Về các nhóm con trong vành chia

TÓM TẮT

Đề tài của luận án nằm trong hướng nghiên cứu về tính
chất của các nhóm con trong nhóm nhân của một vành chia.
Về mặt khái niệm, vành chia có tất cả các tính chất của trường,
ngoại trừ việc nó có thể không giao hoán. Chính điều này đã
làm nên sự khác biệt đáng kể giữa vành chia và trường. Nếu
như cấu trúc của trường đã được nghiên cứu rất kỹ và đã đạt
được những kết quả khá hoàn hảo thì đến nay vẫn còn nhiều
điều về cấu trúc vành chia chưa được biết đến. Thời gian gần
đây có nhiều công trình nghiên cứu xoay quanh các nhóm con
nhân á chuẩn tắc và các nhóm con nhân tối đại của vành chia
đã được công bố ( [1]-[2]-[3]-[5]-[6]-[7]-[8]-[10]-...). Điều này
cho thấy tính thời sự của vấn đề vừa nêu. Mục tiêu của chúng
tôi trong luận án này là nhằm trình bày các nghiên cứu về
nhóm con nhân á chuẩn tắc và nhóm con nhân tối đại của
vành chia.
Cho G là một nhóm. Ta nói G là hữu hạn (tương ứng
lũy linh, giải được) địa phương nếu với mọi tập con hữu hạn
S của G, nhóm con sinh bởi S là hữu hạn (tương ứng lũy
linh, giải được). Hiển nhiên nếu G là hữu hạn (tương ứng
lũy linh, giải được) thì G là hữu hạn (tương ứng lũy linh, giải
được) địa phương. Nếu với mọi phần tử x của G số phần
tử liên hợp của x trong G là hữu hạn thì ta nói G là một
1


F C−nhóm. Một nhóm con N của G được gọi là á chuẩn
tắc (subnormal) trong G nếu tồn tại một dãy các nhóm con
N0 = N, N1, . . . , Nk = G của G sao cho Ni chuẩn tắc trong
Ni+1 với mọi i ∈ 0, k − 1 := {0, 1, 2, . . ., k − 1}.

Cho D là vành chia. Ký hiệu D∗ là nhóm nhân của D
và Z(D) là tâm của D. Trong luận án ta qui ước khi nói tới
nhóm con của vành chia D thì ta hiểu đó chính là nhóm con
của nhóm nhân D∗ của D. Vành chia D được gọi là hữu hạn
chiều trên tâm nếu D là không gian véc tơ hữu hạn chiều
trên Z(D). D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm
nếu với mọi tập con hữu hạn S trong D, vành chia sinh bởi
S trên Z(D) là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên Z(D).
Nếu mọi phần tử của D∗ đều đại số trên Z(D) thì ta nói D
là vành chia đại số trên tâm. Một phần tử x ∈ D∗ được gọi
là căn trên tâm Z(D) nếu tồn tại số nguyên dương n(x) phụ
thuộc vào x sao cho xn(x) ∈ Z(D). Một tập hợp ∅ = S ⊆ D
được gọi là căn trên tâm nếu mọi phần tử của nó đều căn trên
Z(D). Giả sử p1 < p2 < . . . là một dãy các số nguyên tố. Ta
biết rằng với mỗi n tồn tại một Q-đại số An số chiều p2n với
Z(An ) = Q. Khi đó, Dn = A1

Q...

