Về sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian mêtric và ứng dụng

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1

Các ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại điểm bất
động của chúng

6

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co kiểu tích phân, ánh xạ
co suy rộng kiểu tích phân trên khơng gian mêtric đầy đủ

. . . . . 10

2 Sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của
các ánh xạ co kiểu tích phân và ứng dụng

22

2.1. Sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của một lớp
ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Một ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


3

MỞ ĐẦU

Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không
gian mêtric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Sau khi được
Banach chứng minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thành
một trong những vấn đề thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu. Các định lý điểm bất động được mở rộng nghiên cứu phong
phú cho nhiều kiểu ánh xạ suy rộng, trên nhiều loại không gian khác nhau.
Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực của tốn học như Giải tích, Phương trình vi tích phân...Có thể nói sự
phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có nguồn gốc từ các ứng
dụng rộng lớn của nó.
Năm 2001, Branciari (xem [2]) đã phát triển một ý tưởng của Boyd và
Wong năm 1969 (xem [3]) xây dựng khái niệm ánh xạ co kiểu tích phân
và thu được định lý điểm bất động đối với kiểu ánh xạ co này. Một số
điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân được Rhoades
phát triển thêm trong [10]. Gần đây, một số tác giả khác tiếp tục nghiên

cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân,
đặc biệt là các ứng dụng của chúng (xem [4]).
Nhằm nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng
kiểu tích phân và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn
của mình là:
Về sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của
ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian mêtric
và ứng dụng.


4

Luận văn sẽ trình bày chi tiết, có hệ thống và xây dựng các ví dụ cho
các định lý điểm bất động, điểm bất động chung đối với các ánh xạ co suy
rộng kiểu tích phân và ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của
một lớp phương trình hàm. Hơn nữa, chúng tôi cũng đề xuất một kết quả
về sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của một lớp ánh xạ
co suy rộng kiểu tích phân, kết quả này là sự mở rộng kết quả chính của
[4]. Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được viết
thành 2 chương:
Chương 1. Các ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại điểm bất động của
chúng
Nội dung của chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không
gian mêtric, ánh xạ co, ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian mêtric đầy đủ.
Chương 2. Sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của các
ánh xạ co kiểu tích phân và ứng dụng
Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động
chung của một lớp các ánh xạ co kiểu tích phân và ứng dụng để chứng
minh sự tồn tại của một lớp phương trình hàm. Chúng tơi sẽ thiết lập

một định lý khẳng định sự tồn tại điểm bất động chung của một lớp ánh
xạ co suy rộng kiểu tích phân. Từ kết quả này chúng tơi nhận được kết
quả chính trình bày trong [4]. Ngồi ra chúng tơi trình bày thêm một số
ví dụ minh họa cho các kết quả.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn
của TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của
mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Sư
phạm Tốn học và q thầy cơ trong Bộ mơn Giải tích của Trường Đại
Học Vinh, đã giúp đỡ tơi trong thời gian học tập, rèn luyện và hồn thành
luận văn này. Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban Quản lý Phòng


5

đào tạo, Ban giám hiệu Trường Đại Học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn
trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng,
song luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tơi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của Q thầy, cơ và bạn đọc để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Bùi Quốc Tiến


6

CHƯƠNG 1

CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ SỰ TỒN TẠI
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CHÚNG

Chương này dành cho việc trình bày các định lý điểm bất động đối với
ánh xạ co kiểu tích phân và định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy
rộng kiểu tích phân trong không gian mêtric đầy đủ.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùng về
sau.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X × X → R
được gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau
1) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X ; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X .
3) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Khi đó (X, d) được gọi là một khơng gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric.
1) Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu d(xm , xn ) → 0 khi
m, n → ∞.

2) Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của
nó đều hội tụ trong X .
1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric và A ⊂ X .

7

Đường kính của A ký hiệu là δ(A) và được xác định bởi
δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Tập A được gọi là bị chặn nếu nó có đường kính hữu hạn.
1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. ánh xạ f :
X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho
d f x, f y

qd(x, y), ∀x, y ∈ X.

1.1.5 Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric và f, g : X → X
là các ánh xạ.
1) Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f a = a.
2) Điểm a ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và g nếu f a = ga.
3) Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu
f a = ga = a.

Định lý sau là nguyên lý điểm bất động của Banach.
1.1.6 Định lý. ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X
vào chính nó ln có duy nhất một điểm bất động.
Sau đây là một số khái niệm về một số lớp ánh xạ đặc biệt trong không
gian mêtric.
1.1.7 Định nghĩa. ([4]) Cho X là một không gian mêtric và A, S : X →
X là các ánh xạ.

