Phân tích giới hạn tấm mindlin bằng phần tử CS DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)

--------------------

TRƢƠNG ANH TUẤN

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ
CS-DSG3 VÀ CHƢƠNG TRÌNH TỐI ƢU HĨA HÌNH NĨN
BẬC HAI (SOCP)

: 60 58 20

TP. HỒ

03 năm 2013


CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hƣớng dẫn khoa học:
Cán bộ hƣớng dẫn 1: TS. NGUYỄN THỜI TRUNG .................................................
Cán bộ hƣớng dẫn 2: TS. LƢƠNG VĂN HẢI ...........................................................
Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS. BÙI CÔNG THÀNH ..........................................
Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƢƠNG ..........................
Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ tại Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG Thành phố Hồ
Chí Minh ngày 01 tháng 02 năm 2013.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS.TS. BÙI CÔNG THÀNH
2. PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƢƠNG
3. TS. NGUYỄN THỜI TRUNG
4. TS. NGUYỄN TRUNG KIÊN
5. TS. HỒ ĐỨC DUY

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trƣởng khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã đƣợc sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƢỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


-i-

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------------------

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
-----------------------------------------

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRƢƠNG ANH TUẤN

MSHV: 10210256

Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984

Nơi sinh: Bình Định

Chuyên ngành:

Mã số: 60 58 20

I.

TÊN ĐỀ TÀI
PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ
CHƢƠNG TRÌNH TỐI ƢU HĨA HÌNH NĨN BẬC HAI (SOCP)

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Hiểu rõ cơ sở lý thuyết của phần tử CS-DSG3, chƣơng trình tối ƣu hóa hình
nón bậc hai (SOCP) và lý thuyết phân tích giới hạn tấm Mindlin
2. Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để lập trình tính tốn các bài tốn phân
tích giới hạn tấm Mindlin bằng phần tử CS-DSG3 và SOCP
3. Xử lý và bình luận các kết quả. Đánh giá chung về sự hội tụ của kết quả
vừa tìm đƣợc so với kết quả tham khảo
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 02/07/2012.

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ

: 30/11/2012.

V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN
CBHD1: TS. NGUYỄN THỜI TRUNG
CBHD2: TS. LƢƠNG VĂN HẢI
Tp. Hồ Chí Minh, ngày… tháng… năm…
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)
CBHD1

TRƢỞNG BAN QLCN
(Họ tên và chữ ký)

CBHD2

TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
(Họ tên và chữ ký)


-ii-

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới hai ngƣời Thầy đáng kính, TS. Nguyễn
Thời Trung và TS. Lƣơng Văn Hải. Nhờ sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình từ hai
Thầy, tơi đƣợc tiếp thêm nhiều động lực, niềm tin và sức mạnh để thực hiện đề tài.
Bên cạnh đó, những điều hai Thầy truyền dạy cịn giúp tôi thêm tự tin, vững vàng
trên con đƣờng nghiên cứu và ứng dụng khoa học kỹ thuật sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trƣờng Đại
học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tơi, đó
cũng là những kiến thức khơng thể thiếu trên con đƣờng nghiên cứu khoa học và sự
nghiệp của tôi sau này.
Ngồi ra, tơi chân thành cảm ơn sự hỗ trợ của các anh chị Thạc sĩ đi trƣớc, đặc
biệt từ ThS. Phùng Văn Phúc. Bên cạnh đó, tơi cũng cảm ơn các anh chị, bạn bè học
viên cao học đã giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, giúp tơi hồn thành đề tài này.
Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản
thân, tuy nhiên khơng thể khơng có những thiếu sót. Kính mong q Thầy Cơ chỉ
dẫn thêm để tơi bổ sung những kiến thức và hồn thiện bản thân mình hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2012

Trƣơng Anh Tuấn


-iii-

TĨM TẮT LUẬN VĂN
Luận văn trình bày một phƣơng pháp số kết hợp nhằm phân tích giới hạn động học
của tấm Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises. Phƣơng pháp khe cắt rời
rạc trơn dựa trên phần tử (cell-based smoothed discrete shear gap method – CSDSG3) đƣợc kết hợp với chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (second-order
cone optimization programming – SOCP) để xác định tải giới hạn cận trên của tấm
Mindlin. Bài tốn phân tích giới hạn của tấm Mindlin đƣợc chuyển thành bài tốn
tìm cực tiểu hàm năng lƣợng hao tán dẻo và chịu các ràng buộc của điều kiện biên
và công ngoại đơn vị. Bài tốn cực tiểu này sau đó đƣợc biến đổi thành một dạng
hiện phù hợp để có thể dễ dàng áp dụng chƣơng trình SOCP tìm nghiệm tối ƣu. Các
kết quả số đã chỉ ra rằng phƣơng pháp đƣợc đề xuất có thể cung cấp các hệ số tải
giới hạn cận trên rất đáng tin cậy cho cả tấm mỏng và tấm dày.