Q

An là vành chia với

tâm là Q. Xem Dn như vành con của Dn+1 = Dn

Q An+1 ,

ta có D = ∪n≥1 Dn là vành chia với tâm là Z(D) = Q và rõ
ràng D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm nhưng
D là không gian vectơ vô hạn chiều trên tâm của nó. Điều này

cho thấy lớp các vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm
thực sự rộng hơn lớp các vành chia hữu hạn chiều trên taâm.
2


Về phần mình, lớp các vành chia hữu hạn chiều địa phương
trên tâm lại thực sự nằm trong lớp các vành chia đại số trên
tâm.
Một số nghiên cứu cổ điển về vành chia được bắt nguồn từ
định lý nổi tiếng sau đây, được Wedderburn chứng minh năm
1905:
Định lý Wedderburn. Mọi vành chia hữu hạn đều là trường.
Các kết quả nhận được có một điểm chung là tìm cách
thay tính chất hữu hạn trong Định lý Wedderburn bằng một
tính chất khác mà vẫn làm cho vành chia giao hoán. Nói cách
khác chúng là những sự tổng quát hóa khác nhau của Định lý
Wedderburn. Một trong những hướng nghiên cứu đó là thay
tính chất hữu hạn bằng tính chất giải được của nhóm nhân.
Chẳng hạn như sử dụng các tính chất của dãy tâm tăng, không
khó khăn lắm có thể chứng minh được: Nếu nhóm nhân của
vành chia là nhóm lũy linh thì vành chia giao hoán. L.K.Hua
mở rộng kết quả này bằng cách thay tính lũy linh bằng tính
giải được (xem [9]) trong định lý sau đây:
Định lý A. Nếu nhóm nhân của vành chia D giải được thì D
là trường.
Tuy nhiên chứng minh kết quả của Hua không phải là việc
dễ dàng. Sau đó, một cách hoàn toàn độc lập với nhau, H.
Cartan, R. Brauer và L.K Hua đã chứng minh được một định lý
rất nổi tiếng mà bây giờ ta quen gọi là Định lý Cartan-Brauer-

3


Hua:
Định lý Cartan-Brauer-Hua. Cho K là vành chia con thực sự
của một vành chia không giao hoán D. Nếu K ∗ chuẩn tắc
trong D∗ thì K nằm trong Z(D).
Điều này cho thấy mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính
giao hoán của một nhóm con trong vành chia. Từ các kết quả
này, một cách tự nhiên ta có thể đặt câu hỏi: Nếu nhóm nhân
trong vành chia thỏa tính chất A làm cho vành chia giao hoán
thì một nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia thỏa tính chất
A có nằêm trong tâm của vành chia hay không?. Trong hướng
nghiên cứu này xin được nhắc đến một kết quả của Stuth:
Định lý B (Stuth). Trong một vành chia D, mọi nhóm con á
chuẩn tắc giải được của D∗ đều nằm trong Z(D).
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, trong luận án chúng tôi đã
chứng minh được:
Định lý 1. Trong một vành chia D, mọi nhóm con á chuẩn
tắc lũy linh địa phương của D∗ đều nằm trong Z(D).
Khi thêm giả thiết D là vành chia đại số trên tâm chúng
tôi nhận được kết quả sau:
Định lý 2. Trong một vành chia D đại số trên tâm, mọi nhóm
con á chuẩn tắc giải được địa phương của D∗ đều nằm trong
Z(D)".
Việc khảo sát tính chất căn trong vành chia cũng được
nghiên cứu rất nhiều. Ví dụ, có thể nêu ra một kết quả sau của
4

Kaplansky:
Định lý C (Kaplansky). ([[9], Định lý 15.5]) Nếu D là vành
chia căn trên tâm thì D giao hoán.
Theo định nghóa thì vành chia D căn trên tâm khi và chỉ
khi D∗ /Z(D )∗ là nhóm xoắn. Như vậy Định lý Kaplansky là
một sự tổng quát hóa khá hay của Định lý Wedderburn. Tiếp
theo, trong hướng nghiên cứu này xin được nhắc đến một giả
thuyết do L.N.Herstein [5] nêu ra từ năm 1978:
Giả thuyết 1 (Herstein). Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của
D∗ và G căn trên Z(D) thì G nằm trong Z(D).
Cũng trong [5] Herstein đã chứng minh được rằng giả
thuyết trên là đúng nếu G là nhóm con hữu hạn á chuẩn
tắc trong D∗ . Tuy nhiên cho tới hiện nay cũng chưa có câu trả
lời cho trường hợp tổng quát. Năm 2004, trong [3], B.X. Hải và
L.K. Huỳnh dựa vào tính hữu hạn tâm của vành chia D để xét
D∗ như là nhóm tuyến tính trên trường Z(D) và sử dụng các
phương pháp nghiên cứu đối với nhóm tuyến tính trên trường
đã chứng minh được rằng giả thuyết của Herstein đúng đối với
lớp vành chia hữu hạn chiều trên tâm.
Định lý D. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và giả
sử G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ . Nếu G căn trên tâm
Z(D) của D thì G nằm trong Z(D).
Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi chứng minh được
Giả thuyết Herstein vẫn còn đúng đối với lớp vành chia hữu

