Sai lầm thường mắc phải của học sinh trung học cơ sở khi học tập môn toán dưới góc nhìn logic toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016
XÉT GIẢI THƯỞNG "TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT"
NĂM 2015 - 2016

SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ KHI HỌC TẬP MƠN TỐN DƯỚI
GĨC NHÌN LOGIC TỐN
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học giáo dục


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc '

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015-2016
XÉT GIẢI THƯỞNG "TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT"
NĂM 2015 - 2016

SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ KHI HỌC TẬP MƠN TỐN DƯỚI

GĨC NHÌN LOGIC TỐN

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học giáo dục
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Duy Khâm
Dân tộc
: Kinh
Lớp
: C14TO01
Khoa
: Khoa học tự nhiên
Ngành học
: Sư phạm toán
Giảng viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thành Long

Nam, Nữ

: Nam

Năm thứ
:2
Số năm đào tạo: 3


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc '

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thơng tin chung.

• Tên đề tài: Sai lầm mắc phải của học sinh trung học cơ sở khi học tập mơn
tốn dưới góc nhìn logic tốn.
• Sinh viên thực hiên chính: Nguyễn Duy Khâm
• Lớp: C14TO01 Khoa: Khoa học tự nhiên
• Khóa: 2014-2017
• Ngành học: Cao đẳng sư phạm tốn
• Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Thành Long.
2. Mục tiêu đề tài.
Nhằm giúp học sinh phát hiện, khắc phục những sai lầm, những lỗi gặp phải
khi giải toán và học toán. Đồng thời cũng giúp giáo viên phát hiện và sửa chữa
những sai lầm cho học sinh. Qua đó, giúp học sinh có tư duy lơgic chặt chẽ và
phát huy khả năng tự học của bản thân.
3. Tính mới và sáng tạo.
Phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh khi học tập mơn tốn dưới góc
nhìn logic tốn.
4. Ket quả nghiên cứu.
• Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm thường gặp khi học tập môn tốn.
• Có cái nhìn rõ hơn ve các sai lầm của học sinh dưới góc nhìn logic tốn.
5. Đóng góp về măt kinh tế - xã hôi, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc
phòng và khả năng áp dụng của đe tài.
• Giúp học sinh học tập mơn tốn tốt hơn.
• Giúp cho giáo viên có cái nhìn rõ hơn ve sai lầm của học sinh dưới góc
nhìn logic tốn. Đồng thời có phương pháp truyền đạt tốt nhất những kiến
thức, kĩ năng cho học sinh.
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu đe tài

Ngày 04 tháng 04 năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiêm chính
thực hiên đề tài

Nguyễn Duy Khâm
Nhân xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên
thực hiên đề tài:


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG
CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc '

Xác nhân của lãnh đạo khoa

Người hướng dẫn

Nguyễn Thành Long


THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIÊM CHÍNH THỰC HIÊN ĐỀ TÀI
••••
I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN

❖ Họ và tên: Nguyễn Duy Khâm
T Nam/Nữ: Nam
T Sinh ngày: 02 - 02 - 1988
T Dân tôc: Kinh
T Nơi sinh: Quảng Ngai
T Lớp: C14TO01 Khoa: Khoa học tự nhiên
4- Khóa: 2014 - 2017
4- Ngành học: Cao đẳng sư phạm toán

ị Địa chỉ liên hê: P. Phú Lợi, TP. Thủ Dầu Mơi:, T. Bình Dương.
4- Điên thoại: 0908652858
T Email:
II. QUÁ TRÌNH HỌC TÂP
T Năm thứ 1:
Học kì 1: 7.08
Học kì 2: 8.13
Cả năm: 7.67
Kết quả xếp loại học tập: Khá
T Năm thứ 2:
Học kì 1: 7.77
Kết quả xếp loại học tập: Khá
Xác nhận của lãnh đạo khoa

Ngày 04 tháng 04 năm 2016
Sinh viên chịu trách nhiệm chính thực
hiên đề tài

Nguyễn Duy Khậm
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KỮOA HỌC Tự NHIEN ■

Bình Dương, ngày 28 tháng 04 năm 2016
Kính gửi:

Ban tổ chức Giải thưởng “Tài năng khoa học
trẻ Đại học Thủ Dầu Một”

Tên tôi là: NGUYỄN DUY KHÂM

Sinh ngày 02 tháng 02 năm 2016


Sinh viên năm thứ: 2 /Tổng số năm đào tạo: 3
Lớp, khoa : C14TO01, Khoa khoa học tự nhiên
Ngành học: Cao đẳng sư phạm Tốn

Thơng tin cá nhân của sinh viên chịu trách nhiệm chính:
Địa chỉ liên hệ: 48/4/26 Khu phố 3, Phường Phú Lợi, Thủ Dầu Một, Bình Dương
Số điện thoại: 090 865 2858
Địa chỉ email:
Tôi làm đơn này kính đề nghị Ban tổ chức cho tơi được gửi đề tài nghiên cứu khoa
học để tham gia xét Giải thưởng “Tài năng khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2015
- 2016.
Tên đề tài: SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ
SỞ KHI HỌC TẬP MƠN TỐN DƯỚI GĨC NHÌN LOGIC TỐN
Tơi xin cam đoan đây là đề tài do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của ThS.
Nguyễn Thành Long; đề tài này chưa được trao bất kỳ một giải thưởng nào khác tại
thời điểm nộp hồ sơ và không phải là luận văn, đồ án tốt nghiệp.
Nếu sai, tôi xin chịu trách nhiệm trước khoa và Nhà trường.
Xác nhận của lãnh đạo khoa

