Phân tích giới hạn tấm sàn bê tông cốt thép theo tiêu chuẩn nielsen

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------

NGUYỄN HOÀNG PHƯƠNG

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM SÀN BÊTƠNG CỐT THÉP
THEO TIÊU CHUẨN NIELSEN

Chun ngành : Kỹ thuật Xây dựng cơng trình Dân dụng và Công nghiệp
Mã ngành

: 62.58.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 1 năm 2013


ii

Cơng trình được hồn thành tại : Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1 :

TS. LÊ VĂN CẢNH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2:

PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………....
Cán bộ chấm nhận xét 2:……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………....
……………………………………………………………………………………....
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày……..
tháng……...năm………
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm
1……………………………………………………………………………………….
2……………………………………………………………………………………….
3……………………………………………………………………………………….
4……………………………………………………………………………………….
5……………………………………………………………………………………….
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận
văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


iii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

----------------

---oOo----

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN HOÀNG PHƯƠNG
Ngày, tháng, năm sinh: 16/12/1987
Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng cơng trình DD & CN

Phái
: Nam
Nơi sinh : Quảng Ngãi
MSHV : 11210245

1- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM SÀN BÊTƠNG CỐT THÉP THEO
TIÊU CHUẨN NIELSEN
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
Ø Thiết lập công thức tính tiêu tán chảy dẻo tương ứng với tiêu chuẩn dẻo Nielsen.
Sau đó thành lập bài tốn tối ưu tốn học cho việc phân tích giới hạn cận trên.
Ø Chuyển đổi các cơng thức tìm được ở trên về dạng của bài tốn tối ưu hình nón
bậc hai.
Ø Thiết lập công thức xấp xỉ số dùng phương pháp phân tử hữu hạn HCT.
Ø Lập trình và thực hiện tính tốn số cho các bài toán tấm sàn đã được khảo sát trong
các bài báo đã được xuất bản.
Ø Phân tích so sánh kết quả thu được với kết quả số đã được công bố.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: tháng 07 năm 2012
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: tháng 1 năm 2013
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS. LÊ VĂN CẢNH
HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: PGS. TS CHU QUỐC THẮNG
Tp.HCM, ngày 3 tháng 1 năm 2013

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1

TS. LÊ VĂN CẢNH
BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG
TRƯỜNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


iv

LỜI CÁM ƠN
Quá trình thực hiện luận văn cao học bao gồm các giai đoạn mà giúp chúng ta
khám phá chính bản thân để tiếp cận với nguồn tri thức của khoa học. Lần đầu tiên tiếp
xúc ln gặp khó khăn và gian nan, nhưng tác giả với sự nỗ lực của bản thân và sự dìu
dắt giúp đỡ góp phần vào việc vượt qua những trở ngại ban đầu này.
Đầu tiên, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy TS. Lê Văn Cảnh. Thầy luôn tận
tâm trong việc hướng dẫn. Thầy ln nhiệt tình hỗ trợ về tinh thần và kiến thức khoa
học. Những kiến thức nền tảng mà em đã được tiếp thu từ thầy đã giúp cho em vượt
qua những khó khăn khi thực hiện luận văn này.
Tiếp theo em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy PGS.TS. Chu Quốc Thắng. Thầy
đã khơi dậy sự tò mò và ham học hỏi trong em. Trong thời gian học tập và trao đổi với
thầy, em đã học hỏi được tác phong làm việc khoa học và niềm đam mê về ý nghĩa
những con số.
Bên cạnh đó, em xin gửi lời cảm ơn đến nhóm học cao học khóa K2011. Trong
nhóm ln tạo một khơng khí bình đẳng và sắn sàng hỗ trợ lẫn nhau.
Cuối cùng, em xin gửi lời tri ân đến gia đình. Gia đình đã ln là chỗ dựa cho em
trong những lúc khó khăn về tinh thần hay tài chính. Tình cảm con dành cho gia đình

khơng thể diễn tả bằng lời nhưng con sẽ viết tiếp những giấc mơ còn dang giở của gia
đình.
Tp.HCM, ngày 3 tháng 1 năm 2013
Học Viên Cao Học

Nguyễn Hoàng Phương


v

TĨM TẮT LUẬN VĂN
TÊN ĐỀ TÀI : PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM SÀN BÊTÔNG CỐT THÉP
THEO TIÊU CHUẨN NIELSEN

