Luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-------------

TRẦN THỊ HƯƠNG

LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG
CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
-------------

TRẦN THỊ HƯƠNG

LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG
CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. Lê Văn Thành

Nghệ An - 2016


3

MỤC LỤC

Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Biến cố và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan . . . . . . . . .
1.3 Các dạng hội tụ, luật số lớn và một số bất đẳng thức . . .
2 Luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm
2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm . . . . .
2.2 Luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm . . . . . . . . . . . . .

4
6
6
7
10
16
16
18

22

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31


4

LỜI NÓI ĐẦU

Trong khoa học cũng như trong đời sống hằng ngày chúng ta thường
gặp các hiện tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất là bộ phận của toán
học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và quy luật ngẫu nhiên. Ngày
nay, lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng cả về
phương diện lý thuyết và ứng dụng.
Luật số lớn là một trong những định lý giới hạn quan trọng của lý thuyết
xác suất. Luật số lớn chỉ ra rằng, khi kích thước mẫu càng lớn thì trung
bình của các biến ngẫu nhiên càng gần với giá trị kỳ vọng. Chẳng hạn,
tung một con xúc xắc rất nhiều lần, trung bình cộng của tổng số nốt xuất
hiện sẽ tiến đến 3, 5.
Khái niệm về dãy biến ngẫu nhiên liên kết âm được giới thiệu bởi Alam
và Saxena [3] năm 1981. Năm 2000, Hu [6] giới thiệu khái niệm dãy các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm, đó là một sự mở rộng thực
sự của khái niệm liên kết âm. Gần đây, tác giả Aiting Shen đã nghiên cứu
luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

cộng tính trên âm và cơng bố trên Tạp chí Korean Math. Soc. (năm 2016).
Trên cơ sở nghiên cứu tài liệu này chúng tôi quyết định chọn đề tài luận
văn của mình là “Luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm”.
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan
đến nội dung của chương sau. Cụ thể là biến cố và xác suất, biến ngẫu
nhiên, phương sai, kỳ vọng, một số dạng hội tụ và luật số lớn.
Chương 2. Luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương 2, chúng tôi
nghiên cứu về luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc cộng tính trên âm. Cụ thể là định nghĩa, một số tính chất và các


5

định lý về luật số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc cộng tính trên âm.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, nghiêm túc của Thầy giáo PGS. TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin
bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời
cảm ơn chân thành tới các thầy cơ trong khoa Sư phạm Tốn học, đặc biệt
là các thầy cô trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng đã giảng
dạy và chỉ bảo trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng xin gửi lời cảm
ơn tới gia đình, người thân, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong
lớp Cao học 22 chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời

gian học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực cịn hạn chế nên luận văn
chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cơ giáo và góp ý của bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 8 năm
2016
Tác giả


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm về không gian xác
suất, biến ngẫu nhiên, luật số lớn và một số kiến thức liên quan. Trong
tồn bộ luận văn nếu khơng nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử (Ω, F, P) là
một không gian xác suất đầy đủ. B(R) ký hiệu là σ-đại số các tập Borel
của R. Các kiến thức của chương này chủ yếu được trích từ tài liệu tham
khảo [1].
1.1

Biến cố và xác suất

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Một họ F những
tập con của Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện sau
(i) Ω ∈ F;
(ii) Nếu A ∈ F, thì AC = Ω \ A ∈ F;
∞

(iii) Nếu An ∈ F với mọi n = 1, 2, ..., thì

An ∈ F.
n=1

Khi đó cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng và F là một σ-đại
số các tập con của Ω. Một ánh xạ P : F → R được gọi là độ đo xác suất
trên F nếu thỏa mãn ba điều kiện sau
(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ F (tính khơng âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa);
(iii) Nếu An ∈ F với mọi n = 1, 2, ..., Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j), thì
∞

P(
n=1

∞

An ) =

P(An ) (tính cộng tính đếm được).
n=1

Định nghĩa 1.1.3. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng và F là một σ-đại
số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F. Khi đó bộ ba
(Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất, tập Ω được gọi là không gian
biến cố sơ cấp, σ-đại số F được gọi là σ-đại số các biến cố.