1) A và S được gọi là tương thích (compatible) nếu khi tồn tại dãy
(xn ) ⊂ X sao cho

lim Axn = lim Sxn = z

n→∞

n→∞

với z nào đó thuộc x thì lim d(ASxn , SAxn ) = 0.
n→∞

2) A và S được gọi là nửa tương thích (subcompatible) nếu và chỉ nếu
tồn tại dãy (xn ) ⊂ X sao cho
lim Axn = lim Sxn = z

n→∞

n→∞


8

với z nào đó thuộc x và lim d(ASxn , SAxn ) = 0.
n→∞

3) Cặp (A, S) được gọi là liên tục dãy con (subsequentially continuous)
nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (xn ) ⊂ X sao cho
lim Axn = lim Sxn = z

n→∞

n→∞

với z nào đó thuộc x và lim ASxn = Az và lim SAxn = Sz .
n→∞

n→∞

4) Cặp (A, S) được gọi là liên tục thuận nghịch (reciprocally continuous) nếu mỗi dãy (xn ) ⊂ X sao cho
lim Axn = lim Sxn = z

n→∞

n→∞

với z nào đó thuộc x thì lim ASxn = Az và lim SAxn = Sz .
n→∞

n→∞

Ví dụ sau cho thấy ánh xạ cặp nửa tương thích nhưng khơng tương
thích
1.1.8 Ví dụ. Xét X = R với mêtric thông thương và hai ánh xạ xác
định bởi
Ax =

x
nếu x ∈ (−∞, 1)
4
5x − 4 nếu x ∈ [1, +∞)

Sx =

x + 3 nếu x ∈ (−∞, 1)
4x − 3 nếu x ∈ [1, +∞).

và

Khi đó, (A, S) là cặp tương thích yếu. Thật vậy, xét dãy xn =

1
+ 1 với
n

n = 1, 2, .... Khi đó
lim Axn = lim (5 +

n→∞

n→∞

5
4
− 4) = 1 = lim (4 + − 3) = lim Sxn
n→∞
n→∞
n
n

và
4
20

5
20
ASxn = A(1 + ) = (1 + ), SAxn = S(1 + ) = (1 + ).
n
n
n
n

Vì vậy, lim d(ASxn , SAxn ) = 0. Do đó, (A, S) là nửa tương thích.
n→∞


9

1
− 4 với n = 1, 2, ... thì ta có
n
1
1
lim Axn = lim ( − 1) = −1 = lim ( − 1) = lim Sxn
n→∞ n
n→∞
n→∞
n→∞ 4n

Tuy nhiên, nếu xét dãy xn =

và
1
1

1
1
1
ASxn = A( − 1) = ( − ), SAxn = S( − 1) = ( + 2).
n
4n 4
4n
4n
9
Vì vậy, lim d(ASxn , SAxn ) = = 0. Do đó, (A, S) khơng tương thích.
n→∞
4
Hơn nữa, từ các tính tốn trên dễ dàng suy ra (A, S) liên tục thuận

nghịch.
Ví dụ sau cho thấy cặp tương thích và liên tục dãy con nhưng có thể
khơng liên tục thuận nghịch.
1.1.9 Ví dụ. Xét X = [0, ∞) với mêtric thông thường và hai ánh xạ xác
định bởi
Ax =

x
nếu x ∈ [0, 1]
2
2x − 1 nếu x ∈ (1, +∞)

Sx =

x
nếu x ∈ [0, 1]

3
4x − 3 nếu x ∈ [1, +∞).

và

Dễ dàng kiểm tra được cặp (A, S) tương thích và liên tục dãy con. Bây
1
giờ, xét dãy xn = 1 + với n = 1, 2, ... Khi đó
n
2
4
lim Axn = lim (2 + − 1) = 1 = lim (4 + − 3) = lim Sxn
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
và
4
8
8
20
ASxn = A(1 + ) = (1 + )), SAxn = S(1 + ) = (1 + ).
n
n
n
n

Vì vậy,

lim ASxn = 1 = A(1)

n→∞


10

và
lim SAxn = 1 = S(1).

n→∞

Do đó, cặp (A, S) không liên tục thuận nghịch.
1.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co kiểu tích phân, ánh
xạ co suy rộng kiểu tích phân trên khơng gian mêtric đầy
đủ