Phương pháp phân tích tải trọng giới hạn tấm sàn bê tơng cốt thép (BTCT) theo
tiêu chuẩn Nielsen dùng phần tử hữu hạn HCT và kỹ thuật tối ưu điểm nội đối ngẫu
được trình bày trong luận văn này. Tiêu chuẩn Nielsen dùng để đánh giá sàn BTCT ở
trạng thái giới hạn chính xác nhưng dẫn đến khó khăn trong việc xác định năng lượng
tiêu tán dẻo. Công thức xác định năng lượng tiêu tán dẻo dựa trên kỹ thuật đối ngẫu
điểm nội sẽ được đưa ra. Phần tử tương thích Hsieh-Clough-Tocher (HCT) được sử
dụng để xấp xỉ trường vận tốc biến dạng, và công thức rời rạc tương ứng sẽ được mơ tả
ở dạng bài tốn tối ưu hình nón bậc hai. Tấm có hình dạng hình học và điều kiện biên
thay đổi đã được khảo sát để đánh giá phương pháp đã trình bày. Kết quả thu được
được đánh giá thông qua việc so sánh với các lời giải đã được đề xuất.


vi

SUMMARY OF THESIS
TITLE OF THESIS:

“LIMIT ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE SLAB
USING NIELSEN CRITERITION”

Numerical procedure for limit analysis of reinforced concrete slabs governed by
the Nielsen criterition is proposed with using the conforming Hsieh-Cloud-Tocher
(HCT) and a primal-dual interior-point method. The Nielsen criterition was used to
present the limit state of reinforced concrete slabs. The crition is able to present exact
the plastic behavior of reinforced concrete slabs, however it leads to difficulty in
expressing dissipation function. In the thesis, the expression of the plastic dissipation
function is obtained by using the primal-dual interior-point method. The conforming
bi-cubic element, HCT, was used to discrete displacement fileds and the discretization
was shown in the second-order cone programming (SOCP). Several numerical
examples with arbitrary geometry and boundary conditions were examined to test the
performance of the proposed numerical procedure. Obtained solutions are validated by
comparing to those in the literature.


vii

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ........................................................................... iii
LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. iv
TĨM TẮT LUẬN VĂN ............................................................................................... v
DANH MỤC HÌNH ẢNH ........................................................................................... ix
DANH MỤC BẢNG BIỂU ......................................................................................... xi
1.MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
2.TỔNG QUAN ............................................................................................................ 3
2.1.Tình hình nghiên cứu ngồi nước ................................................................... 3
2.2.Tình hình nghiên cứu trong nước ................................................................... 5
2.3.Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn...................................................................... 6

3. LÝ THUYẾT CƠ SỞ ............................................................................................... 7
3.1.Mơ hình vật liệu ................................................................................................... 7
3.1.1.Mơ hình cứng- dẻo lý tưởng ........................................................................ 7
3.1.2.Mơ hình đàn- dẻo lý tưởng .......................................................................... 7
3.1.3.Tiêu chuẩn chảy dẻo .................................................................................... 8
3.1.4.Định đề Drucker- giả thiết về tính ổn định của vật liệu .............................. 9
3.1.5.Luật chảy dẻo ............................................................................................. 10
3.2.Tiêu chuẩn chảy dẻo tấm sàn bêtông cốt thép.................................................... 10
3.2.1.Giả thuyết cho điều kiện chảy dẻo tấm ...................................................... 11
3.2.2.Tấm sàn chịu uốn thuần túy ....................................................................... 11
3.2.3.Tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen ..................................................................... 14
3.3.Phương pháp phân tích giới hạn ......................................................................... 15
3.3.1.Các giả thuyết cơ sở của phương pháp phân tích giới hạn ........................ 15
3.3.2.Các định lý cơ bản của phân tích giới hạn ................................................. 17
3.3.3.Phân tích tải trọng giới hạn dưới dạng qui hoạch tốn học ....................... 18
3.4.Cơng thức cho tấm ............................................................................................. 20
3.5.Bài tốn tối ưu hình nón bậc hai ........................................................................ 23
3.5.1.Định nghĩa.................................................................................................. 23
3.5.2.Khai triển biểu thức hàm tiêu tán năng lượng ........................................... 24
3.6.Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm chịu uốn ............................................... 26
3.6.1.Giới thiệu ................................................................................................... 26


viii

3.6.2.Phần tử Hsieh-Clough-Tocher (HCT) ....................................................... 26
3.7.Rời rạc hóa phần tử ............................................................................................ 28
4.MƠ PHỎNG SỐ BẰNG MATLAB ........................................................................ 30
4.1.Qui trình tính tốn .............................................................................................. 30
4.2.Tấm bêtơng cốt thép hình vng ........................................................................ 33

