câu 12. Đáp án
A.
Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n .
Với n = 1 thì S = 1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C); với n = 2 thì S = 1.4 + 2.7 = 18
(loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự

Câu 8.

Đáp án

B. Ta chứng minh Tn = 2 cos

π
2 n +1

Bước 1: Với n = 1 thì vế trái bằng

bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

2 , còn vế phải bằng 2 cos

π
21+1

= 2 cos

π
4

= 2.

Vậy đẳng thức đúng với n = 1 .
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là Tk = 2 cos

π
2 k +1

.

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 , tức là chứng minh Tk +1 = 2 cos
Thật vậy, vì Tk +1 = 2 + Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk +1 = 2 + Tk = 2 + 2 cos

π
2k + 2

π
2 k +1

.

.

π
π
π
π
 π 
= 1 + cos  2. k + 2  = 2 cos 2 k + 2 nên Tk +1 = 2.2 cos 2 k + 2 = 2 cos k + 2 .
2k +1
2
2
2
 2 
Vậy phương án đúng là B.
Mặt khác, 1 + cos

Câu 9.
Đáp án

2

đốn được cơng thức S = n ( n + 1) .
Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1 + 2 + ... + n =

C. Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

12 + 22 + ... + n 2 =

1
1 1
1 
Với mọi số nguyên dương k , ta có
= 
−
.
(2k − 1)(2k + 1) 2  2k − 1 2k + 1 

Câu 13.

1 1 1 1
1
1  1
1 
n
Do đó: Sn =  1 − + − + ... +
.
−
 = 1 −

=
2 3 3 5
2n − 1 2n + 1  2  2 n + 1  2n + 1
Vậy phương án đúng là phương án
C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
1 1
= (chưa loại được phương án nào);
Với n = 1 thì S1 =
1.3 3
1
1 2
Với n = 2 thì S2 =
+
= (loại ngay được các phương án A,B và D.
1.3 3.5 5
Vậy phương án đúng là phương án
C.

k +1) +1

n ( n + 1) ( 2n + 1)
2
. Ta có: S = 3 (12 + 22 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + ... + n ) = n ( n + 1) .
6

Đáp án
B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .

Với n = 1 thì S1 = 1.1! = 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện
k .k ! = ( k + 1 − 1) .k ! = ( k + 1) .k !− k ! = ( k + 1)!− k ! . Suy ra:

Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + ... + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− 1 .
Câu 14.

Câu 10.
Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n = 1, 2,3, 4, ta dự đoán được
2n +1 > n 2 + 3n, với n ≥ 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.
Thật vây:
-Bước 1: Với n = 4 thì vế trái bằng 24 +1 = 25 = 32, còn vế phải bằng 42 + 3.4 = 28.
Do 32 > 28 nên bất đẳng thức đúng với n = 4.
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 4, nghĩa là 2k +1 > k 2 + 3k .
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh
2(

n ( n + 1)
và
2

2

> ( k + 1) + 3 ( k + 1) hay 2k + 2 > k 2 + 5k + 4.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k +1 > k 2 + 3k .
Suy ra 2.2 k +1 > 2 ( k 2 + 3k ) hay 2k + 2 > 2k 2 + 6k
5

Đáp án

A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
T
5
Với n = 1 thì T1 = 12 + 22 = 5; M 1 = 2 2 = 4 nên 1 = (loại ngay được các phương án B, C, D).
M1 4
Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:
2n ( 2n + 1) ( 4n + 1)
2n ( n + 1)( 2n + 1)
T
4n + 1
Tn =
;Mn =
. Suy ra n =
.
6
3
M n 2n + 2

Câu 15.

Đáp án
B.
Dễ thấy p = 2 thì bất đẳng thức 2 p > 2 p + 1 là sai nên loại ngay phương án
D.
Xét với p = 3 ta thấy 2 p > 2 p + 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
chúng ta chứng minh được rằng 2 n > 2n + 1 với mọi n ≥ 3 . Vậy p = 3 là số nguyên dương nhỏ
nhất cần tìm.
Câu 16. Đáp án

D.
6


Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với n = 1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta
chứng minh được rằng 2n > n 2 , ∀n ≥ 5 .
Câu 17. Đáp án
B.
1
1 1
1 
Cách 1: Với chú ý
=
−
, chúng ta có:
( 3k − 1)( 3k + 2 ) 3  3k − 1 3k + 2 
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 
+
+ ... +
=
− + − + ... +
−

( 3n − 1)( 3n + 2 ) 3  2 5 5 8

2.5 5.8
3n − 1 3n + 2 
1
3n
n
=
= .
.
3 2 ( 3n + 2 ) 6n + 4
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a = 1, b = 0, c = 6 .

Câu 21.

Câu 22.

Suy ra T = ab 2 + bc 2 + ca 2 = 6 .
a + b 1 2a + b 1 3 x + b 3
.
= ;
= ;
=
c = 4 10 2c + 4 8 3c + 4 22
2
2
Giải hệ phương trình trên ta được a = 1, b = 0, c = 6 . Suy ra T = ab + bc + ca 2 = 6

Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3 ta được:

Câu 18.

Đáp án

C.

Câu 23.
Câu 24.

1 k −1 k +1
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 − 2 =
. Suy ra
.
k
k
k
1  1 3 2 4 n − 1 n + 1 n + 1 2n + 2
 1  1  
.
=
=
.
1 −  1 −  ...  1 − 2  = . . . ...
 4  9   n  2 2 3 3
n
2n
2n
4n
2
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a = 2, b = 4 . Suy ra P = a + b 2 = 20 .
a + 1 3 3a + 2 2
Cách 2: Cho n = 2, n = 3 ta được

= ;
= . Giải hệ phương trình trren ta được
b
4 3b
3
2
2
a = 2; b = 4 . Suy ra P = a + b = 20 .
Câu 19. Đáp án
B.
2

Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 13 + 23 + ... + n3 =

n2 ( n + 1)
n 4 + 2n 3 + n 2
=
. So sánh cách hệ số,
4
4

1
1
1
ta được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 .
4
2
4
Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a, b, c, d , e . Giải hệ
1

1
1
phương trình đó, ta tìm được a = ; b = ; c = ; d = e = 0 . Suy ra M = a + b + c + d + e = 1 .
4
2
4
Câu 20. Đáp án
C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũ y thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
1
2
+) 1.2 + 2.3 + ... + n ( n + 1) = (12 + 22 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 + n .
3
3
1
2
Suy ra a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0 .
3
3
+) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ... + n ( 3n − 1) = 3 (12 + 22 + ... + n 2 ) − (1 + 2 + ... + n ) = n3 + n 2 .
Suy ra a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0 .
4
Do đó T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 = .
3

7

Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được
1
2

a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 0 ; a2 = b2 = 1; c2 = d 2 = 0 .
3
3
4
Do đó T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d 2 = .
3
Đáp án
D.
2
n 2 ( n − 1)
chúng ta thấy ngay được chỉ có S3 =
là sai.
4
Đáp án
A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7 n + 5 chia hết cho 6.
Thật vậy: Với n = 1 thì 71 + 5 = 12⋮ 6 .
Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 , nghĩa là 7 k + 5 chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 , nghĩa là phỉa chứng minh 7 k +1 + 5 chia hết cho 6.
Ta có: 7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30 .
Theo giả thiết quy nạp thì 7 k + 5 chia hết cho 6 nên 7 k +1 + 5 = 7 ( 7 k + 5 ) − 30 cũng chia hết cho 6.
Vậy 7 n + 5 chia hết cho 6 với mọi n ≥ 1 . Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng.
Đáp án
A.
Đáp án
C.
1
1 1
1


Phân tích phần tử đại diện, ta có:
.
=
−
k ( k + 1) ( k + 2 ) 2  k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) 
1
1
1
+
+ ... +
Suy ra:
1.2.3 2.3.4
n ( n + 1)( n + 2 )
1 1
1
1
1
1
1

=  −
+
−.
+ ... +
−
2 1.2 2.3 2.3 3.4
n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) 
n 2 + 3n
2 n 2 + 6n
1 1

1

=
=
.
=  −
2  2 ( n + 1) ( n + 2 )  4n 2 + 12n + 8 8n2 + 24n + 16
Đối chiếu với hệ số, ta được: a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 .
Suy ra: T = ( a + c )( b + d ) = 300 .

8


TỐN 11

Câu 6.

DÃY SỐ

Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. un =1.

1D3-2
Câu 7.

MỤC LỤC

Câu 8.

A. u n =

Câu 9.

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ............................................................................ 8

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI .............................................................................................. 17

Câu 10.

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT

Câu 11.

(THPT CHUN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số

Câu 3.

Câu 5.

u10 = 97

B.

u10 = 71

C.

u10 =1414

D.

un = 5(n−1) .

B.

un = 5n.

C.

un = 5 + n .

D.

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36, ... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.

un = 7n + 7 .

B.

un = 7.n .

C.

un = 7.n +1.

D.

un : Không viết được dưới dạng công thức.

Câu 13.

B. u n =

n
.
n +1

n −1
.
n

un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

( n − 1) n
.
2
( n + 1)( n + 2 )
D. u n = 5 +
.
2

2n

D. un = n .

C. u n = 1 + ( − 1) .

B. un không xác định.
D.

un = −n với mọi n.

u1 = 1

Cho dãy số ( un ) với 

2
u n +1 = u n + n

n ( n +1)( 2n +1)
6
n ( n −1)( 2n −1)
6

. Số hạng tổng quát

un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

.

B. un = 1 +

.

D. un = 1 +

n ( n −1)( 2n + 2)
6
n ( n + 1)( 2n − 2)
6

.
.

u1 = 2
Cho dãy số ( un ) với un +1 − un = 2n − 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới

2

C. u n =

.Số hạng tổng quát

B. un = 1− n .

A. u n = 2 + ( n − 1) .

1 2 3 4
2 3 4 5

n +1
.
n

=5

đây?

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ;... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. u n =

D. un = ( −2) + 2 ( n −1) .

B. u n = 5 +

un = 1− n .

C. un = 1+

un = 5.n +1.

C. un = (− 2)(n +1) .

u1 = 1
un của dãy số là số hạng nào dưới
Cho dãy số ( un ) với 
2 n +1 . Số hạng tổng quát
un+1 = un + ( −1)
đây?

A. un = 1+

u10 = 971

Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; ... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.

Câu 4.

Câu 12.

.

u1 = 1
un của dãy số là số hạng nào dưới
Cho dãy số ( un ) với 
2 n . Số hạng tổng quát
un+1 = un + ( −1)
đây?

C.

Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3,19, 53 . Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số
hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

1

 u n +1 = u n + n

A. un = 2 − n .

1 3 2 5
, , , ,... . Công thức tổng quát un nào là của dãy số đã cho?
2 5 3 7
n
n
n +1
2n
A. u n =
C. u n =

∀ n ∈ ℕ * . B. u n = n ∀ n ∈ ℕ * .
∀ n ∈ ℕ * . D. u n =
∀n ∈ ℕ * .
n +1
2
n+3
2n + 1

A.

(un ) với u

A. un = 1 + n .

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 2.

Cho dãy số

( n − 1) n
.
2
( n + 1) n
C. u n = 5 +
.
2

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM ................................................................................................................ 15

n +1

1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
3 32 33 3 4 35
1
1
1
B. u n = n +1 .
C. u n = n .
D. u n = n −1 .
3
3
3

A. u n =

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ............................................................................................................... 13

Câu 1.

B. un = (− 2) + n .

1 1
.
3 3 n +1

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI ................................................................................................ 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8

D. un = ( −1)

Cho dãy số có các số hạng đầu là:

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ................................................................................................................. 4
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM .................................................................................................................. 5

n
C. un = (−1) .

Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6;... .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. un = −2n .

PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT ............................................................................ 1

B. un = −1 .

D. un =

n2 − n
.
n +1

Câu 14.

1

2

B. un = 2 + n .

2

C. u n = 2 + ( n + 1) .

2

D. un = 2 − ( n − 1) .

u1 = −2

Cho dãy số ( un ) với 
1 . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +1 = −2 − u
n

2


A. un = −

Câu 15.

B. un =

1
+ 2 ( n − 1) .
2

B. un =

n

1
− 2 ( n − 1) .
2

Cho dãy số ( un )

1
B. un = ( −1) .  
2

n +1
.
n

D. un = −

Câu 23.

n
.
n +1

C. un =

1
− 2n .

2

D. un =

Cho dãy số ( un )

A. un = −2 n −1 .

n +1

.

1
C. un =  
2

n −1

1
+ 2n .
2

.

1
D. un = ( −1) .  
 2

B. un = 2n .

C. u n = 2 n +1 .

Câu 24.