Mục này, trình bày khái niệm về ánh xạ co kiểu tích phân và sự tồn tại
điểm bất động của chúng trong không gian mêtric đầy đủ. Các kết quả
của mục này được viết dựa trên các kết quả của Branciari và Rhoades về
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co kiểu tích phân và các ví dụ minh
họa.
1.2.1 Định nghĩa. ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khả
ε

tích Lebesgue trên mọi tập compact của [0, +∞) và

φ(t)dt > 0 với mọi
0

ε > 0. ánh xạ f : X → X được gọi là một ánh xạ co kiểu tích phân của
φ nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho
d(x,y)

d(f x,f y)

φ(t)dt
0

φ(t)dt, ∀x, y ∈ X.

q

(1.1)

0

1.2.2 Nhận xét. Nếu chọn φ(t) = 1, ∀t ∈ [0, ∞) thì ta được ánh xạ co
theo kiểu tích phân của φ chính là ánh xạ co theo nghĩa thông thường.
1.2.3 Định lý. ([2]) Cho φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khả tích
ε

Lebesgue trên mọi tập compact của [0, +∞) và

φ(t)dt > 0 với mọi
0

ε > 0. Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và f : X → X là

một ánh xạ co kiểu tích phân của hàm φ. Khi đó f có duy nhất một

điểm bất động.
Chúng ta cần một số kết quả bổ trợ sau cho chứng minh Định lý 1.2.3.


11

1.2.4 Bổ đề. Giả sử f được xác định như trong Định lý 1.2.3. Khi
đó với mỗi x ∈ X ta có
d(f n x, f n+1 x) → 0, nếu n → +∞.

Chứng minh. Với mỗi x ∈ X , áp dụng (1.1) ta được
d f n−1 x,f n x

d f n x,f n+1 x

φ(t)dt

d x,f x

φ(t)dt

q

...

q

n

Từ q ∈ (0, 1) và φ(t)

φ(t)dt.
0

0

0

0 suy ra
d f n x,f n+1 x

φ(t)dt = 0, khi n → ∞.

lim

n→∞ 0

(1.2)

Bây giờ, giả sử d f n x, f n+1 x không hội tụ về 0 khi n → ∞. Khi đó
lim sup d f n x, f n+1 x = ε > 0.
n→∞

Từ đó suy ra tồn tại dãy số tự nhiên {nk } và nk0 sao cho
d f nk x, f nk +1 x → ε

khi n → ∞ và d f nk x, f nk +1 x

ε
với mọi nk

2

ta có

ε
2 φ(t)dt > 0.

d f nk x,f nk +1 x

0 = lim

n→∞ 0

nk0 . Kết hợp với (1.2)

φ(t)dt
0

Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy bổ đề được chứng minh.
1.2.5 Bổ đề. Dãy {f n x} là Cauchy với mỗi x ∈ X .
Chứng minh. Giả sử {f n x} không phải là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại
ε > 0 sao cho với mỗi k ∈ N tồn tại mk , nk mà mk > nk > k sao cho
d f mk x, f nk x

ε.


12

Ta có thể giả thiết {mk } và {nk } là cực tiểu theo nghĩa sau: Với mỗi k ∈ N

d f mk x, f nk x

ε

trong khi
d f h x, f nk x < ε

với mỗi h ∈ {nk + 1, ..., mk − 1}. Tiếp theo chúng ta mơ tả các tính chất
của d f mk x, f nk x và d f mk +1 x, f nk +1 x . Ta có
d f mk x, f mk −1 x + d f mk −1 x, f nk x

d f mk x, f nk x

ε

< d f mk x, f mk −1 x + ε.

(1.3)

Cho mk → ∞ và áp dụng Bổ đề 1.2.4 ta được
d f mk x, f nk x → ε, khi mk → ∞.

Ta chỉ ra tồn tại l ∈ N sao cho với mỗi số tự nhiên k > l ta có
d f mk +1 x, f nk +1 x < ε.

Thật vậy, giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại dãy con {kj } ⊂ N sao cho
d f mkj +1 x, f nkj +1 x

ε.

Ta có
ε

d f mkj +1 x, f nkj +1 x

d f mkj +1 x, f mkj x

+ d f mkj x, f nkj x + d f nkj x, f nkj +1 x → ε khi j → ∞.

Ta nhận được d f mkj +1 x, f nkj +1 x → ε khi j → ∞. Bây giờ, trong bất
đẳng thức
d f

mk +1
n +1
j
x,f kj x

d f

φ(t)dt

mk
n
j x,f kj x

q

φ(t)dt.