5


hạn chiều địa phương trên tâm.
Định lý 3. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương

trên tâm và giả sử G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ . Nếu
G căn trên tâm Z(D) của D thì G nằm trong Z(D).
Ngoài ra, trong khi khảo sát Giả thuyết Herstein chúng tôi
đã tìm ra một kết quả sau:
Định lý 4. Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là nhóm
con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F . Khi đó với mọi phần tử
a ∈ N, nhóm Galois của mở rộng F (a)/F là tầm thường.
Sử dụng Định lý 4 chúng tôi chứng minh được một số các
kết quả sau:
Hệ quả 1.

Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là

nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F . Nếu a là phần tử
xoắn trong N thì a nằm trong F .
Hệ quả 2. Cho D là vành chia và N là nhóm con á chuẩn tắc
của D. Nếu N đại số trên một trường con hữu hạn F nào đó
của D thì N nằm trong tâm của D.
Hệ quả 3. Cho D là vành chia tâm F . Giả sử N là nhóm
con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a, b−1ab là hai phần
tử nằm trong N . Nếu a giao hoán với b−1 ab thì a giao hoán
với b.
Hệ quả 4. Cho D là vành chia với tâm F, N là nhóm con á
chuẩn tắc của D∗ và a là một phần tử nằm trong N . Khi đó,
nếu a2 ∈ F thì a ∈ F .
6


Như vậy có thể thấy rằng Hệ quả 2 là sự tổng quát hoá một
kết quả cổ điển sau đây của Jacobson:

Định lý E (Jacobson)([9]). Nếu vành chia D đại số trên một
trường con hữu hạn của nó thì D giao hoán.
Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chúng tôi chứng
minh được:
Định lý 5. Cho D là vành chia có đặc trưng p > 0. Nếu a là
phần tử nằm trong nhóm con á chuẩn tắc căn trên tâm của
n

vành chia D mà ap ∈ Z(D) thì a ∈ Z(D).
Định lý 5 có các hệ quả sau đây:
Hệ quả 5. Cho D là vành chia đặc trưng p > 0 với tâm F và
giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F . Nếu
a ∈ N và k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈ F thì
p không là ước của k.
Hệ quả 6. Cho D là vành chia với tâm F và giả sử N là nhóm
con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F . Khi đó mọi phần tử của
N đều tách được trên F .
Ngoài ra, dùng khái niệm chuẩn của một phần tử đại số
trên tâm chúng tôi mô tả được đa thức tối tiểu của một phần
tử a ∈ D nằm trong nhóm con chuẩn tắc căn trên Z(D) có
dạng xt − NF (a)/F (a).
Định lý 6. Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm
con chuẩn tắc căn trên F của D∗ . Khi đó, với mọi a ∈ N , đa
thức tối tiểu của a trên F có dạng xt − NF (a)/F (a).
7