-iv-

ABSTRACT
The thesis presents a numerical procedure for kinematic limit analysis of Mindlin
plate governed by von Mises criterion. The cell-based smoothed discrete shear gap
method (CS-DSG3) is combined with a second-order cone optimization
programming (SOCP) for determining the upper bound limit load of the Mindlin
plates. The limit analysis problem of Mindlin plates is formulated by minimizing
the dissipation power subjected to a set of constraints of boundary conditions and
unitary external work. This minimization problem is then transformed into an
explicit form suitable for the solution using the SOCP. The numerical results of
some benchmark problems show that the proposal procedure can provide the

reliable upper bound collapse multipliers for the Mindlin plates.


-v-

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này do chính tơi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của
TS. Nguyễn Thời Trung và TS. Lƣơng Văn Hải. Các kết quả và các trích dẫn
trong luận văn là đúng sự thật. Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc tôi đã thực
hiện.
Tp.Hồ Chí Minh, ngày…tháng…năm 2012

Trƣơng Anh Tuấn


-vi-

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ............................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN ........................................................................................... iii
ABSTRACT ............................................................................................................... iv
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... v
MỤC LỤC .................................................................................................................. vi
BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA ............................................................... viii
BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU .................................................................................. xi
MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT................................................................................xii
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ..................................................................................... 1
1.1. Giới thiệu .......................................................................................................1
1.2. Tình hình nghiên cứu .....................................................................................3

1.2.1.

Các cơng trình nghiên cứu trong nƣớc ...................................................3

1.2.2.

Các cơng trình nghiên cứu ngồi nƣớc ...................................................4

1.3. Phạm vi, phƣơng pháp nghiên cứu và mục tiêu của luận văn .......................6
1.3.1.

Mục tiêu của luận văn ............................................................................6

1.3.2.

Phạm vi và phƣơng pháp nghiên cứu .....................................................6

1.4. Nội dung của luận văn ...................................................................................7
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................ 8
2.1. Phân loại tấm Kirchhoff và Reissener-Mindlin [23] .....................................8
2.1.1. Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Kirchhoff (CPT)
[23, 26] .................................................................................................................9
2.1.2. Một số giả thuyết và công thức trong lý thuyết tấm Reissner-Mindlin
(FSDT) [23, 26] ....................................................................................................9
2.2. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin..........................................11


-vii-

2.2.1.

Dạng yếu phƣơng trình chủ đạo của tấm Mindlin [16] ........................11

2.2.2.

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn bài toán tấm Mindlin [16] ....................12

2.3. Các bƣớc phân tích giới hạn bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn ..............14
2.4. Dạng cơ bản của chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59, 60,
66] ................................................................................................................16
CHƢƠNG 3. PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN
TỬ CS-DSG3 VÀ CHƢƠNG TRÌNH HÌNH NĨN BẬC HAI (SOCP) ............. 17
3.1. Phân tích giới hạn tấm Mindlin – Công thức động học [37] .......................17
3.2. Công thức động học của phần tử DSG3 cho tấm Mindlin [16, 17] .............20
3.3. Công thức động học của phần tử CS-DSG3 cho tấm Mindlin ....................23
3.4. Dạng tƣờng minh công thức động học của phần tử CS-DSG3 ....................28
CHƢƠNG 4. CÁC VÍ DỤ SỐ ................................................................................ 33
4.1. Tấm hình vng ...........................................................................................33
4.2. Tấm hình chữ nhật .......................................................................................39
4.3. Tấm hình thoi ...............................................................................................42
4.4. Tấm hình trịn ...............................................................................................46
4.5. Tấm hình tam giác đều .................................................................................49
CHƢƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................... 52
5.1. Kết luận ........................................................................................................52
5.2. Kiến nghị ......................................................................................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 54
PHỤ LỤC .................................................................................................................. 61
Phụ lục A

Thuyết minh chi tiết công thức (3.57) ..............................................61

Phụ lục B

Một số đoạn mã lập trình Matlab chính ...........................................63

MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠNG BỐ ĐẠT ĐƢỢC TỪ LUẬN VĂN ............................ 67
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ....................................................................................... 69


-viii-

BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA
Hình 2.1.

Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết tấm [23]. ........................... 8

Hình 2.2.

Tấm Mindlin và chiều dƣơng quy ƣớc của chuyển vị w và hai
góc xoay  x ,  y . ................................................................................. 11

Hình 2.3.

Lƣu đồ thuật giải bài tốn nhằm phân tích giới hạn tấm Mindlin
bằng phần tử CS-DSG3 và chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc
hai (SOCP). ......................................................................................... 15

Hình 3.1.

Tấm Mindlin và chiều dƣơng quy ƣớc của chuyển vị w và hai

góc xoay  x ,  y . ................................................................................. 17

Hình 3.2.