0

0

Cho j → ∞ ta được
ε

ε

φ(t)dt < q
0

φ(t)dt.
0


13
ε
0 φ(t)dt

Vì q ∈ (0, 1) và

> 0 nên ta nhận được sự mâu thuẫn. Suy ra tồn

tại l ∈ N sao cho
d f mk +1 x, f nk +1 x < ε

với mọi k > l.
Tiếp theo, ta chứng minh tồn tại δε ∈ (0, ε) và p ∈ N (p phụ thuộc vào
ε) sao cho

d f mk +1 x, f nk +1 x < ε − δε

với mọi k > p. Giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại dãy {ki } ⊂ N sao cho
d f mki +1 x, f nki +1 x → ε khi i → ∞. Trong bất đẳng thức
d f

n +1
mk +1
i
x,f ki x

d f

φ(t)dt

mk
n
i x,f ki x

q

φ(t)dt.

0

0

Cho j → ∞ ta được
ε

ε

φ(t)dt < q
0

φ(t)dt.
0

Tương tự như trên ta nhận được sự mâu thuẫn.
Bây giờ, với mỗi số tự nhiên k > p như trên ta có
ε

d f mk x, f nk x
d f mk x, f mk +1 x + d f mk +1 x, f nk +1 x + d f nk +1 x, f nk x
< d f mk x, f mk +1 x + ε − δε + d f nk +1 x, f nk x .

Cho k → ∞ ta thu được ε < ε − δε . Ta nhận được sự mâu thuẫn. Do đó
{f n x} là dãy Cauchy.

Chứng minh của Định lý 1.2.3. Lấy x ∈ X cố định. Khi đó theo Bổ
đề 1.2.5 ta có {f n x} là dãy Cauchy. Vì X là không gian mêtric đầy đủ
nên f n x → a khi n → ∞. Ta chỉ ra f n+1 x → f a khi n → ∞. Thật vậy,
từ
d(f n+1 x,f a)

0

d(f n x,a)

φ(t)dt

0

0

φ(t)dt → q

q
0

φ(t)dt = 0
0


14

khi n → ∞. Từ đó suy ra

d(f n+1 x,f a)
φ(t)dt
0

→ 0 khi n → ∞. Bây giờ,

nếu d(f n+1 x, f a) không hội tụ tới 0 khi n → ∞. Khi đó, tồn tại ε > 0 và
dãy con {f nk +1 x} sao cho
d(f nk +1 x, f a)

ε > 0.

Ta có

0<

d f nk x,a

d f nk +1 x,f a

ε

φ(t)dt

φ(t)dt

q

0

0

Cho k → ∞ ta được

φ(t)dt.
0

ε
0 φ(t)dt

= 0. Ta thu được sự mâu thuẫn. Bây giờ,

ta có
0

d f a, a

d a, f n+1 x + d f n+1 x, f a → 0

khi n → ∞. Ta nhận được f a = a.
Để kết thúc chứng minh ta chỉ ra a là điểm bất động duy nhất. Giả sử
tồn tại b ∈ X và b = a sao cho f b = b. Khi đó
d(a,b)

d f a,f b

φ(t)dt =

0<
0

d(a,b)

φ(t)dt
0

d(a,b)

φ(t)dt <

q
0

φ(t)dt.

0

Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy f có duy nhất một điểm bất động. Định
lý được chứng minh.
Trong Định lý 1.2.3 nếu lấy φ(t) = 1 với mọi t thì ta nhận được Định
lý 1.1.6. Ví dụ sau chứng tỏ Định lý 1.2.3 mạnh hơn Định lý 1.1.6.
1
1.2.6 Ví dụ. Xét X = { : n ∈ N} ∪ {0} với mêtric thông thường cảm
n
sinh từ R. Khi đó, vì X đóng trong R nên X là khơng gian mêtric đầy

đủ. Xét ánh xạ f : X → X xác định bởi

1
 1
nếu x = , n ∈ N
f (x) = n + 1
n
0
nếu x = 0.

(1.4)


15

Ta chứng minh hàm f không thoả mãn Định lý 1.1.6 nhưng thoả mãn
Định lý 1.2.3. Thật vậy, ta có

1



−0



n
+
1

sup


1

n∈N

−0
d f x, f y
n
sup
=
1
1

x,y∈X:x=y d(x, y)

−



n+1 m+1


sup


1
1

m,n∈N,m=n
−
n m

nếu x =

1
và y = 0
n

nếu x =

1
1
và y = .
n
m

Suy ra
d f x, f y
= 1.

x,y∈X:x=y d(x, y)
sup

Do đó f khơng phải là ánh xạ co.
Để chứng minh f thoả mãn Định lý 1.2.3 ta chỉ ra f là ánh xạ co kiểu
tích phân của hàm φ(t) xác định bởi
1

φ(t) =

Đầu tiên để ý rằng

τ
0

t t −2 1 − ln t) nếu t > 0
0
nếu t = 0.
1

φ(t)dt = τ τ , ∀τ > 0. Vì vậy điều kiện (1.1) tương

đương với
1
d f x, f y d f x, f y

1
qd x, y d x, y .