7

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố, biến cố A = Ω \ A ∈ F được gọi
là biến cố đối lập của biến cố A. Nếu AB = ∅ thì A, B được gọi là biến cố
xung khắc.
Không gian xác suất (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ
nếu mọi tập con của biến cố có xác suất bằng khơng đều là biến cố.
Tính chất 1.1.4. Giả sử A, B, C, ... là những biến cố. Khi đó, xác suất
của chúng có những tính chất sau
1. P(∅) = 0.
2. Nếu AB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
3. P(A) = 1 − P(A).
4. Nếu A ⊂ B thì P(B \ A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) ≤ P(B).
5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).
∞

6. P(
n=1

∞

An )

P(An ).
n=1

7. (Tính liên tục của xác suất).
(i) Nếu {An , n ≥ 1} ⊂ F là dãy đơn điệu tăng, nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂
... ⊂ An ⊂ ..., thì

∞

lim P(An ) = P(

n−→∞

An ).

n=1

(ii) Nếu {An , n ≥ 1} ⊂ F là dãy đơn điệu giảm, nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃
... ⊃ An ⊃ ..., thì
∞

lim P(An ) = P(

n−→∞

1.2

An ).

n=1

Biến ngẫu nhiên và các tính chất liên quan

Định nghĩa 1.2.1. Cho khơng gian xác suất (Ω, F, P). Ánh xạ X : Ω → R
được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức là với mọi a ∈ R
thì
{ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F.

Bây giờ chúng tơi sẽ trình bày khái niệm độc lập, một trong những khái
niệm đóng vai trị quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó
F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)}
được gọi là σ-đại số sinh bởi X.


8

Họ hữu hạn {Fi , 1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập,
nếu
n

n

An

P

=

P(Ai ),

n=1

i=1

đối với mọi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập, nếu
mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.

Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các σ-đại
số sinh bởi chúng {F(Xi ), i ∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {Ai , i ∈ I} được gọi là độc lập, nếu họ các biến ngẫu
nhiên {I(Ai ), i ∈ I} độc lập, trong đó I(A) là hàm chỉ tiêu của A.
Định nghĩa 1.2.3. Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập
đôi một, nếu Xi và Xj độc lập với mọi i = j với i, j ∈ I.
Hàm phân phối là đặc trưng cơ bản của biến ngẫu nhiên. Sau đây ta
định nghĩa hàm phân phối.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất, X : Ω →
R là biến ngẫu nhiên. Khi đó, hàm số FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) <
x) được gọi là hàm phân phối của X.
Như vậy FX (x) = P(X −1 (−∞; x)) = PX [(−∞; x)].
Ví dụ 1.2.5. Giả sử A ∈ F, X = I(A) và P(A) = p. Khi đó

nếu
x≤0
 0
FX (x) = 1 − p nếu 0 < x ≤ 1

1
nếu
x > 1.
Kỳ vọng và phương sai là các số đặc trưng quan trọng của biến ngẫu
nhiên và một số tính chất của biến ngẫu nhiên được xác định thông qua
các số đặc trưng của nó.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.
Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là
kỳ vọng của X và kí hiệu là EX.
Vậy
EX =

XdP.
Ω

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p, đặc biệt nếu
E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.


9

Tính chất 1.2.7. (Một số tính chất của kỳ vọng sử dụng trong luận văn).
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C.
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX.
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .
5. Nếu X ≥ 0 và EX = 0 thì X = 0 h.c.c.
6. Nếu X và Y độc lập thì EXY = EX EY .
7. (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1,
EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX
khi n → ∞.
8. (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi
đó, với mọi ε > 0 ta có
P(X ≥ ε) ≤

EX
.
ε

Trong đó C là hằng số, hầu chắc chắn được viết gọn bởi h.c.c.
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị độ lệch

bình phương trung bình
DX := E(X − EX)2 (nếu tồn tại)
được gọi là phương sai của X.
Tính chất 1.2.9. Phương sai có những tính chất cơ bản sau đây
1. DX = EX 2 − (EX)2 .
2. DX ≥ 0.
3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = C h.c.c.
4. D(CX) = C 2 DX.
5. (Bất đẳng thức Chebyshev). Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi
đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0, ta có
P(|Xn − X| ≥ ε) ≤

DX
.
ε2

Tiếp theo chúng tơi sẽ trình bày về covariance.
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử X, Y là các biễn ngẫu nhiên. Khi đó covariance
của X và Y được xác định bởi
Cov(X, Y )[E(X − EX)(Y − EY )].


10

Tính chất 1.2.11. Covariance có những tính chất cơ bản sau đây
1. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (Tính đối xứng).
2. Cov(X, Y ) = EXY − EX EY.
3. Nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.
1.3

Các dạng hội tụ, luật số lớn và một số bất đẳng thức

Bây giờ, chúng tôi giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Chúng tôi nhắc lại một số khái
niệm về các dạng hội tụ, luật số lớn và nhắc lại kết quả chính của Jajte [7]
được dùng trong chương sau.
Định nghĩa 1.3.1. (Hội tụ theo xác suất). Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥
1} hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.
n→∞

P

Kí hiệu Xn −→ X.
Sự hội tụ theo xác suất khẳng định rằng với ε bé tùy ý, xác suất để Xn
lệch khỏi X một khoảng quá ε, khi n đủ lớn là khơng đáng kể. Xác suất
đó hội tụ về 0.
Sau đây ta sẽ giới thiệu một khái niệm hội tụ mạnh hơn, đó là sự hội tụ
trong Lp hay sự hội tụ theo trung bình cấp p.
Định nghĩa 1.3.2. (Hội tụ theo trung bình cấp p). Dãy biến ngẫu nhiên
{Xn , n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo trung bình cấp p (p > 0) đến biến
ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu
lim E|Xn − X|p = 0.