4.2.1.Thơng số đầu vào tấm hình vng ............................................................. 33
4.2.2.Kết quả bài toán bốn biên tựa .................................................................... 35
4.2.3.Kết quả bài toán tấm hình vng bốn biên ngàm ...................................... 38
4.3.Tấm bêtơng cốt thép hình chữ nhật .................................................................... 42
4.3.1.Thơng số đầu vào tấm hình chữ nhật ......................................................... 42
3.3.2.Kết quả bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa ...................................... 44
3.3.3.Kết quả bài toán tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm .................................. 46
4.4.Tấm bê tơng cốt thép hình trịn .......................................................................... 49
4.4.1.Thơng số đầu vào tấm hình trịn ................................................................ 49
4.4.2.Kết quả bài tốn tấm hình trịn .................................................................. 51
4.5.Tấm bê tơng cốt thép hình chữ L ....................................................................... 54
4.5.1.Thơng số đầu vào tấm hình chữ L ............................................................. 54
4.5.2.Kết quả bài tốn tấm hình chữ L................................................................ 56
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 59
KIẾN NGHỊ ................................................................................................................ 61
DANH MỤC CÁC BÀI BÁO .................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 63
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ........................................................................................ 66


ix

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 3.1 : Mối liên hệ s - e trong mơ hình cứng-dẻo lý tưởng ………………….. 7
Hình 3.2 : Mối liên hệ s - e trong mô hình đàn-dẻo lý tưởng…………………….. 7
Hình 3.3 : Ứng xử ổn định và khơng ổn định theo Drucker ……………………….. 9
Hình 3.4 : Hình học của luật chảy dẻo kết hợp…………………………………….. 10
Hình 3.5 : Tấm sàn bêtơng chịu uốn thuần túy…………………………………….. 12
Hình 3.6 : Mặt chảy dẻotheo tiêu chuẩn Nielsen…………………………………… 14
Hình 3.7 : Nghiệm cận trên và cận dưới cho bài toán phân tích giới hạn………….. 16

Hình 3.8 : Tấm mỏng (CPT)………………………………………………………... 20
Hình 3.9 : Qui ước dấu ứng suất trong tấm………………………………………… 22
Hình 3.10 : Phần tử Hsieh-Cloud-Tocher (HCT)………………………………….. 26
Hình 4.1 : Sơ đồ phân tích tải trọng giới hạn………………………………………. 32
Hình 4.2 :Mơ hình bài tốn tấm hình vng bốn biên ngàm………………………. 33
Hình 4.3 : Hệ mesh lưới bài tốn tấm hình vng 4 biên tựa……………………… 34
Hình 4.4 : So sánh nghiệm bài tốn tấm hình vng bốn biên tựa với các bài báo.. 36
Hình 4.5 : Trường chuyển vị ( w,qx, qy) bài tốn tấm hình vng 4 biên tựa……... 37
Hình 4.6 : Cơ cấu phá hoại bằng chương trình DLO và thực nghiệm…………….. 37
Hình 4.7 : So sánh nghiệm bài tốn tấm hình vng bốn biên ngàm với các bài báo..39
Hình 4.8 : Trường chuyển vị ( w,qx, qy) bài tốn tấm hình vng 4 biên ngàm...... 40
Hình 4.9 : Cơ cấu phá hoại tấm vuông 4 biên ngàm sử dụng DLO………………..40


x

Hình 4.10 : Mơ hình bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm………………….. 42
Hình 4.11 : Hệ mesh lưới bài tốn tấm hình chữ nhật …………………………….. 43
Hình 4.12. Trường chuyển vị (w,qx, qy) bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên tựa… 44
Hình 4.13. Trường chuyển vị (w,qx, qy) bài tốn tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm 47
Hình 4.14 : Bài tốn tấm trịn bốn biên ngàm chịu tải trọng phân bố đều…………. 49
Hình 4.15 : Mơ hình bài tốn tấm hình trịn biên ngàm theo chu vi……………….. 50
Hình 4.16 : So sánh bài tốn tấm trịn biên ngàm với các bài báo…………............. 52
Hình 4.17. Trường chuyển vị ( w,qx, qy) bài tốn tấm trịn biên ngàm…………….. 53
Hình 4.18 : Nghiệm chính xác của bài tốn tấm trịn biên ngàm theo Johansen…. 53
Hình 4.19 : Bài tốn tấm hình chữ L………………………………………………. 54
Hình 4.20 : Hệ mesh lưới bài tốn tấm hình chữ L ……………………………….. 55
Hình 4.21 : So sánh nghiệm bài toán tấm chữ L với các bài báo ………………….. 56
Hình 4.22 : Trường chuyển vị ( w,qx, qy) bài tốn tấm chữ L……………………… 57
Hình 4.23 : Cơ cấu phá hoại được dự đốn có sử dụng phần tử adaptive …………. 58