(1.5)

Bước tiếp theo, ta cần chứng minh (1.5) xảy ra với q ∈ (0, 1) nào đó. Cho
1
1
m, n ∈ N với m > n và x = , y = . Khi đó chúng ta có
m
n
1
d f x, f y d f x, f y =

=

1
1
−
n+1 m+1
m−n
(m + 1)(n + 1)

1
n+1

1
−

1
m+1

(m + 1)(n + 1)
m−n

16

và

1
1
1
d x, y d x, y =
−
n m

1
n

1
−

1
m

mn
m−n m−n
=
.
mn

Ta sẽ chỉ ra
m−n

(m + 1)(n + 1)

(m + 1)(n + 1)
m−n

mn
1 m−n
m−n
2 mn

hay tương đương
m−n
(n + 1)(m + 1)

Vì

mn
(m+1)(n+1)

< 1 và

m+n+1
m−n

mn
(m + 1)(n + 1)

mn
m−n

1
.
2

(1.6)

mn
> 0 nên
m−n
mn
(m + 1)(n + 1)

mn
m − n < 1.

(1.7)

Mặt khác, vì m < nm + 3n + 1 nên 2(m − n) (m + 1)(n + 1), tức là
m−n
1
m+n+1
, với mọi m, n.Ta có
> 1 với mọi m, n. Từ đó
m+n+1
2
m−n
suy ra
m+n+1
1
m−n

m−n
.
(1.8)
(n + 1)(m + 1)
2
1
Từ (1.7) và (1.8) ta nhận được (1.6). Vậy (1.5) đúng với q = .
2
1
Với x = 0 và y = ta có
n
1
1
1
d f x, f y d f x, f y
d x, y d x, y
2
tương đương với
1
n+1

n+1

1 1
2 n

n

.

17

Bất đẳng thức này đúng bởi vì
n n 1
n+1 n+1

1 1
1. =
2 2

với mọi n

1. Như vậy ta đã chứng minh được (1.5) được thoả mãn với
1
mọi x, y ∈ X và q = . Do đó f thoả mãn điều kiện Định lý 1.2.3. Rõ
2
ràng f có đúng một điểm bất động là x = 0.

Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày định lý điểm bất động đối với ánh
xạ co suy rộng kiểu tích phân.
Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ f : X → X ta đặt
mf (x, y) = max d(x, y), d(x, f x), d(y, f y),

d(x, f y) + d(y, f x)
. (1.9)
2

1.2.7 Định lý. ([10])Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh
xạ f : X → X . Giả sử tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X

d(x,y)

mf (x,y)

φ(t)dt

q

0

φ(t)dt

(1.10)

0

trong đó φ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm khả tích Lebesgue trên mọi
ε

φ(t)dt > 0 với mọi ε > 0. Khi đó, f có

tập compact của [0, +∞) và
0

duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Chọn x0 ∈ X cố định và đặt xn = f n x0 với mỗi n = 1, 2, ....
Với mỗi n

1, từ (1.10) ta có
d(xn ,xn+1 )

m(xn−1 ,xn )

φ(t)dt
0

q

φ(t)dt.

(1.11)

0

Từ xn = f n x0 và (1.9) suy ra
m(xn , xn−1 ) = max d(xn , xn−1 ), d(xn , xn+1 ),

d(xn−1 , xn+1 )
.
2

Mặt khác
d(xn−1 , xn+1 )
2

d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )
2

max{d(xn , xn−1 ), d(xn , xn+1 )}.

18

Do đó
m(xn , xn−1 ) = max{d(xn , xn−1 ), d(xn , xn+1 )}.

