Ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp bằng phương pháp biến phân vlasov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG DẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN THỊ NGÂN

ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG CHỊU TẢI TRỌNG PHỨC TẠP
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VLASOV

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Mã số ngành

: 60-58-20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 01 NĂM 2013


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG
(ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 1:

................................................................

(ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Cán bộ chấm nhận xét 2:

................................................................

(ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại :
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH ,
Ngày …………tháng ……………năm 2012


CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

----------------

---oOo---

Tp. HCM, ngày . . . . . tháng . . . . . năm 2012

NHIỆM VỤ LUẬN V ĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên : Nguyễn Thị Ngân

Giới tính : Nữ

Ngày, tháng, năm sinh : 08/10/1982

Nơi sinh : Hà Tây

Chuyên ngành : Xây dựng Dân Dụng và Công Nghiệp
MSHV : 10210232
1- TÊN ĐỀ TÀI: ỔN ĐỊNH TẤM MỎNG CHỊU TẢI TRỌNG PHỨC TẠP
BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VLASOV.
2- NHIỆM VỤ LUẬN V ĂN :
- Đưa ra cơng thức tính tải trọng tới hạn cho trường hợp tấm chịu nén đều theo một
phương và chịu nén với tải trọng bậc nhất theo phương còn lại. So sánh trường hợp
đặc biệt với kết quả của tác giả khác (Timoshenko).
- Đưa ra cơng thức tính tải trọng tới hạn cho trường hợp tấm chịu nén đều theo một
phương và chịu nén với tải trọng bậc hai theo phương còn lại. So sánh trường hợp
đặc biệt với kết quả của các tác giả khác.
- Đưa ra ưu điểm của phương pháp tính ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp
bằng phương pháp biến ph ân Vlasov và hướng phát triển của luận văn.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 03-01-2012 .
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30-11-2012

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

BAN QUẢN LÝ
CHUYÊN NGÀNH

PGS .TS Nguyễn Thị Hiền Lương

KHOA QUẢN LÝ

CHUYÊN NGÀNH


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Cơ Nguyễn Thị Hiền Lương, đã
nhiệt tình đưa phương hướng đề tài và hướng dẫn , giúp đỡ em trong suốt thời gian
làm luận văn.
Chân thành cảm ơn các Thầy cô khoa Kỹ Thuật Xây Dựng - Trường Đại học
Bách khoa TP.HCM đã giảng dạy, truyền đạt cho em phương pháp nghiên cứu và
những kiến thức bổ ích. Xin chân thành cảm ơn các anh, chị Cao học K2010 đã giúp
đỡ và trao đổi những kiến thức và tài liệu quí giá.
Cám ơn Ba mẹ, Chị gái và tồn thể gia đình đã động viên và tạo điều kiện cho
em theo đuổi chương trình đào tạo sau Đại học.
Xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô Bộ Môn Cơ ứng dụng - khoa Xây dựngtrường ĐH Kiến Trúc TP HCM đã gánh vác một phần công việc trong khoa để tạo
điều kiện cho em hoàn thành chương trình đào tạo sau Đại học.
Do thời gian làm luận văn cịn hạn chế, nên khơng tránh khỏi những sai sót. Mọi
ý kiến đóng góp em xin ghi nhận và cập nhật trong thời gian sớm nhất để đề tài
hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

TP Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 11 năm 2012

Nguyễn Thị Ngân


TĨM TẮT
Bài luận văn đề cập tới bài tốn ổn định tấm mỏng chịu tải trọng phức tạp đặt
trong mặt phẳng tấm: tải trọng bậc hai tác dụng trên một cạnh theo một phương và
tải trọng đều tác dụng trên cạnh kia theo phương còn lại. Bằng phương ph áp biến
phân Vlasov, trong bài luận văn đã đưa ra được tải trọng tới hạn cho bài toán ổn

định tấm mỏng với các tổ hợp điều kiện biên khác nhau. Kết quả những trường hợp
đặc biệt của bài toán được so sánh với kết quả trong các nghiên cứu công bố trước
đây.
In this thesis, buckling of thin rectangular plates under complex loading is
considered. Plate is subjected to in-plane biaxial compressive loadings: parabolic
and uniform. The buckling loads are calculated using Vlasov method for different
types of boundary conditions and aspect ratios. The present results are compared
with those published in the literature.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả trong bài luận văn này là do tôi tự làm không hề
sao chép ở bất cứ tài liệu nào ,. Nếu có vi phạm gì tơi xin hồn tồn chịu trách
nhiệm .