Phần tử tam giác 3 nút. ........................................................................ 21

Hình 3.3.

Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa địa phƣơng trong phần tử
DSG3. .................................................................................................. 22

Hình 3.4.

Ba tam giác nhỏ ( 1 ,  2 và 3 ) đƣợc tạo ra từ tam giác 1-2-3
trong phần tử CS-DSG3 bằng cách nối trọng tâm O với ba nút 1,
2 và 3. .................................................................................................. 23

Hình 4.1.

Các mơ hình tấm vng và bốn lƣới phần tử tam giác; (a) Tấm
ngàm; (b) Tấm tựa đơn; (c) Minh họa bốn lƣới phần tử tam giác
ba nút. .................................................................................................. 33

Hình 4.2.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm trên tất cả các
cạnh và chịu tải phân bố đều ứng với số điểm Gauss thay đổi từ
1 điểm đến 7 điểm Gauss bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3. ............ 34

Hình 4.3.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn trên tất cả
các cạnh và chịu tải phân bố đều ứng với số điểm Gauss thay đổi
từ 1 điểm đến 7 điểm Gauss bằng phần tử DSG3 và CS-DSG3. ........ 35


-ix-

Hình 4.4.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải
phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử
DSG3 và CS-DSG3. ............................................................................ 36

Hình 4.5.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn và chịu tải
phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau bằng phần tử
DSG3 và CS-DSG3. ............................................................................ 37

Hình 4.6.

Dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi tấm bị chảy dẻo của tấm vuông

 L t  10 chịu tải phân bố đều bằng phần tử CS-DSG3; (a) Tấm
ngàm; (b) Tấm tựa đơn . ...................................................................... 37
Hình 4.7.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và chịu tải
phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau ( L t ) bằng

phần tử DSG3 và CS-DSG3. ............................................................... 38

Hình 4.8.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông tựa đơn và chịu tải
phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau ( L t ) bằng
phần tử DSG3 và CS-DSG3. ............................................................... 39

Hình 4.9.

Mơ hình tấm chữ nhật và bốn lƣới phần tử tam giác; (a) Tấm chữ
nhật tựa đơn; (b) Minh họa bốn lƣới phần tử tam giác ba nút. ........... 39

Hình 4.10.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và
chịu tải phân bố đều ứng với các số bậc tự do khác nhau. .................. 41

Hình 4.11.

Mơ hình của chuyển vị và dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị
phá hủy cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và chịu tải phân bố đều
sử dụng phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Năng lƣợng hao
tán dẻo. ................................................................................................ 41

Hình 4.12.

(a) Tấm hình thoi; (b) Minh họa bốn lƣới phần tử tam giác ba
nút. ....................................................................................................... 42

Hình 4.13.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các
số bậc tự do khác nhau với trƣờng hợp góc nghiêng   30 ............. 44


-x-

Hình 4.14.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm ứng với các
số bậc tự do khác nhau với trƣờng hợp góc nghiêng   60 . ........... 44

Hình 4.15.

Hệ số tải giới hạn của tấm hình thoi ngàm ứng với các góc
nghiêng  khác nhau sử dụng phần tử CS-DSG3 và DSG3. ............. 45

Hình 4.16.

Dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá hủy cho tấm hình thoi
ngàm sử dụng phần tử CS-DSG3 trong 2 trƣờng hợp góc
nghiêng  ; (a)   30 ; (b)   60 . ................................................. 45

Hình 4.17.

Xét góc phần tƣ phía trên bên phải của tấm trịn ngàm trên biên
chịu tải phân bố đều đƣợc và tấm đƣợc chia thành 294 phần tử
tam giác. .............................................................................................. 46

Hình 4.18.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu
tải phân bố đều ứng với các bậc tự do khác nhau. .............................. 47

Hình 4.19.

Mơ hình chuyển vị và dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá
hủy cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu tải phân bố đều sử dụng
phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Dạng năng lƣợng hao tán
dẻo. ...................................................................................................... 47

Hình 4.20.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm trên biên và chịu
tải phân bố đều ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau (2 R t ) . ........... 49

Hình 4.21.

(a) Tấm tam giác đều; (b) Mơ hình chia lƣới cho tấm tam giác
đều sử dụng phần tử tam giác. ............................................................. 49

Hình 4.22.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình tam giác đều bị ngàm
dọc theo các biên và chịu tải phân bố đều ứng với các bậc tự do
khác nhau. ............................................................................................ 51

Hình 4.23.