Thay vào (1.11) ta được
d(xn ,xn+1 )

max{d(xn−1 ,xn ),d(xn ,xn+1 )}

φ(t)dt

q

φ(t)dt

0

0
d(xn−1 ,xn )

q max

d(xn ,xn+1 )

φ(t)dt,

0
d(xn−1 ,xn )

φ(t)dt
0

φ(t)dt

=q
0

...

q

d(x0 ,x1 )

n

φ(t)dt.
0

(1.12)

Trong (1.12) cho n → ∞ ta được
d(xn ,xn+1 )

lim

φ(t)dt = 0.

n→∞ 0

ε

φ(t)dt > 0 với mọi ε > 0 suy ra

Từ điều kiện
0

(1.13)

lim d(xn , xn+1 ) = 0.

n→∞

Tiếp theo ta chỉ ra {xn } là dãy Cauchy. Giả sử {xn } khơng là dãy
Cauchy. Khi đó, tồn tại ε > 0 và các dãy {mk }, {nk } với mk < nk < mk+1
sao cho
d(xmk , xnk )

ε, d(xmk , xnk −1 ) < ε.

(1.14)

(bất đẳng thức thứ hai có được là do (1.13)). Từ (1.13) suy ra
d(xnk −1 ,xnk )

lim

k→∞ 0

d(xmk −1 ,xmk )

φ(t)dt = lim

k→∞ 0

φ(t)dt = 0.

(1.15)

áp dụng bất đẳng thức tam giác và (1.14) ta được
d(xmk −1 , xnk −1 )

d(xmk −1 , xmk ) + d(xmk , xnk −1 )
< d(xmk −1 , xmk ) + ε.

(1.16)


19

Do đó

d(xmk −1 ,xnk −1 )

lim

ε

φ(t)dt

k→∞ 0

(1.17)

φ(t)dt.
0

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và (1.14) ta được
d(xmk −1 , xnk ) + d(xnk −1 , xmk )
2
d(xmk −1 , xmk ) + 2d(xmk , xnk −1 ) + d(xnk −1 , xnk )
2
d(xmk −1 , xmk ) + d(xnk −1 , xnk )
<
+ ε.
2

v(m, n) :=

(1.18)

Từ (1.13) suy ra
v(m,n)

lim

ε

φ(t)dt

k→∞ 0

(1.19)

φ(t)dt.
0

Kết hợp (1.17),(1.19) và
m(xmk −1 , xnk −1 ) = max d(xmk −1 , xnk −1 ), d(xmk −1 , xmk ),
d(xnk −1 , xnk ), v(m, n)

ta có
ε

d(xmk ,xnk )

m(xmk −1 ,xnk −1 )

φ(t)dt
0

φ(t)dt

φ(t)dt

q

0

0

Vì q ∈ (0, 1) và giả thiết

ε
0 φ(t)dt

ε

q

φ(t)dt.
0

> 0 nên ta nhận được sự mâu thuẫn.

Do đó {xn } là dãy Cauchy.
Bây giờ, vì X là không gian mêtric đầy đủ nên {xn } hội tụ và ta gọi
giới hạn này là a ∈ X . Ta có
m(a, xn )

d(f a, xn+1 ).


20

Suy ra
d(f a,xn+1 )

m(a,xn )

φ(t)dt

q

φ(t)dt

0

0
d(a,xn )

= q max

d(a,f a)

φ(t)dt,

0
d(xn ,xn+1 )

φ(t)dt,

0
d(a,xn+1 )

φ(t)dt,

d(f a,xn )

φ(t)dt,

0

0

φ(t)dt .
0

(1.20)

Trong bất đẳng thức trên cho k → ∞ ta nhận được
d(f a,a)

d(f a,a)

φ(t)dt

φ(t)dt.

q
0

0

Suy ra
d(f a,a)

φ(t)dt = 0.
0

Từ điều kiện
d(f a,a)

φ(t)dt > 0
0

với mọi ε > 0 suy ra
d(f a, a) = 0,

hay a là điểm bất động của f . Để kết thúc chứng minh ta còn phải chỉ ra
a là điểm bất động duy nhất của f .

Giả sử b là điểm bất động của f . Khi đó
d(a,b)

d(f a,f b)

φ(t)dt =

φ(t)dt

0

0
m(a,b)

q

d(a,b)

φ(t)dt = q max{
0

φ(t)dt, 0}
0

d(a,b)

=q

φ(t)dt.
0

Suy ra

d(a,b)
φ(t)dt
0

chứng minh.

= 0. Do đó d(a, b) = 0, tức là a = b. Định lý được


21

1.2.8 Nhận xét. Vì mf (x, y)

d(x, y) với mọi x, y ∈ X nên từ Định

lý 1.2.7 suy ra Định lý 1.2.3.