Câu 25.

n −1

.

Câu 26.

D. un = 2 .

Câu 22.

Câu 28.

un +1 =

A.

4036
.
4035

4035
.
4034

C.

4038
.
4037

B. 7 .

C. 6 .

B. 32 n−1 − 1 .

1
.
2

D. 4 .

C. 32 n − 1 .

D. 32.3n − 1 .
n

(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số (un ) xác định bởi un = (−1) cos ( nπ ) .
B. − 1 .

2

D. n = 2018 .

A. un +1 =
Câu 30.

Câu 31.

a. ( n + 1)
.
n+2

C. 1.

D. −99 .

an
(a: hằng số). un +1 là số hạng nào sau đây?
n +1
2
a. ( n + 1)
a.n2 + 1
an 2
B. un +1 =
. C. un +1 =
.
D. un +1 =
.
n +1
n +1
n+2

(Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số ( un ) với un = 2n + 1 số hạng thứ 2019 của dãy

là
A. 4039 .
B. 4390 .
C. 4930 .
D. 4093 .

Cho dãy số ( un ) với un = 1 + 2 n. Khi đó số hạng u2018 bằng
A. 22018 .

Câu 32.

D. 2019 .

D.

D.

Câu 29. Cho dãy số ( un ) với un =

2
và
3

Câu 33.

1
.
10

3

C. 1 + 2 2018 .

n−2
, n ≥ 1. Tìm khẳng định sai.
3n + 1
8
19
B. u10 = .
C. u21 = .
31
64

D. 2018 + 2 2018 .

D. u50 =

47
.
150

n 2 + 2n − 1
. Tính u11 .
n +1
1422
71
C. u11 =
.
D. u11 = .
12

6

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số un =
A. u11 =

4036
.
4037

B. 2017 + 2 2017 .

Cho dãy số ( un ) với un =
A. u3 =

)

B.

C. 0 .

2

un
, n ∈ ℕ* . Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số đó?
2 ( 2 n + 1) un + 1

(

3
.

5

(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số ( un ) với un = 3n . Khi đó số hạng u2 n −1 bằng

Giá trị u99 bằng
A. 99 .

un − 1 ≥ 2039190 .

(SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số ( u n ) được xác định bởi u1 =

n
(với n∈ℕ* ).
n2 + 1

Cho dãy số ( un ) có un = −n 2 + n + 1 . Số −19 là số hạng thứ mấy của dãy?

A. 3n.3n−1 .

, n ≥ 1 . Tính tổng S = u1 + u 2 + ... + u20184 −1

4 3
n + 4 n3 + n2 + 4 n3 + 2n 2 + n + 4 n3 + 3n 2 + 3n + 1
.
A. 2016 .
B. 2017 .
C. 2018 .

B.

A. 5 .
Câu 27.

(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số {un } xác định bởi
1

2 3
D. 1; ; .
3 7

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = 1 −
A. 2 .

u = 1
Câu 20. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho dãy số ( u n ) xác định bởi  1
un +1 = u n + 2 n + 1, n ≥ 1
. Giá trị của n để −un + 2017n + 2018 = 0 là
A. Không có n .
B. 1009 .
C. 2018 .
D. 2017 .

un =

1 2 3
; ; .
2 3 4

Số hạng đầu tiên của dãy là:

Câu 19. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số (un ) xác định bởi

Câu 21.

n
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
2n − 1
1 1
1 1
B. 1; ;
C. 1; ;
2 16
4 8

Cho dãy số ( un ) , biết un =

A.

1

u =
với  1 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
un+1 = 2un
−1
−1
B. un = n −1 .
C. un = n .
D. un = 2n −2 .
2

2

u1 = 1
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho

3
*
un +1 = un + n , ∀n ∈ ℕ
A. n = 2017 .
B. n = 2019 .
C. n = 2020 .

Cho hai cấp số cộng (un ) :1; 6;11;... và (vn ) : 4; 7;10;... Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu
số có mặt trong cả hai dãy số trên.
A. 403 .
B. 401 .
C. 402 .
D. 504 .
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ

u1 = 2
với 
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
un+1 = 2un

A. u n = n n −1 .
Câu 18.

C. un = −

u1 = −1

Cho dãy số ( un ) với 
un . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +1 = 2
1
A. un = ( −1) .   .
2

Câu 17.

n +1
.
n

1

u =
Cho dãy số ( un ) với  1 2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
un +1 = un − 2

A. un =

Câu 16.

n −1
.
n

182
.
12

B. u11 =

1142
.
12

4


Câu 34.

(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số ( un ) xác định bởi

k
( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?
3n
k
k
A. Số hạng thứ 5 của dãy số là 5 .
B. Số hạng thứ n của dãy số là n +1 .
3
3
C. Là dãy số giảm khi k > 0 .
D. Là dãy số tăng khi k > 0 .

Câu 43. Cho dãy số ( un ) với un =

 nπ 
 nπ 
un = 2017 sin 
 + 2018 cos 
 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 
 3 
A. un +9 = un , ∀n ∈ ℕ* . B. un +15 = un , ∀n ∈ ℕ* .

C. un +12 = u n , ∀n ∈ ℕ* .
Câu 35.

Cho dãy số ( u n )

B. 19 .

Cho dãy số ( u n )

C. 22 .

A. Dãy số có un +1 =

D. 21 .

B. 3 .

C. 2 .

C. 9 .

C. 51,1.

D. 10 .

Câu 46.

2n −1 + 1
. Tìm
n

D. 102,3 .

Câu 47.

Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( un ) bởi công thức truy hồi sau

C. 23871 .

A. un +1 =

D. 23436 .
Câu 49.

C. Hiệu un +1 − un = ( a − 1) .

Câu 50.

a −1
( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

n2

B. Hiệu un +1 − un = (1 − a ) .
2n − 1

( n + 1)

2

n2

.

B. U n = n + 2 − n + 1 .

C. U n = 1 .

D. U n = 6n .

Cho dãy số ( un ) có un = − n 2 + n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

2n − 1

( n + 1)

2

n2

C. un = n2 .

D. un = n + 2 .

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
A. un =

B. Hiệu số un +1 − un = 3.a .
D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

a −1
.
(n + 1) 2

Dãy số (U n ) có số hạng tổng quát nào sau đây là dãy giảm?

A. 5 số hạng đầu của dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 .
B. u n +1 = −n 2 + n + 2 .
C. u n −1 − u n = 1 .
D. Là một dãy số giảm.

Câu 41. Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 42. Cho dãy số ( un ) với un =

)

A. U n = 1 + 2n .

quát u n sau, dãy số nào là dãy số giảm?
1

3n − 1
A. un = n .
B. un =
.
2
n +1

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

A. Dãy số có un+1 = a.3n +1 .
C. Với a > 0 thì dãy số tăng

.

Câu 48. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số ( u n ) cho bởi số hạng tổng

 u1 = 0
; u218 nhận giá trị nào sau đây?

u n +1 = u n + n; n ≥ 1

B. 46872 .

2

D. Là dãy số giảm.

(

u1 = 4

Câu 39. (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số 
. Tìm số
un +1 = un + n
hạng thứ 5 của dãy số.
A. 16 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 14 .

A. 23653 .

a −1

( n + 1)

an
( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai?
n +1
2
a. n 2 + 3n + 1
a. ( n + 1)
A. un +1 =
.
B. un +1 − un =
.
n+2
( n + 2)(n + 1)
C. Là dãy số luôn tăng với mọi a .
D. Là dãy số tăng với a > 0 .

Câu 38. (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn un =
số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 51, 2 .
B. 51,3 .

B. Dãy số có : un +1 =

Câu 45. Cho dãy số ( un ) với un =

D. 4 .

u1 = 5
. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?
un+1 = un + n
B. 6 .

a −1
.
n2 + 1
2

Cho dãy số ( un ) : 

A. 5 .

a −1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
n2

C. Là dãy số tăng.

có u1 = u2 = 1 và un + 2 = un +1 + un , ∀n ∈ ℕ * . Tính u4 .

A. 5 .
Câu 37.

Câu 44. Cho dãy số ( un ) với un =

2n + 1
39
có số hạng tổng quát là un = 2
. Khi đó
là số hạng thứ mấy của dãy
n +1
362

số?
A. 20 .

Câu 36.

D. un + 6 = u n , ∀n ∈ ℕ* .

n−3
.
n +1

B. un =

n

.
2

C. un =

2
.
n2

D. un =

( −1)

n

3

n

.

(THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
5 − 3n
n−5
, ( n ∈ ℕ *) .
, ( n ∈ ℕ *) .
A. un =
B. un =
2n + 3
4n + 1

3
C. un = 2n + 3, ( n ∈ ℕ *) .
D. un = cos ( 2n + 1) , ( n ∈ ℕ *) .

Câu 51. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n + 1
A. un =
.
B. un = n3 − 1 .
C. un = n2 .
D. un = 2n .
n −1

.

D. Dãy số tăng khi a < 1 .

DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI

5

6


Câu 52.

Cho dãy số ( un ) với un =

( −1)

n −1

C. Dãy số ( un ) là một dãy số giảm.
Câu 53. Cho dãy số ( un ) với un =
A. un +1 =

D. Số hạng thứ 10 của dãy số là

−1

( n + 1)

C. Là dãy số tăng.
D. Năm số hạng đầu của dãy là:

−1
.
11

Câu 60.

−1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n2 + 1

B. un > un +1 .

.
+1
C. Đây là một dãy số tăng.

Câu 54.

B. Năm số hạng đầu của dãy là:

. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là
.
B. Dãy số ( un ) bị chặn.
10

2

Cho dãy số ( un ) với un = sin

D. Bị chặn dưới.

π
n +1

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Số hạng thứ n + 1 của dãy: un+1 = sin
C. Đây là một dãy số tăng.

π
n+2

Câu 61.

Câu 57.

B. Dãy ( un ) bị chặn.

B. không tăng, không giảm.
D. không bị chặn.

C. Dãy ( un ) không bị chặn trên, không bị chặn dưới.
D. Dãy ( un ) bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới

n
là dãy số
n +1

Xét các câu sau
Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn.

Câu 62.

Trong các dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un dưới đây, dãy số nào là dãy bị chặn?
n
2
A. un = n 2 + 2 .
B. un =
.
C. un = 3n − 1 .
D. un = n + .
2n + 1

n

Câu 63.

Cho dãy số ( u n ) với un = 2 + 51−n . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Dãy số không đơn điệu.
B. Dãy số giảm và không bị chặn.
C. Dãy số tăng.
D. Dãy số giảm và bị chặn.

Câu 64.

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
2n + 1
A. un =
.
B. un = 2n + sin ( n ) . C. un = n 2 .
D. un = n3 − 1 .
n +1

(1)

1 1 1
1
Dãy 1, , , ,...,
,... là dãy bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
3 5 7
2n − 1
A. Chỉ có ( 2 ) đúng.
B. Chỉ có (1) đúng.

C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.

(2)

Câu 65. (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Chọn kết luận sai:
 1 
A. Dãy số (2n −1) tăng và bị chặn trên.
B. Dãy số 
 n +1 giảm và bị chặn dưới.
 1
 1 
C. Dãy số −  tăng và bị chặn trên.
D. Dãy số  n  giảm và bị chặn dưới.
 n 
 3.2 

1
.Khẳng định nào sau đây là sai?
n2 + n
1 1 1 1 1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ;
2 6 12 20 30
B. Là dãy số tăng.
1
C. Bị chặn trên bởi số M = .
2
D. Không bị chặn.

Câu 58. Cho dãy số ( un ) với un =

Câu 59. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số ( u n )
A. Là dãy số không bị chặn.

n + 2018
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
2018n + 1
bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên

Cho dãy ( un ) với un =

D. Dãy số không tăng không giảm.

(−1) n −1
. Khẳng định nào sau đây là sai?
n +1
1
−1
A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .
B. Số hạng thứ 10 của dãy số là
.
10
11
C. Đây là một dãy số giảm.
D. Bị chặn trên bởi số M = 1 .

A. tăng.
C. giảm.

−1
.Khẳng định nào sau đây là sai?

n
−1 −1 −1 −1
A. Năm số hạng đầu của dãy là: − 1; ; ; ;
2 3 4 5 .
B. Bị chặn trên bởi số M = −1 .
C. Bị chặn trên bởi số M = 0 .
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M = −1 .

A. Dãy ( un )

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số ( un ) có un =

−1 −2 −3 −4 −5
;
;
;
;
.
2 3
4
5
6

Cho dãy số ( un ) với un =

B. Dãy số bị chặn.

Câu 55. Cho dãy số ( un ) với un =

Câu 56.