Người làm đơn

Nguyễn Duy Khâm

Muc Luc

8

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay, nền giáo dục nước nhà đang hướng đến việc đổi mới cách dạy và cách học
của người Thầy và học sinh nhằm giúp học sinh tự chủ, sáng tạo, năng động hơn. Đồng
thời cũng giúp giáo viên truyền đạt một cách tốt nhất những kiến thức và các kĩ năng cho
học sinh. Ve phương pháp giáo dục và đạo tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy độc lập, sáng tạo của người học.
Tuy nhiên, việc dạy và học tốn cịn gặp nhiều khó khăn, bất cập. Học sinh thường có
tâm lý sợ và rối rắm khi giải toán. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên
chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học
sinh ngay trong giờ học tốn. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai
lầm nối tiếp sai lầm. Khi vấn đề trên được giải quyết thì việc học toán với học sinh sẽ trở
nên đơn giản và dễ dàng hơn nhiều.
Khi học sinh làm sai, thường người giáo viên sẽ phủ nhận cách làm của học sinh mà
không giải thích cho học sinh hiểu rõ vì sao sai và sai ở chỗ nào. Đồng thời giáo viên sẽ
đưa ra cách giải đúng của bài toán theo cách của giáo viên. Như vậy, học sinh sẽ không
hiểu sâu vấn đề đang làm, vơ tình kìm hãm những suy nghĩ riêng của học sinh, đặc biệt
học sinh sẽ dễ mắc phải những sai lầm tương tự trong việc giải toán. Giáo viên cần khuyến
khích học sinh tích cực suy nghĩ nhiều, hoạt động nhiều. Hiện nay, dạy học hướng vào
người học tức là những tác động của người dạy đều hướng vào việc khơi dậy và phát triển
tiềm năng trong tập thể người học và từng người học. Người học tự hoạt động, tự khám
phá dưới sự dẫn dắt của người dạy để hình thành năng lực và phẩm chất theo yêu cầu của
mục tiêu dạy học - giáo dục. Người học không lệ thuộc tuyệt đối vào người dạy mà chủ
yếu quan hệ trực tiếp với kiến thức, bạn bè cùng học thơng qua hành động của chính mình.
Như vậy, người học là chủ thể, tự tìm ra tri thức.
Chính sự tích cực chủ động trong việc học, người học dần hình thành khả năng tư
duy độc lập, sáng tạo và chịu khó suy nghĩ hơn. Người Thầy chỉ đóng vai trị là người
hướng dẫn, điều khiển và khẳng định lại những chân lý đúng đắn của khoa học để người
học tiếp nhận. Như vậy, từ những hoạt động học của học sinh sẽ cho câu trả lời đúng hoặc

sai. Tuy nhiên, có những câu trả lời sai vẫn có những lý do riêng, có sự chặt chẽ riêng đối
với học sinh. Từ những cách hiểu sai lầm đó, người thầy sẽ chỉ rõ cho học sinh thấy được
cái sai, uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thành cái đúng của khoa học. Qua đó, học sinh sẽ
nắm vững hơn những chân lý mà họ tiếp nhận được và tránh những lỗi tương tự. Vì vậy,
người giáo viên cần có cái nhìn đúng đắn và tích cực với những sai lầm của học sinh. Từ
đó, giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức khoa học đúng đắn, sáng tạo, tư duy độc lập và phát
huy hết khả năng tự học của bản thân.
Các sai lầm của học sinh cũng được nhiều tác giả nghiên cứu và viết sách nhưng chủ
yếu tập trung ở chương trình trung học phổ thơng, cịn ở chương trình trung học cơ sở cịn


9

hạn chế như tác giả Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn với “Những sai lầm trong giải Tốn
phổ thơng”. Tuy nhiên, các tác giả chưa phân tích kĩ sai lầm của học sinh.
Vì vậy,
để
góp
phần
nghiên
cứu
và tìm
hiểu
vềkhi
các
saitập
lầm
học
sinh
thường

thường
mắc
phải
mắc
phải,
của
học
tơi
sinh
tiến
trung
hành
học
nghiên
cơ sở
cứu
đềhọc
tài:
“Sai
mơn
lầm
tốn
dưới
góc
nhìn
logic
tốn”.


PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1.

Quan điểm giáo dục về sai lầm của học sinh:

Giáo dục ở nước ta đang đứng trước những thách thức và cơ hội chưa từng có do yêu
cầu phát triển đất nước nhanh và bền vững. Trước yêu cầu cần đổi mới cấp thiết, việc định
hướng phát triển giáo dục và đào tạo là nội dung quan trọng. Trong bối cảnh tồn cầu hóa
ngày càng sâu rộng, khoa học công nghệ ngày càng tiến triển mạnh mẽ, nhiều vấn đề về
mơi trường, dân số, khí hậu,... nảy sinh theo chiều hướng ngày càng gay gắt. Để đáp ứng
yêu cầu mới, rõ ràng giáo dục không thể cứ như hiện nay mà cần phải có sự thay đổi căn
bản và toàn diện.
Muốn giáo dục thay đổi căn bản và tồn diện thì các quyết sách về giáo dục không chỉ
nhằm giải quyết những vấn đề bức xúc trước mắt mà còn phải tạo cơ sở để phát triển tồn
bộ hệ thống giáo dục với tầm nhìn lâu dài. Như vậy, mỗi quyết sách phải được cân nhắc kỹ
càng trên cơ sở những luận cứ khoa học.
Một trong những sự thay đổi cần thiết là sự đổi mới tư duy giáo dục. Đây là một vấn đề
quan trọng đối với khoa học giáo dục, có tác dụng chi phối dẫn dắt, tạo nền cho cơng trình
nghiên cứu và tất nhiên cũng chi phố, dẫn dắt, tạo nền cho cả hoạt động thực tiễn về giáo
dục, đó là triết lý giáo dục. Nếu quan niệm triết lý giáo dục là hệ thống lý luận phản ánh sự
nhận thức chung nhất đóng vai trị chỉ đạo hoạt động giáo dục,...thì có lẽ khơng phải chúng
ta khơng có triết lý giáo dục. Nhưng trước những đòi hỏi mới đối với sự nghiệp giáo dục,
cần và có thể bổ sung, điều chỉnh triết lý giáo dục của chúng ta cho phù hợp, mà quan
niệm về mục tiêu đào tạo là một nội dung tập trung và cụ thể.
Để đất nước ta tồn tại và phát triển trong bối cảnh thế giới ngày nay, phải nâng cao trí
tuệ và năng lực của con người Việt Nam. Vì vậy, giáo dục khơng thể cứ như hiện nay mà
cần phải có sự thay đổi căn bản và toàn diện, một sự bức phá thực sự. Đấy chính là lý do
khiến cho nhiều nhà giáo, nhà khoa học, nhà quản lý giáo dục đề xuất phải cải cách giáo
dục, với quan niệm cải cách giáo dục là sự thay đổi căn bản, sâu sắc và tồn diện về mơ
hình phát triển và mục tiêu của cả hệ thống giáo dục. Điều đó khác hẳn với cách đổi mới
giáo dục mà chúng ta từng thực hiện trong suốt những năm vừa qua, vốn chỉ nhằm giải

quyết những vấn đề bức xúc bằng giải pháp tình thế, vừa khơng đồng bộ vừa thiếu hệ
thống.
Q trình đổi mới liên quan mật thiết đến việc dạy học. Dạy học gồm hai mặt hữu cơ là
hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh. Trong lí luận dạy học có
những quan niệm khác nhau về vai trò của giáo viên và vai trò của học sinh. Tựu chung lại
có hai hướng là hoặc tập trung vào vai trò hoạt động của giáo viên hoặc tập trung vào vai
trò của học sinh.
Trong lịch sử giáo dục, ở thời kì chưa hình thành tổ chức nhà trường, một giáo viên
thường dạy cho một nhóm nhỏ học sinh, có thể chênh lệch nhau khá nhiều về lứa tuổi và


trình độ. Từ khi xuất hiện tổ chức nhà trường với những lớp học có nhiều học sinh cùng
lứa tuổi và trình độ tương đối đồng đều thì giáo viên khó có điều kiện chăm lo cho từng
học sinh, giảng dạy cặn kẽ cho từng em. Từ đó hình thành kiểu dạy học “thông báo - đồng
loạt”. Giáo viên quan tâm trước hết đến việc hoàn thành trách nhiệm của mình là truyền
đạt cho hết nội dung quy định trong chương trình và sách giáo khoa, cố gắng làm cho mọi
học sinh trong lớp hiểu và nhớ những lời thầy giảng. Cũng từ đó hình thành kiểu học thụ
động, thiên về ghi nhớ, ít chịu suy nghĩ. Tình trạng này ngày nay càng phổ biến, đã hạn
chế chất lượng, hiệu quả dạy học, không đáp ứng được yêu cầu của xã hội đối với sản
phẩm giáo dục của nhà trường. Để khắc phục tình trạng đó, người ta thấy cần phát huy tính
tích cực chủ động học tập của học sinh, thực hiện “dạy học phân hóa”, quan tâm đến nhu
cầu khả năng của mỗi cá nhân học sinh trong tập thể lớp. Các phương pháp “dạy học tích
cực”, “lấy người học làm trung tâm” đã ra đời trong bối cảnh đó.
Triết lí của dạy học hướng vào người học chịu ảnh hưởng của J. Dewey (Mĩ), S.Freud
(Áo), C. Rogers, Maslow (Mĩ),...mà quan điểm chung là tơn trọng tính tự nhiên của trẻ em.
Đối với trẻ, giáo dục trong nhà trường là cuộc đời thực sự chứ không phải là nơi chuẩn bị
vào đời. Do đó, giáo dục phải lấy trẻ em làm chuẩn. Đứa trẻ như mặt trời, giáo dục phải
xoay quanh nó. Như vậy đứa trẻ mới có động cơ học tập và tự phát triển. Đây là khuynh
hướng nhân văn tiến bộ, song mang tính thực dụng và cực đoan.
Dạy học hướng vào người học (có tác giả gọi là “dạy học lấy người học làm trung