Dựa vào Định lý 6 chúng tôi chứng minh được:
Định lý 7. Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm
con chuẩn tắc căn trên F của D∗ . Nếu a ∈ N thỏa a3 ∈ F

thì a ∈ F .
Nối kết các kết quả trên, chúng tôi có được kết quả sau:
Hệ quả 7. Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm
con chuẩn tắc căn trên F của D∗ . Nếu a ∈ N mà a2

n .3k

∈

F (n, k ∈ N) thì a ∈ F .
Một hướng nghiên cứu khác về vành chia là việc tổng quát
hóa Định lý Wedderburn dưới hình thức của một nhóm con á
chuẩn tắc bằng cách khai thác tính chất hữu hạn. MahdaviHezavehi, M.G Madmudi và S.Yasamin đã tìm ra được kết quả:
Định lý F. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn chiều
trên tâm F và giả sử N là nhóm con hữu hạn sinh á chuẩn
tắc của D∗ không nằm trong F và P là trường nguyên tố của
F . Khi đó F hữu hạn sinh trên P .
Với tính chất này cùng với việc sử dụng tính chất của ma
trận phụ hợp (Adjoint matrix), Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi và S.Yasamin đã chứng minh được:
Định lý G. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và
N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ . Nếu N là nhóm con hữu
hạn sinh thì N nằm trong F .
Tiếp tục với hướng nghiên cứu này, chúng tôi tổng quát
hóa Định lý Wedderburn qua các kết quả:
8


Định lý 8. Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G hữu
hạn địa phương thì G nằm trong Z(D).(
Định lý 9. Nếu G là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ và G là

F C−nhóm thì G nằm trong Z(D).
Việc nghiên cứu những nhóm con tối đại trong vành chia
vẫn đang là vấn đề thời sự trong lý thuyết nhóm tuyến tính
trên vành chia và được nhiều nhà toán học trên thế giới quan
tâm (có thể tham khảo một số công trình trong 10 năm trở
lại đây [1]-[2]-[7]-[4]-[10].... để thấy điều đó ). Mặc dù có rất
nhiều nghiên cứu về nhóm con tối đại của vành chia nhưng
cho tới hiện nay câu hỏi về sự tồn tại các nhóm con tối đại
trong một vành chia tổng quát vẫn chưa tìm được câu trả lời.
Trong khi đó đối với trường câu trả lời là phủ định. Chẳng hạn
như trong trường số phức C không tồn tại nhóm con tối đại.
Về vai trò của các nhóm con tối đại trong vành chia, sự tồn
tại của chúng có thể ảnh hưởng tới tính chất của toàn vành
chia. Chẳng hạn, trong [1], các tác giả đã chứng minh được:
Định lý H. Nếu một vành chia không giao hoán D, thỏa mãn
điều kiện ∞ > [D : Z(D)] = p2 , trong đó p bằng CharD thì
D không chứa nhóm con tối đại căn trên tâm
Cũng trong [1], các tác giả đã nêu lên các giả thuyết sau:
Giả thuyết 2. Nếu vành chia D không giao hoán thì D không
chứa các nhóm con tối đại giải được.
Giả thuyết 3. Nếu vành chia D không giao hoán thì D không
9


chứa các nhóm con tối đại lũy linh.
Giả thuyết 4. Nếu vành chia D không giao hoán thì D không
chứa các nhóm con tối đại aben.
Trong [2], các tác giả đã đưa ra ví dụ về một một vành chia
không giao hoán hữu hạn chiều trên tâm chứa một nhóm con
tối đại giải được. Điều này phủ định Giả thuyết 2, nhưng cho

tới hiện nay các giả thuyết 3 và 4 vẫn còn đang bỏ ngỏ. Trên
cơ sở nghiên cứu các giả thuyết này, một câu hỏi được nảy sinh
là: Những nhóm con tối đại nào có thể xuất hiện như là nhóm
nhân của trường con tối đại. Trong [1], các tác giả đã chứng
minh được:
Định lý I. Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh của vành chia
D không giao hoán chứa một phần tử đại số trên tâm thì M
là nhóm nhân của một trường con tối đại của D
Tiếp tục nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi đạt được kết
quả:
Định lý 10. Nếu M là nhóm con tối đại lũy linh địa phương
của một vành chia không giao hoán đại số trên tâm thì M là
nhóm nhân của một trường con tối đại của D.
Để chứng minh kết quả này chúng tôi đã sử dụng một số
kỹ thuật trong chứng minh Định lý I và lợi dụng tính lũy linh
địa phương để tạo thành những nhóm con hữu hạn địa phương,
chúng tôi đã xét hai trường hợp riêng biệt khi đặc trưng vành
chia bằng 0 và đặc trưng vành chia là số nguyên tố. Cả hai