Mơ hình chuyển vị và dạng năng lƣợng hao tán dẻo khi bị phá
hủy cho tấm hình tam giác đều bị ngàm và chịu tải phân bố đều
sử dụng phần tử CS-DSG3; (a) Chuyển vị; (b) Dạng năng lƣợng
hao tán dẻo........................................................................................... 51


-xi-

BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU
Bảng 4.1.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm vuông ngàm và tựa đơn
chịu tải phân bố đều (tải ban đầu p  M p / L2 ) ứng với các bậc
tự do khác nhau. .................................................................................. 36

Bảng 4.2.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình chữ nhật tựa đơn và
chịu tải phân bố đều (tải ban đầu p  M p /( LH ) ) ứng với các
bậc tự do khác nhau. ............................................................................ 40

Bảng 4.3.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm hình thoi ngàm chịu tải
phân bố đều (tải ban đầu p  M p / R2 ) ứng với các số bậc tự do
và góc nghiêng  khác nhau. ............................................................. 43

Bảng 4.4.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tròn ngàm (507 bậc tự dodofs) trên biên và chịu tải phân bố đều (tải ban đầu p  M p / R2

) ứng với các tỷ lệ độ mảnh khác nhau  2R / t  . ................................. 48

Bảng 4.5.

Hội tụ của hệ số tải giới hạn cho tấm tam giác đều ngàm và
chịu tải phân bố đều (tải ban đầu p  M p / R2 ) ứng với các bậc
tự do khác nhau. .................................................................................. 50


-xii-

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
CPT

Lý thuyết tấm cổ điển (the classical Kirchhoff plate theory)

CS-DSG3

Phƣơng pháp trơn hóa dựa trên ơ kết hợp với rời rạc hóa độ lệch
trƣợt bằng phần tử tam giác ba nút (a cell-based smoothed discrete
shear gap method using triangular elements)

DSG3

Phƣơng pháp rời rạc hóa độ lệch trƣợt (discrete shear gap)

FEM, PTHH

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn

FEM-T3

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn của phần tử tam giác ba nút

FSDT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (the first-order shear deformation
plate theory)

HSDT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (higher-order shear deformation
plate theory)

SOCP

Chƣơng trình hình nón bậc hai (second-order cone programming)

Không gian hàm

R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclid n chiều

x

Chuẩn Euclid của x

Chỉ số dƣới và chỉ số trên

 

b

 

s

 e

Các đại lƣợng liên quan biến dạng uốn
Các đại lƣợng liên quan biến dạng cắt
Các đại lƣợng liên quan đến từng phần tử


-xiii-

 i

Các đại lƣợng liên quan đến nút thứ i của phần tử

Tên miền



Miền của bài toán

r

Miền rắn



Biên của bài tốn

Các đại lƣợng vơ hƣớng

A

Diện tích của tấm

Ae

Diện tích của từng phần tử tấm

E

Mô-đun đàn hồi của vật liệu

k

Hệ số điều chỉnh cắt



Hệ số Poisson



Khối lƣợng riêng của vật liệu

h

Chiều dày của tấm



Tần số góc của bài tốn động học

mo

Mơment dẻo của tấm

nG

Số điểm tích phân Gauss

g

Tọa độ điểm tích phân Gauss

Wg

Trọng số điểm tích phân Gauss



Giá trị tải giới hạn trong bài toán tấm


-xiv-

Ma trận và véc-tơ
AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A

A 1

Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch A

Be

Ma trận gradient biến dạng uốn của phần tử tấm

Se

Ma trận gradient biến dạng cắt của phần tử tấm


B
e

Ma trận gradient biến dạng uốn đƣợc làm trơn dựa trên phần tử

S e

Ma trận gradient biến dạng cắt đƣợc làm trơn dựa trên phần tử

Db

Ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn của tấm

Ds

Ma trận vật liệu ứng với biến dạng cắt của tấm

ˆs
D

Ma trận vật liệu đƣợc hiệu chỉnh ứng với biến dạng cắt của tấm

N

Ma trận hàm dạng của phần tử tam giác 3 nút

NI

Ma trận hàm dạng tại nút thứ I của phần tử tam giác 3 nút

d

Véc-tơ chuyển vị của phần tử tam giác 3 nút

dI

Véc-tơ chuyển vị nút thứ I của phần tử tam giác 3 nút

d eO

Véc-tơ chuyển vị ở trọng tâm của tam giác

ε

Véc-tơ biến dạng của tấm

κ

Véc-tơ biến dạng uốn của tấm

κ e

Véc-tơ biến dạng uốn của phần tử đã đƣợc làm trơn

κ

Véc-tơ vận tốc biến dạng uốn của tấm

κ e

Véc-tơ vận tốc biến dạng uốn của phần tử đã đƣợc làm trơn


-xv-

γ

Véc-tơ biến dạng cắt của tấm

γ e

Véc-tơ biến dạng cắt của phần tử đã đƣợc làm trơn

γ

Véc-tơ vận tốc biến dạng cắt của tấm

γ e

Véc-tơ vận tốc biến dạng cắt của phần tử đã đƣợc làm trơn

u

Véc-tơ chuyển vị thực của mặt phẳng trung hòa tấm

uh

Véc-tơ chuyển vị xấp xỉ của mặt trung hòa tấm

u eh

Véc-tơ chuyển vị xấp xỉ của mặt trung hòa tấm cho từng phần tử

βT

Véc-tơ các góc xoay


-1-

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1.