xi

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1 : Bảng so sánh phương pháp thiết kế sàn của toà nhà Cardington……… 1
Bảng 4.1. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình vng bốn biên tựa……………… 35
Bảng 4.2. So sánh hệ số tải trọng trong bài tốn tấm vng bốn biên tựa ………… 36
Bảng 4.3. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình vng bốn biên ngàm …………… 38
Bảng 4.4. So sánh hệ số tải trọng của tấm vuông bốn biên tựa ……………………. 39
Bảng 4.5. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa……………. 44
Bảng 4.6. So sánh hệ số tải trọng của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa…………….. 45
Bảng 4.7. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm…………. 46
Bảng 4.8. So sánh hệ số tải trọng của tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm …………. 47
Bảng 4.9. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình trịn biên ngàm theo chu vi……….51
Bảng 4.10. So sánh hệ số tải trọng của bài tốn tấm trịn biên ngàm chu vi……..

52

Bảng 4.11. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L…………………………… 56
Bảng 4.12. So sánh hệ số tải trọng trong bài tốn tấm hình chữ L ……………….. 57


1

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM SÀN BÊTƠNG CỐT THÉP
THEO TIÊU CHUẨN CHẢY DẺO NIELSEN
1.MỞ ĐẦU
Phân tích và thiết kế theo trạng thái giới hạn có thể ứng dụng trong tính tốn
thiết kế kết cấu cơng trình xây dựng dân dụng và cơng nghiệp vì tính hiệu quả và lợi

ích kinh tế của nó. Đối với tấm sàn bê tơng cốt thép, thiết kế dẻo sẽ tiết kiệm được đến
37% khối lượng thép sàn so với thiết kế đàn hồi, theo kết quả so sánh từ cơng trình nhà
cao tầng Cardington đã được xây dựng tại Lôn đôn, Anh quốc. Nên việc phát triển một
cơng cụ tính tốn và phân tích hiệu quả, nhanh và chính xác để trợ giúp cho thiết kế
dẻo là một việc làm cần thiết và sẽ mang lại lợi ích trong việc giảm chi phí xây dựng
cơng trình.
Bảng 1.1: Bảng so sánh phương pháp thiết kế sàn của tồ nhà Cardington
TẦNG

CỐT THÉP CHỊU UỐN

TẤN / TẦNG

½ sàn được thiết kế đường chảy dẻo

14.5

½ sàn được thiết kế đàn hồi

23.2

4

Phương pháp phân tích đường chảy dẻo (yield line) cổ điển đã được phát triển
và ứng dụng trong việc thiết kế tấm sàn bê tơng cốt thép có hình dạng đơn giản. Tuy
nhiên, đối với tấm sàn có lổ hoặc có cột chống trực tiếp lên sàn thì việc áp dụng
phương pháp này rất khó khăn, đơi khi khơng đảm bảo độ chính xác. Phương pháp này
gặp khó khăn khi chúng ta phải dự đoán trước cơ cấu phá hoại. Để giải quyết vấn đề