n→∞
Lp

Kí hiệu Xn −→ X.
Mệnh đề sau đây giải thích tại sao sự hội tụ theo trung bình cấp p lại

mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất.
Lp

P

Mệnh đề 1.3.3. Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X.
Chứng minh. Mệnh đề trên là một hệ quả đơn giản của bất đẳng thức
Markov:
E|Xn − X|p
p
p
P(|Xn − X| > ε) ≤ P(|Xn − X| ≥ ε ) ≤
→ 0.
εp


11

Định nghĩa 1.3.4. (Hội tụ hầu chắc chắn). Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥
1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞
nếu
P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1.
n→∞

Khi đó ta viết
Xn → X h.c.c. khi n → ∞, hoặc lim Xn = X h.c.c.
n→∞

Mệnh đề 1.3.5. Xn → X h.c.c. nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0 thì
P{lim sup(|Xn − X| > ε)} = 0,

trong đó

∞

∞

{lim sup An } =

Ak ,
n=1 k=n

(An là dãy các biến cố).
Định nghĩa 1.3.6. (Hội tụ đầy đủ). Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}
được gọi là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
∞
P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c

Kí hiệu Xn −→ X khi n → ∞.
Mệnh đề 1.3.7. Nếu
∞

E|Xn − X|p < ∞,
n=1
c

với p > 0 nào đó thì Xn → X.

Định lý sau đây so sánh sự hội tụ h.c.c và sự hội tụ theo xác suất.
Định lí 1.3.8. Giả sử {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên.
1. Nếu Xn → X h.c.c. thì Xn → X theo xác suất.
2. Nếu Xn → X theo xác suất thì tồn tại dãy con {Xnk } của {Xn } sao
c
cho: Xnk → X và do đó Xnk → X h.c.c.
Luật số lớn là một dạng định lý giới hạn quan trọng của lý thuyết xác
suất. Luật yếu số lớn đầu tiên đã được chứng minh bởi một nhà toán học
người Thụy Sĩ là Bernoulli. Kết quả này được công bố vào năm 1713 khi
ông đã qua đời. Về sau, luật yếu số lớn của Bernoulli được mở rộng bởi
Poisson, Bienaymé, Chebyshev, Markov và Khinchin. Tuy nhiên, phải đến


12

năm 1909 thì luật mạnh số lớn mới được một nhà toán học người Pháp
là Borel phát hiện và kết quả này đã được Kolmogorov hoàn thiện. Thuật
ngữ “luật số lớn” được dùng đầu tiên bởi Poisson.
Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa luật yếu số lớn, luật yếu số lớn
tổng quát và luật mạnh số lớn, luật mạnh số lớn tổng quát.
Định nghĩa 1.3.9. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng
EXi = ai (i = 1, 2, ...). Ta nói
(i) Dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn nếu
X1 + X2 + ... + Xn a1 + a2 + ... + an P
−
−→ 0 khi n → ∞.
n
n
(ii) Dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật yếu số lớn tổng quát nếu tồn tại dãy
số {bn , n ≥ 1}, 0 < bn ↑ ∞ sao cho

X1 + X2 + ... + Xn a1 + a2 + ... + an P
−
−→ 0 khi n → ∞.
bn
bn
Nếu trong định nghĩa trên, sự hội tụ theo xác suất được thay bằng sự
hội tụ hầu chắc chắn thì ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số
lớn (tương ứng, luật mạnh số lớn tổng qt).
Bây giờ, chúng tơi trình bày về luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật
mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund.
Định lí 1.3.10. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov: trường hợp tổng quát).
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu
hạn, và {bn , n ≥ 1} là một dãy tăng các số dương thỏa mãn bn → ∞. Nếu
∞

n=1

thì

DXn
< ∞,
b2n

n

(Xi − EXi )
i=1

bn

→ 0 h.c.c.

Định lý sau đây là luật mạnh số lớn Kolmogorov trong trường hợp cùng
phân phối.
Định lí 1.3.11. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn µ. Khi đó
n

Xi
i=1

n

→ µ h.c.c.


13

Kết quả sau mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov cho trường hợp độc
lập, cùng phân phối.
Định lí 1.3.12. (Định lý Marcinkiewicz - Zygmund). Giả sử {Xn , n ≥ 1}
là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2. Khi đó
n

Xi − nc
i=1

n1/p

→ 0 h.c.c

đối với một hằng số c nào đó khi và chỉ khi
E|X1 |p < ∞.