10


trường hợp này chúng tôi đều dùng phương pháp phản chứng
để chứng minh. Trong vành chia Quaternion H, nhóm con
C ∗ ∪ C ∗ j chính là nhóm con tối đại giải được của H∗ . Rõ
ràng H là vành chia hữu hạn chiều trên tâm (do đó đại số trên
tâm) đồng thời C ∗ ∪ C ∗ j không là trường con của H. Điều
này cho thấy kết quả đạt được trong Định lý 9 là tối ưu theo
nghóa nó không thể mở rộng được cho những nhóm con tối
đại giải được địa phương (thậm chí giải được).

Tính hữu hạn của nhóm con nhân trong vành chia liên
quan chặt chẽ với tính giao hoán của nó. Đối với nhóm con tối
đại trong vành chia điều này càng được thể hiện rõ nét. Trên
cơ sở này chúng tôi đã chứng minh được hai kết qủa sau:
Định lý 11. Nếu M là nhóm con tối đại hữu hạn địa phương
của vành chia D không giao hoán thì M là nhóm nhân của
một trường con tối đại của D.
Định lý 12. Nếu M là nhóm con tối đại của vành chia D
không giao hoán và M là F C-nhóm thì M là nhóm nhân của
một trường con tối đại của D.
Chúng tôi đã sử dụng những kỹ thuật của lý thuyết trường
Galois kết hợp với các kỹ thuật chuẩn rút gọn để đạt được hai
kết quả trên.

11


12


Kết luận của Luận án
I. Những kết quả mới nhận được
Dưới đây là một số kết quả cơ bản nhất đã nhận được trong
luận án. Tất cả các kết quả này đều mới và đều là thành quả
đạt được trong quá trình nghiên cứu chung với người hướng
dẫn khoa học.
A. Một số nhóm con nằm trong tâm của vành chia:
1. Nhóm con á chuẩn tắc lũy linh địa phương của vành
chia nằm trong tâm vành chia. Điều này mở rộng một kết quả
cổ điển nói rằng ``nếu nhóm nhân của vành chia là nhóm lũy

linh thì vành chia giao hoán."
2. Đối với những vành chia đại số trên tâm thì kết quả nhận
được dưới dạng sau: Mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa
phương của vành chia đại số trên tâm đều nằm trong tâm của
vành chia.
3. Mọi nhóm con á chuẩn tắc căn trên tâm của vành chia
hữu hạn chiều địa phương trên tâm đều nằm trong tâm vành
chia. Điều này chứng tỏ Giả thuyết Herstein đúng đối với lớp
những vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm.
4. Mọi nhóm con á chuẩn tắc đại số trên trường con hữu
hạn của vành chia đều nằm trong tâm vành chia . Điều này
tổng quát hóa một định lý của Jacobson nói rằng ``nếu một
vành chia là đại số trên một trường con hữu hạn của nó thì
13


nó sẽ giao hoán".
5. Mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn địa phương của
vành chia đều nằm trong tâm vành chia . Điều này là mở
rộng của Định lý Wedderburn nói rằng ``mọi vành chia hữu
hạn đều là trường".
6. Mọi nhóm con á chuẩn tắc thỏa mãn tính F C−nhóm
của vành chia đều nằm trong tâm vành chia. Điều này là một
mở rộng khác cũng của Định lý Wedderburn nói trên.
B. Các kết quả về nhóm con tối đại:
1. Mọi nhóm con tối đại lũy linh địa phương trong vành
chia không giao hoán đại số trên tâm đều là nhóm nhân của
một trường con tối đại nào đó trong vành chia.
2. Mọi nhóm con tối đại hữu hạn địa phương trong vành
chia không giao hoán đều là nhóm nhân của một trường con