áp dụng định lý với φ(t) = 1 với mọi t ∈ [0, +∞) ta nhận được hệ quả
sau. Kết quả này được gọi là định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy
rộng của Círi´c (xem [6]).
1.2.9 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ
f : X → X . Nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho
d(f x, f y)

q max d(x, y), d(x, f x), d(y, f y),

d(x, f y) + d(y, f x)
2

với mọi x, y ∈ X thì f có duy nhất một điểm bất động.


22

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TRÙNG NHAU, ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG

Chương này, nghiên cứu sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động
chung của một lớp các ánh xạ co kiểu tích phân và ứng dụng để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình hàm.
2.1. Sự tồn tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của một
lớp ánh xạ

Trong mục này, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý khẳng định sự tồn
tại điểm trùng nhau, điểm bất động chung của một lớp ánh xạ co suy rộng
kiểu tích phân. Từ kết quả này chúng tơi nhận được kết quả chính trình
bày trong [4]. Ngồi ra chúng tơi trình bày thêm một số ví dụ minh họa
cho các kết quả. Định lý sau là kết quả chính của mục này.
2.1.1 Định lý. Cho A, B, S, T : X → X là bốn tự ánh xạ của không
gian mêtric (X, d). Nếu các cặp (A, S) và (B, T ) là nửa tương thích và
liên tục dãy con (hoặc tương thích và liên tục thuận nghịch) thì
1. Cặp (A, S) có điểm trùng nhau;
2. Cặp (B, T ) có điểm trùng nhau.


23

Hơn nữa, nếu giả thiết thêm
d(Ax,By)

max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)}

ϕ(t)dt

α

0

ϕ(t)dt
0

(2.1)

max{d(Ax,T y),d(By,Sx)}

+β

ϕ(t)dt
0

với mọi x, y ∈ X , trong đó α

0, β

0, 0

α + β < 1 và ϕ : [0, ∞) →

[0, ∞) là hàm khơng âm, khả tích Lebesgue trên các tập compac của
[0; +∞] và

ε
0 ϕ(t)dt

> 0 với mỗi ε > 0 thì A, B, S và T có duy nhất

điểm bất động.
Chứng minh. Trường hợp 1: Các cặp (A, S) và (B, T ) là tương thích và
liên tục dãy con. Từ (A, S) là liên tục dãy con suy ra tồn tại dãy (xn ) ⊂ X
sao cho
lim Axn = lim Sxn = z

n→∞

n→∞

với z nào đó thuộc X và
lim ASxn = Az và lim SAxn = Sz.

n→∞

n→∞

Vì (A, S) là tương thích nên từ lim Axn = lim Sxn = z
n→∞

n→∞

lim d(ASxn , SAxn ) = 0.

n→∞

Mặt khác, do tính liên tục của mêtric nên từ lim ASxn = Az và lim SAxn =
n→∞

n→∞

Sz suy ra
lim d(ASxn , SAxn ) = d(Az, Sz).

n→∞

Vì vậy, d(Az, Sz) = 0, hay Az = Sz . Do đó, z là điểm trùng nhau của

A, S .

Tương tự, đối với cặp (B, T ) tồn tại dãy (yn ) ⊂ X sao cho
lim Byn = lim T yn = w

n→∞

n→∞

với w nào đó thuộc X và z là điểm trùng nhau của B, T .


24

Bây giờ, dưới điều kiện (2.1) ta sẽ chứng minh z = w và là điểm bất
động chung duy nhất của A, B, S và T . Với mỗi n = 1, 2, ..., áp dụng (2.1)
đối với x = xn và y = yn ta nhận được
d(Axn ,Byn )

max{d(Sxn ,T yn ),d(Axn ,Sxn ),d(Byn ,T yn )}

ϕ(t)dt

α

ϕ(t)dt

0

0

max{d(Axn ,T yn ),d(Byn ,Sxn }

+β

ϕ(t)dt.
0

(2.2)

Cho n → ∞, ta nhận được
max{d(z,w),d(z,z),d(w,w)}

d(z,w)

ϕ(t)dt

ϕ(t)dt

α
0

0

max{d(z,w),d(z,w)}

ϕ(t)dt

+β
0

(2.3)

d(z,w)

= (α + β)

ϕ(t)dt
0

d(z,w)