Đồng thời, nếu như vậy thì c = EX1 khi 1 ≤ p < 2 và c là tùy ý khi
0 < p < 1.
Như đã biết, cho g(x) và h(x) là các hàm số dương xác định trên (0; ∞)
sao cho g(x) tăng ngặt và lim g(x) = ∞. Các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1}
x→∞

tuân theo luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số nghĩa là
1
g(n)

n

i=1

Xi
→ 0 h.c.c, khi n → ∞.
h(i)

(1.1)

Có thể dễ dàng thấy rằng luật số lớn có cơng thức dạng (1.1) bao gồm
luật mạnh số lớn Kolmogorov (g(n) = n, h(n) = 1) và luật mạnh số lớn
Marcinkiewicz-Zygmund (g(n) = n1/p , h(n) = 1, 1 < p < 2).
Năm 2003, Jajte [7] đã đưa ra các điều kiện cần và đủ cho (1.1) dựa trên
các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Chúng tơi, nhắc lại các kết
quả chính của Jajte như sau.

Định lí 1.3.13. (Jajte[7]) Cho {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên
độc lập cùng phân phối. Cho g(y) hàm số dương tăng và h(y) là một hàm
số dương, với φ(y) ≡ g(y)h(y) thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Tồn tại số d ≥ 0 mà φ(y) tăng ngặt trên [d, ∞).
(ii) Tồn tại số hằng số C và số nguyên dương k0 sao cho φ(y +1)/φ(y) ≤ C
với mọi y ≥ k0 .
(iii) Tồn tại các hằng số a và b sao cho với mọi s > d thì
∞

1
dx ≤ as + b.
φ2 (x)

φ2 (s)
s

Khi đó, hai điều kiện sau là tương đương


14

(1) E[φ−1 (|X1 |)] < ∞,
(2)
n
Xi − mi
1
→ 0 h.c.c, khi n → ∞,
g(n) i=1 h(i)
trong đó mi = EXi I (|Xi | ≤ φ(i)) và φ−1 là hàm ngược của φ.
Định lí 1.3.14. (Phương pháp chặt cụt của Markov). Giả sử X là biến

ngẫu nhiên với kỳ vọng hữu hạn. Với M > 1, đặt
X (M ) = X I(|X| ≤ M ) =
Khi đó

X nếu |X| ≤ M
0 nếu |X| > M

.

|X (M ) | ≤ M,
|X (M ) | ≤ |X|,
EX (M ) → EX khi M → ∞

và

E|X (M ) − X| → 0 khi M → ∞.

Ta chú ý rằng X (M ) − X = XI(|X| > M ). Do đó ta chứng minh được
hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.3.15. Giả sử X là biến ngẫu nhiên với kỳ vọng hữu hạn. Khi
đó
E|X|I(|X| > M ) → 0 khi M → ∞.
Sau đây, chúng tơi trình bày một số bất đẳng thức được dùng để chứng
minh các kết quả của chương sau. Ta có thể xem chứng minh các bất đẳng
thức này trong Nguyễn Văn Quảng và Nguyễn Văn Huấn[1].
Bổ đề 1.3.16. Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞.
Khi đó
∞

EX α = α

xα−1 P(X > x)dx.
0

Bổ đề 1.3.17. (Bổ đề Kronecker). Giả sử {xn , n ≥ 1} là dãy các số thực
và {bn , n ≥ 1} là dãy các số dương tăng đến +∞ (0 < bn ↑ +∞). Khi đó,
∞ x
n
nếu
hội tụ, thì
n=1 bn
1
bn

n

xk → 0, khi n → ∞.
k=1


15

Tiếp theo, chúng tơi sẽ trình bày bổ đề Borel-Cantelli. Nó cho ta một
điều kiện đơn giản để biết khi nào xác suất của biến cố lim sup An bằng 0
hay 1.
Bổ đề 1.3.18. (Bổ đề Borel-Cantelli). Giả sử {An , n ≥ 1} là dãy các biến
cố. Khi đó
∞
(i) Nếu
P(An ) < ∞ thì P(lim sup An ) = 0.

n=1
∞

P(An ) = ∞ và {An , n ≥ 1} độc lập thì P(lim sup An ) = 1.

(ii) Nếu
n=1

Hệ quả 1.3.19. (Luật 0 − 1 Borel-Cantelli). Giả sử A1 , A2 , ... là các biến
cố độc lập. Khi đó

P(An ) < ∞
 0 nếu
n
P(lim sup An ) =
 1 nếu
P(An ) = ∞.
n

Ta cũng thường dùng ký hiệu lim sup An = (An i.o.), với chữ i.o. là viết
tắt của “infinite often”, với ý nghĩa lim sup An xảy ra khi có vơ hạn các biến
cố An xảy ra.
Trong lý thuyết xác suất, ngoài bất đẳng thức Markov và bất đẳng thức
Chebyshev, các bất đẳng thức moment cũng thường được sử dụng. Sau
đây, ta giới thiệu một bất đẳng thức moment sẽ dùng đến ở chương sau.
Bổ đề 1.3.20. (Bất đẳng thức cr ). Giả sử X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi đó
E|X + Y |r ≤ cr (E|X|r + E|Y |r ),

trong đó cr = max{1; 2r−1 }.