Giới thiệu

Việc tìm lời giải giải tích cho một bài tốn kỹ thuật phức tạp thơng thƣờng rất khó
khăn và đa phần khơng thể thực hiện đƣợc. Với sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của
khoa học máy tính cùng với các phƣơng pháp tính tốn số, việc tìm lời giải xấp xỉ
cho các bài tốn kỹ thuật ngày càng trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn. Vì vậy, việc
nghiên cứu và phát triển các phƣơng pháp số cho tính tốn xấp xỉ ln rất cần thiết.
Gần đây để khắc phục những hạn chế của phƣơng pháp phần tử hữu hạn truyền
thống sử dụng phần tử tam giác tuyến tính (FEM-T3), Gui Rong Liu và Nguyễn
Thời Trung cùng các cộng sự [1] đã kết hợp kỹ thuật làm trơn biến dạng của
phƣơng pháp không lƣới [2] vào trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn truyền thống
(FEM) để hình thành nên một chuỗi các phƣơng pháp PTHH trơn (S-FEM) chẳng
hạn nhƣ: phƣơng pháp PTHH đƣợc làm trơn dựa trên phần tử (CS-FEM) [3],
phƣơng pháp PTHH đƣợc làm trơn dựa trên nút (NS-FEM) [4], phƣơng pháp PTHH
đƣợc làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) [5] và phƣơng pháp PTHH đƣợc làm trơn
dựa trên mặt (FS-FEM) [6].
Phát triển S-FEM cho kết cấu tấm, gần đây Nguyễn Thời Trung cùng cộng sự đã
đề xuất phần tử tấm Mindlin rời rạc lệch trƣợt trơn dựa trên phần tử (CS-DSG3)
[16] nhằm khắc phục những nhƣợc điểm của phần tử rời rạc lệch trƣợt gốc DSG
[17]. Trong phần tử CS-DSG3 [16], mỗi phần tử tam giác sẽ đƣợc chia thành 3 tam
giác con, và trong mỗi tam giác con, phần tử DSG3 sẽ đƣợc sử dụng để tính biến
dạng và khử hiện tƣợng khóa cắt. Sau đó, kỹ thuật làm trơn biến dạng trên tồn

phần tử tam giác bằng cách làm trơn hóa biến dạng trên 3 tam giác con này. Phần tử
CS-DSG3 vì vậy khơng những khử đƣợc hiện tƣợng khóa cắt mà cịn cải thiện đƣợc
độ chính xác cũng nhƣ sự ổn định của phần tử DSG3.
Liên quan đến các bài toán kỹ thuật của kết cấu tấm, ngƣời thiết kế cũng quan
tâm đến bài tốn phân tích giới hạn tấm. Phân tích giới hạn tấm là một phần của
phân tích dẻo và có vai trị quan trọng trong việc thiết kế tải trọng giới hạn của kết


-2-

cấu. Trong lý thuyết cơ bản của phân tích giới hạn tấm, chúng ta khơng xem xét
hoặc tính tốn sự phát triển đàn hồi dẻo của tấm mà tập trung vào xác định trực tiếp
tải cận trên hoặc cận dƣới gây ra phá hủy dẻo trong kết cấu tấm. Một khi các trƣờng
vận tốc biến dạng đã đƣợc thiết lập và các lý thuyết chảy dẻo đƣợc áp dụng, khi đó
bài tốn phân tích giới hạn trở thành một bài tốn tối ƣu hóa để tìm cực tiểu cơng
hao tán dẻo.
Sử dụng các phƣơng pháp giải tích và phƣơng pháp số, cùng với các tiêu chuẩn
chảy dẻo khác nhau, nhiều tác giả đã đƣa ra các lời giải giải tích và lời giải số cho
phân tích tải giới hạn tấm. Một số cơ sở lý thuyết của các phƣơng pháp giải tích đã
đƣợc trình bày trong các bài viết của các tác giả nhƣ Lubliner [31] và Yu cùng các
đồng nghiệp [32], v.v. Còn đối với phƣơng pháp số, ta có thể liệt kê một số tác giả
tiêu biểu nhƣ Hodge và Belytschko [33], Christiansen và Larsen [34], Emilio và
Paola [35], Shutao Zhou cùng các đồng nghiệp. [36], Capsoni và Corradi [37] và
Capsoni và Silva [38]. Tuy nhiên, do thiếu những thuật toán tối ƣu mới và giới hạn
về tốc độ tính tốn nên phƣơng pháp số cho phân tích giới hạn của tấm dƣờng nhƣ ít
đƣợc quan tâm trong một thời gian.
Gần đây, nhờ vào sự phát triển nhanh chóng của các thuật tốn tối ƣu mới và tốc
độ xử lý của máy tính nên nhiều phƣơng pháp số cho phân tích giới hạn lại thu hút
đƣợc sự quan tâm của các nhà nghiên cứu [40-46]. Những nghiên cứu hiện nay
đang tập trung vào phát triển các phƣơng pháp số cho phân tích giới hạn đơn giản