Học viên
Nguyễn Thị Ngân


MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG BIỂU ....................................................................................................i
CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN .............................................................iii
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ..................................................................................................1
1.1. Các bài toán ổn định tấm mỏng đã đ ược nghiên cứu …………………………………. 1
1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài …………………………………………… 5
1.3. Tóm tắt luận văn ………………………………………………………………………. 5
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT –PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VLASOV ...............7
2.1. Phương pháp biến phân Vlasov………………………………………………………. 7
2.2. Lựa chọn hàm phân bố độ võng ngang của tấm X(x) ………………………………… 9
2.3. Phương pháp biến phân Vlasov áp dụng cho bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật ….11

2.4. Cách xác định lực tới hạn cho bài toán ổn định tấm mỏng …………………………...19
CHƯƠNG III: TẤM CHỊU TẢI TRỌNG BẬC NHẤT VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN .....20
3.1. Tấm với bốn cạnh tựa đơn giản……………………………………………………….20
3.1.1. Trường hợp thứ nhất: m=1 và n=0 ......................................................................24
3.1.2. Trường hợp thứ hai: m=1 và n=1 ........................................................................27
3.2. Tấm với hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc trục x ………………………..30
3.2.1. Trường hợp thứ nhất: m=1 và n=0 ......................................................................33
3.2.2. Trường hợp thứ hai: m=1 và n=1 ........................................................................36
3.3. Tấm với hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc t rục y…………………….. …39
3.3.1. Trường hợp thứ nhất: m=1 và n=0 ......................................................................43
3.3.2. Trường hợp thứ hai: m=1 và n=1 ........................................................................46
3.4. Tấm chữ nhật với bốn biên ngàm …………………………………………………….49


Mục lục

3.4.1. Trường hợp thứ nhất: m=1 và n=0 ......................................................................52
3.4.2. Trường hợp thứ hai: m=1 và n=1 ........................................................................55
CHƯƠNG IV: TẤM CHỊU TẢI TRỌNG BẬC HAI VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN .........60
4.1. Tấm b ốn cạnh tựa đơn giản…………………………………………………………...60
4.1.1. Trường hợp thứ nhất: m=0 ..................................................................................64
4.1.2. Trường hợp thứ hai: m=1 ....................................................................................67
4.2. Tấm với hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc trục x ………………………...70
4.2.1. Trường hợp thứ nhất: m=0 ..................................................................................72
4.2.2. Trường hợp thứ hai: m=1 ....................................................................................75
4.3. Tấm với hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc trục y ………………………...78
4.3.1. Trường hợp thứ nhất: m=0 ..................................................................................80
4.3.2. Trường hợp thứ hai: m=1 ....................................................................................83
4.4. Tấm chữ nhật với bốn biên ngàm ……………………………………………………86
4.4.1. Trường hợp thứ nhất: m=0 ..................................................................................88

4.4.2. Trường hợp thứ hai: m=1 ....................................................................................91
CHƯƠNG V: KẾT LUẬN VÀ H ƯỚNG PHÁT TRIỂN....................................................97
5.1. Kết luận……………………………………………………………………………… 97
5.2. Hướng phát triển của luận văn. ………………………………………………… ….97
Tài liệu tham khảo .............................................................................................................100
PHỤ LỤC ..........................................................................................................................101