16

CHƯƠNG 2
LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC CỘNG TÍNH TRÊN ÂM

Nội dung chính của chương này là mở rộng Định lý 1.3.13 trong Chương
1 cho trường hợp các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Kết
quả này được trình bày ở các Định lý 2.3.4, 2.3.5. Ngồi ra, chúng tơi cũng
thiết lập luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng
tính trên âm, được trình bày trong Mục 2.2.
Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm về các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm.
2.1

Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

Định nghĩa 2.1.1. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được gọi
là liên kết âm nếu với bất kỳ các tập con A, B rời nhau của {1, 2, ..., n} và
các hàm thực không giảm theo tọa độ f trên R|A| và g trên R|B| , ta có
Cov (f (Xi , i ∈ A), g(Xi , i ∈ B)) ≤ 0,

(2.1)

trong đó |A| là ký hiệu lực lượng của tập A.
Định nghĩa 2.1.2. (Kemperman [9]). Một hàm φ : Rn → R được gọi là
cộng tính trên nếu
φ(x ∨ y) + φ(x ∧ y) ≥ φ(x) + φ(y), với mọi x, y ∈ Rn ,
trong đó

x ∨ y := (max {x1 , y1 } , max {x2 , y2 } , ..., max {xn , yn }),
x ∧ y := (min {x1 , y1 } , min {x2 , y2 } , ..., min {xn , yn }).
Định nghĩa 2.1.3. (Hu [6]). Một véctơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , ..., Xn )
được gọi là phụ thuộc cộng tính trên âm nếu
Eφ(X1 , X2 , ..., Xn ) ≤ Eφ(X1∗ , X2∗ , ..., Xn∗ ),

trong đó X1∗ , X2∗ , ..., Xn∗ là độc lập và {Xi∗ , i
với mỗi i.

(2.2)

1} cùng phân phối với Xi


17

Định nghĩa 2.1.4. Một dãy {Xn , n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên được gọi là
phụ thuộc cộng tính trên âm nếu (X1 , X2 , ..., Xn ) là phụ thuộc cộng tính
trên âm với mọi n ≥ 1.
Khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm đã được giới
thiệu bởi Hu [6], khái niệm này được xây dựng trên các lớp hàm cộng tính.
Hu đã cho một ví dụ minh họa phụ thuộc cộng tính trên âm không suy
ra được liên kết âm và Hu đặt ra một vấn đề mở: Phải chăng liên kết âm
là phụ thuộc cộng tính trên âm. Năm 2004 Christofides và Vaggelatou [4]
giải quyết vấn đề này và chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên liên kết âm là
phụ thuộc cộng tính trên âm.
Ví dụ 2.1.5. Cho X = (X1 , X2 , X3 , X4 ) có cùng phân phối như trong bảng
sau
(X1 , X2 )

(X3 , X4 )

(0.0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

marginal

(0,0)

0.0577

0.0623

0.0623

0.0577

0.24

(0,1)

0.0623

0.0677

0.0677

0.0623

0.26

(1,0)

0.0623

0.0677

0.0677

0.0634

0.26

(1,1)

0.0577

0.0623

0.0623

0.0577

0.24

marginal

0.24

0.26

0.26

0.24

Ở trong bảng trên, marginal là ký hiệu của phân phối biên. Hu [6] đã chỉ
ra rằng cho các biến ngẫu nhiên X = (X1 , X2 , X3 , X4 ) là phụ thuộc cộng
tính trên âm như trên nhưng không phải là liên kết âm.
Nhận xét 2.1.6. (Hu [6], tính chất P1 ). Nếu xét hai biến ngẫu nhiên thì
tính chất phụ thuộc cộng tính trên âm và liên kết âm là tương đương nhau.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm bị chặn ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.1.7. Một dãy {Xn , n ≥ 1} các biến ngẫu nhiên được gọi là
bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại một hằng số
C > 0 sao cho
P(|Xn | > x) ≤ C P(|X| > x),
(2.3)
với mọi x ≥ 0 và n ≥ 1.
Nhận xét 2.1.8. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} cùng phân
phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1
P(|Xn | > x) = P(|X1 | > x),

với mọi x ≥ 0 và n ≥ 1. Như vậy Định nghĩa 2.1.7 là tổng quát của khái
niệm cùng phân phối.