−1 −2 −3 −5 −5
;
;
;
;
.
2 3 4
5
6

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1.

−n
với un =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
n +1

DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT
2 3 4 5
Viết lại dãy số: , , , ,...
4 5 6 7
n +1
⇒ un =
∀n ∈ ℕ ∗ .
n+3

Câu 2.

Hướng dẫn giải:
7

8


Chọn A.
Xét dãy (un ) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d

Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Ta có:
1
2
3
4
5
n
Các số hạng đầu của dãy là ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ;... ⇒ un = ( −1) .

 a + b + c + d = −1
8a + 4b + 2c + d = 3

Ta có hệ: 
 27a + 9b + 3c + d = 19
64a + 16b + 4c + d = 53
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1, b = 0, c = −3, d = 1

Câu 7.

Hướng dẫn giải
Chọn
D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là

⇒ un = n3 − 3n + 1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10 = 971 .

Chọn

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải
Chọn

Câu 6.

Suy ra un =

n
.
n +1

B.

Ta có un = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 = 5 +

Câu 10.

Chọn

n ( n − 1)

.
2
D.
2n
= un + ( −1) = u n + 1 ⇒ u 2 = 2; u3 = 3; u4 = 4;...

u
Ta có: n +1
Dễ dàng dự đốn được un = n .
Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Hướng dẫn giải

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 1 . Vậy (*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ ℕ* ) , ta có: uk = k . Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với
n = k + 1 , tức là: uk +1 = k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ( u n ) ta có: uk +1 = u k + ( −1)

2k

= k + 1 . Vậy (*) đúng với

mọi n ∈ ℕ* .
Câu 11. Chọn
A.
Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2 ,. Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n .

Câu 12. Chọn
C.
u1 = 1

2
u2 = u1 + 1

Ta có: u3 = u2 + 22
.
...

u = u + ( n − 1)2
n −1
 n

Hướng dẫn giải
B.

1 1 1 1 1
1
; ; ; ; ;... nên un = n .
31 32 33 34 35
3

Câu 9.

Câu 5.
Chọn
Ta có:
0

0=
0 +1
1
1
=
2 1+1
2
2
=
3 2 +1
3
3
=
4 3 +1
4
4
=
5 4 +1

Hướng dẫn giải

C.

5 số hạng đầu là

Câu 4.
Chọn
C.
Ta có:
8 = 7.1 + 1

15 = 7.2 + 1
22 = 7.3 + 1
29 = 7.4 + 1
36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1 .

nên

Câu 8.

Câu 3.
Chọn
B.
Ta có:
5 = 5.1
10 = 5.2
15 = 5.3
20 = 5.4
25 = 5.5
Suy ra số hạng tổng quát un = 5n .

( −2)

un = ( −2 ) + 2. ( n − 1) .

2

Cộng hai vế ta được un = 1 + 12 + 2 2 + ... + ( n − 1) = 1 +

Câu 13.

9

Chọn

n ( n − 1)( 2n − 1)
6

A.

10


Ta có:

Câu 14.

Chọn
Ta có:

Câu 15.

Chọn

Ta có:

Câu 16.

Chọn

Ta có:

Câu 19.

u1 = 2
u = u + 1
1
 2
2
. Cộng hai vế ta được un = 2 + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 3) = 2 + ( n − 1)
u3 = u2 + 3
...

un = un −1 + 2n − 3
C.
3
4
5
n +1
u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ;... Dễ dàng dự đoán được un = −
.
2
3
4
n
B.
1

u1 = 2


u2 = u1 − 2
1
1

u3 = u2 − 2 . Cộng hai vế ta được un = − 2 − 2... − 2 = − 2 ( n − 1) .
2
2
...

un = un −1 − 2

D.
u1 = −1

u2 = u1
2


u2
.
u3 =
2

...

un = un −1
2


Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = ( −1) .

u1.u2 .u3 ...un −1
1
1
⇔ un = ( −1) . n −1 = ( −1) .  
2.2.2...2
2
2

Lại có 13 + 23 + ... + (n − 1)3 = (1 + 2 + ... + (n − 1)) 2 =

(n − 1) 2 n 2
.
4

n 2 (n − 1)2
n(n − 1)
⇒ un − 1 =
.
4
2
Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta được kết quả n = 2020 .
Câu 20. Với n = 1 ta có: u2 = u1 + 3 = 4 = 2 2 .
Suy ra: un = 1 +

Với n = 2 ta có: u3 = u2 + 2.2 + 1 = 9 = 32 .
Với n = 3 ta có: u4 = u3 + 2.3 + 1 = 16 = 4 2 .
Từ đó ta có: un = n 2 .

 n = −1( L )

Suy ra −un + 2017n + 2018 = 0 ⇔ − n 2 + 2017 n + 2018 = 0 ⇔ 
.
 n = 2018 ( N )
1
Câu 21. Ta có: un =
3
4 3
4
4
n + n . n + 1 + n . n + 1 + 4 ( n + 1)
1

=
n
=

=

=

(

4

)

n + 4 n + 1 + n + 1.

(

4

n + 4 n +1

)

1

(
4

4

n + 4 n +1

)(

n + n +1

)

n +1 − n
n + 4 n +1

(

)(

n +1 − n .

4

n +1 − 4 n

)

n +1 − n
= 4 n +1 − 4 n .

n −1

Do đó S = 4 2 − 4 1 + 4 3 − 4 2 + ... + 4 20184 − 1 + 1 − 4 20184 − 1

n −1 lan

Câu 17.

Theo hệ thức đã cho ta có:
un = un−1 + (n − 1)3 = un−2 + (n − 2)3 + ( n − 1)3 = ... = u1 + 13 + 23 + ... + (n − 1)3 .

Chọn

B.
u1 = 2
u = 2u
1
 2
Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = 2.2 n −1.u1.u2 ...u n −1 ⇔ un = 2 n
...


un = 2un −1
Câu 18. Chọn
D.
1

u1 = 2

u2 = 2u1
1

Ta có: u3 = 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2 .u3 ...un = .2n−1.u1.u2 ...un−1 ⇔ un = 2n−2
2
...

un = 2un −1


= −1 + 4 20184 = −1 + 2018 = 2017 .
2 ( 2n + 1) un + 1 1
 1

1
= + 4n + 2 = 
Câu 22. - Ta có:
=
+ 4 ( n − 1) + 2  + 4n + 2
un
un +1
un
 u n −1


Tương tự ta đươc:
1
1
3
4n 2 + 8n + 3
= + ( 4.1 + 2 ) + ( 4.2 + 2 ) + ... + ( 4n + 2) = + 2n + 2n ( n + 1) =
un+1 u1
2
2
2
2
⇒ un +1 = 2
=
4n + 8n + 3 ( 2n + 1)( 2 n + 3)
⇒ un =

2

( 2n − 1)( 2n + 1)

=

1
1
−
2n − 1 2n + 1

2018
1

2n
4036
⇒ ∑ uk =
=
.
2n + 1 2 n + 1
4037
k =1
k =1
Câu 23. Đáp án. A.
Dãy (un ) có số hạng tổng quát là un = 1 + 5( n −1) = 5n − 4,
n

⇒ ∑ uk = 1 −

11

(1 ≤ n ≤ 2018) .
12


Dãy (vm ) có số hạng tổng quát là vm = 4 + 3(m −1) = 3m +1, (1 ≤ m ≤ 2018) .


1 ≤ m, n ≤ 2018
Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại m, n ∈ ℕ thỏa mãn điều kiện: 
.




um = un (*)
Ta có (*) ⇔ 5n − 4 = 3m +1 ⇔ 5( n −1) = 3m (**)
Từ (**) suy ra m⋮ 5 , mặt khác 1 ≤ m ≤ 2018 nên ta được tập các giá trị của m là {5;10;...; 2015}
.
3.2015
Xét với m = 2015 thì n =
+ 1 = 1210 < 2018 , thỏa điều kiện 1 ≤ n ≤ 2018 .
5
Do tập {5;10;...; 2015} có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho.

Ta có: u11 =

Câu 34.

Chọn C

112 + 2.11 − 1 71
= .
11 + 1
6

 ( n + 12 ) π 
 ( n + 12 ) π 
Ta có: un +12 = 2017sin 
 + 2018cos 

2
3





 nπ

 nπ

= 2017 sin 
+ 6π  + 2018cos 
+ 4π 
 2

 3

 nπ 
 nπ 
=
u
,
∀
n
∈
ℕ* .
= 2017 sin 
+
2018
cos
n




 2 
 3 
Câu 35.
Lời giải
Chọn B

DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 24. Chọn
D.
2
3
u1 = 1, u2 = , u3 = .
3
7
Câu 25. Chọn D
1
1
Ta có u1 = 1 − 2
= .
1 +1 2

Câu 26.

Ta có

Câu 36.
Chọn B
Ta có u3 = u2 + u1 = 2 .

Chọn A

Giả sử un = −19 , ( n ∈ ℕ* ) .

Câu 37.

Vậy số 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 2:
Dựa vào công thức truy hồi ta có

u1 = 5

Vậy số −19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 27. Chọn A
un = 3n ⇒ u2 n −1 = 32 n −1 = 3n.3n −1
Câu 28. Chọn C
99
Ta có: u99 = (−1) cos (99π ) = − cos (98π + π ) = − cos (π ) = 1.
Câu 29.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.

u2 = 5 + 1
u3 = 5 + 1 + 2
u4 = 5 + 1 + 2 + 3
.....
⇒ un = 5 + 1 + 2 + ... + n − 1 = 5 +

2

a. ( n + 1)

a ( n + 1)
=
.
( n + 1) + 1 ( n + 2 )2
Chọn
A.
Ta có: u2019 = 2.2019 + 1 = 4039 .
Chọn C
Ta có u2018 = 1 + 2 2018.
Chọn D
50 − 2
48
Ta có: u50 =
=
.
3.50 + 1 151
Chọn D

⇒ 20 = 5 +

Ta có un +1 =

Câu 30.
Câu 31.
Câu 32.

Câu 33.

u 4 = u3 + u 2 = 3 .
Chọn B

Cách 1:

u1 = 5, u2 = 6, u3 = 8, u4 = 11, u5 = 15, u6 = 20

Suy ra − n 2 + n + 1 = −19
⇔ − n 2 + n + 20 = 0
n = 5
.
⇔
 n = −4 ( l )

2

n = 19
2n + 1 39
=
⇔ 39n2 − 724n − 323 = 0 ⇔ 
, do n ∈ ℕ* nên n = 19 .
2
n = − 17
n + 1 362
39


n ( n − 1)
2

n ( n − 1)
n = 6
( n ∈ ℕ *) ⇔ n 2 − n − 30 = 0 ⇔ 

2
 n = −5(lo¹i)

Vậy 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS
1 SHIFT STO A
5 SHIFT STO B
Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C
Ấn CALC và lặp lại phím =
Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6
210−1 + 1
Câu 38. Ta có: u10 =
= 51,3 .
10
13

14


Câu 39.
Câu 40.

Ta có u2 = u1 + 1 = 5 ; u3 = u2 + 2 = 7 ; u4 = u3 + 3 = 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là
u5 = u4 + 4 = 14 .

U n = n + 2 − n + 1 ⇒ U n +1 = n + 3 − n + 2 ⇒

Đặt vn = un +1 − un = n , suy ra ( vn ) là một câp số cộng với số hạng đầu v1 = u2 − u1 = 1 và công sai
d =1.
Xét tổng S217 = v1 + v2 + ... + v217 .

Ta có S217 = v1 + v2 + ... + v217 =
Mà vn = un +1 − un suy ra S 217

217. ( v1 + v217 )

2
un +1 − un =  − ( n + 1) + n + 1 + 1 −  −n 2 + n + 1 = −n 2 − 2n − 1 + n + 2 + n 2 − n − 1 = −2n < 0 ∀n ≥ 1


Do đó ( un ) là một dãy giảm.

⇒ u218 = S 217 + u1 = 23653 .

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

B.

 1
1 
−2n − 1
2n + 1
Ta có un +1 − un = ( a − 1) . 
.
−  = ( a − 1) . 2
= (1 − a ) . 2
2
2

 ( n + 1)2 n 2 
n
n
+
1
n
(
)
( n + 1)



Câu 49.

Xét A:

Ta có un =
Chọn

Hướng dẫn giải

B.

2
2
, un +1 =
2
n2
( n + 1)

Xét D:
−1
1
−1
Ta có u1 = ; u2 = ; u3 =
. Vậy ( u n ) là dãy số không tăng không giảm.
3
9
27
5 − 3 ( n + 1) 5 − 3n 2 − 3n 5 − 3n
5 − 3n
−
Câu 50. Xét un =
, ( n ∈ ℕ *) , ta có un +1 − un =
=
−
2 ( n + 1) + 3 2n + 3 2n + 5 2n + 3
2n + 3

Hướng dẫn giải

Chọn

=

Câu 45.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Chọn a = 0 thì un = 0 ,dãy ( un ) không tăng, không giảm.