Danh mục bảng biểu

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Xác định tần số dao động riêng của dầm …………………………………....9
Bảng 2.2. Xác định hàm phân bố độ võng ngang X(x) ………………………………..10
Bảng 3.1. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 và n=0 ……………25
Bảng 3.2. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 và n=1 …………...28
Bảng 3.3. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc
trục x với hệ số m=1 và n=0 ……………………………………………………………..34
Bảng 3.4. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên n gàm dọc
trục x với hệ số m=1 và n=1 ……………………………………………………………...37
Bảng 3.5. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc
trục y với hệ số m=1 và n=0 ……………………………………………………………...43
Bảng 3.6. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc
trục y với hệ số m=1 và n=1 ……………………………………………………………..46
Bảng 3.7. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên ngàm và hệ số m=1 và n=0 ………...52
Bảng 3.8. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên ngàm và hệ số m=1 và n=1 ………...55
Bảng 3.9. Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu nén đều theo hai phương ..57
Bảng 3.10. Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc nhất theo một
phương và tải trọng đều theo phương còn lại ………………………………………….58
Bảng 4.1. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=0 ……………………62
Bảng 4.2. Hệ số ổn định K với tấm bốn biên tựa và hệ số m=1 ……….…………..65

Bảng 4.3. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc
trục x với hệ số m= 0..……… ……………………………………………………………..71

i


Danh mục bảng biểu

Bảng 4.4. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục y và hai biên ngàm dọc
trục x với hệ số m=1 ……… ………………………………………………………….….74
Bảng 4.5. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc
trục y với hệ số m=0………..…………………………………………………………..…80
Bảng 4.6. Hệ số ổn định K với tấm có hai biên tựa dọc trục x và hai biên ngàm dọc
trục y với hệ số m=1 ……….……………………………………………………………..83
Bảng 4.7. Hệ số ổn định K với tấm có bốn biên ngàm và hệ số m= 0………..…...88
Bảng 4.8. Hệ số ổn định K với tấm có bốn biên ngàm và hệ s ố m=1 ……….…...91
Bảng 4.9. Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc hai theo một
phương………………………………………………………………………………………93
Bảng 4.10. Hệ số ổn định K trong trường hợp tấm chịu tải trọng bậc hai theo một
phương và tải trọng đều theo phương cò n lại………………………………………...94

ii


Các ký hiệu sử dụng trong đoạn văn

CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
a

Chiều dài của tấm theo phương x

b

Chiều dài của tấm theo phương y

D

Độ cứng trụ của tấm

E

Môđun đàn hồi

h

Chiều dày của tấm

K

Hệ số ổn định của tấm

l

Tỉ lệ hai cạnh của tấm a/b

m,n

Tham số

My

Mômen uốn trên một đơn vị chiều dài theo trục y trong mặt phẳng tấm

M

Mơmen suy rộng tại mặt cắt ngang có pháp tuyến là trục y

Nx

Tải trọng trong mặt phẳng tấm theo phương x

Ny

Tải trọng trong mặt phẳng tấm theo phương y

Qyqd

Lực cắt qui đổi tại mặt cắt ngang có pháp tuyến là trục y

Q

Lực cắt suy rộng tại mặt cắt ngang có pháp tuyến là trục y

q

Lực phân bố tác dụng lên tấm theo phương z

r2,s4

Hệ số của phương trình vi phân

X

Hàm độ võng ngang của tấm theo phương x

W

Hàm độ võng ngang của tấm theo phương y



Hệ số Poisson.