và hiệu quả. Trong phƣơng pháp số cho phân tích giới hạn, chúng ta áp dụng các
định lý ràng buộc và xấp xỉ các trƣờng vận tốc biến dạng hoặc các trƣờng vận tốc
chuyển vị. Lúc này, phân tích giới hạn trở thành một bài tốn tối ƣu hóa tuyến tính
hoặc phi tuyến mà có thể đƣợc giải bằng các thuật tốn tuyến tính hoặc phi tuyến có
sẵn [47-55].
Tuy nhiên, để giải bài tốn tối ƣu hóa trong phân tích giới hạn một cách chính
xác và nhanh chóng địi hỏi chúng ta phải chọn một thuật tốn tối ƣu thích hợp. Bởi
vì, bài tốn tối ƣu hóa là một bài tốn lồi trong đó hàm mục tiêu là một hàm thuần
nhất xác định dƣơng bậc nhất và không khả vi tại những điểm trên miền không bị


-3-

chảy dẻo. Để khắc phục nhƣợc điểm này, một trong những thuật toán hữu hiệu nhất
đƣợc đề xuất là thuật tốn phi tuyến dựa trên phƣơng pháp điểm trong chính – đối
ngẫu (primal-dual interior point) đƣợc đề xuất bởi Andersen cùng các đồng nghiệp
[56]. Thuật giải này áp dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises và có thể giải một số
bài tốn có các hàm dẻo phi tuyến. Thuật tốn này có thể đƣợc giải một cách hiệu
quả bằng cách sử dụng chƣơng trình hình nón bậc hai (SOCP) [58] và đã đƣợc tích
hợp sẵn trong phần mềm MOSEK [59]. Chƣơng trình này đã đƣợc áp dụng để tìm
tải giới hạn của tấm Kirchhoff bởi Lê Văn Cảnh cùng các đồng nghiệp [66-68].
Cho đến nay, trong so sánh giữa tấm Kirchhoff và Reissner-Mindlin, số bài báo
liên quan đến phân tích giới hạn tấm Reissner-Mindlin vẫn cịn khá ít. Do đó, luận
văn này nhằm mục đích đóng góp thêm một phƣơng pháp số phân tích giới hạn của
tấm Reissner-Mindlin bằng việc sử dụng phần tử tấm Mindlin CS-DSG3 [16] để
phân tích giới hạn động học cho tấm Reissner-Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo
von Mises. Phần tử CS-DSG3 đƣợc kết hợp với chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón
bậc hai (SOCP) để xác định tải giới hạn của tấm.
1.2.

Tình hình nghiên cứu

1.2.1. Các cơng trình nghiên cứu trong nƣớc

Cho đến nay, thế giới đã có khá nhiều nghiên cứu về phân tích giới hạn của tấm.
Tuy nhiên, ở Việt Nam các nghiên cứu về lĩnh vực này vẫn còn khá khiêm tốn. Qua
tìm hiểu thơng tin trên internet, các tạp chí khoa học-công nghệ và các hội nghị
quốc tế, tác giả chỉ tìm thấy một vài cơng trình nghiên cứu về vấn đề này. Điển
hình, gần đây có hai cơng trình nghiên cứu đƣợc thực hiện bởi TS. Lê Văn Cảnh và
cộng sự.
 Le CV, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H (2010), Upper and lower bound
limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming
[68]. Trong bài báo này, tác giả sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn và
chƣơng trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên và cận dƣới
của tấm Kirchhoff.


-4-

 Thuy M. T. Doan, Canh V. Le, Thang Q. Chu, Hung X. Nguyen (2012),
Limit load computation of Mindlin-Reissner plates as a second-order cone
programming. Trong bài báo này, tác giả sử dụng phần tử hữu hạn trơn dựa
trên cạnh và chƣơng trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cho tấm
Mindlin. Tuy nhiên, số dạng bài toán tấm đƣợc khảo sát vẫn còn hạn chế và
việc đánh giá độ chính xác của phƣơng pháp số vẫn chƣa đƣợc nghiên cứu
kỹ.
1.2.2. Các cơng trình nghiên cứu ngồi nƣớc