=

( 2 − 3n )( 2n + 3) − ( 2n + 5)( 5 − 3n )
( 2n + 5)( 2n + 3)
−19

( 2n + 5)( 2n + 3)

=

4n − 6n2 + 6 − 9n − 10n + 6n 2 − 25 + 15n
( 2n + 5)( 2n + 3)

< 0, ∀n ∈ ℕ * .

5 − 3n
, ( n ∈ ℕ *) là dãy giảm.
2n + 3
Câu 51. Với mọi n ∈ ℕ , n > 1 . Ta có
2 ( n + 1) + 1 2n + 1 2n + 3 2n + 1
un +1 − un =
−
=
−
n
n −1
( n + 1) − 1 n − 1
V ậ y un =

Câu 46. Chọn B
Ta có
U n = 1 + 2n ⇒ U n +1 = 1 + 2(n + 1) ⇒ U n +1 − U n = 2 > 0 suy ra là dãy tăng.

U n = 1 là dãy số không đổi.
U n = 6n ⇒ U n +1 = 6n +1 ⇒

n −3
n−2
n−2 n−3
4
; un +1 =
. Khi đó: un +1 − u n =
−
=
> 0 ∀n ∈ ℕ
n +1
n+2
n + 2 n + 1 ( n + 1)( n + 2 )

u n +1
n2
n2
=
< 2 = 1, ∀n ∈ ℕ ∗ . Vậy ( un ) là dãy giảm.
2
un
n
+
1

( ) n

k
Số hạng thứ n của dãy là un = n .
3
B.
a −1
Ta có un +1 =
.
2
( n + 1)

1
1
<
= un +1 ∀n ∈ ℕ* .
2n 2n +1

Xét C:

Câu 43.

Câu 44.

Ta có un =

Vậy ( un ) là dãy số tăng.
Xét B:
n
n +1

n +1 n 1
Ta có un = ; un +1 =
. Khi đó: un +1 − un =
− = > 0 ∀n ∈ ℕ
2
2
2
2 2
Vậy ( un ) là dãy số tăng.

Câu 42.
Chọn

Câu 48.

Ta có un =

Chọn
B.
Ta có un +1 − un = a.3n +1 − a.3n = a.3n ( 3 − 1) = 2a.3n .

(

Hướng dẫn giải

D.

Chọn
Ta có :

=
= 23653 .
2
2
= v1 + v2 + ... + v217 = ( u2 − u1 ) + ( u3 − u 2 ) + ... + ( u218 − u217 ) = u218 − u1

DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

)
)

suy ra là dãy giảm.
Câu 47.

217. (1 + 217 )

Câu 41.

(

U n +1 − n + 2 + n + 1
=
<0
Un
n+ 2 + n+3

U n +1 6.6n
= n = 6 > 1 suy ra là dãy tăng.
Un
6

=

( 2n + 3)( n − 1) − n ( 2n + 1) = ( 2n + 3)( n − 1) − n ( 2n + 1) = −3 < 0 , với mọi
n∈ ℕ , n >1.
n ( n − 1)
n ( n − 1)
n ( n − 1)

Suy ra dãy số giảm.
15

16


DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI
Câu 52. Chọn C

( −1)

Do đó ( un ) là dãy giảm, mà u1 = 1 , dễ thấy ∀n ∈ ℕ* , un > 0 ⇒ 0 < u n ≤ 1.
Suy ra: Dãy ( un ) bị chặn.

n −1

1
=
< 1, ∀n ∈ ℕ* nên ( un ) là dãy số bị chặn.
Dễ thấy un =
n +1

n +1

Câu 62.

1
−1
1
−1
; u10 = ; u11 = ; u12 = ;... suy ra dãy ( un ) không phải là dãy số tăng cũng
10
11
12
13
khơng phải là dãy số giảm.
Do đó đáp án C sai.
Lại có u9 =

Câu 53.
Câu 54.

Chọn
B.
Chọn
D.
Dãy số khơng tăng khơng giảm.

Câu 56.

n
1

1
1
1
= −
< ⇒ un < .
2n + 1 2 2 n + 1 2
2
n
1
n
Mặt khác ta thấy ngay un =
bị chặn.
> 0 ∀n ∈ ℕ * ⇒ 0 < un < ⇒ dãy số un =
2n + 1
2
2n + 1
Câu 63. Chọn
D.
1
1
1 5
4
Xét un+1 − un = 2 + 5−n − 2 + 51−n = 5− n − 51−n = n − n −1 = n − n = − n < 0, ∀n ∈ ℕ* .
5 5
5 5
5
⇒ ( un ) là dãy số giảm.
un =

(

Câu 55.

) (

)

Ta có: un = 2 + 51−n > 2, ∀n ∈ ℕ* ; un = 2 +

Hướng dẫn giải

Chọn
C.
Dãy un là một dãy đan dấu.

Chọn B
lim n 2 + 2 = +∞ ⇒ dãy số un = n 2 + 2 không bị chặn.

5
≤ 3, ∀n ∈ ℕ* .
5n

⇒ ( un ) là dãy số bị chặn.

Câu 64.

Chọn A

n +1
n

(n + 1)2 − n( n + 2)
1
−
=
=
> 0, ∀n ∈ ℕ .
n + 2 n +1
( n + 2)(n + 1)
( n + 2)(n + 1)
Suy ra dãy số đã cho là dãy tăng.
Câu 57. Chọn
D.
Dãy 1, 2,3,..., n,... là dãy bị chặn dưới, không bị chặn trên nên không phải dãy số bị chặn.
1 1 1
1
,... là dãy bị chặn trên tại 1 và bị chặn dưới tại 0 .
Dãy 1, , , ,...,
3 5 7
2n − 1
Do đó cả hai câu trên đều sai.
Câu 58.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
1
1
1
1
−2
Ta có un +1 − un =

−
=
−
=
<0
2
( n + 1) + ( n + 1) n 2 + n ( n + 1)( n + 2 ) n ( n + 1) n ( n + 1)( n + 2 )

Xét dãy số un =

2n + 1
ta có:
n +1

2n + 1
> 0; ∀n ∈ ℕ* ⇒ dãy ( u n ) bị chặn dưới bởi giá trị 0 .
n +1
2n + 1
1
* un =
= 2−
< 2; ∀n ∈ ℕ* ⇒ dãy ( u n ) bị chặn trên bởi giá trị 2 .
n +1
n +1
⇒ dãy ( un ) là dãy bị chặn.
* un =

Ta có un +1 − un =

Câu 65.

với

 1 
Đáp án B đúng vì dãy số 
giảm và bị chặn dưới bởi 0.
 n +1
 1
Đáp án C đúng vì dãy số −  tăng và bị chặn trên bởi 0.
 n 
 1 
Đáp án D đúng vì dãy số  n  giảm và bị chặn dưới bởi 0.
 3.2 
Đáp án A sai vì dãy số (2 n −1) tăng nhưng không bị chặn trên.

n ≥ 1.
Do đó ( un ) là dãy giảm.
Câu 59.

Năm số hạng đầu của dãy là:

Câu 60.
Chọn

−1 −2 −3 −4 −5
;
;
;
;
.

2 3 4
5
6

B.

Hướng dẫn giải

−1 −1
≥
= −1 .
n
1
bị chặn dưới bởi M = −1 .

Nhận xét : un =
Dãy số ( un )

Câu 61.

Chọn B
Ta có: un =

n + 2018
1
2017.2019
=
+
.
2018n + 1 2018 2018 ( 2018n + 1)

17

18


TOÁN 11

CẤP SỐ CỘNG

A. un = n 2 + 1, n ≥ 1 .

1D3-3

Câu 7.

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ....................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................ 1

Câu 8.

DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................... 2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ..................................................................................................... 3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................... 5

Câu 9.

DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG............................................................................................................. 12
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................... 13
DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 19

Câu 1.

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. 1; −2; −4; −6; −8 .
B. 1; −3; −6; −9; −12. C. 1; −3; −7; −11; −15. D. 1; −3; −5; −7; −9 .

Câu 2.

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Trong các dãy số sau,
dãy số nào không phải cấp số cộng?
1 3 5 7 9
A. ; ; ; ; .
B. 1;1;1;1;1 .
C. −8; −6; −4; −2;0 .
D. 3;1; −1; −2; −4 .
2 2 2 2 2

Câu 3.

Xác định a để 3 số 1 + 2 a; 2 a 2 − 1; −2 a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?

C. a = ±3 .
Câu 4.
Câu 5.

Câu 6.

3
.

4
3
D. a = ±
.
2

B. a = ±

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. un = 3n 2 + 2017 .
C. un = 3n .
B. un = 3n + 2018 .
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
1
A. ( un ) : un = .
n
C. ( un ) : un = 2n − 1 .

2

)

)

B. un = 3n + 1, n ∈ ℕ* .

(

)

3n + 1
, ( n ∈ ℕ* ) .
D. un =
n+2

(THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Tam giác ABC có ba cạnh a , b ,
c thỏa mãn a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong
các khẳng định sau
A. tan 2 A , tan 2 B , tan 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
B. cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
D. sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG

A. Khơng có giá trị nào của a .

Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?
A. un = n + 2n , n ∈ ℕ* .

(

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................................................................................. 15

5n − 2
.
3

D. un = ( n + 3) − n2 .

B. 49 , 43 , 37 , 31 , 25 .C. un = 1 + 3n .

C. un = 3n , n ∈ ℕ* .
Câu 10.

D. un =

Các dãy số có số hạng tổng quát u n . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số
cộng?

(

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ........................................................................................................................... 10

D. un = 2n − 3, n ≥ 1

C. un = n + 1, n ≥ 1.

Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
2
A. u n = 3 n +1 .
B. un =
.
C. un = n 2 + 1 .
n +1

A. un = 2n + 5 .

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC.............................................................................. 8
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG ...................................................................................................................... 10

B. un = 2 n , n ≥ 1 .

D. un = ( −3)

n +1

Câu 11.

(Mã 103 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và u2 = 6 . Công sai của cấp số cộng
đã cho bằng
A. 4.
B. −4 .
C. 8 .
D. 3.

Câu 12.

(Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 1 và u2 = 4 . Công sai của cấp số cộng
đã cho bằng
A. 4 .
B. −3 .
C. 3 .
D. 5 .

Câu 13.

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9 . Công sai của cấp số cộng

đã cho bằng
A. −6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .

Câu 14.

(Mã 102 - BGD - 2019) Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 và u2 = 8 . Công sai của cấp số cộng
đã cho bằng
A. 10 .
B. 6 .
C. 4 .
D. −6 .

Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −3 , u6 = 27 . Tính cơng sai d .
A. d = 7 .
B. d = 5 .
C. d = 8 .
D. d = 6 .

.

Câu 16. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng tổng quát
là un = 3n − 2 . Tìm cơng sai d của cấp số cộng.
A. d = 3 .
B. d = 2 .
C. d = −2 .

B. ( un ) : un = un −1 − 2, ∀n ≥ 2 .

D. ( un ) : un = 2un −1 , ∀n ≥ 2 .

Câu 17.

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
1

D. d = −3 .

Cho cấp số cộng ( un ) với u17 = 33 và u33 = 65 thì cơng sai bằng
2


A. 1.
Câu 18.

Câu 19.

B. 3 .

C. −2 .

D. 2 .

Câu 29.

Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai d của
cấp số cộng đã cho
A. d = −5 .
B. d = 4 .

C. d = −4 .
D. d = 5 .

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho cấp số cộng u n có các số hạng đầu lần
lượt là 5;9;13;17;... . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng?
A. un = 4n + 1 .
B. un = 5n − 1 .
C. un = 5n + 1 .

D. un = 4n − 1 .

Câu 30.

Câu 31.

Câu 20. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Xác định số hàng đầu u1 và công sai d của cấp số

Câu 21.

B. u1 = 3 và d = 5 .

C. u1 = 4 và d = 5 .

Câu 32.

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho ( un ) là một cấp số cộng thỏa mãn u1 + u3 = 8 và

u4 = 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 3 .
B. 6 .

C. 2 .
Câu 22.

D. u1 = 4 và d = 3 .

Câu 33.

Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 34.

Câu 36.

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 11 và cơng

Câu 38.

sai d = 4 . Hãy tính u99 .
A. 401 .
B. 403 .

Câu 39.

D. 404 .

(THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) , biết: u1 = 3

,
D. u3 = −5 .