Hàm góc xoay của tấm theo phương y

 Tần số dao động riêng của thanh dầm


Nghiệm của phương trình đặc trưng

ω

Độ võng của tấ m theo phương z

iii


Chương I: Tổng quan

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
1.1. Các bài toán ổn định tấm mỏng đã được nghiên cứu.
Trong tính tốn thiết kế cơng trình, bên cạnh việc tính tốn nội lực của kết cấu
thì việc tính tốn kiểm tra ổn định của kết cấu là hết sức cần thiết. Hơn nữa d o yêu
cầu phát triển kinh tế đòi hỏi xây dựng các cơng trình, kết cấu lớn và nhẹ trong đó
sử dụng các thanh, tấm…chịu nén có chiều dài lớn dễ gây mất ổn định. Thực tế cho
thấy rằng trong nhiều trường hợp, kết cấu cơng trình bị phá hủy không phải do sự
xuất hiện của những ứng suất vượt quá cường độ của vật liệu mà do không đảm bảo
được sự ổn định của kết cấu.
Ví dụ:
- Cầu dàn Quebec, Canada (1907), cầu Mojur ở Nga (1925).
- Bể chứa khí ở Hamburg – Đức (1907).
- 24 cầu ở Pháp (1955-1965).
Ổn định là tính chất của cơng trình có khả năng giữ được vị trí ban đầu hoặc
giữ được dạng cân bằng ban đầu khi trạng thái biến dạng tương ứng với các tải
trọng tác dụng. Chính vì vậy lý thuyết ổn định chiếm một vị trí rất quan trọng, đang
trở thành một lĩnh vực rộng lớn thu hút s ự quan tâm của các nhà khoa học trên thế
giới, với rất nhiều cơng trình, hướng nghiên cứu, phương pháp và cách tiếp cận
khác nhau.
Để giải các bài toán ổn định, chúng ta dựa vào ba tiêu chuẩn ổn định cơ bản:
+) Tiêu chuẩn tĩnh học: Tạo cho hệ một dạng cân bằng mới lệch khỏi dạng cân
bằng ban đầu, rồi xác định lực tới hạn từ phương trình biểu thị điều kiện tồn tại
dạng cân bằng mới. Người đặt nền móng cho bài tốn ổn định tĩnh học là Leonhard
Euler (1744) với bài tốn tính lực tới hạn của thanh thẳng chịu né n.
+) Tiêu chuẩn động học: Thiết lập và giải phương trình dao động riêng của hệ
chịu lực rồi xác định lực tới hạn bằng cách biện luận tính chất của nghiệm chuyển
động. Vấn đề này đã được các nhà bác học như Lagrange (1788) và Puankare
(1881) nghiên cứu.

1


Chương I: Tổng quan

+) Tiêu chuẩn năng lượng: Xác định thế năng biến dạng đàn hồi và công của
ngoại lực của hệ rồi thiết lập các điều kiện giới hạn của hệ dưới dạng năng lượng để
xác định lực tới hạn. Tiêu chuẩn này được Kirchhoff (1859) đưa vào áp dụng đầu
tiên. Sau đó có Rayleigh (1873), Brian (1888),Timoshenko (1908), Ritz (1909).
Tiêu chuẩn năng lượng được áp dụng trong rất nhiều bài toán và bài toán ổn
định tấm mỏng là một trường hợp trong số đó.
Bài tốn ổn định tấm mỏng được Euler nghiên cứu lần đầu tiên (1767) khi
xem xét sự uốn của tấm mỏng phù hợp với dạng dao động của nó. Đến năm 1811
Lagrange đã thiết lập phương trình dao động ngang của tấm. Và tới năm 1907,
Timoshenko đã nghiên cứu bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật. Ơng đã thiết lập
phương trình ổn định và đã đưa ra lực nén tới hạn cho một số trường hợp của bài
tốn ổn định tấm chữ nhật:

y

b

Hình 1.1. Bốn biên tựa, chịu
nén đều theo một phương

Nx (y)

a

x

y

b

Hình 1.2. Một biên tự do
chịu tải trọng tam giác
theo một phương

Nx (y)
x
a

2


Chương I: Tổng quan

y

b

Nx (y)

Hình 1.3. Hai biên
tựa, hai biên ngàm

x
a
y

y

Ny

Nxy
Nx

b

x
a
Hình 1.4. Bốn biên tựa với
tải trọng tiếp tuyến

Hình 1.5. Bốn biên tựa với tải
trọng nén theo hai phương

Năm 1967, Volmir đã tiếp tục nghiên cứu bài toán ổn định tấm chữ nhật bốn
biên tựa bị nén bởi lực tập trung.