2

khó khăn này các phương pháp số đã được sử dụng để giải quyết như phương pháp
phần tử hữu hạn và phương pháp khơng lưới.
Trong việc phân tích kết cấu có hai hướng tiếp cận là phân tích từng bước và
phân tích giới hạn. Trong các phần mềm thương mại hiện nay, chúng ta sử dụng
phương pháp từng bước để giải quyết các bài tốn. Phân tích từng bước là một quá
trình phức tạp bao gồm nhiều bước gia tăng tải trọng nhỏ. Việc này sẽ giúp chúng ta
hiểu được quá trình từ lúc hình thành vùng dẻo đến khi phát triển đến cơ cấu phá hoại.
Tuy nhiên, khối lượng tính tốn lớn và phụ thuộc q nhiều vào thơng số đầu vào nên
khơng có lợi về mặt tính tốn số. Một hướng khác giúp chúng ta tìm được tải trọng giới
hạn mà không phải trải qua các bước trung gian đó là “lý thuyết phân tích trực tiếp tải
trọng giới hạn” (limit analysis). Phương pháp này mang tính thực dụng vì đã đem lại
cho người kỹ sư trị số tải trọng giới hạn và làm cơ sở cho việc thiết kế kỹ thuật.
Trong các nghiên cứu và các bài báo khoa học trên thế giới, phân tích cận trên
giới hạn vẫn chỉ xem xét các tiêu chuẩn đơn giản như tiêu chuẩn chảy dẻo hình vng
(square yield criterion). Khi xem xét các tiêu chuẩn phức tạp hơn trong bài tốn cận
trên chúng ta có thể đơn giản hóa bằng cách tuyến tính hóa tiêu chuẩn. Các kết quả thu
được bằng cách tuyến tính hóa tiêu chuẩn chưa đạt độ chính xác cao. Với các tiêu
chuẩn thỏa điều kiện lồi nghiêm ngặt chúng ta có thể áp dụng luật chảy dẻo (flow rule)
để khai triển hàm năng lượng tiêu tán dẻo theo trường chuyển vị. Nhưng khi xem xét
tiêu chuẩn Nielsen, một trong những tiêu chuẩn dẻo phù hợp nhất cho tấm sàn bê tông
cốt thép, chúng ta không thể áp dụng luật chảy dẻo. Để giải quyết khó khăn này, A.
Makrodimopoulus (2006) đã đưa ra thuật toán nội đối ngẫu điểm nội.
Trong nghiên cứu này, phân tích giới hạn tấm sàn bêtông cốt thép theo tiêu
chuẩn Nielsen phương pháp phần tử HCT (Hsieh–Clough–Tocher) và thuật toán nội
đối ngẫu sẽ được xem xét áp dụng trong mơ hình bài tốn cận trên.


3

2.TỔNG QUAN
2.1.Tình hình nghiên cứu ngồi nước
Hầu hết các bài báo về phân tích giới hạn cận trên cho tấm sàn bê tông cốt thép
trên thế giới hiện nay đều dùng tiểu chuẩn dẻo đơn giản nhất (square or linearized yield
criterion), đặc biệt là lý thuyết phân tích đường dẻo (yield line). Tiêu chuẩn dẻo
Nielsen (tiêu chuẩn 2 hình nón đối xứng) cũng được sử dụng để tính tốn cận dưới của
tải giới hạn cho tấm sàn bê tông cốt thép. Tên các bài báo và sách nước ngoài mà đề tài
tham khảo
[1].

Chan HSY. The collapse load of reinforced concrete plates. International
Journal for Numerical Methods in Engineering 1972; 5:57–64.
Tính tốn số của tải trọng phá hủy của tấm bêtông được xem xét.Tấm được giả

thuyết tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vng . tác giả trình bày cách giải quyết vấn
đề tốt theo phương pháp cận dưới thu được các kết quả cơ bản một cách hệ thống.Giải
quyết vấn đề theo phương pháp cận trên được xấp xỉ kết quả lý thuyết đường chảy dẻo
. Ví dụ về Tấm HCN chịu tải phân bố đều
[2].

Fox EN. Limit analysis for plates: the exact solution for a clamped square plate
of isotropic homogeneous material obeying the square yield criterion and loaded
by uniform pressure. Philosophical Transactions of the Royal Society of
London, Series A 1974; 277:121–155
Fox 1972 phân tích giới hạn cho tấm cứng- dẻo tuyệt đối, tác giả đã đưa ra kết

quả chính xác tải tập trung giữa trên tấm hình chữ nhật biên tựa cuả vật liệu đồng nhất
đẳng hướng với chảy dẻo uốn theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vng. Trong bài báo này,
kết quả chính xác cho trường hợp tải trọng phân bố đều tấm hình vng biên ngàm cuả

vật liệu đồng nhất đẳng hướng với chảy dẻo uốn theo tiêu chuẩn chảy dẻo hình vng.
Phân tích này được mở rộng cho trường hợp tấm biên ngàm đa giác đều với tải trọng
phân bố đều. Tải trọng giới hạn được so sánh với các kết quả cận trên đã biết


4

.
[3].

Krenk S, Damkilde L, Hoyer O. Limit analysis and optimal design of plates with
equilibrium elements. Journal of Engineering Mechanics 1994; 120:1237–1254.
Công thức phần tử hữu hạn được phát triển cho phân tích giới hạn tấm dẻo lí

tưởng mà sử dụng phần tử cân bằng tam giác và chương trình tuyến tính. Phần tử cân
bằng được xác định theo ba moment tại các góc. Mặt chảy dẻo được tuyến tính hóa ,
định lí đối ngẫu của chương trình tuyến tính hóa dẫn đến giải quyết vấn đề đối ngẫu
của trường động học và tĩnh học
[4].