Các phƣơng pháp số cho phân tích giới hạn đã đƣợc nghiên cứu rộng rãi trên thế
giới. Trong luận văn này, tác giả xin giới thiệu tóm tắt nội dung một số cơng trình

tiêu biểu nhƣ sau
 V. F. Gaudrat (1991), A Newton type algorithm for plastic limit analysis
[40]. Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng thuật toán Newton cho phân tích
giới hạn dẻo của kết cấu tấm.
 Christiansen E, Kortanek KO (1991), Computation of the collapse state in
limit analysis using the LP affine scaling algorithm [41]. Trong bài báo này,
tác giả xác định tải giới hạn cho kết cấu tấm bằng chƣơng trình tuyến tính sử
dụng thuật tốn affine scaling.
 Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijo RA (1993), An iterative algorithm
for limit analysis with nonlinear yield functions [42]. Trong bài báo này, tác
giả đã sử dụng thuật toán lặp kết hợp với hàm dẻo phi tuyến cho phân tích
giới hạn của kết cấu dầm, tấm dày dạng hình chữ nhật và hình ống.
 Liu YH, Zen ZZ, Xu BY (1995), A numerical method for plastic limit
analysis of 3-D structures [43]. Trong bài báo này, tác giả đã thiết lập
chƣơng trình tính tải giới hạn cận trên bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn
cho kết cấu 3D và sử dụng thuật toán lặp trực tiếp.


-5-

 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (1998), Computing limit loads by
minimizing a sum of norms [53]. Trong bài báo này, Andersen KD đã đề xuất
phƣơng pháp tính tải giới hạn bằng cách tối thiểu hóa một chuỗi tổng.
 Capsoni A, Vicente da Silva M (2011), A finite element formulation of
Mindlin plates for limit analysis [38]. Trong bài báo này Capsoni A đã sử
dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để phân tích giới hạn tấm Mindlin.
Gắn liền với sự phát triển các bài tốn phân tích giới hạn là sự phát triển của các
giải thuật tối ƣu hóa mới. Gần đây, một trong những thuật tốn tối ƣu hóa mới rất
hiệu quả đã đƣợc đề xuất là phƣơng pháp điểm trong chính – đối ngẫu (primal-dual
interior point). Hai cơng trình tiêu biểu về thuật tốn này gồm có

 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (2001), An efficient primal-dual
interior-point method for minimizing a sum of euclidean norms [56]. Trong
bài báo này, tác giả đã đề xuất phƣơng pháp đối ngẫu điểm trong bằng cách
cực tiểu một chuỗi tổng Euclid.
 Andersen ED, Roos C, Terlaky T (2003), On implementing a primal-dual
interior-point method for conic quadratic programming [58]. Trong bài báo
này, Andersen ED đã giới thiệu bài tốn tối ƣu hóa bằng cách kết hợp
chƣơng trình hình nón bậc hai và phƣơng pháp đối ngẫu điểm trong.
Chú ý rằng, một điểm đặc biệt của bài tốn phân tích giới hạn là việc dễ dàng
chuyển về bài toán cực tiểu hàm hao tán dẻo với một trong các điều kiện ràng buộc
có dạng phƣơng trình hình nón. Và dạng tối ƣu có ràng buộc hình nón này lại đƣợc
giải dễ dàng bằng thuật giải điểm trong đối ngẫu đã đƣợc tích hợp sẵn trong phần
mềm thƣơng mại Mosek. Một số cơng trình nghiên cứu về phân tích giới hạn đã
khai thác đƣợc các tính chất này có thể đƣợc liệt kê nhƣ sau
 Krabbenhoft K, Lyamin AV, Sloan SW (2006), Formulation and solution of
some plasticity problems as conic programs [61]. Trong bài báo này tác giả
sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr–Coulomb, phƣơng pháp phần tử hữu hạn
và chƣơng trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cho nền đất.


-6-

 Makrodimopoulos A, Martin CM (2007), Upper bound limit analysis using
simplex strain elements and second-order cone programming [62]. Trong bài
báo này, tác giả sử dụng phần tử biến dạng đơn (1 chiều) kết hợp với chƣơng
trình hình nón bậc hai để xác định tải giới hạn cận trên.
 Le CV, Gilbert M, Askes H (2009), Limit analysis of plates using the EFG
method and second-order cone programming [66]. Trong bài báo này, tác giả
sử dụng phần tử EFG (Element-Free Galerkin) kết hợp với chƣơng trình hình
nón bậc hai để phân tích giới hạn tấm Kirchhoff.

1.3.