y

P
Hình 1.6. Bốn biên tựa với
tải trọng tập trung

b

P

x

a

3


Chương I: Tổng quan

Khi giải những bài toán tấm, vỏ, và những kết cấu không gian khác, chúng ta
thường nhận được lời giải là những phiếm hàm với những hàm tích phân hai lớp, ba
lớp. Giáo sư Vlasov đã chỉ ra rằng có thể đưa bài tốn tích phân hai lớp, ba lớp về
bài tốn tích phân đơn giản. Phương pháp áp dụng được gọi là phương pháp biến
phân Vlasov.
Tiếp sau đó cũng có rất nhiều các tác giả nghiên cứu về phương pháp biến
phân Vlasov áp dụng cho bài toán tấm, vỏ: V.P. Ilin, B.B. Karpop, B.A. Bagenov,
V.F. Orobey…
Bài toán ổn định tấm mỏng chữ nhật bằng phương pháp biến phân Vlasov
được giáo sư Orobey nghiên cứu. Năm 2006, ông đưa ra được lời giải khi tấm mỏng
chịu nén bởi lực tập trung theo một phương với các tổ hợp điều kiện biên khác nhau
[11] đó là ưu điểm vượt trội so với các phương pháp khác.
Bert C.W [2], đã đưa ra cơng trình nghiêm cứu về sự mất ổn định của tấm chữ
nhật khi chịu tải trọng bậc hai (parabol) theo một phương. Tác giả đã dùng phương

pháp chồng chất dựa trên sự phân bố ứng suất gần thực tế hơn và cuối cùng đã
đưa ra được lực tới hạn cho một số trường hợp khác nhau.

y

Nx

x
Hình 1.7. Tấm có bốn biên
tựa với tải trọng parabol
Trong thực tế, ổn định tấm mỏng chịu nén bới các tải trọng khác nhau như: tải
trọng tập trung, tải trọng phân bố bậc nhất, bậc hai có thể tìm thấy trong các b ài
toán như bộ phận ép của tên lửa, cánh máy bay, các tấm cứng trong kết cấu tàu,
trong cơ khí…

4


Chương I: Tổng quan

1.2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Với lý thuyết biến phân Vlasov và những ứng dụng thực tế của ổn định tấm
mỏng chịu tải trọng phức tạp, luận văn sẽ nghiên cứu bài toán ổn định tấm mỏng
chịu tải trọng phức tạp bằng phương pháp biến phân Vlasov. Trong luận văn sẽ tính
tốn các trường hợp phức tạp hơn so với những nghi ên cứu trước: ngoài tải trọng
bậc hai (parabol) và tải trọng bậc nhất nén theo một phương của tấm còn có tải
trọng phân bố đều theo phương cịn lại. Và hơn thế nữa, bài toán sẽ được nghiên
cứu với các tổ hợp điều kiện biên khác nhau.

y
y

Ny

Ny

Nx

Nx

x

x
Hình 1.8. Tấm chịu tải trọng bậc
hai và tải trọng phân bố đều

Hình 1.9. Tấm chịu tải trọng
bậc nhất và tải trọng phân bố
đều
ường
hợp đặc biệt của bài
Sau khi tính tốn sẽ so sánh kết quả của một số tr
toán với kết quả của các tác giả khác đã thực hiện .
Cuối cùng là kết luận và hướng phát triển tiếp theo của luận văn.

1.3. Tóm tắt luận văn
Luận văn được chia làm 2 phần:
Phần 1: Thuyết minh gồm 5 chương:
Chương 1: Tổng quan
Chương 2: Cơ sở lý thuyết – Phương pháp biến phân Vlasov
Chương 3: Tấm chịu tải trọng bậc nhất với các điều kiện biên.
Chương 4: Tấm chịu tải trọng bậc hai với các điều kiện biên.

5

Chương I: Tổng quan

Chương 5: Kết luận và hướng phát triển tiếp theo của luận văn
Phần 2: Phần phụ lục, gồm mã nguồn của chương trình tính tốn được viết bằng
ngôn ngữ Matlab.