tâm”) đặt ra yêu cầu là mọi tác động sư phạm của người dạy phải căn cứ vào đặc điểm của
người học, tạo điều kiện cho họ suy nghĩ nhiều, hoạt động nhiều. Nghĩa là những tác động
của người dạy đều hướng vào việc khơi dậy và phát triển tiềm năng trong tập thể người
học và từng người học. Người học tự hoạt động, tự khám phá dưới sự dẫn dắt của người
dạy để hình thành năng lực và phẩm chất theo yêu cầu của mục tiêu dạy học - giáo dục.
Người học không lệ thuộc tuyệt đối vào người dạy mà chủ yếu quan hệ trực tiếp với kiến
thức, bạn bè cùng học thơng qua hành động của chính mình. Như vậy, người học là chủ
thể, tự tìm ra tri thức.
Rõ ràng, dạy học hướng vào người học đòi hỏi người thầy giáo nỗ lực nhiều hơn, bỏ ra
nhiều công sức hơn là dạy học theo kiểu thầy đọc trò chép. Và hơn hết, người thầy vẫn giữ
vai trò chủ đạo trong dạy học.
Dạy học hướng vào người học có những đặc điểm:
- Ve mục tiêu dạy học: hướng vào việc chuẩn bị cho học sinh thích ứng với đời sống
xã hội, tơn trọng nhu cầu, lợi ích, tiềm năng của học sinh.
- Ve nội dung dạy học: ngoài tri thức lí thuyết, chú trọng các kĩ năng thực hành, vận
dụng kiến thức vào thực tiễn.
- về phương pháp dạy học: hướng vào việc tổ chức cho học sinh hoạt động, giúp học
sinh tận dụng hiểu biết và kinh nghiệm của mình vào việc chiếm lĩnh tri thức, chú ý
rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tập dượt nghiên cứu.


- về hình thức tổ chức dạy học: sử dụng nhiều hình thức dạy học phong phú như: tự
học, học theo nhóm, lên lớp, thảo luận, tham quan,...
- về đánh giá: học sinh được tự đánh giá và tham gia đánh giá lẫn nhau theo chuẩn,
giáo viên giữ vai trò là trọng tài.
Chính sự tích cực chủ động trong việc học, người học dần hình thành khả năng tư duy
độc lập, sáng tạo và chịu khó suy nghĩ hơn. Người Thầy chỉ đóng vai trị là người hướng
dẫn, điều khiển và khẳng định lại những chân lý đúng đắn của khoa học để người học tiếp
nhận. Như vậy, từ những hoạt động học của học sinh sẽ cho câu trả lời đúng hoặc sai. Tuy
nhiên, có những câu trả lời sai vẫn có những lý do riêng, có sự chặt chẽ riêng đối với học

sinh. Từ những cách hiểu sai lầm đó, người thầy sẽ chỉ rõ cho học sinh thấy được cái sai,
uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thành cái đúng của khoa học. Qua đó, học sinh sẽ nắm
vững hơn những chân lý mà họ tiếp nhận được và tránh những lỗi tương tự. Vì vậy, người
giáo viên cần có cái nhìn đúng đắn và tích cực với những sai lầm của học sinh. Từ đó, giúp
học sinh chiếm lĩnh tri thức khoa học đúng đắn, sáng tạo, tư duy độc lập và phát huy hết
khả năng tự học của bản thân.
Jean Piaget (1896 - 1980), một trong những nhà tâm lý học và triết học đầu tiên
nghiên cứu về quá trình nhận thức và phát triển ở trẻ em.

Tượng Piaget tại Geneva, Thụy Sĩ
Trung tâm tư tưởng của mọi cơng trình khoa học của J. Piaget là “Con người trong
q trình khám phá thế giới, nó tự mình tạo nên kiến thức, tự mình tạo nên thế giới của
mình. Giáo dục chỉ là sự giúp đỡ để con người có thể tự học, tự khai sáng cho mình”.
Jean Piaget nhận định: “Tìm hiểu những sai sót của học sinh và thấy ở đó một biện
pháp để nhận biết tư duy toán học của các em". Hay câu nói: “Trẻ em học bằng q trình
tìm kiếm và nhầm lẫn, bằng cách làm việc chủ động và độc lập, tức là khơng bị bó buộc và
có đầy đủ thời gian'.
Ngày nay nhiều nhà sư phạm ủng hô mô hình dạy học này, vì nó phù hợp với cách con
người học và phát triển, được trình bày trong lí thuyết của J.Piaget và các lí thuyết phát
sinh nhân thức khác. Khi học sinh được tạo dựng đông cơ và được tham gia vào các hành
đông khám phá, phù hợp với trình đơ nhân thức của mình thì viêc học tâp khám phá sẽ
đem lại kết quả tốt.
1.2.

Tổng quan về logic toán

1.2.1.

Mệnh đề và các phép logic

1.2.1.1.

Mệnh đề

Các câu phản ánh tính đúng hoặc sai được gọi là một mệnh đề. Để kí hiệu cho các
mệnh đề ta dùng các chữ cái a, b, c,...Trong lôgic ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp
của các mệnh đề mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai” của chúng. Nếu a là mệnh đề
đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu là G(a) = 1, nếu a là mệnh đề sai thì ta
nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu G(a) = 0.
Những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh và câu cảm thán đều không phải là mệnh đề.
Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:

•

Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai, khơng có mệnh đề nào khơng
đúng cũng khơng sai.

•

Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): khơng có mệnh đề nào vừa
đúng hoặc vừa sai.

1.2.1.2.

Các phép logic:

1.2.1.3.

Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là ã, đúng khi a sai và sai khi a đúng.
1.2.1.4.