Krabbenhoft K, Damkilde L. Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear
yield criteria. Computers and Structures 2002; 80:2043–2057.
Công thức phần tử hữu hạn của tấm của phân tích giới hạn của tấm dẻo lí tưởng

được đưa ra. Một phần tử với trường moment tuyến tính cho phương trình cân bằng
thỏa mãn một cách chính xác được sử dụng trong sự liên kết với thuật toán tối ưu để
giải quyết hồn tồn bài tốn phi tuyến tiêu chuẩn chảy dẻo. Vấn đề tối ưu hóa tải trọng
và vật liêu được tính tốn và bằng phương tiện lý thuyết đối ngẫu của chương trình
tuyến tính chuyển vị được tách từ các biến đối ngẫu.các ví dụ số đã chứng minh khả
năng của phương pháp.

[5].

A. Makrodimopoulos. Remarks on some properties of conic yield restrictions in
limit analysis, International Journal for Numerical Methods in Biomedical
Engineering, 26, 2010, pp. 1449-1461.
Bài báo cung cấp tiêu chuẩn chảy dẻo được thể hiện như một sự giao thoa của

các nón, và việc khai triển năng lượng tiêu tán cho nón đối ngẫu là có thể. Điều này
ln có thể cho trường hợp nón tự đối ngẫu và một vài trường hợp khác, bao gồm các
tiêu chuẩn đã biết. Phương pháp đã được chứng minh khi được khai triển năng lượng
tiêu tán dẻo cho những tiêu chuẩn dẻo khác nhau. Một nhấn mạnh được đưa ra cho bài
tốn phân tích giới hạn cận trên sử dụng phần tử hữu hạn.


5

[6].

Le Van Canh, H. Nguyen-Xuan, H. Nguyen-Dang. Upper and lower bound limit
analysis of plates using FEM and second-order cone programming. Computers
and Structures, 88, pp. 65 - 73, 2010.

[7].

Le Van Canh, M. Gilbert, H. Askes. Limit analysis of plates and slabs using a
meshless equilibrium formulation. International Journal for Numerical Methods
in Engineering, 83, pp 1739-1758, 2010.

[8].

M.P. Nielsen, L.C. Hoang, "Limit Analysis and Concrete Plasticity, Third
Edition" C.RC Press, 2010.
2.2.Tình hình nghiên cứu trong nước
Nghiên cứu trong nước về đề tài này vẫn chưa được thực hiện nhiều

[9].

Nguyen Dang Hung, Yan Ai-Min, Bui Cong Thanh and Jospin R.J., “On the
Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures”,
Proceedings of The First Vietnam-Japan Symposium in Advances in Applied
Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, January 1921,1998.

[10].

Nguyen An Danh, Bui Cong Thanh, Nguyen Dang Hung, “A recursive approach
for limit analysis of frame”, Proceedings of the Sixth National Conference on
Solid Mechanics, Hanoi, 11/1999.

[11].

Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Dang Hung. Dual limit analysis of
plate bending. Collection of papers from Prof. Nguyen-Dang Hung’s former
students, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Publishing house, 476
- 494, 2006.

[12].

Le Van Canh, Nguyen Xuan Hung, Nguyen Dang Hung. Dual limit analysis of
plate bending. Collection of papers from Prof. Nguyen-Dang Hung’s former
students, Vietnam National University, Ho Chi Minh City Publishing house, 476

- 494, 2006.


6

2.3.Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Trong phạm vi luận văn này, chúng ta sẽ phân tích giới hạn tấm sàn
bêtông cốt thép theo tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen theo cận trên với sự hỗ trợ của
phương pháp phần tử HCT (Hsieh–Clough–Tocher) bao gồm các giai đoạn
Ø Thiết lập cơng thức tính tiêu tán chảy dẻo tương ứng với tiêu chuẩn dẻo
Nielsen. Sau đó thành lập bài tốn tối ưu tốn học cho việc phân tích giới
hạn cận trên.
Ø Chuyển đổi các cơng thức tìm được ở trên về dạng của bài tốn tối ưu hình
nón bậc hai thơng qua kỹ thuật đối ngẫu điểm nội.
Ø Thiết lập công thức xấp xỉ số dùng phương pháp phân tử hữu hạn HCT
(Hsieh – Clough – Tocher).
Ø Lập trình và thực hiện tính tốn số cho các bài tốn tấm sàn đã được khảo
sát trong các bài báo đã được xuất bản.
Ø Phân tích và so sánh kết quả thu được với kết quả số khác.