Câu 28.

C. 38 .

D. 44

(Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công sai

d = 2 . Giá trị của u7 bằng:
A. 15 .
B. 17 .

C. 19 .

B. 289 .

C. 288 .

D. 286 .

B. u5 = 15 .

C. u2 = 3 .

D. u3 = 6 .

Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 2 ; d = 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấ y trong dãy?

B. 225 .

C. 223 .

Cho cấp số cộng 1, 4, 7,... . Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là
A. 297 .
B. 301 .
C. 295 .

D. 224 .
D. 298 .

Cho cấp số cộng ( un ) biết u1 = 3 , u8 = 24 thì u11 bằng

B. 33 .

C. 32 .

D. 28 .

Cho cấp số cộng có số hạng thứ 3 và số hạng thứ 7 lần lượt là 6 và −2. Tìm số hạng thứ 5.
A. u5 = 2.
B. u5 = −2.
C. u5 = 0.
D. u5 = 4.

Câu 41. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15
bằng
A. 27 .

B. 31.
C. 35 .
D. 29 .

(THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - HÀ TĨNH - 2018) Một cấp số cộng ( u n ) có u13 = 8 và
B. 28 .

D. u2018 = 4038 .

Cho cấp số cộng có u1 = −2 và d = 4 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. 30 .
Câu 40.

d = −3 . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng ( u n ) .

A. 50 .

C. u2018 = 4036 .

(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một
cấp số cộng có 5 số hạng?
A. 6 , 12 , 18 .
B. 8 , 13 , 18 .
C. 7 , 12 , 17 .
D. 6 , 10 , 14 .

A. 226 .

u2 = −1 . Chọn đáp án đúng.

Câu 27.

B. u2018 = 22017 .

(THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 3 và cơng sai d = 7 .

A. u4 = 8 .
Câu 37.

C. u3 = 2 .

D. 33 .

(LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho cấp số cộng ( u n ) với số hạng đầu tiên

A. 287 .
Câu 35.

(THPT CAN LỘC - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = 4 . Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. u5 = 15 .
B. u4 = 8 .
C. u3 = 5 .
D. u2 = 2 .

B. u3 = 7 .

C. − 33 .

Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5 . Giá trị u 4 bằng
A. 22.
B. 17.
C. 12.
D. 250.

Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của ( un ) đều lớn hơn 2018 ?

(THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cấp số cộng ( u n ) có số hạng đầu u1 = 3 , cơng sai d = −2
thì số hạng thứ 5 là
A. u5 = 8 .
B. u5 = 1 .
C. u5 = −5 .
D. u5 = −7 .

A. u3 = 4 .

(Phát triển đề minh họa 2019_Số 1) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = −2 và công sai

A. u2018 = 22018 .

u − u + u = 7
Tìm cơng thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) thỏa mãn:  2 3 5
u1 + u6 = 12
A. un = 2n + 3 .
B. un = 2n − 1 .
C. un = 2n + 1 .
D. un = 2n − 3 .

C. 402 .

D. 4078 .

u1 = 2 và công sai d = 2 . Tìm u2018 ?

D. 4 .

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG

Câu 23.

C. 8078 .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3
và công sai d = −2 .
A. −21 .
B. 23 .
C. −19 .
D. −17 .
d = −7. Giá trị u6 bằng
A. 37 .
B. −37 .

cộng ( u n ) có u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + 5 .

A. u1 = 3 và d = 4 .

(Đề minh họa thi THPT Quốc gia năm 2019 – Đề số 6) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu
u1 = 2 và công sai d = 4 . Giá trị u2019 bằng
A. 8074 .

B. 4074 .

D. 13 .
3

Câu 42. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u2 = 2001 và u5 = 1995 . Khi đó
u1001 bằng
A. 4005 .

B. 1 .

C. 3 .

D. 4003 .

4


Câu 43.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có số hạng đầu

Câu 53.

u1 = 2018 công sai d = −5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị
âm.
A. u406 .

Câu 44.

Câu 45.

B. u403 .

un = 1 − 3n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng.
A. −59049 .
B. −59048 .
C. −155 .

D. u404 .

C. u405 .

u − 2u5 + u6 = −15
Cho cấp số cộng ( u n ) có  1
. Số hạng đầu u1 là
u3 + u7 = 46
A. u1 = −5 .
B. u1 = 5 .
C. u1 = 3 .

Câu 54.

B. 62 .

C. 47 .

D. u1 = −3 .

Câu 55.

D. 52 .

Câu 47.

2
3

2
4

Câu 48. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) , biết u1 = −5 , d = 2 . Số 81
là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 100 .
B. 50 .
C. 75 .
D. 44 .
Câu 49.

(THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Một cấp số cộng ( un ) có

(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hai cấp số cộng ( xn ) : 4 , 7 , 10 ,…

Câu 58.

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho cấp số cộng ( un ) có u5 = −15 ; u20 = 60 . Tổng 20
số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. S20 = 250 .
B. S20 = 200 .
C. S20 = −200 .

D. S20 = −25 .

Câu 61.
Câu 62.

B. S10 = 100 .

C. S10 = 21 .

C. 12 .

C. S20 = −250 .

D. S20 = −1080 .

B. −117 .

C. Đáp án khác.

D. −116 .

Dãy số ( u n )n =1 là cấp số cộng, công sai d . Tổng S100 = u1 + u2 + ... + u100 , u1 ≠ 0 là
+∞

B. S100 = 50u100 .

C. S100 = 50 ( u1 + u100 ) . D. S100 = 100 ( u1 + u100 ) .

Câu 63. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có

D. S10 = 19 .

u2013 + u6 = 1000 . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:
A. 1009000 .
B. 100800 .
C. 1008000 .

sai d = 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số ( un ) là Sn = 253 . Tìm n .

B. 11 .

B. S20 = 1080 .

Cho cấp số cộng ( un ) với un = 3 − 2n thì S60 bằng

A. S100 = 2u1 + 99d .

[KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho dãy số ( un ) là một cấp số cộng có u1 = 3 và công

A. 9 .

D. d = 2; S10 = 110 .

Cho cấp số cộng có cơng sai d = 6 và S3 = 9 . Khi đó tổng 20 số hạng đầu tiên S 20 là

A. −6960 .

(THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 1 và công sai
A. S10 = 110 .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) biết u3 = 6, u8 = 16.

A. S20 = 1200 .

d = 2 . Tổng S10 = u1 + u2 + u3 ..... + u10 bằng:

Câu 52.

Cho cấp số cộng ( un ) với số hạng đầu u1 = −6 và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng
đầu tiên của cấp số cộng đó.
A. S = 46 .
B. S = 308 .
C. S = 644 .
D. S = 280 .

Câu 60.

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN

Câu 51.

Câu 57.

Tính cơng sai d và tổng của 10 số hạng đầu tiên.
A. d = 2; S10 = 100 .
B. d = 1; S10 = 80 .
C. d = 2; S10 = 120 .

và ( yn ) : 1 , 6 , 11,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng
chung?

A. 404 .
B. 673 .
C. 403 .
D. 672 .

D. 8 154 741 .

(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho ( un ) là cấp số cộng biết u3 + u13 = 80 . Tổng 15 số hạng đầu
của cấp số cộng đó bằng
A. 800 .
B. 600 .
C. 570 .
D. 630

Câu 59.

u9 = 47 , công sai d = 5 . Số 10092 là số hạng thứ mấ y trong cấp số cộng đó?
A. 2018 .
B. 2017 .
C. 2016 .
D. 2019 .

Câu 50.

(PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI THPT QUỐC GIA 2019Cho cấp số cộng ( u n ) có số

Câu 56.
D. u100 = −294 .

Cho cấp số cộng u n có cơng sai d = 2 và biểu thức u + u + u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là

số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u n ?
A. 1011 .
B. 1014 .
C. 1013 .
D. 1012 .
2
2

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho dãy số vơ hạn {un } là cấp số cộng có

hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
A. 4 080 399 .
B. 4 800 399 .
C. 4 399 080 .

Câu 46. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn
u5 + 3u3 − u2 = −21
. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

3u7 − 2u4 = −34
A. u100 = −243 .
B. u100 = −295 .
C. u100 = −231 .

D. −310 .

công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai?
u +u
A. u5 = 1 9 .
B. un = un −1 + d , n ≥ 2 .

2
n
C. S12 = ( 2u1 + 11d ) . D. un = u1 + (n − 1).d , ∀n ∈ ℕ* .
2

u1 = 2
Cho dãy số (U n ) xác định bởi 
Tính u10 ?
*
un +1 = un + 5, n ∈ N

A. 57 .

(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) , n ∈ ℕ* có số hạng tổng quát

Câu 64.

D. 10 .

5

D. 100900 .

u + u = 8
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho cấp số cộng (u n ) thỏa mãn  1 4
.
 u3 − u 2 = 2
Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên.
A. 100 .
B. 110 .

C. 10 .
D. 90 .
6


Câu 65.

Câu 66.

Câu 75.

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho cấp số cộng {un } có u4 = −12 ; u14 = 18 .
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
A. S = 24 .
B. S = −25 .
C. S = −24 .
D. S = 26 .

S=

u − u3 + u5 = 10
(THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) thỏa  2
.
u4 + u6 = 26
Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011
A. S = 2023736 .
B. S = 2023563 .
C. S = 6730444 .
D. S = 6734134 .

Câu 76.

số hạng đầu Sn tính theo cơng thức Sn = 5n + 3n,( n ∈ ℕ ) . Tìm số hạng đầu u1 và cơng sai d

D. u1 = 8; d = −10 .

Câu 71.

C. u1 = 2 , d = 2 .

9
.
5

B.

5
.
9

C.

5
.
3

Câu 78.

D. u1 = 2 , d = 4 .

Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng ( an ) . Biết S6 = S9 , tỉ số

A.

C. S =

198
.
199

D. S =

99
.
199

Cho tam giác đều A1 B1C1 có độ dài cạnh bằng 4 . Trung điểm của các cạnh tam giác A1 B1C1 tạo
thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm của các cạnh tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 …
Gọi P1 , P2 , P3 ,... lần lượt là chu vi của tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,…Tính tổng chu vi

B. P = 24 .

C. P = 6 .

D. P = 18 .

Câu 77. (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN 3 - 2018) Hùng đang tiết kiệm để mua một cây
guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong mỗi tuần tiếp theo, anh ta đã thêm 8
đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng cần mua có giá 400 đơ la. Hỏi vào tuần
thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó?

A. 47 .
B. 45 .
C. 44 .
D. 46 .

Câu 69. (THPT LÊ HOÀN - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) biết u5 = 18 và

Câu 70.

200
.
201

*

B. u1 = −8; d = −10 . C. u1 = 8; d = 10 .

4S n = S2 n . Giá trị u1 và d là
A. u1 = 2 , d = 3 .
B. u1 = 3 , d = 2 .

B. S =

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Một cấp số cộng có tổng của n
của cấp số cộng đó.
A. u1 = −8; d = 10 .

100

.
201

P = P1 + P2 + P3 + ...
A. P = 8 .

của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm cơng thức của số hạng tổng quát un .
A. un = 1 + 4n .
B. un = 5n .
C. un = 3 + 2n .
D. un = 2 + 3n .
2

1
1
1
+
+ ... +
.
u1u2 u2u3
u99u100

A. S =

Câu 67. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 5 - 2018) Cho một cấp số cộng ( u n ) có u1 = 5 và tổng

Câu 68.

Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng

D.

a3
bằng:
a5

(THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa
muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp
từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mơ hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp
sữa?

3
.
5

(TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) và gọi Sn là tổng n số hạng
đầu tiên của nó. Biết S7 = 77 và S12 = 192 . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó
A. un = 5 + 4n .
B. un = 3 + 2n .
C. un = 2 + 3n .
D. un = 4 + 5n .

Câu 72.

(CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số ( an ) , n ≥ 1 là

Sn = 2n2 + 3n . Khi đó
A. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .

A. 59.

B. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 4 .
C. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 1 .

1
1
1
bằng.
+
+ ... +
u1u2 u2u3
u49u50
49
C.
.
D. 74 .
148

A.

49
.
74

B. 148 .

7

D. 57.

Câu 80.

(PTNK CƠ SỞ 2 - TPHCM - LẦN 1 - 2018) Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình
tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số
hàng cây trong khu vườn là
A. 31 .
B. 30 .
C. 29 .
D. 28 .