<

ϕ(t)dt.
0

Vì vậy, nếu z = w thì d(z, w) > 0 suy ra

d(z,w)
ϕ(t)dt
0

> 0, ta nhận được

sự mâu thuẫn. Do đó, z = w
Bây giờ, ta chỉ ra Az = z . Thật vây, áp dụng (2.1) với x = z và y = yn
với mỗi n ta có
d(Az,Byn )

max{d(Sz,T yn ),d(Az,Sz),d(Byn ,T yn )}

ϕ(t)dt

α

ϕ(t)dt

0

0

(2.4)

max{d(Az,T yn ),d(Byn ,Sz)}

+β

ϕ(t)dt.
0

Cho n → ∞ ta nhận được
d(Az,w)

max{d(Sz,w),d(Az,Sz),d(w,w)}

ϕ(t)dt
0

α

ϕ(t)dt
0

(2.5)

max{d(Az,w),d(w,Sz)}

+β

ϕ(t)dt.
0


25

Với để ý rằng z = w và Az = Sz suy ra
d(Az,z)

d(Az,z)

ϕ(t)dt

(α + β)

d(Az,z)

ϕ(t)dt <

0

0

ϕ(t)dt.
0
d(Az,z)
ϕ(t)dt
0

Vì vậy, nếu Az = z thì d(Az, z) > 0, kéo theo

> 0. Ta

nhận, được sự mâu thuẫn. Do đó, Az = z và vì thế Az = Sz = z .
Chứng minh tương tự, ta nhận được Bw = T w = w. Vì z = w nên
Az = Bz = Sz = T z = z,

hay z là điểm bất động chung của A, B, S và T . Bây giờ, giả sử u là điểm
bất động chung của A, B, S và T . Khi đó, Au = Bu = Su = T u = u, áp
dụng (2.1) ta nhận được
d(Az,Bu)

d(z,u)

ϕ(t)dt

ϕ(t)dt =
0

0

max{d(Sz,T u),d(Az,Sz),d(Bu,T u)}

ϕ(t)dt

α
0

(2.6)

max{d(Az,T u),d(Bu,Sz)}

+β

ϕ(t)dt
0
d(z,u)

= (α + β)

d(z,u)

ϕ(t)dt <
0

ϕ(t)dt.
0

Vì vậy, d(z, u) = 0, hay z = u. Do đó, A, B, S và T có điểm bất động
chung duy nhất.
Trường hợp 2: Các cặp (A, S) và (B, T ) là dưới tương thích và liên

tục thuận nghịch.
Vì (A, S) dưới tương thích nên tồn tại dãy (xn ) ⊂ X sao cho
lim Axn = lim Sxn = z và lim d(ASxn , SAxn ) = 0

n→∞

n→∞

n→∞

với z nào đó thuộc X . Từ điều kiện (A, S) liên tục thuận nghịch suy ra
lim ASxn = Az và lim SAxn = Sz

n→∞

n→∞


26

bởi tính chất lim Axn = lim Sxn = z . Do hàm khoảng cách d liên tục
n→∞

n→∞

nên
lim d(ASxn , SAxn ) = d(Az, Sz).

n→∞

Vì vậy, d(Az, Sz) = 0, tức là Az = Sz và z là điểm trùng nhau của A và
S . Lập luận tương tự cho cặp (B, T ) ta tìm được w ∈ X là điểm trùng

nhau của B, T .
Cuối cùng, dưới điều kiện (2.1), chứng minh tương tự như Trường hợp
1 ta nhận được A, B, S và T có điểm bất động chung duy nhất.

Ta nhận được hệ quả sau đây là kết quả chính của [4].
2.1.2 Hệ quả. ([4])Cho A, B, S, T : X → X là bốn tự ánh xạ của
không gian mêtric (X, d). Nếu các cặp (A, S) và (B, T ) là nửa tương
thích và liên tục dãy con (hoặc dưới tương thích và liên tục thuận
nghịch) thì
1. Cặp (A, S) có điểm trùng nhau;
2. Cặp (B, T ) có điểm trùng nhau.
Hơn nữa, nếu giả thiết thêm
d(Ax,By)

max{d(Sx,T y),d(Ax,Sx),d(By,T y)}

ϕ(t)dt
0

α

ϕ(t)dt
0

+ (1 − α) a
0

với mọi x, y ∈ X , trong đó 0

d(By, Sx)
2
ϕ(t)dt

d(Ax, T y)
2
ϕ(t)dt + b

α < 1, a

0

0, b

0, a + b < 1 và ϕ :

[0, ∞) → [0, ∞) là hàm khơng âm, khả tích Lebesgue và

ε
0 ϕ(t)dt

với mỗi ε > 0 thì A, B, S và T có duy nhất điểm bất động.
Chứng minh. Với mỗi x, y ∈ X ta có,
d(Ax, T y)
2

d(Ax, T y)

(2.7)

max{d(Ax, T y), d(By, Sx)}

>0