Phép hội

Hội của hai mệnh đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a và b, kí hiệu c = a
mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

A

b, đúng khi cả hai

Chú ý:
Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó lại bởi liên từ “và”
hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn,
cùng,...hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.
1.2.1.5.

Phép tuyển

Tuyển của hai mệnh đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a hoặc b, kí hiệu c = a v b, đúng khi ít
nhất một trong hai mệnh đề a, b là đúng và sai khi cả hai mệnh đề a, b cùng sai.
Chú ý:
J Để lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ “hoặc”
(hay một liên từ khác cùng loại).
J Khi thiết lập mệnh đề tuyển của nhiều mệnh đề ta dùng dấu phẩy thay cho liên từ
“hoặc”.
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”.
1.2.1.6.

Phép kéo theo

Mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, sai khi a đúng mà b sai và đúng với
các trường hợp còn lại.
Chú ý:


J Mệnh đề “a kéo theo b” thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng
hạn như “nếu a thì b”, “a suy ra b”, “có a thì có b”,...
J Trong logic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm
đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề đó. Khơng phân biệt trường hợp a có phải là
ngun nhân để có b hay khơng, mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của chúng.
1.2.1.7.

Phép tương đương

Mệnh đề a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu a b, đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng
đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại.
Trong thực tế, mệnh đề “a tương đương b” còn được biểu diễn dưới nhiều hình thức khác
nhau như: “a khi và chỉ khi b”, “a nếu và chỉ nếu b”.
1.2.1.8.

Mệnh đề liên hợp

Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì:
q p (2) là mệnh đề đảo của (1)
p q (3) là mệnh đề phản của (1)
q

p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)

Các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo ta gọi là những mệnh đề liên hợp.
Trong đó,
-

Mệnh đề thuận tương đương lơgic với mệnh đề phản đảo.

-

Mệnh đề phản tương đương lôgic với mệnh đề đảo.

Mệnh đề thuận và mệnh đề đảo có thể cùng chân trị hoặc khác chân trị. Nếu có cùng chân
trị thì khi đó trở thành phép tương đương.
1.2.2.

Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát, tồn tại

1.2.2.1.

Khái niệm về hàm mệnh đề

Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi thay các biến
đó bới những phần tử xác định thuộc tập X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ
gọi là hàm mệnh đề.
Tập X gọi là miền xác định; tập các phần tử thuộc X khi thay vào ta được mệnh đề đúng
gọi là miền đúng; thay vào ta được mệnh đề sai gọi là miền sai của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng các kí hiệu T(n), F(x), G(y),... để chỉ các hàm mệnh đề.
Ví dụ:
Hàm mệnh đề T(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tập các số tự

nhiên.


Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 là miền đúng của T(n).
Tập các số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n).
1.2.2.2.

Các phép toán trên hàm mệnh đề

a) Phép phủ định
Cho F(x) là hàm mệnh đề xác định trên mien X. Ta gọi phủ định của hàm mệnh đề F(x) là
một hàm mệnh đề, kí hiệu là F (x), sao cho đối với mỗi a G X, F (a) là mệnh đề phủ định
của mệnh đề F(a).
Ví dụ:
T(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh đề.
T(n) = “ Số tự nhiên n không chia hết cho 3” là hàm mệnh đề phủ định.
b) Phép hội
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi hội của hai hàm mệnh đề
F(x) và G(x) là một hàm mệnh đề H(x), kí hiệu H(x) = F(x) n G(x), xác định trên mien X
sao cho với mọi a G X ta có mệnh đề H(a) là hội của hai mệnh đề F(a) và G(a).
Ví dụ:
Hội của hai hàm mệnh đề:
F(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3”
G(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 5”
là hàm mệnh đề:
H(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3 và 5”
Cũng tương tự như trên, ta định nghĩa các phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương
trên các hàm mệnh đề.
1.2.2.3.

Mệnh đề tổng quát

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên mien X. Ta gọi mệnh đề dạng:
“Với mọi x G X ta có T(x)”
Hoặc:
“Với mọi x G X, T(x)” là mệnh đề tổng quát (hoặc tồn thể, phổ biến, phổ cập,...), kí hiệu
là:
V

x G X, T(x) hoặc V T(x)
xGX

Ví dụ:
“V n G

n là số nguyên tố” là mệnh đề sai


“V n G

2n là số chẵn” là mệnh đề đúng

“V x G

x2 + 1 > 0” là mệnh đề đúng

I.2.2.4.

Mệnh đề tồn tại

Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên mien X. Ta gọi mệnh đề dạng:
“Tồn tại x G X sao cho T(x)” là mệnh đề tồn tại. Kí hiệu là:
3

x G X : T(x) hoặc 3 T(x)
xGX

Ví dụ:
“Tồn tại số tự nhiên n sao cho n là số nguyên tố” là mệnh đề đúng
“Tồn tại số thực x sao cho x2 — 1 = 0” là mệnh đề đúng
“Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0” là mệnh đề sai
1.2.3. Quy tắc suy luận
Định nghĩa: Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến mệnh
đề có mặt trong các cơng thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C
nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn tới hệ
quả lôgic C của chúng.
A, B

Ta kí hiệu: C
A, B
C

Từ định nghĩa, ta dễ dàng thấy rằng để chứng minh là một quy tắc suy luận ta chỉ cần lập
bảng giá trị chân lí đối với các cơng thức A, B, C. Trong đó chỉ ra rằng mỗi khi A, B nhận
giá trị chân lí bằng 1 thì C cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
Ở đây, ta tìm hiểu các quy tắc suy luận sau:
1.2.3.1.