7

3. LÝ THUYẾT CƠ SỞ
3.1.Mơ hình vật liệu
3.1.1.Mơ hình cứng- dẻo lý tưởng

Hình 3.1 : Mối liên hệ s - e trong mơ hình cứng-dẻo lý tưởng
Mơ hình cứng-dẻo lý tưởng được đưa ra bởi von Mises (1913). Mơ hình này giả
thiết biến dạng đàn hồi không đáng kể so với biến dạng dẻo nên có thể bỏ qua. Trong

mơ hình này chúng ta xem mơ đun đàn hồi E tiến về vơ cực.
3.1.2.Mơ hình đàn- dẻo lý tưởng

Hình 3.2 : Mối liên hệ s - e trong mơ hình đàn-dẻo lý tưởng


8

Mơ hình đàn-dẻo lý tưởng được đưa ra bởi Prandtl (1928). Mơ hình bỏ qua hiện
tượng tái bền và hiện tượng chảy dẻo xảy ra khi ứng suất đạt đến trị số tỷ lệ hay ứng
suất chảy dẻo s P . Quan hệ ứng suất- biến dạng có thể biểu diễn

s
khi s E

(3.1)

s
+ l khi s =s P
E

(3.2)

e =

e =

3.1.3.Tiêu chuẩn chảy dẻo
Biến dạng vi phân tổng quát bao gồm biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo

d e ij = d e ije + d e ijp Û e&ij(*) = e&ije + e&ijp

(3.3)

Trong đó, biến dạng đàn hồi tuân theo định luật Hooke
d e ije = H ijkls kl Û e ije = H ijkls kl

(3.4)

Tồn tại một mặt đặt tải trong không gian các ứng suất, độc lập với thời gian
f (s ij , k ) < 0 : trong vùng đàn hồi, e ijp = 0

(3.5)

f (s ij , k ) = 0 : xuất hiện biến dạng dẻo

(3.6)

f (s ij , k ) > 0 : vùng không thể đạt đến được

(3.7)

Trong đó

s ij là trạng thái ứng suất.
k là thông số nội tại được xác định bằng thực nghiệm xét đến ảnh

hưởng của các hiện tượng không thuận nghịch: tái bền, hiện tượng Bauschinger,….

9

f (s ij , k ) = 0 là phương trình mặt chảy dẻo trong khơng gian ứng suất.

Nếu k=0 ta có phương trình mặt chảy dẻo lý tưởng.
Mơ hình vật liệu phải tuân theo hai tiêu chuẩn chảy dẻo quan trọng đó là định đề
Drucker và Luật chảy dẻo.
3.1.4.Định đề Drucker- giả thiết về tính ổn định của vật liệu

Hình 3.3 : Ứng xử ổn định và khơng ổn định theo Drucker
Vật liệu được xem là ổn định theo Drucker suốt chu trình tăng tải và dỡ tải:
“Cơng thực hiện với một chu trình khép kín của tải trọng thì khơng âm” Martin (1975).

Đị ( s

ij

- s 0ij ) de ij ³ 0

(3.8)

Trong đó: s ij là trường ứng suất hiện tại, s 0ij là trường ứng suất ban đầu.
Định đề Drucker được thể hiện

(s

ij

- s0ij ) e ij ³ 0

(3.9)

Cơng thức (3.9) cịn được gọi là bất đẳng thức Drucker. Cơng thức này có thể áp
dụng cho vật liệu dẻo lý tưởng và vật liệu tái bền.


10

3.1.5.Luật chảy dẻo

Hình 3.4 : Hình học của luật chảy dẻo kết hợp
Luật chảy dẻo được phát biểu: “Vectơ gia số biến dạng dẻo ( hay vận tốc biến
dạng dẻo) vng góc với mặt đặt tải và hướng ra ngồi mặt này”
de pij = dl

¶f
với dl ³ 0
¶sij

¶f
hay e& = l&
¶sij
p
ij

(3.10)

với l ³ 0

Để áp dụng định luật này vào bài tốn cận trên thơng qua việc tính tốn năng

lượng tiêu tán dẻo, chúng ta cần điều kiện hàm chảy dẻo f ( s ij ) là hàm lồi nghiêm ngặt
(nghĩa là khơng có phần phẳng và điểm góc). Điều này sẽ gây khó khăn cho chúng ta
khi xem xét tiêu chuẩn Nielsen có dạng giao thoa của hai hình nón bậc hai.
3.2.Tiêu chuẩn chảy dẻo tấm sàn bêtơng cốt thép
Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng tiêu chuẩn Nielsen để mô phỏng ứng xử
của bê tông cốt thép khi chịu tải trọng. Tiêu chuẩn này đã được Nielsen đưa ra vào năm