tối đại nào đó trong vành chia.
3. Mọi nhóm con tối đại thỏa mãn tính F C-nhóm trong
vành chia không giao hoán đều là nhóm nhân của một trường
con tối đại nào đó trong vành chia.
II. Một vài kết luận và khả năng phát triển
Luận án trình bày một số kết quả mới về các tính chất của
các nhóm con nhân trong vành chia. Những kết quả này là sự
tổng quát hóa một số kết quả trước kia của các tác giả khác như
Wedderburn, Herstein, Jacobson, Hua, Stuth,...Các kết quả này

14


có thể được ứng dụng trong Lý thuyết vành và Lý thuyết nhóm
tuyến tính trên vành chia. Một số kết quả có khả năng mở rộng
hơn nữa cho những lớp vành chia rộng hơn. Chẳng hạn, nói
về Giả thuyết Herstein, luận án mới dừng lại trong việc chứng
minh giả thuyết này đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa
phương trên tâm. Trong tương lai cần chứng minh hoặc bác bỏ
giả thuyết này ít nhất là cho những lớp vành chia rộng hơn, ví
dụ cho lớp vành chia đại số trên tâm chẳng hạn. Tương tự như
vậy đối với một kết quả cổ điển của Hua :``Nếu nhóm nhân của
vành chia là nhóm giải được thì vành chia giao hoán". Kết quả
này đã được Stuth mở rộng như sau: Mọi nhóm con á chuẩn
tắc của vành chia nếu giải được sẽ nằm trong tâm". Trong
luận án chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu vành chia là
đại số trên tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc giải được địa
phương đều nằm trong tâm. Nếu trong khẳng định vừa rồi bỏ
đi được điều kiện ``đại số trên tâm" thì sẽ nhận được một kết
quả tổng quát hơn kết quả của Stuth. Ngoài ra một vấn đề thực

sự đáng quan tâm đó là liệu có tồn tại một vành chia không
giao hoán nào không chứa nhóm con tối đại hay không? Nhắc
lại rằng đối với trường thì câu trả lời là khẳng định vì ta dễ
dàng chứng minh được trường các số phức không chứa nhóm
con tối đại. Tuy nhiên đối với vành chia không giao hoán thì
cho đến nay người ta vẫn chưa tìm ra được một ví dụ nào như
vậy.

15


16


Danh mục các công trình của tác giả
[1] Nguyễn Văn Thìn và Bùi Xuân Hải, Về một giả thuyết của
Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học và công nghệ/ J. of
Science and Technology Development (đã được nhận đăng) (Ghi
chú: Đây là Tạp chí của Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh,
ISSN: 1859-0128).
[2] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On subnormal and
Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin
of Mathematics (2008) 32: 931-937.
[3] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent
Subgroups of GL1(D), Communications in Algebra, Vol.37:
712-718 (2009).

17

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Akbari, S. Mahdavi-Hezavehi, M., Madmudi, M.G., Maximal Subgroups of GL1(D), J. Algebra,Vol 217 (1999),
222-233.
[2] Akbari, S., Ebrabimian, R., Momenaee Kermani, H. and
Salehi Golsefidy,A., Maximal Subgroups of GLn (D), J. Algebra 259, no.1, (2003) 201-225.
[3] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh, On Subgroups of the
Multiplicative Groups of a Division Ring. Vietnam Journal
of Mathematics 32 (2), (2004) 21-24.
[4] J.Tits, Free subgroups in Linear Groups, J. Algebra 20,
(1972) 250-272 .
[5] I.N. Herstein , Multiplicative commutators in division ring,
Israel J.Math 31, (1978) 180-188.
[6] Mahdavi-Hezavehi,