Quy tắc suy luận Modus ponens
p

q, p

Ta thấy p^q và p nhận giá trị chân lí bằng 1 thì q cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
Ví dụ:
“p^q” là mệnh đề “Hình bình hành có các cặp cạnh đối song song”
“p” là mệnh đề “ ABCD là hình bình hành”
“q” là mệnh đề “các cặp cạnh đối song song”
1.2.3.2.

Quy tắc suy luận Modus Tollens
p y q, ~q


p

1.2.3.3.

Quy tắc suy luận bắc cầu

p

q, q
pr

r

Khi p q và q r nhận giá trị chân lí bằng 1 thì p r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1.
Ví dụ:
“p^q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”

"q^r”

là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”

Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó
chia hết cho 3”
1.2.3.4.
p

Ả

Quy tắc chứng minh phản chứng
q, ~p ~q
p

Khi p A q và p q ln khơng cùng giá trị chân lí là 1 thì p sẽ nhận giá trị chân lí là 0. Do đó,
điều giả sử là khơng đúng.
1.2.1.

Suy luận và chứng minh

1.2.4.1.

Suy luận

Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã biết. Những mệnh đề đã
có gọi là tiền đề, một mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận.
Hai kiểu suy luận thường gặp là suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy luận
nghe có lí (hay suy luận có lí).
a) Suy luận diễn dịch

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng
quát (của lôgic mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết luận rút ra
cũng phải đúng.
Trong lơgic vị từ, ngồi những quy tắc của suy luận cua logic mệnh đề ta thường gặp và
vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây:
(Vx ẹ X)P(x) Q(x), P(a)
Q(a)

Có nghĩa là nếu P(x) đúng với mọi x G X và a G X thì P(a) là mệnh đề đúng.
(Vx ẹ X)P(x) Q(x), P(a)
Q(a)

Có nghĩa là:


Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x G X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đúng.
Ví dụ 1:
Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
Số 432135 có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Vậy số 432135 chia hết cho 9.
Ví dụ 2:
Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vng góc với nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi.
Vậy AC ± BD
b) Suy luận nghe có lí
Suy luận nghe có lí (hay cịn gọi là suy luận có lí) là suy luận khơng theo một quy tắc suy
luận tổng qt nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề đúng để rút ra một kết luận. Kết luận
này có thể đúng cũng có thể sai.
Mặc dù suy luận nghe có lí hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quan trọng trong
khoa học và đời sống: giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể rút ra những giả thuyết, phán

đốn để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả thuyết đó.
Trong tốn học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường sử dụng là:
-

Phép quy nạp khơng hồn tồn.

-

Phép tương tự.

Ví dụ 1:
Từ các tiền đề:
4+3=3+4
15 + 48 = 48 + 15
234 + 567 = 567 + 234
Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự của các số
hạng trong tổng đó.
Đây là phép quy nạp khơng hồn tồn. Trong phép suy luận này, các tiền đề đúng và kết
luận rút ra cũng đúng.
Ví dụ 2:
Từ các tiền đề:
42 chia hết cho 3
72 chia hết cho 3
132 chia hết cho 3


Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đây là phép quy nạp khơng hồn tồn. Trong phép suy luận này, xuất phát từ các tiền đề
đúng mà kết luận rút ra lại sai.
1.2.4.2.

Chứng minh

Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận
dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp logic.
Ở đây, chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm
đến nội dung, ý nghĩa của các mệnh đề trong suy luận đó.
Trong tốn học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là những định nghĩa,
tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là một
kết luận chứng minh, cịn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ ràng X là kết luận lơgic của các tiền đề
đúng.
Mỗi chứng minh tốn học bao gồm một số hữu hạn bước, trong đó mỗi bước là một
suy luận diễn dịch, trong đó ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép suy luận diễn
dịch với các tiền đề đúng.
Một phép chứng minh gồm ba phần:
1) Luận đề là mệnh đề ta phải chứng minh.
2) Luận cứ là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó đã được khẳng định (thường là
các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó,...) dùng làm tiền
đề trong mỗi bước suy luận.
3) Luận chứng là những quy tắc suy luận tổng quát được sử dụng trong mỗi bước suy
luận của chứng minh đó.
I.2.4.3.

Các phương pháp chứng minh

a) Chứng minh trực tiếp
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.
p

q, q
pr

r

Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực tiếp, ta
tiến hành theo sơ đồ sau:
A Ai
A1 A2
An-1 An


An

B

Áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh.
b) Chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, muốn chứng minh từ tiền A dẫn đến kết luận B bằng phương
pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:
—

Giả sử A đúng mà B sai (G(A A B) = 1)

-

AABCAC

—

Áp dụng quy tắc suy luận:
A

Ả

A BC C
AB

Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọn như sau:
-

Giả sử A đúng mà B sai (tức B đúng)

—

BA

-

Áp dụng quy tắc suy luận:
BA
AB

Ta rút ra kết luận A B là đúng.
c) Chứng minh quy nạp hoàn toàn
Giả sử tập hữu hạn X = { ai, a2,..., an} và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X.
Ta phải chứng minh mệnh đề:
V

x e X, T(x)

là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng tỏ rằng T(a1), T(a2),..., T(an)
đều là những mệnh đề đúng.
Ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát:
Vx e X,

T (x)


PHẦN II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH
2.1.