18

Sau đây, là một tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng
tính trên âm được đưa ra bởi Hu [6].
Bổ đề 2.1.9. Cho {X1 , X2 , ..., Xn } là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng
tính trên âm. Khi đó
(i) {−X1 , −X2 , ..., −Xn } cũng là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính
trên âm.
(ii) Nếu {g1 , g2 , ..., gn } là các hàm khơng giảm, thì {g1 (X1 ), g2 (X2 ), ..., gn (Xn )}
cũng phụ thuộc cộng tính trên âm.
2.2

Luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm

Trước hết, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bổ đề được dùng để chứng minh
luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
cộng tính trên âm. Bổ đề đầu tiên là Định lý Stolz, một kiến thức của giải
tích cổ điển.
Bổ đề 2.2.1. (Định lý Stolz). Cho dãy số {xn , n ≥ 1}. Khi đó, nếu
lim xn = 0,

n→∞

thì

x1 + x2 + ... + xn
= 0.
n→∞
n

Bổ đề tiếp theo là bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov đối với tổng
các biến ngẫu nhiên phụ thc cộng tính trên âm. Bổ đề này được đề cập
bởi Hu [6]. Phép chứng minh của nó có thể xem trong Shen, Zhang và
Volodin [11].
lim

Bổ đề 2.2.2 (Shen, Zhang và Volodin [11]). Cho p ≥ 1 và {Xn , n ≥ 1}
là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm, kỳ vọng bằng 0 và
E|Xi |p < ∞ với mỗi i ≥ 1. Khi đó với mọi n ≥ 1, ta có
p

k

E

max

1≤k≤n

Xi
i=1

n

≤2

3−p

E|Xi |p .

(2.4)

i=1

Sau đây chúng tơi trình bày một kết quả về luật yếu số lớn đối với tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập. Kết quả này được có thể tìm thấy trong Gut
[5]. Sau đó chúng tơi sẽ trình bày một sự mở rộng của kết quả này sang
trường hợp tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
Định lí 2.2.3. (Gut [5, tr. 279]) Cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối {X1 , X2 , ...}. Đặt Yni = Xi I(|Xi | ≤ n). Khi đó
nP (|X1 | > n)−→0,


19

nếu và chỉ nếu
1
n

n
P

(Xi − EYni ) −→ 0.
i=1

Định lý sau đây thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng có trọng số các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
Định lí 2.2.4. Giả sử {Xi , i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên cùng
phân phối và phụ thuộc cộng tính trên âm. Với mỗi n ≥ 1, đặt
Yni = −nI(Xi < −n) + Xi I(|Xi | ≤ n) + nI(Xi > n).

Giả sử {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng các số thực thỏa mãn
n

a2ni ≤ Cn,
i=1

trong đó C là một hằng số dương nào đó. Khi đó, nếu
nP(|X1 | > n)−→0,
thì
1
n

(2.5)

n
P

ani (Xi − EYni ) −→ 0.

(2.6)

i=1

Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử rằng ani > 0 với mọi
n ≥ 1 và với mọi i ≥ 1. Trước hết ta sẽ chứng minh
1
n

n
P

ani (Xi − Yni ) −→ 0.
i=1

Lấy ε > 0 tùy ý, kết hợp với giả thiết (2.5) ta có
P

1
n

n

n

ani (Xi − Yni ) > ε

≤P

i=1

ani (Xi − Yni ) = 0
i=1
n

≤P

(Xi = Yni )
i=1

n

≤

P(Xi = Yni )
i=1
n

P(|Xi | > n)

=
i=1

= nP(|X1 | > n) → 0.

(2.7)


20

Vậy (2.7) được chứng minh, tiếp theo ta cần chứng minh rằng
1
n

n
P

ani (Yni − EYni ) −→ 0.

(2.8)

i=1

Theo Bổ đề 2.1.9 dễ thấy rằng {Yni − EYni } cũng là một dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Từ đó áp Bất đẳng thức Chebyshev
và Bổ đề 2.2.2 ta có
n

ani (Yni − EYni ) > nε

P
i=1

≤
≤
=
+

C
n2 ε2
C
n2 ε2
C
n2 ε2
C
n2 ε2

2

n

1
≤ 2 2E
nε

ani (Yni − EYni )
i=1
n

a2ni E(Yni − EYni )2
i=1
n

a2ni EYni2
i=1
n

a2ni n2 P(|Xi | > n)
i=1
n

a2ni EXi2 I(|Xi | ≤ n).

