Tài liệu Hàm lượng giác pptx

Hàm lượng giác
Đồ thị hàm sin
Đồ thị hàm cos
Đồ thị hàm tang
Đồ thị hàm cotang
Đồ thị hàm sec
Đồ thị hàm cosec
Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng, các hàm lượng giác là các hàm
toán học của góc, được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần
hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai
cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các
điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm
lượng giác là
chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này
cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì.
Các hàm lượng giác không phải là các
hàm số đại số và có thể xếp vào loại hàm số siêu
việt.
Các hàm lượng giác cơ bản
Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng giác cơ bản, được liệt kê trong
bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học giữa các hàm.
Hàm Viết tắt Liên hệ
Sin
sin

Cos
cos

Tang
tan

Cotang
cot

Sec
sec

Cosec
csc
(hay cosec)

Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc đến, nhưng nay ít dùng là:
•
versed sine (versin = 1 − cos)
•
exsecant (exsec = sec − 1).
Xem thêm bài đẳng thức lượng giác để biết thêm rất nhiều liên hệ khác nữa giữa các hàm
lượng giác.
Lịch sử
Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho
là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đã lập bảng tính độ
dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc, A, nhân với bán kính, r) và chiều dài của dây
cung tương ứng (2r sin(A/2)). Sau đó, Ptolemy (thế kỷ 2) tiếp tục phát triển công trình
trên trong quyển Almagest, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B).
Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa-góc sin(A/2)
2
= (1 − cos(A))/2, cho phép
ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus
và Ptolemy nay đã bị thất truyền.
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công trình Siddhantas
(khoảng thế kỷ 4–5), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Quyển

Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến nay (cùng với các giá trị
1 − cos), cho các góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ.
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi người Ả Rập. Đến thế kỷ
10, người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản (trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với
các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với độ chính xác đến 8 chữ số thập
phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.
Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus ("vịnh" hay "gập"), dịch nhầm
từ chữ
Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được đọc đầy đủ là ardha-jiva, "nửa-dây cung",
trong quyển Aryabhatiya thế kỷ 6) được chuyển tự sang tiếng Ả Rập là jiba (جب), nhưng
bị nhầm thành từ khác, jaib (جب) ("vịnh"), bởi các dịch giả ở châu Âu như Robert ở
Chester và Gherardo ở Cremona trong quyển Toledo (thế kỷ 12). Sự nhầm lẫn này có thể
là do jiba (جب) và jaib (جب) được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (nhiều
nguyên âm bị
thiếu trong bảng chữ cái Ả Rập).
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển trong nghiên cứu
thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về lượng giác là De
triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476).
Quyển Tabulae directionum nói về
hàm tang.
Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của Copernicus, là quyển
sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay vì dùng vòng tròn
đơn vị
, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi
học trò của Rheticus là
Valentin Otho năm 1596.
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu tả cách tiếp
cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các
chuỗi vô tận và giới
thiệu "

Công thức Euler" e
ix
= cos(x) + i sin(x). Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin.,
cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.
Định nghĩa bằng tam giác vuông

Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (π/2 radian), được ký hiệu là C trong hình
này. Góc A và B có thể thay đổi. Các hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ chiều dài các
cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông.
Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một
tam giác vuông
chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
•
Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác vuông,
h trên hình vẽ.
•
Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.
•
Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.
Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác là pi radian (hay 180⁰). Khi đó:
Hàm Định nghĩa Biểu thức
Sin
Cạnh đối chia cho cạnh huyền

Cos
Cạnh kề chia cho cạnh huyền

Tang
Cạnh đối chia cho cạnh kề

Cotang
Cạnh kề chia cho cạnh đối

Sec
Cạnh huyền chia cho cạnh kề

Cosec
Cạnh huyền chia cho cạnh đối

Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị
Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn
có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của
hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị
thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là
số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn
−2π quay vòng trên đường tròn.
Dùng đại số

Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.
Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn:
x
2
+ y
2
= 1
Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn và
chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là:
Hàm Định nghĩa
sin(θ)
y

cos(θ)
x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
sec(θ)1/x
csc(θ)1/y
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với
chu kỳ 2π radian hay 360 độ:


Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.
Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.
Dùng hình học

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một
vòng
tròn đơn vị
có tâm ở O.