Nguyên nhân của sai lầm

2.1.1.

Chưa nắm vững các định nghĩa, định lí

-

Khái niệm là một trong những sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có
nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối
tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của các khái niệm. Tập
hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoại diện của các khái nhiệm
sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu khơng trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất của các khái
niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác, nhiều khái niệm
trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp một khái niệm trước đó. Học sinh khơng
nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc khơng hiểu và khơng thể có biểu tượng về

khái niệm khác. Mối liên hệ giữa các khái niệm trong tốn học có tính liên kết lơgic
với nhau.

-

Nhiều người hay nói đến sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức thì trước hết cần
hiểu rằng đó là sự mất gốc về các khái niệm. Dần đần, học sinh sẽ bị khủng hoảng
kiến thức trầm trọng, những cách hiểu lệch lạc một vấn đề nào đó và dẫn đến các
sai lầm trong việc giải toán. Các khái niệm chính là các mệnh đề đúng, khi hiểu sai
các mệnh đề sẽ kéo theo các phép toán suy luận sai.

-

Định lí là một mệnh đề đã được khẳng định đúng. Cấu trúc thơng thường của một
định lí có dạng A B. Trong cấu trúc của định lí A B thì A là giả thiết của định lí và
cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được của định lí. Người ta cịn nói A là điều kiện
đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh không nắm vững hoặc coi thường giả thiết A
nên dẫn tới sai lầm. Không nắm vững giả thiết của định lí nên học sinh có thể áp
dụng định lí ra ngồi phạm vi của giả thiết. Nhiều học sinh nhầm lẫn khi cho rằng
giả thiết A đúng mơí cho kết luận B đúng. Cần nhấn mạnh rằng, đây là phép kéo
theo nên có khi khơng có A nhưng vẫn suy ra B (A sai và B sai hoặc A sai và B
đúng).

2.1.2.
-

Chưa đọc kĩ đề bài

Đọc không kĩ đề ra dẫn đến hiểu nhầm kiến thức, khơng phát hiện được các nội
dung chính trong bài tập.

Không xét hết các trường hợp dẫn đến “thiếu nghiệm”.
Vận dụng các phương pháp giải tốn một cách khơng hợp lí và triệt để trong việc
giải các bài tập.
Thiếu sót các giả thiết, nhầm lẫn điều phải chứng minh

2.1.3.

Suy luận không lôgic


-

Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đốn - một trong các hình thức
của tư duy. Hoạt động suy luận giải toán dựa trên cơ sở của lôgic học. Học sinh
thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn
đến các sai lầm khi giải tốn.

-

Việc khơng có ý thức về phép tuyển và phép hội gây cho học sinh khó khăn ngay cả
việc lĩnh hội các khái niệm, các định lí. Nhiều định lí có giả thiết và kết luận mang
cấu trúc tuyển hoặc hội. Nhiều tính chất đặc trưng của một khái niệm cũng có các
kiểu cấu trúc này.

-

Phép tốn kéo theo của lơgic là phép toán rất quan trọng trong việc phát biểu các
định lí, khái niệm và trong lập luận của lời giải. Nhiều học sinh không hiểu rõ đâu
là giả thiết, đâu là két luận, đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ nên cịn gặp
khó khăn trong việc định hướng cách giải bài tốn.

-

Học sinh cịn thiếu những hiểu biết vè các quy tắc suy luận nên dẫn tới nhiều sai
lầm khi thực hiện các phép tính chứng minh. Phân tích các suy luận trong chứng
minh tốn học ta thấy mỗi chứng minh bao gồm các bước cơ bản, mà mỗi bước
được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là các quy tắc suy luận.

-

Học sinh chưa hiểu thực chất của phép quy nạp toán học, nhiều khi dùng phép
tương tự hay phép thay thế thay cho phép chứng minh quy nạp tốn học. Khơng
nắm vững các phép toán đại số mệnh đề: phủ định, kéo theo, hội , tuyển, tương
đương, khơng nắm vững thuộc tính của các lượng từ “mọi”, “tồn tại”, “và”,
“hoặc”,...

2.1.4.

Không nắm vững phương pháp giải các bài tốn cơ bản

-

Khơng nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản, học sinh không nghĩ được
đủ trường hợp cần xét và dẫn đến điều kiện sai, đây chính là phép tuyển trong lơgic
tốn.

-

Khơng biện luận đủ các trường hợp xảy ra của bài tốn.

-

Khơng áp dụng đúng phạm vi và dẫn đến bế tắc, không đi đến lời giải cuối cùng.

-

Bỏ qua những bước quan trọng và đi đến ngay kết luận, học sinh còn nhầm lẫn
phép tương tự trong một số trường hợp.

-

Không nắm vững phương pháp giải của cùng một loại bài tốn, học sinh khơng tìm
ra phương pháp giải tối ưu cho một bài tốn cụ thể.

-

Lời giải khơng có trình tự lơgic và khong biết khi nào kết thúc lời giải.

2.1.5.

Xác định giả thiết, kết luận của bài toán khơng rõ ràng

Nhiều học sinh cịn gặp khó khăn trong việc xác định rõ ràng đâu là giả thiết, đâu là
kết luận của bài tốn. Do đó, các em sẽ không biết bắt đầu từ đâu để chứng minh và chứng
minh như thế nào. Khi không xác định rõ giả thiết của bài tốn sẽ khơng đủ dữ kiện để giải
bài tốn đó.