Câu 73. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Giải phương trình 1 + 8 + 15 + 22 + … + x = 7944
A. x = 330 .
B. x = 220 .
C. x = 351 .
D. x = 407 .

tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá trị của tổng

C. 61.

(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Một công ti trách nhiệm hữu hạn thực hiện
việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công
ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu
đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.
A. 83,7 (triệu đồng). B. 78,3 (triệu đồng). C. 73,8 (triệu đồng). D. 87,3 (triệu đồng).

D. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 1 .

Câu 74. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu bằng 1 và

B. 30.

Câu 79.

8


Câu 81.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu
tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao
nhiêu ghế?
A. 2250 .
B. 1740 .
C. 4380 .
D. 2190 .

Câu 89.

Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng
thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có tất cả bao
nhiêu hàng cây?
A. 81 .
B. 82 .
C. 80 .
D. 79 .

Câu 82.

(CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho 4 số thực a, b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một

cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính
P = a 3 + b 3 + c3 + d 3 .
A. P = 64 .
B. P = 80 .
C. P = 16 .
D. P = 79 .

Câu 90.

Cho hai cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và
1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?
A. 20 .
B. 18 .
C. 21.
D. 19.

Câu 83.

(THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có u1 = 4 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của u1u2 + u2u3 + u3u1 ?
A. −20 .
B. −6 .

Câu 84.

Câu 85.

C. −8 .

D. −24 .

(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Một tam giác vng có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh
lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:
1 5
1 7
3 5
1 3
A. ;1; .
B. ;1; .
C. ;1; .
D. ;1; .
3 3
4 4
4 4
2 2

Câu 91. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Sinh nhật bạn của An vào ngày
01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100
đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng.
Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ
ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ).
A. 738.100 đồng.
B. 726.000 đồng.
C. 714.000 đồng.
D. 750.300 đồng.
Câu 92.

Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1,3,5,... từ trên xuống
dưới (số hộp sơn trên mỗi hàng xếp từ trên xuống dưới là các số lẻ liên tiếp – mơ hình như hình
bên dưới). Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

Câu 93.

Câu 94.

A. 63 .
Câu 86.

B. 65 .

C. 67 .

B. 52 .

C. 53 .

(THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như
sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,….Hỏi có bao
nhiêu hàng cây.
A. 78 .
B. 243 .
C. 77 .
D. 244 .

Câu 88.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết
định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng
dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1
viên. Hỏi số gạch cần dùng để hồn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

C. 12550.

un
1 + un 2

với mọi n ≥ 1 . Giá trị nhỏ nhất của n

D. 125250.
9

B. 4072324

C. 4072326

D. 4072327

Câu 95. (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 3
và cơng sai d = 2 , và cấp số cộng ( vn ) có v1 = 2 và công sai d′ = 3 . Gọi X , Y là tập hợp chứa

1000 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp
X ∪ Y . Xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
A. 0,83.10−4 .
B. 1, 52.10−4 .
C. 1, 66.10−4 .
D. 0, 75.10−4 .

Câu 1.

Câu 2.

B. 250500.

Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = 2018 và un+1 =

1
bằng
2018
A. 4072325

D. 50 .

Câu 87.

A. 25250.

1
(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số
2
cộng. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3xy + y 2 . Tính
S =M +m
3 1
− .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D.
2 2

để un <

D. 69 .

(HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Người ta trồng 1275 cây theo hình tam
giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,.hàng thứ k có
k cây ( k ≥ 1) . Hỏi có bao nhiêu hàng ?
A. 51 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho
C14k , C14k +1 , C14k + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A. 12 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 6 .

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG
Chọn C
Dãy số ( un ) có tính chất un +1 = un + d thì được gọi là một cấp số cộng.
Ta thấy dãy số: 1; −3; −7; −11; −15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng −4.
Chọn D
Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d khơng đổi.
10


1
Đáp án A: Là cấp số cộng với u1 = ; d = 1 .
2

Đáp án B: Là cấp số cộng với u1 = 1; d = 0 .
Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 = −8; d = 2 .

Câu 3.

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì u2 = u1 + ( −2 ) ; u4 = u3 + ( −1) .
Chọn D
Theo công thức cấp số cộng ta có: 2(2a 2 − 1) = (1 + 2a ) + (−2a) ⇔ a 2 =

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

3n + 1
, ( n ∈ ℕ* ) , xét hiệu:
n+2
3 ( n + 1) + 1 3n + 1
3n + 1
5
, ( n ∈ ℕ* )
un +1 − un =
−
=
, ( n ∈ ℕ* ) thay đổi theo n nên un =
n+2
n +1+ 2
n + 2 ( n + 2 )( n + 3)
không là cấp số cộng. (D loại)

Với dãy số un =

Câu 10.

3
3
⇔a=±
.
4
2

Chọn B
Ta có un +1 − un = 3(n + 1) + 2018 − (3n + 2018) = 3 ⇔ un +1 = un + 3 .
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có cơng sai d = 3 .

DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CẤP SỐ CỘNG
Chọn A
Ta có u2 = 6 ⇔ 6 = u1 + d ⇔ d = 4 .
Câu 12. Chọn C
Vì ( u n ) là cấp số cộng nên u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 4 − 1 = 3 .

Câu 11.

Chọn B
Xét dãy số ( un ) : un = un−1 − 2, ∀n ≥ 2
Ta có un − un −1 = −2, ∀n ≥ 2
Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = −2
Chọn D
Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: un+1 = un + d ⇔ un+1 − un = d , ∀n ≥ 1, d = const

Câu 13.

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: un = 2n − 3, n ≥ 1 thì:

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

un = 2n − 3
⇒ un +1 − un = 2 = const

un +1 = 2 ( n + 1) − 3 = 2n − 1
Chọn D
Ta có dãy un là cấp số cộng khi u n +1 − u n = d , ∀ n ∈ ℕ * với d là hằng số.
Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D.
5 ( n + 1) − 2 5n − 2 5
Xét hiệu un +1 − un =
−
= ,∀ n ∈ ℕ * .
3
3
3
5n − 2
Vậy dãy un =
là cấp số cộng.
3
Chọn
C.

Xét dãy số un = 1 + 3n , suy ra un +1 = 1 + 3n+1 . Ta có un+1 − un = 2.3n , ∀n ∈ ℕ* . Do đó un = 1 + 3n
không phải là cấp số cộng.
Chọn B
Với dãy số un = n + 2n , n ∈ ℕ* , xét hiệu: un+1 − un = n + 1 + 2n+1 − n − 2n = 2n + 1, n ∈ ℕ* thay đổi

(
)
(
)
theo n nên u = n + 2 , ( n ∈ ℕ ) không là cấp số cộng. (A loại)26
Với dãy số u = 3n + 1, ( n ∈ ℕ ) , xét hiệu: u − u = 3 ( n + 1) + 1 − 3n − 1 = 3, ( n ∈ ℕ ) là hằng số
nên u = 3n + 1, ( n ∈ ℕ ) là cấp số cộng. (B đúng)
Với dãy số u = 3 , ( n ∈ ℕ ) , xét hiệu: u − u = 3 − 3 = 2.3 , ( n ∈ ℕ ) thay đổi theo n nên
u = 3 , ( n ∈ ℕ ) không là cấp số cộng. (C loại)

Chọn D
Ta có: d = u2 − u1 = 6 .
Câu 14. Chọn B
Vì ( un ) là cấp số cộng nên ta có u2 = u1 + d ⇔ d = u2 − u1 = 8 − 2 = 6 .
Câu 15.

Ta có un +1 − un = 3 ( n + 1) − 2 − 3n + 2 = 3
Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng.
Câu 17. Chọn D
Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng ( un ) .
Khi đó, ta có: u17 = u1 + 16d , u33 = u1 + 32 d
Suy ra: u33 − u17 = 65 − 33 ⇔ 16d = 32 ⇔ d = 2
Vậy công sai bằng: 2 .
Câu 18. Chọn C
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 .

Câu 19.

*

▪ un = 5 + ( n − 1) .4 = 4 n + 1

*

n +1

n

Câu 20.

*

n

n

*

n +1

n +1

n

n

n

n

Theo đề bài ta có: u1 − u5 = 20 ⇔ u1 − (u1 + 4 d ) = 20 ⇔ d = −5
Chọn A
un = u1 + ( n − 1) d

▪ u3 = u1 + ( 3 − 1) d = 13 ⇔ 5 + 2d = 13 ⇔ d = 4

n

n

Ta có u6 = u1 + 5d = 27 ⇒ d = 6 .

Câu 16.

*

n

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có
a = 2 R sin A , b = 2 R sin B , c = 2 R sin C
Theo giả thiết a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a 2 + c 2 = 2b 2
⇔ 4 R 2 .sin 2 A + 4R 2 .sin 2 C = 2.4 R2 .sin 2 B ⇔ sin 2 A + sin 2 C = 2.sin 2 B .
Vậy sin 2 A , sin 2 B , sin 2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

*

n

*

n

Câu 21.

11

u1 + 8d = 5 ( u1 + d )
Ta có: un = u1 + ( n − 1) d . Theo đầu bài ta có hpt: 
u1 + 12d = 2 ( u1 + 5d ) + 5
 4u − 3d = 0
u = 3
.
⇔ 1
⇔ 1
u1 − 2d = −5 d = 4
Chọn A

12


u1 + u3 = 8 u1 + u1 + 2d = 8 2u1 + 2d = 8 u1 = 1
Ta có 
⇔
⇔
⇔

.
d = 3
u4 = 10
u1 + 3d = 10
u1 + 3d = 10
Vậy công sai của cấp số cộng là d = 3 .
Câu 22. Chọn B
u − u + u = 7
Giả sử dãy cấp số cộng ( un ) có cơng sai là d . Khi đó,  2 3 5
trở thành:
u1 + u6 = 12

Câu 38.

Câu 39.

u + 3d = 7
u = 1
( u1 + d ) − ( u1 + 2d ) + ( u1 + 4d ) = 7
⇔ 1
⇔ 1

2u1 + 5d = 12
d = 2
u1 + ( u1 + 5d ) = 12

Câu 40.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) : un = u1 + ( n − 1) d = 1 + ( n − 1) .2 = 2 n − 1
Vậ y u n = 2 n − 1 .

Câu 23.

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ CỘNG
Ta có: u5 = u1 + 4d = 3 + 4. ( −2 ) = −5 .

Câu 24.

Ta có u3 = u1 + 2d = −3 + 2.4 = 5 .

Câu 25.

Ta có : u99 = u1 + 98d = 11 + 98.4 = 403 .

Câu 26.

Ta có ( u n ) là cấp số cộng nên 2u2 = u1 + u3 suy ra u3 = 2u2 − u1 = −5 .

Câu 41.

Câu 42.

Ta có: u13 = u1 + 12d ⇔ 8 = u1 + 12. ( −3 ) ⇒ u1 = 44 ⇒ u3 = u1 + 2d = 44 − 6 = 38 .
Chọn A
Ta có u7 = u1 + 6.d = 3 + 6.2 = 15 .
Câu 29. Chọn A
Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un = u1 + ( n − 1) d = 2 + 2018.4 = 8074 .

Câu 43.

Chọn D
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có u11 = u1 + 10d = 3 + 10. ( −2 ) = −17 .
Câu 31. Chọn B
Ta có u6 = u1 + 5d = −2 − 35 = −37 .
Câu 32. Chọn B
Ta có: u4 = u1 + 3d = 2 + 15 = 17 .
Câu 33. Chọn C
Ta có: un = u1 + ( n − 1) d ⇒ u2018 = 2 + ( 2018 − 1) .2 = 4036 .

Câu 44.

Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cơng.

Ta có un = u1 + ( n − 1) d = 2018 − 5 ( n − 1)

2023
, n ∈ ℤ ⇒ n ≥ 405 .
5

Vậy từ u405 thì số hạng của cấp số cộng đó nhận giá trị âm.
Chọn
C.
Gọi d là cơng sai của CSC. Ta có un = u1 + ( n − 1) d .

u1 − 2u5 + u6 = −15 u1 − 2 ( u1 + 4d ) + ( u1 + 5d ) = −15
d = 5
⇔
⇔
⇒ u1 = 3 .


2u1 + 8d = 46
u3 + u7 = 46
( u1 + 2d ) + ( u1 + 6d ) = 46

2022
.
7

Câu 45.

u = 2
u = 2
Xem cấp số cộng cần tìm là ( u n ) có:  1
. Suy ra:  1
.
d = 5
u5 = 22

Chọn C
Cách 1 : Dùng casio 570VN
B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A
B2: Nhập B = A + 5 : A = B
B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả u10 = 47 .

u1 = 2
Cách 2 : Từ 
.
*
un +1 = un + 5, n ∈ N
Ta có un +1 − un = 5 nên dãy (U n ) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

Vậy cấp số cộng cần tìm là ( u n ) : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 .