6


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT –PHƯƠNG PHÁP BIẾN
PHÂN VLASOV
2.1. Phương pháp biến phân Vlasov.
Theo nguyên lý dịch chuyển khả dĩ, tổng công ngoại lực và nội lực cho chuyển vị
cho trước bằng 0. Áp dụng phương trình với tấm mỏng chữ nhật chịu uốn của
Timoshenko [4] ta có:

  qx, y  x, y dx dy    D   x, y  x, y dx dy
2

2

(2.1)

Trong đó:
q x, y  - lực phân bố tác dụng lên tấm.
  x, y  - hàm chuyển vị.





D  Eh3 /12 1  2 - độ cứng trụ của tấm.

 - hệ số Poisson.
 2 - toán tử Laplace.

Phân tích độ võng   x, y  theo dãy:
  x, y   W1  y  X 1  x   W2  y  X 2  x   ...  Wi  y  X i  x   ...,

(2.2)

Trong đó:
X i  x,  , i  1,  - hàm số với biến х
Wi  y  , i  1,  - hàm cần tìm với biến у.

Trong thực tế rất ít khi sử dụng lớn hơn hoặc bằng hai số hạng của dãy (2.2), thông
thường chỉ giới hạn sử dụng số hạng đầu tiên.
Lấy số hạng đầu tiên của dãy rồi lấy biến phân độ võng theo phương biến y, ta có:
  х, у   Х 1  х    W1  y   Х  х    W  y 

(2.3)

Thay vào phương trình (2.1), với a,b là chiều dài hai cạnh của tấm:
b


0

 a 2 2

      x, y   q  x, y  / D  X  x  dx   W  y  dy  0

 0

7

(2.4)


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

Từ đó ta có:
a

     x, y   q  x, y  / D  X  x  dx  0
2

2

(2.5)

0

Phương trình (2.5) chỉ ra cách thức cơ bản của phương pháp biến phân Vlasov.
Từ phương trình lý thuyết tấm đàn hồi của tấm , nhân cả hai vế với hàm X(x) rồi lấy
tích phân trong giới hạn kích thước a của tấm (bề rộng tấm).
Từ phương trình trên (2.5) Vlasov cũng chỉ ra rằng đối với bài tốn tấm chữ nhật

thì chỉ cần dùng điều kiện biên d ọc theo phương y, còn điều kiện biên theo phương
x được áp dụng khi chọn hàm X(x).

8


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

2.2. Lựa chọn hàm phân bố độ võng ngang của tấm X(x) [7].
Hàm X(x) sẽ được chọn sao cho hàm mơ tả chính xác nhất hình dạng mặt uốn của
tấm theo phương x. Vì vậy ta chọn hàm X(x) mơ tả dạng dao động riêng của
THANH DẦM chịu uốn với các điều kiện biên giống với điều kiện biên theo
phương x của tấm.
Theo Timoshenko[6] hàm dao động riêng của thanh dầm X(x) được mô tả bằng
nghiệm tổng quát sau:


X  B1ch 
a



x   B2 sh 

a



x   B3 cos 


a



x   B4 sin 

a


x


(2.6)

- tần số dao động riêng của dầm
a - Chiều dài của tấm theo phương x
Dựa vào điều kiện biên của từng bài toán cụ thể , ta sẽ xác định được các hằng số
B1, B2, B3, B4, và từ đó xác định được 
Bảng 2.1. Xác định tần số dao động riêng của dầm.
1.

2.

3.

cos   ch
1

sin   ch 
 cos   sh

cos   ch
 1

1 =4,730

1 = 3,927

2 =7,859

4.

5.

6.

sin    0

sin   ch 
 cos   sh

cos   ch  1

1 =1,875

1 = 

1 = 0

1 = 0

2 = 7,069

2 =4,694

2 = 2

2 = 3,927

2 = 4,730

3=10,996

3 = 10,210

3 = 7,855

3 = 3

3 = 7,069

3 = 7,853

4=14,137

4 = 13,352

4=10,996

4 = 4

4 = 10,210

4 = 10,996

9


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

Hàm phân bố độ võng ngang X(x) đối với từng điều kiện biên cụ thể được cho
trong bảng 2.2[7].
Bảng 2.2. Xác định hàm phân bố độ võng ngang X(x)
Sơ đồ thanh