(2.9)

i=1

Để đánh giá (2.9) ta đặt
C
R1 = 2 2
nε

và
C
R2 = 2 2
nε

n

a2ni n2 P(|Xi | > n)
i=1
n

a2ni EXi2 I(|Xi | ≤ n).
i=1

Khi đó ta có
C
R1 = 2 P(|X1 | > n)
ε
≤

n

a2ni
i=1

C
nP(|X1 | > n) → 0.
ε2

(2.10)

21

Bây giờ ta sẽ chứng minh R2 → 0. Để làm điều này, ta đánh giá như sau
C
R2 ≤ 2 2
εn

n

n

a2ni
i=1

xP(|X1 | > x)dx
0

n

≤

C
ε2 n

xP(|X1 | > x)dx
0

C

= 2
εn
C
≤ 2
εn

n−1 k+1

xP(|X1 | > x)dx
k=0 k
k+1

n

P(|X1 | > k)
k=0

xdx
k

C
= 2
εn

n−1

C
= 2
εn

n−1

C
≤ 2
εn

C
k P(|X1 | > k) + 2
2ε n
k=0

(k + 1)2 − k 2
P(|X1 | > k)
2
k=0
P(|X1 | > k) k +

k=0
n−1

1
2
n

P(|X1 | > k).

(2.11)

k=0

Theo giả thiết thì
k P(|X1 | > k) → 0.
Áp dụng Định lý Stolz ta có
C
ε2 n

n−1

k P(|X1 | > k) → 0.

(2.12)

k=0

Hơn nữa kết hợp (2.12) ta lại có
C
2ε2 n

n

C
P(|X1 | > k) = 2
2ε n
k=0
≤

n−1

P(|X1 | > 0) +

C
C
+
2ε2 n ε2 n

P(|X1 | > k)
k=1

n−1

k P(|X1 | > k) → 0.

(2.13)

k=0

Từ (2.12) và (2.13) ta chứng minh được (2.11). Từ (2.10) và (2.11) ta chứng
minh được (2.8). Từ (2.7) và (2.8) ta chứng minh được (2.6)


22

Hệ quả sau đây là mở rộng một phần của Định lý 2.2.3. Nó được suy
trực tiếp từ Định lý 2.2.4 khi ta cho ani ≡ 1.
Hệ quả 2.2.5. Giả sử {Xi , i ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên cùng
phân phối và phụ thuộc cộng tính trên âm. Với mỗi n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n, đặt
Yni = −nI(Xi < −n) + Xi I(|Xi | ≤ n) + nI(Xi > n).
Khi đó, nếu
nP(|X1 | > n)−→0,
thì

1
n
2.3

n
P

(Xi − EYni ) −→ 0.
i=1

Luật mạnh số lớn đối với tổng có trọng số các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm

Bây giờ, chúng tơi sẽ chuyển sang giới thiệu luật mạnh số lớn đối với tổng
có trọng số các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Trước hết,
chúng tơi trình bày một số bổ đề quan trọng sẽ được dùng để chứng minh
các Định lý 2.3.4, 2.3.5.
Hu [6] đưa ra một sự so sánh về các moment giữa các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc cộng tính trên âm và các biến ngẫu nhiên độc lập. Ông đã chỉ
ra rằng bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov vẫn còn đúng cho các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm (Bổ đề 2.2.2). Bằng cách sử dụng
bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov, Hu đã chứng tỏ rằng các định lý
hội tụ Khintchine-Kolmogorov và định lý ba chuỗi Kolmogorov vẫn đúng
cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm.
Bổ đề 2.3.1. (Định lý hội tụ dạng Khintchine-Kolmogorov). Cho {Xn , n ≥
1} là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Giả sử
rằng
∞

DXn < ∞.

n=1

Khi đó, chuỗi

∞

(Xn − EXn ) hội tụ h.c.c.
n=1

Bổ đề sau đây là định lý ba chuỗi Kolmogorov. Nó được suy ra trực tiếp
từ Bổ đề 2.3.1.


23

Bổ đề 2.3.2. (Định lý ba chuỗi Kolmogorov). Cho {Xn , n ≥ 1} là một
dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Ký hiệu
Xn(c) = cI(Xn < −c) + Xn I(| Xn |≤ c) + cI(Xn > c),
trong đó c là một hằng số dương. Khi đó nếu ba điều kiện sau đây thỏa
mãn ∞
(i)
P(|Xn | > c) < ∞,
n=1
∞

(c)

EXn hội tụ,

(ii)

n=1
∞

(c)

DXn < ∞,

(iii)
n=1

thì

∞

Xn hội tụ h.c.c.
n=1

Theo định nghĩa bị chặn ngẫu nhiên và tích phân từng phần, chúng ta
có thể có được bất đẳng thức cơ bản sau đây.
Bổ đề 2.3.3. Cho {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn
ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X. Đối với bất kỳ α > 0 và b > 0, ta có
E|Xn |α I (|Xn | ≤ b) ≤ C1 [E|X|α I(|X| ≤ b) + bα P(|X| > b)] ,
E|Xn |α I (|Xn | > b) ≤ C2 E|X|α I(|X| > b),