Câu 36.

u + d = 3
u = 1
Từ giả thiết u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình:  1
.
⇒ 1
u
+
3
d
=
7
 1
d = 2
Vậy u15 = u1 + 14d = 29 .

Có un < 0 ⇔ 2018 − 5 ( n − 1) < 0 ⇔ 5n > 2023 ⇔ n >

Vậy n = 289 .

Câu 35.

Chọn A

u = 2001 u1 + d = 2001
u = 2003

Ta có:  2
.
⇔
⇔ 1
u
=
1995
u
+
4
d
=
1995
d = −2
 5
 1
Vậy u1001 = u1 + 1000d = 3 .

Câu 30.

Ta có: un = u1 + ( n − 1) d = 3 + 7 ( n − 1) = 7 n − 4 ; un > 2018 ⇔ 7 n − 4 > 2018 ⇔ n >

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u100 = u1 + 99.d = 1 + 99.3 = 298 .
Chọn
B.
Ta có:
u − u 24 − 3
u8 = u1 + 7d ⇒ d = 8 1 =
= 3.
7

7
u11 = u1 + 10d = 33 .



d = −2

u1 + 2d = 6

u3 = 6 ⇔ 
⇔


Theo giả thiết ta có 



u
=
−
2
u
+
6
d
=
−
2
u1 = 10
1

 7



Vậy u5 = 2 .

Câu 27.
Câu 28.

Câu 34.

un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 2018 = 2 + ( n − 1) .9 ⇔ n = 225 .
Chọn D
Cấp số cộng 1, 4, 7,... . có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3 .

Chọn D
Ta có: u1 = −2 và d = 4 suy ra u2 = u1 + d = −2 + 4 = 2

u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47 .

u3 = u1 + 2d = −2 + 2.4 = 6 ; u4 = u1 + 3d = −2 + 3.4 = 10 ; u5 = u1 + 4d = −2 + 4.4 = 14
Nên đáp án D đúng.
Câu 37. Chọn B

Câu 46.
13

u1 + 4d + 3 ( u1 + 2d ) − u1 − d = −21 u1 + 3d = −7
u5 + 3u3 − u2 = −21
u = 2

⇔
.
⇔
⇔ 1

3
u
−
2
u
=
−
34
u
+
12
d
=
−
34
3
u
+
6
d
−
2
u
+
3

d
=
−
34
(
)
(
)
4
 1
 d = −3
 7
 1
1
14


Câu 47.

Câu 56.

Số hạng thứ 100 là u100 = 2 + 99 ( −3 ) = −295 .
Chọn D
Ta có:
u 2 = u1 + 2
2
2
2
2


2
2
2
2
u3 = u1 + 4 ⇒ u2 + u3 + u4 = ( u1 + 2 ) + ( u1 + 4 ) + ( u1 + 6 ) = 3u1 + 24u1 + 56 = 3 ( u1 + 4 ) + 8 ≥ 8
u = u + 6
 4
1
Vậy u 22 + u32 + u 42 đạt giá trị nhỏ nhất khi u1 = −4 .
Từ đó suy ra 2018 = u1 + ( n − 1) d ⇔ 2018 = −4 + ( n −1) 2 ⇔ n = 1012.

Câu 48.

Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 81 = −5 + ( n − 1) 2 ⇔ n = 44 .

Vậy 81 là số hạng thứ 44 .
Câu 49. Ta có u9 = u1 + 8d ⇒ u1 = 7 .
Gọi 10092 là số hạng thứ n trong khai triển, ta có:
10092 − 7
10092 = u1 + ( n − 1) d ⇒ n =
+ 1 = 2018 .
5
Câu 50.

10 (10 − 1)
10 (10 − 1)
.d = 10.2 +
.2 = 110 .
2
2

Câu 60. Chọn
B.
3
Ta có: S3 = ( 2u1 + 2d ) = 3u1 + 3d = 3u1 + 18 .
2
⇒ 3u1 + 18 = 9 ⇔ u1 = −3 .
20
⇒ S 20 = ( 2u1 + 19d )
= ( 2. ( −3) + 19.6 ) .10 = 1080 .
2
Câu 61. Chọn
C.
Ta có un +1 = 1 − 2n , Ta có un +1 − un = −2, ∀n ∈ ℕ* , suy ra ( un ) là cấp số cộng có u1 = 1 và cơng sai
S10 = 10.u1 +

Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( xn ) là: xn = 4 + ( n − 1) .3 = 3n + 1 .
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( yn ) là: ym = 1 + ( m − 1) .5 = 5m − 4 .
Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.
Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( xn ) nên k = 3i + 1 với 1 ≤ i ≤ 2018 và i ∈ ℕ* .
Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng ( yn ) nên k = 5 j − 4 với 1 ≤ j ≤ 2018 và j ∈ ℕ* .
Do đó 3i + 1 = 5 j − 4 ⇒ 3i = 5 j − 5 ⇒ i ⋮ 5 ⇒ i ∈ {5;10 ;15;...; 2015} ⇒ có 403 số hạng chung.

DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
n ( un + u1 ) n  2u1 + ( n − 1) d 
Câu 51. * Áp dụng công thức Sn =
ta được:
=
2
2
10  2 + (10 − 1) 2 

S10 = 
= 100 .
2
n ( 2u1 + ( n − 1) d )
n ( 2.3 + ( n − 1) .4 )
Câu 52. Ta có S n =
⇔
= 253
2
2
 n = 11
.
⇔ 4n 2 + 2n − 506 = 0 ⇔ 
 n = − 23 ( L )

2
( u + u )10 = −155 .
Câu 53. Ta có: u1 = −2 ; u10 = −29 ; S10 = 1 10
2
Câu 54.

Ta có cơng thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: Sn = nu1 +

S15 = u1 + u2 + u3 + ... + u15 = ( u1 + u15 ) + ( u 2 + u14 ) + ( u3 + u13 ) + ... + ( u7 + u9 ) + u8

Vì u1 + u15 = u2 + u14 = u3 + u13 = ... = u7 + u9 = 2u8 và u3 + u13 = 80 ⇒ S = 7.80 + 40 = 600 .
Câu 57. Chọn D
2u1 + ( n − 1) d  n
Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là Sn = 
.

2
2 ( −6 ) + (14 − 1) 4 14
Vậ y S = 
= 280 .
2
Câu 58. Chọn A
u5 = −15 u1 + 4d = −15 u1 = −35
( u + u ) 20 = 250
⇔
⇔
⇒ S20 = 1 20
Ta có 
.
u
=
60
u
+
19
d
=
60
d
=
5
2

 20
 1
Câu 59. Chọn D

 u3 = 6
u1 + 2d = 6
u = 2
.
⇔
⇔ 1

u
=
16
u
+
7
d
=
16
 1
d = 2
 8

d = −2 . Vậy S60 =

Câu 62.

60
( 2u1 + 59d ) = −3840 .
2

Chọn C

Nếu ( u n )n =1 là cấp số cộng có u1 ≠ 0 và cơng sai d thì
+∞

n
( u1 + un ) .
2
Áp dụng với n = 100 , ta chọn C .
Câu 63. Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
u2013 + u6 = 1000 ⇔ u1 + 2012d + u1 + 5d = 1000 ⇔ 2u1 + 2017 d = 1000 .
2017.2018
d = 1009. ( 2u1 + 2017 d ) = 1009000 .
Ta có: S2018 = 2018u1 +
2
Câu 64. Chọn A
Gọi cấp cố cộng có cơng sai là d ta có u2 = u1 + d ; u3 = u1 + 2d ; u4 = u1 + 3d
Sn = u1 + u2 + ... + un =

n ( n − 1) d

u + u = 8
 2u + 3d = 8
u = 1
Khi đó  1 4
⇔ 1
⇔ 1
u
−
u
=
2

d
=
2

d = 2
 3 2
n( n − 1)
Áp dụng công thức S = nu1 +
d
2

2

12.11.d
n
Suy ra S12 = 12u1 +
= 6 ( 2u1 + 11d ) ≠ ( 2u1 + 11d ) .
2
2
Câu 55. Chọn
A.
Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:
n ( u1 + un )
n ( n − 1)
Sn =
= nu1 +
d = 2019.3 + 2019.2018 = 4 080 399 .
2
2

Vậy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là S10 = 10.1 +
Câu 65.
15

Chọn A

10.9
.2 = 100
2
16


u4 = −12 u1 + 3d = −12 u1 = −21
Ta có: 
⇔
⇔
.
d = 3
u14 = 18
u1 + 13d = 18
Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S16 = 16. ( −21) +
Câu 66.

 2u1 + ( n − 1) d  n
 2.1 + ( n − 1) 7  n
Sn = 
⇔ 7944 = 
⇔ 7 n 2 − 5n − 15888 = 0
2
2

 n = 48 ( t / m )
.
⇔
 n = − 331 ( loai )

7
Vậy x = u48 = 1 + 47.7 = 330 .

16.15
.3 = 24 .
2

u2 − u3 + u5 = 10
u1 + d − u1 − 2d + u1 + 4d = 10
u1 + 3d = 10
u = 1
.
⇔
⇔
⇔ 1

u
+
u
=
26
u
+
3
d

+
u
+
5
d
=
26
2
u
+
8
d
=
26
6
 1
1
 1
d = 3
 4

Câu 74.

u4 = 10 , u7 = 19 , u10 = 28 …
Ta có u1 , u4 , u7 , u10 , …, u2011

S=

Câu 67.

1
1
1
.
+
+ ... +
u1u2 u2u3
u49u50
d
d
d
u −u u −u
u −u
1
1
Ta
có
S .d =
+
+ ... +
= 2 1 + 3 2 + ... + 50 49 = −
u1u2 u2u3
u49u50
u1u2
u2u3
u49u50
u1 u50
1
147
.

= 1−
=
1 + 49.3 148
49
Với d = 3 nên S =
.
148
Câu 75. Chọn D
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho.
200 − 2u1
Ta có: S100 = 50 ( 2u1 + 99 d ) = 10000 ⇒ d =
= 2.
99
2
2
2
⇒ 2S =
+
+ ... +
u1u2 u2u3
u99u100
u −u u −u
u −u
= 2 1 + 3 2 + ... + 99 100
u1u2
u2u3
u99u100
1 1 1 1
1
1

1
1
= − + − + ... +
−
+
−
u1 u2 u2 u3
u98 u99 u99 u100
1
1
1
1
198
= −
= −
=
u1 u100 u1 u1 + 99d 199
99
.
⇒S=
199

Đặt S =

u1 = 1

là cấp số cộng có  d = 9
 n = 671


671
( 2.1 + 670.9 ) = 2023736 .
2

Ta có: S50 =

50
( 2u1 + 49d ) = 5150 ⇒ d = 4 .
2

Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng un = u1 + ( n − 1) d = 1 + 4 n .

Câu 68.

Ta có: u1 = S1 = 8 .

u2 = S2 − S1 = 18 ⇒ d = u2 − u1 = 18 − 8 = 10 .
Câu 69.

Gọi d là cơng sai của cấp số cộng. Ta có S100 = 50 ( 2u1 + 99d ) = 14950 với u1 = 1 ⇒ d = 3

Ta có u5 = 18 ⇔ u1 + 4d = 18 .

5.4 
10.9

d  = 10u1 +
d ⇔ 2u1 − d = 0 .
Lại có 4S5 = S10 ⇔ 4  5u1 +
2 

2

u + 4 d = 18
u = 2
Khi đó ta có hệ phương trình  1
⇔ 1
.
 2u1 − d = 0
d = 4
Câu 70. Chọn C
6 ( 2a1 + 5d ) 9 ( 2a1 + 8d )
Ta có S6 = S9 ⇔
=
⇔ a1 = −7d .
2
2
a3 a1 + 2d −7 d + 2d 5
=
=
= .
a5 a1 + 4d −7 d + 4d 3
Câu 71. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d .

C2
A1

B1
A3

7.6.d


7u1 + 2 = 77
 S7 = 77
7u + 21d = 77
u = 5
Ta có: 
⇔
⇔ 1
⇔ 1
.
S
=
192
12.11.
d
12
u
+
66
d
=
192
 1
d = 2
 12
12u +
= 192
1

2

Khi đó: un = u1 + ( n − 1) d = 5 + 2 ( n − 1) = 3 + 2 n .

B3

B2
C3

Câu 72.

Ta có Sn = 2n 2 + 3n ⇒ u1 = S1 = 5 , u1 + u2 = S2 = 14 ⇒ u2 = 9 , u1 + u2 + u3 = S3 = 27 ⇒ u3 = 13
…
Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .

Câu 73.