Phạm vi, phƣơng pháp nghiên cứu và mục tiêu của luận văn

1.3.1. Mục tiêu của luận văn

Mục tiêu của luận văn là phát triển một phƣơng pháp số kết hợp để phân tích giới
hạn động học của tấm Mindlin dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises. Phần tử tấm
Mindlin CS-DSG3 đƣợc kết hợp với chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai
(SOCP) để xác định tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin. Các kết quả số sẽ đƣợc
lập trình bằng ngơn ngữ Matlab và đƣợc so sánh với các kết quả tham khảo trong
các bài báo liên quan.
1.3.2. Phạm vi và phƣơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giới hạn trong phạm vi của tấm Mindlin, tiêu chuẩn chảy dẻo vonMises và luật chảy cứng dẻo lý tƣởng khơng có tái bền.
Tác giả sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết và lập trình tính tốn bằng
ngơn ngữ Matlab. Kết quả lập trình Matlab sẽ cung cấp dữ liệu đầu vào cho chƣơng
trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai để tìm tải giới hạn cận trên của tấm Mindlin. Các
kết quả số từ chƣơng trình sẽ đƣợc so sánh với kết quả tham khảo trong các bài báo
liên quan.
Nghiên cứu sẽ đƣợc thực hiện trên kết cấu tấm có các hình dạng nhƣ sau: 1) tấm
hình vng; 2) tấm hình chữ nhật; 3) tấm hình thoi; 4) tấm hình trịn; 5) tấm hình
tam giác đều.


-7-

1.4.

Nội dung của luận văn

Luận văn trình bày gồm 5 chƣơng, có nội dung nhƣ sau:
Chương 1 giới thiệu tổng quan về bài tốn phân tích giới hạn tấm Midlin bằng
phần tử CS-DSG3 và chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP), tình hình
nghiên cứu trong và ngồi nƣớc, mục tiêu, phạm vi, phƣơng pháp nghiên cứu và cấu
trúc của luận văn.
Chương 2 trình bày một số kiến thức cơ sở của các mơ hình tấm, dạng yếu của
phƣơng trình chủ đạo tấm Mindlin, phƣơng pháp PTHH cho tấm Mindlin, các bƣớc
phân tích giới hạn và chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP).
Chương 3 trình bày cơng thức động học cho phân tích giới hạn của tấm Mindlin,
công thức động học của tấm Mindlin sử dụng phần tử CS-DSG3 và cách chuyển bài
tốn phân tích giới hạn của tấm Mindlin thành dạng phù hợp để áp dụng chƣơng
trình SOCP tìm nghiệm tối ƣu.
Chương 4 trình bày các ví dụ số tìm hệ số tải giới hạn cận trên cho tấm Mindlin.
Dữ liệu đầu vào của bài tốn tối ƣu đƣợc lập trình bằng ngơn ngữ Matlab và đƣợc
chuyển sang chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) để tìm tải giới hạn
cận trên của tấm Mindlin. Các kết quả số đạt đƣợc sẽ đƣợc so sánh với kết quả tham
khảo trong các bài báo liên quan.
Chương 5 đƣa ra một số kết luận quan trọng đạt đƣợc trong luận văn và kiến nghị
hƣớng phát triển của đề tài trong tƣơng lai.
Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên
cứu của đề tài.
Phụ lục: thuyết minh chi tiết một số cơng thức tốn học và các đoạn mã lập trình
Matlab chính để tính tốn các ví dụ số trong Chƣơng 4.


-8-

CHƢƠNG 2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
2.1.

Phân loại tấm Kirchhoff và Reissener-Mindlin [23]

Tấm là vật thể lăng trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thƣớc của 2
phƣơng cịn lại. Tấm có mặt phẳng trung hòa đƣợc quy ƣớc là mặt phẳng cách đều
mặt trên và bên dƣới của tấm. Khi chịu uốn mặt trung hịa sẽ bị cong nhƣ minh họa
trong Hình 2.1.

x,u0
a) Tấm khi chưa chuyển vị

x
-dw0/dx
uo
z,w0

(u0,w0)

-dw0/dx

(u,w)
u0,w0

x
(u0,w0)

b) Chuyển vị của tấm mỏng
theo lý thuyết tấm Kirchhoff

-dw0/dx

(u,w)
u0,w0

c) Chuyển vị của tấm dày theo
lý thuyết tấm Reissner-Mindlin

Hình 2.1. Chuyển vị và góc xoay trong các lý thuyết tấm [23].
Đã có nhiều lý thuyết phân tích ứng xử của tấm đƣợc đƣa ra nhƣ: lý thuyết tấm
Kirchhoff (The classical Kirchhoff plate theory – CPT), lý thuyết tấm ReissnerMindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của tấm – The first-order shear
deformation plate theory – FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao của tấm (Higherorder shear deformation plate theory – HSDT). Tấm đƣợc xem là tấm dày hay tấm
Reissner-Midlin, khi tỉ lệ chiều dày và kích thƣớc cạnh ngắn nhất của tấm lớn hơn
1 5 hay theo tỷ lệ  t b  1 5 . Còn ngƣợc lại, tấm đƣợc xem là tấm mỏng, hay tấm