M.G Madmudi and S.Yasamin ,

Finitety generated subnormal subgroups of GLn (D) are
central, J. Algebra 225 (2000) 517-512.
19


[7] Mahdavi-Hezavehi, Free subgroups in Maximal subgroup
of GL1(D), J. Algebra 24, (2000) 720-730.
[8] Roozbeh-Hazrat, On the central series of the multiplicative
Groups, Proc. America. Math. Soc (1997).
[9] T.Y. Lam, The First Course in Noncommutative Rings,
Gruaduate Text in Mathematics, Vol.13 , Springer-Verlag

(1996).
[10] Suprunenko, D.A, Soluble Subgroups of the Multiplicative
Group of a Field, English Transl., Amer. Math. Soc.Transl.
46(2), (1995) 153-161.

20


1

Mục Lục

Danh mục các ký hiệu

3

Mở đầu

6

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

10

1.1. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3. Vaønh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Chương 2. TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON TRONG VÀNH CHIA
2.1. Định lý Cartan-Brauer-Hua và các định lý mở rộng liên quan . . . .

21
21

2.2. Các định lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn
tắc trong vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3. Về giả thuyết của Herstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4. Tính chất hữu hạn của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia . . .

39

Chương 3. NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA

42

3.1. Tính lũy linh của nhóm con tối đại trong vành chia . . . . . . . . .

42

3.2. Tính hữu hạn của nhóm con tối đại trong vành chia

52

. . . . . . . .

Kết luận của luận án

56

Đề xuất của luận án

58


2
Danh mục các công trình của tác giả

59

Tài Liệu Tham Khaûo

61


3

Danh Mục Các Ký Hiệu

N, Z, Q, R, C - tập hợp các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức.
H ≤ G- H là nhóm con của G.
G - H là nhóm con chuẩn tắc của G.

H

H ⊆ G -H là tập con của G.
H

G - H không nằm trong G.

H

G - H là tập con thực sự của G.

|X| - số phần tử của X.
|a| - cấp của phần tử a.
Mn (R) - vành các ma trận vuông cấp n trên R.
GLn (R) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên R.
S - nhóm con sinh bởi tập hợp S
S G = g −1 sg : s ∈ S, g ∈ G .
S

G

= {g −1 sg : s ∈ S, g ∈ G} .

G1 ∼

= G2 - G1 đẳng cấu với G2 .
ker f - nhân của đồng cấu f .
imf - ảnh của đồng cấu f .


4
[G : H] - chỉ số của H trong G.
[K : F ] - số chiều của không gian vectơ K trên F .
xy = y −1xy - phần tử liên hợp của x bởi y.
H x = x−1 Hx .
CoreH =

x∈G

H x.

NG (H) - chuẩn hóa tử của H trong G.
CG (X) = g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ X

- tâm hóa tử của X trong G.

[a, b] = a−1b−1 ab - hoán tử của a và b.
G = [G, G] - nhóm con giao hoán tử của G.
G/H - nhóm thương của G theo H.
Aut(G) - nhóm các tự đẳng cấu của G.
G(i) - nhóm con hoán tử bậc i của G.
γi (G) - nhóm tâm giảm bậc i của G.
Zi (G) - Nhóm tâm tăng bậc i của G.
F [S] - vành con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D .
F (S) - vành chia con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D.

U (R) - nhóm các phần tử khả nghịch của vành R
R∗ = R \ {0} - tập các phần tử khác 0 của vành R.
Char(R) - đặc trưng của vành R.
EndF (R) - tập tất cả các F -tự đồng cấu của R.
R[X] - vành các đa thức với biến X lấy hệ số trong R.
deg(f ) - bậc của đa thức f .


5
F/K - F là trường mở rộng của K.
A

K

B - A tenxơ B trên trường K.

Sym(n) - nhóm đối xứng trên tập hợp n phần tử.
sgn(σ) - dấu của hoán vò σ.