Ta có cấp số cộng với u1 = 1 , d = 7 , un = x , Sn = 7944 .
Áp dụng cơng thức
17

Câu 76.

A2

C1

Chọn B
Ta có:
1
1
1

1
1
1
P2 = P1 ; P3 = P2 = P1 ; P4 = P3 = P1 …; Pn = n −1 P1
2
2
4
2
8
2
…
18


Vậy P = P1 + P2 + P3 + ... = P1 +

1
1
1
P
P1 + P1 + P1 + ... = 1 = 2 P1 = 24.
1
2
4
8
1−
2

= 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ad − bc ) = 64 .
Câu 83.

Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.
u1u2 + u2u3 + u3u1 = 4 ( 4 + d ) + ( 4 + d )( 4 + 2d ) + 4 ( 4 + 2 d )
2

= 2d 2 + 24d + 48 = 2 ( d + 6 ) − 24 ≥ −24
Dấu " = " xả y ra khi d = −6 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của u1u2 + u2u3 + u3u1 là −24 .

DẠNG 5. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 77. Sau tuần đầu, Hùng cần thêm 358 đô la. Như vậy Hùng cần thêm 358 :8 = 44,75 tuần.
Vậy đến tuần thứ 46 Hùng đủ tiền.

Câu 78.

Câu 84.

2

Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là

Câu 85.

⇔ n2 = 900

Câu 86.

Chọn B
Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của
một cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1 = 1 công sai d = 2 . Do đó

Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là: u33 = 1+ 32.2 = 65 (hộp sơn).
Chọn D
Đặt u k là hàng thứ k
k ( k + 1)
2
k ( k + 1)
 k = 50
Theo giả thiết ta có :
= 1275 ⇔ 
2
 k = −51 < 0
Vậy k = 50 nên có 50 hàng.

Câu 87.

Chọn C
Theo đề bài ta có:

n = 30
= 465 ⇔ n2 + n − 930 = 0 ⇔ 
.
n = −31( l )

1 + 2 + 3 + .... + n = 3003 ⇔

Câu 88.

mươi. Ta có cơng thức truy hồi ta có un = un −1 + 4 ( n = 2,3,...,30 ) .
Ký hiệu: S30 = u1 + u2 + ... + u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được:
30

S30 = ( 2u1 + ( 30 − 1) 4 ) = 15 ( 2.15 + 29.4 ) = 2190 .
2
a + d = b + c
Câu 82. Theo giả thiết ta có: 
⇒ a+d =b+c = 2.
a + b + c + d = 4

Câu 89.

 n = 77 (TM )
n.(n + 1)
= 3003 ⇔ n 2 + n − 6006 = 0 ⇔ 
.
2
 n = −78 ( L)

Chọn D
Ta có số gạch ở mỗi hàng là các số hạng của 1 cấp số cộng: 500 , 499 , 498 ,., 2 , 1 .
⇒ Tổng số gạch cần dùng là tổng của cấp số cộng trên, bằng
S 500 =

500(500 + 1)
= 250.501 = 125250 (viên)
2

Chọn C
Giả sử trồng được n hàng cây ( n ≥ 1, n ∈ ℕ ) .

Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có u1 = 1 và cơng sai d = 1 .
Theo giả thiết:

 n = 80
n
Sn = 3240 ⇔  2u1 + ( n − 1) d  = 3240 ⇔ n ( n + 1) = 6480 ⇔ n 2 + n − 6480 = 0 ⇔ 
2
 n = −81
So với điều kiện, suy ra: n = 80 .
Vậy có tất cả 80 hàng cây.

2

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ( a + d ) + ( b + c ) − 2 ( ad + bc )
2

3 5
;1; .
4 4

Giả sử có n hàng cây.

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 .
Câu 81. Gọi u1 , u2 ,...u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba

2

1
.
4

Ta có : S = u1 + u2 + ... + uk = 1 + 2 + 3 + ... + k =

với số un là số cây ở hàng thứ n và u1 = 1 và công sai d = 1 .
2

2

S n = 1089 ⇔ n + n ( n −1) = 1089 ⇔ n = 33 .

Suy ra ( u n ) là cấp số cộng với công sai 4,5 .
Vậy số tiền lương kĩ sư nhận được là
2u + ( n − 1) d
2 × 4, 5 + 11× 0,3
= 12
= 73,8 (triệu đồng).
S12 = n 1
2
2
Câu 80. Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng ( un )
n ( n + 1)

( 0 < d < a) .

Vì tam giác vng nên theo định lý Pytago ta có (1 + d ) = (1 − d ) + 12 ⇔ 4d = 1 ⇔ d =

⇒ n = 30.
Vậy u30 = 1 + 29* 2 = 59.
Cách 2:
Áp dụng công thức 1 + 3 + 5 + ..... + (2n − 1) = n 2 .
Suy ra n = 30.
Vậy 2n − 1 = 59.
Câu 79. Ta có 3 năm bằng 12 quý.

Gọi u1 , u2 , …, u12 là tiền lương kĩ sư đó trong các quý (từ quý 1 đến quý 12 ).

Tổng số cây trồng được là: Sn = 465 ⇔

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a − d , a , a + d
Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a = 3 ⇔ a = 1 .

Áp dụng cơng thức tính tổng n số hạng liên tiếp của CSC:
n
Sn = 2u1 + ( n − 1) d 
2
n
⇔ 900 =  2.1 + ( n − 1) .2 
2

2

⇒ ad + bc = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ( a + d ) − ( b + c ) = −8 .

P = a3 + b3 + c3 + d 3 = ( a + d ) ( a 2 − ad + d 2 ) + ( b + c ) ( b 2 − bc + c 2 )
19

20


Câu 90.

Chọn A
Cấp số cộng đầu tiên có số hạng tổng quát là un = 4 + ( n − 1) .3 = 3n + 1
Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát là um = 1 + ( m − 1) .5 = 5m − 4

3
1
Vậ y M = ; m = − ⇒ S = 1 .
2
2

(n ∈ ℕ ).
( m ∈ ℕ ).
*

*

Câu 94.

Ta cần có 3n + 1 = 5m − 4 ⇔ 3n = 5 ( m − 1) .
Ta thấy để thỏa mãn u cầu bài tốn thì 3n ⋮ 5 ⇔ n ⋮ 5. Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ
đó suy ra có 20 số hạng chung.
Câu 91. Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến
ngày 30 tháng 4 năm 2016 ) là 31 + 29 + 31 + 30 = 121 ngày.
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1 = 100 .

Ta có un+1 =

Đặt vn =

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2 = 100 + 1.100 .

Để un <

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121 = 100.121 = 12100 .
Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số
hạng đầu u1 = 100 , công sai d = 100 .
121
121
Vậy số tiền An tích lũy được là S121 =
( u1 + u121 ) = (100 + 12100 ) = 738100 đồng.
2
2

1

+

14!
14!
14!
+
=2
k !(14 − k ) ! ( k + 2 ) !(12 − k )!
( k + 1)!(13 − k ) !
1

=

, ∀n ≥ 1 ⇔ un +12 =

un 2
1
1

⇔
= 1+ 2
1 + un 2
un +12
un

1
1
, khi đó v1 =
và vn+1 = 1 + vn nên ( vn ) là cấp số cộng có cơng sai là 1 .
un2
2018 2

1
1
1
+ n − 1 suy ra 2 =
+ n −1.
un 2018 2
2018 2

1
1
1
> 2018 2 ⇔ (n − 1) +
> 2018 2
⇔
2018
un 2
2018 2

1
1
+ 20182 ⇔ n > 4072325 −
2018 2
2018 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn điều kiện là 4072325 .
2
Câu 95. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong tập hợp X ∪ Y ta có C2000
cách chọn.
Gọi 2 phần tử bằng nhau trong X , Y là u k và vl .
3l
Do uk = vl ⇒ 3 + 2 ( k − 1) = 2 + 3 ( l − 1) ⇒ k = − 1
2
1
Do 1 ≤ k ≤ 1000 ⇒ 1 ≤ l ≤ 667 . Mặt khác l = 2 x ⇒ ≤ x ≤ 333,5 ⇒ có 333 số
2
333
Vậy xác suất để chọn được 2 phần tử bằng nhau là: 2 ≈ 1, 665832916.10−4 .
C2000

C14k , C14k +1 , C14k + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có

⇔

1 + un

2

⇔ n > 1−

Chọn A
Điều kiện: k ∈ ℕ, k ≤ 12

C14k + C14k + 2 = 2C14k +1 ⇔

un

vn = v1 + ( n − 1) =

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3 = 100 + 2.100 .
…
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: un = u1 + ( n − 1) d = 100 + ( n − 1)100 = 100n .

Câu 92.

Chọn A
Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ≥ 1

2

(14 − k )(13 − k ) ( k + 1)( k + 2 ) ( k + 1)(13 − k )

⇔ (14 − k )(13 − k ) + ( k + 1)( k + 2 ) = 2 (14 − k )( k + 2 )
 k = 4 (tm)
⇔ k 2 − 12k + 32 = 0 ⇔ 
.
 k = 8 (tm)

Có 4 + 8 = 12.

Câu 93.

Chọn A

1
Ta có: x 2 ; ; y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x 2 + y 2 = 1 .
2
Đặt x = sin α , y = cos α .
3
1 + cos 2α
sin2α +
⇔ 2 P − 1 = 3 sin2α + cos 2α .
2
2
Giả sử P là giá trị của biểu thức ⇒ 2P − 1 = 3 sin2α + cos 2α có nghiệm.
2
1
3
2
⇔ ( 2 P − 1) ≤ 3 + 12 ⇔ − ≤ P ≤ .
2
2

P = 3 xy + y 2 = 3 sinα .cos α + cos 2 α =

( )

21

22


TỐN 11

D. Dãy số là cấp số nhân có cơng bội q = 3 .

CẤP SỐ NHÂN

1D3-4

Câu 5.

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI......................................................................................................................................................... 1

Câu 6.

DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................ 1
DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 2
DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 3
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN................................................................................... 6
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................... 8
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC.............................................................................. 8

Câu 8.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x để ba số 1; x; x + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số
nhân?
A. 2 .

B. 1 .
C. 3 .
D. 0 .

Câu 9.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất cả các giá trị của x để ba số
2 x − 1, x, 2 x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
1
1
A. x = ±
B. x = ±
C. x = ± 3
D. x = ±3
3
3

Câu 10.

(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Trong các phát biểu sau,
phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có cơng sai dương là một dãy số dương.

Câu 11.

(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Xác định x dương để 2 x − 3 ; x ; 2 x + 3 lập thành
cấp số nhân.

A. x = 3 .
B. x = 3 .
C. x = ± 3 .
D. khơng có giá trị nào của x .

Câu 12.

(THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Giả sử

DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 14
DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG ......................................................................................... 21
DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC............................................................................ 22

PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN
Câu 1.

Trong các dãy số ( u n ) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. un = 3n .

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

B. un = 2n .

C. un =

1
.
n

D. un = 2 n + 1 .

un được cho bởi công thức nào dưới đây là số hạng tổng quát của một cấp số nhân?
1
1
1
1
A. un = n +1 .
B. un = n 2 − .
C. un = n − 1 .
D. un = n 2 + .
2
2
2
2

D. 2, 4, 6,8,...

Tập hợp các giá trị x thỏa mãn x, 2 x, x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân là
A. {0;1} .
B. ∅ .
C. {1} .
D. {0}

DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................... 13
DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN................................................................................. 18

C. 2, 4,8,16,... .

1
1 1
1
; − . Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho dãy số: −1; ; − ;
3
9 27
81
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
1
B. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = −1; q= − .
3
1
n
C. Số hạng tổng quát. un = ( −1) . n −1
3
D. Là dãy số không tăng, không giảm.

Câu 7.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 12
DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN ...................................................................................................................... 12

Dãy nào sau đây là một cấp số nhân?
A. 1, 2,3, 4,... .
B. 1,3,5, 7,... .

một cấp số nhân. Tính cos 2α .
3
3
A.
.
B. −
.
2
2

(CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
n
n
A. un = ( −1) n .
B. un = n2 .
C. un = 2n .
D. un = n .
3

C.

1
.
2

sin α
, cos α , tan α theo thứ tự đó là
6
1
D. − .

2

DẠNG 2. TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN

Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát là un = 3.2 n+1 ( ∀n ∈ ℕ* ) . Chọn kết luận đúng:

Câu 13.

A. Dãy số là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 12 .
B. Dãy số là cấp số cộng có cơng sai d = 2 .
C. Dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 6 .

(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm cơng bội 9 của một cấp số nhân ( un ) có u1 =

u6 = 16 .
1
A. q = .
2
1

B. q = −2 .

C. q = 2 .

1
và
2

1
D. q = − .

2
2