2.1.6.

Chưa sử dụng, khai thác hết giả thiết

Học sinh thường bỏ sót một trong những giả thiết mà đề bài do, vì vậy thường gặp
gặp khó khăn trong việc giải quyết bài tốn. Ngồi ra, việc sử dụng giả thiết như thế nào
cho hợp lí cũng là một vấn đề khó khăn mà học sinh thường hay lúng túng trong quá trình
suy luận. Mặt khác, việc hệ thống kiến thức cũ cũng rất quan trọng mà học sinh hay gặp
phải, đặc biệt phần hình học. Hình học mang tính đặc thù của nó, hầu như các kiến thức
thường sẽ liên quan với nhau. Chính vì vậy, học sinh cần phải nắm vững các định nghĩa,
tính chất của từng nội dung học. Khi đó, học sinh mới có thể vận dụng các kiến thức đã
học để giải một bài toán cụ thể nào đó. Thậm chí, một bài tốn tổng hợp cần kết hợp nhiều
nội dung kiến thức mới có thể chứng minh được. Do đó, học sinh trung bình trở xuống
thường gặp khó khăn cũng như có tâm lý sợ phần hình học. Nguyên nhân chủ yếu là
phương pháp học chưa đúng, các em còn lười học bài để nắm vững lý thuyết cũng như
lười làm bài tập để rèn luyện thêm. Từ đó, học sinh sẽ khơng sử dụng và khai thác tốt giả
thiết để giải quyết bài toán.
2.2.

Một số sai lầm thường gặp và cách khắc phục

2.2.1.

Số học và đại số

2.2.1.1.

Chia hết của một tổng cho một số

Ví dụ 1:
Xét xem tổng sau có chia hết cho 3 khơng: 43 + 122
Vì 43 khơng chia hết cho 3

122 không chia hết cho 3
Nên 43 + 122 không chia hết cho 3.
Sai lầm và nguyên nhân:
43 + 122 = 165 ỉ 3.
Tính chất chia hết của một tổng: a ỉ m và b ỉ m (a + b) ỉ m
Học sinh sử dụng kiểu suy luận nghe có lí. Nếu các số đều chia hết cho một số thì tổng của
các số sẽ chia hết cho số đó. Học sinh sử dụng phép tương tự rằng khi các số đều khơng
chia hết cho một số thì tổng của các số sẽ khơng chia hết cho số đó. Như vậy, học sinh sử
dụng phép tương tự nên dẫn đến sai lầm.
Lời giải đúng:
43 + 122 = 165
Vì 165 ỉ 3 nên 43 + 122 ỉ 3
2.2.1.2.

Lũy thừa

Ví dụ 2:
Rút gọn biểu thức: A = (-x)2.yx5.(-y)3
A = (-x)2.yx5.(-y)3 = (-x)2. x5.y.(-y)3 = (-x)2+5.(-y)1+3 = (-x)7.(-y)4 = x7.y4 Sai lầm và nguyên


nhân:
Học sinh chưa nắm vững quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Do đó, học sinh nhầm lẫn (2 5

2+5

x) . x = -x

Lời giải đúng:
A = (-x)2.yx5.(-y)3 = (-x)2. x5.y.(-y)3 = x2.x5.y.(-y3) = -x7.y.y3 = x7.y1+3 = -x7.y4

Ví dụ 3:
Tính: B = 22
B=

22 = 22.3 = 26 = 64
3

Sai lầm:
B = 256
Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh nhầm lẫn công thức lũy thừa của lũy thừa với tầng lũy thừa.

(A“)» = A».n

và Amn

=A

(mn)

Lời giải đúng:
B = 22 = 28 = 256
3

Ví dụ 4: Tìm x biết:
(x - 2)2 = 36
(x - 2)2 = 36
(x - 2)2 = 62
x- 2 = 6
x=8

Sai lầm:
Xét x = -4, ta có:
(-4 - 2)2 = 36
Suy ra

x = -4 thỏa yêu cầu bài tốn.

Ngun nhân sai lầm:
Học sinh khơng nắm vững tính chất của lũy thừa với số mũ chẵn.
A2n = B2n (A, B # {0; -1; 1}) , n e M
A = B hoặc A = —B


Như vậy, đây là phép tuyển. Học sinh chỉ xét 1 trường hợp A = B và còn thiếu 1 trường
hợp A = —B
Lời giải đúng:
(x - 2)2 = 36
(x - 2)2 = 62
|x - 2| = 6
+ Với x - 2 = 6 : giải như trên
+ Với x - 2 = —6
x = —4
Vậy x e {—4; 8}.
Ví dụ 5:
So sánh 23n và 32n
Ta có: 23n = (23)n = 8n
32n = (32)n = 9
Do 8 < 9 nên 8n < 9n
Suy ra 23n < 32n
Sai lầm:

Xét n = 0, ta có:
VT = 23n = 1
VP = 32n = 1
Suy ra 23n = 32n
Nguyên nhân:
Đây là phép tuyển gồm 2 trường hợp hoặc n = 0 hoặc n # 0. Ở đây, học sinh chỉ xét trường
hợp n # 0. Như vậy, học sinh xét thiếu trường hợp n = 0.
Lời giải đúng:
+ Với n # 0: giải như trên
+ Với n = 0:
Ta có : 23n = 20 = 1
32n = 30 = 1