(2.14)
(2.15)

trong đó C1 , C2 là các hằng số dương. Do đó, E|Xn |α ≤ C E|X|α .
Trong phần tiếp theo, chúng tôi giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm bị chặn ngẫu nhiên bởi một biến

ngẫu nhiên X và mi = EXi I (|Xi | ≤ φ(i)), trong đó φ được xác định trong
Định lý 2.3.4 và φ−1 là hàm ngược của hàm φ. Ký hiệu C biểu thị một
hằng số dương không phụ thuộc vào n mà không nhất thiết phải giống
nhau trong mỗi lần xuất hiện, và [x] biểu thị phần nguyên của x.
Sau đây là một mở rộng của Định lý 1.3.13 cho các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc cộng tính trên âm.
Định lí 2.3.4. Cho g(y) và h(y) là các hàm số thực dương xác định trên
(0, ∞) sao cho φ(y) ≡ g(y)h(y) thỏa mãn điều kiện (i) và (iii) trong Định
lý 1.3.13. Nếu
E[φ−1 (|X|)] < ∞,
thì

∞

n=1

Xn − mn
hội tụ h.c.c.
φ(n)

(2.16)


24

Nếu giả sử thêm rằng g(x) tăng trên miền xác định của nó và lim g(x) =
x→∞

∞, thì
1

g(n)

n

i=1

Xi − mi
→ 0 h.c.c, khi n → ∞.
h(i)

(2.17)

Chứng minh. Với mỗi n ≥ 1, đặt
Yn = −φ(n)I(Xn < −φ(n)) + Xn I(|Xn | ≤ φ(n)) + φ(n)I(Xn > φ(n)).
Theo Định nghĩa 2.1.7 và điều kiện E[φ−1 (|X|)] < ∞, chúng ta có thể thấy
rằng
∞

∞

P(|Xn | > φ(n))

P(Xn = Yn ) =
n=1

n=1
∞

≤C

P(|X| > φ(n))
n=1
∞

=C

P(φ−1 (|X|) > n)
n=1
−1

≤ C E[φ (|X|)] < ∞.

(2.18)

Kết hợp (2.18) và bổ đề Borel-Cantelli chúng ta có
P((Xn = Yn ), i.o) = 0.

(2.19)

EYn2
Tiếp theo chúng ta xem xét chuỗi
. Từ bất đẳng thức Cr , Định
2
n=1 φ (n)
nghĩa 2.1.7, Bổ đề 2.3.3 và (2.18) chúng ta có thể nhận định rằng
n

∞

n=1

∞

EYn2
1
≤
C
EXn2 I(|Xn | ≤ φ(n)) + φ2 (n)P(|Xn |) ≥ φ(n))
2
2
φ (n)
φ (n)
n=1
∞

∞

≤C
n=1

EX 2 I(|X| ≤ φ(n))
+C
P(|X| ≥ φ(n))
φ2 (n)
n=1
∞

≤ CE
n=1

X 2 I(|X| ≤ φ(n))
+ C.
φ2 (n)

(2.20)

Ta có E[φ−1 (|X|)] < ∞, suy ra φ−1 (|X|) < ∞ h.c.c. và φ(φ−1 (|X|)) = |X|.


25

Do đó, kết hợp điều kiện (iii) trong Định lý 1.3.13 ta được
∞

n=1

X 2 I(|X| ≤ φ(n))
φ2 (n)

[φ−1 (|X|)]+1
=
n=1

X 2 I(|X| ≤ φ(n))
+
φ2 (n)
∞

−1

≤ φ (|X|) + 1 +
n=[φ−1 (|X|)]+2

∞
n=[φ−1 (|X|)]+2

X 2 I(|X| ≤ φ(n))
φ2 (n)

X2
φ2 (n)
(2.21)
∞

≤ φ−1 (|X|) + 1 + X 2

1
dx
φ2 (x)

φ−1 (|X|)

≤ (1 + a)φ−1 (|X|) + 1 + b.
Điều này kéo theo
∞

E
n=1

X 2 I(|X| ≤ φ(n))

≤ (1 + a)E[φ−1 (|X|)] + 1 + b < ∞.
2
φ (n)

(2.22)

Từ (2.20) và (2.22) chúng ta có
∞

n=1

DYn
≤
φ2 (n)

∞

n=1

EYn2
< ∞.
φ2 (n)

(2.23)

Theo Bổ đề 2.1.9 dễ thấy rằng {Yn /φ(n), n ≥ 1} cũng là một dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc cộng tính trên âm. Từ đó, theo (2.23) và Bổ đề 2.3.1
chúng ta có
∞
Yn − EYn

hội tụ h.c.c.
(2.24)
φ(n)
n=1
Kết hợp (2.19) và (2.24) ta được
∞

n=1

Xn − EYn
hội tụ h.c.c.
φ(n)

Để hoàn thành chứng minh (2.16) ta chỉ cần chứng tỏ rằng
∞

n=1

φ(n)P(Xn < −φ(n)) − φ(n)P(Xn > φ(n))
φ(n)