11

1964. Q trình xây dựng tiêu chuẩn thơng qua các thí nghiệm tại trường Technical
University of Denmark ( DTU). Vào những thập niên 60, các nhà khoa học đã thực
hiện tính tốn phân tích giới hạn với tiêu chuẩn này nhưng gặp nhiều khó khăn trong
giải thuật ràng buộc phi tuyến. Trong thời gian gần đây với sự phát triển một số cơng
cụ tối ưu hóa như MOSEK và thuật toán nội đối ngẫu tạo điều kiện thuận lợi cho việc
hoàn thành nghiên cứu này.
3.2.1.Giả thuyết cho điều kiện chảy dẻo tấm
Tấm sàn bêtơng được giả thuyết được bố trí cốt thép 2 lớp (lớp thép ở trên và
lớp thép ở dưới).
Trong nghiên cứu này, sự khác biệt giữa chiều cao hiệu quả d giữa bố trí thép
theo hai phương được bỏ qua.
Bêtông được ứng xử bởi điều kiện chảy dẻo ứng suất phẳng.
Tấm làm việc theo mơ hình Kirchoff.
3.2.2.Tấm sàn chịu uốn thuần túy
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài lớp dưới được kí hiệu là As
Diện tích cốt thép trên một đơn vị chiều dài lớp trên được kí hiệu là A’s
Đối với trường hợp đơn giản nhất A’sx=A’sy=Asy=0 và Asx=As


12

Hình 3.5 : Tấm sàn bêtơng chịu uốn thuần túy
Khối ứng suất bêtông chịu nén được qui đổi về dạng hình chữ nhật theo
Whitney-type. Với a là khoảng cách từ mép ngồi bêtơng đến hết vùng chịu nén của
bêtơng.
Áp dụng cân bằng lực theo phương x: As ´ fY = a ´ 0.85 f ’c ´ b
a=

Ta đặt f =

As fY
0.85 f c'b

(3.11)

As ´ fY
a
=
d ´ 0.85 ´ f 'c d

Moment chảy dẻo của tiết diện một đơn vị chiều dài
1 ư ỉ 1 ư
ỉ
ỉ 1 ư
m p = As fY ỗ d - a ữ = ỗ1 - f ữ As fY d = ỗ1 - f ữ f d 2 f c
2 ø è 2 ø
è
è 2 ø

Đối với trường hợp có kể đến cốt thép chịu kéo và cốt thép chịu nén

As=Asx là diện tích của cốt thép chịu kéo

(3.12)


13

Asc=A’sx là diện tích của cốt thép chịu nén
Ta đặt f0 =

As ´ fY
A
và m = sc
h ´ fc
As

Trong công thức, chúng ta giả thuyết chúng có cùng khoảng cách, hc, là khoảng
cách từ bề mặt bêtông đến lớp thép gần nhất.
Moment chảy dẻo trên một đơn vị chiều dài
m ³ 1-

1 hc
f0 h

f0 £

é
h
1 hc
ỉh 1

ứ
, m P = ờ1 - 2 c + (1 + m ) ỗ c - f0 (1 + m ) ÷ ú As fY h
1+ m h
h
èh 2
øû
ë

2
é
hc 1 1 ỉ hc ư ù
1 hc
f0 ³
, m P = ê1 - 2 +
ú As fY h
1+ m h
h 2 f0 ỗố h ữứ ûú
êë

m < 1-

é
h
1 hc
ỉh 1
ứ
, m P = ê1 - 2 c + (1 - m ) ỗ c - f0 (1 - m ) ÷ ú As fY h
f0 h
h
èh 2

øû
ë

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)


14

3.2.3.Tiêu chuẩn chảy dẻo Nielsen
Phát biểu của Nielsen về tiêu chuẩn chảy dẻo của tấm sàn bê tơng cốt thép

Hình 3.6 : Mặt chảy dẻo theo tiêu chuẩn Nielsen
ì- m' px £ mx £ mpx
ï '
ï- m py £ my £ mpy
í
2
ï-(mpx - mx )(mpy - my ) + mxy £ 0
ï
'
'
2
ỵ-(m px + mx )(m py + my ) + mxy £ 0

(3.17)

Trong đó
mpx: là giá trị số của moment chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu moment uốn
trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x)
m’px: là giá trị số của moment chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu moment uốn
trong mặt phẳng x (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục x)
mpy: là giá trị số của moment chảy dẻo dương trong cấu kiện chịu moment uốn
trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y)
m’py: là giá trị số của moment chảy dẻo âm trong cấu kiện chịu moment uốn
trong mặt phẳng y (mặt phẳng có pháp vectơ song song với trục y)