Dạng hàm dao dộng riêng
X ( x)  sin   x / a   sh   x / a   * cos   x / a   ch   x / a  ;
* 

sin   sh
;
cos   ch

X ( x)  sin   x / a   sh   x / a   * cos   x / a   ch   x / a   ;
* 

sin   sh
cos   ch

X ( x)  sin   x / a   sh   x / a    * cos   x / a   ch   x / a   ;

* 

sin   sh
cos   ch

X ( x)  sin   x / a 

X ( x)  sin   x / a   * sh   x / a  ;
* 

sin 
sh

X ( x)  sin   x / a   sh   x / a    * cos   x / a   ch   x / a   ;
* 

sin   sh
cos   ch

10


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

2.3. Phương pháp biến phân Vlasov áp dụng cho bài toán ổn định tấm
mỏng chữ nhật.
Xét một tấm mỏng chữ nhật, chịu nén theo hai phương như hình vẽ:
N(y)

y

b

N(x)

x

a
Hình 2.1. Tấm chịu tải trọng đều theo phương x
và tải trọng bất kỳ theo phương y
Áp dụng phương trình vi phân chủ đạo của tấm mỏng chịu tác dụng đồng thời
của tải trọng ngang và tải trọng trong mặt phẳng tấm của Timoshenko[4] ta có:

 4
 4
 4 1 
 2
 2
 2 

2


q

N

N

2

N


x
y
xy
x 4
x 2y 2 y 4 D 
x 2
y 2
xy 

(2.7)

Trong giới hạn của bài tốn, ta khơng xét tải trọng nga ng q và tải trọng Nxy
nên phương trình (2.7) được rút gọn như sau(với Nx và Ny là lực nén) :

 4
 4
 4 1   2
 2 

2


N

N
 x 2
0

y
x 4
x 2y 2 y 4 D 
x
y 2 

(2.8)

Với phương pháp biến phân Vlasov bằng cách chọn hàm ω(x,y) = X(x).W(y),
thay vào phương trình (2.8) ta có:
X IV  x  .W  y   2 X II  x  .W II  y   X  x  .W IV  y  


1
 N x . X II  x  .W  y   N y . X  x  .W II  y    0
D

11


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

 IV
 II
N y .X  x  
Nx .X II  x 
 X  x.W  y   2W  y   X  x 
  0 (2.9)
 W  y   X  x 
2

D
D




IV

II

Tương tự theo phương pháp biến phân Vlasov ở phương trình (2.5), nhân cả 2
vế của phương trình (2.9) với hàm X(x) rồi lấy tích phân trên đoạn [0 - a] – chiều dài
theo phương x của tấm, ta có:

AW
. IV  y   2BW
. II  y   CW
.  y  0

(2.10)

Trong đó A, B, C là các hệ số của phương trình được tính theo công thức:
a

A   X 2  x d x
0


Ny X  x 
B=  X II  x  

 X  x d x
2D 
0
a

(2.11)

 IV
Nx X II  x  
C    X  x 
 X  x d x
D
0

a

2
4
Đặt : r  B A; s  C A

(2.12)

Thay (2.12) vào phương trình (2.10), ta có:

W IV  y   2r 2 .W II  y   s 4 .W  y   0

(2.13)

Để giải phương trình (2.13) một cách đơn giản thì các hệ số r, s trong phương
trình (2.13) phải là hằng số. Xem xét các biểu thức (2.11), (2.12) ta thấy để r, s là

hằng số thì A,B, C phải là hằng số.
+) A là tích phân theo x của hàm chỉ phụ thuộc vào biến x nên A là hằng số.
+) Ny(x) - Lực phân bố theo phương y phụ thuộc vào biến tọa độ x, nên các biểu
thức trong tích phân B cũng là hàm chỉ phụ thuộc vào biến x → B cũng là hằng số.
+) Nx(y)- Lực phân bố theo phương x phụ thuộc vào biến tọa độ y. Để C là hằng số
thì Nx(y) = const
Khi A, B, C là hằng số thì phương trình (2.13) là phương trình vi phân thuần
nhất bậc 4 hệ số hằng. Phương trình đặc trưng của (2.13) là:

 4  2r 2 . 2  s 4 .  0

(2.14)

12


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

Tùy thuộc vào nghiệm của phương trình (2.14) ta sẽ tìm được nghiệm của phương
trình vi phân (2.13).
Nghiệm của phương trình vi phân (2.13) có dạng tổng qt:
W  y   C1Ф1  y   C2Ф2  y   C3Ф3  y   C4Ф4  y 

(2.15)

Trong đó C1, C2, C3 , C4 là các hằng số. 1, 2 , 3 , 4 là các nghiệm riêng phụ
thuộc vào nghiệm của phương trình (2.14). 1, 3 là hàm lẻ, 2, 4 là hàm chẵn.
Phương trình (2.15) có thể biểu diễn dưới dạng ma trận [8]
 W  y    Ф1  y  Ф2  y  Ф3  y  Ф4  y    W (0) 


 


 W '  y    Ф '1  y  Ф '2  y  Ф '3  y  Ф '4  y    W '  0  




W
"
y



 Ф "1  y  Ф "2  y  Ф "3  y  Ф "4  y   W "  0  
W III  y  Ф1III  y  Ф2III  y  Ф3III  y  Ф4III  y   W III  0 

 


(2.16)

Trong đó W(0), W’(0), W”(0), WIII(0) là các giá trị theo điều ki ện ban đầu y  0
Trên mặt cắt có pháp tuyến là trục y, ta có thành phần nội lực là mơmen uốn và lực
cắt qui đổi [14]:
  2
 2 
M y   D  2  2 
x 
 y

(2.17)

 д3  x, y 
д3  x, y  
Q  D 
  2  

3
дy
дx 2ду 

qd
y

Mômen suy rộng được hiểu là công của mômen uốn với sự chuyển vị tương ứng:
  W ( y ). X ( x)   y   ( y ). X ( x)
a

M   M y .  y  . X  x  d x
0

a

Nếu góc xoay  ( y )  1 thì M   M y . X  x  d x
0

a

 M    D W "  y  . X  x   W  y  . X "  x  X  x  d x

0

13


Chương II: Cơ sở lý thuyết- Phương pháp biến phân Vlasov.

a
a


2
M   D W "  y   X  x   W  y   X "  x  X  x  d x 
0
0


a



W
y



0 X " x  X  x  d x 

  DA W "  y  



A





(2.18)

Với A là hằng số được xác định như tro ng phương trình (2.11).
a

Đặt : r 
2
*

 X " x  X  x  d x
0

A

Suy ra phương trình (2.18) nhận được:
M   DA W "  y   .r*2 .W  y  

(2.19)

Lực cắt suy rộng là công của lực cắt qui đổi và chuyển vị tương ứ ng, nên ta có:
a

Q   Qyqd .W  y  . X  x  d x

(2.20)

0

Nếu độ võng W  y   1 thì thay cơng thức (2.20) vào (2.17) ta có:
Q   DA W III  y    2   .r*2 .W '  y  

(2.21)

Vậy 4 đại lượng W,θ , M, Q là bốn tham số động học và tĩnh học của tấm. Giả sử ta
có điều kiện ban đầu: W(0), θ(0), M(0), Q(0). Ta sẽ biểu diễn bốn đại lượng W(y),
θ(y), M(y), Q(y) tại một mặt cắt tại tọa độ y bất kỳ theo bốn giá trị điều kiện ban
đầu W(0), θ(0), M(0), Q(0).
Ngoài ra ta lại có θ(y) = W’(y)
Thay θ(y) = W’(y) và cơng thức (2.19), (2.21) vào phương trình (2.16) ta có:

 DW  y   A11
A12  A13  A14   DW 0

 
  D 0 
D

y
A
A

A


A


21
22
23
24


   
 M  y    A31  A32 A33
A34   M 0 

 


 Q  y    A41  A42 A43 A44   Q 0 
Xét phương trình đặc trưng (2.14):

14

(2.22)